九年级数学二次函数易错点剖析

二次函数常见错解示例

一、忽略二次项系数不等于0

例1 若二次函数y =kx 2-6x +3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）

A . k <3

B .k <3，且k ≠0

C . k ≤3

D .k ≤3，且k ≠0

错解：由题意，得△=（-6）2 -4k ×3≥0，解得k ≤3. 故选C.

错解分析：当k =0时，二次项系数为0，此时原函数不是二次函数. 欲求k 的取值范围，需同时满足： ①函数是二次函数；②图象与x 轴有交点. 上面的解法只注重了△≥0而忽略了二次项系数不等于0的条件. 正解：由题意，得△=（-6）2-4k ×3≥0，且k ≠0，即k ≤3，且k ≠0. 故选D.

二、忽略隐含条件

例2 如图，已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象与y 轴交于点A ， 与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC =2，S △ABC =3，则b 的值为（ ）

A .-5

B .4或-4

C .4

D .-4

错解：由题意知，BC =2，S △ABC =3，所以点A （0，3），即c =3. 由BC =2，得方程x 2+bx +c =0的两根之差为

2，故2

1221222-----+-b b b b =2，解得b =±4. 故选B. 错解分析：上面的解法忽略了“抛物线的对称轴x =-2

b 在y 轴的右侧”这一隐含条件，正确的解法应是同时考虑-2

b >0，得b <0，∴b =4应舍去. 故选D. 正解： D.

三、考虑问题不全面

例3 若y 关于x 的函数y =（a -2）x 2-（2a -1）x +a 的图象与坐标轴有两个交点，则a 可取的值是多少？ 错解：因为函数y =（a -2）x 2-（2a -1）x +a 的图象与坐标轴有两个交点，而其中与y 轴有一个交点（0，a ），则与x 轴就只有一个交点，所以关于x 的一元二次方程（a -2）x 2-（2a -1）x +a =0有两个相等的实数根，所以判别式 [-（2a -1）]2-4a （a -2）=0，解得a =-4

1. 错解分析：此题关于函数的描述是“y 关于x 的函数”，并没有指明是二次函数，所以需要分“y 关于x 的一次函数”和“y 关于x 的二次函数”两种情况进行讨论.

正解：当函数y 是关于x 的一次函数时，a =2，函数的表达式为y =-3x +2，函数的图象与y 轴的交点坐标为（0，2），与x 轴的交点坐标为（3

2，0）. 所以a =2符合题意. 当函数y 是关于x 的二次函数时，函数y =（a -2）x 2-（2a -1）x +a 的图象与y 轴有一个交点（0，a ），与坐标轴共有两个交点，所以与x 轴只有一个交点，则关于x 的一元二次方程（a -2）x 2-（2a -1）x =0有两个相等的实数根，所以判别式△= [-（2a -1）]2-4a （a -2）=0，解得a =-4

1. 而当a =0时，与y 轴的交点为原点，此时，y =-2x 2+x 与x 轴还有一个交点（

21，0）. 综上所述，a =2或a =0或a =-4

1. 四、忽略数形结合思想方法的运用

例4 求二次函数y =x 2+4x +5（-3≤x ≤0）的最大值和最小值.

错解：当x =-3时，y =2.

当x =0时，y =5.

所以当 -3≤x ≤0 时，y 最小=2，y 最大=5.

错解分析：上面的解法错在忽略了数形结合思想方法的运用，误以为端点的值就是这段函数的最值. 解决此类问题时，要画出函数的图象，借助图象的直观性求解即可.

正解：∵y =x 2+4x +5=（x +2）2 +1，∴对称轴是直线x =-2，顶点坐标是（-2，1）.

画出大致的图象，如图是抛物线位于 -3≤x ≤0的一段，显然图象上的最高点是C ，最低点是顶点B 而不是端点A ，

所以当 -3≤x ≤0时， y 的最大值为5， y 的最小值为1.

图2

五、求顶点坐标时混淆符号

例5 求二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标.

错解1 用配方法： y =-x 2+2x -2=-（x 2-2x ）-2=-（x 2-2x +1-1）-2=-（x 2-2x +1）-1=-（x -1） 2-1，

所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为（-1，-1）.

错解2 用公式法：

在二次函数y =-x 2+2x -2中，a =-1，b =2，c =-2， 则）

（1222-⨯=a b =-1，）（）（）（1421424422-⨯-⨯-⨯-=-a ac b =1， 所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为（-1，1）.

错解分析：二次函数y =a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），即横坐标与配方后完全平方式中的常数项互为相反数，而非相等，也就是说不是（-h ，k ）.二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为（-a

b 2，a a

c b 442-），横坐标前面带“-”，纵坐标的分子为4ac -b 2，不要与一元二次方程根的判别式b 2-4ac 混淆. 另外，把一般式转化为顶点式，常用配方法，如果二次项系数是1，那么常数项为一次项系数一半的平方；如果二次项系数不是1，那么先提出二次项系数（注意：不能像解方程一样把二次项系数消去），使括号中的二次项系数变为1，再对括号中进行配方.

正解：（1）用配方法：

y =-x 2+2x -2=-（x -1） 2-1，）

（1222-⨯-=-a b 所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为（1，-1）.

（2）用公式法：

）

（1222-⨯-=-a b =1，）（）（）（1422144422-⨯--⨯-⨯=-a b ac =-1， 所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为（1，-1）.

六、忽视根的判别式的作用

例6 已知抛物线y =-

2

1x 2+（6-m 2）x +m -3与x 轴有两个交点A ，B ，且A ，B 关于y 轴对称，求此抛物线的表达式.

错解：因为A 与B 关于y 轴对称，

所以抛物线的对称轴为y 轴，即直线x =）（212622-⨯--=-m a b =0， 解得m =6或m =-6.

当m =6时，此抛物线的表达式为y =-2

1x 2+3. 当m =-6时，此抛物线的表达式为y =-

21x 2-9. 错解分析：抛物线与x 轴有两个交点为A ，B ，等价于相应的一元二次方程有两个不相等的实数根，所 以b 2-4ac >0. 如果忽视根的判别式在解题中的作用，就不能排除不符合题意的解，扩大了解的范围，导致 错误.

正解：因为A 与B 关于y 轴对称，