椭圆中的离心率问题

合集下载

椭圆常见结论求解离心率

椭圆常见结论求解离心率

椭圆离心率ace =的求法1.椭圆方程()01:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为F ,过F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点,直线l 的倾斜角为60°,FB AF 2=,求椭圆的离心率?(焦半径公式11ex a PF +=,22ex a PF -=的应用左加右减,弦长公式为直线的斜率k x x k d ,1212-+=)2.椭圆方程()01:2222>>=+b a b y a x C 的右焦点为F ,其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆的离心率的范围?(焦准距cb 2的应用)3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是?(关于c a ,的二元二次方程022=++pc nac ma 解法)4.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴上的一个端点,线段BF 的延长线交C 于D ,且FD BF 2=,则C 的离心率为?(相似三角形性质:对应边成比例 的应用)5.过椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左焦点F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且x BF ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P ,若PB AP 2=,则椭圆的离心率为?(相似三角形性质的应用)6.过椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若︒=∠6021PF F ,则椭圆的离心率为?(椭圆焦三角形面积)(2tan 212PF F b S ∠==θθ)7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率?(椭圆基本性质222c b a +=的应用)8.椭圆1422=+y x 的离心率为?(椭圆基本性质222c b a +=的应用)9.椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点为N M ,,若212F F MN ≤,则该椭圆的离心率的取值范围是?(椭圆基本性质222c b a +=的应用)10.设21,F F 分别是椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点,若在其右准线上存在点P ,使线段1PF 的中垂线过点2F ,则椭圆的离心率的取值范围是?(焦准距cb 2;垂直平分线性质:垂直平分线上的点到线段两端距离相等;三角形性质:两边之和大于第三边 应用)11.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为?(通径ab 22,焦准距c a 2)12.已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为21,F F ,若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a =,则该椭圆的离心率的取值范围是?(正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===,第一定义a PF PF 221=+)13.在平面直角坐标系中,2121,,,B B A A 为椭圆的四个顶点,F 为其右焦点,直线21B A 与直线F B 1相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为? (直线方程交点坐标)14.在ABC ∆中,187cos ,-==B BC AB .若以B A ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率为?(余弦定理A bc c b a cos 2222-+=,第一定义)15.已知正方形ABCD ,则以B A ,为焦点,且过两点D C ,的椭圆的离心率为?(通径ab 22)16.已知椭圆的焦距为c 2,以点O 为圆心,a 为半径作圆M 。

椭圆离心率问题

椭圆离心率问题

、椭圆离心率的 1、运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目 如图,0为椭圆的中心,F 为焦点,A 为顶点,准线L 交0A 于B, P 、Q 在椭圆上,PD 丄L于D, QFL AD 于 F,设椭圆的离心率为 e,则①e = |②e= | Q ; |③e=yAOp ④e= ||2aI AO | =a, | OF | =c,有⑤;T 丨 AO | =a, | BO | = —有③。

c思路:A 点在椭圆外,找a 、b 、c 的关系应借助椭圆,所以取 AF 2的中点B,连接BF i ,把已知条件放在椭圆内,构造△ F i BE 分析三角形的各边长及关系。

解:丁| F 1F 2 | =2c | BF | =c | BE | 活c2 2X y变形1:椭圆h + —=1(a>b >0)的两焦点为F i 、F 2,点P 在椭圆上,使△ OPF 为正三角形,求椭圆离a b2 2x y题目1:椭圆 h + —=1(a>b >0)的两焦点为 R a b的两边,则椭圆的离心率 eF 2,以FF 2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形评:AQP 为椭圆上的点,根据椭圆的第二定义得,①②④c+ 3c=2a心率解:连接 PF2,则 I 0F2| = | OF | =| OP| , / F i PR =90 ° 图形如上图,e^3-12 2X y变形2:椭圆尹+話=1(日比>0)的两焦点为F i、F2 , AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF i丄X轴,• 2 厂2• • a =5c e=点评:以上题目,构造焦点三角形,通过各边的几何意义及关系,推导有关a与c的方程式,推导离心率二、运用正余弦定理解决图形中的三角形2 2X y题目2:椭圆 p + —=1(a>b >0),A是左顶点,F是右焦点,B是短轴的一个顶点,/ ABF=90°,求ea bPE // AB,求椭圆离心率解:v| PF F2 F i | =2c | OB| =b | OA| =aPH // ABI PF1 |I F2 F1 | a又•/ b= a2-c2解:a 2+b 2+a 2 =(a+c) 2 =a 2+2ac+c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以 a 2点评:此题是上一题的条件与结论的互换,解题中分析各边,由余弦定理解决角的问题。

椭圆离心率求法大全

椭圆离心率求法大全
2.已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交C于A、B两点,若AB⊥AF2,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,则C的离心率为( )
A.
B.
C.Biblioteka D.解答:解:有定义易知|AB|= 设|AF1|=x
则|AF2|=2a﹣x|BF1|= ﹣x|BF2|=2a﹣( ﹣x)= +x
∵AB⊥AF2∴|AF1|2+|AF2|2=4c2|AF2|2+|AB|2=|BF2|2
解:设BF2=t,AF2=2t,有AF1=2 ﹣2t,BF1=2 ﹣t,
∵∠F1AB=90°,
∴(2 ﹣t)2=(3t)2+(2 ﹣2t)2,∴t= ,
∴AF1= ,AF2= ,∴4c2=( )2+( )2,
∴c= ,∴e= = .
4.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,过右焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使 ,则椭圆的离心率是( )
∴ ,
∵点C在椭圆上,∴ ,
化为4c2=a2+b2,∵b2=a2﹣c2,∴4c2=2a2﹣c2,化为 ,
∴e= .
椭圆离心率求法
1.椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(﹣c,0),F2(c,0),过点E( ,0)的直线与椭圆交于A,B两点,且 =2 ,则此椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解答:
解:由 =2 ,可得:AF1∥F2B,|F1A|=2|F2B|,
∴ = ,整理得:a2=3c2,即e2= = ,故离心率e= .故选:C.
A.
B.
C.
D.
解答:
解:由题意设椭圆的标准方程为 .

离心率问题的7种题型和15种方法

离心率问题的7种题型和15种方法

离心率问题的7种题型和15种方法离心率(eccentricity)是描述椭圆轨道形状的一个重要参数,它的大小决定了行星或卫星轨道的偏心程度。

在天文学、航天学等相关领域,经常需要解决各种与离心率相关的问题,下面我们将介绍离心率问题的7种常见题型和15种解题方法。

一、离心率的定义及性质离心率是描述椭圆轨道形状的一个参数,它等于椭圆长半轴和短半轴之差的一半与长半轴的比值。

离心率的取值范围为0到1之间,当离心率为0时,椭圆变成了一个圆,当离心率为1时,椭圆变成了一条直线。

离心率越大,椭圆的形状越扁平,轨道越偏心。

二、离心率问题的7种题型1. 求给定离心率的椭圆的半长轴和半短轴长度;2. 已知椭圆的长半轴和离心率,求短半轴长度;3. 已知椭圆的长半轴和短半轴长度,求离心率;4. 求给定行星或卫星的轨道离心率;5. 已知行星或卫星轨道的离心率和半长轴长度,求轨道的半短轴长度;6. 已知行星或卫星的轨道离心率和半短轴长度,求轨道的半长轴长度;7. 求给定行星或卫星的轨道周期。

三、离心率问题的15种解题方法1. 利用椭圆轨道的定义和性质,直接计算出椭圆的长短半轴;2. 利用椭圆的面积和周长公式计算出椭圆的长短半轴;3. 利用行星或卫星的轨道速度和距离公式计算出轨道离心率;4. 利用行星或卫星的轨道周期和距离公式计算出轨道离心率;5. 利用行星或卫星的轨道半径和速度公式计算出轨道离心率;6. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的距离差和总距离计算出轨道离心率;7. 利用行星或卫星的轨道焦点距离和长轴长度计算出轨道离心率;8. 利用行星或卫星的轨道高度、速度和引力公式计算出轨道离心率;9. 利用行星或卫星的轨道高度、周期和引力公式计算出轨道离心率;10. 利用行星或卫星的轨道高度、半径和引力公式计算出轨道离心率;11. 利用行星或卫星的轨道平均速度和最高、最低速度之比计算出轨道离心率;12. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点速度之比计算出轨道离心率;13. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的动能之比计算出轨道离心率;14. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的势能之比计算出轨道离心率;15. 利用行星或卫星的轨道半径、质量和速度计算出轨道离心率。

椭圆中离心率问题(共19张PPT)

椭圆中离心率问题(共19张PPT)
2、体悟数学思想方法的运用: 转化思想,方程思想,函数思想等.
3、致胜秘诀: 理清算理耐心算,成功就在不远处!
典例剖析
根据直角三角形中斜边与直角边的不等 关系,得到关于a,c的齐次不等式.
典例剖析
典例剖析
根据椭圆的范围(点坐标分量的有界性), 得到关于a,c的齐次不等式.
典例剖析
设线法
建立离心率和某个 变量的(函数)关系 式,求值域.
典例剖析
设点法
根据曲线的范围,得到 关于e的不等式.
典例剖析
典例剖析
典例剖析
利用椭圆的定义和勾股定理建立 线段之间的关系,从而得到关于 a,c的齐次等式.
典例剖析
椭圆的第一定义和第二定义
典例剖析
典例剖析
解法提炼
求椭圆离心率的值: (1)解题方向:建立关于a,c的齐次等式. (2)实现策略
几何转化:利用椭圆的定义寻找线段之间的等量关系ห้องสมุดไป่ตู้ 方程思想:利用点在椭圆上,将点的坐标代入椭圆方程.
椭圆中离心率问题
高三 数学
考点概述
离心率是圆锥曲线的一个重要知识点,同时也是圆锥 曲线的重要几何性质.纵观近几年江苏高考,求离心率的 值或范围的题目屡见不鲜.这节课以椭圆为例,复习求椭 圆离心率的值或范围的一些方法.
典例剖析
通过将条件中的直角转化为向量 数量积等于零,找到曲线上点的 坐标满足的关系式,从而得到关 于a,c的齐次等式.
典例剖析
解法提炼
求椭圆离心率的范围: (1)解题方向:建立关于a,c的齐次不等式. (2)实现策略
几何性质:利用圆锥曲线的范围(如点坐标或焦半径的范围) 建立不等关系求解.
函数思想:根据条件建立离心率和其他变量的函数关系式, 然后利用函数求值域的方法求解离心率的范围.

求解椭圆离心率的常见方法

求解椭圆离心率的常见方法

ʏ河南省郑州市第二高级中学 韦道田椭圆的离心率是椭圆的重要几何性质之一,下面就求解椭圆的离心率(或取值范围)给出几种重要方法,供同学们参考㊂一㊁利用椭圆离心率的定义求解例1 (1)在平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点P a2c ,0作圆的两条切线且互相垂直,则离心率e =㊂(2)设M 为椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2为两个焦点,过M 作M F 1ʅx 轴,且øF 1M F 2=60ʎ,则椭圆的离心率为( )㊂A.12 B .22 C .33 D .32图1解析:(1)如图1,切线互相垂直,又半径O A ʅP A ,所以әO A P 是等腰直角三角形㊂因为2c=2,即c =1,所以a 2c=a 2,|O P |=2|O A |,a 2=2a ,则a =2㊂所以e =c a =22㊂(2)设|M F 1|=d ,因为øF 1M F 2=60ʎ,所以|M F 2|=2d ,|F 1F 2|=3d ㊂因此e =2c 2a =|F 1F 2||M F 1|+|M F 2|=3d d +2d =33,选C ㊂点评:e =2c2a =|F 1F 2||P F 1|+|P F 2|,其中F 1,F 2为椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点㊂二㊁利用圆锥曲线的统一定义求解依据e =|M F |d ,其中|M F |表示椭圆上的点M 到焦点F 的距离,d 表示椭圆上的点M 到焦点F 相应准线l 的距离㊂例2 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )㊂A.2 B .22 C .12 D .24解析:设过焦点F 1且垂直于长轴的弦为A B ,则|A B |=2㊂焦点F 1到准线l 的距离为1,则点A 到l 的距离也为1㊂由圆锥曲线的统一定义得离心率e =|A F 1|1=22,选B ㊂点评:利用圆锥曲线的统一定义,可以较快地求出圆锥曲线的离心率㊂三㊁构造离心率的方程(不等式)求解例3 (1)已知A ,B 为椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴与短轴端点,F 为一个焦点,若A B ʅB F ,则该椭圆的离心率为( )㊂A.-1+52 B .1-22C .2-1D .22(2)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.左㊁右焦点分别为F 1(-c ,0)㊁F 2(c ,0),若椭圆上存在点P ,使a s i n øP F 1F 2=cs i n øP F 2F 1,则该椭圆离心率的取值范围为㊂解析:(1)在R tәA B F 中,|A F |2=|A B |2+|B F |2,即(a +c )2=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)㊂因为e =c a,所以整理得e 2+e -1=0,e =-1+52,选A ㊂(2)由已知条件及正弦定理求得|P F 1|=ca|P F 2|㊂又|P F 1|+|P F 2|=2a ,则|P F 2|=2a 2c +a ㊂由|P F 2|<a +c ,得2a2c +a<a +c ,即e 2+2e -1>0㊂结合0<e <1,解得2-1<e <1㊂点评:如果直接求解椭圆离心率的值(或取值范围)有困难,那么可以通过构造离心率的方程(或不等式)求解㊂四㊁利用数形结合思想求解例4 ʌ第12届希望杯 试题ɔ设F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P ,使øF 1P F 2=120ʎ,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂图2解析:如图2,当点P 与短轴端点B 重合时,øF 1P F 2最大㊂于是得øF 1P F 2ȡ120ʎ,故t a n øF 1P O ȡt a n 60ʎ=3,即cbȡ3㊂所以e =c a =cb 2+c 2=1bc2+1ȡ113+1=32㊂又0<e <1,所以32ɤe <1㊂点评:利用数形结合思想求椭圆的离心率e ,可回避繁杂的推理与计算过程㊂五㊁利用椭圆的光学性质求解例5 ʌ第一届 希望杯 高二试题ɔ椭圆的两个焦点是F 1(3,-6),F 2(6,3),一条切线方程为4x =3y ,这个椭圆的离心率是㊂解析:设切点为P ,切线为l ,作F 1㊁F 2关于l 的对称点F 1'㊁F 2',则由椭圆的光学性质知点P 是等腰梯形F 1F 2F 2'F 1'对角线的交点,对角线的长应等于椭圆长轴的长㊂由点到直线的距离公式,得F 1㊁F 2到直线l 的距离分别为6㊁3,可见梯形上㊁下底长分别为6㊁12㊂该等腰梯形的腰长即椭圆的焦距310㊂利用6,12,310,求出梯形的对角线长为92,从而得到椭圆的离心率e =31092=53㊂练一练:1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,则椭圆的离心率是( )㊂A.12 B .32 C .34 D .642.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且B F ʅx 轴,直线A B 交y 轴于点P ㊂若A Pң=2P B ң,则椭圆的离心率是( )㊂A.32 B .22 C .13 D .123.已知F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,满足M F 1ң㊃M F 2ң=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )㊂A.(0,1) B .0,12C .0,22D .22,14.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 且倾斜角为60ʎ的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F A |=2|F B |,则椭圆的离心率等于( )㊂A.33 B .22 C .12 D .23参考答案:1.A2.D3.C4.D(责任编辑 徐利杰)52解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

椭圆离心率变化

椭圆离心率变化

椭圆离心率变化
椭圆的离心率随其形状和大小的变化而变化。

椭圆的离心率定义为椭圆离心率的公式为e=c/a,其中c为焦距,a为长半轴长度。

从这个公式中我们可以看出,当c增大时,e也增大;当a增大时,e 减小。

当椭圆变得更扁平(即长轴长度a增大而短轴长度b减小)时,离心率e 会增大。

这是因为长轴的增加使得焦点到中心的距离变远,因此需要更大的离心率来保持椭圆形状。

反之,当椭圆变得更圆(即长轴长度a减小而短轴长度b增大)时,离心率e会减小。

这是因为短轴的增加使得焦点到中心的距离变近,因此需要的离心率变小。

以上内容仅供参考,建议查阅数学书籍或咨询专业数学老师获取更全面和准确的信息。

求椭圆离心率范围的常见题型及解析

求椭圆离心率范围的常见题型及解析

求椭圆离心率范围的常见题型及解析解析解题关键:挖掘题中的隐含条件,构造关于离心率e的不等式。

一、利用曲线的范围,建立不等关系已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$右顶点为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP垂直于PA,求椭圆的离心率e的取值范围。

小改写:已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$,右顶点为A,点P在椭圆上,且OP垂直于PA,求椭圆的离心率e的取值范围。

二、利用曲线的平面几何性质,建立不等关系已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足所有点P总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()。

小改写:已知F1、F2是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两个焦点,满足所有点P总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()。

三、利用点与椭圆的位置关系,建立不等关系已知$\triangle ABC$的顶点B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短轴的一个端点,另两个顶点也在椭圆上,若$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0),求椭圆离心率的范围。

小改写:已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$,短轴的一个端点为B,另两个顶点也在椭圆上,$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0),求椭圆离心率的范围。

四、利用函数的值域,建立不等关系椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与直线$x+y-1=0$相交于A、B两点,且OA·OB=(O为原点),若椭圆长轴长的取值范围为$[5,6]$,求椭圆离心率的范围。

椭圆离心率问题

椭圆离心率问题

一、椭恻离心率的1.运川几何图形中线段的几何意义。

基础题目:如图• 0为椭圆的中心,F为焦点• A为顶点,准线L交0A于B. P、Q在椭恻上• PD丄L于D.QFIAD于F,设椭圆的离心率为e.则(!)*晋卞②^罟禺算④*+|吕厂、I F0 I⑤ *1757评:AQP为椭圆上的点•根据椭圆的第一定义得,V I A0 I =a, I OF I =c,・••有⑤:Tl AO I =aU BO I =辛.••有③。

题目1:椭圆务+^l(a>b>0)的两焦点为F, . F2 •以F1F2为边作正三角形.若椭圆恰好平分正三角形的两边.则椭圆的离心率e思路:A点在椭圆外,找a、b、c的关系应借助椭圆,所以取AF2的中点B.连接8F_把已知条件放在椭圆内•构造△RBF2分析三角形的^^^边长及关系。

解:V I F1F2 I =2c I BF1 I =c I BFz I =©C c-K/3c=2a Ae= yjs-l*2 u2变形椭圆农+h=lSb>0)的两儘点为F1、F2 •点P在椭圆上,使△OPF1为正三角形•求椭恻离心解:连接 PF2测 I OF2 I = I OFJ = I OP I ,ZF I PF2 =90^ 图形如上图,y2变形2:椭圆农+^i(a>b>0)的两焦点为F 八Fz . AB 为椭恻的顶点.P 是椭圆上一点•且PF 】丄X 轴.tP•■TP Fl I = — I Fa Fl I =2c I OB I =b I OA I =a "AB •■- I F X' I ■夕 又"b=毎疋•'•a2=5c2 e=¥ 点评:以上题目,构造焦点三角形・通过#边的几何总义及关系,推寻有关a 与C 的方程式,推导离心率。

一、运用正余弦定理解决图形中的三角形y2 \i2题目2:椭圆+^l(a>b>0), A 是左顶点.F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点.ZA8F=90" ■求ePF2 〃 AB,求椭圆离心率解: PF2根据和比性质:I FiP I + I PF2 I sinFiFzP+sin PF1F22c ZPFiFa =75 * Z PF2Fi=15「 5in9(r V e* sin75“ +5inl5' " 3点评:在焦点三角形中・使用第一定义和正弦定理可知X2 v2变形 h 椭圆+^l(a>b>O)rrj 两焦点为 Fl (-C. 0)、F2 (c,0), P 是椭圆上一点,且ZFiPF ; =60 .求 e 的取值范ra解 S I AO I =3 I OF I =C I BF I =a I AB I 而 a^b^+a^ =(a+c)2 =$2+2合c+c2 aJ :2・ac=0 两边同除以 aPe^+e-l=0 e=—e - '-护(舍去)变形:椭+^l{a>b>0). e=2号E A 是左顶点,F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点,求ZABF 点评: 此题是上一题的条件与结论的互换•解题中分析各边.由余弦定理解决角的问題。

椭圆中的离心率问题

椭圆中的离心率问题

专题4 椭圆中的离心率问题一、选择题1.已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ,左、右两焦点分别为12,F F ,若12AF F ∆为等边三角形,则椭圆C 的离心率为( )A.12B.C.13D.2.若12,F F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,当12PF PF ⊥,且1230PF F ∠=︒,则椭圆的离心率为( )A.1B.C. 1D.3.若椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、,线段12F F 被抛物线 ()220y bx b =>的焦点分成5:3的两段,则此椭圆的离心率为( )A.1617B.C.45D.4.如图,己知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,P 为椭圆C 上一点,12PF PF ⊥,直线1PF 与y 轴交于点Q ,若4bOQ =,则椭圆C 的离心率为( )A.B.C.12D.235.已知ABCDEF 为正六边形,若A 、D 为椭圆W 的焦点,且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上,则椭圆W 的离心率为( )A.1B. 1C.D.6.如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,A ,B 分别为椭圆的上、下顶点,P 是椭圆上一点,AP //BF 、|AF |=|PB |,记椭圆的离心率为e ,则2e = ( ).A.B.C.12D.7.设椭圆()2222:12x y C a a b+=>的左、右焦点分别为12,F F ,直线l y x t =+:交椭圆C 于点A ,B ,若1F AB ∆的周长的最大值为12,则C 的离心率为( )A.B.C.D.598.设F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点,P 是C 上的点,圆2229a x y +=与直线PF交于A ,B 两点,若A ,B 是线段PF 的两个三等分点,则C 的离心率为( )A.B.C.D.二、多选题9.椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>, 12,F F 分别为左、右焦点,12,A A 分别为左、右顶点,P 为椭圆上的动点,且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立,则椭圆C 的离心率可能为( )A.12B.C.D.10.已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>> 的左右焦点分别12F F 、,过1F 且斜率为2的直线交椭圆E 于p 、Q 两点,若12PF F ∆为直角三角形,则该椭圆C 的离心率e =( )A.1B.C. 1D.11.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ,,若椭圆M 与坐标轴分别交于A ,B ,C ,D 四点,且从12F F ,,A ,B ,C ,D 这六点中,可以找到三点构成一个直角三角形,则椭圆M 的离心率的可能取值为( )A.B.C.D.12.的椭圆为“黄金椭圆”,如图,已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>,12A A ,分别为左、右顶点,12B B ,分别为上、下顶点,12F F ,分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有( ) A. 2112212A F F A F F ⋅=B. 11290F B A ∠=︒C. 1PF x ⊥轴,且21//PO A BD. 四边形221AB A B 的内切圆过焦点12F F ,三、填空题13.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>,左焦点F (-c ,0),右顶点A (a ,0),上顶点B (0,b ),满足0FB AB ⋅=则椭圆的离心率为_____.14.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>, 以原点为圆心,半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切,则椭圆C 的离心率为_______.15.如图,过原点O 的直线AB 交椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 于A ,B 两点,过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ,AQ 分别交椭圆C 于点P ,Q ,连接BQ 交AP 于一点M ,若34AM AP =,则椭圆C 的离心率是________.16.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F ,,点P 在椭圆上且同时满足;①12F F P ∆是等腰三角形;②12F F P ∆是纯角三角形;③线段12F F 为12F F P ∆的腰;④椭圆C 上恰好有4个不同的点P .则椭圆C 的离心率的取值范围是_______. 【提高题】 一、选择题1.10的化简结果为( )A. 2212516x y +=B. 2212516y x +=C. 221259x y +=D. 221259y x +=2.如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( )A. ()3,4B. 7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 73,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭3.“1<m <5”是“方程 22215x y m m+=--表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设定点 (()()120,3, 0,3F F -.动点P 满足条件()1290PF a PF a a-=->则点P 的轨迹是( ) A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段5.(多选题)己知P 是椭圆 22197x y +=上一点,椭圆的左、右焦点分别为12F F ,,且121cos 3F PF ∠=,则( )A. 12PF F ∆的周长为12B. 1PF F S ∆=C.点P 到x 轴的距离为D. 122PF PF ⋅=6.(多选题)设P 是椭圆22:12x C y +=上任意一点12F F ,是椭圆C 的左、右焦点,则( )A. 12PF PF +=B. 1222PF PF -<-<C.1212PF PF ≤⋅≤D. 2101PF PF ≤⋅≤二、填空题7.在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 顶点A (-3,0)和C (3,0),顶点B 在椭圆 2212516x y +=上,则sin sin 2sin A CB+=___________.8.已知 12F F ,是椭圆 22197x y +=的两个焦点A 为椭圆上一点,且12AF F ∠=45°,则12AF F ∆的面积为___,此时 2AF =________.9.如图把椭圆 2212616x y += 的长轴AB 分成8等分,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127P P P ⋯,,,七个点,F 是椭圆的焦点,则127PFP F P F +++=______.10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F (1,0),A ,B 为椭圆C 的左右顶点,且3AF FB =,则椭圆C 的方程为______.三、解答题11.如图所示,在圆()22:125C x y ++=内有一点A (1,0).Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线与C ,Q 的连线交于点M ,求点M 的轨迹方程.12.如图,椭圆 ()2222:10x y C a b a b +=>>经过点41,33M ⎛⎫⎪⎝⎭且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若R , S 是椭圆C 上的两个点线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线)与BS 交于点P , O 为坐标原点,求证:P 、O 、M 三点共线.。

椭圆曲线中的离心率定值问题的四种模型

椭圆曲线中的离心率定值问题的四种模型

椭圆曲线中的离心率定值问题的四种模型摘要本文讨论了椭圆曲线中的离心率定值问题,并提出了四种模型。

通过对这四种模型的介绍和比较,我们可以更好地理解椭圆曲线的离心率定值问题。

引言椭圆曲线是数学中一种重要的曲线形式,在密码学和通信领域有着广泛的应用。

离心率是椭圆曲线的一个重要属性,它描述了曲线的形状。

离心率定值问题旨在找到使得离心率满足特定条件的曲线,其中离心率的取值范围为0到1。

模型一:参数化模型该模型通过设定一组参数来定值离心率。

将这些参数代入椭圆曲线方程中,可以求解出满足条件的离心率定值。

这种方法适用于特定的离心率取值范围,并需要数值计算的支持。

模型二:基于半长轴和焦距的模型该模型以椭圆曲线的半长轴和焦距作为参数,通过调整这两个参数的值来实现离心率定值。

这种方法简单易懂,可以在不进行复杂计算的情况下找到满足要求的离心率定值。

模型三:基于椭圆面积的模型该模型利用椭圆的面积和半长轴来确定离心率。

通过设定面积和半长轴的取值,可以计算得到满足条件的离心率定值。

这种方法相对直观,但需要数值计算的支持。

模型四:基于椭圆周长的模型该模型以椭圆的周长和半长轴为参数,通过调整这两个参数的值来实现离心率定值。

这种方法相对简单,并且可以在不进行复杂计算的情况下找到满足要求的离心率定值。

结论通过对这四种模型的介绍和比较,我们可以发现每种模型都有其优缺点,适用于不同的场景和要求。

在椭圆曲线中的离心率定值问题中,可以根据具体情况选择适合的模型进行计算和研究。

这些模型的使用将有助于我们更好地理解和应用椭圆曲线中的离心率定值问题。

求椭圆离心率常用的三种方法

求椭圆离心率常用的三种方法

椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质,它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合,侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢?下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道,圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率,只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,则E的离心率为_______.解:因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍,所以2a=4b,所以ba=12,可得e=ca本题较为简单,由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系,直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2,即可求得c与a的比值,从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0,P为椭圆的左顶点,且||PF=5,则椭圆C的离心率为().A.23B.12C.25D.13解:因为椭圆的右焦点为F()2,0,所以c=2,因为P为椭圆的左顶点,所以||PF=a+c=a+2=5,解得a=3,所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值;然后根据P点的位置,确定a的值,即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时,我们可以根据题意画出几何图形,将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径,根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径,或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1,F2,点M是椭圆C上第一象限的点,若||MF1=||F1F2,直线F1M与y轴交于点A,且F2A是∠MF2F1的角平分线,则椭圆C的离心率为_______.解:由题意得||MF1=||F1F2=2c,由椭圆的定义得||MF2=2a-2c,记∠MF1F2=θ,则∠AF2F1=∠MF2A=θ,∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ,则||AF2=||AF1=2a-2c,所以||AM=4c-2a,故ΔMF1F2∽ΔMF2A,则||MF2||F1F2=||AM||MF2,则2a-2c2c=4c-2a2a-2c,可得e2+e-1=0,解得e=5-12或e=-5-12(舍).解答本题,需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式,并根据椭圆的定义,即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹,确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系,从而使问题获解.例4.如图1,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点M()x0,y0()x0>c是C上的一点,点A是直线MF2与y轴的交点,ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N,若|MN|=2||F1F2,则椭圆C的离心率e=______.解:设内切圆与AM切于Q,与AF1切于P,所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c,||F1N=||F1P,||AP=||AQ,图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2,所以||PF 1=||QF 2,即||NF 1=||QF 2,所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系;然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题,即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系,得到关于a 、c 的关系式,进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小,有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时,若不易求出a 、c 的值或比值,则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程,建立关于a 、b 、c 的二次齐次式,即可根据离心率公式e =ca,得到关于e 的二次方程,进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2,已知椭圆的方程为:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0,过原点的直线交椭圆于M ,N 两点,点P 在x 轴上,其横坐标是点M 横坐标的3倍,直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线,求椭圆的离心率.解:设M ()x 1,y 1,Q ()x 2,y 2,则N ()-x 1,-y 1,P ()3x 1,0,设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则k 1=y 1x 1,k 2=y 2-y 1x 2-x 1,k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1,因为直线QM 是圆的切线,所以QM ⊥MN ,k 1k 2=-1,所以k 2k 3=-14,又Q 在直线NP 上,所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1,因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上,所以x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a 2+y 22b2=1,将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0,整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2,故k 2k 3=-b 2a 2=-14,即b 2a 2=14,可得a 2-c 2a 2=34,即a2-c 2a 2=1-e 2=14,解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34;再根据离心率公式e=c a ,建立关于e 的方程,即可求得e 的值.在求得e 的值后,一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内,以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3,已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0,且与椭圆交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,若点C ,F 分别是线段AB 的三等分点,则该椭圆的离心率为_______.解:因为点C 、F 是线段AB 的三等分点,由图3可知C 为AF 的中点,右焦点为F 2,所以AF 2//OC ,所以AF 2⊥x 轴,由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ,C ()0,b 22a,因为C ,B 关于F 对称,所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ,将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得:4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2,所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ;再根据线段的对称性可求得B 点的坐标;最后将其代入椭圆中,即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式,进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率,我们需明确解题的目的有两个:一是通过计算求得c 与a 的值;二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式,进一步将其转化为关于ca的方程.(作者单位:四川省内江市威远中学校)42。

专题十:求椭圆的离心率

专题十:求椭圆的离心率

专题十:椭圆的离心率题型一:(求椭圆的离心率的值)1、椭圆1422=+y x 的离心率为 .2、椭圆短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形,则该椭圆的离心率为 .3、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ,原点O 到经过两点(,0),(0,)c b 的 直线的距离为12c ,则椭圆E 的离心率为 . 4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是B A ,,左、右焦点分别是21,F F , 若B F F F AF 1211,,成等比数列,则椭圆C 的离心率为 .5、已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点, △21F PF 是底角为30的等腰三角形,则椭圆E 的的离心率为 .6、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率是 .7、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,过原点的直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点,连接,AF BF .若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=,则椭圆C 的离心率为 . 8上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭 圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP (O 是坐标原点), 则该椭圆的离心率是 .9、如图,正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点,其余四个顶点在椭圆Q O F 2F 1P y x 上,则该椭圆的离心率为 .10、如图,已知21,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点,点P 在椭圆C 上, 线段2PF 与圆222b y x =+相切于点Q ,且点Q 为线段2PF 的中点,则椭圆C 的离心率 为 .(第9题图) (第10题图) (第11题图)11、如图,在直角△ABC 中,1AB AC ==,如果一个椭圆通过,A B 两点,它的一个焦 点为C ,另一个焦点在AB 上,则这个椭圆的离心率为 . 12、如图,在平面直角坐标系xOy 中,1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个 顶点,F 为其右焦点,直线12A B 与直线1B F 相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰 为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .(第12题图)B CF EA D x y A 1B 2 A 2 O M F TB 113、如图,已知c AB 2=(常数0>c ),以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ,且 CD AB //,若椭圆以B A ,为焦点,且过D C ,两点,则当梯形ABCD 的周长最大时, 椭圆的离心率为 .(第13题图)题型二:(求椭圆的离心率的取值范围)1、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,短轴的一个端点为P , 若12F PF ∠为钝角,则椭圆C 的离心率的取值范围为 .2、已知焦点在x 轴上的椭圆222:1(0)4x y E b b +=>,短轴的一个端点为M ,点M 到直 线:340l x y -=的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围为 . 3、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,其右准线与x 轴的交点为A ,若 椭圆C 上存在点P ,使得线段AP 的垂直平分线经过点F ,则椭圆C 的离心率的取值范 围为 .4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,若椭圆C 上存在点P ,使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ,则椭圆C 的离心率的取值范围为 .5、在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,右顶点为 A ,点P 是椭圆C 上一点,l 为左准线,PQ l ⊥,垂足为Q .若四边形PQFA 为平行四 边形,则椭圆C 的离心率的取值范围为 .6、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>和圆222x y b+=,若C上存在点P,过点P引圆O的两条切线,切点分别为,A B,满足60APB∠=,则椭圆C的离心率的取值范围为.7、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得12PFePF=,则椭圆C的离心率的取值范围为.8、已知椭圆22:11x yCm m+=+的两个焦点分别是12,F F,若椭圆C上存在点P,使得121PF PF⋅=,则椭圆C的离心率的取值范围为.9、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>右顶为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP 垂直于PA,则椭圆C的离心率的取值范围为.10、如图,已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F,点P是椭圆C上一点,点M在1PF上,且满足12F M MP=,2PO F M⊥,O为坐标原点,则椭圆C的离心率的取值范围为.(第10题图)专题十:椭圆的离心率参考答案题型一:(求椭圆的离心率的值)1、2;2、33、2;4、5;5、34;6、2;7、57;8、2;91;10、3;1112、5;131. 题型二:(求椭圆的离心率的取值范围)1、(2;2、;3、1[,1)2;4、1[,1)3;5、1,1);6、;7、1,1);8、;9、;10、1(,1)2.。

专题讲座:椭圆离心率的常规求法(文)

专题讲座:椭圆离心率的常规求法(文)
1.知识点:求离心率的两种常规方法: (1)定义法:求a,c或a、c的关系; (2)方程法:根据题上的相等关系,构造关于
a,c的齐次式,解出e. 2.思想方法:
方程的思想,转化的思想
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长 成等差数列,求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ,过F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P,若为△F2PF1等腰直角 三角形,求椭圆的离心率.
专题讲座
椭圆离心率的常规求法
刘帅帅
一.复习巩固
二.离心率的常见题型及解法
题型一:定义法 例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1,求椭圆的离心率;
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义:e为∠OPF2的正弦值
变式训练1:
若椭圆x2 + y2 =1的离心率为1/2,求m的值.
四.高考链接
( (a>2b0>102)新的课左标、全右国焦卷点),设P为F1直和线F2是x=椭3圆a ax上22 +一by点22 =,1
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形, 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
五.小结
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2,A为椭圆上一 点 ,且AF1⊥AF2,∠AF1F2=60°,求该椭圆的 离心率。
变式训练2:
椭圆
x a
2 2
+
y2 b2

椭圆离心率经典题型总结

椭圆离心率经典题型总结

椭圆离心率经典题型总结一、基础题1. 已知椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值为( )A .3B CD .253或32. 的两段,则其离心率为________.3. 若椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.244. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是( )11A.D.54325. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点,顺次连结这四个点和两个焦点,恰好围成一个正六边形,则这个椭圆的离心率等于________.6. 已知1F ,2F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥,且2160PF F ∠=︒,则C 的离心率为A .1B .2CD 17. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若2ABF △是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )A B C 1 D8. 椭圆22221x y a b+=上一点到两焦点的距离分别为12d d 、,焦距为2c ,若122d c d 、、成等差数列,则椭圆的离心率为_____.9. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )A 、13B C 、12D10. 在ABC ∆中,7,cos .18AB BC B ==-若以,A B 为焦点的椭圆经过点,C 则该椭圆的离心率e =________.11. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )A. 45B.35C.25D.1512. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,A 是椭圆长轴的一个端点,B 是椭圆短轴的一个端点,F 为椭圆的一个焦点. 若AB BF ⊥,则该椭圆的离心率为( )A B C D13. 椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的两顶点为A(,0),B(0,)a b 且左焦点为F ,FAB ∆是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e 为( )A.B. C. D.14. 设椭圆E 的两焦点分别为F 1,F 2,以F 1为圆心,|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ,Q 两点.若△PF 1F 2为直角三角形,则E 的离心率为( )A.2-1B.5-12C.22 D.2+115. 已知椭圆22221x y a b+=,焦点为12,F F ,在椭圆上存在点P ,使得12PF PF ⊥,则椭圆的离心率e 的取值范围为________.16. 斜率为2的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( )A .2B .12C D .1317. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是A B C .13 D .1218. 已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x -y +5=0,弦的中点坐标是M (-4,1),则椭圆的离心率是________.19. 与椭圆x 22+y 2=1有相同的焦点且与直线l :x -y +3=0相切的椭圆的离心率为________.20. 设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,若C 上的任意点P 都满足||2PB b ≤,则C 的离心率的取值范围是( )A .2B .1[,1)2C .(0,2D .1(0,]2二、中档题21. 在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的焦距为2c ,以点O 为圆心,a 为半径作圆M .若过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭所作圆M 的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为 .22. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点,直线12A B 与直线1B F 相交于点,T 线段OT 与椭圆的交点M 恰为OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .23. 已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A且斜率为36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.1424. 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且2BF FD =,则C 的离心率为 .25. 如图,已知椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左顶点为A ,左焦点为F ,上顶点为B ,若90BAO BFO ∠+∠=°,则该椭圆的离心率是 .26. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),斜率为-12的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若△ABF 1的重心为G (,)63c c ,则椭圆C 的离心率为_____.27. 已知O 为坐标原点,F 是椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点。

专题:椭圆的离心率解法大全

专题:椭圆的离心率解法大全

专题:椭圆的离心率b 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率£= 2 r 增2•椭圆—+ — = 1的离心率为三,则加=4 m 2[解析]当焦点在x 轴上时,迁疋= £=>加=3;当焦点在y 轴上时,也二£ = ]» = £2 2 yjtn 23 综上加=匹或3333, 已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率是一54, ______________________________________________________________________________ 已知m, n, m+n 成等差数列,m, n, mn 成等比数列,则椭圆—+ —= 1的离心率为 ___________________________m n2n = 2/77 + n[解析]由< n 2=m 2nmn 工05, 已知- + - = l(W > 0.7? > 0)则当mn 取得最小值时,椭圆二+厶=1的的离心率为 —m n tir ir 2牙. y *6, 设椭圆—+ —=1(^> 6 >0)的右焦点为凡右准线为h 若过月且垂直于x 轴的弦的长等于点尺到的距cr Z?-离,则椭圆的离心率是丄。

2二,运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率£1 ,在&AABC 中,ZA = 9(r , AB=AC=1,如果一个椭圆过A 、B 两点,它的一个焦点为C,另一个焦点在AB 上,求这个椭圆的离心率 {e = yf6-yf3)2, 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线与BF 交于D,且ZBDB 、=90\ 则椭圆的离心率为()[解析] —• (--) = -1 => <72 - c 2 =ac=>e=—―-a c 23, 以椭圆的右焦点氏为圆心作圆,使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点,一,利用定义求椭圆的离心率& £ain = 2 =>n = 42 2椭圆—+ ^-=1的离心率为务 m n 2F】与圆相切,则椭圆的离心率是石-1变式(1):以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆,使该圆过椭圆的中心0并且与椭圆交于爪N两点,如果I MF | = | M0 | ,则椭圆的离心率是—14,椭圆错误!-错误匸l(a>b >0)的两焦点为Fi、F2 ,以F:F:为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两边,则椭圆的离心率e?解:v |F1F 2 | =2c I BF1 I = c I BF2| = \r (,3)c c+\ r (, 3)c= 2 a A e =错误!二错误!T变式(1):椭圆错误! +错误!二1 (a>b >0)的两焦点为冉.F?,点P在椭圆上,使AOPFi为正三角形,求椭圆离心率?解:连接PF:,则|0氏I =|OFj 二I OP I , ZF I PF2 =9 0 °图形如上图,e =©■刁-12变式(2)椭圆二亍 +错误匸l(a>b >0)的两焦点为F】.F: , AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PFi a丄X轴,PF:〃AB,求椭圆离心率?解:二错误!I F: Fl | =2c |0B |=b |OA|=a PF? //AB二错误仁错误!又Tb二错误!A a 2= 5 c2己二错误!变式(3):将上题中的条件"PF2〃AB”变换为“PO〃43(O为坐标原点)” 相似题:椭圆\f(x2 , J ) -错误匸l(a>b >0), A 是左顶点,F是右焦点,B是短轴的一个顶点,ZABF二9 0° , 求e?解:I AO =a I OF I =c I BF I =a | A B | = \ r (, a :+ b 2 )a 2+b ' +a" =(a+c ): =a J+2 a c+c‘ a" —c:-a c =0 两边同除以£e'+e —1=0 e 二错误!e 二错误!(舍去)变式⑴:椭圆错误! +错误!= 1 (a>b >0),e=错误!,A是左顶点,F是右焦点,B是短轴的一个顶点,求ZABF?点评:此题是上一题的条件与结论的互换,解题中分析各边,由余弦定理解决角的问题。

离心率问题的7种题型15种方法

离心率问题的7种题型15种方法

离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式题型一 椭圆离心率的求值方法一 定义法求离心率1. 已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为( ) A .31 B .21 C .22 D .322 【解析】 14222=+y a x ,∵ a 2−4=4⇒a =2√2 ,则 e =c a =2√2=√22 ,选C2. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( )A .13 B .12 C .23 D .34【解析】由直角三角形的面积关系得bc =124⨯12c e a ==,选B3. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25D . 15【解析】设长轴为2a ,短轴为2b ,焦距为2c ,则2222.a c b +=⨯ 即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得:2225230,5230c ac a e e +-=+-=,选B4. 椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为【解析】椭圆12222=+by a x (a >b >0)左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a﹣c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,所以e=55方法二运用通径求离心率5.设椭圆C2222x ya b+=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于【解析】不妨假设椭圆中的a=1,则F1(﹣c,0),F2(c,0),当x=c时,由2222x ya b+=1得y=ab2=b2,即A(c,b2),B(c,﹣b2),设D(0,m),∵F1,D,B三点共线,∴,得m=﹣2b2,即D(0,﹣2b2),∴若AD⊥F1B,在,即=﹣1,即3b4=4c2,则3b2=2c=3(1﹣c2)=2c,即3c2+2c﹣3=0,解得c==,则c=,∵a=1,∴离心率e=ac=336.从椭圆22221x ya b+=(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥O P(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是【解析】由题意知A(a,0),B(0,b),P2,bca⎛⎫-⎪⎝⎭∵AB∥O P,∴2b bac a-=-.∴b=c;又∵a2=b2+c2,∴22212cea==.∴2e=7.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是【解法一】设1(,0)F c-,2(,0)F c,由题意易知,21212,PF F F c PF===,1212212F Fcea PF PF∴====+【解法二】由题意易知,2122,PF FF c ==由通径得22=a b PF ,故22c=ab ,解得e 1方法三 运用e =e = 8. 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且FD BF 2=,则C 的离心率为【解】 如图,,作DD 1⊥y 轴于点D 1,则由,得,所以,,即,由椭圆的第二定义得又由|BF |=2|FD |,得,a 2=3c 2,解得e ==33,9. 经过椭圆2222=1x y a b+(a >b >0)的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ,B两点,若||||AF BF 112=,求椭圆的离心率。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

椭圆中的离心率
学习目标:掌握常见的求椭圆的离心率的值与范围的方法 一.课前预习:
1. 已知正三角形ABC,椭圆以B ,C 为焦点,且过AB、AC 的中点,椭圆的离心率是 。

2.椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0)的两顶点为A (a,0)B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离
等于2
1
∣AF
3.如图,从椭圆上一点P 向x 的一个焦点1F B 的连线与OP 4.椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点是12,F F ,P 是椭圆右准线上一点,若线段1PF 的
中垂线经过2F ,则椭圆离心率的取值范围是 。

二.例题解析:
(一).求离心率的值:
1.椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0)的四个顶点为A 、B 、C 、D ,若四边形ABCD 的内切圆恰
好过焦点,求椭圆的离心率。

2.如图所示,A 、B 是椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0F 2是右焦点,且AB ⊥BF 2,求椭圆的离心率
3.椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的直线l 过椭圆的左焦点F 且交椭圆于A 、B
两点,若AF =2BF ,求椭圆的离心率
(二).求离心率的范围:
1.已知21F F 、是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且1290F PF ∠=,求椭圆离心率e 的取值范围。

2.椭圆12222=+b
y a x (a>b>0)和圆x 2+y 2=(c b
+2)2有四个交点,其中c 2=a 2-b 2, 求椭圆
离心率e 的取值范围。

三.巩固练习:
1.已知椭圆M :122
22=+b
y a x (a>b>0),D (2,1)是椭圆M 的一条弦AB 的中点,点
P (4,-1)在直线AB 上,求椭圆M 的离心率。

2. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆,使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点,椭圆的左焦点为F 1,直线MF 1与圆相切,则椭圆的离心率是 。

3.设椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0)的两焦点为F 1、F 2,长轴两端点为A 、B ,若椭圆上存
在一点Q ,使∠AQB=120º,求椭圆离心率e 的取值范围。

4.椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点是12,F F ,Q 是椭圆右准线与x 轴的交点,P 是
椭圆上一点,若线段PQ 的中垂线经过2F ,则椭圆离心率的取值范围是_________.
一.求离心率的值:
1.已知21F F 、是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,若
75,151221=∠=∠F PF F PF ,则椭圆的离心率为
3
6 2.已知正三角形ABC,椭圆以B ,C 为焦点,且过AB、AC 的中点,椭圆的离心率是 。

3.椭圆122
22=+b y a x (a>b>0)的两顶点为A (a,0)B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于
2
1
∣AF ∣,求椭圆的离心率.(36)
4.椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0)的四个顶点为A 、B 、C 、D ,若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点,
求椭圆的离心率.(
2
1
5-)
5.如图所示,A 、B 是椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0且AB ⊥BF 2,求椭圆的离心率. (2
15-)6. 椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>l 过椭圆的左焦点F 且交椭圆于A 、B 两点,若
AF =2BF ,求椭圆的离心率
二.求离心率的范围:
1.已知21F F 、是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且1290F PF ∠=,求椭圆离心率e 的取值范围。

2.椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点是12,F F ,P 是椭圆右准线上一点,若线段1PF 的中垂线
经过2F ,求椭圆离心率的取值范围
3.椭圆12222=+b
y a x (a>b>0)和圆x 2+y 2=(c b
+2)2有四个交点,其中c 2=a 2-b 2, 求椭圆离心率e
的取值范围。


5
3
55<<e ) 三.巩固练习:
1.已知直线L 过椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0)的顶点A (a,0)、B(0,b),如果坐标原点到直线L 的距
离为
2
a
,求椭圆的离心率.(36)。

2.以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆,使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点,椭圆的左焦点为F 1,直线MF 1与圆相切,求椭圆的离心率.(13-)
3.以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆,使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点,如果∣MF ∣=∣MO ∣,求椭圆的离心率.(13-)
4.已知椭圆M :122
22=+b
y a x (a>b>0),D (2,1)是椭圆M 的一条弦AB 的中点,点
P (4,-1)在直线AB 上,求椭圆M 的离心率。


2
2
5.如图,从椭圆上一点P 向X 圆的一个焦点1F ,此时椭圆长轴的一个端点A 端点B 的连线与OP 平行,求椭圆的离心率。


2
2

6.椭圆中心在坐标原点,焦点在x 轴上,过椭圆左焦点F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点,且OP ⊥OQ ,则椭圆的离心率e 的取值范围是 。


12
1
5<≤-e ) 7.设椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0)的两焦点为F 1、F 2,长轴两端点为A 、B ,若椭圆上存在一点Q ,
使∠AQB=120º,求椭圆离心率e 的取值范围。


e ≤2
3
<1). 8.椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点是12,F F ,Q 是椭圆右准线与x 轴的交点,P 椭圆上一点,
若线段PQ 的中垂线经过2F ,求椭圆离心率的取值范围。

相关文档
最新文档