集合论习题答案

P3 习题1.1

1.1.1 解：⑴ {2,3,5,7,11,13,17,19}；⑵ {e,v,n,i,g}；⑶ {－3,2}；

⑷ {－1}；⑸ {2,

27

1i

+

-

,

27

1i

-

-

}；⑹Φ

⑺共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式：

{①x+1，②x1，③x2+x+1，④x2x+1，①②x21，①③x3+2x2+2x+1，①④x3+1，

②③x3－1，②④x3－2x2+2x－1，③④x4+x2+1，①②③x4+x3x+1，

①②④x4－x3+x－1，①③④x5+x4+x3+x2+x+1，②③④x5x4+x3x2+x1)}

1.1.2 解⑴ {x | x I

+

, x<80}；⑵ {x | x I且n I使x=2n+1}；⑶ {x | x I且n I使x=5n}；

⑷ {(x,y)| x,y R , x2+y2<1}；⑸ {(,)| ,R, >1}；⑹ {ax+b=0| a,b R且a0}。

P5 习题1.2

1.2.1 答：为真的有：⑵、⑷、⑻、⑽，其余为假。

1.2.2 答：为真的有：⑴、⑷，其余为假。

1.2.3 解：A=，B={0}，C={…,4,2,0,2,4…}，D={2,4}，E={…,4,2,0,2,4…}，

F={2,4}，

G=，H={…,4,2,0,2,4…}。∴ C=E=H，D=F，A=G。

1.2.4 答：四个全为真。

证明：⑴例 A={a} , B={a,A}

⑵例 B={A} , C={A , B}

⑶例 A={}

⑷例 A={a} , B={a,A} , ∴ 2B={ , {a} , {A} , B} ※

1.2.5 解⑴幂集 {} ；幂集的幂集 {,{}}

⑵幂集 {,{},{a},{,a}}；

幂集的幂集零元素子集 {,

单元素子集 {} , {{}} , {{a}} , {{,a}},

双元素子集 {,{}} , {,{a}} , {,{,a}} , {{},{a}} , {{},{,a}} , {{a},{,a}} ,

三元素子集 {,{},{a}} , {,{},{,a}} , {,{a},{,a}} ,

{{},{a},{,a}}}，

四元素子集 {,{},{a},{,a}} 。

1.2.6 证：设 a=c且b=d，∴ {a}={c}且{a,b}={b,d} ∴ {{a},{a,b}}={{c},{c,d}} 。

设 {{a},{a,b}}={{c},{c,d}}，∴ {a}在{{c},{c,d}}中，∴ {a}={c}或{a}={c,d}∵ {a}是单元素集，而{c,d}是双元素集，∴只能 {a}={c}，∴ a=c

同理 {a,b}={c,d}，又∵ a=c ，∴ b=d ※

P11 习题1.3

1.3.1 解 ⑴ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,16,32,60,64,30,90,120,150,…}； ⑵

； ⑶ {3,4,5,6}； ⑷ {0,1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}。

1.3.2 解：A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}，B={1,2,3,4,5,6,7,8} C={2,4,6,8,…}，D={3,6,9,12,…}，E={1,3,5,7,…} ⑴ B ∩C ；⑵ A ∩D ；⑶ (A ∩C)B ；⑷ C

B ；⑸ (A ∩C)∪(E

B)。

1.3.3 ⑴ 证：例 A={1,2}，B={1}，C={2}。 A ∪B=A ∪C=A ，但B ≠C 。

⑵ 答：能。

证1：∵ A ∪B=A ∪C ，∴ (A ∪B)∩B=(A ∪C)∩B ，∴ B=(A ∪C)∩B ， ∴ B=(A ∩B)∪(B ∩C)=(A ∩C)∪(B ∩C)=(A ∪B)∩C=(A ∪C)∩C=C 。 证2：

x B ① 若 x A ，则x A ∩B ，∵A ∩B=A ∩C ，∴ x A ∩C ，∴ x

C ；

② 若 x A ，而x

A ∪

B ，又∵A ∪B=A ∪

C ，∴ x

A ∪C ，又∵ x A ，∴ x C

∴ B

C ，同理可证得C B ，∴ B=C 。 ※

1.3.4 证：例 U={1,2} , A={1} , B={2} , A B={1} , 而B

A={2}，∴ A

B ≠B

A ，

∴ 差运算不满足交换律。 ※

1.3.5 证：用互为子集法证明。仅证明 ⑴。

x

C

S S ∈，∴ x C S S ∈∉ ，∴

S C ，∴ x S ，即 S C ，x S ，

∴ x C

S S ∈，∴ C

S S

∈ C

S S ∈ ；

x

C

S S ∈，∴

S C ，x S ，∴ S C ，∴ x

S ，∴ x C

S S ∈∉，

∴ x

C

S S ∈，∴ C

S S ∈ C

S S ∈ ；

∴ C

S S ∈ = C

S S ∈ ※

1.3.6 证：用互为子集法证明。仅证明 ⑴。

x B ∩( C

S S ∈)，∴ x B 且 x C

S S ∈，∴ x

B 且 S

C ，x S ，∴ x B ∩S ，

∴ x C

S S)(B ∈，∴ B ∩( C

S S ∈) C

S S)(B ∈ ；

x

C

S S)(B ∈，∴

S C ，x B ∩S ，∴ x B 且 x S ，∴ x B 且 x

C

S S ∈，

∴ x

B ∩( C

S S ∈)，∴ C

S S)

(B ∈B ∩( C

S S ∈) ；

∴ B ∩( C

S S ∈) = C

S S)(B ∈ ※

1.3.7 解 ⑴ (a) (A ∩B)∪(C B A )； (b) A ∩B ∩C ； (c) (A ∩C)

B 。