球面距离_课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的两地A ，B的球面距离． (设地球半径为R). 解 EOB EOA N
B A O E
赤道
S
6 6 R A ，B的球面距离为 6
AOB , 又 EOB 68 EOA 38 , AOB 30 ，根据 l R l R R
2.位于同一纬线上两点的球面距离
OC 2 OD2 CD 2 cos COD 0 2OC OD COD 90
, 西经 70 B的位置可能是：东经110
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
(1).位于同一经线上两点的球面距离
方法：直接代公式 (2).位于同一纬线上两点的球面距离 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化 为弧度，最后代公式。
2.球面距离公式 l R
cos AOB 0.1647 AOB 99.48 99.48 AB的弧长 2 6371 360
例、球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于 1 大圆周长的 ，经过三个点的小圆的周长为 4 ，求这 6 个球的半径。
O
A
设球的半径为 R, 可知小圆的半径为 2
例2.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度 线上，点A在东经30度，点B在东经120度。 求(1)在北纬45度圈上劣弧 AB 的长度; (2) 求经过A、B两地的球面距离？ (1)解：在BOO1中， m O OO1 B 90, OB R,
1
2 OBO1 45 , BO 1 R. 2
AOC BOD 40 , COD 360 (116 74 ) 170 由余弦定理，得：
A
C O
O1
B
D
AB 2 CD 2 OC 2 OD 2 2OC OD cos COD, OA2 OB 2 AB 2 cos AOB , 2 OA OB 其中OA OB 6371, OC OD 6371 cos 40
是一条线段的长吗? 答：不是，是一段圆弧的长。
(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢? 答：无数条。 (3)这无数条弧长哪条最短? 为了解决这个问题我们这节课就来研究一下地 球上两点之间的最短距离（球面距离）
一.定义
球面距离
球面距离：球面上两点A、 B之间的最短距离，就是 经过A、B两点的大圆在 这两点间的一段劣弧AB 的长度，我们把这个弧长 叫做两点的球面距离 距离公式：
O
R
B
R
A
l R
（其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数 ）
球面距离
A、B两点的球面距离：
A
O
过A、B两点的大圆 在A、B间的劣弧长 度。
注意：球面距离是球面上 两点间的最短距离
B
若设球心角 AOB (弧度制)
AB的弧长 R
地球仪中的经纬度 经度——P点的经度，也是 或 AOB 的 度数，即：某地点的经度就是经过这点的经 线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴 确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
球心 O 在平面ABC内的射影一定在 AC上， 所以点 O到平面ABC的距离为 OH
ABC 为直角三角形， A 、 B 、 C三点共圆
3 3 OO1 OA O1 A 3 2 2
2 2
2
练习： 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离 1 都等于大圆周长的 6 , 经过3点的小圆的周 长为 4 , 那么这个球的半径为（ ） B． 2 3 C． 2 D ．3 A． 4 3
北极 P 地 轴 O 线 A B 道 赤
本 初 子 午
纬度——B点的纬度，即经过这点的球半径和赤 道平面所成的角度． O1
B
O
α
A
如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。
例2、 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东 经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求两个城市间的距离。
球面距离
上海嘉定安亭高级中学 方卓群
球面上两点间的距离
平面上两点间的最短距离是连 结这两点的线段的长度， 而球的表面是曲面，球面上P 、Q 两 点间的最短距离显然不是线段PQ的长 度，那是什么呢？
假如你要乘坐从上海直飞好莱坞的飞机, 设想一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢? 航程大约是多少呢?
(1)在某一高度上，上海和好莱坞间的距离
C
如图设 O为 球 心 ， 三 点 为 A, B, C , O为ABC的 外 接 圆 的 圆 心
O
B
可知ABC为正三角形且 AB 2 3
A，B，C的 球 面 距 离 两 两 相 等 2 AO B AO C BO C 6 3
R AB 2 3
二.应用举例 1.位于同一经线上两点的球面距离 例1. 求东经 57 线上，纬度分别为北纬 38 和 68
上海与台北在同一经线上， 他们在同一个大圆上
A
O
AOB 31 25 6
B r 6371
6 AB的弧长 2 6371 360
例3、 已知地球的半径为 6371km,北京的位置约为东 经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间的距离。
A O
B
∴纬线圈中 AB 的长度为
2 2 . R R 2 2 4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
(2)在ABO1中， AO1B 90,
AB R, 在AOB中，
AO OB AB R AOB 60 l 3
R
3
∴ A、B两地的球面距离为 R .
O C B
A
练习、把地球当作半径为R的球，地球上A,B 两点都在北纬450的纬线上,A,B两点的球面距 离是 R ，A在东经200，求B点的位置 3 R
AB的弧长
3 AOB为正三角形 AB R
OC OD Rcos45
AOB 60
B
C
A
O
D
在COD中，CD AB R，
d C A H
1 B
注：我们可以把球的问题转化成棱锥(或棱柱)问题来处理
练习： 已知在半径为 3的球面上，有A, B, C 三点， AB 1, BC 2, 3 AC的两点之间的球面距离为 ， 3 则球心到平面ABC的距离是多少。
解： A 、 C两点的球面距离为
O C H B A
又
3 AOC 3 3 AC R 3 AB 1 , BC 2 , AC 3
A
m
O1
B O
已知球O的半径是1.A、B、C三点
都在球面上，且每两点的球面距离都是 ， 2 则球心到平面ABC的距离是___
A 1 . 3 B 3 , 3 C 2 , 3 D 6 6
O C A H d 1
B
每两点间的球面距离都为 2 AOB BOC AOC 90
解:ห้องสมุดไป่ตู้
A 、 B 、 C三点
又 OA OB 1 ，在直角三角形 AOB中 AB 2
，同理得：
AC
2
BC
2 AOB 为正三角形，
2 3 6 ，在直角三角形 HB AB 3 2 3 2 6 3 2 BOH中 , OH 1 3 3
O
O C A H d 1 B
B A O E
赤道
S
6 6 R A ，B的球面距离为 6
AOB , 又 EOB 68 EOA 38 , AOB 30 ，根据 l R l R R
2.位于同一纬线上两点的球面距离
OC 2 OD2 CD 2 cos COD 0 2OC OD COD 90
, 西经 70 B的位置可能是：东经110
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
(1).位于同一经线上两点的球面距离
方法：直接代公式 (2).位于同一纬线上两点的球面距离 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化 为弧度，最后代公式。
2.球面距离公式 l R
cos AOB 0.1647 AOB 99.48 99.48 AB的弧长 2 6371 360
例、球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于 1 大圆周长的 ，经过三个点的小圆的周长为 4 ，求这 6 个球的半径。
O
A
设球的半径为 R, 可知小圆的半径为 2
例2.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度 线上，点A在东经30度，点B在东经120度。 求(1)在北纬45度圈上劣弧 AB 的长度; (2) 求经过A、B两地的球面距离？ (1)解：在BOO1中， m O OO1 B 90, OB R,
1
2 OBO1 45 , BO 1 R. 2
AOC BOD 40 , COD 360 (116 74 ) 170 由余弦定理，得：
A
C O
O1
B
D
AB 2 CD 2 OC 2 OD 2 2OC OD cos COD, OA2 OB 2 AB 2 cos AOB , 2 OA OB 其中OA OB 6371, OC OD 6371 cos 40
是一条线段的长吗? 答：不是，是一段圆弧的长。
(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢? 答：无数条。 (3)这无数条弧长哪条最短? 为了解决这个问题我们这节课就来研究一下地 球上两点之间的最短距离（球面距离）
一.定义
球面距离
球面距离：球面上两点A、 B之间的最短距离，就是 经过A、B两点的大圆在 这两点间的一段劣弧AB 的长度，我们把这个弧长 叫做两点的球面距离 距离公式：
O
R
B
R
A
l R
（其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数 ）
球面距离
A、B两点的球面距离：
A
O
过A、B两点的大圆 在A、B间的劣弧长 度。
注意：球面距离是球面上 两点间的最短距离
B
若设球心角 AOB (弧度制)
AB的弧长 R
地球仪中的经纬度 经度——P点的经度，也是 或 AOB 的 度数，即：某地点的经度就是经过这点的经 线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴 确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
球心 O 在平面ABC内的射影一定在 AC上， 所以点 O到平面ABC的距离为 OH
ABC 为直角三角形， A 、 B 、 C三点共圆
3 3 OO1 OA O1 A 3 2 2
2 2
2
练习： 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离 1 都等于大圆周长的 6 , 经过3点的小圆的周 长为 4 , 那么这个球的半径为（ ） B． 2 3 C． 2 D ．3 A． 4 3
北极 P 地 轴 O 线 A B 道 赤
本 初 子 午
纬度——B点的纬度，即经过这点的球半径和赤 道平面所成的角度． O1
B
O
α
A
如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。
例2、 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东 经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求两个城市间的距离。
球面距离
上海嘉定安亭高级中学 方卓群
球面上两点间的距离
平面上两点间的最短距离是连 结这两点的线段的长度， 而球的表面是曲面，球面上P 、Q 两 点间的最短距离显然不是线段PQ的长 度，那是什么呢？
假如你要乘坐从上海直飞好莱坞的飞机, 设想一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢? 航程大约是多少呢?
(1)在某一高度上，上海和好莱坞间的距离
C
如图设 O为 球 心 ， 三 点 为 A, B, C , O为ABC的 外 接 圆 的 圆 心
O
B
可知ABC为正三角形且 AB 2 3
A，B，C的 球 面 距 离 两 两 相 等 2 AO B AO C BO C 6 3
R AB 2 3
二.应用举例 1.位于同一经线上两点的球面距离 例1. 求东经 57 线上，纬度分别为北纬 38 和 68
上海与台北在同一经线上， 他们在同一个大圆上
A
O
AOB 31 25 6
B r 6371
6 AB的弧长 2 6371 360
例3、 已知地球的半径为 6371km,北京的位置约为东 经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间的距离。
A O
B
∴纬线圈中 AB 的长度为
2 2 . R R 2 2 4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
(2)在ABO1中， AO1B 90,
AB R, 在AOB中，
AO OB AB R AOB 60 l 3
R
3
∴ A、B两地的球面距离为 R .
O C B
A
练习、把地球当作半径为R的球，地球上A,B 两点都在北纬450的纬线上,A,B两点的球面距 离是 R ，A在东经200，求B点的位置 3 R
AB的弧长
3 AOB为正三角形 AB R
OC OD Rcos45
AOB 60
B
C
A
O
D
在COD中，CD AB R，
d C A H
1 B
注：我们可以把球的问题转化成棱锥(或棱柱)问题来处理
练习： 已知在半径为 3的球面上，有A, B, C 三点， AB 1, BC 2, 3 AC的两点之间的球面距离为 ， 3 则球心到平面ABC的距离是多少。
解： A 、 C两点的球面距离为
O C H B A
又
3 AOC 3 3 AC R 3 AB 1 , BC 2 , AC 3
A
m
O1
B O
已知球O的半径是1.A、B、C三点
都在球面上，且每两点的球面距离都是 ， 2 则球心到平面ABC的距离是___
A 1 . 3 B 3 , 3 C 2 , 3 D 6 6
O C A H d 1
B
每两点间的球面距离都为 2 AOB BOC AOC 90
解:ห้องสมุดไป่ตู้
A 、 B 、 C三点
又 OA OB 1 ，在直角三角形 AOB中 AB 2
，同理得：
AC
2
BC
2 AOB 为正三角形，
2 3 6 ，在直角三角形 HB AB 3 2 3 2 6 3 2 BOH中 , OH 1 3 3
O
O C A H d 1 B