球面距离_课件

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优秀老师课件-两点间距离公式

详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径，即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述

球面距离计算

球面距离问题的求解玉邴图在高中数学课本和中学数学报刊资料中，关于球面距离问题仅给出定义，相关概念和例题论述较少，而在高考、竞赛及实际生活中，涉及球面问题的却有许多，且有一定的难度，为解决这个难点，本文介绍一个球心角定理及其推论，然后举例说明它们的应用，其过程反映了球面距离问题的一种求解方法，供读者参考。

一、几个相关概念纬度：经过某一点的地球的半径与赤道所在的大圆面所成的角。

经度：经过某一点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。

两地的位置关系：地球上两点A、B的位置关系有以下三种：（1）A、B两地经度相同，纬度不同；（2）A、B两地纬度相同，经度不同；（3）A、B两地纬度不同，经度也不同。

球面距离：某两点的大圆在这两点的一段劣弧的长度，即A、B两点的球面距离为弧AB=（其中是A、B两点的球心角，单位为弧度制，R为球的半径）。

所以求球面距离问题的本质就是求出球心角。

二、有关定理及其推论为了方便叙述，本文采用有向角的概念，规定东经为正，西经为负，北纬为正，南纬为负，例如西经记为，南纬记为。

于是我们有如下的球心角的余弦定理。

定理1 设A、B是地球表面上的任意两地，A地的经度为，纬度为，B地的经度为，纬度为，地球的中心为O，球心角∠AOB=（），则。

证明：设地球半径为，A、B两地所在的纬度圈分别为圆和圆，由球的截面性质知⊥圆，⊥圆，且两圆所在的平面平行，故知，O、三点共线，由有向角的概念知。

（1）设NOS为地轴，在半圆面NSA内，作所在的平面，垂足为，则，，在三角形中，由余弦定理得（2）当∠时，因为有，故（2）也成立，在直角三角形中，由勾股定理得（3）将（1）、（2）代入（3）得（4）在三角形AOB中，由余弦定理得（5）将（4）代入（5）代简得。

有了定理1，我们容易得到地球表面上的任意两地的距离公式。

定理2 设A、B是地球表面上的任意两地，A地的经度为，纬度为，B地的经度为，纬度为，地球的半径为R，则A、B两地的球面距离为劣弧AB=。

完整版球体精美课件

2
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
分割
求近似和
化为准确和
下面我们就运用上述方法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
球面：空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合
注意：球面与球体是两个不同的概念，
它们有什么区别？
球体(简称球)是实心的, 球面是空心的
模拟演示
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球和它的性质
观察球的形成过程
球体
?球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面. 球面所围成的几何体叫做球体.
A
A
O
C2
O
B2
r1 ? R2 ? R,
r2 ?
R2 ? ( R)2 , n
r3 ?
R2
?
(
2
R )
2
,
n
A
球的体积
ri
O
R (i ? 1)
n
R
O
第i层“小圆片”下底面的半径：
ri ?
R 2 ? [ R ( i ? 1 )] 2 , i ? 1 , 2 ? , n . n
球的体积
ri ?
R 2 ? [ R ( i ? 1)] 2 , i ? 1, 2 , ? , n n
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
S ? S ? S ? ? ? S A2 正多边形 ?A1OA2
? A2 OA3
? AnOA1

2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《球面距离》(上海市市西中学刘岚)

《球面距离》的教学设计说明课题：球面距离教材:上海市高级中学课本数学高三年级（上海教育出版社出版）教师：上海市市西中学刘岚一．教学内容的地位、作用分析球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。

在学生已经掌握圆柱、圆锥的概念和性质后进一步探究球的相关性质，使学生摆脱旋转体的母线只能是线段的狭隘理解，也是对旋转体知识体系的完善。

球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，它既是教材中关于球的最后一个知识点，也是立体几何中继“异面直线间的距离”、“点到平面的距离”、“直线到平面的距离”、“平面到平面的距离”之后又一距离概念,是高中阶段研究的最后一种距离。

区别于其他距离的是“球面距离”是一段圆弧的长度。

学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思维能力的训练与提高。

它不但能加深学生对球面及球的截面的理解, 而且在求其解过程中, 可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且沟通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角) 的概念，具有实质的教学意义。

另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。

通过学习，使学生认识到数学源于实践又作用于实践，同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的综合运用，体现二期课改中学科整合的思想。

二．教学目标和重点、难点分析“球面距离”是上海市高中数学教材中高三年级的教学内容，《上海市中小学数学课程标准》对“球面距离”的教学要求是：知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系。

结合课程标准，我将这节课的教学目标和重点难点定为：教学目标：1. 知道球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。

2. 体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。

3. 会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。

教学重点：会计算简单情形下球面上两点间的球面距离。

教学难点：地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。

球面距离最短的证明

球面距离最短的证明简介：已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L 已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L证明：引理:sin α<α<tan α (0<α<2π) (用单位圆、三角形面积公式及不等式)证略. 证明:(1)当a=R 时.过A 、B 的平面截球面的任意一个圆均为大圆,所以L 1=L=πR (2)当0<a<R 时考察⊙o 1的半径满足a<x ≤R 时，在⊙o 1上设A 、B 对应的圆心角为α=2arcsin x a ( 2arcsin Ra ≤α<2arcsin1=π),所以L 1=αx=2x arcsin x a , (L 1)求导=2arcsin x a +2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a 211a(-x 21)=2arcsin x a -2ax a 22- β=arcsin x a ,( arcsin R a ≤α<arcsin1=2π)则sin β=x a ,cos β=x a x 22-,tan β=ax a22- 由引理知β<tan β,则arcsinx a <a x a 22-所以(L 1)求导<0,则L 1=αx=2x arcsinx a 在a<x ≤R 上为减函数, 又L 1=αx=2x arcsin x a 在a ≤x ≤R 上连续, 所以L 1=αx=2x arcsin xa 在a ≤x ≤R 上为减函数, 所以L 1=αx=2x arcsin x a ≤2a arcsin aa =a π L 1=αx=2x arcsin x a ≥R 2arcsin R a =L ，所以当x=R 时, L 1最小=L=R 2arcsin Ra 由以上两种情况可知L 1≥L评注: 由以上证明可知以AB 为直径的大圆对应的劣弧最小。

球面距离ppt课件

球上两点之间的最短距离（球面距离）
§9.11球和它的性质
一.定义
球面距离
球面距离：球面上两点A、
B之间的最短距离，就是
经过A、B两点的大圆在
这两点间的一段劣弧AB
的长度，我们把这个弧长
叫做两点的球面距离
B
R
O RA
距离公式： l R
（其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）
§9.11球和它的性质
B A
§9.11球和它的性质
2
OO1
OA2 O1A2
3
3 2
3 2
§9.11球和它的性质
§9.11球和它的性质
练习：
球面上有3个点，其中任意两点的球面距离
都等于大圆周长的 1 ,
6
经过3点的小圆的周
长为4 , 那么这个球的半径为（）
A．4 3 B．2 3 C． 2 D ． 3
O C
又 OAO1 45 在直角三角形 AOO1中
O1A COS 45 OA
2 R 2
§9.11球和它的性质
N
O1
B
B
A
2 同理得： O1B 2 R
O1A2 O1B2 AB2
O
AO1B 90 因为A在西经 20 处, 所以 B在西经
S 20 90 110，北纬45处或者
在东经90 20 70，北纬45处。
R
6
§9.11球和它的性质
2.位于同一纬线上两点的球面距离
例2.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度线上，点A在东经30度，点B在东经120度。
求(1)在北纬45度圈上劣弧 AB 的长度;
(2) 求经过A、B两地的球面距离？

立体几何中的距离问题

立体几何中的求距离问题集美中学数学组刘海江、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗?1两点间的距离：连接两点的线段的长。

求法：(1)纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得(2)用公式，A(x i,y i,z i), B(X2,y2,Z2)，贝V |AB|= ____________________________(3)利用向量的模，|AB|=| AB |= . AB =•••(4)两点间的球面距离：A，B为半径是R的球0上的两点，若v OA,OB >"则A，B两点间的球面距离为____________________________ 。

2、点到直线的距离：从点向直线作(相交)垂线，该点与垂足间的线段长。

求法：(1)解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。

(2)等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。

(3 )利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射影的长，再由勾股定理求出所求的距离。

(4)利用公式：A (X o, y o),到直线I : Ax By 0的距离为____________________基本思想是将点线距转化为点点距。

3、点到平面的距离与直线到平面的距离(重点)(1)从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和_________________ 的距离，叫做这个点到这个平面的距离。

求法：①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求出此距离；②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离；③利用向量、点A，平面〉，满足A ，0三：J n _〉，| OA.nl则点A到平面:的距离d ( n是平面〉的法向量)|n|(2) 一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_____________ 到这个平面的_________ ，叫做这条直线和这个平面的距离。

(一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等)求法：转化为点到平面的距离来求；(具体方法参照点到平面的距离的求法)4、两个平行平面的距离一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也______________ 另一个平面，这条直线叫做两个平面的____________ ，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的______ ,它的长度叫做两个平行平面的______________ 。

球面距离公式及其应用

第7 期
高中数学教与学
球面距离公式及其应用
丁佩 ( 江苏省扬州中学树人集团, 225002)
球面距离的概念和球面距离的求法是中学数学教学中颇感棘手的问题. 5全日制普通高级中学教科书( 试验修订本 # 必修)6 对于这一知识点的处理方法是就题论题, 许多教学参考书也未给出详细的球面距离计算公式. 为此本文介绍球面距离公式并举例说明其应用.
_
东京到旧金山的距离为 P#
6
371 180
@
74
= 8 241. 34( km) .
^ sin 37bsin 40b+ cos 37bcos 40bcos 49b =
0. 78.
arccos( sin 37bsin 40b + cos 37bcos 40b #
cos 49b) = 38b.
_
旧金山到纽约的距离为 P#
= 2 R2 - 2 R 2cos BB cos BA cos( AA
- AB ) - 2 R 2sin BA sin BB . 在等腰 & A OB 中,
cos N A OB =
OA 2 + OB 2 - A B 2 2 OA # OB
= cos BA cos BB cos( AA - AB ) + sin BA sin BB .
32
1, 求 A 、B 两
点的球面距离.
解 AA = P4 , BA = P4 , AB = - P4 , BB =
arcsin
32
1,
_ AB =
R arccos
sin P4 sin
arcsin

高考数学第一轮复习第39讲球与球面距离

第39讲球与球面距离[基础篇]一、球：将圆心为O 的半圆绕其直径AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点O 称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．补充：（1）球的表面积：24S r π=（r 是球的半径）（2）球的体积：343V r π=球（r 是球的半径）二、球面距离：（1）概念：球面上联结两点最短路径的长度就是球面上两点的球面距离；【补充】① 球心到球面上任意点的距离都相等；② 任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆.【补充】求体积的常见方法有：①直接法（公式法）；②割补法；③转化法（等体积法）；割补思想和转化思想是解决体积问题的常用技巧. 其中，等体积法还经常用来求点到平面的距离或几何体的高.【补充】在联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离；所以，求两点之间的球面距离，首先要找到经过这两点的大圆，然后求大圆的劣弧长，而这往往需要求出两点之间的线段距离.三、球面距离：1、球的截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面.过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆。

2、经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。

纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

[技能篇]题型一：球的概念：例题1-1（1）已知球的直径为8cm ，那么它的表面积为__________，体积为___________（2）已知球的表面积为144π2cm ，那么它的体积为___________（3）已知球的体积为36π，那么它的表面积为__________（4）如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为__________例题1-2（1）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为（2）已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积。

2.3.2两点间的距离公式ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册

知识点
任务型课堂
课后素养评价
两点间的距离
1 ．平面内的两点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间的距离公式， |P1P2| ＝
2 − 1 2 + 2 − 1 2
______________________．
2．两点间距离的特殊情况
2 + 2

(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ __________．
|x2－x1|
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝_______．
|y2－y1|
(3)当P P ∥y轴(x ＝x )时，|P P |＝_______．
1 2
1
2
1 2
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|＝(
的中线AM的长为(
)
A．8
B．13
C．2 15
D． 65
D
解析：由B(10，4)，C(2，－4)可得M(6，0)，又A(7，8)，所以
|AM|＝
6−7
2
+ 0 − 8 2 ＝ 65.
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
2．已知线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上，且线段AB的中点为
第二章直线和圆的方程
2.3
直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
学习任务目标
掌握两点间的距离公式并会简单应用．(逻辑推理)

球面上两点间的距离为何以大圆劣弧最短

球面上两点间的距离为何以大圆劣弧最短
《立体几何》课本定义球面距离为：“在球面上，两点间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点的球面距离．”学生问两点的球面距离为何最短，课本并没有说明，教师往往感到难以解释清楚，因为此问题用高等数学的知识很容易解决，但学生无法理解．本文给出初等方法的证明．
∵S△AOP＜S△扇形AOP＜S△AOT，
即sinα＜α＜tanα．
∴sinx2 = sin[x1＋(x2－x1)]= sinx1cos(x2－x1)＋cosx1sin(x2－x1)
∴ x2－x1＞0，cosx1＞0，tanx1－x1＞0，x1x2＞0，
上式＞0，
定理3过球面上两点的大圆在这两点间的劣弧的长度是这两点在球面上的最短距离．
则大圆O小圆O1有公共弧AB，为方便以AB为轴旋转小圆O1到大圆所在的平面内(如图3)．
∠AO1B=2β，AB=2a，
则：R＞r，M为AB的中点，2α，2β∈(0，π)，OO1⊥AB，
∵ 2α，2β∈(0，π)，
故球面距离最短．。

高中数学立体几何中的最值问题、内接外切、球面距离

For personal use only in study and research; not for commercial use立体几何中的最值问题、内接外切、球面距离1. 一条长为2,a b 的三条线段，则ab 的最大值为A B C ．52D ．3【答案】C【解析】构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知2222221,1,3a y b x x y =+=++=，即22222325a b x y +=++=+=，又2252a b ab =+≥，所以52ab ≤，当且仅当a b =时取等号，所以选C. 2. 四棱锥P ABCD -的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为 A.12p B.24p C.36p D.48p3. 若三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（） A ．64π B ．16π C ．12π D ．4π【答案】B【解析】因为1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，所以2212212cos603BC =+-⨯⨯=，所以BC =。

所以90ABC ∠=，即ABC ∆为直角三角形。

因为三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，所以斜边AC的中点是截面小圆的圆心'O ，即小圆的半径为12r AC ==.,因为,OA OS 是半径，所以三角形AOS 为等腰三角形，过O 作OM SA ⊥,则M 为中点，所以1'2OO AM SA ====所以半径2OA ====，所以球的表面积为2416R ππ=,选B.4. 已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的高为323p，则A 、B 两点的球面距离为____________. 【答案】23π 【解析】因为正四棱柱外接球的体积为323p ，所以343233R pp =,即外接球的半径为2R =，所以正四棱柱的体对角线为24R =，设底面边长为x ，则222)(24+=，解得底面边长2x =。

球面距离的计算及其计算公式

球面距离的计算及其计算公式
在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）
如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点，为圆心，⊙为过A、B的大圆，⊙为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图2）设，，球半径为，半径为．则有大圆弧长，小圆弧长
（1）
但，即
（2）
将（2）代入（1）得
（3）
∵ ，由（2）式知 .
由于，故只需证明函数在内为单调递减即可.
∴
（∵当时，有）
∴ 在单调递减
由（3）式不难得到
即 . 故大圆劣弧最短。

球面距离公式：设一个球面的半径为，球面上有两点、
. 其中，为点的经度数，、为点的纬度数，过、
两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有
（弧度）
A、B间的球面距离为：
证明：如图3，⊙与⊙分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足位于上，连结、 . 则
在中，由余弦定理，得：
故
又
比较上述两式，化简整理得：
从而可证得关于与的两个式子.
例题北京在东经，北纬，上海在东经，北纬，求北京到上海的球面距离.
解：
∴（弧度）
∴所求球面距离为。

地球上两点之间的球面距离(卫福山)

地球上两点之间的球面距离的教学设计与思考卫福山（上海市松江二中）一、教学内容分析球面距离是上海教育出版社数学（高三）第15章简单几何体第6节内容，《上海市中小学课程标准》对球的要求是：类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球的表面积和体积的计算公式，并会用于进行有关的度量计算；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系.在本节中，引导学生理解球面距离的概念（这不同于一般的直线距离），原因在于球面不能展开成平面.然后具体探究了如何求同纬度不同经度、同经度不同纬度、不同经度不同纬度的地球上两点之间的距离的求法，特别强调将其中的线面关系转化为多面体（主要是特殊的棱锥）来分析，并综合使用扇形、弧长、解三角形等数学知识.在探究球面距离的计算中培养了学生空间想象能力和探究性学习的能力.二、教学目标设计1、知道球面距离的定义，知道地球的经度与纬度的概念，会求地球上同经度或同纬度的两点间的球面距离.2、在解决问题的过程中，领会计算地球上两点间的球面距离的方法.3、在实际问题中，探索新知识，成功解决问题，完成愉悦体验.三、教学重难点教学重点：掌握计算地球上两点间的球面距离的方法.教学难点：如何求地球上同纬度的两点间的球面距离.四、教学内容安排（一）、知识准备1、联系右图及中学地理中的有关知识认识地球——半径为6371千米的球.（理想模型）2、经度、纬度等相关知识地轴:连结北南极的球的直径,称为地轴.经线:经过北南极的半大圆,称为经线.本初子午线:它是地球上的零度经线,分别向东和向西计量经度，称为东经和西经,从0度到180度.经度:经线所在半平面与零度经线所在半平面所成的二面角的度数.参见右图.赤道:过球心且垂直于地轴的大圆,称为赤道.赤道的圆心就是球心.纬线:平行于赤道的小圆,称为纬线.位于赤道以北的称为北纬,位于赤道之南的称为南纬.纬度:球面上某点所在球半径与赤道平面所成的角.从0度到90度.参见上图.3、球面距离在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度——这个弧长叫两点的球面距离.问题：为何最短距离是经过两点的大圆的劣弧解释如下：如图所示，A 、B 是球面上两点，圆O '是经过A 、B 的任一小圆（纬线圆），O 是球心，设,,AOB AO B θα'∠=∠=,(0,),αθπ∈地球半径为,OA OB R ==小圆半径为,O A O B r ''==则A 、B 两地所在的大圆劣弧长为1,s R θ=小圆的劣弧长为2,s r α=下面只要说明12s s <即可。

球面余弦公式计算地理距离

球面余弦公式计算地理距离一、球面余弦公式简介。

1. 公式内容。

- 在球面上，对于球面上的两点A、B，设球的半径为R，两点的经纬度分别为A(λ_1,φ_1)，B(λ_2,φ_2)（其中λ为经度，φ为纬度），则两点间的球面距离d（也就是沿大圆弧的距离）可以由球面余弦公式计算：- cos d = sinφ_1sinφ_2+cosφ_1cosφ_2cos(λ_1 - λ_2)，然后d =Rarccos[sinφ_1sinφ_2+cosφ_1cosφ_2cos(λ_1 - λ_2)]。

2. 公式推导（简单理解）- 从向量的角度出发，设球心为O，点A、B对应的向量→OA、→OB。

- 根据向量点积公式→OA·→OB=|→OA||→OB|cos∠ AOB，在球面上|→OA|=|→OB| = R，∠ AOB对应的大圆弧长就是两点间的距离d（当d以弧度为单位时，d=∠ AOB）。

- 把向量用球坐标表示，→OA=(Rcosφ_1cosλ_1,Rcosφ_1sinλ_1,Rsinφ_1)，→OB=(Rcosφ_2cosλ_2,Rcosφ_2sinλ_2,Rsinφ_2)。

- 计算向量点积→OA·→OB=R^2(cosφ_1cosφ_2cos(λ_1-λ_2)+sinφ_1sinφ_2)，又因为→OA·→OB=R^2cos d，从而得到球面余弦公式。

1. 获取数据。

- 首先要确定地球上两点的经纬度信息。

例如，点A的经度λ_1 = 120^∘，纬度φ_1 = 30^∘；点B的经度λ_2 = 130^∘，纬度φ_2 = 40^∘。

这里的经纬度数据可以通过地理信息系统（GIS）、地图软件或者测量仪器获取。

2. 单位换算。

- 在计算中，通常将角度换算为弧度。

因为在数学计算中，三角函数的输入通常是弧度制。

1^∘=(π)/(180)弧度。

所以λ_1 = 120×(π)/(180)=(2π)/(3)弧度，φ_1 =30×(π)/(180)=(π)/(6)弧度；λ_2=(130π)/(180)=(13π)/(18)弧度，φ_2=(40π)/(180)=(2π)/(9)弧度。

高二数学最新课件-立体几何—球的概念和性质精品

2 1
；
O1
A
；
0°
B
O
当α 1+α 2＞π 时，∠AO1B =2π -（α 1+α 2）。
然后再由其他条件计算出∠AOB，进一步得出A、B的球面距离。
② 同经度不同纬度的两地间的球面距离：设同一经线上的A、B两地纬度分别是β 1、β 2(弧度数)
1o、A、B在赤道异侧时：A、B的球面距离为 R（β 1+β 2）； 2o、A、B在赤道同侧时：不妨设β 1＜β 2，A、B的球面距离为 R（β 2-β 1）。
2.球的截面性质。
3.球的大圆和小圆。
4.球面距离。
5.地球的经纬度和球面距离的计算。
球
一、球的概念：
1、球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。（另一定义：与一定点的距离等于一定值的点的集合叫做球面。）
2、球体（球）：球面所围成的几何体叫做球体，即球。（另一定义：与一定点的距离小于或等于一定值的点的集合叫做球。）
A
R
3、相关概念：球心，球的半径，球的直径。
O
2．经度和纬度的计算方法 ① 某点的经度——经过这点的经线与
北极
纬线 O1
地轴确定的半平面和0o经线（即本初子午线，简称子午线）与地轴确定的半平面所成的二面角的度数。东经和西经：0o经线以东的经线叫东经，经线 0o经线以西的经线叫西经。
A
B
O 赤道
0°
南极
东经和西经各180o，东经180o和西经180o是同一条经线。
例3、已知地球半径为R，地面上点A位于东经20o北纬60o，B点位于东经140o北纬60o，C点位于东经140o 北纬30o。试求A、B两点及B、C两点的球面距离。

三重积分的计算法—球面坐标

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(1 r 2)3 ]drx
3
o
0
4
3
1
(
1 2
)
[3
1 r2
(1 r 2)3 ]d(1 r 2)
0
4
3
(
1 2
)
0
[3
u
u3 ]du
8 。
5
1
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y
11
解法三截面法
2
z2dv z2dz d
0
Dz
2
z2 (2z z2 )dz
0 2
(2z3 z4 )dz
0 r ,
0
,
M(r,,)
r • M(x,y,z)
0 2 ②三组坐标面
o
z
x
y
x
y
P(x,y,0)
r =常数，即以原点为心的球面。
=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。
=常数，即过z轴的半平面。
2
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z
③点M的直角坐标与
球面坐标的关系为
x r sin cos
dv r2 sindrdd
d
r sind
rd
d
y
这就是球面坐标系中的体积元素。
5
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二、三重积分的球面坐标形式
f ( x, y, z)dxdydz F(r,, )r2 sindrdd
其中F(r,, ) f (r sin cos , r sin sin , r cos)。
计算三重积分，一般是化为先r，再，最后
r
2