不等关系与不等式的性质及一元二次不等式

可知 x＝－1，x＝12是对应方程的根，故选 A.
经典题型冲关
题型 1 不等式性质的应用 典例1 若 0＜x＜1，a＞0 且 a≠1，则|loga(1－x)|与 |loga(1＋x)|的大小关系是__|l_o_g_a(_1_－__x_)_|＞__|l_o_g_a_(1_＋__x_)_| _．
用作差法．
5．三个二次之间的关系
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)a＞b⇔ac2＞bc2.( × ) (2)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋ ∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是 x1 和 x2.( √ ) (3)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R.( × ) (4)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( × )
解析 当 a＞1 时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0， ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x) ＝－loga(1－x2)＞0. 当 0＜a＜1 时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0， ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝ loga(1－x2)＞0. ∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
典例2 已知二次函数 y＝f(x)的图象过原点 ， 且 1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求 f(－2)的取值范围．
运用待定系数法． 解 由题意知 f(x)＝ax2＋bx，则 f(－2)＝4a－2b， 由 f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b， 设存在实数 x，y，使得 4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)， 即 4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以xx＋ －yy＝ ＝－ 4，2， 解
解析 由题意知 Δ＝(m＋1)2＋4m＞0，即 m2＋6m＋1＞ 0，解得 m＞－3＋2 2或 m＜－3－2 2.
3.小题热身
(1)(2014·四川高考)若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有
()
A.ac＞bd
B.ac＜bd
C.ad＞bc
D.ad＜bc
解析 解法一： c＜cd＜＜d0＜⇒0cd＞0⇒
第6章 不等式
6．1 不等关系与不等式的性质 及一元二次不等式
基础知识过关
[知识梳理] 1．两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0⇔a ＞ b. (2)a－b＝0⇔a ＝ b. (3)a－b＜0⇔a ＜ b.
2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔ b＜a . (2)传递性：a＞b，b＞c⇒ a＞c . (3)可加性：a＞b⇒a＋c＞bΒιβλιοθήκη Baiduc. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ ac＞bc ；a＞b，c＜0⇒
ac＜bc .
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒ a＋c＞b＋d . (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ ac＞bd . (7)乘方法则：a＞b＞0⇒ an＞bn (n∈N，n≥1)．
(8)开方法则：a＞b＞0⇒n a＞n b(n∈N，n≥2)．
3．必记结论 (1)a>b，ab>0⇒1a<1b. (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd.
3．求代数式的取值范围 (1)先建立待求式子与已知不等式的关系，再利用一次 不等式的性质进行运算，求得待求式子的范围．如典例 2. (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化 不是等价变形，如果在解题中多次使用这种变化，有可能扩 大其取值范围．如冲关针对训练．
得xy＝ ＝13， ， 所以 f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
又 3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6， 所以 6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10， 即 f(－2)的取值范围是[6,10]．
方法技巧 不等式的概念与性质问题的常见题型及解题策略
1．比较大小的常用方法：作差法与作商法．如典例 1. 2．不等式的性质及应用 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性 质逐个验证(注意前提条件)；二是利用特殊值法排除错误答 案．
2．教材衍化 (1)(必修 A5P74T3)下列四个结论，正确的是( ) ①a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d；②a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac
＞bd；③a＞b＞0⇒3 a＞3 b；④a＞b＞0⇒a12＞b12.
A．①②
B．②③
C．①④
D．①③
解析 利用不等式的性质易知①③正确．故选 D.
(2)(必修 A5P80A 组 T3)若关于 x 的一元二次方程 x2－(m ＋1)x－m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ___(－__∞__，__－__3_－__2___2)_∪__(_－__3_＋__2__2_，__＋__∞__)_____．
ccd＜cdd＜0⇒1d＜1c＜0⇒－d1a＞＞－bc＞1＞0 0⇒－da＞－cb⇒ad ＜bc.故选 D.
解法二：依题意取 a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1， 代入验证得 A，B，C 均错，只有 D 正确．故选 D.
(2)已知不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集为{x|－1＜x＜2}， 则不等式 2x2＋bx＋a＜0 的解集为( )
(4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a. (5)若 a>b>0，m>0，则ba<ba＋＋mm； ba>ba－ －mm(b－m>0)；ab>ab＋ ＋mm； ab<ab－ －mm(b－m>0)．
4．一元二次函数的三种形式 (1)一般式： y＝ax2＋bx＋c(a≠0) ．
(2)顶点式： y＝ax＋2ba2＋4ac4－a b2(a≠0) ． (3)两根式： y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ．
A.x－1＜x＜12
C．{x|－2＜x＜1}
B.xx＜－1或x＞12
D．{x|x＜－2 或 x＞1}
解析 由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根．
由韦达定理 －1＋2＝－ba， －1×2＝2a
⇒ab＝ ＝－ 1. 1，
∴不等式 2x2＋bx＋a＜0，即 2x2＋x－1＜0.