勾股定理及其逆定理的综合应用PPT课件
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解：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°. ∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2， ∴AC= .5∵CD=2，AD=3, ∴△ACD是直角三角形；∴ 四边形的面积为1+ . 5
1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直 角三角形. 2.在直角三角形中找出直角边，斜边. 3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
1．证明线段相等. 已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10， AD=8，BC=12 . 求证： △ABC是等腰三角形.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
解:设BE=x，折叠，∴△BCE ≌△FCE， ∴BC=FC=10. 令BE=FE=x，长方形ABCD， ∴ AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°， ∴DF=6, AF=4，∠A=90°, AE=8-x ，
第二组练习: 用勾股定理解决简单的实际问题
2. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长
2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米 ，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？
解：设滑杆顶端A下滑了x 米，依题意
得CE=AC - x ,∵AB=DE=2.5,BC=1.5, A
（1）如果a=3，b=4， 则c=
；
（2）如果a=6，c=10， 则b=
；
（3）如果c=13，b=12，则a=
；
3、在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）
A．BC2=AB2+AC2; B．AB2=AC2+BC2;
C．AB2=BC2-AC2; D．AC2=BC2-AB2
4、已知直角三角形的两边长为3、2，则第三条边长
汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假
设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉
机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,
学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么
受影响将持续多长时间?
N
E
P 30°
M
160
A
Q
2）如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°, 点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围 100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以 18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的 影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段AC的长，最后得出 AB=AC，即可.
证明：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8， ∴BD=6 . ∵BC=12, ∴DC=6. ∵在Rt△ADC中，AD=8， DC=6. ∴AC=10， ∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.
∠C=90°，∴AC= AB2 BC2 =2.
E
又∵BD=0.5, BC=1.5 ∴CD=2.
∴在Rt△ECD中，CE=
2
ED
CD2
=1.5. C
BD
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴2- x =1.5， x =0.5. 即AE=0.5 .
答：梯子下滑0.5米．
思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基
本步骤是什么？Zx```xk
是
．
第二组练习: 用勾股定理解决简单的实际问题
1. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树
．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下
，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心
自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张
大爷的房子吗？（ ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
勾股定理及其逆定理的综合应用
一、理清脉络 构建框架
勾股定理
互逆定理
勾股定理 的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角 形的判定
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
a2+ b2=c2
Ｒt△ 直角边a、b，斜边c
形
Ｒt△
逆定理:
a2+b2=c2 互
逆
数
命
a2+b2=c2 题
解:过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD中，∠ADB=90°，
∠B=45°，AB=2，∴AD=BD= 2.∵在△ABD中，
∠ADC=90°，∠C=60°，AD= 2，
∴CD= 2
3
3,∴BC=
22 3
3，S△ABC =
1 6 . 3
2)如图，公路MN和小路PQ在P处交
N
D
E B
P
M
A
Q
思考 ：在不是直角三角形中如何求线段长 和面积？
解一般三角形的问题常常通过作高转化成 直角三角形，利用勾股定理解决问题.
第四组练习: 勾股定理及其逆定理的综合应用
已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2， AD=3， 且AB⊥BC.求四边形 ABCD的面积.
分析：本题解题的关键是恰当的添加 辅助线，利用勾股定理的逆定理判定 △ADC的形状为直角三角形，再利用 勾股定理解题.
∴ 42 (8 x)2 x2，解得 x = 5 .∴BE的长为5.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
3.作高线，构造直角三角形. 1)已知：在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以添加BC边上的 高这条辅助线，就可以求得BC及S△ABC .
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
【思考】1、由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？2、
在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？3、由DF的长，你还 可以求出哪条线段长？4、设BE = x，你可以用含有x的式子 表示出哪些线段长？
三边a、b、c
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形 是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
二、复习巩固 第一组练习: 勾股定理的直接应用
1、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是(）． A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5,6 D．3，4，5 2.在Rt△ABC中，∠C=90°.
1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直 角三角形. 2.在直角三角形中找出直角边，斜边. 3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
1．证明线段相等. 已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10， AD=8，BC=12 . 求证： △ABC是等腰三角形.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
解:设BE=x，折叠，∴△BCE ≌△FCE， ∴BC=FC=10. 令BE=FE=x，长方形ABCD， ∴ AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°， ∴DF=6, AF=4，∠A=90°, AE=8-x ，
第二组练习: 用勾股定理解决简单的实际问题
2. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长
2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米 ，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？
解：设滑杆顶端A下滑了x 米，依题意
得CE=AC - x ,∵AB=DE=2.5,BC=1.5, A
（1）如果a=3，b=4， 则c=
；
（2）如果a=6，c=10， 则b=
；
（3）如果c=13，b=12，则a=
；
3、在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）
A．BC2=AB2+AC2; B．AB2=AC2+BC2;
C．AB2=BC2-AC2; D．AC2=BC2-AB2
4、已知直角三角形的两边长为3、2，则第三条边长
汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假
设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉
机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,
学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么
受影响将持续多长时间?
N
E
P 30°
M
160
A
Q
2）如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°, 点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围 100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以 18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的 影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段AC的长，最后得出 AB=AC，即可.
证明：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8， ∴BD=6 . ∵BC=12, ∴DC=6. ∵在Rt△ADC中，AD=8， DC=6. ∴AC=10， ∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.
∠C=90°，∴AC= AB2 BC2 =2.
E
又∵BD=0.5, BC=1.5 ∴CD=2.
∴在Rt△ECD中，CE=
2
ED
CD2
=1.5. C
BD
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴2- x =1.5， x =0.5. 即AE=0.5 .
答：梯子下滑0.5米．
思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基
本步骤是什么？Zx```xk
是
．
第二组练习: 用勾股定理解决简单的实际问题
1. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树
．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下
，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心
自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张
大爷的房子吗？（ ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
勾股定理及其逆定理的综合应用
一、理清脉络 构建框架
勾股定理
互逆定理
勾股定理 的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角 形的判定
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
a2+ b2=c2
Ｒt△ 直角边a、b，斜边c
形
Ｒt△
逆定理:
a2+b2=c2 互
逆
数
命
a2+b2=c2 题
解:过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD中，∠ADB=90°，
∠B=45°，AB=2，∴AD=BD= 2.∵在△ABD中，
∠ADC=90°，∠C=60°，AD= 2，
∴CD= 2
3
3,∴BC=
22 3
3，S△ABC =
1 6 . 3
2)如图，公路MN和小路PQ在P处交
N
D
E B
P
M
A
Q
思考 ：在不是直角三角形中如何求线段长 和面积？
解一般三角形的问题常常通过作高转化成 直角三角形，利用勾股定理解决问题.
第四组练习: 勾股定理及其逆定理的综合应用
已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2， AD=3， 且AB⊥BC.求四边形 ABCD的面积.
分析：本题解题的关键是恰当的添加 辅助线，利用勾股定理的逆定理判定 △ADC的形状为直角三角形，再利用 勾股定理解题.
∴ 42 (8 x)2 x2，解得 x = 5 .∴BE的长为5.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
3.作高线，构造直角三角形. 1)已知：在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以添加BC边上的 高这条辅助线，就可以求得BC及S△ABC .
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
【思考】1、由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？2、
在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？3、由DF的长，你还 可以求出哪条线段长？4、设BE = x，你可以用含有x的式子 表示出哪些线段长？
三边a、b、c
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形 是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
二、复习巩固 第一组练习: 勾股定理的直接应用
1、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是(）． A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5,6 D．3，4，5 2.在Rt△ABC中，∠C=90°.