函数的周期性(基础+复习+习题+练习)

函数的周期性

基本知识方法

1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，

则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,

① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

③()()

1

f x a f x +=±

，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

⑤1()

()1()

f x f x a f x -+=

+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

⑥1()

()1()

f x f x a f x -+=-

+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

⑦1()

()1()

f x f x a f x ++=

-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为

.A 1- .B 0 .C 1 .D 2

2．（1）设()f x 的最小正周期2T =且()f x 为偶函数，

它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,

()f x =

()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，

当1921x << 时，()f x 的解析式是

()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，

已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。

3．()1定义在R 上的函数()x f 满足()()2+=x f x f ，当[]5,3∈x 时，

()42--=x x f ，则 .A sin cos 66f f ππ⎛⎫⎛

⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭； .B ()()sin1cos1f f >；

.C 22cos sin 33f f ππ⎛⎫⎛

⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ .D ()()cos2sin 2f f >

()2 设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，

且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 .A (1.5)(3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f << .C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f << 4. 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实数x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x ∈[0,2)时,,则f(-2013)+f(2014)的值

为 5. 已知是

上最小正周期为2的周期函数，且当

时, ,则函

数

的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为

6. 已知f(x)为偶函数，且f(2+x)=f(2-x)，当-2≤x≤0时，

；若

，

，

则=

7. 已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，则（）。

A:

B:

C:

D:

8. 已知函数定义在R上,对任意实数x有,若函数

的图象关于直线对称,,则( )

A.

B.

C.

D. 2

9．定义在R上的函数()x f

，对任意R

x∈，有()()()()y f x f

y

x

f

y

x

f2

=

-

+

+

，且

()0 0≠

f

，()1

求证：

()1

0=

f

；

()2

判断

()x f

的奇偶性；

()3

若存在非零常数c,使

2

=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛c

f

，①证明对任意R

x∈都有()()x f

c

x

f-

=

+

成立；

②函数()x f

是不是周期函数，为什么？

课后作业：

1.（2013榆林质检）若已知()f x 是R 上的奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当()0,2x ∈时，2

()2f x x =，则(7)f 等于 .A 2- .B 2 .C 98- .D 98

2.设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2f f a >=，则

.A 2a > .B 2a <- .C 1a > .D 1a <-

3.函数()f x 既是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()f x 在[]1,0-上

是减函数，那么()f x 在[]2,3上是

.A 增函数 .B 减函数 .C 先增后减函数 .D 先减后增函数 4.设1

()1x f x x -=

+，记(){[()]}n n f

f x f f f f x =⋅⋅⋅14243个，则2007()f x =

5.已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛

⎫=-+ ⎪⎝

⎭，且()23f -=，

则(2014)f =

6.设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1

(3)()

f x f x +=-

，且当[]3,2x ∈--时， ()2f x x =，则(113.5)f =

.A 27- .B 27 .C 15- .D 15

7.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x R ∈，都有1()

(1)1()f x f x f x -+=

+，

当0x <≤1时，()2f x x =，则(11.5)f = .A 1- .B 1 .C 12 .D 1

2

-

8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，

2()2f x x x =-.()1求证：()f x 是周期函数；()2当[2,4]x ∈时，求()f x 的表达式；

()3计算f （1）+f （2）+f （3）+……+f (2013)

9.（05朝阳模拟）

已知函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫

- ⎪⎝⎭

对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，求(1)(2)(3)f f f +++…(2006)f +的值