利用两个一次函数的图像解决问题

第四章一次函数

利用两个一次函数的图像解决问题

一、学生起点分析

在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用．

二、教学任务分析

本节课是北师大版义务教育教科书八年级（上）第四章《一次函数》第四节的第3课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础．

教学目标

1.进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；

2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；

3.在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．

4.在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．

教学重点

一次函数图象的应用

教学难点

从函数图象中正确读取信息

三、教法学法

1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展”

2．课前准备：

教具：教材，课件，电脑

学具：教材，练习本，铅笔，直尺

四、教学过程：

本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置．

第一环节：情境引入

内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,

按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克

数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所

示,结合图象回答下列问题.

(1)农民自带的零钱是多少?

(2)试求降价前 y 与 x 之间的关系

(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多

少?

(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?

活动目的：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。 活动效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。

第二环节：问题解决

内容1：例1

小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见

面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，

沿景区公路去“飞瀑”，车速为 36km /h ，小慧

也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车

沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km /h ．

（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草

甸”？

（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”

还有多少千米？

分析：

当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？

解：设经过t 时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为1S 、2S ，

由题意得：t S 361=，10262+=t S 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得

⑴两条直线t S 361= ，10262+=t S 的交点坐标为（1，36）

这说明当小聪追上小慧时，1236km S S ==，即离“古刹”36km ，已超过35km ，也就是说，他们已经过了“草甸”

⑵当小聪到达“飞瀑”时，即145km S =，此时242.5km S = ．

所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km ）

思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为t S 361= ，小慧的解析式为10262+=t S )？

内容2：深入探究

例2 我边防局接到情报，近海处有一可疑

船只A 正向公海方向行驶．边防局迅速派

出快艇 B 追赶（如图），下图中1l ， 2l 分

别表示两船相对于海岸的距离s （海里）

与追赶时间t （分）之间的关系．

根据图象回答下列问题：

（1）哪条线表示B 到海岸的距离与时间之间的

关系？

解：观察图象，得当0=t 时，B 距海岸0 n mile ，

即0=S ，故1l 表示B 到海岸的距离与追赶时间

之间的关系；

（2）A ，B 哪个速度快？

解：从0增加到10时，2l 的纵坐标增加了2，而1l 的纵坐标增加了5，即10 min 内，A 行驶了2海里，B 行驶了5 n mile ，所以B 的速度快．

（3）15 min 内B 能否追上A ？

解：可以看出，当15=t 时，1l 上对应点在2l

上对应点的下方，

（4）如果一直追下去，那么B 能否追上A ？

解：如图1l ，2l 相交于点P ．因此，如果一直追

下去，那么B 一定能追上A ．

（5）当A 逃到离海岸2l 海里的公海时，B 将无

法对其进行检查．照此速度，B 能否在A 逃到公

海前将其拦截？

解：从图中可以看出，1l 与2l 交点P 的纵坐标小

于2l ，这说明在A 逃入公海前，我边防快艇B 能

够追上A ．

海 岸 公 海 A

B

第三环节：反馈练习

内容：观察甲、乙两图，解答下列问题

1．填空：两图中的（ ）图比较符合传统寓言故事《龟免赛跑》中所描述的情节．

3．根据1中所填答案的图象求：

（1）龟免赛跑过程中的函数关系式（要注明各函数的自变量的取值范围）；

（2）乌龟经过多长时间追上了免子，追及地距起点有多远的路程？

4．请你根据另一幅图表，充分发挥你的想象，自编一则新的“龟免赛跑”的寓言故事，要求如下：

（1）用简洁明快的语言概括大意，不能超过200字；

（2）图表中能确定的数值，在故事叙述中不得少于3个，且要分别涉及时间、路和速度这三个量．

意图：旨在检测学生的识图能力，可根据学生情况和上课情况适当调整。

5. 如图，A l 与 B l 分别表示A 步行与B 骑车同一路上行驶的路程S 与时间t 的关系．

（1）B 出发时与A 相距多少千米？

（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是多少小时？

（3）B 出发后经过多少小时与A 相遇？ （4）若B 的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进， 那么经过多少时间与A 相遇？相遇点离B 的出发点多远？

你能用哪些方法解决这个问题？在图中表示出这个相遇点C ．

6.甲．乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为

y 甲（棵），乙班植树的总量为y 乙（棵），