心理学(研究方法)内容精讲(心理统计学-概率分布与总体参数的估计)【圣才出品】

心理学（研究方法）内容精讲

第三部分心理统计学

第三章概率分布与总体参数的估计

第一节概率与概率分布

一、概率的一些基本概念

（一）什么是概率

概率因寻求的方法不同有两种定义，即后验概率和先验概率。

1．后验概率的定义

以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率制作为随机事件A概率的估计值，这样寻得的概率称为后验概率。

2．先验概率的定义

先验概率是通过古典概率模型加以定义的，故又称为古典概率。古典概率模型要求满足两个条件：①试验的所有可能结果是有限的；②每一种可能结果出现的可能性（概率）相等。

（二）概率的性质

1．任何随机事件A的概率都是介于0与1之间的正数；

2．不可能事件的概率等于0；

3．必然事件的概率等于1。

（三）概率的加法和乘法

1．概率的加法

在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容的事件。两个互不相容事件和的概

率，等于这两个事件概率之和。

2．概率的乘法

A 事件出现的概率不影响

B 事件出现的概率，这两个事件为独立事件。两个独立事件的概率，等于这两个事件概率的乘积。

二、正态分布

（一）正态分布特点

1．呈倒挂的钟形，两头小，中间大，能力的特点呈正态分布；

2．有其分布函数；

3．横坐标以标准差为单位，用z 分数表示；

4．正态分布下数据与标准差有一定数量关系

1%

X 1.96SD 95%X 2.58SD %X SD -

⎧±⎪⎪±⎨⎪±⎪⎩

－

－ 包含所有数据的68.2 包含所有数据的 包含所有数据的99（二）正态分布的应用

1．正态表的应用

（1）已知概率可查Z 分数；

（2）已知Z 分数可查概率；

（3）已知概率或标准分数可查密度值、函数值。

2．正态分布在研究的应用

（1）按能力分组，确定人数；

（2）化等级评定为测量数据；

（3）测验分数的正态化。3．标准分数与应用公式：

Z x x S

-＝式中：x 代表原始数据；x 为一组数据的平均数；

S 为标准差

如果研究数据呈正态分布，可按正态分布的规律来解释。例如：一个班成绩90x -

=，SD＝3。已知一个学生的成绩为97.5分，则其Z＝（97.5—90）／3＝2.5，接近2.58，那么即可知该学生位于99.5％的位置，如果是100人，可知该人的成绩排第一位。三、二项分布

（一）什么是二项分布

对选择答案的客观题，学生只在所提供的答案上进行选择。学生在每一题的得分，可能是真会，也可能是猜对的得分。如果需要，应该予以鉴别。如何鉴别呢?要用到二项分布。选择答案的分数分布属于二项分布。对这种选择题，学生可能选对，也可能选错，只有两种可能。这种只有两种可能结果的分布，称为二项分布。（二）二项分布的平均数、标准差

np

npq

μσ==μ为平均数，是指理论上推导出来的，称为总体平均数，用μ表示。如果是根据样本实际计算出来的平均数，用x -

（称为样本统计量）表示。

σ为标准差，也是理论上推导的结果，故与SD有不同表示。n为题数，p为猜对的概率，q为猜错的概率。如果为是非题，猜对猜错的概率为l/2；如果为三选一题，猜对概率为l/3，猜错概率为2/3；如果是四选一题，猜对概率为1/4，猜错的概率为3/4。

μ是什么意思呢?即如果一个学生对某一门功课一点没学过，但让他去回答某一客观题试卷，他完全凭猜测，可得一定的分数。若很多这样的学生，每人都可得一个分数，这很多人得分的平均数即为μ。这些分数的分散程度即为σ。同样可推理，若同一份试卷（客观题）让同一个考生回答多次，其每一次得分的平均数也为μ，其分散程度为σ。由此可知，完全凭运气，得分在μ±σ之间的人数为68.26％，得分在μ±1.96σ之间的人数为95％。

例如，有100道四择一客观题，其平均数为μ＝100×1/4＝25，即完全凭机遇猜对的平均数为25题。

σ=⨯⨯，意即有人运气好可猜对多些，有些人运气不好可猜对少些，1001/43/4 4.33

其散布程度为4.33，可推算得分在：

25±4.33＝20～29之间的人数占总人数的68.26％；

25±1.645×4.33＝17.88～32.12之间的人数占总人数的90％；

25±1.96×4.33＝16.5～33.5之间的人数占总人数的95％；

25+4.33＝29.33，即得分在29分以下的人数占总人数的84.13％（0.50+0.34l3）；

25+1.645×4.33＝32.12，即得分在32.12分以下的人数占总人数的95％（0.50+0.45）。

这就是说，若完全凭机遇去猜，得分为32.12分以上的人数只能少于5％（1.00－0.95），那么若把32.12分作为一个界限，凡得此分数以上的人，就作出“他真会而不是猜对”的结论，犯错误的概率为5％（因为有5％的人凭运气是可以猜对这个分数以上的），因此，若判断一个人是否真会而不是猜测，其公式为：

1.645

z

=≥

npq

若Z>1.645，则推论说真会，若Z<1.645，则可推测说他是凭猜测得的分。

选择题的数目（n）越大，二项分布越接近正态分布，可用正态分布概率去解释结果。而当选择项越多，np（μ）就越小，凭猜测所得的分数就越低。

四、抽样分布

（一）抽样分布的概念

要区分以下三种不同性质的分布：①总体分布：总体内个体数值的频数分布。②样本分布：样本内个体数值的频数分布。③抽样分布：某一种统计量的概率分布。

（二）平均数抽样分布的几个定理

几个相关的定理：①从总体中随机抽出容量为n的一切可能样本的平均数之平均数等于总体的平均数。②容量为n的平均数在抽样分布上的标准差，等于总体标准差除以n的方根。③从正态总体中，随机抽取的容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。

④虽然总体不呈正态分布，如果样本容量较大，反映总体μ和σ的样本平均数的抽样分布，也接近于正态分布。

（三）样本平均数与总体平均数离差统计量的形态

从正态总体中随机抽取的容量为n的一切可能样本平均数为中心呈正态分布。当总体标准差已知时，一切可能样本平均数与总体平均数的离差统计量呈标准正态。总体标准差σ的无偏估计量S等于样本统计量σx乘以贝赛耳氏校正数。

从正态总体中随机抽取容量为n的一切可能样本平均数的抽样分布呈正态分布。当总体标准差σ未知，需用估计值S来代替，于是平均数标准误也被平均数标准误的估计值所代