17-4 静电场的环路定理与电势
静电场的环路定理 电势
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理静电场力的功电势能
静电场力的功
02
电场力的定义
电场力是电荷在电场中受到的 力，其大小和方向由电场强度
和电荷的乘积决定。
电场力的大小为 F=qE，其 中 F 是电场力，q 是电荷量，
E 是电场强度。
电场力的方向与电场强度的方 向相同，即由正电荷指向负电
荷。
电场力做功的计算
电场力做功可以通过积分计算，即 W=∫F·dr，其中 W 是电场力做的功， F 是电场力，dr 是位移矢量。
在匀强电场中，电场力做功可以通过 W=qEd计算，其中 W 是电场力做 的功，q 是电荷量，E 是电场强度，d 是位移。
在非匀强电场中，需要计算电场力在路径上的积分来计算电场力做的功。
电场力做功的特点
01
电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
02
电场力做功是标量，没有方向。
03
电场力做功的过程是能量转化的过程，可以转化为其他形式 的能量。
电势能
03
电势能的定义
电势能是指电荷在电场中由于位置差 异而具有的能量。
电势能是电荷与电场共同具有的能量， 其大小由电场强度和电荷量共同决定。
电势能是相对的，与零电势点的选择 有关。
电势能的变化规律
1
电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。
2
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电 势能增加。
3
静电力做功与电荷的运动路径无关，只与初末位 置有关。
电势能与电场力的关系
01
电场力做功等于电势能的减少量。
02
电势能的变化量等于电场力做的功。
03 电势能与电场力做功的关系是能量守恒定律在静 电场中的具体表现。
THANKS.
静电场的环路定理、静 电场力的功、电势能
04静电场的环路定理 电势
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
静电场的环路定理、电势
R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）
静电场的环路定理 电势
7-4 静电场的环路定理电势一、静电场力做功由电场强度的定义可知，在静电场E中,电荷q0受到电场力F=q0·E的作用。
当q0在电场中的位移为d时,电场力F做功：dA=q0E／d在力 F 作用下，q0从a点经某路径L到达b点，电场力做的总功为A=q0∫E／d电场强度E沿路径L的线积分∫F·d=A／q0取决于电场强度E的分布1.在点电荷q的电场中电场力做功dA=q0E／d——点电荷的电场力做功点电荷的电场力作功只与被移动电荷距离场源电荷的距离相关与路径无关2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场)将电荷q0从a点移动到b点，在任意点c受电场力F=q0·E电场强度的线积分与路径无关结论：电场力是保守力，静电场是保守力场。
二、静电场的环路定理任何力场，只要具备场强的环流为零的特性，就叫做保守力场或叫做势场。
综合静电场的高斯定理和环路定理，可知静电场是有源的保守力场，又由于电场线是不闭合的，即不形成漩涡的，所以静电场属于无旋场。
三、电势3.1 电势能由环路定理知，静电场是保守场。
保守场必有相应的势能，对静电场则为电势能。
静电力的功，等于静电势能的减少。
3.2 电势某点电势能Wa与q0之比只取决于电场，定义为该点的电势电势零点的选取是任意的。
V=Wa／q03.3 电势差电场中两点电势之差V=Va-Vb,沿着电场线方向，电势降低。
把单位正电荷从P点沿任意路径移动到零势点,电场力力做的功单位：伏特或焦耳/库仑, 记为V或J/C, 1V＝1J/C注意：1电场中某点的“V”由场源电荷及场点位置决定，与q0无关。
它描述的是电场“能的性质”。
2电势是标量,有正、负。
3电势是相对量,相对于V=0处而言。
原则上可选电场中任意一点的电势为零.4电势零点的选取理论上电荷分布在有限空间时，取无穷远为V=0点。
电荷分布在无限空间，取有限远点为V=0点。
一般工程上选大地或设备外壳为V=0点四、电势的计算如果q是正的，各点的电势是正的，离点电荷愈远处电势愈低，在无限远处电势为零；如果q是负的，各点的电势也是负的，离点电荷愈远处电势愈高，在无限远处电势最大为零值。
静电场的环路定律与电势
E dl
Q 4π 0 r
dl dr
1）公式
r
r
ˆ dr r 2
r
Q 4 0 r
2
dr
Q 4π 0 r
2）说明：
①Q含符号，
■ ②∞为电势零点。 14
（2）点电荷系的场
1）公式
P 0 P 0 E dl Ei dl Ei dl
a b
1）定义：静电场中a、b两点的电势差等于电场 力把单位正电荷从a点移到b所做的功。■ 11
2）说明： ①若求任意点的电势，则需选一电势零点 ， 如选b点为电势零点，则 a点的电势：
a E dl
a
b
②积分路径为连接a、b两点的任意路径。
③电势零点的选择(参考点)任意，视分析问题 方便而定，参考点不同电势不同。■
dq
ra
结论： 电场力的功与路径无关，只与始末位置及试 验电荷的电量有关。 对闭合路径，A=?
F dl q 0 E dl 0
■
5
2、静电场力的功的特点： 只与始末位置及试验电荷的电量有关，而与具 体的路径无关。
｛静电场是保守力场。
F d l 0
§4.4 静电场的环路定理 和电势(electric potential) 4.4.1静电场的保守性 4.4.2静电场的环路定理
4.4.3电势(electric potential)
4.4.4由电势求电场强度
1
4.4.1静电场的保守性
1、静电场力的功 （电荷q0在电场中移动时静电场力所做的功） 1）点电荷激发的场：
大学物理电磁学部分04-环路定理电势
Ua
Ub
Epa Epb q0
Aab q0
b E dl
a
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电
场力所作的功。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
7
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。U a
E pa q0
设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路 径移动到 b 点，电场力作功为Aab。
因为保守力所作的功等于势能增量的负值。
电荷 q0 在静电场中从 a 点沿任意路径移动到 b 点时， 电场力所作的作功Aab与这两点电势能Ea、Eb的关系为:
Aab
E p
b
(E
pb
E pa
b
Aab
F dl
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元，
将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电
荷元的电势，迭加归结于积分。
U
dU
dq
4 0r
注意电荷元的选取！
11
例1：均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求 圆环轴线上一点的电势 U。
解：将圆环分割成无限多个电荷元：
dU dq
4 0r
环上各点到轴线等距。
一、静电场的保守性——环路定理
1.电场力的功
1.点电荷的场
点电荷q0所受电场力为：F q0E 点电荷的场中移动点电荷q0从 r
到 r dr,电场做的功：
dA F dl q0E dl
q
q0Edl dr dl c
dA q0
cos
os , E
q
4 0r 2
静电场的环路定理和电势综述
dl
P
Edr
P
E0
(r R)
V (r)
r
Q
4π 0
r
2
dr
Q 4πε0r
(r R)
R
Q
V (r) 0 dr
dr
Q
r
R 4π 0r 4π 0 R
(r R)
在球面处场强不连续，但电势却是连续的。
9.4 静电场的环路定理和电势
试验电荷在电场中某点的电势能We ，在数值上等于把 它从该点移到零电势能处(参考点)电场力所做的功。
9.4 静电场的环路定理和电势
电势能属于静电场和试验点电荷
电势能的大小是相对的
电势能是状态（位置）的单值函数
2、电势与电势差
电势
VP
WeP q0
VQ
WeQ q0
参考点
E dl
P 参考点
静电力是保守力， 静电场是无旋场
环流
电势能
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.2 电势能和电势
一、电势能、电势、电势差
WeQQ
1、电势能We
Q
WeP WeQ q0 P E dl
若设零电势能 WeQ 0
q
rQ
rP
WeP
P
q0
参考点 静电力做正功时，电势能减少
WeP q0 P E dl 电场力做负功时，电势能增加
W qU
1.601019C1V 1.601019 J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V (P)
物理电磁学第讲静电场的环路定理电势
静电场力做功等于相应电势能的减量
E
P2 A12 F dl W1 W2
P1
P2
P1
q0
P1 点
电势能
P2 点
电势能
电场力所做的功等于电 势能增量的负值(或电 势能的减少)。
定义
取 WP0= 0 —— 电势能的零点。
P0
W
A( PP0 )
q0
P
E dl
即：电荷 q0 在电场中某点的电势能等于把电荷从该点 沿任意路径移动到电势能零点静电场力所做的功。
电势能差
b Wa Wb Aab q0 a E dl
讨论
1. 电势能零点 电势能零点的选择原则上是任意的：
A) 有限大小带电体，选无限远处为电势能的零点。 B) 无限大带电体，选有限远处为电势能的零点。 C) 工程上取大地或金属外壳为电势能的零点。
电势能
Wa
q0
电心电图仪(ECG) 脑电图仪(EEG) 视网膜电图仪(ERG)
电势能
W
电势能零 点 q0 E dl
( P )任意路径
电势 W
q0
电势零点
P E dl ( P )任意路径
( P2 )
电势差 U12 1 2 E dl ( P1 )任意路径
2
eˆr
F q0E
dA F dl q0E dl
P1r1
q r
r2 P2 r q0 dl
dr
E
q0E cos dl
q0q
4π 0r
2
cos
dl
静电场的高斯定理和环路定理
静电场的高斯定理和环路定理
静电场是指电荷分布静止不动的情况下所产生的电场。
在静电场中，高斯定理和环路定理是两个非常重要的定理。
高斯定理是描述电场通量的定理，它表明：在任何闭合曲面内，电场的通量等于该曲面内的电荷总量除以介质常数。
即：ΦE = ∫E · dS = Q/ε0
其中，ΦE表示电场的通量，E表示电场强度，dS表示曲面元素的面积，Q表示该曲面内的电荷总量，ε0表示真空中的介电常数。
环路定理则是描述电场中电势的变化的定理，它表明：沿着任意闭合回路的线积分等于该回路内的电荷的代数和除以电容。
即：∮Edl = 0
其中，∮Edl表示沿着回路的电场强度的线积分，E表示电场强度，dl表示回路的微元长度，如果回路内有电荷则其代数和为Q。
电容则是电荷和电势之间的比值。
高斯定理和环路定理是静电学中的基本定理，对于研究静电场的性质和计算电场强度、电势等都具有重要的意义。
- 1 -。
一、静电场的环路定理一、静电场的...
一、静电场的环路定理一、静电场的环路定理1、点电荷电场中移动试验电荷电场力所作的功ld E q l d F dA ����⋅=⋅=0r r Q E ˆ4120πε=�dr rQq dl rQq l d r r Qq dA 20020020041cos 41ˆ41πεθπεπε==⋅=�)11(4400200D C r r r r Qq dr r Qq A D C −=⋅=∫πεπε结论:在点电荷的电场中，电场力对试验电荷所作的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与经历的路径无关。
§4 电势及其梯度D r Q+D C l d �r �F �θb a C r b ′a ′2、任意带电体电场中任意带电体→点电荷系⋯���++=21E E E 任意点电荷系的电场力所作的功为∫∫∫+⋅+⋅=⋅=l l l l d E q l d E q l d E q A ⋯������20100每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。
3、静电场的环路定理(Circulation theorem of electrostatic of field)在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。
静电场力是保守力，静电场是保守场。
在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移动一周时，电场力所作的功为∫∫⋅⋅l l ld E q l d E q A ����00＝＝∫∫⋅+⋅CDA ABC ld E q l d E q A ����00＝∫∫⋅−=⋅ADC CDA ld E l d E ����∫∫⋅=⋅ABCADC l d E q l d E q ����0000＝＝∫⋅l d E q A ��0＝∫⋅l d E ��电场力作功与路径无关定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电场强度的环流。
静电场环路定理：在静电场中，电场强度的环流为零。
静电场环路定理电势能和电势.pptx
V
dV
1dq
Q440r0
r
Q
dq
Q
4 0 R2 x 2
(解毕 )
第23页/共43页
x a
x V (x) dr R o Qr
4 0R
o
x
课堂练习 求均匀带电园盘( R, σ )轴线上电势分布。
提示： 建立坐标系，取元，如图所示。
选∞处为电势零点，则：
dV 2dqrdr 4 0 r 2 x 2
q
r
r
r
4
q
0 r 2
dr
aq r
r 10V
E
8V 6V
V (r )
q
4 0r
( 球对称分布 )
等势面分布
第14页/共43页
课堂练习 求半径为R均匀带电 Q 的球面电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r) r E dr
0
E(r) Q
4 0r 2
(r R) (r R)
r
4
即：电势 V 的叠加为标量叠加，而 叠加，后者运算较繁。
的叠加却为矢量
E
第13页/共43页
E
☻由于静电场的保守特性，
b
V与a积分路a 径E无 dr
关，可选取一合理的路径进行积分。
例 求点电荷 q 的电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r)
E dr
E dr cos 0
(r (r)
R)
E
dr
R
E
dr
E dr
r
r
R
V (r) 0
Q
R 4 0r2
dr
cos
0
Q
静电场的环路定理 电势
E2
B
AAB q0
A i 1
n n qq 1 B 1 Ei dl qo Ei dl 0 i ( ) A rAi rBi i 1 4πε0 i 1
试探电荷在任何静电场中移动时, 电场力所做的功只与试探 3 电荷的电量及路径的起点和终点的位置有关, 而与路径无关 .
0
13
[ 例1] 均匀带电球面场中电势分布（
q ， R）
q
由高斯定理
o R
E
P r
E
E
0 qr 3 4 0 r
(r R) (r R)
r
o
R
令 V 0 沿径向积分 1 面外 2
r
qr dr V外 E 外 dr 3 4 0 r P r 1 4 0 r r q
AAB W (WB WA ) WA WB
若取 B点 : WB 0
AAB
B
A
B F dl q0 E dl
A
A WA
"0"
q0 在 A 点处的电势能：W A
AA"0" q0
A
E dl
1）电势能零点的选取是任意的, 一般视问题方便而定, 通常参 考点不同 ,电势能不同。对于有限带电体，一般选无限远为势 能零点 , 实际应用中或研究电路问题时常取大地、仪器外壳等 为势能零点；对于无限大带电体，常取有限远为势能零点； 2）电势能是属于系统的 (电场 + 试验电荷) 5
21
a
E dr
6
2、电势
WA q0
WA A q0
" 0"
08.3静电场的环路定理、电势
b
a
u 3
u 2 u 1
2.电势梯度 电势梯度 单位正电荷从 a到 b电场力的功 到 电场力的功
u+d +u
E•d = Ec sθ l =u−(u+d ) l o d u Ec sθ l =− u o d d
在 l E d 方向上的分量 电场强度沿某 一方向的分量 一般
u
E l
n
a
b
l 由电势定义得 u =∫ E•d =∫ P
r
∞
4 ε0r π
d = r
q 4 ε0r π
讨论 大小
q>0 u>0 r ↑ u↓ r → u 小 ∞ 最 q<0 u<0 r ↑ u↑ r → u 大 ∞ 最
为球心的同一球面上的点电势相等 对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
点电荷系的电势 由电势叠加原理， 的电势为 由电势叠加原理，P的电势为
单位正电荷在该点 所具有的电势能
∞
W = ∫q E•d l a 0
a
∞
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
定义电势差 a b 定义电势差 u −u 电场中任意两点 的 电势之差（电压） 电势之差（电压）
u =u −u =∫ E•d −∫ E•d =∫ E•d l l l ab a b
d q −q A =u −u =0−( ) + oc o c 4 03R 4 0R a πε πε b c q +q 0 −q = 6 0R πε R R R
② 将单位负电荷由 ∞ O电场力所作的功
A O =u −u =0 o ∞ ∞
功、电势差、电势能之间的关系 电势差、
静电场的环路定理电势能
静电场是保守场
第八章 静电场和稳恒电场
4
物理学
第五版
8.3 电场力的功 电势
三、 电势能
静电场是保守场， 静电场力是保守力. 静 电场力所做的功就等于 电荷电势能增量的负值.
A EpA
B
EpB E
AAB EpA EpB (EpB EpA )
电场力做正功，电势能减少.
第八章 静电场和稳恒电场
第五版
8.3 电场力的功 电势
任意带电体的电场（点电荷的组合）
E i Ei
A q0
E dl
l
b b b
q0 E dl q0 E1 dl q0 E2 dl …
a
a
a
q0 l Ei dl
i
结论：静电场力做功，与路径无关.
5
物理学
第五版
8.3 电场力的功 电势
AB q0E dl EpA EpB (EpB EpA )
令 EpB 0
零势点
得 EPA q0 E dl
A
(8.23)
A EpA
B
EpB E
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在 数值上等于把它从该点移到零势能处静电场
第五版
8.3 电场力的功 电势
dA
4
qq0 πε0r 2
dr
A qq0 rB dr
4 πε0 r rA 2 qq0 ( 1 1 )
4 πε0 rA rB
B
rB
dr
dl
E
r
结论: A仅与q0的始末位
环路定理电场强度的线积分静电场的环流为零电势环路定理
环路定理电场强度的线积分电势静电场的环流为零环路定理其实是我们熟悉的静电场是保守力场的另一种数学描述形式. 有了高斯定理和环路定理, 静电场就有了一个完整的描述.例题 17-4-1 圆环均匀带电,半径为R,电量为q,求轴线上的电势.xRr = R2 + z2zzyϕ=14πε 0ηdl∫L r=4πε 01 R2+z2∫Ldq=q4πε0 R2 + z2例题 17-4-2 求半径为R总电量为q的均匀带电球在球内外的电势分布.∞解:由例题17-3-1,可知电场强度分布为E=⎧ qr⎪⎪⎪⎨4πεq0rR3 ⎪⎩ 4πε0r3, ,r<R r>R取参考点为无穷远,电势为ϕ(r) = ∫r∞ E ⋅ dlPrR路径选为沿径向(图中橙色线), 场点在球外时,电势为ϕ(r)=∫r∞qdr4πε0r 2=q4πε0r场点在球内时，电势为ϕ(r)=∫rRqrdr4πε 0 R 3+∫R∞4πqεd0rr 2=q (3 −8πε 0 Rr2 R2)六.电场线 规定电场线上每一点的切线方向与该点的E的方向一致.-qq-q2q三个点电荷位于等边三角形的顶点上, 电荷大小都为 q .从中心附近的电场的方向可以简单的看出, 位于中心的点电荷处于不 稳定平衡. 定性上看黑色虚线所示球面上的通量为零.电场线的三条性质：(1)电场线始于正电荷或无穷远,终于负电荷或无穷远,在无 电荷处不中断.q-qS1S2S3规定过任一面元的Ｅ通量与通过该面元的电场线数目成正比，则 电场线的疏密程度能反映电场强度大小．(2)电场线不相交, 否则试探点电荷受力有两个可能的方向.(3)电场线不闭合.七.等势面 空间中电势相等的点的集合构成了等势面.点电荷的等势面 等势面与电场强度处处正交. 作业: 17-13, 17-14, 17-15《费曼物理学讲义》 R. P. Feynman第二卷是关于电磁学的.。
静电场的环路定理和电势
若令 E p(b) 0
(0)
(0)
Ep(a)
(a)
F dl
q0
E dl
(a)
3 电势
定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2 点，电场力作的功等于 P1点到P2点电势的减量。
P1
P2
两点之间的电势差， 并不仅由这两点处的电场决定， 它取决于电场的分布。
设 P2为电势为零的参考点，2 =0
对无限大电荷分布， 选有限远 的适当点为电势零点。
实际上：常选大地或机壳的公共线 为电势零点。
例1：求点电荷 q 的电势分布。
【解】 利用电势定义（积分法）
取无限远为电势零点,
()
E dl ( p)
r
q
4 π 0r 2
dr
q
4 π0r
0
q
r
P
∞
r dl
q> 0 r
q< 0
--------点电荷的电势公式
取某一距离直线为 r0 的 P0点的电势为零。
任一点 P 的电势
P0
rP
Edl P
P P0
P’
P0
Edl Edl
P
P
r0
r0
0
dr
r 2 π0r
rP
P’
r0
> 0
0 r0
r0
dr
r 2 π0r
P0
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
由场强叠加原理
可以证明：
任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。
常用下式表示静电场 的保守性：
……称为静电场的环路定理
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物理
B
U A A E dl U B
17-4 静电场的环路定理 电势
B
U AB U A UB
E dl
A
令 UB 0
电势零点
UA A
E dl
电势零点的选取：
有限带电体以无限远为电势零点，实际问题中常 选择地球电势为零.
静电场力的功
B
AAB q0
E dl
A
q0U AB q0 (U A UB )
电子伏特eV 1eV 1.6021019 J
第17章 真空中的静电场
6
大学
17-4 静电场的环路定理 电势
物理
点电荷的电势
E
4
q
π 0 r
2
er
令U 0
dl
dr
E
U r Er dl
qr
qdr
r 4 π0r 2
U q
4 π0r
q 0, U 0 q 0, U 0
第17章 真空中的静电场
ABC CDA
l E dl 0
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零. 静电场是保守场
第17章 真空中的静电场
3
大学 物理
三 电势能
17-4 静电场的环路定理 电势 B
静电场是保守场，静电场
WpB
力是保守力. 静电场力所 做的功就等于电荷电势能
A WpA
E
增量的负值.
AAB (WpB WpA ) WpA WpB
B
A q0E dl
令
WpB 0
WpA
势能零点
A
q0E dl
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在数值上 等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功.
第17章 真空中的静电场
4
大学
物理
四 电势
17-4 静电场的环路定理 电势
B
AAB (WpB WpA ) WpA WpB A q0E dl
17
( x2 R2 x)
2ε0
dr x2 r2
r
R ox
Px
第17章 真空中的静电场
12
大学
17-4 静电场的环路定理 电势
物理
例2 真空中有一电荷为Q，半径为R的
均匀带电球面. 试求
（1）球面外两点间的电势差；
（2）球面内两点间的电势差；
（3）球面外任意点
的电势；
（4）球面内任意点 的电势.
q
er
rA
q0 A
结论：静电场力做功，与路径无关.
第17章 真空中的静电场
2
大学
17-4 静电场的环路定理 电势
物理
二 静 电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
ABC
ADC
q0 ( E dl E dl ) 0
B
C
ABC
ADC
DE
q0( E dl E dl ) 0 A
大学
17-4 静电场的环路定理 电势
物理
一 静电场力所做的功
点电荷的电场
dA q0E dl q0E dl cos
q0
q 4πε0r 2
dl
cos
dl cosθ dr
B
rB
dr
dl
E
r
dA
q0q 4πε0r 2
dr
A q0q rB dr
4πε0 r rA 2
er
q
rA
q0 A
第17章 真空中的静电场
环上. 求环轴线上距环心为x处的点P的电势.
解
dU P
1 4πε0
dq r
U P
1 4πε0r
dq
dq
q
r
R
4πε0r q
xo x
Px
4πε0 x2 R2
第17章 真空中的静电场
10
大学
17-4 静电场的环路定理 电势
物理
讨论
UP 4πε0
x
0，U0
q 4πε0 R
q
x2 R2
x
R，U P
1
大学
17-4 静电场的环路定理 电势
物理
A q0q rB dr q0q ( 1 1 )
4πε0 r rA 2 4πε0 rA rB
结论: A仅与q0的始末位
B
置有关，与路径无关.
任意带电体的电场
rB
dr
dl
E
E Ei （点电荷的组合）
r
i
A
l q0E dl
q0 l Ei dl i
WpA WpB
B
E dl
q0 q0
A
B
U A UB
E dl
A
U A WpA / q0 A点电势 UB UpB / q0 B点电势
电势差
B
U AB U A UB
E dl
A
将单位正电荷从A移到B时 电场力作的功
q0 A EUpAA
B
EUpBB
E
第17章 真空中的静电场
5
大学
物理
电荷连续分布时
dq dV dU dq
4πε0r
U A
1 4πε0
dq r
dq
r
A
计算电势的方法
电势零点
（1）利用 U A A
E dl
（2）利用点电荷电势的叠加原理
U
1 4πε0
dq r
第17章 真空中的静电场
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大学
17-4 静电场的环路定理 电势
物理
例1 正电荷q均匀分布在半径为R的细圆
q 4πε0 x
U
dl
q
q
4πε0 R
4πε0 x2 R2
R
r
xo x
o
x
第17章 真空中的静电场
Px
11
大学
17-4 静电场的环路定理 电势
物理
通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面
的轴线上任意点的电势.
dU
dq
4πε0 x2 r2
dq 2πrdr
U 1 R 2πrdr
4πε0 0 x2 r 2
R
rA
r
oR
r
rB
第17章 真空中的静电场
15
大学
17-4 静电场的环路定理 电势
物理
例4: 计算电量为Q 的带电球面球心的电势
解：在球面上任取一电荷元 dq
则电荷元在球心的电势为
dq dU
40 R
dq Q oR
球面上电荷在球心的总电势
dq
Q
U dU
Q
Q 40 R 40 R
第17章 真空中的静电场
o
A
R
rA
B
r
rB
第17章 真空中的静电场
13
大学
17-4 静电场的环路定理 电势
物理
0 r R
解
E
Q
4ε0r 2
rR
（1）r R
Q
UA UB 11
rB rA
E dr
Q 4πε0
rB dr rA r 2
()
4πε0 rA rB
（2）r R
U A UB
rB rA
E
dr
0
o A B A dr B
R
drrA r
r
rB
第17章 真空中的静电场
14
大学
17-4 静电场的环路定理 电势
物理
（3）r R 令 rB V 0
UA
UB
Q 4πε0
1 ( rA
1 rB
)
U (r) Q 4πε0r
（4）r R
U (r)
rR E dr
R E dr
Q 4πε0 R
U
Q 4π 0 R
Q 4π0r
o
AB
7
大学 物理
五
17-4 静电场的环路定理 电势
电势的叠加原理
点电荷系
E Ei
i
U A A E dl
n
A Ei dl i 1
n
Vi
i 1
U A
n i 1
qi 4 π ε0ri
q1
r1
q2 q3
r2
r3
•
A
E3 E2
E1
第17章 真空中的静电场
8
大学
17-4 静电场的环路定理 电势
大学
17-4 静电场的环路定理 电势
物理
六 电偶极子在外电场中的电势能和平衡位置
Wp qU qU
q
q(U U )
U U
E dl
ql0 cos E
Wp p E
Fl0 Biblioteka F qE0
Wp p E 能量最低
π /2 Wp 0
π
Wp p E 能量最高
第17章 真空中的静电场