江南大学博士课程-数学建模
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4
A D
E · F
C
B
另一架飞机乙在 B 点相撞。设调整后飞行方向为 AC ，在原来 发生碰撞（到达 B）的时刻到达 C 则可避免相撞，这是早调 整的情况。若在 A 处不调整，乙飞机也不改变飞行方向角， 则甲飞机在飞行一定时间后一定要调整飞行方向角， 设在 AB 上任取一点 D，在此处甲飞机改变飞行方向角，由于乙飞机 状态相同，甲飞机仍应避让到 C 点才可避免相撞。 因为 CDB A ，即后调整的幅度比先调整的幅度大。实际 上，由于 AD+CD>AC=AB，因为飞机的飞行速度不变，在原来 到达 B 的时刻，甲飞机还到不了 C 点，而只能到达 F 点 (DF=DB)，这时可能还不能避免碰撞，为了达到离开原来相 撞地点 B 一定距离的目的， 应在 D 点进一步将方向角转到 DE 上去，使 BE=BC，这样有 EDB CDB A ，即实际调整角度还 应进一步加大。 结论 2：如果发生碰撞，则多次调整不如在第一次调整时 调整到位好（不超过调整幅度的限制） 。根据这一结论优化 范围进一步缩小了，原来的二次、三次、多次甚至不断调整 的方案都不予考虑了。因为它们肯定不是问题的最优解。 证明： 见图。 设甲飞机正从 A 飞向 B， 会在 B 处与乙飞机相撞，为避免相撞， 甲飞机应至少避让到 C，如果甲飞机在 A 处调整方向角，后来再次调整方向角 即进行两次调整。在乙飞机不改变飞行方向的情况下，显然
第二节
非线性规划模型
上节讨论了线性规划问题，即目标函数和约束条件都是 线性函数的规划问题，但在实际工作中，还常常会遇到另外 一类更一般的规划问题，即目标函数和约束条件中至少有一 个是非线性函数的规划问题，即非线性规划问题。其数学模 型为：
max(min) f ( X )
hi ( X ) 0 s.t g j ( X ) 0 i 1...m ，其中 X ( x1 , x 2 , , x n ) T j 1...n
5
H E A D G C ·F O B
AG AH
方向不可取， AH 方向也不是最优解，这是因为 BAC BAH ， 方向调整幅度大了。 因此只可能取 BAC 内任一射线 AO 作为
调整方向，但为了避免相互碰撞，仍需要在射线 AO 的某点 D 处向 C 调整，由于 ODC DAC ，所以
, 0 i ,
2
2
i
, i ,
3 2
令
3 i 2 2
a v 2 (cos i cos j ) 2 (sin i sin j ) 2
，
b v[( x i 0 x j 0 )(cos i cos j ) ( y i 0 y j 0 )(sin i sin j )] c ( xi 0 x j 0 ) 2 ( y i 0 y j 0 ) 2
则 d ij 2
c , b0 b2 , 0 b aTij min (at 2 2bt c) c 0 t Tij a 2 aTij 2bTij c , b aTij
五、 模型求解 非线性规划问题的算法种类繁多，但只适用于某些特定 类型的问题。本模型可以考虑用计算机编程直接搜索求解或 计算碰撞方向角的上下界分析求解。
记飞机速度 v=800km/h，Ti，Tj 分别表示第 i、j 架飞机以 方向角 i , j 飞行在区域内的飞行时间，且记 Tij=min(Ti，Tj)，
7
( x 0 x 0 ) vt (cos cos )2 ( y 0 y 0 ) vt (sin sin )2 ， 则 d ij 2 ( i , j ) 0min i j i j i j i j t T
进行搜索，寻求最优解。
为达到允许误差给出的精度要求，需采用较小的搜索步 长，这样计算量会很大，应采用一些减少计算量的方法。具 体做法如下： 先采用较大步长，求得近似解，据此缩小搜索范围，再 用较小的步长作进一搜索。
令 dz 0 ，可得 x
dt
2
例 2.2： 飞行管理问题 在约 10,000 米高空的某边长 160 公里的正方形区域内, 经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速 度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进 入该区域的飞机到达区域边缘, 记录其数据后，要立即计算 并判断是否会与区域内的飞机发生 碰撞。如果会碰撞，则 应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角，以避 免碰撞。现假定条件如下: 1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8 公里; 2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度; 3) 所有飞机飞行速度均为每小时 800 公里; 4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域 内飞机的距离应在 60 公里以上; 5) 最多需考虑 6 架飞机; 6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列 出计算步骤，对以下数据进行计 算(方向角误差不超过 0.01 度)，要求飞机飞行方向 角调整的幅度尽量小。 设该区域 4 个顶点的座标为 2.1 飞机飞行记录数据表 (0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据为:
O
t1
图 2.1
t2
t
，h t1 ，所
db ~t dt
。再由假设 1 和 3，火灾损失费为 c1b(t 2 ) ，
因此森林救火费用最小的数学模型为 救火费为 c2 x(t 2 t1 ) c3 x ，
min Z 1 1 2 c1 t12 t1 c1t12 c2 x c x 2 2 x x 3 c1 t1 2c2t1 2c3 2
3 4 5
对象，相当复杂。因为可 新进入
以在新进入飞机进入该正方形区域内至碰撞发生前任一时 刻调整六架飞机中任一架、任二架直至六架飞机的飞行方 向，可以一次、二次、多次甚至不断调整飞机的飞行方向， 因而调整方案太多了，要进行优化，无疑是大海捞针。所以 首先要简化方案。 两条结论：按问题要求，实际上这不是严格意义下的最 优控制问题，而是一个一般优化问题。问题要求飞机飞行方 向角的调整幅度尽可能小，由此可得出两条结论： 结论 1：如果发生碰撞，早调整一定优于晚调整。这一 结论大大缩小了优化范围，原来可在一般时间的任一时刻进 行调整，而根据这一结论，仅需要考虑开始采取行动就可以 了。 证明：见图。若甲飞机位于 A 点， 如果不改变飞行方向将与 飞行方向 AB ，
一般说来，求解非线性规划问题要比求解线性规划问题 困难得多，更不象线性规划问题有单纯形法这一通用算法。 非线性规划问题目前还没有适于各种问题的一般算法，各个 方法都有自己的特定范围。 应用实例： 例 2.1: 森林救火费用最小问题 在森林失火时，应派多少消防队员去救火最合适？派的 队员越多，灭火的速度越快，火灾造成的损失就越小，但救 援的费用会增大。现在的问题是：派出多少队员去救火，才 能使火灾损失费与救火费用之和最小？ 模型假设 （1） 火灾损失费与森林烧毁的面积成正比， 烧毁的面
积与失火时间长短有关； 设失火时刻 t=0，开始救火的时刻为 t1，火被扑灭的时间为
t2 ，t 时刻森林烧毁的面积为 b(t)，烧毁单位面积森林的损 失费为 c1； （2） 从失火到开始救火这段时间 (0 t t1 ) 内， 单位时间内 森林被烧毁的面积 db 与时间 t 成正比，比例系数 称为火势
次、多次甚至不断调整可用数学归纳法证明它们都不如一次 调整到位好。 关于目标函数的讨论 按题意要求，目标函数应为六架飞机飞行方向角的调整幅度 并取最小值。然而对于调整幅度，可以有多种定量方法，记
i
为第 i 架飞机的调整幅度值，则
6 6 i 1 i 1
第一种目标函数： min Z1 sign i ，且 min Z 2 i ，这个目标 首选的是让被调整飞机的架次达到最小，同时在满足架次最 少的前提下，再使所有调整幅度之和达到最小，这样既使受 影响的乘客达到最少，也便于调度中心管理控制，还有利于 飞机回到原来的航线。 第二种目标函数： min Z i ， 这个目标函数是使各架飞
i 1 6
6
机调整幅度之和达到最小，是一种常被采用的目标函数。
i 第三种目标函数： min Z 1max i 6
第四种目标函数： min Z i 2
i 1
6
二、 模型假设 1．飞机用几何上的点代表，不考虑其尺寸大小，位置由坐 标(x,y)给出； 2．已在区域内的飞机，按给定方向角飞行，一定不会碰撞； 3．飞机调整方向角的过程可以在瞬间完成，即可在保持位 置不变的情况下完成方向角的调整； 三、 变量说明
dt dt
所示。 则森林烧毁面积 b(t 2 ) 恰好等于图 2.1 中三角 形面积，即
1 h db b(t 2 ) dt ht 2 ，而 t 2 t1 2 x dt 0
1 1 2 t12 2 以 b(t2 ) t1 2 2 x
t2
db dt
h
, i 0 ] 分成 直接搜索法：将允许调整的方向角范围 [ i 0 6 6
2n 等分，令分点上的值 i k (k 1,...,2n 1) ，对允许调整方向的不同 组合 { 1 k , , 6 k }
1 6
(k j 1,...,2n 1, j 1,...,6)
ODC BAO BAO DAC BAC
，即分两次调整，其幅度比大于开
始时一次调整到位的调整幅度。 实际上由于 CD+DA>AC=AB，预定到 B 的时刻，甲飞机到达 不了 C 点，只能到达 AD+DF=AB 的 F 点，为避免相撞，在 D 处飞行方向调整应为
DE
,因而调整幅度更大一些。至于三
3
表
来自百度文库
注: 方向角指飞行方向与 x 轴正向的夹角。
飞机 编号 1 2
横座标 纵座标 方向角 x 150 85 150 145 130 0 y 140 85 155 50 150 0 (度) 243 236 220.5 159 230 52
一、 模型分析：从形式 上看，本问题属于最优控 制问题，而且有 6 个控制
四、 模型建立 取第二种目标函数，建立如下的非线性规划模型
min Z
i 1
6
i
(i 1...6) s.t i 6 2 d ij ( i , j ) 64 (i, j 1...6, i j )
其中 d ij ( i , j ) 的数学描述如下：
( xi 0 , yi 0 ) , i 0 ( xi , yi ) , i
d ij ( i , j )
——第 i 架飞机初始位置及方向角； ——第 i 架飞机在时刻 t 时的位置及方向角；
——第 i、j 架飞机在时刻 t 时的距离; ——第 i 架飞机调整角；
i i i 0
ij
160 x i 0 160 y i 0 , } min{ v cos i v sin i x i 0 160 y i 0 min{ , } v cos i v sin i Ti 0 0 min{ x i , y i } v cos i v sin i 160 x i 0 y i 0 min{ , } v cos i v sin i
dt
蔓延速度； （3） 派出消防队员 x 名，每个消防队员的平均灭火速度 为 ，单位时间的费用为 c2，一次性支出是 c3。 模型建立 根据假设(2)和(3)，在 [0, t1 ] 时间内，有 db t ，在 [t1 , t 2 ] 时
dt
间内，有 db ( x)t 。 db ~ t 的图形如图 2.1
A D
E · F
C
B
另一架飞机乙在 B 点相撞。设调整后飞行方向为 AC ，在原来 发生碰撞（到达 B）的时刻到达 C 则可避免相撞，这是早调 整的情况。若在 A 处不调整，乙飞机也不改变飞行方向角， 则甲飞机在飞行一定时间后一定要调整飞行方向角， 设在 AB 上任取一点 D，在此处甲飞机改变飞行方向角，由于乙飞机 状态相同，甲飞机仍应避让到 C 点才可避免相撞。 因为 CDB A ，即后调整的幅度比先调整的幅度大。实际 上，由于 AD+CD>AC=AB，因为飞机的飞行速度不变，在原来 到达 B 的时刻，甲飞机还到不了 C 点，而只能到达 F 点 (DF=DB)，这时可能还不能避免碰撞，为了达到离开原来相 撞地点 B 一定距离的目的， 应在 D 点进一步将方向角转到 DE 上去，使 BE=BC，这样有 EDB CDB A ，即实际调整角度还 应进一步加大。 结论 2：如果发生碰撞，则多次调整不如在第一次调整时 调整到位好（不超过调整幅度的限制） 。根据这一结论优化 范围进一步缩小了，原来的二次、三次、多次甚至不断调整 的方案都不予考虑了。因为它们肯定不是问题的最优解。 证明： 见图。 设甲飞机正从 A 飞向 B， 会在 B 处与乙飞机相撞，为避免相撞， 甲飞机应至少避让到 C，如果甲飞机在 A 处调整方向角，后来再次调整方向角 即进行两次调整。在乙飞机不改变飞行方向的情况下，显然
第二节
非线性规划模型
上节讨论了线性规划问题，即目标函数和约束条件都是 线性函数的规划问题，但在实际工作中，还常常会遇到另外 一类更一般的规划问题，即目标函数和约束条件中至少有一 个是非线性函数的规划问题，即非线性规划问题。其数学模 型为：
max(min) f ( X )
hi ( X ) 0 s.t g j ( X ) 0 i 1...m ，其中 X ( x1 , x 2 , , x n ) T j 1...n
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H E A D G C ·F O B
AG AH
方向不可取， AH 方向也不是最优解，这是因为 BAC BAH ， 方向调整幅度大了。 因此只可能取 BAC 内任一射线 AO 作为
调整方向，但为了避免相互碰撞，仍需要在射线 AO 的某点 D 处向 C 调整，由于 ODC DAC ，所以
, 0 i ,
2
2
i
, i ,
3 2
令
3 i 2 2
a v 2 (cos i cos j ) 2 (sin i sin j ) 2
，
b v[( x i 0 x j 0 )(cos i cos j ) ( y i 0 y j 0 )(sin i sin j )] c ( xi 0 x j 0 ) 2 ( y i 0 y j 0 ) 2
则 d ij 2
c , b0 b2 , 0 b aTij min (at 2 2bt c) c 0 t Tij a 2 aTij 2bTij c , b aTij
五、 模型求解 非线性规划问题的算法种类繁多，但只适用于某些特定 类型的问题。本模型可以考虑用计算机编程直接搜索求解或 计算碰撞方向角的上下界分析求解。
记飞机速度 v=800km/h，Ti，Tj 分别表示第 i、j 架飞机以 方向角 i , j 飞行在区域内的飞行时间，且记 Tij=min(Ti，Tj)，
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( x 0 x 0 ) vt (cos cos )2 ( y 0 y 0 ) vt (sin sin )2 ， 则 d ij 2 ( i , j ) 0min i j i j i j i j t T
进行搜索，寻求最优解。
为达到允许误差给出的精度要求，需采用较小的搜索步 长，这样计算量会很大，应采用一些减少计算量的方法。具 体做法如下： 先采用较大步长，求得近似解，据此缩小搜索范围，再 用较小的步长作进一搜索。
令 dz 0 ，可得 x
dt
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例 2.2： 飞行管理问题 在约 10,000 米高空的某边长 160 公里的正方形区域内, 经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速 度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进 入该区域的飞机到达区域边缘, 记录其数据后，要立即计算 并判断是否会与区域内的飞机发生 碰撞。如果会碰撞，则 应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角，以避 免碰撞。现假定条件如下: 1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8 公里; 2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度; 3) 所有飞机飞行速度均为每小时 800 公里; 4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域 内飞机的距离应在 60 公里以上; 5) 最多需考虑 6 架飞机; 6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列 出计算步骤，对以下数据进行计 算(方向角误差不超过 0.01 度)，要求飞机飞行方向 角调整的幅度尽量小。 设该区域 4 个顶点的座标为 2.1 飞机飞行记录数据表 (0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据为:
O
t1
图 2.1
t2
t
，h t1 ，所
db ~t dt
。再由假设 1 和 3，火灾损失费为 c1b(t 2 ) ，
因此森林救火费用最小的数学模型为 救火费为 c2 x(t 2 t1 ) c3 x ，
min Z 1 1 2 c1 t12 t1 c1t12 c2 x c x 2 2 x x 3 c1 t1 2c2t1 2c3 2
3 4 5
对象，相当复杂。因为可 新进入
以在新进入飞机进入该正方形区域内至碰撞发生前任一时 刻调整六架飞机中任一架、任二架直至六架飞机的飞行方 向，可以一次、二次、多次甚至不断调整飞机的飞行方向， 因而调整方案太多了，要进行优化，无疑是大海捞针。所以 首先要简化方案。 两条结论：按问题要求，实际上这不是严格意义下的最 优控制问题，而是一个一般优化问题。问题要求飞机飞行方 向角的调整幅度尽可能小，由此可得出两条结论： 结论 1：如果发生碰撞，早调整一定优于晚调整。这一 结论大大缩小了优化范围，原来可在一般时间的任一时刻进 行调整，而根据这一结论，仅需要考虑开始采取行动就可以 了。 证明：见图。若甲飞机位于 A 点， 如果不改变飞行方向将与 飞行方向 AB ，
一般说来，求解非线性规划问题要比求解线性规划问题 困难得多，更不象线性规划问题有单纯形法这一通用算法。 非线性规划问题目前还没有适于各种问题的一般算法，各个 方法都有自己的特定范围。 应用实例： 例 2.1: 森林救火费用最小问题 在森林失火时，应派多少消防队员去救火最合适？派的 队员越多，灭火的速度越快，火灾造成的损失就越小，但救 援的费用会增大。现在的问题是：派出多少队员去救火，才 能使火灾损失费与救火费用之和最小？ 模型假设 （1） 火灾损失费与森林烧毁的面积成正比， 烧毁的面
积与失火时间长短有关； 设失火时刻 t=0，开始救火的时刻为 t1，火被扑灭的时间为
t2 ，t 时刻森林烧毁的面积为 b(t)，烧毁单位面积森林的损 失费为 c1； （2） 从失火到开始救火这段时间 (0 t t1 ) 内， 单位时间内 森林被烧毁的面积 db 与时间 t 成正比，比例系数 称为火势
次、多次甚至不断调整可用数学归纳法证明它们都不如一次 调整到位好。 关于目标函数的讨论 按题意要求，目标函数应为六架飞机飞行方向角的调整幅度 并取最小值。然而对于调整幅度，可以有多种定量方法，记
i
为第 i 架飞机的调整幅度值，则
6 6 i 1 i 1
第一种目标函数： min Z1 sign i ，且 min Z 2 i ，这个目标 首选的是让被调整飞机的架次达到最小，同时在满足架次最 少的前提下，再使所有调整幅度之和达到最小，这样既使受 影响的乘客达到最少，也便于调度中心管理控制，还有利于 飞机回到原来的航线。 第二种目标函数： min Z i ， 这个目标函数是使各架飞
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机调整幅度之和达到最小，是一种常被采用的目标函数。
i 第三种目标函数： min Z 1max i 6
第四种目标函数： min Z i 2
i 1
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二、 模型假设 1．飞机用几何上的点代表，不考虑其尺寸大小，位置由坐 标(x,y)给出； 2．已在区域内的飞机，按给定方向角飞行，一定不会碰撞； 3．飞机调整方向角的过程可以在瞬间完成，即可在保持位 置不变的情况下完成方向角的调整； 三、 变量说明
dt dt
所示。 则森林烧毁面积 b(t 2 ) 恰好等于图 2.1 中三角 形面积，即
1 h db b(t 2 ) dt ht 2 ，而 t 2 t1 2 x dt 0
1 1 2 t12 2 以 b(t2 ) t1 2 2 x
t2
db dt
h
, i 0 ] 分成 直接搜索法：将允许调整的方向角范围 [ i 0 6 6
2n 等分，令分点上的值 i k (k 1,...,2n 1) ，对允许调整方向的不同 组合 { 1 k , , 6 k }
1 6
(k j 1,...,2n 1, j 1,...,6)
ODC BAO BAO DAC BAC
，即分两次调整，其幅度比大于开
始时一次调整到位的调整幅度。 实际上由于 CD+DA>AC=AB，预定到 B 的时刻，甲飞机到达 不了 C 点，只能到达 AD+DF=AB 的 F 点，为避免相撞，在 D 处飞行方向调整应为
DE
,因而调整幅度更大一些。至于三
3
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来自百度文库
注: 方向角指飞行方向与 x 轴正向的夹角。
飞机 编号 1 2
横座标 纵座标 方向角 x 150 85 150 145 130 0 y 140 85 155 50 150 0 (度) 243 236 220.5 159 230 52
一、 模型分析：从形式 上看，本问题属于最优控 制问题，而且有 6 个控制
四、 模型建立 取第二种目标函数，建立如下的非线性规划模型
min Z
i 1
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i
(i 1...6) s.t i 6 2 d ij ( i , j ) 64 (i, j 1...6, i j )
其中 d ij ( i , j ) 的数学描述如下：
( xi 0 , yi 0 ) , i 0 ( xi , yi ) , i
d ij ( i , j )
——第 i 架飞机初始位置及方向角； ——第 i 架飞机在时刻 t 时的位置及方向角；
——第 i、j 架飞机在时刻 t 时的距离; ——第 i 架飞机调整角；
i i i 0
ij
160 x i 0 160 y i 0 , } min{ v cos i v sin i x i 0 160 y i 0 min{ , } v cos i v sin i Ti 0 0 min{ x i , y i } v cos i v sin i 160 x i 0 y i 0 min{ , } v cos i v sin i
dt
蔓延速度； （3） 派出消防队员 x 名，每个消防队员的平均灭火速度 为 ，单位时间的费用为 c2，一次性支出是 c3。 模型建立 根据假设(2)和(3)，在 [0, t1 ] 时间内，有 db t ，在 [t1 , t 2 ] 时
dt
间内，有 db ( x)t 。 db ~ t 的图形如图 2.1