实数综合应用(讲义及答案).
实数的混合运算含答案
实数1、一组按一定规律排列的式子如下： 2a ， 5a—?28 11a a34 …，（a 0），则第n 个式子是2、已知数 a , b , c 在数轴上的位置如图所示, 化简 |a 2b | |c 2b |的结果是。
答案：a+c3、观察下面一列数，1,2, 3,4, 5,6, 7L 将这列数排成下列形式，按照上述规律排下去，那么第 11行从左边第7个数是 ______________ 。
答案：—10725、（ 8）的立方根是（ ） A 、一 2答案：C 6、若 b 是a 的立方根，那么下面结论正确的是（）A b 也是 a 的立方根B 、b 是 a 的立方根C b 也是 a 的立方根 D答案：C8、已知mn0且1m 1 n 0 m n1,那么n, m, 1n1 ,n m的大小关系是（ ）A 111 1 1 1 1 1A m - n — nB 、m n — nC 、 n — m nD 、m n n — n mm nm nm n10、 已知一个正数 x 的平方根是3a 2与2 5a ，则a = _________ , x 的立方根为 ________ 。
4、下列说法错误的是（A 2是8的立方根B 、答案：B）4是 64的立方根 C 、1 1 _____________________3是9的平方根D 、4是''256的算术平方根7、点A B 分别是数3、 -在数轴上对应的点，把线段2AB 沿数轴向右移动到 A'B'，且线段 A'B'的中点对应的数是 3,则点A 对应的数是（)A 0B、1C、13D2 4答案：C4丄49、 , 16的算术平方根是 _____________ ,呵的平方根是___________________11、若a,b均为正整数，且a ,1?,b 3 9，则a b的最小值是（）A 6 B、7 C 、8 D 、9答案：B12、已知：x 2的平方根是2，2x y 7的立方根是3，则x2 y2的算术平方根为____________________413、已知实数x, y满足J2x 16 |x 2y 4| 0,则2x - y的立方根为。
初中数学第六章 实数(讲义及答案)及答案
8．已知|x|＝2，y2＝9，且xy＜0，则x+y的值为（ ）
A．1或﹣1B．-5或5C．11或7D．-11或﹣7
9．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是 和﹣1，则点C所对应的实数是( )
A．1+ B．2+ C．2 ﹣1D．2 +1
24．定义：若两个有理数a，b满足a＋b＝ab，则称a，b互为特征数．
（1）3与互为特征数；
（2）正整数n(n＞1)的特征数为；（用含n的式子表示）
（3）若m，n互为特征数，且m＋mn＝－2，n＋mn＝3，求m＋n的值．
25．在已有运算的基础上定义一种新运算 ： ， 的运算级别高于加减乘除运算，即 的运算顺序要优先于 运算，试根据条件回答下列问题．
10．若a、b为实数，且满足|a－2|＋ ＝0，则b－a的值为( )
A．2B．0C．－2D．以上都不对
二、填空题
11．[x)表示小于x的最大整数，如[2.3)=2，[ 4)= 5，则下列判断：①[ )= ；②[x) x有最大值是0；③[x) x有最小值是 1；④x [x) x，其中正确的是__________（填编号）．
12．a是 的整数部分，b的立方根为-2，则a+b的值为________．
13．若 ，则mn的值为____.
14．若实数a、b满足 ，则 =_____．
15．对于有理数a，b，规定一种新运算：a※b=ab+b，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a※b=b※a，则a=b；③方程（x﹣4）※3=6的解为x=5；④（a※b）※c=a※（b※c）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．
7年级上册数学第三章《实数的运算综合》讲义
【3.1 平方根】1、平方根的含义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
即a x =2，x 叫做a 的平方根。
2、平方根的性质与表示 ⑴ 表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。
⑵ 1、一个正数有两个平方根：a ± （根指数２省略）2、０有一个平方根，为０，记作00=3、负数没有平方根⑶ 平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。
a a =2=⎩⎨⎧-a a 00<≥a a ()a a =2（0≥a ）⑷ a 的双重非负性 0≥a 且0≥a （应用较广） Eg ：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸ 如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
拓展：两次根式的运算区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4= ４开平方后，得____【典型例题】1、 25的平方根是 ，算术平方根是 ．=+412_________ ． 2、已知2x =100，则x= ． 已知2+x =2，则2)2(+x =______．3、如果一个非负数的平方根是2a-1和a-5,则这个数是________．4、下列说法中，正确的个数是 （ ）① ±5是25的平方根 ② 49的平方根是－7 ③ 8是16的算术平方根 ④ －3是9的平方根A ．1B ．2C ．3D ．45、已知实数a 、b 、c 满足，2|a-1|+2b c ++2)21(-c =0,,求a+b+c 的值.6、若12112--+-=x x y ，求x ，y 的值。
7、已知325y 2+--=x ,求x 取何值时，y 有最大值。
【学生练习1】1、522y 2++-+-=x x x ，求x y 的平方根和算术平方根。
2、若0|2|1=-++y x ，求x+y 的值。
中考数学第六章 实数(讲义及答案)含答案
中考数学第六章 实数(讲义及答案)含答案一、选择题 1．如图将1、2、3、6按下列方式排列．若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则(5,4)与(15,8)表示的两数之积是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．62．已知x 、y 为实数，且34x ++（y ﹣3）2＝0．若axy ﹣3x ＝y ，则实数a 的值是（ ）A ．14B ．﹣14C ．74D ．﹣743．下列选项中的计算，不正确的是( )A ．42=±B ．382-=-C ．93±=±D ．164= 4．下列数中π、227，﹣3，3343，3.1416，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），0.3中，无理数的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．±9 6．下列计算正确的是（ ） A ．21155⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．()239-= C ．42=± D ．()515-=- 7．下列命题中，真命题的个数有（ ）①带根号的数都是无理数； ②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；③0.01是0.1的算术平方根； ④有且只有一条直线与已知直线垂直A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．如图，数轴上的点E ，F ，M ，N 表示的实数分别为﹣2，2，x ，y ，下列四个式子中结果一定为负数是（ ）A ．x +yB ．2+yC ．x ﹣2D ．2+x 9．在实数：3.14159364，1.010010001....，4.21••，π，227中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．比较552、443、334的大小( ) A ．554433234<< B ．334455432<< C ．553344243<<D ．443355342<< 二、填空题11．已知a n ＝()211n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)．12．将1,2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___13．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．14．已知：103＜157464＜1003；43＝64；53＜157＜63，则 315746454=，请根据上面的材料可得359319=_________．15．实a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b b a ++-=___________.16．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+＝_____． 17．3是______的立方根；81的平方根是________32=__________．18．将2π93-272这三个数按从小到大的顺序用“<”连接________． 19．34330035.12=30.3512x =-，则x =_____________．20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：(1)线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程)(2)这个图形的目的是为了说明什么?(3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)A ．数形结合B ．代入C ．换元D ．归纳22．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是2,37的整数部分是z ，求42x y z ++的平方根．23．定义：若两个有理数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则称a ，b 互为特征数．（1）3与 互为特征数；（2）正整数n (n ＞1)的特征数为 ；（用含n 的式子表示）（3）若m ，n 互为特征数，且m ＋mn ＝－2，n ＋mn ＝3，求m ＋n 的值．24．如图，以直角△AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足280a b b -++-=．（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOA ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．25．已知A 、B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且2110|2|02ab a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，点P 是数轴上的一个动点．（1）求出A 、B 之间的距离；（2）若P 到点A 和点B 的距离相等，求出此时点P 所对应的数；（3）数轴上一点C 距A 点36c 满足||ac ac =-．当P 点满足2PB PC =时，求P 点对应的数．26．阅读下列解题过程：为了求23501222...2+++++的值，可设23501222...2S =+++++，则2345122222...2S =+++++，所以得51221S S -=-，所以5123505121:1222...221S =-+++++=-，即；仿照以上方法计算：（1）2320191222...2+++++= .（2）计算：2320191333...3+++++（3）计算：101102103200555...5++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．【详解】解：(5,4)表示第5排从左往右第4，(15,8) 表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和．故本题选B ．【点睛】本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．2．A解析：A【分析】()230y -=可得：34030x y +=⎧⎨-=⎩，据此求出x 、y 的值，然后把求出的x 、y 的值代入axy-3x=y ，求出实数a 的值即可．【详解】()230y -=，∴34030xy+=⎧⎨-=⎩，解得433xy⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∵axy-3x=y，∴a(﹣43)·3-3×(﹣43)＝3，∴﹣4a+4＝3，解得a＝14．故选：A．【点睛】本题考查了算数平方根平方数的非负性，利用非负数性质求x、y的值是解决问题的关键．3．A解析：A【分析】根据平方根与立方根的意义判断即可．【详解】解：2=2=±错误，本选项符合题意；2=-，本选项不符合题意；C. 3=±，本选项不符合题意；D. 4=，本选项不符合题意.故选：A.【点睛】本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．4．C解析：C【解析】【分析】根据无理数的概念解答即可.【详解】解:在π、2273.1416，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），0.3中,无理数是: π3.2121121112…（每两个2之间多一个1），共3个，故选C.【点睛】本题考查了无理数的定义.注意带根号的数与无理数的区别:带根号的数不一定是无理数,带根号且开方开不尽的数一定是无理数.是有理数中的整数.5．C解析：C【分析】根据操作步骤列出方程，然后根据平方根的定义计算即可得解.【详解】由题意得：23522x -=，∴29x =，∵2(39)±=，∴3x =±，故选：C .【点睛】此题考查平方根的定义，求一个数的平方根，利用平方根的定义解方程，正确理解计算的操作步骤得到方程是解题的关键. 6．B解析：B【分析】根据有理数的乘方以及算术平方根的意义即可求出答案．【详解】解：A.211525⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，选项A 运算错误，不符合题意； B.()239-=，正确，符合题意；2=，所以，选项C 运算错误，不符合题意；D.()511-=-，所以，选项D 运算错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的运算以及求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． 7．A解析：A【分析】开方开不尽的数为无理数；立方根等于本身的有±1和0；算术平方根指的是正数；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.【详解】仅当开方开不尽时，这个数才是无理数，①错误；立方根等于本身的有：±1和0，②错误；0.1是0.01的算术平方根，③错误；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直，④错误故选：A【点睛】本题考查概念的理解，解题关键是注意概念的限定性，如④中，必须有限定条件：在同一平面内，过定点，才有且只有一条直线与已知直线垂直.8．C解析：C【分析】根据点E，F，M，N表示的实数的位置，计算个代数式即可得到结论．【详解】解：∵﹣2＜0＜x＜2＜y，∴x+y＞0，2+y＞0，x﹣2＜0，2+x＞0，故选：C．【点睛】本题考查了实数，以及实数与数轴，弄清题意是解本题的关键．9．B解析：B【分析】有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可．【详解】解：因为3.14159，227是有限小数，4.21是无限循环小数，所以它们都是有理数；=4，4是有理数；因为1.010010001…，π=3.14159265…，所以1.010010001…，π，都是无理数．综上，可得无理数有2个：1.010010001…，π．故选：B．【点睛】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．10．C解析：C【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可【详解】解：255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，∵32＜64＜81，∴255＜433＜344．故选：C ．【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．二、填空题11．．【解析】【详解】根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=．解：根据以上分析bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an ）=．“ 解析：12++n n ． 【解析】【详解】 根据题意按规律求解：b 1=2(1-a 1)=131221-4211+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=314221-29321+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，…，所以可得：b n =12++n n ． 解：根据以上分析b n =2（1-a 1）（1-a 2）…（1-a n ）=12++n n ． “点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b 值时要先算出a 的值，要注意a 中n 的取值．12．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列解析：【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【详解】（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，÷=……，即1中第三个数∵1994493故答案为．【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．13．5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．【分析】首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根.【详解】由103＝1000，1003＝1000000，就能确定是2位数．由解析：39【分析】首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根.【详解】由103＝1000，1003＝10000002位数．由59319的个位上的数是99，如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27、43＝64339．故答案为：39【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．15．【解析】由数轴得，a+b<0,b-a>0,|a+b|+=-a-b+b-a=-2a.故答案为-2a.点睛：根据，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小解析：2a-【解析】由数轴得，a+b<0,b-a>0,=-a-b+b-a=-2a.故答案为-2a.点睛：根据,0,0a aaa a≥⎧=⎨-<⎩，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小于0，把绝对值变为括号，前面再加负号.最后去括号，化简. 16．【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a、b互为倒数，∴ab＝1，∵c、d互为相反数，∴c+d＝0，∴＝﹣1+0+1＝0．解析：【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a、b互为倒数，∴ab＝1，∵c、d互为相反数，∴c+d＝0，∴1＝﹣1+0+1＝0．故答案为：0．【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．17．±9 2-【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；解：∵ ，∴3是27的立方根；∵ ，∴81的平方根是 ；∵ ，∴；故答案为：2解析：【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵3327= ，∴3是27的立方根；∵2(9)81±= ，∴81的平方根是9± ；2< ，22=故答案为：27，9±，；【点睛】本题主要立方根、平方根的定义以及去绝对值法则，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．18．＜＜【分析】先根据数的开方法则计算出和的值，再比较各数大小即可．【详解】==，==，∵＞3＞2，∴＜＜，即＜＜，故答案为：＜＜【点睛】本题考查实数的大小比较，正确化简得出和的值是解解析：3＜2π先根据数的开方法则计算出3的值，再比较各数大小即可． 【详解】33=22=32-=32， ∵π＞3＞2，∴22＜32＜2π＜2π，＜2π 【点睛】的值是解题关键． 19．－0.0433【分析】 三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”故答案为：－0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】a==6<<479<<<<23∴的整数部分是2，即2b=ab=⨯=则6212故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．三、解答题21．；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．【详解】解：(1)OB2＝12+12＝2，∴OB，∴OA＝(2)数轴上的点和实数是一一对应关系(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．故选A.【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．22．6±【分析】根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x 和y 的值，再根据题意得到z 的值，即可求解本题．【详解】解：由题意可得3x 29268y x y --=⎧⎨+-=⎩， 解得54x y =⎧⎨=⎩，36<<67∴<<， 6z ∴=，424542636∴++=⨯++⨯=x y z ，故42x y z ++的平方根是6±．【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义． 23．（1）32；（2）1n n -；（3）13 【分析】（1）设3的特征数为b ，根据特征数的定义列式求解即可；（2）设n 的特征数为m ，根据特征数的定义列式求解即可；（3）根据m ，n 互为特征数得出m ＋n ＝mn ，结合已知的两个等式进行求解即可．【详解】解：（1）设3的特征数为b ，由题意知，33b b +=，解得，32b =， ∴3与32互为特征数， 故答案为：32 （2）设n 的特征数为m ，由题意知，n ＋m ＝nm ，解得，1n m n =-， ∴正整数n (n ＞1)的特征数为1n n -， 故答案为：1n n - （3）∵ m ，n 互为特征数，∴ m ＋n ＝mn ，又m ＋mn ＝－2 ①，n ＋mn ＝3 ②，①＋②得，m ＋n ＋2mn ＝1，∴ m ＋n ＋2(m ＋n )＝1，∴ m ＋n ＝13． 【点睛】本题考查了新定义的运算，正确理解特征数的定义是解题的关键．24．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由见解析．【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；（2）根据运动速度得到OQ=t ，OP=8-2t ，根据△ODP 与△ODQ 的面积相等列方程求解即可；（3）由∠AOC=90°，y 轴平分∠GOD 证得OG ∥AC ，过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ，得到∠FHC=∠ACE ，∠FHO=∠GOD ，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC ，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.【详解】（180b -=，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A （0，6），C （8，0）；故答案为：（0，6），（8，0）；（2）由（1）知，A （0，6），C （8，0），∴OA=6，OB=8，由运动知，OQ=t ，PC=2t ，∴OP=8-2t ，∵D （4，3）， ∴114222ODQ D S OQ x t t =⨯=⨯=△， 1182312322ODP D S OP y t t =⨯=-⨯=-△（），∵△ODP与△ODQ的面积相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°.又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD.∵x轴平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD.∴∠GOA=∠OAC.∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE.∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.25．（1）12；（2）-4；（3）226--或1466-【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b的值，根据两点间的距离，可得答案；（2）根据A和B所对应的数，可得AB中点所表示的数，即为点P所表示的数；（3）根据题意可以得到c的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点P对应的数.【详解】解：（1）∵2110|2|0 2ab a⎛⎫++-=⎪⎝⎭，∴11002ab +=，20a -=， 解得：a=2，b=-10， ∴A 、B 之间的距离为：2-（-10）=12；（2）∵P 到A 和B 的距离相等，∴此时点P 所对应的数为：()21042+-=-；（3）∵|ac|=-ac ，a=2＞0，∴c ＜0，又|AC|=∴c=2-BC=12-∵2PB PC =，①P 在BC 之间时，点P 表示(2101223-+⨯-=--②P 在C 点右边时，点P 表示(1021214-+⨯-=-∴点P 表示的数为：2--或14-【点睛】本题主要考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，另外此题有一个易错点，第（3）题中，要注意距离与数轴上的点的区别．26．（1）202021-；（2）2020312-；（3）201101554-. 【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．【详解】解：（1）根据2350511222...221+++++=-得：2320191222...2+++++=202021-（2）设2320191333...3S =+++++，则234202033333...3S =+++++，∴2020331S S -=-， ∴2020312S -= 即：2020232019311333 (32)-+++++= （3）设232001555...5S =+++++，则23420155555...5S =+++++，∴201551S S -=-， ∴201514S -=即：20123200511555 (5)4-+++++= 同理可求⸫10123100511555 (5)4-+++++= ∵1011021032002320023100555...51555...5)(1555...5)++++=+++++-+++++（ 201101201101101102103200515155555 (5444)---∴++++=-= 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．。
部编数学七年级下册专题04《实数》解答题重点题型分类(解析版)含答案
专题04《实数》解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《实数》中“化简求值题型”、“利用平方根与立方根的性质解方程题型”、“计算解答题型”、“数轴比较大小题型”、“整数部分与小数部分题型”、“创新题型”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：化简求值题型方法点拨：1.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应（数形结合）。
2.数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.4.绝对值、平方、算术平方根的双重非负性的应用。
1．若0,0a ab <<，化简a b a --【答案】【分析】由0,0a ab <<判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值，再计算即可．【详解】解：∵0,0a ab <<，∴b ＞0，∴0,0a b b a --<->∴a b a --((a b b a =-----a b b a =-+++=【点睛】本题考查二次根式的化简，正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．分类的标准应按正实数，负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意识．2．先化简后求值：()()()()222232x y y x y x y x y -----+-，其中x ，y满足30x y +=．【答案】xy -，1-【分析】直接利用整式的混合运算法则以及绝对值、算术平方根的性质得出x ，y 的值，进a a而计算得出答案．【详解】解：原式2222244432x xy y x y xy y =-+-++-xy =-，30x y +=Q ，\3402350x y x y +-=ìí--=î，解得：313x y =ìïí=ïî，\原式1313=-´=-．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，绝对值的非负性，算术平方根，解题的关键是正确掌握相关运算法则．3．先化简，再求值：[（3x +y ）（3x ﹣y ）﹣2x （y +2x ）+（y ﹣2x ）2]÷（﹣3x ），其中x 、y满足1y =．【答案】﹣3x +2y ，﹣26【分析】原式中括号利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝（9x 2﹣y 2﹣2xy ﹣4x 2+y 2﹣4xy +4x 2）÷（﹣3x ）＝（9x 2﹣6xy ）÷（﹣3x ）＝﹣3x +2y ，∵1y =，∴x ﹣8≥0且8﹣x ≥0，解得：x ＝8，∴11y ==-，∴原式＝﹣3×8+2×（﹣1）＝﹣24﹣2＝﹣26．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．4．已知多项式A ＝x 2+2xy ﹣3y 2，B ＝2x 2﹣3xy +y 2，先化简3A +2B ；再求当x ，y 为有理数且满足x 2y +2y ＝﹣+17时，3A +2B 的值．【答案】2277,63x y -【分析】根据多项式的加减运算进行化简，进而根据x ，y 为有理数求得,x y 的值，代入求解即可．【详解】Q A ＝x 2+2xy ﹣3y 2，B ＝2x 2﹣3xy +y 2，\()()222232323223A B x xy y x xy y +=+-++-2222369462x xy y x xy y =+-+-+2277x y =-()227x y =-Q x 2+2y ＝﹣，x ，y 为有理数，22x y \+==-，4,5y x \=-=±2225169x y \-=-=\原式7963=´=【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，实数的性质，求得,x y 的值是解题的关键．5．（1）化简：a 2+（5a 2﹣2a ）﹣2（a 2﹣3a ）；（2）先化简，再求值：14（﹣4x 2+2x ﹣8y ）﹣（﹣x ﹣2y ），其中x ＝23，y ＝2018．【答案】（1）244a a +；（2）232x x -+，59【分析】（1）去括号后合并同类项即可；（2）利用乘法分配律化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：（1）a 2+（5a 2﹣2a ）﹣2（a 2﹣3a ），2225226a a a a a =+--+ ，244a a =+ ；（2）14（﹣4x 2+2x ﹣8y ）﹣（﹣x ﹣2y ），()()21114282444x x y x y =´-+´+´-++ ，21222x x y x y =-+-++ ，232x x =-+ ，当x ＝23，y ＝2018时，原式2232323æö=-+´ç÷èø ，419=-+ ，59= ．【点睛】此题主要考查了整式的化简求值和实数运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．6．已知数a a【答案】2【分析】直接利用数轴得出a 的取值范围，进而化简得出答案．【详解】解：由数轴得：0.50a -＜＜，a ＝121a a a-+++＝2．【点睛】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键．7．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点位置如图所示，化简：【答案】3b【详解】解：原式=|-c |+|a -b |+a +b -|b -c |，=c +（-a +b ）+a +b -（-b +c ），=c -a +b +a +b +b -c ，=3b ．【点睛】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质．8．若一个正数的两个平方根分别为1a -，27a +，请先化简再求值：()()222123a a a a -+--+．【答案】25a +，9【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可求得a 的值，再对原式去括号合并同类项化简后，代入a 的值求解即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为1a -，27a +，∴（a -1）+（2a +7）=0，解得a =-2．()()222123a a a a -+--+2222223a a a a =-+-++25a =+，当a =-2时，原式()2259=-+=．【点睛】本题主要考查了平方根的性质，整式的加减求值．利用正数的两个平方根互为相反数列等式求值是解题的关键．9．我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的．例如：（1）请仿照上例化简．①②；（2）请化简【答案】（1）；②2）【分析】（1）①根据题意仿照求解即可；②根据题意仿照求解即可；（2）先根据被开方数的非负性判断a 的正负，然后根据题意求解即可．【详解】解：（1）①；②===（2）∵∴10a -³，∴0a <∴==【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．10．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简a 时，当a 在数轴上位于原点的右侧时，a a =；当a 在数轴上位于原点时，0a =；当a 在数轴上位于原点的左侧时，a a =-．当a ，b ，c 三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，（1）当1a =时，求aa =______，当2b =-时，求bb =______．（2）请根据a ，b ，c 三个数在数轴上的位置，求abca b c ++的值．（3）请根据a ，b ，c 三个数在数轴上的位置，化简：a c c a b b c ++++--．【答案】（1）1；1- ；（2）1-；（3）c -．【分析】（1）当1a =时，点a 在原点右边，由题意可知，此时a a =，代入a a 即可求值；当2b =- 时，点b 在原点左边，由题意可知，此时b b =-，代入bb 即可求值；（2）由图中获取a b c 、、三点的位置信息后，结合题意即可求原式的值；（3）由图获取a b c 、、的正、负信息和三个数绝对值的大小后，就可确定原式中绝对值符号里面式子的值的符号，就可化简原式．【详解】解：（1）当1a =时，111a a ==；当2b =-时，212b b ==--，故答案是：1，-1；（2）由数轴可得：0b < ，0c < ，0a > ，∴abca b c ++=1111a b c a b c--++=--=-；（3）由数轴可知：0b c a <<<且c a b <<，∴000a c a b b c +>+<-<，，，∴a c c a b b c++++--()[()][()]a c c a b b c =++-+-+---a c c ab b c=+---+-c =-．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．在解第3小问这类题时，需注意以下两点：（1）根据在数轴上表示的数中，左边的总小于右边的，确定好所涉及数的大小关系及每个数的正、负信息（涉及异号两数相加的还要获取它们绝对值的大小关系）；（2）根据有理数加、减法法则确定好需化简式子中绝对值符号里的式子的正、负，然后再根据绝对值的代数意义将绝对值符号去掉．考点2：利用平方根与立方根的性质解方程题型方法点拨：解方程时应把平方部分看成一个整体，先根据等式基本性质把方程化为平方部分等什么。
实数知识点总复习含答案解析
【解析】
【分析】
由于 ，于是 ，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
【详解】
由于 ，于是 ，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
解：∵ ，
∴ ，
10与9的距离小于16与10的距离，
∴与 最接近的是3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【答案】B
【解析】
分析：直接利用2＜ ＜3，进而得出答案．
详解：∵2＜ ＜3，
∴3＜ +1＜4，
故选B．
点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 的取值范围是解题关键．
10．若 则 的值是（）
A．2 B、1 C、0 D、
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．
【详解】
，
∴25的算术平方根是：5.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
19．估计 的值是在（）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
【答案】B
【解析】
解：由于16＜19＜25，所以4＜ ＜5，因此6＜ +2＜7．故选B．
点睛：本题主要考查了估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4．在－3.5， ，0， ，－ ，－ ，0.161161116…(相邻两个6之间依次多一个1)中，无理数有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
实数典型例题和解析
实数典型例题和解析
实数是数学中非常重要的概念，涉及到实数的典型例题和解析
有很多种，我会从不同的角度给出一些例题和解析。
1. 实数的基本性质：
例题，证明实数a和b满足交换律，即a + b = b + a。
解析，根据实数加法的定义，a + b = b + a恒成立。
因为实
数加法满足交换律，所以这个命题成立。
2. 实数的大小比较：
例题，已知a = 3和b = 5，求证a < b。
解析，根据实数大小比较的定义，当a和b是实数且a < b时，必有b a > 0。
所以，5 3 = 2 > 0，因此a < b成立。
3. 实数的运算性质：
例题，计算(√2 + 3)(√2 3)的值。
解析，利用实数的乘法分配律，展开式子得到(√2 + 3)(√2 3) = (√2)^2 3^2 = 2 9 = -7。
4. 实数的绝对值：
例题，求实数-5的绝对值。
解析，实数-5的绝对值记作|-5|，根据绝对值的定义，当x <
0时，|x| = -x。
所以|-5| = -(-5) = 5。
5. 实数的分段函数：
例题，设f(x) = |x 2|，求f(x)的图像。
解析，根据绝对值函数的图像特点，当x < 2时，f(x) = -(x 2)，当x ≥ 2时，f(x) = x 2。
因此，f(x)的图像在x = 2处有转
折点。
以上是一些关于实数的典型例题和解析，涉及到实数的基本性
质、大小比较、运算性质、绝对值和分段函数等方面。
希望这些例题和解析能够帮助你更好地理解实数的概念和性质。
实数综合运算讲义及答案
实数综合运算（讲义）一、知识点睛1. 实数计算：（1）分部分：观察式子结构，以加、减法为标志，分部分，每部分一个模块；（2）做运算：辨析种类，依法则，做运算，不图一步到底，不跳步，平均使用精力；（3）巧检验：“抽查”、“普查”相结合，“横向”、“纵向”相结合．2. 含特殊角（15°的倍数）的三角形：利用三角形的高构造直角，把特殊角放在直角三角形中，使用三边关系来求解．二、精讲精练化简：1.)((2132+2.3.4. 175+27315.32-+-6. 212-⎛⎫- ⎪⎝⎭7. (2-8. (021+9.3--10. ))201220133112-+11. 解方程：（110=+ （21)x x =+12. 某片绿地形状如图所示，其中AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∠A =60°，AB =200m ，CD =100m ，求AD ，BC 的长．13. 在△ABC 中，∠BAC =135°，AB =1，AC=，求BC 的长．14. 在△ABC 中，∠A =150°，AB =AC =2，求BC的长． C BA15. 在△ABC 中，∠ABC =120°，AB =1，BC =4，求AC 的长．16. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =75°，AC =1，求斜边AB 的长．（提示：作AB 的垂直平分线DE ，交CB A60°D CA B AAB 于点D ，交BC 于点E ）AC BDE三、回顾与思考______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________【参考答案】1．7- 2．3．45．-6．2 7．528．7-910．52- 11．（1）10x = （2）3x =-12．AD=(400m -；BC=()200m13．BC14．BC=15．AC16．AB实数综合运算（随堂测试）1. 化简：（1）（2）3180125--.÷（3(202-+(（4）20122013222)(2. 在△ABC 中，∠BAC =135°，AB =7，AC =BC 的长．BA【参考答案】1．（1） （2（3（432．BC =17实数综合运算（作业）化简：1. ((221+3+-2. (223. 1126-4.0 32-5.)216.(1-+7.213-⎛⎫-⎪⎝⎭8.201220131+9.在△ABC中，∠ABC=120°，ABBC=求AC的长．CBA【参考答案】1．11-2．5-345．67．11-8．9．AC=。
初中数学复习实数的概念及运算(含答案)
第1讲实数概念与运算一、知识梳理实数的概念1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。
(1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做实数。
(2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。
实数a的相反数是______0的相反数是________②性质：若a+b=0 则a与b互为______, 反之，若a与b 互为相反数，则a+b= _______(3)倒数：①定义：1除以________________________叫做这个数的倒数。
②a 的倒数是________(a≠0)(4)绝对值：①定义：一般地数轴上表示数a的点到原点的_______, 叫数a的绝对值。
②2、平方根、算术平方根、立方根(1)平方根：一般地，如果_________________________,这个数叫a的平方根，a的平方根表示为_________.（a≥0）(2)算术平方根：正数a的____的平方根叫做a的算术平方根，数a的算术平方根表示为为_____（a≥0）(3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫a的立方根，数a的立方根表示为______。
注意：负数_________平方根。
实数的运算1、有效数字、科学记数法（1）有效数字：从一个数的_____边第一个_____起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。
（2）科学记数法：一个数M 可表示为a ⨯10n 或a ⨯10-n形式，其中1//10a ≤∠，n 为正整数，当/M/≥10时，可表示为__________形式，当/M/<1时，可表示为____________形式。
2、实数的运算：（1）运算顺序：在进行混合运算时，先算______,再算_______，在最后算_________;有括号时，先算括号里面的。
（2）零指数：0a =__________（a≠0），负指数：p a -=________（a≠0，p 是正整数）。
专题 实数的概念及性质(含答案)
第六讲 实数的概念及性质数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系． 由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数pq 的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数pq 的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ．2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解【例1】若a 、b 满足ba 53+3=7，则S ＝ba 32-的取值范围是 ． (全国初中数学联赛试题)思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组．注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．【例2】 设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( )A ．小于0的有理数B ．大于0的有理数C ．小于0的无理数D ．大于0的无理数(武汉市选拔赛试题)思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式． 【例3】已知a 、b 是有理数，且032091412)121341()2331(=---++b a ，求a 、b 的值．思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程组．【例4】(1) 已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2＝1，求a+b 的值． (南昌市竞赛题)(2)设x 为一实数，[x]表示不大于x 的最大整数，求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数x 的值．(江苏省竞赛题)思路点拨 (1)运用估算的方法，先确定x ，y 的值，再代入xy+by 2＝1中求出a 、b 的值；(2)运用[x]的性质，简化方程．注： 设x 为一实数，则[x]表示不大于x 的最大整数，[x]]又叫做实数x 的整数部分，有以下基本性质：(1)x －1<[x]≤x (2)若y< x ，则[y]≤[x] (3)若x 为实数，a 为整数，则[x+a]= [x]+ a ．【例5】 已知在等式sdcx b ax =++中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，解答：(1)当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是有理数； (2) 当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是无理数．( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)把s 用只含a 、b 、c 、d 的代数式表示；(2)从以下基本性质思考： 设a 是有理数，r 是无理数，那么①a+r 是无理数；②若a ≠0，则a r 也是无理数；③ r 的倒数r 1也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a 、b 、c 、d 取值进行详细讨论．注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．学力训练1．已知x 、y 是实数，96432=+-++y yx ，若yx axy=-3，则a= ．(2002年个数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是 ． 3．方程185=++-+y y x 的解是 ．4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121=；同样∵1112=12321，∴11112321=；…由此猜想=76543211234567898 ．(济南市中考题)5．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C所表示的数是( )A ．12-B ．21-C ．22-D ．22-(江西省中考题) 6．已知x 是实数， 则πππ1-+-+-x x x 的值是( )A ．π11-B ．π11+C ．11-πD ．无法确定的( “希望杯”邀请赛试题)7．代数式21-+-+x x x 的最小值是( ) A ．0 B ．21+ C ．1 D ．不存在的 ( “希望杯”邀请赛试题) 8．若实数a 、b 满足032)2(2=+-+-+a b b a ，求2b+a －1的值．(山西省中考题)9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．21)1(2=+，211=S ；31)2(2=+，222=S ；41)3(2=+，233=S ；…(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S l 2+S 22+S 32+…+S 210的值． (烟台市中考题) 10．已知实数 a 、b 、c 满足412212=+-+++-c c c b b a ，则a(b+c)= ．11．设x 、y 都是有理数，且满足方程04)231()321(=--+++πππy x ，那么x －y 的值是 ．( “希望杯’邀请赛试题)12．设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab+a －b ＝1，则b= ． (四川省竞赛题)13．已知正数a 、b 有下列命题：①若a=1，b ＝1，则1≤ab ； ②若25,21==b a ，则23≤ab ；③若a ＝2，b=3，则25≤ab ； ④若a=1，b=5，则3≤ab ．根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则≤ab ． (黄冈市竞赛题) 14．已知：11=-a a，那么代数式aa +1的值为( )A ．25 B ．25-C ．5-D ．5(重庆市竞赛题)15．设[x]表示最接近x 的整数(x ≠n+0.5，n 为整数)，则[21⨯]+[32⨯]+[43⨯]+…+[101100⨯]的值为( )A ．5151B ．5150C ．5050D ．5049( “五羊杯”邀请赛试题) 16．设a<b<0，ab b a 422=+，则ba b a -+的值为( )A ．3B ．6C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)17．若a 、b 、c 为两两不等的有理数，求证：222)(1)(1)(1a c c b b a -+-+-为有理数．18．某人用一架不等臂天平称一铁块a 的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量． (安徽省中考题)．19．阅读下面材料，并解答下列问题：在形如a b =N 的式于中，我们已经研究过两种情况：①已知a 和b ，求N ，这是乘方运算，②已知b 和N ，求a ，这是开方运算． 现在我们研究第三种情况；已知a 和N ，求b ，我们把这种运算叫做对数运算． 定义：如果a b=N (a>0，a ≠1，N>0)，则b 叫做以a 为底的N 的对数，记作b=log a N ． 例如：因为23=8，所以log 28=3；因为2-3=81，所以log 281=－3．(1)根据定义计算:①log 3 81= ；②log 33= ；③log 3l= ；④如果log x 16=4，那么x= ． (2)设a x=M ，a y＝N ，则log a M=x ；log a N ＝y(a>0，a ≠1，N>0，M ，N 均为正数)． 用log A M ，log A N 的代数式分别表示log a MN 及log a NM ，并说明理由．(泰州市中考题) 20．设dcx b ax y++=，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数．求证：(1)当bc=ad 时，y 是有理数；(2)当bc ≠ad 时，y 是无理数．21.设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a ，试求AABC 的形状．。
1.实数及其运算的知识点习题和答案
初中数学实数及其运算的知识点主要包括以下内容：1.实数的定义：①实数包括有理数和无理数。
②有理数是可以表示为两个整数之比的数（整数、小数、分数）。
③无理数是不能表示为两个整数之比的数（如π、√2等）。
2.实数在数轴上的表示：①实数可以在数轴上直观地表示，正数在原点右侧，负数在原点左侧，零在原点。
3.实数的性质：①实数的顺序性：实数可以比较大小。
②实数的封闭性：实数在加减、乘除（除数不为零）运算后仍然得到实数。
③实数的分配律、结合律和交换律：这些性质使得实数的运算符合代数的规则。
4.实数的运算：加法：①同号相加，取相同符号，和的绝对值为两个绝对值之和。
②异号相加，取绝对值较大的数的符号，和的绝对值为两数绝对值的差。
③加法结合律和交换律。
减法：①减去一个数等于加上这个数的相反数。
乘法：①同号相乘得正，异号相乘得负。
②乘法结合律和交换律。
除法：①除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为零）。
②除法的除数不为零。
5.实数的乘方和开方：①乘方：a^n表示n个a相乘。
②开方：√a表示找到一个数，使得它的平方等于a（非负实数）。
6.实数的乘方根：①立方根：∛a表示找到一个数，使得它的三次方等于a。
②四次方根：∜a表示找到一个数，使得它的四次方等于a。
7.实数的绝对值：①实数a的绝对值记为|a|，表示a与0的距离，总是非负的。
8.实数的运算顺序：①先乘除，后加减。
②如果有括号，先计算括号内的表达式。
9.实数的有理数和无理数的性质：①有理数可以表示为分数，无理数不能。
②无理数包括无限不循环小数。
10.实数的应用：①实数在几何、物理、经济等领域的应用。
练习题知识点1：实数的定义和分类填空题1.实数1.5可以表示为分数______。
2.√9的平方是______。
算数题1.计算：(-2) + 32.计算：2 ×(-4)3.计算：(-3) ÷64.计算：√(16) + √(25)5.计算：(-3)^26.计算：(√2)^27.计算：(-5)^3知识点2：实数在数轴上的表示选择题1.在数轴上，0的右边是______。
中考数学《实数》专题含解析
实数一、选择题1．某年哈尔滨市一月份的平均气温为﹣18℃，三月份的平均气温为2℃，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高（）A．16℃B．20℃C．﹣16℃D．﹣20℃2．下列计算正确的是（）A．B．（a+b）2=a2+b2C．（﹣2a）3=﹣6a3D．﹣（x﹣2）=2﹣x3．下列计算正确的是（）A．（﹣1）﹣1=1 B．（﹣3）2=﹣6 C．π0=1 D．（﹣2）6÷（﹣2）3=（﹣2）24．数字，，π，，cos45°，中是无理数的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．45．据报道，苏州市政府有关部门将在市区完成130万平方米老住宅小区综合整治工作．130万（即1300000）这个数用科学记数法可表示为（）A．1.3×104B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×1076．数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是﹣，则点B关于点A的对称点B′点表示的数为（）A．﹣2 B．﹣﹣2 C．﹣﹣1 D．07．下列计算结果正确的是（）A．（﹣a3）2=a9B．a2•a3=a6 C．D．（sin60°﹣）0=08．28cm接近于（）A．珠穆朗玛峰的高度B．三层楼的高度C．姚明的身高D．一张纸的厚度9．实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是（）A．a＜b B．|a|＞|b|C．﹣a＜﹣b D．b﹣a＞0二．填空题10．地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，用科学记数法表示（保留2个有效数字）约为千米．11．化简：=．12．若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是．13．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b=．14．已知互为相反数，则a：b=．15．若的值在x与x+1之间，则x=．16．，则x y=．17．计算：=．18．化简二次根式：=．19．一个自然数的算术平方根是a，则相邻的下一个自然数的算术平方根是．三．计算题20．计算：﹣+|1﹣|+（）﹣1．21．计算：﹣2sin30°﹣（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣+（﹣1）．22．．23．计算：．24．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如3的差倒数为，﹣5的差倒数为．现已知x1=﹣，x1的差倒数是x2，x2的差倒数是x3，…，以此类推，x的值是多少？实数参考答案与试题解析一、选择题1．某年哈尔滨市一月份的平均气温为﹣18℃，三月份的平均气温为2℃，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高（）A．16℃B．20℃C．﹣16℃D．﹣20℃【考点】有理数的减法．【专题】应用题．【分析】根据题意用三月份的平均气温气温减去一月份的平均气温气温，再根据有理数的减法运算法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”计算求解．【解答】解：2﹣（﹣18）=2+18=20℃．故选B．【点评】本题考查有理数的减法运算法则．2．下列计算正确的是（）A．B．（a+b）2=a2+b2C．（﹣2a）3=﹣6a3D．﹣（x﹣2）=2﹣x【考点】完全平方公式；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法．【分析】利用完全平方公式、去括号与添括号法则、幂的乘方与积的乘方及二次根式的加减法等性质进行计算后即可确定答案．【解答】解：A、不是同类二次根式，因此不能进行运算，故本答案错误；B、（a+b）2=a2+b2+2ab，故本答案错误；C、（﹣2a）3=﹣8a3，故本答案错误；D、﹣（x﹣2）=﹣x+2=2﹣x，故本答案正确；故选D．【点评】本题考查了完全平方公式、去括号与添括号法则、幂的乘方与积的乘方及二次根式的加减法等性质，属于基本运算，要求学生必须掌握．3．下列计算正确的是（）A．（﹣1）﹣1=1 B．（﹣3）2=﹣6 C．π0=1 D．（﹣2）6÷（﹣2）3=（﹣2）2【考点】负整数指数幂；同底数幂的除法；零指数幂．【专题】计算题．【分析】根据平方根，负指数幂的意义，同底数的幂的除法的意义，分别计算出各个式子的值即可判断．【解答】解：A、（﹣1）﹣1=﹣1，故A错误；B、（﹣3）2=9，故B错误；C、任何非0实数的零次幂等于1，故C正确；D、（﹣2）6÷（﹣2）3=（﹣2）3，故D错误．故选C．【点评】解决此题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、同底数的幂的除法等考点的运算．4．数字，，π，，cos45°，中是无理数的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】无理数；特殊角的三角函数值．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给的数据判断即可．【解答】解：=2，cos45°=，所以数字，，π，，cos45°，中无理数的有：，π，cos45°，共3个．故选C．【点评】此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式．5．据报道，苏州市政府有关部门将在市区完成130万平方米老住宅小区综合整治工作．130万（即1300000）这个数用科学记数法可表示为（）A．1.3×104B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×107【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】应用题．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：130万=1 300 000=1.3×106．故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是﹣，则点B关于点A的对称点B′点表示的数为（）A．﹣2 B．﹣﹣2 C．﹣﹣1 D．0【考点】实数与数轴．【分析】先求出A、B之间的距离，然后根据对称的性质得出A、B′之间的距离，再设点B′表示的数为x，列出关于x的方程，解方程即可．【解答】解：∵数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是﹣，∴AB=﹣1，∵点B和点B′关于点A对称，∴AB′=AB=﹣1．设点B′表示的数为x，则x+1=﹣1，x=﹣2．∴B′点表示的数为﹣2．故选A．【点评】本题考查了实数与数轴上的点的对应关系，以及对称的有关性质．7．下列计算结果正确的是（）A．（﹣a3）2=a9B．a2•a3=a6 C．D．（sin60°﹣）0=0【考点】负整数指数幂；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；零指数幂．【分析】根据有理数的幂的乘方和同底数幂的乘法及负指数幂的运算法则计算．【解答】解：A、平方取正值，指数相乘，应为a6，故A错误；B、a2•a3=a5，故B错误；C、，故C正确；D、（sin60°﹣）0=1≠0，故D错误．故选C．【点评】本题主要考查了有理数的有关运算法则，解答此题时要注意任何非0数的0次幂等于1．8．28cm接近于（）A．珠穆朗玛峰的高度B．三层楼的高度C．姚明的身高D．一张纸的厚度【考点】有理数的乘方．【分析】根据有理数的乘方运算法则，计算出结果，然后根据生活实际来确定答案．【解答】解：28=24×24=16×16=256（cm）=2.56（m）．A、珠穆朗玛峰峰的高度约8848米，错误；B、三层楼的高度20米左右，错误；C、姚明的身高是2.23米，接近2.56米，正确；D、一张纸的厚度只有几毫米，错误．故选C．【点评】解答这样的题目有两个要点需要注意，一是有理数的乘方运算法则要记牢；二是根据生活实际情况来做出选择．9．实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是（）A．a＜b B．|a|＞|b|C．﹣a＜﹣b D．b﹣a＞0【考点】实数与数轴．【分析】根据数轴表示数的方法得到a＜0＜b，数a表示的点比数b表示点离原点远，则a＜b；﹣a＞﹣b；b﹣a＞0，|a|＞|b|．【解答】解：根据题意得，a＜0＜b，∴a＜b；﹣a＞﹣b；b﹣a＞0，∵数a表示的点比数b表示点离原点远，∴|a|＞|b|，∴选项A、B、D正确，选项C不正确．故选C．【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；数轴上原点左边的点表示负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．二．填空题10．地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，用科学记数法表示（保留2个有效数字）约为 1.5×108千米．【考点】科学记数法与有效数字．【专题】计算题．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值是易错点，由于1 048 576有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．【解答】解：149 600 000=1.496×108≈1.5×108．故答案为1.5×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．11．化简：=．【考点】算术平方根．【分析】根据开平方的意义，可得答案．【解答】解：原式==，故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根，先化成分数，再开方运算．12．若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是．【考点】实数与数轴．【专题】图表型．【分析】首先利用估算的方法分别得到﹣，，前后的整数（即它们分别在那两个整数之间），从而可判断出被覆盖的数．【解答】解：∵﹣2＜﹣＜﹣1，2＜＜3，3＜＜4，且墨迹覆盖的范围是1﹣3，∴能被墨迹覆盖的数是．【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力．13．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b=11．【考点】估算无理数的大小．【分析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵，a、b为两个连续的整数，∴＜＜，∴a=5，b=6，∴a+b=11．故答案为：11．【点评】此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题的关键．14．已知互为相反数，则a：b=．【考点】立方根．【分析】根据立方根互为相反数，可得被开方数互为相反数，根据互为相反数的两数的和为0，可得答案．【解答】解：互为相反数，∴（3a﹣1）+（1﹣2b）=0，3a=2b，故答案为：．【点评】本题考查了立方根，先由立方根互为相反数得出被开方数互为相反数，再求出的值．15．若的值在x与x+1之间，则x=2．【考点】估算无理数的大小．【分析】先估算的整数部分是多少，即可求出x的取值．【解答】解：∵2＜＜3，∴x=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，确定无理数的整数部分即可解决问题．16．，则x y=﹣1．【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．【分析】首先根据非负数的性质，两个非负数的和是0，这两个数都是0求得x，y的值，代入即可求解．【解答】解：根据题意得：，解得：，∴x y=（﹣1）=﹣1．故答案是：﹣1．【点评】本题主要考查了非负数的性质，以及负指数幂的意义，正确求得x，y的值是解题的关键．17．计算：=．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=3+0.5﹣6×=，故答案为．【点评】本题是基础题，考查了实数的有关运算，还涉及了零指数幂、负指数幂、二次根式化简、绝对值等考点．18．化简二次根式：=﹣2．【考点】二次根式的混合运算．【分析】首先进行各项的化简，然后合并同类项即可．【解答】解：=3﹣（）﹣2=﹣2，故答案为﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简、二次根式的混合运算，解题的关键在于对二次根式进行化简，然后合并同类项．19．一个自然数的算术平方根是a，则相邻的下一个自然数的算术平方根是．【考点】算术平方根．【分析】首先利用算术平方根求出这个自然数，然后即可求出相邻的下一个自然数的算术平方根．【解答】解：∵一个自然数的算术平方根是a，∴这个自然数是a2，∴相邻的下一个自然数为：a2+1，∴相邻的下一个自然数的算术平方根是：，故答案为：．【点评】此题主要考查算术平方根的定义及其应用，比较简单．三．计算题20．计算：﹣+|1﹣|+（）﹣1．【考点】实数的运算；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项分母有理化，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=3﹣+﹣1+2=3+1．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．计算：﹣2sin30°﹣（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣+（﹣1）．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、立方根等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=﹣2×﹣+1﹣（﹣2）+1=﹣1﹣9+1+2+1=﹣6．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、立方根等考点的运算．22．．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4+（1﹣）﹣1+2×+，再去括号和进行乘法运算，然后合并即可．【解答】解：原式=4+（1﹣）﹣1+2×+=4+1﹣﹣1++=4+．【点评】本题考查了实数的运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．23．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、去绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=2+×﹣（﹣1）﹣1，=2+1﹣+1﹣1，=+1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．24．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如3的差倒数为，﹣5的差倒数为．现已知x1=﹣，x1的差倒数是x2，x2的差倒数是x3，…，以此类推，x的值是多少？【考点】规律型：数字的变化类．【分析】根据差倒数的定义分别计算出x1=﹣，x2=；x3=4，x4=﹣，则得到从x1开始每3个值就循环，而÷3=671，即可得出答案．【解答】解：∵x1=﹣，∴x2==；x3==4；x4==﹣；…，∴三个数一个循环，∵÷3=671，∴x=x3=4．【点评】此题考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．。
第六章 实数(讲义及答案)附解析
第六章 实数(讲义及答案)附解析一、选择题1．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是( ) A ．n +1B ．21n +C ．1n +D ．21n2．下列结论正确的是（ ） A ．无限小数都是无理数 B ．无理数都是无限小数 C ．带根号的数都是无理数 D ．实数包括正实数、负实数3．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则图中正方形ABCD 的边长是（ ）A ．2B ．5C ．6D ．34．下列说法中正确的个数有（ ） ①0是绝对值最小的有理数； ②无限小数是无理数；③数轴上原点两侧的数互为相反数； ④相反数等于本身的数是0； ⑤绝对值等于本身的数是正数； A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．下列实数中是无理数的是（ ） A ．B ．C ．0.38D ．6．下列实数中的无理数是（ ） A ． 1.21B ．38-C ．33-D ．2277．如图，数轴上,A B 两点表示的数分别为1,2--，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．12B 21C ．22D 22 8．已知一个正数的两个平方根分别是3a ＋1和a ＋11，这个数的立方根为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．09．借助计算器可求得22435，22443355+=，22444333555+=，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想222020420203444333+个个等于（ ）A ．20174555个B ．20185555个C ．20195555个D ．20205555个10．已知（﹣25）2的平方根是a ，﹣125的立方根是b ，则a ﹣b 的值是（ ） A ．0或10B ．0或﹣10C ．±10D ．0二、填空题11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=．例如：(-3)☆2=32322-++-- = 2．从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____． 12．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[385-)= 8-；②[x )–x 有最大值是0；③[x ) –x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )<x ，其中正确的是__________ （填编号）．13．如果一个有理数a 的平方等于9，那么a 的立方等于_____． 14．x-1+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____． 15．观察下列各式： 123415⨯⨯⨯+=； 2345111⨯⨯⨯+=； 3456119⨯⨯⨯+=；121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____． 16．用⊕表示一种运算，它的含义是：1(1)(1)xA B A B A B ⊕=++++，如果5213⊕=，那么45⊕= __________． 17．若()221210a b c -+-=，则a b c ++=__________． 18116的算术平方根为_______． 19．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+＝_____． 20．2x -﹣x|＝x+3，则x 的立方根为_____．三、解答题21．（阅读材料）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：10=100=，1000593191000000<<，∴10100<<．∴能确定59319的立方根是个两位数． 第二步：∵59319的个位数是9，39729= ∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，<<34<<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （解答问题）根据上面材料，解答下面的问题 （1）求110592的立方根，写出步骤．（2=__________． 22．阅读型综合题对于实数x y ，我们定义一种新运算(),L x y ax by =+（其中a b ，均为非零常数），等式右边是通常的 四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中x y ，叫做线性数的一个数对．若实数 x y ，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x y ，叫做正格线性数的正格数对．（1）若(),3L x y x y =+，则()2,1L = ，31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）已知(),3L x y x by =+，31,222L ⎛⎫=⎪⎝⎭．若正格线性数(),18L x kx =，（其中k 为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由． 23．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(a ，b )：如果c a b =，那么(a ，b )=c ． 例如：因为23=8，所以(2，8)=3． （1）根据上述规定，填空：（3，27）=_______，（5，1）=_______，（2，14）=_______． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ，4n ）=（3，4）小明给出了如下的证明： 设（3n ，4n ）=x ，则（3n ）x =4n ，即（3x ）n =4n 所以3x =4，即（3，4）=x ， 所以（3n ，4n ）=（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4，5)+(4，6)=(4，30) 24．阅读下列材料：()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯ 123(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯ 由以上三个等式相加，可得 读完以上材料，请你计算下列各题． （1）求1×2+2×3+3×4+…+10×11的值．（2）1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1）=___________．25．已知1x +与2y -互为相反教，z 是64的方根，求x y z -+的平方根 26．已知a 是最大的负整数，b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，c 是单项式﹣2xy 2的系数，且a 、b 、c 分别是点A 、B 、C 在数轴上对应的数．（1）求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C ．（2）若M 点在此数轴上运动，请求出M 点到AB 两点距离之和的最小值； （3）若动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒12个单位长度，点Q 的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q 能追上点P ？（4）在数轴上找一点N ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N 对应的数．（不必说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据算术平方根的平方等于这个这个自然数，得出下一个自然数，可得答案． 【详解】解：这个自然数是2n ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是21n +， 21n ． 故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根，掌握一个数算术平方根的平方等于这个数是解题关键．2．B解析：B【分析】利用无理数，实数的性质判断即可．【详解】A、无限小数不一定是无理数，错误；B、无理数都是无限小数，正确；C、带根号的数不一定是无理数，错误；D、实数包括正实数，0，负实数，错误，故选：B．【点睛】考核知识点：实数.理解实数的分类是关键.3．B解析：B【分析】由图可知；正方形面积为5．再由正方形的面积等于边长的平方依据算术平方根定义即可得出答案.【详解】解：由图可知，正方形面积=133-421=52⨯⨯⨯⨯，∴正方形边长故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，无理数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．A解析：A【分析】分别利用绝对值的定义、无理数、有理数的定义、相反数的定义分别进行判断即可得出答案．【详解】①0是绝对值最小的有理数；根据绝对值的性质得出，故此选项正确；②无限小数是无理数；根据无限循环小数是有理数判断，故此选项错误；③数轴上原点两侧的数互为相反数；根据到原点距离相等的点是互为相反数，故此选项错误；④相反数等于本身的数是0；根据相反数的定义判断，故此选项正确；⑤绝对值等于本身的数是正数；还有0的绝对值也等于本身，故此选项错误.∴正确的个数有2个故选：A.【点睛】本题主要考查了绝对值的定义、无理数、有理数的定义、相反数的定义等知识，熟练掌握其性质是解题关键.5．A解析：A【解析】【分析】根据有理数和无理数的概念解答：无限不循环小数是无理数．【详解】解: A、π是无限不循环小数，是无理数；B、=2是整数，为有理数；C、0.38为分数，属于有理数；D. 为分数，属于有理数.故选：A.【点睛】本题考查的是无理数，熟知初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解答此题的关键．6．C解析：C【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义解答.【详解】1.21=1.1是有理数；38-，是有理数；33-是无理数；D. 227是分数，属于有理数，故选：C.【点睛】此题考查无理数的定义，熟记定义是解题的关键. 7．D解析：D【分析】设点C的坐标是x，根据题意列得212x=-，求解即可.【详解】解：∵点A 是B ，C 的中点． ∴设点C 的坐标是x ，则12x=-，则2x =-+∴点C 表示的数是2-+ 故选：D . 【点睛】此题考查数轴上两点的中点的计算公式：两点的中点所表示的数等于两点所表示的数的平均数，正确掌握计算公式是解题的关键.8．A解析：A 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知3a+1+a+11=0，a=-3，继而得出答案． 【详解】∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴3a+1+a+11=0，a=-3， ∴3a+1=-8，a+11=8 ∴这个数为64，所以，这个数的立方根为：4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．9．D解析：D 【分析】当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可． 【详解】5，55=，555=，……20205555个．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．10．A解析：A 【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案． 【详解】2＝25， ∴25的平方根是±5， ﹣125的立方根是﹣5， ∴a ＝±5，b ＝﹣5， 当a ＝5时，原式＝5﹣（﹣5）＝10， 当a ＝﹣5时，原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0， 故选：A ． 【点睛】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．二、填空题 11．8 【解析】解：当a ＞b 时，a☆b= =a，a 最大为8；当a ＜b 时，a☆b==b，b 最大为8，故答案为：8．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：8 【解析】解：当a ＞b 时，a ☆b =2a b a b++- =a ，a 最大为8；当a ＜b 时，a ☆b =2a b a b++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．③，④【分析】①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，②由定义得[x)x变形可以直接判断，③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，④由定义解析：③，④【分析】①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)<x≤[x)+1，[385-)<385-<-8，[385-)=-9即可，②由定义得[x)<x变形可以直接判断，③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，④由定义知[x)<x≤[x)+1，由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，又[x)<x联立即可判断．【详解】由定义知[x)<x≤[x)+1，①[385-)=-9①不正确，②[x)表示小于x的最大整数，[x)<x，[x) -x<0没有最大值，②不正确③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x)–x有最小值是-1，③正确，④由定义知[x)<x≤[x)+1，由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，∵[x)<x，∴x1-≤[x)<x，④正确．故答案为：③④．【点睛】本题考查实数数的新规定的运算，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x)<x≤[x)+1，利用性质解决问题是关键．13．±27【分析】根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．【详解】∵（±3）2=9，∴平方等于9的数为±3，又∵33=27，（-3）3=-27．故答案为±27．【点睛】本题考查了解析：±27【分析】根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．【详解】∵（±3）2=9，∴平方等于9的数为±3，又∵33=27，（-3）3=-27．故答案为±27．【点睛】本题考查了平方根及有理数的乘方．解题的关键是掌握平方根的概念及有理数乘方的法则. 14．-1【分析】根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.【详解】解：∵+（y+2）2=0∴∴(x+y)2019=-1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟解析：-1【分析】根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.【详解】（y+2）2=0∴1020 xy-=+=⎧⎨⎩12 xy=⎧∴⎨=-⎩∴(x+y)2019=-1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质，并求出x与y是解题的关键. 15．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入12n=求解即可．【详解】由题意得()31n n=⨯++将12n=代入原式中12151181a==⨯+=故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．16．【分析】按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.【详解】解：由解得：x=8故答案为.【点睛】本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x的解析：17 45【分析】按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.【详解】解：由15 21=21(21)(11)3x⊕=++++18181745==45(41)(51)93045⊕=+++++ 故答案为1745. 【点睛】 本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的值.17．【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得．【详解】由题意得：，解得，则，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用 解析：12- 【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得．【详解】由题意得：2102010a b c -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1221a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩， 则()112122a b c ++=+-+=-， 故答案为：12-． 【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键． 18．【分析】利用算术平方根的定义计算得到的值，求出的算术平方根即可．．【详解】∴的算术平方根为；故答案为：.【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 解析：12【分析】14=的值，求出14的算术平方根即可．． 【详解】14=12=，的算术平方根为12； 故答案为：12. 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．19．【分析】根据a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数求出ab ＝1，c+d ＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a、b 互为倒数，∴ab＝1，∵c、d 互为相反数，∴c+d＝0，∴＝﹣1+0+1＝0．解析：【分析】根据a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数求出ab ＝1，c +d ＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a 、b 互为倒数，∴ab ＝1，∵c 、d 互为相反数，∴c +d ＝0，∴1＝﹣1+0+1＝0．故答案为：0．此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．20．3【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出x的值，求出答案．【详解】解：∵有意义，∴x﹣2≥0，解得：x≥2，∴+x﹣2＝x+3，则＝5，故x﹣2＝25，解得解析：3【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出x的值，求出答案．【详解】∴x﹣2≥0，解得：x≥2，﹣2＝x+3，5，故x﹣2＝25，解得：x＝27，故x的立方根为：3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．三、解答题21．（1）48；（2）28【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．解：（1）第一步：10=100=，11059210100000000<<，10100∴<，∴能确定110592的立方根是个两位数．第二步：110592的个位数是2，38512=，∴能确定110592的立方根的个位数是8．第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，，则45<<，可得4050<，由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：10=100=，1000219521000000<<，10100∴<，∴能确定21952的立方根是个两位数．第二步：21952的个位数是2，38512=，∴能确定21952的立方根的个位数是8．第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，23<，可得2030，由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．28=，故答案为：28．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．22．（1）5，3；（2）有正格数对，正格数对为()26L ，【分析】（1）根据定义，直接代入求解即可；（2）将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入(),3L x y x by =+求出b 的值，再将(),18L x kx =代入(),3L x y x by =+，表示出kx ，再根据题干分析即可．【详解】解：（1）∵(),3L x y x y =+∴()2,1L =5，31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭3 故答案为：5，3；（2）有正格数对． 将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入(),3L x y x by =+，得出，1111323232L b ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，， 解得，2b =， ∴()32L x y x y =+，，则()3218L x kx x kx =+=， ∴1832x kx -=∵x ，kx 为正整数且k 为整数 ∴329k +=，3k =，2x =，∴正格数对为：()26L ，． 【点睛】本题考查的知识点是实数的运算，理解新定义是解此题的关键．23．（1）3，0，-2 (2) (4，30)【解析】分析：（1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可；（2）应用规定和同底数幂相乘的性质逆用变形计算即可.详解：（1）∵33=27∴（3，27）=3∵50=1∴（5，1）=1∵2-2=14∴（2，14）=-2 （2）设（4，5）=x ，（4，6）=y则x 45=，y 4=6∴x y x y 44430+=⋅=∴（4，30）=x+y∴(4，5)+(4，6)=(4，30)点睛：此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质.24．（1）440；（2）()()1123n n n ++． 【分析】通过几例研究n(n+1)数列前n 项和，根据题目中的规律解得即可．【详解】．（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11=1(123012)3⨯⨯-⨯⨯+1(234123)3⨯⨯-⨯⨯+1(345234)3⨯⨯-⨯⨯+…+1(10111291011)3⨯⨯-⨯⨯ =1101112=4403⨯⨯⨯．（2）1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1） =1(123012)3⨯⨯-⨯⨯+1(234123)3⨯⨯-⨯⨯+1(345234)3⨯⨯-⨯⨯+…+ ()()()()121113n n n n n n ++--+⎡⎤⎣⎦ =()()1123n n n ++． 故答案为：()()1123n n n ++．【点睛】本题考查数字规律问题，读懂题中的解答规律，掌握部分探究的经验，用题中规律进行计算是关键．25．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x 、y 的值，然后求出z 的值，再根据平方根的定义解答．【详解】，∴x+1=0,2-y=0，解得x=-1，y=2，∵z 是64的方根，∴z=8所以，x y z -+=-1-2+8=5，所以，x y z -+的平方根是【点睛】此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．（1）a=﹣1，b=5，c=﹣2，数轴详见解析；（2）6；（3）运动4秒后，点Q 可以追上点P ；（4）M 对应的数为2或﹣223． 【解析】【分析】（1）根据题意易得a，b，c的值，然后在数轴上表示出来即可；（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为AB的长；（3）用AB的长度除以点Q与点P的速度差即可得解；（4）分析M点在不同的位置时，所得到的M的值即可.【详解】（1）∵a是最大的负整数，∴a=﹣1，∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，∴b=3+2=5，∵c是单项式﹣2xy2的系数，∴c=﹣2，如图所示：（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）=6；（3）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒12个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，∴AB=6，两点速度差为：2﹣12，∴6÷（2﹣12）=4，答：运动4秒后，点Q可以追上点P；（4）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，当M在AB之间，则M对应的数是2，当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣22 3 .综上所述，M对应的数为2或﹣223．【点睛】本题主要考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离.解此题的关键在于根据题意准确画出数轴上各点所表示的数.。
实数和二次根式讲义
专题复习 实数和二次根式知识点归纳：一．实数：1. 数的分类：或◆常见的几种无理数： ①根号型：如35,2等开方开不尽的数. ②三角函数型：如sin60°,cos45°等.③圆周率π型:如2π，π-1等. ④构造型：如1.121121112…等无限不循环小数.◆ 相反数、倒数和绝对值：（1）实数a 的相反数是 ；（2）实数a （0≠a ）的倒数是 ；（3）若a a =， 则：a 0； 若a a -=，则：a 0.◆ 负指数幂、零指数幂：=-p a ， =0a (0≠a ).◆ 对无理数的估算：记住常用的：≈2 ；≈3 ；≈5 .◆ 科学记数法： （1）2030000用科学记数法表示为： ；（2）0.000203用科学记数法表示为： ；（3）-0.000203用科学记数法表示为： .2. 平方根的性质：（1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（2） 算术平方根a 具有双重非负性，即：0,0≥≥a a .（3） ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a )0()(2≥=a a a3. 立方根的性质：（1） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.（2） a a =33 a a =33)(二．二次根式：1.二次根式的概念：式子a ),0(≥a 叫做二次根式，具有双重非负性。
2.最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。
3.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同。
4.分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。
5.二次根式运算法则：加减法：合并同类二次根式； 乘法：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 除法：)0,0(>≥=b a ba b a6.常见化简：⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=)0()0(22a b a a b a b a )0(1>==a a a a a a a 或难点指导典型例题讲解及变式练习：例1.填空1. 的平方是_________；的平方根是_________，的算术平方根是__________2. 16的算术平方根的平方根是_________，的算术平方根是__________3.已知的负的平方根为－5，则x＝_________4.若16的平方根是a，b的绝对值是5，则a＋b＝_________5.－0.064的立方根是_________，4的立方根是__________6. 表示__________，表示__________7.平方根是它本身的数是_______，算术平方根是它本身的数是_______，立方根是它本身的数是______________8.若，则___________9.把下列各数分别填入相应的空内，0，，3，0.15，，，，，3.14159，，0.2020020002…（1）整数：___________________________（2）分数：___________________________（3）正数：___________________________（4）负数：___________________________（5）有理数：___________________________（6）无理数：___________________________10. 的相反数是___________，的绝对值是________，的倒数是__________。
实数综合应用(讲义及答案).
2 2 2 5 5 2 31 实数综合应用（讲义）➢ 课前预习1. 在数轴上把下列各数表示出来：2， -， 1 ， 3 ，-3， 1.5，-21． 2请根据以上结果写出- ， 分别介于哪两个连续整数之间：＜ -＜ ；＜＜ ．➢ 知识点睛 1. 估值2. 无理数的整数部分与小数部分若 a 是一个无理数，m 为整数，且 a 在 m 和m +1这两个连续整数之间，即m < a < m +1，则 a 的整数部分为 m ，小数部分为 a -m ．例：求 解：∵2＜ ∴1＜ ∴ -1的整数部分与小数部分． ＜3，-1＜2，-1的整数部分为 1， 小数部分为( -1) -1 = - 2 ．3. 实数比较大小的方法：估值法、作差法、乘方法．➢ 精讲精练 1.若 10 在两个连续整数 a 和 b 之间，即 a ＜ a +b =．＜b ，则2. 满足- ＜x ＜ 的整数 x 是 ．3.- 2 的值（ ）A ．在 1 和 2 之间B ．在 2 和 3 之间C ．在 3 和 4 之间D ．在 4 和 5 之间5 5 5 5 5 5 5 10 5 背记：2 ≈ 1.4143 ≈ 1.732 5 ≈ 2.23627 12 5 10 3 13 13 2 3 5 3 4.- 的值在（）2.1 和 2 之间 B ．2 和 3 之间 C ．3 和 4 之间D ．0 和 1 之间5.+ 2 ⨯ 的值在（ ）A ．5 和 6 之间B ．6 和 7 之间C ．7 和 8 之间D ．8 和 9 之间6. 若2 + 的整数部分是 a ，小数部分是 b ，则 a = ，b =． 7. 若4 + 和4 - 的小数部分分别是 a 和 b ，则 a +b =．8. 用适当的方法比较大小．（1） + 3 与 - 3 ；（2）7- 与 + 3 ；（3）5 -1 与 1； （4） 2 - 与3 -1； 2 22（5） -7 - 289 与-8 ；（6） 3与2 ；（7） 与 2.5； （8） 与 3 25 ；（9） -5 与-4 ；（10） -4 与-5 ；7 87 10 2 3 98 2 3 57 5 2 13 7 2 2 2 2 3 3 3 83 （11） + 与 + ；（12） + 与 + 3．9. ， ，12的大小关系是（ ） 5A ． ＜ ＜12 5B ．12 ＜ ＜ 5C ． ＜12 ＜ 5D ． 33 ＜12 ＜ 510. ， 37 ， 7 的大小关系是（ ）47A ． ＜ 7 ＜4 B. 7 ＜ 4 ＜ 3 7 C ． ＜ 7 ＜ 3 7 D ． 37 ＜ 7 ＜ 4 411. 下列说法正确的是（ ）A ．无限小数都是无理数B ．-125 没有立方根C. 正数的两个平方根互为相反数 D ．算术平方根等于它本身的数只有 0 12. 下列说法正确的是（）A ．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B ．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C . 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是-1， 0，1 中的一个D .如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数一定是 1或者 013. 下列说法：①-1 是 1 的平方根；② 的立方根 2；③(-2)2的算术平方根是 2；④无理数分为正无理数、0、负无理数； ⑤两个无理数的和还是无理数．其中正确的有 ．（填序号）10 11 3 3 3 3 3 3 3 3 23 3 32 8 2 29 418- n 2 14. 下列说法：① -1的相反数是- +1；②数轴上的每个点都表示一个有理数；③不带根号的数都是有理数；④无理数就是开方开不尽的数；⑤若 a ，b 都是无理数，则|a |+|b |一定 是无理数．其中不正确的有 15. 下列计算正确的是（）．（填序号）A ． - =B ．27 + 3 12 = + = 5C ． (2 +5)(2 -5) = -3D ． 6 - 2 = 3 216. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的 x 为 64 时，输出的y 是．17. 用教材中的计算器进行计算，开机后依次按 果输入如图的程序中，则输出的结果是．把显示结18. 若 19. 若 是正整数，则 n 的最小整数值为 ． 是正整数，则 n 的最大整数值为．20. 如图，大正方形的面积为 8，则它的边长为 ，小正方形的面积为 2，则它的边长为 ，借助这个图形，可以得到大正 方形的边长是小正方形边长的 2 倍，即 = 2 ．请你设计一个图形解释= 2 ． 22 224n 8 2 8 1 2 3 x 2 =3 【参考答案】 ➢ 课前预习1. 数轴表示略；-2，-1；2，3.➢ 精讲精练1. 72. -1，0，1，23. C4. A5.B6. 3， 17. 18. （1）＜（2）＜ （3）＞ （4）＜ （5）＜（6）＜（7）＜（8）＜ （9）＜ （10）＜ （11）＞（12）＜9. B10. C 11. C 12. C 13. ①③ 14. ②③④⑤ 15. A 16. 2 17. 7 18. 6 19. 17 20. 略2。
第3讲 实数的运算及分数指数幂(讲义)解析版
第3讲实数的运算及分数指数幂模块一：近似数的精确度.知识精讲知识点：有关概念1．准确数概念：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．2．近似数概念：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）3．精确度概念：近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．☆近似数的精确度通常有两种表示方法：（1）精确到哪一个数位；（2）保留几个有效数字．4．有效数字概念：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．例题解析例1.一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______．【难度】★1.732；四； 1、7、3、2．≈，所以有效数字是四位，有效数字是 1、7、3、2．1.732【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.例2.写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?1)2000； 2）4.523亿；3）5⨯；4）0.00125．7.3310【难度】★【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位；2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位；3)有效数字：7、3、3，精确到千位；4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位．【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点．例3.用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________；（2）12.975(精确到百分位) ≈_________；（3）548203(精确到千位) ≈_________；（4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________． 【难度】★【答案】（1）0.00844； （2）12.98； （3）55.4810⨯； （4）65.36610⨯． 【解析】（1）0.00844； （2）12.98； （3）55.4810⨯； （4）65.36610⨯． 【总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示． 例4.已知 3.1415926π=，按四舍五入法取近似值．（1）π≈__________（保留五个有效数字）； （2）π≈_________（保留三个有效数字）；（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．【难度】★★【答案】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【解析】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示． 例5.用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别? 【难度】★★【答案】精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位．【解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位.【总结】本题主要考查了精确度的概念．例6.下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？ （1）2000 （2）0.6180（3）7.20万 （4）51010.5⨯ 解：（1）精确到个位，有4个有效数字：2、0、0、0；（2）精确到万分位，有4个有效数字：6、1、8、0； （3）精确到百位，有3个有效数字：7、2、0； （4）精确到千位，有3个有效数字：5、1、0．例7：地球表面积约为81011.5⨯平方千米，平均每平方千米的地球表面上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧8103.1⨯千克煤所产生的能量．一年内，地球从太阳得到的能量约相当于燃烧_______________千克煤产生的能量（保留3个有效数字）． 解：一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1616881064.610643.6103.11011.5⨯≈⨯=⨯⨯⨯例8.废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米． 【难度】★★ 【答案】4310⨯．【解析】45060030000310⨯==⨯．【总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法．模块二：分数指数幂 知识精讲1、有理数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)mna a =≥(0)m naa -=>，其中、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么 （1）p q p q a a a +⋅=，p q p q a a a -÷=； （2）()p q pq a a =；（3）()pppab a b =，()pp p a a b b=．例题解析例1.把下列方根化为幂的形式：（1；（2）（3；（4）（5；（6．【难度】★【答案】（1）132； （2）1310-； （3）145； （4）137； （5）13a -； （6）12()a -．【解析】（1132=； （2）1310-；（3）218455=； （4）137=；（513a ==-； （612()a =-．【总结】本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算． 例2.把下列分数指数幂化为方根形式： （1）131()27-；（2）238()27；（3）121()16-；（4）1132(64)．【难度】★【答案】（1）（2（3）（4【解析】（1）13127⎛⎫-=⎪⎝⎭；（2）23827⎛⎫=⎪⎝⎭（3）12116⎛⎫-=⎪⎝⎭（4）111362(64)64=【总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换．例3.化简：（1）111362a a a÷⋅；（2）8【难度】★【答案】（1）13a；（2）71338x y．【解析】（1）11111113623632a a a a a-+÷==；（2）1211111171 44233333366338888x y x y x y x y x y x y===．【总结】本题主要考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算．例4.计算下列各值：（1（2）201713(4aa+．【难度】★★【答案】（1）565；（2）1-．【解析】（1151362555⨯=；（2）因为3030a a-≥-≥，，所以3a=，所以3a=或3-，因为30a-≠，所以3a=-．故当3a=-时，原式()2017133143⎛⎫⨯-⎪==-⎪-⎪⎪⎝⎭．【总结】本题考查了平方根有意义的条件及混合运算．例5.计算下列各值：（1）1225232---（2）11222[(2(2]-++．【难度】★★【答案】（1）12-；（2）16．【解析】（1）1225232---4923=---+12=-；（2）()()21122 22-⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=16=．【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用公式进行．例6.计算：（1；（2）1112444111()()()242a a a-⋅++；（3）1521216636333(2)(4)x y x y x y÷-⨯．【难度】★★【答案】（1）a；（2）144116a⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）166x y-．【解析】（111113342341211121212a a a a aa aa a++===；（2）1114442111242a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114442241114416a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）231521166363324x y x y x y ⎛⎫⎛⎫÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1225111633663666x y x y -+-+=-=-．例7.已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+. 【难度】★★★【答案】（1； （2）【解析】（1）13x x -+=， 21112225x x x x --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，又11220x x-+>， 1122x x-∴+=（2）()3311122221x xx x x x ---⎛⎫+=++-= ⎪⎝⎭【总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值． 例8.若11112333342133a a a a ---=⨯⨯++，求的值． 【难度】★★★ 【答案】198． 【解析】()111133334214212a =⨯⨯=⨯⨯=， 1231111933332488a a a ---∴++=⨯+⨯+=．【总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算． 例9.已知122a =，132b =，123c =，133d =，试用a b c d 、、、的代数式表示下列各数值．（1； （2 （3； （4【难度】★★★【答案】（1）20a ； （2）10d； （3）23b ； （4）【解析】（11220220a =⨯=； （213131010d=⨯=；（312112333334323223b =⨯=⨯=⨯⨯=；（411114222232(3)22c c ⨯=⨯==． 【总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题．例10.已知：210(0)x xxxxa a a a a a --+=>-，求的值． 【难度】★★★ 【答案】119． 【解析】222112121021010x x x x a a a a --+=++=++=（）， 又0x x a a -+>，x x a a -∴+=， 222181 21021010x x x x a a a a ---=+-=+-=（），又0x xa a-->， x xa a-∴-， 119x x x x a a a a --+∴=-． 【总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用． 例11.材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n a aa 个记为n a ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若n a b =（0a >且 1a ≠，0b >），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）；（1）计算以下各对数的值：log 24=______，log 216=______，log 264=______；（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又 满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?log log a a M N +=______；（且1a ≠，M ＞0，N ＞0）．【难度】★★★【答案】（1）2，4，6； （2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=；（3）log ()a MN ．【解析】（1）2log 42=，2log 16=4，2log 646=；（2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=；（3）log log log ()a a a M N MN +=．【总结】本题考查学生对新概念的理解及运用．模块三：实数的运算 知识精讲在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：a =(0,0)ab a b =≥≥0,0)a b =≥>；2(0)a a =≥． 例题解析例的整数部分为a ，小数部分为b ，则ab =_________．【难度】★【答案】9-．【解析】253<<，2a ∴=，5b =22)9a b ∴==-【总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用． 例2计算：（1）1230.1)3(2)-⎡⨯---+⎣；（2）20152014(76)(67)+-；（3）3．【难度】★★【答案】（1）19； （2； （3）【解析】（1）1233(2)-⎡⨯---⎣）221410982(6)1339=-÷-⨯++=-÷-⨯=（）（-）；（2）2015201420152014=()201476=-=（3）3=⎤⎤⎦⎦22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()235-+=．【总结】本题主要考查了实数的混合运算，注意能简算时要简算．例3.-．【难度】★★【答案】2===【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用因式分解的思想去化简． 例4.计算：（1）11032238[1(0.2)]4271000π--+--⨯-÷（2112133211127883---⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）7208-； （2）32．【解析】（1）原式2111111()3125125167⎡⎤=+--⨯-÷⎢⎥⎣⎦11723721201688=⨯-⨯=-=-；（2）原式()9382296922=----=+-=． 【总结】本题主要考查了实数的混合运算．例5.已知实数x 、y 满足1142(3)(5)0x y x y -+++-=，求51238x y -+的值． 【难度】★★ 【答案】5．【解析】14(3)0x y -+≥，12(5)0x y +-≥， 3050x y x y -+=⎧∴⎨+-=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩， 51238325x y -∴+=+=．【总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用．例6.已知实数a 、b 、x 、y 满足21y a +=-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．【难度】★★★ 【答案】17．【解析】21y x a +-=-，21y a ∴=-，231x y b -=--，2222311x a b a b ∴-=---=--，223+0x a b ∴-=，0a ∴=，0b =，3x =， 1y ∴=，40222+217x y a b ++∴+==．【总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用． 例7.先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +====()a b >，这里7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=即227+=2=（12；（3．【难度】★★★【答案】（1；（2）3-；（3）．【解析】（113m=，42n=，6713+=，6742⨯=，即2213+===（211m=，24n=，3811+=，3824⨯=，即2211+==3；（3=59m=，864n=，322759+=，3227864⨯=，即2259+===．【总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值．例8.已知111333421a=++，求12333a a a---++的值．【难度】★★★【答案】1．【解析】设132b=，则3211111ba b bb b-=++==--，11a b -∴=-， 11b a -∴=+，3131231=33+1b a a a a ----∴=+++（），12333211a a a ---∴++=-=．【总结】本题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用．随堂检测1.下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（）A ．BC ．D ．【难度】★ 【答案】C【解析】12(0)x x =->，故选项A 错误；13(0)y y -<，故选项B 错误；13x-=D 错误．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的互化． 2.下列近似数各精确到哪一个数位?各有几个有效数字? （1）2015；（2）0.6180；（3）7.20万；（4）55.1010⨯．【难度】★【答案】（1）精确到个位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有四个有效数字；（3）精确到百位，有三个有效数字； （4）精确到千位，有三个有效数字．【解析】（1）精确到个位，有四个有效数字为2、0、1、5；12()(0)x x =->13(0)y y =<340)xx -=>130)x x -=≠（2）精确到万分位，有四个有效数字为6、1、8、0；（3）精确到百位，有三个有效数字为7、2、0；（4）精确到千位，有三个有效数字为5、1、0．【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．3.把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：4，，7，322-，343，324-，237．【难度】★【答案】432；123--；754；356；【解析】4432=；1212133-=-=-；7754=；356=；3232122-=；343=3232144-=；237【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．4.比较大小：（1）与；（22【难度】★★【答案】（1（22>【解析】（1）22-8=-0=，（2）22(2+-1110=+-10=>，2 62+53+【总结】本题主要考查了利用平方法比较两个无理数的大小．5.把下列方根化为幂的形式．（1（2；（3）．【难度】★★【答案】（1）582；（2）5766a b；（3）111144a b．【解析】（1582==；（25766a b==；（3）311111124444a a a a ab a b=⋅=．【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．6.计算：（1）2334(9)；（2）113339⨯；（3）1442(35)÷；（4）11632(32)-⨯；（5）833324(25)⨯；（6）7511266323(2)x y x y÷．【难度】★★【答案】（1）3；（2）3；（3）925；（4）98；（5）400；（6）116634x y．【解析】（1）231342(9)93==；（2）1112333339333⨯=⨯=；（3）1442229 (35)3525÷=÷=；（4）11623329 (32)328--⨯=⨯=；（5）83342324(25)251625400⨯=⨯=⨯=；a（6）751752111266366366233(2)344x y x y x y xy x y ÷=÷=．【总结】本题主要考查了分数指数幂的运算，注意法则的准确运用．7.利用幂的性质运算：（1）111222133()()()5525-⨯⨯；（2；（3）【难度】★★【答案】（1）15；（2）4；（3）18．【解析】（1）1111122222111222 1331331 ()()()552555525---⨯⨯=⨯⨯=；（2213236222224 =⨯÷==；（3）1211333362332239218⨯⨯⨯⨯=⨯=．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．8.计算：（1（2）111111332222113113⎛⎫⎛⎫-⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）20142015⋅；（4）)11-+-．【难度】★★【答案】（1）763；（2）2；（3（4）1-【解析】（1763 =；（2）111 1111333 2222113113(113)2⎛⎫⎛⎫-⋅+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）201420152014(32)⋅=-=（4）)11-+11=．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．9. 计算：10.7513(0.027)16(3)-+++-+解：原式=10.38113++-+=29730+0221)(1-÷⨯解：原式2111(12+⨯⨯312-+=1211. 解方程：()()3291216-=--x答案：123123,88x x ==- 12.解方程：38(21)125x -=答案：7413. 已知a 、b为整数，且满足)(136a b +-=+a b +的值。
实数综合应用(讲义及答案)
（3） 2+ 3 ； （6） 2 5 6 ；
（7） 3 3 5 ； （8） 2 3 3 2 ； （9） 2 5 2 ；
22
2
（10） 7 6 3 ； （11） 3 3 ； 2
2. 7
3. -1，0，1，2
4. C
5. A
6. C
7. 3， 3 1
8. 1
9. （1） （2） （3） （4）
1. 分母有理化是通过适当的变形把分母化成________的过程，须注意保持
________、________同时乘以相同的因式．
2. 估值
背记：
3. 无理数的整数部分与小数部分
2 1.414
3 1.732
若 a 是一个无理数，m 为整数，且 a 在 m 和 m 1这两个连续整数之间5 ，2.即236
解：原式=
（10） 1 2 3 2 ； 2 3 3 1
解：原式=
（11） 1 ( 3 1)2 3 3 12 ．
2
3 3 4
解：原式=
2. 若 10 在两个连续整数 a 和 b 之间，即 a< 10 <b，则 a+b=__________． 3. 满足 2 ＜x＜ 5 的整数 x 是__________________．
m a m 1，则 a 的整数部分为 m，小数部分为 a m ．
例：求 5 1的整数部分与小数部分．
解：∵2< 5 <3，
∴1< 5 1<2，
∴ 5 1的整数部分为 1，
小数部分为 ( 5 1) 1 5 2 ．
4. 比较大小的几种方法：估值法，作差法，乘方法，分母有理化．
➢ 精讲精练
1. 把下列各式分母有理化．
实数综合应用(讲义)(含答案)
a实数综合应用（讲义）一、知识点睛1. 估值2. 无理数的整数部分与小数部分1-的整数部分与小数部分． 解：∵∴1<21-的整数部分为1，小数部分为1)12-=．3. 比较大小的几种方法：作差法，数形结合，估值法，乘方法，分母有理化．4. 实数在数轴上的表示：C B A bac如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称，则有AC =BC ，即c -a =b -c ．二、精讲精练1.2的值（ ）A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间2. a和b 之间，即a b ，则a +b = ．3.a ，小数部分是b b -=________． 4.若9a 和b ，则a +b = ． 5. 设7，5的小数部分分别为a ，b ，则2244b a b a -+-的值为______________．6.若a ，b2a =+a b =________．7. 实数a 在数轴上的位置如图所示，则a ，-a ，a1，a 2的大小关系是（ ）A ．a <-a <a1<a 2 B ．-a <a1<a <a 2 C ．a1<a <a 2<-aD ．a1<a 2<a <-a 8. 用适当的方法比较大小（1）53与35 （23115（3）671-与251- （4）132-与121-（52+13+123（610+111+11011（7）37+与387- （8）72103+9.233521的大小关系是（ ）A 233521B ．5212<33C <521<D 52110. 0=，则x 的取值范围是_______． 11. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三条边，化简2c a b --的结果为（ ） A ．3a +b -cB ．-a -3b +3cC ．a +3b -3cD ．2a12.a cb +-13. 如图，数轴上A ，B 两点对应的实数分别为关于点A 的对称点为C ，设点C 所表示的数为x ，则x14. 如图，数轴上A ，B 两点对应的实数分别为，点B 关于点A 的对称点为C ，设点C 所表示的数为x ，则2x x+=__________．三、回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】1．C2．73．14．15．-26．1 257．C8.（1）<（2）<（3）>（4）>（5）>（6）>（7）<（8）< 9．B10．x≤511．B12．013．214．。
实数综合应用(习题及答案).
3 24 2 1 3 11 3 35 3 10 实数综合应用（习题）➢ 复习巩固1. 满足- ＜x ＜ 的整数 x 是． 2. 估算6 - 的值（） A ．在 1 和 2 之间B ．在 2 和 3 之间C ．在 3 和 4 之间D ．在 4 和 5 之间 3. 估计3 - 3 的值应在（） A ．0 和 1 之间B ．1 和 2 之间C ．2 和 3 之间D ．3 和 4 之间4. 估计(2 + 6 2) ⨯的值应在（ ）A ．4 和 5 之间B ．5 和 6 之间C ．6 和 7 之间D ．7 和 8 之间 5. 11 的整数部分为，小数部分为 ．6. 已知8 - 的整数部分为 x ，小数部分为 y ，则y (x + 11) = ．7. 比较大小：（1） + 2 与 -1；（2） -1 与 +1 ；（3） 与 5 ； 2 8 （4） -7 - 223 与-6；（5） 与 1.5； （6） 与；6 3 35 82 10 5 5 -13 7 6 5 2 11 3 3 3 7 3 7 3 3 8 (-2)2 3 6 75 3 （7） -2 与-3 ；（8） -3 与-4 ；（9） + 与2 + ；（10） 2 + 与2 + ．8. ， 37 ， 5 的大小关系是（ ） 3A ． 5 < <B ． 3C ． 3 7 < 5 <D ． 3< < 5 3 < 5 < 3 9. 下列说法：①-1 是 1 的平方根；② 16 的平方根是±4；③ 的立方根 2；④(-2)2 的算术平方根是 2；⑤有理数和数 轴上的点一一对应．其中正确的是 ．（填写序号）10. 下列说法：①负数有立方根；②只有正数才有平方根；③-a 没有平方根；④平方根和立方根都是它本身的只有 1； ⑤无限不循环小数是无理数；⑥无理数都是无限小数．其中正确的是 ．（填写序号）11. 下列说法中：①实数可分为有理数和无理数，也分为正实数和负实数；② 2 不是分数；③实数与数轴上的点一一对应；4④两个无理数之积是无理数；⑤一个有理数和一个无理数的差一定是无理数．其中正确的是．（填写序号） 12. 下列运算正确的是（） A ． = -2B ． (2 3)2 = 6C ． 2 ⨯ =D ． ( - 15) ÷ = 25 2 5 3 3 3 3 3 7 5189n 15 - n实数 13. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的 x 为 81 时，输出的 y 是． 14. 根据如图所示的程序，计算 y 的值，若输入 x 的值是 1 时，则输出的 y 值为 ．15. 已知 ≈ 1.859 ， ≈ 5.879 ，则 ≈ ．16. 已知 n 是正整数， 是整数，则 n 的最小值为 ．17. 若 是正整数，则 n 的最大整数值为． ➢ 思考小结1. 实数的学习与有理数的学习非常类似，我们可以类比有理数的学习，来梳理出实数学习的整个过程：（1） 有理数的学习分为 6 个步骤：①负数的引入．②数域扩充（有理数分类）．③数轴、相反数、绝对值等工具的学习．④有理数运算法则．⑤有理数混合运算．⑥应用．（2） 类似于有理数，实数的学习也是 6 个步骤，请填空： ①无理数的引入．②数域扩充（实数的分类）：⎧正实数 ⎧有理数 ⎪ 实数⎨ ⎨0 ⎩ ⎪ ⎩3.456 34.56 345 6002 3 3 3 5 ③数轴、相反数、绝对值等工具的学习：实数和数轴上的点是一一对应的；的相反数是 ； - = ．④二次根式运算法则：加减法则：； 乘除法则：．⑤实数混合运算．⑥应用．2. 阅读下列材料（二分法求值），回答问题．小明想知道 精确到 0.1 的近似值，他想到一个办法： ①先通过估值可以确定， 介于 1 和 2 之间；②取 1 和 2 中间的数 1.5，把 1 到 2 以 1.5 为界分为两部分， 通过乘方法比较大小，因为 1.52=2.25， ( 3)2 = 3 ，2.25＜3， 所以 一定在 1.5 和 2 之间；③取 1.5 和 2 中间的数 1.75，把 1.5 到 2 以 1.75 为界分为两部 分，通过乘方法比较大小，因为 1.752=3.062 5， ( 3)2 = 3 ， 3＜3.062 5，所以 一定在 1.5 和 1.75 之间；④取 1.5 和 1.75 中间的数 1.625，把 1.5 到 1.75 以 1.625 为界 分为两部分，通过乘方法比较大小，因为 1.6252=2.640 625， ( 3)2 = 3 ，2.640 625＜3，所以 一定在 1.625 和 1.75 之间； ⑤按照这种方法不断地取中间数，分为两部分，然后通过乘 方比较大小，可以确定 约等于 1.7．小明的这种方法叫做二分法，请你尝试利用二分法确定 的近似数（精确到 0.1）．2 3 3 311 3 9b a b【参考答案】➢复习巩固1. -1，0，1，22. A3. B4. C5. 3，- 36. 57. （1）＜；（2）＜；（3）＜；（4）＞；（5）＜；（6）＞；（7）＜；（8）＞；（9）＜；（10）＜8. A9. ①④10. ①⑤⑥11. ②③⑤12. C13.14. -215. 587.916. 2117. 14➢ 思考小结1. （2）②无理数，负实数；③- 2 ，2 ；④化成最简二次根式；合并同类二次根式aa ⋅=2. 2.2 ab（a≥0，b≥0）；=（a≥0，b>0）b。
初中数学 数与式模块1-2 实数讲义(含答案解析)
实数题型练题型一平方根例1.16的平方根是（）．A .±8B .±4C .4D .－4【解析】因为（±4）2＝16，所以16的平方根是±4变式1.若a ＋1和－5是实数m 的平方根，则a 的值是（）．A.1B.2C.3D.4或－6【答案】D【解析】【分析】根据平方根的定义可得两个关于a 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意得：15a +=-或1(5)0a ++-=，解得6a =-或4a =，故选：D ．【点睛】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的定义是解题关键．题型二算术平方根（2）非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．例2.2.81的算术平方根为（）．A.9B.－9C.－3D.27【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根的定义即可得．【详解】解：2981=Q ，81\的算术平方根为9，故选：A ．【点睛】本题考查了算术平方根，熟记定义是解题关键．变式3.下列式子错误的是（）．A.2=±B.1=±C.3=- D.32=【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根和平方根的定义求解即可．【详解】A.2=±，故该选项正确，不符合题意；B.1=，故该选项错误，符合题意；C.3=-，故该选项正确，不符合题意；D.32==，故该选项正确，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查算术平方根和平方根的定义，熟练掌握相关定义是解答本题的关键．题型三非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．例3.4.下列说法正确的是（）A.﹣81平方根是﹣9B.9C.平方根等于它本身的数是1和0D.一定是正数【答案】D【解析】【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根进行分析即可．【详解】A 、﹣81没有平方根，故A 选项错误；B 9的平方根是±3，故B 选项错误；C 、平方根等于它本身的数是0，故C 选项错误；D 一定是正数，故D 选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的性质．变式5.0=，则x y +的值为（）A.10B.不能确定C.6-D.10-【答案】C【分析】根据算术平方根的非负性得到x 和y 的值，再代入计算．0=，∴x-2=0且y+8=0，∴x=2，y=-8，∴x y +=-6，故选C ．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，解题的关键是掌握被开方数是非负数．题型四立方根例4.－8的立方根等于．【解析】∵（－2）3＝－8，∴－8的立方根是－2变式6.若519x +的立方根是4，则27x +的平方根是________.【答案】5±【分析】首先利用立方根的定义可以得到关于x 的方程，解方程即可求出x ，然后利用平方根的定义即可求解．【详解】∵5x+19的立方根是4，∴5x+19=64，解得x=9则2x+7=2×9+7=25，∴25的平方根是±5故答案±5．【点睛】此题主要考查了利用立方根的概念解题．牢牢掌握灵活运用．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于a （x 3=a ），那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．题型五计算器—数的开方正数a 的算术平方根a 与被开方数a 的变化规律是：当被开方数a 的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a 每扩大（或缩小）100倍，a 相应扩大（或缩小）10倍．例5.7.用计算器计算：≈_____．（精确到0.01）【答案】15.63【解析】【分析】根据计算器的使用方法、精确度的定义即可得．15.63≈，故答案为：15.63．【点睛】本题考查了计算器的使用、精确度，熟练掌握计算器的使用方法是解题关键．变式8.利用计算器，得7.071≈≈≈≈，按此规【答案】22.36【解析】【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.7.071≈≈≈≈，不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，因此得到第三个数的估值扩大1022.36≈.故答案为22.36.【点睛】本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.题型六无理数（1）定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．例6.9.在2π，3.14，0，0.1010010001…，23中，无理数有______个.【答案】2【解析】【分析】根据无理数的种类即可判断出上述题目中无理数的个数.【详解】无理数是无限不循环小数，在2π，3.14，0，0.1010010001…，23中，2π，0.1010010001…两个数是无理数.【点睛】此题重点考察学生对无理数的理解，掌握无理数的定义是解题的关键.变式10.下列说法正确的是（）A.9的算术平方根是﹣3B.带根号的数是无理数C.无理数是无限小数D.的算术平方根是2【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根的概念、无理数的概念进行判断即可．【详解】解：A 、9的算术平方根是3，故此选项错误；B 、带根号的数不一定是无理数，如，故此选项错误；C 、无理数是无限小数，故此选项正确；D 故选：C ．【点睛】本题考查算术平方根、无理数，理解无理数的概念，会求一个数的算术平方根是解答的关键，注意D 选项是易错点．题型七实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：①可分为：有理数和无理数；②可分为：正实数、0和负实数．例7.11.在−，0，2270.1010010001…−2π中，负实数集合：{________________}．【答案】−2π【解析】【分析】先根据二次根式的性质，立方根的运算，负整指数幂的运算，将各数进行化简，再根据负实数的定义，进行判断即可．【详解】0-=-<，是负实数；0不是负实数；227>，不是负实数；50=-<，是负实数；0.1010010001…＞0，不是负实数；110==>，不是负实数；2π-<，是负实数，综上所述，负实数有：−2π，故填：−2π．【点睛】此题主要考查了负实数的定义，二次根式的性质，立方根的计算，负整指数幂的计算，解题关键是掌握负理数的定义，二次根式的性质，立方根的计算，负整指数幂的运算法则．变式12.我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．其中说法错误的有_____（注：填写出所有错误说法的编号）【答案】⑤【解析】【详解】分析：根据每种说法所涉及的数学知识进行分析判断即可.详解：（1）“数轴上有无数多个表示无理数的点”的说法是正确的，故①正确；（2）“带根号的数不一定是无理数”是正确的，如带有根号，但它是有理数，故②正确；（3）“每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示”的说法是正确的，故③正确；（4）“数轴上的每一个点都表示唯一的实数”的说法是正确的，故④正确；（5）“没有最大的负实数，但有最小的正实数”的说法是错误的，因为没有最小的正实数，故⑤错误；（6）“没有最大的正整数，但有最小的正整数”的说法是正确的，故⑥正确.综上所述，上述说法中，只有⑤中说法是错误的.故答案为：⑤.点睛：熟悉“每种说法中所涉及的相关数学知识”，知道“实数和数轴上的点是一一对应的关系”是正确解答本题的关键.题型八实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）－a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0.并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．例8.13.的绝对值是________，相反数是________，倒数是________．【答案】①.②.③.【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值；根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．的绝对值是倒数是故答案为(1).(2).(3).【点睛】本题考查的是绝对值、相反数和倒数的知识，熟知绝对值的性质、相反数的定义及倒数的定义是解答此题的关键．变式14.23﹣π的绝对值是_____．【答案】①.﹣②.π﹣3【解析】【分析】根据相反数和绝对值的计算方法解答．【详解】解：2的相反数：﹣（2|3﹣π|＝π﹣3．故答案是：﹣π﹣3．【点睛】本题考查了相反数、绝对值,熟练掌握相反数、绝对值的定义是解题的关键．题型九实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a 的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．例9.15.如果正实数a在数轴上对应的点到原点的距离是a=______．【解析】【分析】根据数轴的特点即可求解．【详解】∵实数a在数轴上对应的点到原点的距离是，∴a∵a为正∴a=．【点睛】此题主要考查实数与数轴，解题的关键是熟知数轴的特点．变式16.如图，在数轴上找到表示－3的点B，过点A作AB⊥OB，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C在数轴上表示的数是__．【答案】【解析】OB=，再利用勾股定理可得OA=从而可得【分析】先根据数轴的定义可得3OC==，【详解】解：设点C在数轴上表示的数是a，则OC aOB=--=，由题意得：0(3)3，⊥=AB OB AB,2∴===，OA由作图可知，OC OA==，即a=解得a=a<-<，由数轴的定义得：30∴=，a即点C在数轴上表示的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．题型十实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．例10.17.将实数，π-，0，1由大到小用“>”连起来，可表示为__________．【答案】10π>>>-解：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解析】【详解】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．-≈-．解：∵ 2.6≈-，π 3.14∴10π>>>-变式18.比较大小：（1）－100___0.3；（2___3；（3）－3.14___－π．【答案】①.<②.<③.>【解析】【分析】（1）根据负数小于正数即可得；（2）根据无理数的估算方法即可得；（3）根据负数绝对值大的反而小即可得．【详解】解：（1）由负数小于正数得：1000.3-<，故答案为：<；（2）79< ，<3<，故答案为：<；（3） 3.1415926 3.14π≈> ，3.14π∴->-，故答案为：>．【点睛】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键．题型十一估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．例11.＜a ，且a 是整数，则a ＝．＜2＜a ∴a ＝2变式19.3-最接近的整数是___．【答案】1【解析】【分析】先根据无理数的估算可得34<<，再比较3-与4的大小，由此即可得出答案．【详解】解：91416<< ，<<，即34<<，--=--+3(434=-，7=-，3.5)=>，->-，34最接近的整数是4，-=，3-最接近的整数是431故答案为：1．【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．题型十二实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．例12.（−5）2＝．解：（−5）2＝25−4＋2＝23变式20.计算+【答案】7．【解析】【分析】先计算立方根、算术平方根，再计算有理数的加减即可得．【详解】解：原式27=-++，52=+，7=．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．实战练21.若9x2－16＝0，则x＝_______．【答案】4 3±【解析】【分析】先将方程变形为216 9x=，然后方程两边同时开平方即可得到x的值．【详解】解：由题意可知：216 9x=，等式两边同时开平方，得到：43x=±，故答案为：43±．【点睛】本题考查了利用平方根的定义解方程，计算过程中细心，注意正数开平方后有两个平方根．22.的算术平方根是_______．【解析】=10，然后再根据算术平方根的定义可得答案．=10，10，，．【点睛】此题主要考查了实数和算术平方根，相反数，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．23.0+=，则22012a b --=______．【答案】109-【解析】【详解】分析：先由非负性的性质得出3a +1=0，b ﹣1=0，求出a ，b 代入式子计算即可．=0，∴3a +1=0，b ﹣1=0，∴a =﹣13，b =1，∴﹣a 2﹣b 2012=﹣（13）2﹣12012=﹣19﹣1=﹣109．故答案为﹣109．点睛：本题是非负数的性质：算术平方根，主要考查了一元一次方程的解法，有理数的运算，解答本题的关键是求出a ，b ．24.若一个正数的平方根是3m +和215m -，n 的立方根是2-，则2n m -+的算术平方根是______．【答案】4【解析】【分析】首先根据平方根的定义，求出m 值，再根据立方根的定义求出n ，代入-n+2m ，求出这个值的算术平方根即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15，∴m+3+2m-15=0，解得：m=4，∵n 的立方根是-2，∴n=-8，把m=4，n=-8代入-n+2m=8+8=16，所以-n+2m 的算术平方根是4．故答案为：4．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m 、n 值，然后再求-n+2m 的算术平方根．25.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共__个．【答案】4【解析】【分析】本题需根据直角三角形的定义和图形即可找出所有满足条件的点．【详解】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且三边都为无理数，满足这样条件的点C共D,E,F,H4个点．故答案为8．26.若|a，则的相反数是____．【答案】2【解析】【分析】先化简绝对值可得a=26a=，再根据算术平方根的定义、相反数的定义即可得．，【详解】解：a=∴=，a26∴=，a===-，2则的相反数是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了化简绝对值、算术平方根、相反数，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．27.①点M在数轴上与原点相距M表示的实数为____，②数轴上到的点所表示的数是___．【答案】①.②.0或-【解析】【分析】①根据实数与数轴的关系建立等式，再化简绝对值即可得；②根据实数与数轴、数轴两点间的距离公式即可得．【详解】解：①设点M表示的实数为m，m-=，则0解得m=即点M表示的实数为故答案为：②设这个点所表示的数是a，-=，则aa=或a=-解得0即这个点所表示的数是0或-，故答案为：0或-．【点睛】本题考查了实数与数轴，正确建立含绝对值的等式是解题关键．28.比较大小：________（填“＞”或“＜”＝）．【答案】>【解析】【分析】先将两个数进行平方再比大小【详解】∵22==1812（，（又18>12∴>故答案为>【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较29.已知a的整数部分，b则（－a）3＋（2＋b）2=________；【答案】0【解析】【分析】根据4＜8＜9的整数部分，表示出小数部分，确定出a与b 的值，代入所求式子计算即可求出值．【详解】∵4＜8＜9，∴23，的整数部分a=2，小数部分，则原式=-8+8=0．故答案为0.【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分与小数部分．30.+2＝________．【答案】5【解析】【分析】由立方根、算术平方根的性质化简．2=3+2=5故答案为：5．【点睛】本题考查实数的运算，涉及立方根、算术平方根等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．31.若一个正数的两个平方根分别为2－a与3a＋6，则这个正数为（）A.2B.－4C.6D.36【答案】D【解析】【分析】根据平方根的定义可得一个关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，再计算有理数的乘方即可得．【详解】解：由题意得：2(36)0a a -++=，解得4a =-，则这个正数为222(2)(24)636a -=+==，故选：D ．【点睛】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的定义是解题关键．32.下列说法正确的是（）A.－4是（－4）2的算术平方根B.±4是（－4）2的算术平方根C.2D.－2【答案】D【解析】【分析】根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得．【详解】A 、2(4)16-=，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；B 、2(4)16-=，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；C 4=，4的平方根是2±，则此项错误，不符题意；D 4=，4的平方根是2±，则2-故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根、平方根，掌握理解定义是解题关键．33.0+=，则x －y 的值为（）A.3B.－3C.1D.－1【答案】D【解析】【分析】先根据算术平方根的非负性可得10,20x y -=-=，从而可得1,2x y ==，再代入计算即可得．【详解】解：由题意得：10,20x y -=-=，解得1,2x y ==，则121x y -=-=-，故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键．34.2=-，则的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据立方根的定义求出a 的值，再根据算术平方根的定义即可得．【详解】解：2=-，18a ∴-=-，解得9a =，3==，故选：C ．【点睛】本题考查了立方根与算术平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的定义是解题关键．35.下列说法正确的是（）A.实数可分为有理数和无理数B.无限小数都是无理数C.只有0的立方根是它本身D.1的任何次方根都是1【答案】A【解析】【分析】根据实数的概念，立方根的概念，无理数的概念逐个求解即可．【详解】解：选项A ：实数分为有理数和无理数，故选项A 正确；选项B ：无限不循环的小数是无理数，无限循环小数可以写成分数的形式，是有理数，故选项B 错误；选项C ：立方根等于它本身的数有-1，0，1，故选项C 错误；选项D ：1的平方根为±1，故选项D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查实数的分类，无理数的定义，立方根，平方根的性质，解题的关键是熟记这些基本概念．36.若a，b ，c 的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是（）A.a b> B.b c < C.a c > D.2b c =【答案】D【解析】【分析】根据题意分别列出a ，b ，c 分别表示的数，然后比较即可得出结论．【详解】由题意，a =b =，2c ==，∴2b c =，故选：D ．的倒数求出是解题关键．37.如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A 所表示的数为（）A.1-B.1-+C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．【详解】解：∵在Rt △BCD 中，BD=2，CD=1，∴∵根据图中的标注和作图痕迹可知，∴∴点A 表示的实数是1--故选A ．【点睛】本题考查勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出BC 的长．38.1-的值（）A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间【答案】B【解析】【分析】根据无理数的估算即可得．【详解】解：364149<< ，<<，即67<<，61171∴-<-<-，即516<-<，故选：B ．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．39.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么a b -的结果是（）A.2aB.2bC.2a -D.2b-【答案】D【解析】【分析】由数轴可得到0b a <<a b =+和绝对值的性质，即可得到答案．【详解】解：根据题意，则0b a <<，∴0a b ->，0a b +<，∴a b -+=a b a b-++=a b a b---=2b -；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到0b a <<．40.已知一个正数m 的两个不同的平方根是2a ＋3和1－3a ，求m 的值．【答案】121【解析】【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据它们的和为0，求出a 的值，然后求出这个数的平方根，最后根据平方根的平方即可求出m 的值．【详解】解：根据题意得：(2a +3)+(1-3a )=0，2a +3+1-3a =0，解得：a =4，∴这个数的其中一个平方根为2×4+3=11∴m =112=121．【点睛】本题考查平方根的定义，熟练掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为0．41.互为相反数，求（x+y）2016的平方根.【答案】±1【解析】【详解】试题分析：根据相反数的性质列出算式，根据非负数的性质列出二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，根据平方根的概念解答即可．=0，则3020x yx y-+⎧⎨+⎩＝＝，解得，21xy-⎧⎨⎩＝＝，∴（x+y）2016=1，∴（x+y）2016的平方根是±1．42.正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7．（1）求a的值；（2）求44﹣x这个数的立方根．【答案】(1)a＝﹣10;(2)4－x的立方根是﹣5【解析】【分析】（1）理解一个正数有几个平方根及其两个平方根间关系：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值；根据a的值得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，计算出44-x的值，再根据立方根的定义即可解答.【详解】解：（1）由题意得：3﹣a＋2a＋7＝0，∴a＝﹣10,（2）由（1）可知x＝169，则44－x＝﹣125，∴44－x的立方根是-5.【点睛】此题考查了立方根，平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．43.判断下面两句话是否正确.若正确请说明理由；若不正确，请举例说明.（1）两个实数的和一定大于每一个加数.（2）两个无理数的积一定是无理数.【答案】(1)、答案见解析；(2)、答案见解析【解析】【分析】(1)、当两个加数为负数时，则和小于任何一个加数；(2)、当两个数为同一个无理数时，则两数的积为有理数.【详解】(1)、错误.例子：（-1）+（-2）=-3,-3<-1,-3<-2;(2)、错误.是无理数，而2是有理数.44.实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，其中c 为8的立方根，求代数式2b a b +--的值．【答案】2．【解析】【分析】先根据数轴的定义可得0b a c <<<，从而可得0,0b a b c -<-<，再根据立方根的定义可得2c =，然后根据算术平方根的定义、化简绝对值即可得．【详解】解：由数轴的定义得：0b a c <<<，0,0b a b c ∴-<-<，c 为8的立方根，2c ∴=，()()()22b a b a a b c b b +--=-+-+---，2a a b c b b =-+-+-+，c =，2=．【点睛】本题考查了实数与数轴、立方根与算术平方根等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键．45.（1）用“<”、“>”或“=”（2）由以上可知：①1-=________________=_____________；（3）计算：1-+ .（结果保留根号）【答案】(1)＜,＜；（21-；（31-【解析】【分析】（1）当被开方数越大时算数平方根越大，依此判断即可；（2）依据（1）知次数为负数，而负数的绝对值等于它的相反数即可化简；（3）依据（2）将化简的结果相加即可.【详解】解：(1)＜,＜（21-（3）原式1-+-+-+1【点睛】此题是考察算数平方根的大小比较，准确解得（1）是关键，为后两问做基础.46.已知：31a +的立方根是2-，21b -的算术平方根3，c（1）求,,a b c 的值；（2）求922a b c -+的平方根．【答案】（1）3,5,6a b c =-==；（2）其平方根为4±．【解析】【分析】（1）根据立方根，算术平方根，无理数的估算即可求出,,a b c 的值；（2）将（1）题求出的值代入922a b c -+，求出值之后再求出平方根．【详解】解：（1）由题得318,219a b +=--=．3,5a b ∴=-=．<<，67∴<<．6c ∴=．3,5,6a b c ∴=-==．（2）当3,5,6a b c =-==时，()99223561622a b c -+=⨯--+⨯=．∴其平方根为4=±．【点睛】本题考查了立方根，平方根，无理数的估算．正确把握相关定义是解题的关键．47.计算下列各题：（1+（2）7π--，（3(21+--+．【答案】（1）118；（2）π-；（3）8．【解析】【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可得；（2）先化简绝对值、计算算术平方根，再计算实数的加减即可得；（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可得．【详解】解：（1）原式14(3)2+-+=-11143228=--++，118=；（2）原式(7π=--，77π=，π=-；（3）原式)125=+-+，613=+，8=．【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．培优练48.先阅读，然后解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足a b=3﹣，求b a的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2=0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，是无理数，所以a﹣3=0，b+2=0，所以a=3，b=﹣2，所以b a=（﹣2）3=﹣8．问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y x+y的值．【答案】8或0．【解析】【分析】根据所给信息，先移项，然后将有理数和无理数分组，从而可得（x2-2y-8）y-4）=0，结合所给信息即可得出x、y的值，代入代数式即可得出答案．【详解】解：移项得（x2-2y-8）+（y-4，∴y-4=0，x2-2y-8=0∴y=4，x=±4，故x+y=8或0．【点睛】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是仔细审题，得到题目所给的解题思路，然后套用这个思路解题，正确理解题意、熟练掌握实数的性质是关键．。
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7. 若 4 13 和 4 13 的小数部分分别是 a 和 b，则 a+b=____．
8. 用适当的方法比较大小．
（1） 7 3 与 87 3 ；
（2）7- 2 与 10 3 ；
（3） 5 1 与 1 ； 22
（4） 2 3 与 3 1 ； 2
（5） 7 89 与 8 ； 2
（6） 3 2 与 2 5 ；
B．-125 没有立方根
C．正数的两个平方根互为相反数
D．算术平方根等于它本身的数只有 0
12. 下列说法正确的相反数
B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是-1，
0，1 中的一个
D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数一定是 1
（7） 3 9 与 2.5；
（8） 8 与 3 25 ；
（9） 5 2 与 4 3 ；
（10） 4 5 与 5 3 ；
2
（11） 7 5 与 10 2 ； （12） 13 7 与 11 3．
9. 2 ， 3 3 ，1 2 的大小关系是（ ） 5
A． 2 ＜ 3 3 ＜1 2 5
B．1 2 ＜ 2 ＜ 3 3 5
（5）＜ （6）＜ （9）＜ （10）＜ 9. B 10. C 11. C 12. C 13. ①③ 14. ②③④⑤ 15. A
（3）＞ （7）＜ （11）＞
16. 2 2 17. 7 18. 6 19. 17 20. 略
（4）＜ （8）＜ （12）＜
5
或者 0
13. 下列说法：①-1 是 1 的平方根；② 3 8 的立方根 2；③(-2)2
的算术平方根是 2；④无理数分为正无理数、0、负无理数；
⑤两个无理数的和还是无理数．其中正确的有_________．
（填序号）
3
14. 下列说法：① 2 1的相反数是 2 1；②数轴上的每个点
都表示一个有理数；③不带根号的数都是有理数；④无理数
实数综合应用（讲义）
课前预习
1. 在数轴上把下列各数表示出来：
2， 2 ， 1 ， 5 ，-3，1.5， 2 1 ．
3
2
请根据以上结果写出 2 ， 5 分别介于哪两个连续整数之间： _____＜ 2 ＜_______；_____＜ 5 ＜_______．
知识点睛
1. 估值 2. 无理数的整数部分与小数部分
若 a 是一个无理数，m 为整数，且 a 在 m 和 m 1这两个连续 整数之间，即 m a m 1，则 a 的整数部分为 m，小数部分 为 a-m． 例：求 5 1的整数部分与小数部分． 解：∵2＜ 5 ＜3，
∴1＜ 5 1＜2， ∴ 5 1的整数部分为 1，
小数部分为 ( 5 1) 1 5 2 ． 3. 实数比较大小的方法：估值法、作差法、乘方法．
就是开方开不尽的数；⑤若 a，b 都是无理数，则|a|+|b|一定
是无理数．其中不正确的有_________．（填序号）
15. 下列计算正确的是（ ）
A． 8 2 2
B． 27 12 9 4 5 3
C． (2 5)(2 5) 3
D． 6 2 3 2 2
16. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的 x 为 64 时，输出的
y 是_________．
17. 用教材中的计算器进行计算，开机后依次按 3 x2 把显示结 果输入如图的程序中，则输出的结果是________．
18. 若 24n 是正整数，则 n 的最小整数值为__________． 19. 若 18 n 是正整数，则 n 的最大整数值为__________． 20. 如图，大正方形的面积为 8，则它的边长为 8 ，小正方形的
B．在 2 和 3 之间 D．在 4 和 5 之间
1
4. 27 12 的值在（ ）
A．1 和 2 之间
B．2 和 3 之间
C．3 和 4 之间
D．0 和 1 之间
5. 5 2 10 的值在（ ）
A．5 和 6 之间
B．6 和 7 之间
C．7 和 8 之间
D．8 和 9 之间
6. 若 2 3 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 a=____，b=____．
背记： 2 1.414 3 1.732 5 2.236
精讲精练
1. 若 10 在两个连续整数 a 和 b 之间，即 a＜ 10 ＜b，则 a+b=__________．
2. 满足 2 ＜x＜ 5 的整数 x 是__________________．
3. 31 2 的值（ ） A．在 1 和 2 之间 C．在 3 和 4 之间
面积为 2，则它的边长为 2 ，借助这个图形，可以得到大正 方形的边长是小正方形边长的 2 倍，即 8 2 2 ．请你设计 一个图形解释 1 2 ．
22
4
【参考答案】
课前预习
1. 数轴表示略；-2，-1；2，3.
精讲精练
1. 7 2. -1，0，1，2 3. C 4. A 5. B 6. 3， 3 1 7. 1 8. （1）＜ （2）＜
C． 2 ＜1 2 ＜ 3 3 5
D． 3 3 ＜1 2 ＜ 2 5
10. 3 ， 3 7 ， 7 的大小关系是（ ） 4
A． 3 ＜ 3 7 ＜ 7 4
B． 7 ＜ 3 ＜ 3 7 4
C． 3 ＜ 7 ＜ 3 7 4
D． 3 7 ＜ 7 ＜ 3 4
11. 下列说法正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数