九年级数学寒假班培优精品讲义

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九年级数学寒假班精品尖子班讲义

《全等三角形及三角形全等的条件》【知识精讲】全等三角形是研究图形的重要工具，掌握好全等三角形的内容是进一步学习四边形、圆的重要基础。

本讲内容是了解全等三角形的概念及性质（对应边相等、对应角相等），能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；掌握三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式.重视探究两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的部分条件时，两个三角形是否全等的过程.比如：(1) 满足一个条件⎩⎨⎧一角对应相等一边对应相等 )2()1( (2) 满足两个条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧角对应相等②一边及这条边所对的一个角对应相等①一边及与这边相邻的一边、一角对应相等两角对应相等两边对应相等 )3()2()1((3) 满足三个条件⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧对边对应相等②两角和其中一个角的应相等①两角和它们的夹边对两角及一边对应相等的角对应相等②两边及其中一边所对等①两边及其夹角对应相两边及一角对应相等三角对应相等三边对应相等)4()3()2()1( 再如探究直角三角形全等条件的过程：由于直角三角形隐含了直角的条件，那么思考判定直角三角形全等的条件能否缩减为两个？(1) 两边对应相等⎩⎨⎧(?))SAS 等一直角边、斜边对应相两直角边对应相等（(2) 两锐角对应相等（×）(3) 一边一锐角对应相等（ASA 或AAS ）【典例剖析】1．如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A ’B ’C ，A ’B ’交AC 于点D ，若∠A ’DC=90°,则∠A = °。

2．如图，已知△ABC 的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是( )A. 甲和乙B. 乙和丙C. 只有乙 D 只有丙3．如图，AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证：△AEB ≌ △ ADC 。

b ac a c c a 丙72︒50︒乙50︒甲50︒C BA 50︒72︒58︒4．如图，已知三角形的两边长分别为5和7，求第三边的中线长x的取值范围.5．如图(1)，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA=∠ECD，连接BE，AD. 求证：BE=AD.若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？【王牌例题】1．如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C＝∠D，BC＝DE，M为CD中点，求证：AM ⊥CD2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足。

寒假培优班初三数学

初三数学图，直角坐标系中，直线L与x 轴、y 轴分别交于点A（4，0）和点B（0，3），点P沿直线L 由B 点向A点匀速运动，同时点Q沿x 轴由 A 点向坐标原点O匀速运动，两点运动的速度都是每秒1（单位长度），运动t 秒，它们到达图中所示的位置，连结P Q。

（1）当t 为多少时，? PAQ为直角三角形？（2）当t 为多少时，? PAQ的面积最大？（3）求（2）中? PAQ三个顶点P、A、Q确定的抛物线的函数表达式。

yB 0, 3PA 4, 0xO QL图，直角坐标系中，以P（1，1）为圆心， 5 为半径的⊙P 交x 轴于A、B 两点，交y 轴于C、D两点。

（1）直接写出A、B、C、D 四点的坐标（演算在草稿进行）；（2）分别过A、C两点作⊙P 的切线 a 和b，求a、b 的函数表达式（写出切线 a 的表达式的求解过程，切线 b 的表达式直接写出即可，演算在草稿进行。

）（3）第（2）问中的a、b 两条切线是否互相垂直？若垂直，请写出证明；若不垂直，请说明理由。

ybCP(1，1)OA DB xa图，直线AB与x 轴交于A（4，0），与y 轴交于B（0，2）；直线CD与x 轴交于C（2，0），与y 轴交于D（0，4）。

（1））求直线AB的函数表达式（要有过程）；写出直线CD的函数表达式（过程在草稿纸做）。

（2））设AB与CD相交于点P，连结AD，求△ PAD的面积。

2y4DB2PC Ax O2 4 如图，二次函数 y = ax + bx + c的图象与 x 轴交于点 A （ 6，0）和点 B （2，0），与 y 轴交于点 C （0， 2 3 ）；⊙P 经过 A 、B 、C 三点.（1））求二次函数的表达式；（2））求圆心 P 的坐标；（3））二次函数在第一象限内的图象上是否存在点 Q ，使得以 P 、Q 、A 、B 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 Q 的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由。

北师大版九年级数学寒假班讲义(基础班)

第一讲锐角三角函数一．正弦、余弦、正切锐角三角函数相关概念锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做A 的锐角三角函数。

（1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。

（2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。

令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值范围均为：0︒︒<0A函数的增减性分别为：<90①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随A 的增大而增大②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随A 的增大而减小③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随A 的增大而增大.例题：1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC= ，sinA=2.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为．3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD= ．同步练习：1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=2，则AC长是（）A．B．C．D．22．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°3．在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cosA= ．二．特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值主要是指︒︒60︒，这三个角的三角函数值，如下表：30，45例题：1.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于度．2.4cos30°++|﹣2|= ．同步练习：1．计算：tan45°+= ；2．计算：（sin30°）﹣1×（sin60°﹣cos45°）﹣．三．解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。

初中数学九年级寒假尖子班专题讲义

初中数学九年级寒假尖子班专题讲义导言初中九年级寒假尖子班专题讲义旨在为学生提供全面系统的数学知识，帮助他们在寒假期间巩固和拓展数学基础，为高中数学研究打下坚实的基础。

课程目标- 深入研究数学的重要概念和方法；- 培养学生的数学思维和问题解决能力；- 掌握九年级数学的重点知识和技能。

课程安排单元一：代数与函数- 知识点：- 代数运算规律- 一元一次方程与一元一次不等式- 线性函数与二元一次方程组- 练和应用：- 解一元一次方程和不等式- 解二元一次方程组- 理解线性函数在实际问题中的应用单元二：数与式- 知识点：- 数的整数指数与实数指数幂- 实数的开方与乘方运算- 练和应用：- 计算数的整数指数与实数指数幂- 计算实数的开方与乘方运算- 解决实际问题中的数与式的计算和应用单元三：几何与观察- 知识点：- 平面图形的性质和判断- 空间图形的性质和判断- 练和应用：- 分析和判断平面图形的性质- 分析和判断空间图形的性质- 解决几何问题和观察问题单元四：概率与统计- 知识点：- 事件的概率与频率- 数据的收集与整理- 练和应用：- 计算事件的概率与频率- 收集和整理数据- 进行简单的统计分析和推断研究方法与建议- 积极参与课堂讲解和练，与同学合作研究；- 多做题和练，通过实践巩固和加深理解；- 提前预和复教材内容，保持研究的连贯性；- 请及时向老师提问和寻求帮助，解决研究中的困难。

结语初中数学九年级寒假尖子班专题讲义将为学生提供高质量的数学学习资源，帮助他们在寒假期间提升数学水平，为顺利完成初中数学学业奠定坚实基础。

希望学生们能够积极参与学习，取得优异的成绩！。

九年级数学精讲班讲义

九年级数学精讲班讲义一、一元二次方程。

1. 定义。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 举例：x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=- 3。

2. 解法。

- 直接开平方法。

- 对于方程x^2=k(k≥slant0)，解得x=±√(k)。

- 例如：(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，x = 1±2，即x = 3或x=-1。

- 配方法。

- 步骤：先将二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程化为(x + m)^2=n的形式再求解。

- 例如：x^2+4x - 1 = 0，x^2+4x = 1，x^2+4x + 4 = 1+4，(x + 2)^2=5，x=-2±√(5)。

- 公式法。

- 求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 对于方程2x^2-3x - 1 = 0，a = 2，b=-3，c = - 1，代入公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-1)}{2×2}=(3±√(17))/(4)。

- 因式分解法。

- 把方程化为(mx + n)(px + q)=0的形式，则mx + n = 0或px + q = 0。

- 例如：x^2-3x + 2 = 0，分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。

3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

- 当Δ<0时，方程没有实数根。

- 例如：对于方程x^2-2x + 1 = 0，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x = 1；对于方程x^2+1 = 0，Δ = 0 - 4×1×1=-4<0，方程没有实数根。

九年级数学培优讲义与测试精编版

第一讲一次函数和反比例函数知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。

若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。

当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。

函数(0)ky k x=≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。

当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数ky x=分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数ky x=分别在第二或第四象限内是单调递增函数。

若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。

当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。

当12k k ≠时，两直线相交。

当121k k =-时，两直线互相垂直。

求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。

例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。

解显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。

设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得456,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以线段AB 为46(14),55y x x =--≤≤代入(1,)C c ，得4621.555c =⨯-=-例2：求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。

初三数学寒假辅导讲义第1讲三角形提高班教师版

考试内容考试要求层次A B C三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关冋题等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关冋题会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题勾股定理及其逆定理已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理及其逆定理解决简单问题相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题锐角三角函数了解锐角三角函数（si nA，cos A，tan A）；知道30 ,45，60角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有30 , 45，60角的三角函数式的值淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题博领先中考培优课程J比---- 7--厂工八_初三寒假•第1讲•提高班•教师版1一、等腰三角形①等腰三角形的两大特性.AAA图形7A2/_ _ACH=DE+DFCH=DE-DF V三角形特殊三甬形之等髅三角形与直角三甬形全等三角形相似三角形特性等腰三角形中的三线合一”底所在直线上的点到两腰的距离与腰上的高的关系图形^45°^6°三边1 ：1： 1i：i： 72i：i：J3「丫1仆•如之比j 1 •21*1*2、直角三角形1直角三角形的边角关系.①.直角三角形的两锐角互余. ②.三边满足勾股定理. ③.边角间满足锐角三角函数.初三寒假•第1讲•提高班•教师版领先中考培优课程2 •特殊直角三角形3 •直角三角形中的特殊线.四•全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的判定：⑴ SSS;⑵SAS :⑶ASA :⑷AAS :⑸HL .初三寒假•第1讲•提高班•教师版45在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换(旋转、平移、轴对称等)相结合五•相似三角形相似三角形的性质：⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比. ⑵相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 相似三角形的判定： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷(2)在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4, 0)，点B 的坐标为(4 ,10)，点C 在y 轴上，且厶ABC 是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ________________ .(2010顺义一模) 淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！领先中考培优课程护平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似; 两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似.r rB□ a □ rA□ □ t初三寒假•第1讲•提高班•教师版1~~-w —V - --------------------------------- —AEEEBCCBB CC CBB ⑷AAEEAEAEBCBBDCDB模块特殊三角形夯实基础C.8D.9C (9)【例1】(1 )如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知两格点，如果C 也是图中的格点，且使得 △ABC 为等腰三角形个数是( )A.6B.7C D(10)本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，，不对学生做太高要求设计一种“系列探究” ，使得每一讲有本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最 (1) ___ E ⑵【编写思路】由于三角形的知识点非常多角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花值问题” •B C(8)AAA相似三角形的基本模型：A 、B 是则点 C 的(3)已知：如图，在厶ABC中，B 连接DE交BC于F •求证：DF EF •(4)如图所示，在△ ABC中，BC=6, E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP交CE于D，点Q在CE上且BQ平分/ CBP,1设BP=y , PE=X.当CQ=— CE时，y与x之间的函数关系式2是 _____________ .【解析】(1) C,两圆一垂”(2)( 0, 0),( 0, 10),( 0, 2),( 0, 8).两垂一圆”确定四个点之后，用勾股求得；(3 )证明：过D点作AC的平行线交BC于点G ,贝B= / ACB= / BGD ; ••• BD=DG = CE;易证ADFG ◎△ EFC ; • DF = EF.注：本题方法很多，还可以过D作BC平行线，或过E作AB的平行线，由平行线截等腰三角形”得新等腰三角形•(4) y= —+6;提示：延长BQ与射线EF相交，由平行线加角平分线"得到等腰三角形•【例2】(1)如图，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A B C D A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按B C D A B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( ) (2010宣武一模)A. 2B. 4 —C.D. 1(2)如图，在△ ABC 中，/ C=90° AC=4, BC=2，点A、C 分别在x 轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是( )A • 2.2 2B • 2.5 C. 2.6 D . 6(2010西城二模)ACB，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，且BD CE ,(2012海淀期中)以下探究主题为：几何最值问题【探究1】如图，△ ABC为等边三角形，边长毛1領先中考培优课程A第8题图6轴上，当点A 在x 轴上运动时，点 C 随之在y 轴上运动，在运动过程中, 点B 到原点的最大距离是 __________________ .【探究2】如图，在厶ABC 中，/ C=90° AC=4, BC=3,点A 、C 分别在x 轴、 y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点 C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最小距离是 _____________ .【探究 3】如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90° / B=30° CB=3^3 ,点D 是平面上一点且 CD=2，点P 为线段 AB 上一动点，当 △ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段 DP 长度的最大值为 _______ ，最小值为 ________ .A ，如右图1,取AC 中点D ，连结OD 、BD ,B 三点共线时，OB 的值最大；探究1 : 2+2 3，方法同上，取 AC 中点D ，连结 BD ，当O 、D 、B 三点共线时，OB 的值最大；探究2:如右图2,取AC 中点D ，连结OD 、BD , D 、B三点共线时，OB 的值最小，最小值为 .13【解析】半, （1） C ,由直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ”可知 :是M 的轨迹围成一个半径为 1的圆； BM 、CM 、 CM 、AM 均等于FQ 的一探究3: MBC 绕点C 旋转”等价于CD 绕点C 旋转”，如下图PD 最大，当PD = | PC-CD |时，PD 最小.如图2，当P 与B 重合，PD 取最大值为 3. 3 图3,当CP 丄AB 时，PD 取最小值为3,32 .21连结CP ,PD=PC+CD ）时，2，如图1B图3【点评】动线段最值的求法一般可总结为两种方法（仅供参考）：（1）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为定值，但是形状可变化，如下左图，内共线”值最小（已知AB 、BP 为定值，求动线段 AP 的最大或最小值） P 是线段BC 上的动点，求线段外共线”值最大，（2）如下右图，垂线段最短，端点处最大（已知点小值）•AP 的最大或最(2) D 、 2淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅补家教资料都有!图28初三寒假•第1讲•提高班•教师版- - -------- ―哎APBC夯实基础EPMMNBBD D能力提升7■ .kP 2 AP 2P l由全等三角形面积相由八”字模型倒角证得APC EPC 120 PA+PC+PE=BE ， ⑥. 60)，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60。

中考数学九年级寒假尖子班专题讲义

第一单元：数与式 (2)第一关：规律探究 (5)第二关：数与式求值 (7)第三关：解方程与不等式（组） (10)第四关：方程应用 (12)第二单元：函数 (15)第一关：利用图象求解相关题型 (16)1-1 利用图象求值 (16)1-2 利用图象判断式子的正误 (19)1-3 双图象问题 (20)第二关：函数解析式求法 (22)第三关：函数与实际问题 (25)第四关：函数综合 (28)第三单元：几何 (36)第一关：三角形 (38)1-1 三角形三线 (38)1-2 等腰及直角三角形相关计算与证明 (39)1-3 全等三角形 (42)1-5 解直角三角形 (56)第二关：四边形 (60)第三关：圆 (68)第四单元：专题复习 (77)专题一：新定义问题 (77)专题二：动点问题 (88)专题三：中考作图题 (103)专题四：阅读理解问题 (108)一、考点透视1. 能结合实例理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.2. 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数与绝对值.3. 能利用数轴解决与实数有关的问题.4. 能说出乘方的意义，能运用法则进行实数的混合运算，会用科学记数法表示一个大数.5. 会求一个数的算术平方根、立方根、会估计一个无理数的大小.6. 会分析简单问题中的数量关系(含探索规律),并能用代数式表示.7. 会求代数式的值,知道代数式的值随其中字母取值的变化而变化.8. 会进行整式的加,减运算,会进行整式乘法运算.9. 能运用提取公因式法,公式法进行因式分解,体会数学中等值变形的方法. 10. 能正确运用两个乘法公式进行整式运算,并能解释两个公式的几何背景. 11. 了解分式的概念,能求出分式值为零时字母的值,知道分式无意义的条件.12. 会利用分式的基本性质进行通分与约分,会进行分式加、减、乘、除运算;会进行分式的混合运算与分式的化简求值.13. 了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算.14. 理解合并同类项与合并同类二次根式之间的关系.15. 能举例说明一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（组）及其根的概念，会将一元二次方程化成一般形式.16. 能正确观察利用一次函数的图象得到相应一元一次方程的近似解, 了解二元一次方程组的图象解法感受它们的关系.17. 理解配方法,会用因式分解、配方法、公式法求简单系数的一元二次方程.第一章数与式的解.19.熟练运用二元一次方程组的两种基本解法:代入法消元法和加减消元法.20.能将简单问题(数学问题和实际问题)中的数量关系,通过建立方程模型加以解决,并能检验结果是否合理,体会方程是刻画现实世界一个有效的数学模型.21.能说出不等式的基本性质,并能运用基本性质进行不等式的变形.22.熟练掌握一元一次不等式(组)的解法,并会在数轴上正确表示其解集.23.能根据具体问题问题中的数量关系,列出一元一次不等式(组)解决有关的实际问题,并能根据问题的实际意义检验结果是否合理.24.通过具体实例理解一元一次不等式,一元一次程和一次函数的内在联系.25.能正确求出可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)的根,能结合实例解释分式方程产生增根的原因,能结合现实情境列分式方程解决简单的实际问题.二、方法突破1.实数是整个数学的基石，它涉及的核心概念较多，运算法则较多，因此代数运算是这部分内容的重点，考试一般以填空题、选择题和难度很小的解答出现，形式相对单一，变化较少.重点考查的是学生对实数有关概念、运算法则的掌握情况.复习中应不断提高自己的代数运算能力，做到准、快、巧，练好数学运算的基本功.解决与实数有关的计算问题时，首先要回忆相关概念和相应的运算法则，正确使用概念和法则进行计算.在完成混合运算问题时.要特别关注运算结果的符号,提高计算的准确性.在解决与数轴有关的问题时,一般采用数形结合的思想方法.2.这部分内容是代数式的全部，突出对字母的运算技能,一般情况下,试题难度中等偏易,多数以填空和选择题以及以化简求值的形式呈现,用字母表示数的能力、代数运算能力渗透在数学的其他领域之中,因此它是提高数学学习质量的关键.进行整式运算时必须遵循相应的运算法则,正确处理运算符号,求代数式的值一般情况要对所给代数式进行化简,然后再代入字母的值进行计算,对于特殊结构的代数式,应结合具体问题选择合理的方法进行化简与计算,探索数字规律时,常采用（1）类比分数四则运算进行分式的四则运算.（2）分式运算时一般行将分式的分子、分母进行因式分解,以简化运算过程.（3）二次根式被开方数的取值范围及简单的二次根式化简运算.3．方程的思想与方法贯穿于初中数学内容的始终,它与实数运算、代数式的变形、函数等内容紧密相关.以方程为解决问题的工具的试题有一定的综合性.解方程的基本思想是转化，而转化的依据是等式的基本性质.要正确解一元一次方程，二元一次方程组的一般步骤，并能根据题目的特点灵法运用.一般地,解一元二次方程时,应该根据方程的特点灵活地选择不同的解法.另外,利用函数图象,结合数形结合,也是我们对方程的解进行估算的好方法.将分式方程转化为整式方程的方法一般有两种:其一是去分母,其二是换元.基本思想是”转化”一元一次不等(组)是研究两个常量之间不等关系的重要数学模型,在近年的中考试题中,关于一元一次不等式(组)的常见题型有:填空题、选择题、解答题以及综合题等题型,其中容易题占较大比例,以函数为载体、分析解决简单的实际问题这两类有一定难.把不等式(组)的解集在数轴上直观地表示出来,比在数轴上表示数又前进了一步,可以形象、直观地看到不等式(组)有无数多个解,并易于确定不等式(组)的解集,这体现了数形结合的思想方法.解不等式(组)的应用题时,将应用题里关于”已知量”、”未知量”之间的关系用明确的不等关系表示出来,并关注应用题中字母所表示的实际意义.应加强一元一次不等式、一元一次方程、一次函数等内容之间的联系,形成自己的知识结构,使数学思维综合化,提高分析、解决问题的能力.第一关规律探究例题1. 观察下列各式： 1²+1=1×2 2²+2=2×3 3²+3=3×4 …请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来．练习1.1.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．练习1.2. 观察下列等式： 9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 …这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示大于等于1的自然数，用关于n 的等式表示出来________________________．例题2. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图2图11694110631他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．15 B．25 C．55 D．1225练习2. 在同一平面内的n条直线两两相交，最多共有28个交点，则n=．例题3．按如图所示的程序计算：若开始输入的x值为﹣2，则最后输出的结果是（）A．352 B．160C．112D．198练习3.1．按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（）A．1种B．2种C．3种D．4种练习3.2．已知f（x）=1+1x ，其中f（a）表示当x=a时代数式的值，如f（1）=1+11，f（2=1+12，f（a）=1+1a，则f（1）•f（2）•f（3）…•f（50）=（）A．50B．51C．251D．512例题4.按一定规律排列的一列数依次为：45，12，411，27，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是．练习7．若分式22923x x x -+-的值为0，则（）A ．x =±3B ．x =3C ．x =-3D ．x 取任意值例题8. 当a 为何整数时，代数式421a a -+的值是整数，并求出这个整数值．练习8. 当整数x = 时，分式8921x x +-的值是整数.例题9. 已知：115x y +=，求2322x xy yx xy y-+++的值．练习9.1若2310a a -+=，则代数式221a a +的值为__________，441a a-的值为__________．练习9.2. 已知：234x y z==，求22223xy yz xz x y z +-++的值．练习9.3. 已知a 、b 、c 为实数，且111345ab bc ca a b b c c a ===+++，，，那么abcab bc ca++的值是多少？例题10. 先化简÷428m m -+·22m m -+，再选择一个你喜欢的数代入m 求值.2216168m m m -++练习2. 某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？例题3.在一块长22米、宽17米的矩形地面上，要修建宽度相同的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分种植花草，使花草的面积为300平方米．求道路的宽度．练习3. 在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）例题4.某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．例题5.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？⑴若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？⑵该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？⑶在⑵的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a（0＜a＜20）元出售，乙种服装价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？一、考点透视1. 能结合事例说明在一个变化过程中常量、变量的实际意义，感受两个变量之间相互依存的关系；能用文字，表格，图象和公式表示具体问题中的函数关系。

九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）

12直角三角形中的比例线… 13圆的对称性 14与圆有关的角
15直线与圆的位置关系一 16直线与圆的位置关系二 17与圆相关的比例线段
18圆与圆的位置关系 19平面几何的定值问题 20平面几何的最值问题
21分而治之 22数形结合 23顺思逆想
内容截图：
15直线与圆的位置关系一16直线与圆的位置关系二17与圆相关的比例线段
九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）
1、转化与化归一般
5、最优化 6、是偶然还是必然 7、三角函数 8、旋转变换
9、平行线分线段成比例 10、从全等到相似 11、相似三角形的性质

寒假培优班初三数学

初三数学1．如图，直角坐标系中，直线L与x 轴、y轴分别交于点A（4，0）和点B（0，3），点P沿直线L由B点向A点匀速运动，同时点Q沿x 轴由A点向坐标原点O匀速运动，两点运动的速度都是每秒1（单位长度），运动t秒，它们到达图中所示的位置，连结PQ。

（1）当t为多少时，∆PAQ为直角三角形？（2）当t为多少时，∆PAQ的面积最大？（3）求（2）中∆PAQ三个顶点P、A、Q确定的抛物线的函数表达式。

2．如图，直角坐标系中，以P（1，1）为圆心，5为半径的⊙P交x 轴于A、B两点，交y轴于C、D两点。

（1）直接写出A、B、C、D四点的坐标（演算在草稿进行）；（2）分别过A、C两点作⊙P的切线a和b，求a、b的函数表达式（写出切线a的表达式的求解过程，切线b的表达式直接写出即可，演算在草稿进行。

）（3）第（2）问中的a、b两条切线是否互相垂直？若垂直，请写出证明；若不垂直，请说明理由。

3．如图，直线AB 与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，2）；直线CD 与x 轴交于C （2，0），与y 轴交于D （0，4）。

（1）求直线AB 的函数表达式（要有过程）；写出直线CD 的函数表达式（过程在草稿纸做）。

（2）设AB 与CD 相交于点P ，连结AD ，求△PAD 的面积。

4．如图，二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点A （6，0）和点B （2，0），与y 轴交于点C （0，32）；⊙P 经过A 、B 、C 三点. （1）求二次函数的表达式；（2）求圆心P 的坐标；x（3）二次函数在第一象限内的图象上是否存在点Q ，使得以P 、Q 、A 、B 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由。

5．如图，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 经过BC 的中点D ，过D 作DE ⊥AC 于E 。

（1）求证：AB=AC （2分）（2）求证：DE 是⊙O 的切线（3分）（3）若⊙O 的半径为3，切线长DE=22，求cos ∠C 的值。

2019年初三数学寒假讲义

初三数学寒假讲义目录第一讲中考一轮复习之数与式 (2)第二讲中考一轮复习之不等式与方程 (8)第三讲中考一轮复习之分式方程与二次方程 (16)第四讲中考第一轮复习之一次函数与反比例题函数 (26)第五讲中考一轮复习之解三角形 (35)第六讲中考一轮复习之多边形与四边形 (46)第七讲中考一轮复习之二次函数 (59)第八讲中考一轮复习之圆 (68)第九讲中考一轮复习之相似三角形 (80)第一讲中考一轮复习之数与式板块一实数的计算1．相关概念：（1）有理数与无理数统称为实数，实数与数轴上的点之间有着一一对应关系。

、2π-、…………，等都是无理数。

（2）相反数：若a 与b 是互为相反数，则，反之亦然。

（3）绝对值：（a ＞0） a ＝（a ＝0）（a ＜0）（4）当a ≠0时，a 的倒数为，若ab 互为倒数，则（5）科学记数法：科学记数法的一般形式是10(110)≤n a a ⨯< （6）平方根：若2x a =，则x ＝，x 叫做a 的平方根。

立方根：若3x a =，则x a 的立方根。

（7）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥⎩⎨⎧）（二次根式时，分式有意义，当分式多项式单项式整式代数式0a a 0____B B A（8）a a =2，a a =2)(，a a =33，a a =33)(b a b a ⋅=⋅，ba ba =，a a a =1，b a ba ba --=+1 （9）⎩⎨⎧<-≥=0,0,a a a a a ，⎩⎨⎧<-≥-=-ba ab ba b a b a ,,（10）)0(10≠=a a （11）)0(1≠=-a a a pp（11）特殊角的三角函数值：30°：sin 30°= ， cos 30°= ，tan 30°= ,45°：sin 45°= ， cos 45°= ，tan 45°= ，例题1：8的立方根为（）A.2B.±2C.4D.±4变式练习1：1.如图，数轴上点P 所表示的实数可能是（） AB.2.如图，数轴上A B 、两点分别对应实数a b 、，则下列结论正确的是（） A ．0a b +> B ．0a b -> C ．0ab >； D ．||||0a b ->．例题2：一生物老师在显微镜下发现，某种植物的细胞直径约为0.000000195米，将该数据用科学计数法表示为_______________米。

初三数学寒假培优提高班讲义圆

初三数学寒假培优提高班讲义〔1〕————圆〔1〕1、如图，⊙O的半径是10cm，弦AB的长是12cm，OC是⊙O 的半径且OC AB，垂足为D，CD=__________cm.2、Rt△ABC，∠A=90°，AB=6，AC=8，以A为圆心，AB为半径的圆交BC于D ，求弦BD的长。

36cm,8cm,那么4=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是5、半径分别是17cm与10cm，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB的长是16cm，求圆心距0102的长.6、〔2005年上海中考〕：如图6，圆O是△ABC的外接圆，圆心O 在这个三角形的高CD上，E、F分别是边AC与BC的中点，求证：四边形CEDF是菱形.7、〔2006年上海中考〕本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰与小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．8、〔2021年上海中考〕“创意设计〞公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中局部图形与数据看不清楚〔如图7所示〕．图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径第1 页第 2 页 OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．〔1〕请你帮助小王在图8中把图形补画完整；〔2〕由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息〔图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度〕，求r 的值．9、〔2004年上海中考〕在△ ABC 中, ∠ BAC=90°,AB=AC=2 2 ,圆A 的半径为1,如图5所示,假设点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x,△AOC 的面积为y,〔1〕求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;〔2〕以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当圆O 与圆A 相切时,△AOC 的面积.压轴题练习1、〔2021年上海中考〕24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥〔如图13〕．E 是射线BC 上的动点〔点E 与点B 不重合〕，M 是线段DE 的中点．〔1〕设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；〔2〕如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；〔3〕联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．2.：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 图7OC ADE H 图B A D ME C 图B A D C备用第 3 页与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ．〔1〕求证：△BDM ∽△CEN ；〔2〕当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,设BD =x ，△ABC与△DEF 重叠局部的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．〔3〕是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由．A B F D E MN C。

九年级数学寒假上课讲义

n=-8,mn=-4823.如图①,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第一象限内作正方形OABC,点D 是x轴正半轴上一动点(OD>1)，连接BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N.如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形。

(1)试找出图1中的一个损矩形；(2)试说明(1)中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；(3)随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化?若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；(4)在图②中，过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标。

二次函数13.14.第13题图1.2.3.4.5. 6.7.8.综合运用1、如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．4、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．5.如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．圆1、如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是．2.如图，AB 为⊙O 的一条弦，OD AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，问：（1）若OC =1，OA =2，求AB 的长；（2）若∠AOD =50°，求∠DEB 的度数.3.如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点A 和点B ，点A 的坐标为（0，3），D 为⊙C 在第一象限内的一点且∠ODB =60°．求：（1）求线段AB 的长及⊙C 的半径；（2）求B 点坐标及圆心C 的坐标．4.已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC 于点D．若∠CPD=20°，则∠CAP 等于（）A．30°B．20°C．45°D．25°13.14.4.⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数．5.如图，已知A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上五点，⊙O 的直径BE=23，∠BCD=120°，A 为BE 的中点，延长BA 到点P ，使BA=AP ，连接PE ．（1）求线段BD 的长；（2）求证：直线PE 是⊙O 的切线．6、如图,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,12cm AC =，16cm BD =,动点N 从点D 出发,沿线段DB 以2cm/s 的速度向点B 运动,同时动点M 从点B 出发,沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动,当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止,设运动时间为(s)t (0)t >,以点M 为圆心,MB 长为半径的M 与射线BA ,线段BD 分别交于点E ,F ,连接EN .(1)求BF 的长(用含有t 的代数式表示),并直接写出t 的取值范围；(2)当t 为何值时,线段EN 与M 相切?(3)若M 与线段EN 只有一个公共点,求t 的取值范围C DO F M N A B E反比例函数10.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；（3）求△AOB的面积．13.11、一次函数y=kx+b 的图象经过点A(-2,12)，B(8,-3)．（1）求该一次函数的解析式；（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C(x 1，y 1)，D(x 2,y 2)，与轴交于点E ，且CD=CE ，求m 的值．)0(>=m x m y 12.如图，反比例函数y=xk （k ≠0，x ＞0）的图象与直线y=3x 相交于点C ，过直线上点A （1，3）作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB=3BD ．（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d=MC+MD 最小，求点M 的坐标．14.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x （h ）之间的函数关系，其中线段AB 、BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y 与时间x （0≤x ≤24）的函数关系式；（2）求恒温系统设定的恒定温度；（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？相似三角形1、给你一个锐角△ABC 和一条直线MN ；你能用直线MN 去截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似吗？2、如图，MN ∥BC ，DH ∥AC3、如图，若G 为BC 中点,EG 交AB 于点F,且EF:FG=2:3,求AF ：BF 的值。

2021-2022学年人教版九年级寒假培优辅导(教案)第1讲一元二次方程的概念和解法

三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容一：一元二次方程的定义及其标准形式。讲解时要强调a、b、c的取值范围，尤其是a≠0这一条件。
-举例：方程3x²-4x+1=0是一元二次方程，而方程2x+3=0不是。
-核心内容二：一元二次方程的四种基本解法。需详细讲解并举例每一种方法的应用。
-举例：直接开平方法适用于解形如x²=p（p≥0）的一元二次方程；配方法适用于解形如ax²+bx+c=0的一元二次方程；公式法适用于所有一元二次方程；因式分解法适用于可分解的一元二次方程。
-难点四：对解的性质的理解。学生对一元二次方程解的性质（如根与系数的关系）可能理解不够。
-采取措施：通过具体例题，讲解一元二次方程的解与系数之间的关系，如韦达定理，让学生通过计算验证，加深理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的概念和解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数之间关系的难题？”（如面积和边长的关系）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程的奥秘。
解法的教学上，我尝试了不同的教学方法，比如通过动画演示配方法的过程，让学生们更直Байду номын сангаас地理解这一方法。但从学生的反馈来看，配方法仍然是他们觉得比较难以掌握的部分。我考虑在下一节课中，增加一些配方法的变式练习，让学生们有更多的机会去实践和巩固。
实践活动和小组讨论的环节，我发现学生们参与度很高，能够积极思考并提出自己的观点。但在讨论的过程中，我也注意到有些学生还是比较依赖同伴，自己的独立思考能力有待提高。因此，我打算在接下来的课程中，更多地设置一些个人思考的任务，鼓励学生们独立解决问题。

初三数学寒假培优提高班讲义——圆(2)

初三数学寒假培优提高班讲义（2）圆（2）一、选择题1．下列命题中，假命题是（）（A ）如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，那么这个点在圆外；（B ）如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它的半径，那么这条直线与这个圆有两个交点；（C ）边数相同的正多边形都是相似图形；（D ）正多边形即是轴对称图形，又是中心对称图形．2．如果两圆的直径分别为6和14，圆心距为4，那么这两圆的位置关系是（） (A) 内含； (B) 内切； (C) 相交； (D)外切．3．如果⊙1O 的半径是5，⊙2O 的半径是8，12O O ﹦4，那么⊙1O 与⊙2O 的位置关系是（）（A ）内含；（B ）内切；（C ）相交；（D ）外离．4．在直角坐标平面内，点A 的坐标为（1,0），点B 的坐标为（a ，0），圆A 的半径为2. 下列说法中不正确．．．的是 ( ) （A ）当a = -1时，点B 在圆A 上；（B ）当a <1时，点B 在圆A 内；（C ）当a <-1时，点B 在圆A 外；（D ）当-1<a <3时，点B 在圆A 内．5．如果⊙1O 的半径是5，⊙2O 的半径为 8，124O O =，那么⊙1O 与⊙2O 的位置关系是（） A ．内含； B ．内切； C ．相交； D ．外离．（青浦区）答案C6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是( )（A ）正六边形；（B ）正五边形；（C ）等腰梯形；（D ）等边三角形．二、填空题1．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弦长为．2．已知⊙1O 与⊙2O 相切，⊙1O 的半径比⊙2O 的半径的2倍还大1，又127O O =，那么⊙2O 的半径长为．3．已知两圆的半径R 、r 分别为方程2560x x -+=的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是．4．已知两圆的圆心距为4，其中一个圆的半径长为3，那么当两圆内切时，另一圆的半径为． 5．已知⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B 两点，如果⊙1O 、⊙2O 的半径分别为10cm 和17cm ，公共弦AB 的长为16cm ，那么这两个圆的圆心距12O O 的长为厘米． 6．在直角坐标系中，⊙P 的圆心是P （a ，2）（a >0），半径为2；直线y=x 被⊙P 截得的弦长为23，则a 的值是 .7．如图4，边长为1的菱形ABCD 的两个顶点B 、C 恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于（结果保留π）．FCDEA8．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB ＝10，CD ＝8，那么线段OE 的长是______。

初三数学寒假高分班讲义

第一课时内容1 实数一、选择题1．2)6(-的平方根是（） A －6 B 36 C ±6 D ±62．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②a a =33；③64的立方根是2；④4)8(32±=±，其中正确的个数有（）A 1个B 2个C 3个D 4个3．下列说法正确的是（） A 有理数只是有限小数 B 无理数是无限小数 C 无限小数是无理数 D3π是分数 4．下列运算中，错误的有（） ①1251144251=，②4)4(2±=-，③22222-=-=-，④2095141251161=+=+ A 1个 B 2个 C 3个 D 4个5．在Rt △ABC 中，∠C = 90°,c 为斜边，a 、b 为直角边，则化简b a c c b a ---+-2)(2的结果为（）A. c b a -+3B. c b a 33+--C. c b a 33-+D. a 26．当41<<x 时，化简221x x +-－1682+-x x 结果是（） A 3- B. 3C. 2x －5D. 57．如图：点A ，B ，C ，D 表示数2-，1，2，3，则表示74-的点P 应在线段（） A AB 上 B BC 上 C CD 上 D O Ｂ上8．化简：)0,0(3><-b a b a 等于（） A ab a - B ab a - C ab a -- D ab a 一、填空题：1.“五一”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售.小华购买一件标价为280元的运动服，打折后他比按标价购买节省元.2. 某校认真落实长沙市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学有_________名.3.一组有规律排列的式子：―ab 2，25a b ,―38a b ,411a b …，（ab≠0），其中第7个式子是 , 第n 个式子是．（n 为正整数）4. 6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少．．应付给超市元．5.将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 .6.如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的， ②中多边形是由正方形“扩展” 而来的，，依此类推，则由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为．7.探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（）内容2 实数的运算一、选择题1..小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（） A ．15号 B ．16号 C ．17号 D ．18号第7题图① ② ③ ④ 第6题图2.若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2， 3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!的值为（） A.5049B. 99!C. 9900D. 2！二、填空题：3.已知点()P x y ，位于第二象限，并且4y x +≤，x y ，为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标：4. 2008(1)-+_______420=-．5.若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．三、计算：(1)0(1)π-⋅sin 60°+321(2)()4-⋅(2)0113(()3---(3)9212)1(13+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--(4)1301()(2)39-+-+--(5)101453(2007π)2-⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭(6)122(4)3-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(7)112)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°1112sin 452o -⎛⎫-++ ⎪⎝⎭内容3 每天一道压轴题如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题第二课时内容1 整式与分解因式一、选择题1．若的值为则2y -x 2,54,32==y xA.53 B. -2 C. 553 D. 56 2.一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么（） A ．a=1，b=5 B ．a=5，b=1 C ．a=11，b=5 D ．a=5，b=11 3. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A ．2222)(b ab a b a ++=+B ．2222)(b ab ab a +-=-C ．))((22b a b a b a -+=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+二.填空题.4．分解因式：328m m -= ．33416m n mn -＝3214x x x +-= ____．33222ax y axy ax y +-= _______． =++22363b ab a ． 2232ab a b a -+= ___．5．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为（用含n 的代数式表示）．三.解答题： 6.先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．第一个图案第二个图案第三个图案 …第5题图 a图甲第3题14.已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值内容2 分式一、选择题1．要使22969m m m --+的值为0，则m 的值为（）A ．m=3B ．m=-3C ．m=±3D ．不存在 2．若解方程333-=-x mx x 出现增根，则m 的值为（） A ． 0 B ．-1 C ．3 D ．1 3．如果04422=+-y xy x ，那么yx y x +-的值等于（）A ．31- B ． y31- C ． 31 D ．y31 二、填空题.4．当x = 时，分式6422---x x x 的值为0．5．已知432z y x ==，求分式yx z y x 32534++-= 6．若分式方程12552=-+-x ax x 的解为x =0，则a 的值为． 7．已知分式方程k x k=++131无解，则k 的值是．三、解答题 8．化简：（1）211()(1)11x x x ---+ （2）24142x x +-+9．当a=2时，求1121422-÷+--a a a a 的值．10．先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程2310x x ++=的根．11、解分式方程. （1）01221=---x x （2） 123514-+=--+x x x x （3）163104245--+=--x x x x （4）4)25.01(11=++x x四、当m 为何值时，分式方程xxx m --=+-2142无解？内容3 每天一道压轴题如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．第三课时内容1 一元一次方程及二元一次方程（组）一、选择题 1．几个同学在日历竖列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（）A. 28B. 33C. 45D. 572．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x的解，则k 的值为（）A.43-B.43C.34D.34- 3．已知与是同类项，则与的值分别是 ( ) A.4、1 B.1、4 C.0、8 D.8、0 二、填空题4．在方程组中，m 与n 互为相反数，则5．如果那么 6．一个三位数的数字和为11，十位数字是x ，个位数字是十位数字的3倍，百位数字比十位数字的2倍少1，则这个三位数是______________ ．三、解方程（组）7．35122--=+x x 8．9． 10．四．解答题10．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲．乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？⎩⎨⎧=+=+032ny x my x .__________=x ()()x x x x --=--320379,53=-y x .________38=+-y x ⎩⎨⎧=+-=8372y x x y ⎩⎨⎧=-=-74143y x y x m n m y x 344-yx n 5m n11、“端午”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为13 ；妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，第二次妈妈又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为12 ．（1）请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若妈妈从盒中取出火腿粽子4只、豆沙粽子6只送爷爷和奶奶后，再让小亮从盒中不放回地任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用字母和数字表示豆沙粽子和火腿粽子）内容2 一元二次方程一、填空题1．若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．2．某种品牌的手机经过四．五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是． 3．两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是．4．若方程022=+-cx x 有两个相等的实数根，则c = ．5．已知：m 是方程0322=--x x 的一个根，则代数式=-22m m ．三、解方程：6．（1）（2）（3）2410x x +-=0132=--x x )1(332+=+x x7．试说明：不论m 为何值，关于x 的方程2)2)(3(m x x =--总有两个不相等的实数根．8．若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．9、已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．10、某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件．（1）求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？（2）若该商店每销售1件A 种纪念品可获利5元，每销售1件B 种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A 、B 两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？内容3 每天一道压轴题已知：二次函数22y ax bx =+-的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中0a b >>且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，求| x 1－x 2 |的范围．第四课时内容1 方程的应用一、选择题：1．中国人民银行宣布，从2013年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007年6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息锐）．设到期后银行应向储户支付现金x 元，则所列方程正确的是（） A ．50005000 3.06%x -=⨯B ．500020%5000(1 3.06%)x +⨯=⨯+C ．5000 3.06%20%5000(1 3.06%)x +⨯⨯=⨯+D ．5000 3.06%20%5000 3.06%x +⨯⨯=⨯2.有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg •和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，•若设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，根据题意，可得方程（）900015000900015000..30003000900015000900015000..30003000A B x x x x C D x x x x==+-==+-3. 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x ，则依题意列方程为（）A ．25（1+x ）2=82.75B ．25+50x=82.75C ．25+75x=82.75D ．25[1+（1+x ）+（1+x ）]=82.75 三、解答题 4. 某供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段14小时，为8：00~22：00，谷段为22：00~次日8：00，10小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0．03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时，谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元．(1)问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元?(2)如不使用分时电价结算， 5月份小明家将多支付电费多少元?5. “爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，•该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，•总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍和1.5倍，恰好按时完成了这项任务．（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？（2）现要将这批帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A ，B 两地，•由于两市通往A ，B 两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同，已知运送帐篷每千顶所需的车辆数，两地所急需的帐篷数如下表所示：请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少，说明理由，并求出最少车辆总数．6．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．(1)求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；(2)从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？内容2 一元一次不等式（组）一、选择题1. 已知两圆的半径分别是5和6，圆心距x 满足522841314x x x x +⎧+⎪⎨⎪-+⎩，则两圆的位置关系是（） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离2.直线y ＝k 1x ＋b 与直线y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（）A.x ＞1B.x ＜1C.x ＞－2D.x ＜－2k 1x ＋b二、填空题：3. 若关于x的不等式组3(2)224x xa xx--<⎧⎪⎨+>⎪⎩，有解，则实数a的取值范围是．4.如果不等式组2223xax b⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x<≤，那么a b+的值为．三、解答题：5. 中国移动某公司组织一场篮球对抗赛．为组织该活动此公司已经在此前花费了费用120万元．对抗赛的门票价格分别为80元、200元和400元．已知2000张80元的门票和1800张200元的门票已经全部卖出．那么，如果要不亏本，400元的门票最低要卖出多少张？6.把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果不足3个. 问有几个孩子?有多少苹果?7、小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表．为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案?请说明理由．8.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，右表是试验的相关数据；请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？内容3 每天一道压轴题使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。