高中数学选修1-2,1.1回归分析的基本思想及其初步应用

如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量；
商品的销售额与广告费；
家庭的支出与收入。等等 探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何 规律？
施化肥量x 15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y 330 345 365 y
500 450 400 350 300 10
405 445
450 455
散点图
水稻产量
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图： 2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系，因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系。 产生随机误差项e 3、从散点图还看到，样本点散布在某一条 的原因是什么？ 直线的附近，而不是在一条直线上，所以 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。
yi y
( xi x)( yi y)
( xi x)2
x
， y
，
其中 1 1 x xi， yi y n i 1 n i 1
n n
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的 体重为50kg。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的 体重从50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg，这时解析变量和随 机误差的组合效应为-4.5kg。
用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。
数学上，把每个效应（观测值减去总的平均
求出线性相关方程后， 0.849 说明身高x每 b 增加一个单位,体重y就增加0.849个单位,这表 明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描 述它们之间线性相关关系的强弱呢?
1.用相关系数 r 来衡量

2.公式：
r
x x y y
n i 1 i i
x x y y
复习:变量之间的两种关系
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是 确定性关系 y = x2 问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 -------有一个确定性的关系？ 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田 上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到 如下所示的一组数据：
施化肥量x 15
根据最小二乘法估计a 和b 就是未知参数a和b的最好估计，
b

(x
i 1 n
n
i
x )( yi y )
( xi x) 2
i 1 i i
a y b x



x y
i 1 n
n
nx y nx
2
x
i 1
2
i
制表
i
1
2
3
4
5
6
7
8
合计
xi x
函数模型与回归模型之间的差别
函数模型： y bx a 回归模型： y bx a e
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值 由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y 的变化。 在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预 报变量。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分 析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大 的模型作为这组数据的模型。
总的来说： 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的 能力。
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
R 1
体重/kg
165
48
165
57
157
50
170
54
175
64
165
61
155
43
170
59
54.5kg
例如，编号为6的 女大学生的体重并没有 落在水平直线上，她的 体重为61kg。解析变量 （身高）和随机误差共 同把这名学生的体重从 54.5kg“推”到了61kg， 相差6.5kg，所以6.5kg
是解析变量和随机误差 的组合效应。
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
于是得到 b 0.849 a 85.712 ，
^ ^
( x, y)称为 样本点的中心
探究P4： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 所以回归方程是 0.849x 85.712 y 如果不是，你能解析一下原因吗？ 所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报 其体重为
函数模型与回归模型之间的差别
中国GDP散点图 120000
100000
80000
GDP
60000
40000
20000
0 1992
1993
1994
1995
1996
1997 年
1998
1999
2000
2001
2002
2003
函数模型： y bx a 回归模型： y bx a e
可以提供 选择模型的准则
+1.0
r
负相关程度增加
对回归模型进行统计检验
假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所 有人的体重将相同。在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女 大学生的体重都是她们的平均值， 即8个人的体重都为54.5kg。
编号 身高/cm 体重/kg 1 165 54.5 2 165 54.5 3 157 54.5 4 170 54.5 5 175 54.5 6 165 54.5 7 155 54.5 8 170 54.5
思考P3
我们可以用下面的线性回归模型来表示： y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数， e称为随机误差。
思考 产生随机误差项e的原因是什么？
随机误差e的来源(可以推广到一般）： 1、其它因素的影响：影响体重y 的因素不只 是身高 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、 生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误 差； 3、身高 x 的观测误差。
第一章 统计案例
a. 比《数学3》中“回归”增加的内 选修１-２——统计案例 容 数学３——统计
1. 画散点图 2. 了解最小二乘法 的思想 3. 求回归直线方程 y＝bx＋a 4. 用回归直线方程 解决应用问题 5. 引入线性回归模型 y＝bx＋a＋e 6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因 7. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系 8. 了解残差图的作用 9. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题 10. 正确理解分析方法与结果
2
( yi i ) 2 y ( yi y ) 2
i 1 i 1 n
n
残差平方和 1 。 总偏差平方和
表1-3
来源 解释变量(身高) 随机误差(e) 平方和 225.639 128.361 比例 0.64 0.36
总计
354
1
从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即 R2≈0.64，可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”，而随 机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误 差的效应大得多。
n 2 n i 1 i i 1 i
2
3.性质： ①、当 r 1 时，x与y为完全线性相关，它们之 间存在确定的函数关系。 ②、当 0 r 1 时，表示x与y存在着一定的线 性相关，r的绝对值越大，越接近于1，表示x 与y直线相关程度越高，反之越低。
当r 0时，表示x与y为正相关;当r 0时，表示x与y为负相关
20
25
30
35
40
45
水稻产量y 330 345 365
405 445
450 455
1、定义：
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随
机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）：对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法叫回归分析。
2、现实生活中存在着大量的相关关系。
值）的平方加起来，即用
( y y)
i 1 i
n
2
表示总的效应，称为总偏差平方和。
在例1中，总偏差平方和为354。
编号 身高/cm 体重/kg
1
165 48
2
165 57
3
157 50
4
170 54
5
175 64
6
165 61
7
155 43
8
170 59
那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有 多少来自于解析变量（身高）？有多少来自于随机 误差？
R 1
2
( yi i ) 2 y ( yi y ) 2
i 1 i 1 n
n
残差平方和 1 。 总偏差平方和
显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是 说模型拟合效果越好。
在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变 化的贡献率。
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1， 表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。
当r [0.75， 表明两个变量正相关很强； 1], 当r [1, 0.75], 表明两个变量负相关很强；
当r [0. 0.25], 表明两个变量相关性较弱。 25,
相关关系的测度