集合论习题答案
离散数学及其应用集合论部分课后习题答案
34、设A,B为集合，证明：如果 ，则 。
证明：（反证法）
设 ，则 ，
所以 ；
所以
但是 。
与 矛盾。
37、设A,B,C为任意集合，证明： 。
证明：
对任意 ，由于 ，所以 且 所以
因此， 。
P121:习题七
5、设A,B为任意集合，证明
若 ，则 。
证明：
所以有
9、设 ，列出下列关系R
（2）
（3）
解答：
（2）不是，由于 集合较小，
①自反性：
②对称性，
但是传递性不满足， ，但是 。
（3）不是，满足对称性、传递性，但是不满足自反性
取 ，但是 不为奇数，所以 。
（5）满足
①自反性：
②对称性：
③传递性：
下面证明
若 ，则 ，所以
若 ，则 ，所以
所以 ，同理可证，
所以
所以 。因此满足传递性。
27、设 A上的等价关系
（2）不存在反函数，因为不是双射函数；
（3）
22、对于以下集合A和B，构造从A到B的双射函数。
（1）
（2）
（3）
（4）
解答：
（1）
（2）
（3）
（4）
作业答案：集合论部分
P90:习题六
5、确定下列命题是否为真。
（2）
（4）
（6）
解答：（2）假（4）真（6）真
8、求下列集合的幂集。
（5）
（6）
解答：
（5）集合的元素彼此互不相同，所以 ，所以该题的结论应该为
（6）
9、设 ， ， , ,求下列集合。
（1）
（2）
解答：
（1）
集合练习题加答案
集合练习题加答案集合是数学中的基本概念之一，它提供了一种描述对象集合的方式。
在集合论中，集合是由一些明确的或不明确的确定的对象构成的整体。
这些对象被称为集合的元素。
集合论是现代数学的基础之一，它在各个数学领域都有广泛的应用。
以下是一些集合练习题，以及相应的答案，供学习者练习和检验自己的理解。
练习题1：确定以下集合的元素。
- A = {x | x 是一个偶数}- B = {y | y > 5}- C = {z | z 是一个质数}答案1：- A的元素是所有偶数，例如2, 4, 6, 8等。
- B的元素是所有大于5的实数。
- C的元素是所有质数，如2, 3, 5, 7, 11等。
练习题2：判断以下集合是否相等。
- X = {1, 2, 3}- Y = {1, 3, 2}答案2：- X和Y是相等的，因为集合的元素是无序的，只考虑元素的种类和数量。
练习题3：计算以下集合的并集。
- A = {1, 2, 3}- B = {3, 4, 5}- C = {2, 5, 6}答案3：- A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}练习题4：计算以下集合的交集。
- D = {1, 2, 3, 4}- E = {3, 4, 5}答案4：- D ∩ E = {3, 4}练习题5：计算集合D的补集，假设全集U包含所有自然数。
- D = {1, 2, 3, 4}答案5：- D' = U - D = {所有自然数除了1, 2, 3, 4}练习题6：如果A = {x | x 是一个偶数}，B = {x | x 是一个奇数}，计算A和B的差集。
答案6：- A - B = {x | x 是一个偶数但不是奇数}，即A本身，因为奇数和偶数是互补的。
练习题7：给定集合F = {x | x 是一个整数，且 -3 ≤ x ≤ 3}，计算F的幂集。
答案7：- F的幂集包含F的所有子集，共有2^7个子集，因为F有7个元素（-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3）。
集合考试题及答案
集合考试题及答案集合是数学中的一个基本概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
以下是一些集合考试题及其答案，供参考：题目一：定义集合A={x | x是自然数，且1≤x≤10}，集合B={y |y是偶数}。
求A∩B。
答案：集合A包含自然数1到10，即A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}。
集合B包含所有的偶数。
A与B的交集是同时属于A和B的元素，即A∩B={2, 4, 6, 8, 10}。
题目二：集合C={x | x是整数，且-5≤x≤5}，集合D={y | y是正整数}。
求C∪D。
答案：集合C包含从-5到5的所有整数，即C={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}。
集合D包含所有的正整数，即D={1, 2, 3, ...}。
C与D的并集是包含C和D所有元素的集合，但去除重复元素。
因此，C∪D包含了从-5到无穷大的所有整数，由于题目限制，我们只列出到5，即C∪D={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}。
题目三：集合E={x | x是奇数}，集合F={y | y是3的倍数}。
求E∩F。
答案：集合E包含所有的奇数，集合F包含所有3的倍数。
E与F的交集是同时满足奇数和3的倍数的元素。
这些元素是3的奇数倍，即E∩F={3, 9, 15, ...}，但题目中没有指定范围，我们只列出前三个元素。
题目四：集合G={x | x²=1}，求G。
答案：集合G包含满足x²=1的所有x值。
解这个方程，我们得到x=1或x=-1。
因此，G={1, -1}。
题目五：集合H={x | x²-4=0}，求H。
答案：集合H包含满足x²-4=0的所有x值。
解这个方程，我们得到x²=4，所以x=2或x=-2。
因此，H={2, -2}。
总结：集合论是数学的基础之一，它涉及到元素与集合之间的关系，包括交集、并集、补集等概念。
(集合论)离散数学习题参考答案3
第二部分 集合论第八次：（函数）P161 3,4,6,11,19,24,253 (1) 双射，反函数,({}){},({}){};118844f f f f −−===2(2) 双射，反函数:,()log ,({}){},({,}){,};111121201f R R f x x f f −+−−→===(3) 单射，({}){,},({,}){};155623f f −=<><>=(4) 单射，({,}){,},({,}){,};123571301f f −==(5) 满射，({,}){,},({}){,};11212111f f −−==−(6) 单射，((,))(,([,])[,];11311101044422f f −== (7) 单射，({,}){,},({}){};112101232f f −==1 (8) 单射，((,))(,),({,}){,};1110112323f f −=+∞= 4（1）是单射，但不是满射；（2）不是单射，也不是满射；（3）不是单射，也不是满射；（4）是满射但不是单射；（5）是单射但不是满射；（6）不是单射，也不是满射；6. (1) f: A->B ,不是单射，也不是满射；(2) 不是从A 到B 的函数，因为dom f ≠N;（3）f: A->B, 不是单射，因为f(<0,1>)=f(<0,2>)=0. 是满射；(4) f: A->B, 不是单射，也不是满射；(5) f: A->B, 是单射，不是满射；(6) f: A->B, 是单射、满射、双射；（7）f: A->B, 不是单射，也不是满射；(8) 不是从A 到B 的函数，因为dom f ≠R;(9) 不是从A 到B 的函数，因为ran f 不⊆N;11. (1) 是函数，单满射都不是 (2) 不是函数 (3) 不是函数 (4) 是函数，单射 (5) 不是函数19. (1) ,()(())()224281g f x f g x x x x ==+−=++D 4+()(())22242f g x g f x x x ==−+=D(2) 都不是单射，也不是满射和双射。
高中集合试题及答案解析
高中集合试题及答案解析一、选择题1. 集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，求A∩B的值。
A. {1, 2}B. {3}C. {4, 5}D. 空集答案：B解析：根据集合交集的定义，A∩B是指既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合。
在本题中，只有3同时属于集合A和集合B，因此A∩B={3}。
2. 如果集合A={x|x<5}，集合B={x|x>3}，求A∪B的值。
A. {x|x<3}B. {x|x<5}C. {x|x>=3}D. {x|x>=5}答案：C解析：集合并集的定义是将两个集合中所有的元素合并在一起，不重复计算。
在本题中，集合A包含所有小于5的数，集合B包含所有大于3的数。
因此，A∪B包含所有大于等于3的数，即{x|x>=3}。
二、填空题3. 若集合M={x|x²-5x+6=0}，请写出集合M的所有元素。
答案：{2, 3}解析：首先解方程x²-5x+6=0，通过因式分解得到(x-2)(x-3)=0，因此x=2或x=3。
所以集合M的元素为2和3。
4. 已知集合N={x|-2≤x≤2}，求集合N的补集。
答案：{x|x<-2或x>2}解析：集合N的补集是指所有不属于N的元素组成的集合。
根据N的定义，它的补集是所有小于-2或大于2的实数。
三、解答题5. 集合P={x|0<x<10}，集合Q={x|x是偶数}，求P∩Q，并说明其性质。
答案：P∩Q={2, 4, 6, 8}解析：集合P包含所有0到10之间的实数，而集合Q包含所有偶数。
因此，P∩Q包含所有既是0到10之间又是偶数的实数，即{2, 4, 6, 8}。
这个集合是有限集，且每个元素都是正偶数。
6. 已知集合R={x|x²-4=0}，求R的子集个数。
答案：4解析：集合R的元素可以通过解方程x²-4=0得到，即x=±2。
集合练习题及解析答案
集合练习题及解析答案精品文档集合练习题及解析答案1.若集合M,{a，b，c}中元素是?ABC的三边长，则?ABC一定不是A(锐角三角形 B(直角三角形C(钝角三角形 D(等腰三角形2(定义集合运算:A*B,{ z|z,xy，x?A，y?B}.设A,{1，2}，B,{0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为A(0 B( C( D(63(已知集合A,{2,3,4}，B,{2,4,6,8}，C,{| x?A，y?B，且logxy?N，}，则C 中元素的个数是A(9B(8C( D(44(满足{,1,0} M?{,1,0,1,2,3}的集合M的个数是A(4个 B(个 C(7个D(8个5(已知集合A,{,1,1}，B{x|ax，1,0}，若B?A，则实数a的所有可能取值的集合为A({,1} B({1} C({,1,1}D({,1,0,1}6.已知全集U,{1,2,3,4,5,6}，集合A,{1,2,5}，?UB,{4,5,6}，则集合A?B,A({1,2} B({5} C({1,2,3} D({3,4,6}7(设全集U,{1,3,5,6,8}，A,{1,6}，B,{5,6,8}，则?B,1 / 21精品文档A({6}B({5,8}C({6,8} D({3,5,6,8}2,x8(若A,{x?Z|2?1}，则A?的元素个数为A(0 B(1 C(2D(319(设U,R, M,{x|x2,x?0}，函数f的定义域为N，则M? x,1A([0,1)B( C([0,1] D({1}10(设U,R，集合A,{y|y,x,1，x?1}，B,{x?Z|x2,4?0}，则下列结论正确的是A(A?B,{,2，,1} B(?B,C(A?B,[0，，?)D(?B,{,2，,1}11(非空集合G关于运算?满足:?对于任意a、b?G，都有a?b?G;?存在e?G，使得对一切a?G，都有a?e,e?a,a，则称G关于运算?为融洽集，现有下列集合运算: G,{非负整数}，?为整数的加法;G,{偶数}，?为整数的乘法;G,{平面向量}，?为平面向量的加法;G,{二次三项式}，?为多项式的加法;其中G关于运算?的融洽集有________(12(设集合A,{1,2，a}，B,{1，a2,a}，若A?B，则实数a的值为________( 13(设集合A,{,1,1,3}，B,{a，2，a2，4}，A?B2 / 21精品文档,{3}，则实数a,________.214(已知集合A,{ x|x,5x，6,0}，B,{ x|mx，1,0}，且A?B,A，求实数m的值组成的集合(x,a15(记关于x的不等式若a,3，求P;若Q?P，求正数a的取值范围(116(已知由实数组成的集合A满足:若x?AA. 1,x设A中含有3个元素，且2?A，求A;A能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由(1(解析:根据集合中元素的互异性知a?b?c，故选D.2(解析:依题意得A*B,{ z|z,xy，x?A，y?B},{0，2，4}，因此集合A*B 的所有元素之和为6，故选D.3(解析:C,{| x?A，y?B，且logxy?N，},{，，，}，故选D.4(解析:依题意知集合M除含有元素,1,0之外，必须还含有1,2,3中的一个，或多个(因3而问题转化为求含有3个元素的集合所含的非空子集的个数问题，故有2,1,7个(故选C.5(D(A3 / 21精品文档7(解析:由于U,{1,3,5,6,8}，A,{1,6} ??UA,{3,5,8}，??B,{5,8}(答案:B12,x8(解析:A,{x?Z|2?1},{x|x>2或0 ? A?,{0,1}，其中的元素个数为2，选C.9(C10.D11.12(解析:?A?B，?a2,a,2或a2,a,a.若a2,a,2，得a,2或a,,1，根据集合A中元素的互异性，知:a?2，?a,,1.若a2,a,a，得a,0或a,2，经检验知，只有a,0符合要求(综上所述，a,,1或a,0.答案:,1或013(解析:?3?B，?a，2,3，?a,1.答案:1214(解析:?A,{ x|x,5x，6,0},{2，3}，A?B,A，?B?A.?m,0时，B,?，B?A;1?m?0时，由mx，1,0，得x. m4 / 21精品文档111?B?A，?,A，?,2,3， mmm11?11?得m,,或,.所以符合题意的m的集合为?0，,23.3??x,315(解析:由 Q,{x||x,1|?1 },{x|0?x?}.由a>0，得P,{x|,12，即a的取值范围是(116(解析:?2?A，?A，即,1?A， 1,21?11???AA，?A,?2，,1，2.??1,?,1?1假设A中仅含一个元素，不妨设为a, 则a?A，有A，又A中只有一个元素，1,a1?a，即a2,a，1,0，但此方程Δ ?不存在这样的实数a.故A不可能是单元素集合(1(已知A,{x|3,3x>0}，则下列各式正确的是A(3?AB(1?AC(0?A D(,1?A集合A表示不等式3,3x>0的解集(显然3,1不满足不等式，而0，,1满足不等式，故选C.C2(下列四个集合中，不同于另外三个的是A({y|y,2} B({x,2}C({2} D({x|x2,4x，4,0}{x,2}表示的是由一个等式组成的集合(故选B.5 / 21精品文档B3(下列关系中，正确的个数为________(1?2R?Q;?|,3|?N*;?|,?Q.1 本题考查常用数集及元素与集合的关系(显然2?R，?正确;2?Q，?正确;|,3|,3?N*，|3|,3?Q，?、?不正确(4(已知集合A,{1，x，x2,x}，B,{1,2，x}，若集合A与集合B相等，求x的值(因为集合A与集合B相等，所以x2,x,2.?x,2或x,,1.当x,2时，与集合元素的互异性矛盾(当x,,1时，符合题意(?x,,1.一、选择题1(下列命题中正确的?0与{0}表示同一个集合;?由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};?方程2,0的所有解的集合可表示为{1,1,2};?集合{x|4 示(A(只有?和? B(只有?和?C(只有? D(以上语句都不对6 / 21精品文档{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故?错误;?符合集合中元素的无序性，正确;?不符合集合中元素的互异性，错误;?中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示(故选C.C2(用列举法表示集合{x|x2,2x，1,0}为A({1,1} B({1}C({x,1} D({x2,2x，1,0}集合{x|x2,2x，1,0}实质是方程x2,2x，1,0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}(故选B.B3(已知集合A,{x?N*|,5?x5}，则必有A(,1?A B(0?A?A D(1?A?x?N*5?x5，?x,1,2，即A,{1,2}，?1?A.故选D.D4(定义集合运算:A*B,{z|z,xy，x?A，y?B}(设A,{1,2}，B,{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为A(0 B(2C( D(67 / 21精品文档依题意，A*B,{0,2,4}，其所有元素之和为6，故选D.D二、填空题5(已知集合A,{1，a2}，实数a不能取的值的集合是________(由互异性知a2?1，即a??1，故实数a不能取的值的集合是{1，,1}({1，,1}6(已知P,{x|2,x,a，x?N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a,________.用数轴分析可知a,6时，集合P中恰有3个元素3,4,5.三、解答题7(选择适当的方法表示下列集合集(由方程x,0的所有实数根组成的集合;大于2且小于6的有理数;由直线y,,x，4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合(方程的实数根为,1,0,3，故可以用列举法表示为{,1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x,0}，有限集(由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列8 / 21精品文档举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x?Q|2 用描述法表示该集合为M,{|y,,x，4，x?N，y?N}或用列举法表示该集合为{，，，，}(8(设A表示集合{a2，2a,3,2,3}，B表示集合{2，|a，3|}，已知5?A且5?B，求a的值(因为5?A，所以a2，2a,3,5，解得a,2或a,,4.当a,2时，|a，3|,5，不符合题意，应舍去(当a,,4时，|a，3|,1，符合题意，所以a,,4.9(已知集合A,{x|ax2,3x,4,0，x?R}(若A中有两个元素，求实数a的取值范围;若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围(?A中有两个元素，?方程ax2,3x,4,0有两个不等的实数根，?a?0，99??即a,,16.?a,,16a?0. ?Δ,9，16a,0，4当a,0时，A,{,3};当a?0时，若关于x的方程ax2,3x,4,0有两个相等的实数根，Δ,9，16a,0，9 / 21精品文档9即a,,16若关于x的方程无实数根，则Δ,9，16a,0，9即a16;9故所求的a的取值范围是a?,16a,0.1(设集合A,{x|2?x,4}，B,{x|3x,7?8,2x}，则A?B等于A({x|x?3} B({x|x?2}C({x|2?x,3} D({x|x?4}B,{x|x?3}(画数轴可知选B.B2(已知集合A,{1,3,5,7,9}，B,{0,3,6,9,12}，则A?B,A({3,5} B({3,6}C({3,7} D({3,9}A,{1,3,5,7,9}，B,{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，?A?B,{3,9}(故选D.D3(50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________(10 / 21精品文档设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有人，只参加乙项的有人(+x+=50，?x=5.?只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，?仅参加一项的有45人(54(已知集合A,{,4,2a,1，a2}，B,{a,5,1,a,9}，若A?B,{9}，求a的值(?A?B,{9}，?9?A，?2a,1,9或a2,9，?a,5或a,?3.当a,5时，A,{,4,9,25}，B,{0，,4,9}(此时A?B,{,4,9}?{9}(故a,5舍去(当a,3时，B,{,2，,2,9}，不符合要求，舍去(经检验可知a,,3符合题意(一、选择题1(集合A,{0,2，a}，B,{1，a2}(若A?B,{0,1,2,4,16}，则a的值为A(0 B(1C( D(4?A?B,{0,1,2，a，a2}，又A?B,{0,1,2,4,16}，?{a，a2},{4,16}，?a,4，故选D.D2(设S,{x|2x，1>0}，T,{x|3x,5 1A(?11 / 21精品文档B({x|x 515C(} D({x|,}23151 S,{x|2x，1>0},{x|x>,，T,{x|3x,5 5D3(已知集合A,{x|x>0}，B,{x|,1?x?2}，则A?B,A({x|x?,1} B({x|x?2}C({x|0 集合A、B用数轴表示如图，A?B,{x|x?,1}(故选A.A4(满足M?{a1，a2，a3，a4}，且M?{a1，a2，a3},{a1，a2}的集合M的个数是A(1 B(2高一数学集合的练习题及答案一、、知识点:本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。
大学集合论试题及答案
大学集合论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 集合论的创始人是（）。
A. 康托尔B. 罗素C. 希尔伯特D. 哥德尔2. 集合A和集合B的并集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'3. 若集合A是集合B的子集，则表示为（）。
A. A⊆BB. A⊇BC. A⊂BD. A⊃B4. 空集是所有集合的（）。
A. 子集B. 真子集C. 并集D. 交集5. 集合A和集合B的交集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'6. 若集合A和集合B的交集为空集，则A和B是（）。
A. 子集B. 真子集C. 互斥的D. 相等的7. 集合的幂集是指（）。
A. 集合的所有子集的集合B. 集合的所有元素的集合C. 集合的所有真子集的集合D. 集合的所有非空子集的集合8. 集合A和集合B的差集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'9. 集合的元素个数称为集合的（）。
A. 基数B. 序数C. 秩D. 维数10. 集合论中，无限集合的基数可以是（）。
A. 有限的B. 可数的C. 不可数的D. 以上都是二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的幂集有个元素。
2. 集合{a, b, c}和集合{a, b}的交集是。
3. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的并集是。
4. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的差集是。
5. 集合{1, 2, 3}的补集在全集U={1, 2, 3, 4, 5}中是。
6. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B= 。
7. 集合{1, 2, 3}的子集个数是。
8. 集合{1, 2, 3}的真子集个数是。
9. 集合{1, 2, 3}的非空真子集个数是。
10. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B= 。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集。
集合论测试答案
1. 集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。
1、 证明R 是X 上的等价关系。
2、 求出X 关于R 的商集。
1、 证明：（1） 自反性：y x y x X y x +=+>∈<∀由于,,自反R Ry x y x >>∈<><<∴,,,（2） 对称性：X y x X y x >∈<∀>∈<∀2211,,,时当R y x y x >>∈<><<2211,,, 21121221y x y x y x y x +=++=+也即即有对称性故R R y x y x >>∈<><<1122,,,（3） 传递性：X y x Xy x X y x >∈<∀>∈<∀>∈<∀332211,,,,时且当R y x y x R y x y x >>∈<><<>>∈<><<33222211,,,,,,⎩⎨⎧+=++=+)2()1(23321221y x y x y x y x 即23123221)2()1(y x y x y x y x +++=++++即1331y x y x +=+有传递性故R R y x y x >>∈<><<3311,,,由（1）（2）（3）知：R 是X 上的先等价关系。
2、X/R=}]2,1{[R ><2. 设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >} 要求 1、写出R 的关系矩阵和关系图。
数学集合练习题答案
数学集合练习题答案一、选择题1. 答案：C解析：集合的定义是由若干个确定的元素组成，可以用大写字母表示。
2. 答案：B解析：空集是不包含任何元素的集合。
3. 答案：A解析：一个集合除了包含自身的元素外，也可以包含其他集合。
4. 答案：D解析：一个集合的子集是指该集合中的元素组成的一个集合。
5. 答案：B解析：并集是指两个集合中所有的元素的集合。
二、填空题1. 答案：{1, 2, 3, 4, 5}解析：按照集合的定义，列举出所有的元素即可。
2. 答案：{1, 2, 3, 4}解析：按照集合的定义，列举出所有满足条件的元素即可。
3. 答案：{1, 2, 3}解析：按照集合的定义，列举出所有满足条件的元素即可。
4. 答案：{3, 4}解析：按照集合的定义，列举出所有满足条件的元素即可。
5. 答案：{1, 2, 3, 4, 5}解析：按照集合的定义，列举出所有满足条件的元素即可。
三、解答题1. 答案：集合A的元素个数为7个。
解析：集合A中的元素有1, 2, 3, 4, 5, 6, 7，共7个元素。
2. 答案：集合B的元素个数为8个。
解析：集合B中的元素有1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，共8个元素。
3. 答案：集合A与集合B的交集为{2, 4, 6}。
解析：集合A与集合B的交集为两个集合中共有的元素组成的集合。
4. 答案：集合A与集合B的并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}。
解析：集合A与集合B的并集是指两个集合中所有的元素的集合。
5. 答案：集合A与集合B的差集为{1, 3, 5, 7}。
解析：集合A与集合B的差集是指在集合A中但不在集合B中的元素组成的集合。
总结：通过本次数学集合练习题，我们复习了集合的基本概念和运算。
集合是由若干个确定的元素组成，可以用大写字母表示。
空集是不包含任何元素的集合。
一个集合的子集是指该集合中的元素组成的一个集合。
并集是指两个集合中所有的元素的集合。
集合练习题加答案
集合练习题加答案1. 定义集合A = {x | x > 0}，集合B = {x | x < 0}，求A∪B（A并B）。
2. 集合C = {1, 2, 3}，集合D = {2, 3, 4}，求C∩D（C交D）。
3. 已知集合E = {x | x是偶数}，集合F = {x | x是奇数}，判断E和F是否为补集关系。
4. 集合G = {x | x是小于10的自然数}，求G的补集G'。
5. 如果集合H = {1, 2, 3, 4, 5}，求H的所有子集。
6. 集合I = {x | x是3的倍数}，集合J = {x | x是5的倍数}，求I∩J（I交J）。
7. 集合K = {1, 2, 3}，求K的所有非空子集。
8. 已知集合L = {x | x是3的倍数}，集合M = {x | x是小于20的自然数}，求L∪M（L并M）。
9. 集合N = {x | x是小于10的质数}，求N的元素个数。
10. 集合O = {x | x是偶数}，集合P = {x | x是大于10的自然数}，求O∩P（O交P）。
答案1. A∪B = R（实数集），因为所有实数要么大于0，要么小于0。
2. C∩D = {2, 3}，因为2和3同时属于集合C和D。
3. E和F是补集关系，因为E和F的元素加起来覆盖了所有整数，并且没有重叠。
4. G' = {x | x是大于等于10的自然数}，因为G包含了所有小于10的自然数。
5. H的子集有：{}，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,5}，{1,2,3,4,5}。
第二部分集合论答案
（集合论部分）一、选择或填空1、设A={a,{a}}，下列命题错误的是（）。
(1) {a}∈P(A)(2) {a}⊆P(A)(3) {{a}}∈P(A)(4) {{a}}⊆P(A)答：(2)2、在0（）Φ之间写上正确的符号。
(1) =(2) ⊆(3) ∈(4) ∉答：(4)3、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（）。
答：324、设P={x|(x+1)2≤4且x∈R},Q={x|5≤x2+16且x∈R},则下列命题哪个正确（）(1) Q⊂P(2) Q⊆P(3) P⊂Q(4) P=Q答：（3）5、下列各集合中，哪几个分别相等( )。
(1) A1={a,b} (2) A2={b,a} (3) A3={a,b,a} (4) A4={a,b,c}(5) A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} (6) A6={x|x2-(a+b)x+ab=0}答：A1=A2=A3=A6，A4=A56、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？( )(1) A=Ф(2) B=Ф(3) A⊂B(4) B⊂A7、判断下列命题哪个为真?( )(1) A-B=B-A => A=B(2) 空集是任何集合的真子集(3) 空集只是非空集合的子集(4) 若A的一个元素属于B，则A=B答：（1）8、判断下列命题哪几个为正确？()(1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}⊆{Ф,{{Ф}}} (3) Ф∈{{Ф}}(4) Ф⊆{Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}}答：（2），（4）9、判断下列命题哪几个正确？()(1) 所有空集都不相等(2) {Ф}≠Ф(4) 若A为非空集，则A⊂A成立。
答：（2）10、设A∩B=A∩C，A∩B=A∩C，则B()C。
答：=（等于）11、判断下列命题哪几个正确？()(1) 若A∪B＝A∪C，则B＝C (2) {a,b}={b,a}(3) P(A∩B)≠P(A)∩P(B) （P(S)表示S的幂集）(4) 若A为非空集，则A≠A∪A成立。
集合练习题答案
集合练习题答案一、选择题1. 集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，求A∩B的值。
A. {1,2}B. {3}C. {4,5}D. 空集2. 若集合C={1,2,3}，D={2,3,4}，求C∪D的值。
A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {2,3,4}D. {1,3,4}3. 集合E={x|x<5}，F={x|x>3}，求E∩F的值。
A. {x|x<5}B. {x|x>3}C. {x|3<x<5}D. 空集4. 集合G={x|x是偶数}，H={x|x是奇数}，判断G∪H的值。
A. 全集B. 空集C. {x|x是整数}D. {x|x≠0}二、填空题5. 若集合I={1,3,5,7}，J={2,4,6,8}，求I∩J的值为______。
6. 集合K={x|x是自然数}，L={x|x是负数}，求K∪L的值为______。
7. 集合M={x|0<x<10}，N={x|x>5}，求M∩N的值为______。
8. 集合O={x|x是质数}，P={x|x是合数}，求O∪P的值为______。
三、简答题9. 描述集合A={x|x是小于20的正整数}的补集。
10. 给定集合Q={1,2,3}，R={4,5,6}，求Q∩R，并说明其意义。
11. 集合S={x|x是小于100的平方数}，请列出S中的所有元素。
12. 假设集合T={x|x是三角形}，U={x|x是等边三角形}，解释T∪U 的含义。
四、计算题13. 集合V={1,2,3,4,5}，W={3,4,5,6,7}，计算V∩W，并求V∪W。
14. 集合X={x|x是小于10的正整数}，Y={x|x是大于5的正整数}，求X∪Y，并解释结果。
15. 集合Z={x|x是大于0小于10的整数}，求Z的补集，假设全集为所有整数。
五、证明题16. 证明：对于任意集合A，A∩A = A。
17. 证明：对于任意集合A和B，A∪B = B∪A。
第1-4-5章 集合论(含答案)
求 A 的子集{3，4，5}和{1，2，3}，的上界，下界，上确界和下确界。
答案：{3，4，5}：上界：1，3；上确界：3；下界：无；下确界：无； {1，2，3}：上界：1；上确界：1；下界：4；下确界：4。 10、设 A={1,2,3,4,5},A 上偏序关系 R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪IA; (1)作出偏序关系 R 的哈斯图 (2)令 B={1,2,3,5}，求 B 的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界，下确界。 答案：.(1)偏序关系 R 的哈斯图为
6
12、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝ ，B={1,2,3}，从Ａ到 B 的关系Ｒ＝｛ 〈x,y〉|x=y2｝ ，求 R 和 R-1 的集合 表示和关系矩阵表示。
答： （1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R 1 ={<1,1>,<2,4>}
3
1 1 4、 设集合 A a, b, c, d 上的二元关系 R 的关系矩阵为 M R 0 0
矩阵，并画出 R， r ( R), s( R), t ( R) 的关系图。
0 0 0 0
0 1 0 0
0 1 ,求 r ( R), s( R), t ( R) 的关系 0 1
16、设|X|=n，|Y|=m 则（1）从 X 到 Y 有 （2）当 n , m 满足 n=m
时，存在双射有
17、在 0（ （4） ） 之间写上正确的符号。 (1) = (2) (3) (4) 18、若集合 S 的基数|S|=5，则 S 的幂集的基数|P(S)|=（ 32 ） 。 2 2 19、设 P={x|(x+1) 4 且 x R},Q={x|5 x +16 且 x R},则下列命题哪个正确（ (1) Q P (2) Q P (3) P Q (4) P=Q 20、判断下列命题哪几个为正确？( ) 答： （2） ， （4） (1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф} {Ф,{{Ф}}} (4) Ф {Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}} 21． 设 A={1， 2， 3， 4}， A 上关系图如右图所示， 2 R = 。 (3) Ф∈{{Ф}}
离散数学集合论哈工大答案
反之， x X ( Z \ Y ) ，则 x X 或 x Z \ Y 。 若 x X ，则由 X Y Z 有 x Y , x Z ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。 若 x Z \ Y ，则 x Z 但 x Y ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。从而
1
解： 2S { ,{ },{{ }},{ ,{ }}} 7.设 S 恰有 n 个元素，证明 2S 有 2n 个元素。 证明： （1）当 n＝0 时， S , 2 S { }, 2S 1 20 ，命题成立。 （2）假设当 n k ( k 0, k N ) 时命题成立，即 2 S 2k （ S k 时） 。那么对 于 S1 （ S1 k 1 ） ， 2S1 中的元素可分为两类，一类为不包含 S1 中某一元素 x 的 集合，另一类为包含 x 的集合。显然，这两类元素个数均为 2k 。因而 2 S1 2k 1 ， 亦即命题在 n k 1 时也成立。 由（1） 、 （2） ，可证得命题在 n N 时均成立。
S T ( S T ) ( S T ) 。
反之，因为 ( S T ) ( S T ) ，故
教材习题解答
第一章 集合及其运算
P8 习题 3. 写出方程 x 2 2 x 1 0 的根所构成的集合。 解： x 2 2 x 1 0 的根为 x 1 ，故所求集合为 {1} 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假 a)对每个集 A， A ；b)对每个集 A， A ； c)对每个集 A， A { A} ；d)对每个集 A， A A ； e)对每个集 A， A A ；f)对每个集 A， A { A} ； g)对每个集 A， A 2 A ；h)对每个集 A， A 2 A ； i)对每个集 A， { A} 2 A ；j)对每个集 A， { A} 2 A ； k)对每个集 A， 2 A ；l)对每个集 A， 2 A ； m)对每个集 A， A { A} ；n) { } ； o) {} 中没有任何元素；p)若 A B ，则 2 A 2 B q)对任何集 A， A {x | x A} ；r)对任何集 A， {x | x A} { y | y A} ； s)对任何集 A，y A y {x | x A} ； t)对任何集 A， {x | x A} { A | A A} ； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有 n 个集合 A1 , A2 , , An 且 A1 A2 An A1 ，试证： A1 A2 An 证明：由 A1 A2 A4 An A1 ，可得 A1 A2 且 A2 A1 ，故 A1 A2 。 同理可得： A1 A3 A4 An 因此 A1 A2 A3 An 6.设 S { ,{ }} ，试求 2S ？
2025年新高考III卷数学集合论基础题及答案
2025年新高考III卷数学集合论基础题及答案一、选择题1. 已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，则A∩B等于：A. {3, 4}B. {1, 2}C. {5, 6}D. {1, 2, 3, 4, 5, 6}答案：A. {3, 4}2. 设集合U表示所有学生，集合A表示喜欢篮球的学生，集合B表示喜欢足球的学生。
已知n(U) = 100，n(A) = 60，n(B) = 40，n(A∩B) = 20，则n(A∪B)等于：A. 20B. 40C. 60D. 80答案：C. 603. 已知集合A={x | x^2 - 4x + 3 = 0}，集合B={x | x^2 - x - 6 = 0}，则A∩B等于：B. {-1, 2}C. {-1, 1, 2, 3}D. {1/2, 2}答案：A. {1, 3}二、填空题1. 设集合A={a, b, c, d}，集合B={c, d, e, f}，则A∪B等于________。
答案：{a, b, c, d, e, f}2. 设集合A={x | x^2 - 3x + 2 = 0}，集合B={x | x^2 - x - 2 = 0}，则A∩B等于________。
答案：{1, 2}3. 设集合U表示所有学生，集合A表示喜欢篮球的学生，集合B表示喜欢足球的学生。
已知n(U) = 200，n(A) = 120，n(B) = 80，n(A∪B) = ________。
答案：200三、解答题1. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，集合B={4, 5, 6, 7, 8}，集合C={2, 3, 4}，求(A∪B)∩C。
首先计算A∪B：A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}。
然后计算(A∪B)∩C：(A∪B)∩C={2, 3, 4}。
答案：{(2, 3, 4)}2. 设集合U表示所有学生，集合A表示喜欢足球的学生，集合B表示喜欢篮球的学生，集合C表示喜欢乒乓球的学生。
集合论习题解答
集合论习题解答1. 列出下述集合的全部元素：1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}2）B={x|x∈N∧4+x=3}3）C={x|x是十进制的数字}[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}2）B=∅3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用谓词法表示下列集合：1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解] 1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。
3. 确定下列各命题的真假性：1）∅⊆∅2）∅∈∅3）∅⊆{∅}4）∅∈{∅}5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}[解]1）真。
因为空集是任意集合的子集；2）假。
因为空集不含任何元素；3）真。
因为空集是任意集合的子集；4）真。
因为∅是集合{∅}的元素；5）真。
因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。
因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；8）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。
[解] 1）假。
例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。
2）假。
例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A∈C。
集合论习题课答案
5.集合的证明
a)证明 (A∩B)∪C=A∩(B∪C) iff CA
证明；充分性 已知CA (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) =A∩(B∪C) (∵ CA ∴ A∪C=A) 必要性 已知(A∩B)∪C=A∩(B∪C) x∈C ， x∈C x∈(A∩B)∪C x∈A∩(B∪C) x∈A 所以 CA
b)证明 (A-B)-C=(A-C)-B x： x∈(A-B)-C x∈(A-B)∧xC (x∈A∧xB)∧xC (x∈A∧xC)∧xB x∈(A-C)∧xB x∈(A-C)-B 所以(A-B)-C=(A-C)-B
c)证明以下各式彼此等价： A∪B=U, ~AB, ~BA A∪B=U x(x∈A∪B x∈U) x(x∈A∪B) (x∈U为T) x(x∈A∨x∈B) x(xAx∈B) x(x∈~Ax∈B) ~AB 同理A∪B=U ... x(x∈A∨x∈B) x(xBx∈A) x(x∈~Bx∈A) ~BA 所以A∪B=U ~AB ~BA.
c) AB iff ρ(A) ρ(B) 证明： 必要性：若AB证明ρ(A) ρ(B) S ：Sρ(A ) 即 SA ∵ AB ∴ SB 即 Sρ(B) ∴ ρ(A) ρ(B) 充分性：若ρ(A) ρ(B)证明AB x ： xA 必S，SA，使得xS ∵ ρ(A) ρ(B) ∴ 由SA即Sρ(A )可得到Sρ(B ) 也就是说SB ∴ xB ∴ AB 综上所述： AB iff ρ(A) ρ(B)
4.集合的基数 A,B是有限集合,已知|A|=3,|ρ(B)|=64,|ρ(A∪B)|=256, 则 |B|=( ), |A∩B|=( ),|A-B|=( ),|AB|=( ) 解： 由|ρ(B)|=64=26，得 |B|=6 由|ρ(A∪B)|=256＝28，得|A∪B|=8 由容斥原理得 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| |A∩B| = |A|+|B|-|A∪B|=3+6-8=1， 所以 |A∩B|＝1 |A-B|=|A|－|A∩B|=3-1=2 |AB|=|A∪B|－|A∩B|=8-1=7
集合练习题含答案
集合练习题含答案1. 定义题：什么是集合？请给出集合的三个基本性质。
- 答案：集合是由一些确定的、不同的元素所组成的整体。
集合的三个基本性质包括：确定性（集合中的元素是明确的）、互异性（集合中不会有重复的元素）、无序性（元素的排列顺序不影响集合的确定性）。
2. 列举题：列举出集合{1, 2, 3, 4, 5}的所有子集。
- 答案：集合{1, 2, 3, 4, 5}的所有子集包括空集∅和所有可能的元素组合，共32个子集。
3. 运算题：设集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B和A∩B。
- 答案：A∪B={1, 2, 3, 4}，表示A和B中所有元素的集合。
A∩B={2, 3}，表示A和B中共有的元素集合。
4. 关系题：如果集合C={x | x是偶数}，D={x | x是小于10的正整数}，判断C和D的关系。
- 答案：C是D的子集，因为C中的所有元素都是偶数，而D包含了所有小于10的正整数，包括了C中的所有元素。
5. 证明题：证明对于任意集合A，A⊆A。
- 答案：根据子集的定义，如果集合A中的每一个元素都是集合A的元素，则A是A的子集。
因为集合A中的元素自然属于A本身，所以A⊆A。
6. 应用题：某班级有30名学生，其中15名喜欢数学，12名喜欢物理，8名既喜欢数学又喜欢物理。
求至少喜欢一门科目的学生人数。
- 答案：设喜欢数学的学生集合为M，喜欢物理的学生集合为P。
根据集合的并集公式，至少喜欢一门科目的学生人数为|M∪P| = |M|+ |P| - |M∩P| = 15 + 12 - 8 = 19。
7. 推理题：如果A={x | x是大于10的整数}，B={x | x是小于20的整数}，C={x | x是奇数}，判断A∩(B∪C)是否为空集。
- 答案：A∩(B∪C)不为空集。
因为B∪C包含了所有小于20的整数，而A包含了所有大于10的整数，所以它们有交集，即11, 13, 15, 17, 19。
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P3 习题1.11.1.1 解：⑴ {2,3,5,7,11,13,17,19}；⑵ {e,v,n,i,g}；⑶ {－3,2}；⑷ {－1}；⑸ {2,271i+-,271i--}；⑹Φ⑺共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式：{①x+1，②x1，③x2+x+1，④x2x+1，①②x21，①③x3+2x2+2x+1，①④x3+1，②③x3－1，②④x3－2x2+2x－1，③④x4+x2+1，①②③x4+x3x+1，①②④x4－x3+x－1，①③④x5+x4+x3+x2+x+1，②③④x5x4+x3x2+x1)}1.1.2 解⑴ {x | x I+, x<80}；⑵ {x | x I且n I使x=2n+1}；⑶ {x | x I且n I使x=5n}；⑷ {(x,y)| x,y R , x2+y2<1}；⑸ {(,)| ,R, >1}；⑹ {ax+b=0| a,b R且a0}。
P5 习题1.21.2.1 答：为真的有：⑵、⑷、⑻、⑽，其余为假。
1.2.2 答：为真的有：⑴、⑷，其余为假。
1.2.3 解：A=，B={0}，C={…,4,2,0,2,4…}，D={2,4}，E={…,4,2,0,2,4…}，F={2,4}，G=，H={…,4,2,0,2,4…}。
∴ C=E=H，D=F，A=G。
1.2.4 答：四个全为真。
证明：⑴例 A={a} , B={a,A}⑵例 B={A} , C={A , B}⑶例 A={}⑷例 A={a} , B={a,A} , ∴ 2B={ , {a} , {A} , B} ※1.2.5 解⑴幂集 {} ；幂集的幂集 {,{}}⑵幂集 {,{},{a},{,a}}；幂集的幂集零元素子集 {,单元素子集 {} , {{}} , {{a}} , {{,a}},双元素子集 {,{}} , {,{a}} , {,{,a}} , {{},{a}} , {{},{,a}} , {{a},{,a}} ,三元素子集 {,{},{a}} , {,{},{,a}} , {,{a},{,a}} ,{{},{a},{,a}}}，四元素子集 {,{},{a},{,a}} 。
1.2.6 证：设 a=c且b=d，∴ {a}={c}且{a,b}={b,d} ∴ {{a},{a,b}}={{c},{c,d}} 。
设 {{a},{a,b}}={{c},{c,d}}，∴ {a}在{{c},{c,d}}中，∴ {a}={c}或{a}={c,d}∵ {a}是单元素集，而{c,d}是双元素集，∴只能 {a}={c}，∴ a=c同理 {a,b}={c,d}，又∵ a=c ，∴ b=d ※P11 习题1.31.3.1 解 ⑴ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,16,32,60,64,30,90,120,150,…}； ⑵； ⑶ {3,4,5,6}； ⑷ {0,1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}。
1.3.2 解：A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}，B={1,2,3,4,5,6,7,8} C={2,4,6,8,…}，D={3,6,9,12,…}，E={1,3,5,7,…} ⑴ B ∩C ；⑵ A ∩D ；⑶ (A ∩C)B ；⑷ CB ；⑸ (A ∩C)∪(EB)。
1.3.3 ⑴ 证：例 A={1,2}，B={1}，C={2}。
A ∪B=A ∪C=A ，但B ≠C 。
⑵ 答：能。
证1：∵ A ∪B=A ∪C ，∴ (A ∪B)∩B=(A ∪C)∩B ，∴ B=(A ∪C)∩B ， ∴ B=(A ∩B)∪(B ∩C)=(A ∩C)∪(B ∩C)=(A ∪B)∩C=(A ∪C)∩C=C 。
证2：x B ① 若 x A ，则x A ∩B ，∵A ∩B=A ∩C ，∴ x A ∩C ，∴ xC ；② 若 x A ，而xA ∪B ，又∵A ∪B=A ∪C ，∴ xA ∪C ，又∵ x A ，∴ x C∴ BC ，同理可证得C B ，∴ B=C 。
※1.3.4 证：例 U={1,2} , A={1} , B={2} , A B={1} , 而BA={2}，∴ AB ≠BA ，∴ 差运算不满足交换律。
※1.3.5 证：用互为子集法证明。
仅证明 ⑴。
xCS S ∈，∴ x C S S ∈∉ ，∴S C ，∴ x S ，即 S C ，x S ，∴ x CS S ∈，∴ CS S∈ CS S ∈ ；xCS S ∈，∴S C ，x S ，∴ S C ，∴ xS ，∴ x CS S ∈∉，∴ xCS S ∈，∴ CS S ∈ CS S ∈ ；∴ CS S ∈ = CS S ∈ ※1.3.6 证：用互为子集法证明。
仅证明 ⑴。
x B ∩( CS S ∈)，∴ x B 且 x CS S ∈，∴ xB 且 SC ，x S ，∴ x B ∩S ，∴ x CS S)(B ∈，∴ B ∩( CS S ∈) CS S)(B ∈ ；xCS S)(B ∈，∴S C ，x B ∩S ，∴ x B 且 x S ，∴ x B 且 xCS S ∈，∴ xB ∩( CS S ∈)，∴ CS S)(B ∈B ∩( CS S ∈) ；∴ B ∩( CS S ∈) = CS S)(B ∈ ※1.3.7 解 ⑴ (a) (A ∩B)∪(C B A )； (b) A ∩B ∩C ； (c) (A ∩C)B 。
⑵ ① ② ③P13 习题1.41.4.1 解 ⑴ {(a,0,c) , (a,1,c) , (b,0,c) , (b,1,c)} ⑵ {((c,c),a) , ((c,c),b)}⑶ {((a,c),(a,c)) , ((a,c),(b,c)) , ((b,c),(a,c)) , ((b,c),(b,c))} 1.4.2 证：用互为子集法证明 。
(x,y)(A ∩B)×(C ∩D) ∴ xA ∩B 且yC ∩D∴ x A 且xB 且yC 且yD∴ (x,y)A ×C 且(x,y)B ×D∴ (x,y)(A ×C)∩(B ×D)∴ (A ∩B)×(C ∩D)(A ×C)∩(B ×D)同样方法可证得：(A ×C)∩(B ×D)(A ∩B)×(C ∩D) ∴ (A ∩B)×(C ∩D)=(A ×C)∩(B ×D) ※ 1.4.3 证：反证法：设AΦ且B Φ且AB ∴ x A 且x B 或者y B 且yA若x A 且x B ，则对b B ，有(x,b)A ×B ，但(x,b)B ×A ，∴ A ×B B ×A 。
若yB 且yA ，则对aA ，有(a,y)A ×B ，但(a,y)B ×A ，∴ A ×BB×A 。
若A=Φ，A ×B=B ×A=Φ若B=Φ，A ×B=B ×A=Φ ∴ A ×B=B ×A若A=B ，A ×B=B ×A ※ 1.4.4 答：6小题全为假。
证：⑴ 例 A={a} , B={b} , x=a A 但y=c B ，也有(x,y)=(a,c)A ×B 。
⑵ ∵ B2B 但BB ，∴ 对x2A ，(x,B)2A ×2B ，但(x,B)2A ×B∴ 2A ×B2A ×2B 。
⑶ 例 A={1}，B={2}，C=Φ，则 AC=B ×C=Φ，但 A B 。
⑷ 例 A={1}，B=C=Φ，D={3}(A ∪B)×(C ∪D)={1}{3}={(1,3)} (A ×C)∪(B ×D)=Φ∪Φ⑸ 例 A=B={1}，C={2}，D={3} (A －B)×(C －D)=Φ×(C －D)=Φ(A ×C)－(B ×D)={(1,2)}－C ABABBCA{(1,3)}={(1,2)}⑹例 A=B={1}，C={2}，D={3}(A B)×(C D)=Φ×(C D)=Φ(A×C)(B×D)={(1,2)}{(1,3)}={(1,2),(1,3)}1.4.5 证：用互为子集法证明。
(x,y)A×(B－C)，∴ x A 且 y B－C，∴ y B 且 y C∴ x A且y B且x A且y C，∴ (x,y)A×B且 (x,y)A×C∴ (x,y)(A×B)－(A×C) ，∴ A×(B－C) (A×B)－(A×C) ；(x,y)(A×B)－(A×C)，∴ (x,y)A×B且 (x,y)A×C，∴ x A且y B且x A且y C，∴ x A 且 y B－C，∴ (x,y)A×(B－C) ，∴ (A×B)－(A×C) A×(B－C) ；∴ A×(B－C) = (A×B)－(A×C) ※P14 习题1.51.5.1 解：设A为学英语的学生集合，B为学日语的学生集合。
∴ |A|=45，|B|=30，45≤|A∪B|≤60∵ |A∪B|=|A|+|B|－|A∩B|，∴ 15≤|A∩B|≤30。
1.5.2 解设能被2,3,5,7整除的整数集合分别为：A2，A3，A5，A7。
∴ |A2|=125，|A3|=83，|A5|=50，|A7|=35，|A2∩A3|=|A6|=41，|A2∩A5|=|A10|=25 |A2∩A7|=|A14|=17，|A3∩A5|=|A15|=16，|A3∩A7|=|A21|=11，|A5∩A7|=|A35|=7 |A2∩A3∩A5|=|A30|=8，|A2∩A3∩A7|=|A42|=5|A2∩A5∩A7|=|A70|=3，|A3∩A5∩A7|=|A105|=2|A2∩A3∩A5∩A7|=125+83+50+35－41－25－17－16－11－7+8+5+3+2－1=1931.5.3 解：已知 |数|=67，|物|=47，|生|=95|数∩物|=28，|数∩生|=26，|物∩生|=27|数∪物∪生|=200－50=150|数∪物∪生|=|数|+|物|+|生|―|数∩物―|数∩生|―|物∩生|+ |数∩物∩生|∴ 150=67+47+95-26-27-28 + |数∩物∩生|∴ |数∩物∩生| =22 。