第10章组合变形

A
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
（2）弯曲正应力 Mz y
Iz
y
FN Mz y
A Iz
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
3.危险截面的确定 作内力图 轴力
F1
F2
F2
FN F2
l/2 l/2
弯矩
F2
M max
F1l 4
所以跨中截面是杆的危险截面
x
FN图 F1l/4
x
M图
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
拉压和弯曲
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
拉压、扭转和弯曲
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
截面的形心主轴与梁的
形心主惯性平面
轴线所组成的平面，称
为形心主惯性平面。因
此，对于非对称截面梁，
Me
只要载荷作用在形心主
o z0
惯性平面内，梁仍然发
x
生平面弯曲。弯曲正应
形心主轴 y
力公式仍然可以应用。
Fy
F
Fx
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
3.内力分析
横截面上内力
（1）拉(压) :轴力 FN
弯矩 Mz
（2）弯曲 剪力Fs
Mz FS
z
O
x
FN
y
因为引起的切应力较小,故一般不考虑.
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
4.应力分析 横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应
力计算公式为
（1）拉伸正应力 FN
截面形式
载荷条件
对 称 截 面 载荷作用在纵向对称面内
非对称实心截面或 载荷作用在形心主惯性平面内
闭口薄壁截面
非对称开口
载荷通过弯曲中心，且平行于形心
薄壁截面
主惯性平面
附注 忽略扭转变形的影响 消除了扭转变形
§10.2 斜弯曲
F
o zF A
oz
F
F
o
z
A
oz
y
y
y
y
(a)
(b)
(c)
(d)
当外力作用在纵向对称平面内时，梁发生平面弯曲，如图 (a)所示
第
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
10
章
§10.2 斜弯曲
组
合
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
变
形
§10.4 扭转与弯曲
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
组合变形的概念：
杆件在外力作用下，同时发生两种或两 种以上基本变形的组合。
拉压
扭转
弯曲
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
判断下列组合 变形的类型：
4.计算危险点的应力
F1 F2
F2
F2
A
l/2 l/2
拉伸正应力
F2
A
最大弯曲正应力
max
M max W
F1l 4W
Mmax
W
-
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
F zA
o
y
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
开口薄壁杆件的抗扭刚度很小，如果外力不通过弯曲中心， 将会引起较大的扭转变形和剪应力。为了避免这种情况， 必须使外力的作用线通过弯曲中心。几种常见的非对称开 口薄壁截面的弯曲中心 A 的位置，示于图 中。
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
平面弯曲的条件
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
当外力通过弯曲 中心，且平行于 形心主惯性平面 时，外力与横截 面上的剪力在同 一纵向平面内， 杆件发生平面弯 曲。
F
zA
o
y
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
如果外力不通过弯 曲中心，则将外力 向弯曲中心简化， 得到一个过弯曲中 心的外力和一个扭 矩，使杆件产生弯 曲变形的同时，还 伴随着扭转变形。
上、下翼缘与腹板上的合力
FQ
1
、FQ
1
和
FQ
2
，如图
10-2(c)所示。由大小相等、
方向相反的 FQ1 和
FQ
1
组成一力偶矩，与
FQ
2
合成后，最终得到一合力
FQ
，其数值
等于 FQ 2 ，方向平行于 FQ 2 ，作用线到腹板中线的距离为 e ，如图 10-2（d）所示。
由力矩定理得
FQ1h FQe
e
Wz
M
m
ax
sin
Wy
cos
Wz
wy
Fy l 3 3EI Z
, wz
Fzl 3 3EI y
自由端截面的总挠度为 w
w2y wz2
§10.2 斜弯曲
tan wz I z Fz I z tan
wy I y Fy I y
中性轴
ωβ
z α
F y
由于矩形截面的 I y I z ，所以
这表明梁在斜弯曲时的挠曲平面与外力所在的纵向平面不重合。
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
拉伸（或压缩）与弯曲的组合
1.受力特点
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力。 2.变形特点
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形。
示例1 F1 产生弯曲变形
F2
F1
F2
示例2
F2 产生拉伸变形 Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
应该指出，当非对称截面梁发生横力弯曲时，横截面上切
向内力系的合力并不一定通过形心。
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心
ξ
y t
o
d
h/2
τ1
τ2 o
z
z
h/2
b
y (a)
y (b)
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
FQ1
o
z
A
o1
o
z
FQ2 FˊQ1
e
FQ
y (c)
y (d)
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
对于不具有纵向对称平面的梁，只有当外力作用在通过弯曲中 心且与形心主惯性平面平行的弯心平面内时，梁只发生平面弯 曲，如图(b)所示
§10.2 斜弯曲
外力虽然经过弯曲中心(或形心)，但其作用面与形心主 惯性平面既不重合、也不平行，如图 (c)、(d)所示，这 种弯曲称为斜弯曲。
F
F
F
o zF
oz
A
oz
oz
A
y
y
y
y
(a)
(b)
(c)
(d)
§10.2 斜弯曲 例：
Fy F cos Fz F sin
M z Fy (l x) Fcox(l x) M cos M y Fz (l x) F sin(l x) M sin
§10.2 斜弯曲
' M z y M cos y, '' M y z M sin z
Iz
Iz
Iy
Iy
'
''
M
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cos
Iz
M
sin
Iy
此式标明横截面
上的正应力是坐
标y、z的线性函
数，x截面上的正
应力变化规律如
图所示。
§10.2 斜弯曲
对整个梁来说，横截面上的最大正应力应在危险截面的角 点处，其值为
max
M y,max Wy
M z,max Wz
M max sin
Wy
M max cos
FQ 1 h FQ
b 2h 2t 4Iz
由上式可见，截面上切向内力系的合力 FQ
（即截面上的剪力）不通过截面形心，而作用在距腹板中线为
e 的纵向平面内。
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
在图 10-2（d）中，剪力 FQ
的作用线与截面对称轴 z 的交点 A ，称为弯曲中心 （或称剪切中心）
公式表明，弯曲中心的位置与材料性质和载荷大小无 关，是反映截面几何性质的一个参数。