求图示平面图形的形心坐标
惯性矩、静矩,形心坐标公式
§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分表一任意截面，以下两积分ïþïýü==òòA z S A y S A y Az d d （I −1）分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得心的公式可得ïïþïïýü==òòA A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成，上式可写成ïïþïïýü====òòA S A A z z A SA Ay y y A C z A C d d （I −2） 或þýü==C y C z Az S Ay S （I −3）ïïþïýü==A S z A S y y C z C（I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对d A C Zz y y y C Z c O 图I −1 Z 同一坐标轴的静矩的代数和。
即：同一坐标轴的静矩的代数和。
即：ïïþïïýü==åå==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为ïïïïïþïïïïýü==åååå====ni ini c iic ni ini c i i c AzA z A y A y 1111（I −6）例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
求图示平面图形的形心位置及形心主惯性矩
σ x +σ y
2
± (
σ x −σ y
2
) 2 + τ xy 2
j
= 2v A ， kd = 1 + 1 +
2H
j
= 1+ 1+
H vA
σ max = ⎨
min
⎧130MPa ⎩30MPa
σ d max = kd i2σ B max
vd = kd
⎛ H⎞ = 2 ⎜1 + 1 + ⎟ σ B max ⎜ vA ⎟ ⎝ ⎠
(δ B )水平
M ∂M 1 = [∫ ds ]Pf =0 = s EI ∂P EI f
∫
π
2 0
PR 3 PR cos ϕ i R(1 − sin ϕ )i Rdϕ = 2 EI
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六、图示传动轴。直径为 d，轮 C、轮 E 直径均为 D。轮 C 受铅垂力 P。轮 E 受水平力 P。试求：⑴作轴的扭矩图，弯矩图。⑵指出危险截面的位置。⑶ 用第三强度理论写出校核该轴强度的相当应力表达式。 10 分） （
δ 22 =
1 ⎛l ⎞ 3l ⎜ × 1 + l × 1⎟ = EI ⎝ 2 ⎠ 2 EI
应用卡氏定理
将以上系数代入式（1） ，经简化可得
l Pl 1 ⎫ X1 − X 2 + = 0⎪ ⎪ 3 2 8 ⎬ 5Pl lX 1 − 3 X 2 + =0⎪ ⎪ 8 ⎭ X1 = − P 8 X2 = P Pl H A = HB = 6 8 RA = RB = P 2 MA = MB = Pl 24
2 3 2 2 2
∂M = R cos ϕ ∂P (δ B )竖直 M ∂M 1 =∫ ds = s EI ∂P EI
材料力学形心计算公式(一)
材料力学形心计算公式(一)材料力学形心计算公式1. 面积形心计算公式面积形心是用来描述一个平面图形相对于一个参考点的几何特征。
下面是计算不同平面图形的面积形心的公式：•长方形：面积形心的x坐标为长方形中心点的x坐标，y坐标为长方形中心点的y坐标。
•圆形：面积形心的x坐标为圆形中心点的x坐标，y坐标为圆形中心点的y坐标。
•三角形：面积形心的x坐标为三角形各顶点x坐标的平均值，y 坐标为三角形各顶点y坐标的平均值。
•多边形：对于不规则多边形，可以使用叠加面积形心的方法计算。
将多边形分解成若干个三角形或四边形，然后计算每个小形状的面积形心，最后取加权平均值作为整个多边形的面积形心。
2. 体积形心计算公式体积形心是用来描述一个立体图形相对于一个参考点的几何特征。
下面是计算不同立体图形的体积形心的公式：•长方体：体积形心的x坐标为长方体中心点的x坐标，y坐标为长方体中心点的y坐标，z坐标为长方体中心点的z坐标。
•圆柱体：体积形心的x坐标为圆柱体中心点的x坐标，y坐标为圆柱体中心点的y坐标，z坐标为圆柱体高度的一半。
•球体：体积形心的x坐标为球体中心点的x坐标，y坐标为球体中心点的y坐标，z坐标为球体中心点的z坐标。
•其他立体图形：对于其他不规则立体图形，可以使用积分的方法计算体积形心。
将图形切割成无穷小的微元，然后对每个微元求解体积形心，最后求解加权平均值得到整个图形的体积形心。
3. 弯曲形心计算公式弯曲形心是用来描述一个截面相对于一个参考轴线的几何特征。
下面是计算不同截面的弯曲形心的公式：•矩形截面：弯曲形心的x坐标为矩形截面中心点的x坐标，y坐标为矩形截面中心点的y坐标。
•圆形截面：弯曲形心的x坐标为圆形截面中心点的x坐标，y坐标为圆形截面中心点的y坐标。
•其他截面：对于其他不规则截面，可以使用积分的方法计算弯曲形心。
将截面分解成无穷小的微元，然后对每个微元求解弯曲形心，最后求解加权平均值得到整个截面的弯曲形心。
参数方程的形心坐标公式
参数方程的形心坐标公式形心，也称作质心或重心，是指一个平面图形或三维空间图形的重心位置，即该图形的所有质点的平均位置。
在几何学中，求解形心坐标是一个重要的问题，可以通过参数方程来计算。
参数方程是一种表示曲线或曲面的方程，其中自变量通常表示为参数。
在二维平面上，一个曲线的参数方程可以表示为x = f(t), y = g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
同样，在三维空间中，一个曲面的参数方程可以表示为x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v)，其中u和v是参数，f(u, v), g(u, v)和h(u, v)是关于u和v 的函数。
对于一个平面图形的形心，可以使用参数方程的形心坐标公式来计算。
对于一个曲线，形心坐标公式可以表示为：x̄= (1/L) ∫[a,b] x(t)ρ(t)dtȳ= (1/L) ∫[a,b] y(t)ρ(t)dt其中L是曲线的弧长，[a,b]是参数t的取值范围，x(t)和y(t)分别是曲线上点的x坐标和y坐标的函数，ρ(t)是曲线上点的单位质量。
同样地，对于一个曲面，形心坐标公式可以表示为：x̄ = (1/S) ∬[D] x(u, v)ρ(u, v)dAȳ = (1/S) ∬[D] y(u, v)ρ(u, v)dAz̄ = (1/S) ∬[D] z(u, v)ρ(u, v)dA其中S是曲面的面积，[D]是参数u和v所确定的曲面上的区域，x(u, v)，y(u, v)和z(u, v)分别是曲面上点的x坐标、y坐标和z坐标的函数，ρ(u, v)是曲面上点的单位质量，dA是曲面上的面积元素。
形心坐标公式的推导可以通过对参数t、u和v进行积分来得到。
在计算形心时，需要确定曲线或曲面上每个点的密度分布，即单位质量。
通常情况下，可以假设质量均匀分布在曲线或曲面上，即单位质量在整个曲线或曲面上是恒定的。
形心坐标公式的应用非常广泛。
在工程学中，形心坐标公式可以用于计算物体的质心位置，从而确定物体的平衡状态。
材料力学附录I 平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩
i1
i1
i1
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
例I-4-1：已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，
求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。
解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不
x2
能直接使用平行移轴公式，需先求出 三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对
h xC
h/3
x1
x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴
3.求截面形心主惯性矩的方法
①建立坐标系
②计算面积和面积矩 ③求形心位置
x
Sy A
xi Ai A
y
Sx A
yi Ai A
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC
⑤求形心主轴方向 — 0
tg2
0
2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
I I
xC0 yC0
I
x
C
I 2
b
：
I xC
I x1
a12 A
bh3 12
h 2 3
bh 2
bh3 36
I x2
I xC
a22 A
bh3 36
2h 2 3
bh 2
bh3 4
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
例I-4-2：求图示T型截面对形心轴的惯性矩。
30
5
30
5
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
30
求T形截面对形心轴的惯性矩
C O
10 150yC x1
x
由于对称知： xC=0
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-2 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
工程力学材料力学-知识点-及典型例题
作出图中AB杆的受力图。
A处固定铰支座B处可动铰支座作出图中AB、AC杆及整体的受力图。
B、C光滑面约束A处铰链约束DE柔性约束作图示物系中各物体及整体的受力图。
AB杆：二力杆E处固定端C处铰链约束（1）运动效应：力使物体的机械运动状态发生变化的效应。
（2）变形效应：力使物体的形状发生和尺寸改变的效应。
3、力的三要素：力的大小、方向、作用点。
4、力的表示方法：（1）力是矢量，在图示力时，常用一带箭头的线段来表示力；（注意表明力的方向和力的作用点！）（2）在书写力时，力矢量用加黑的字母或大写字母上打一横线表示，如F、G、F1等等。
5、约束的概念：对物体的运动起限制作用的装置。
6、约束力（约束反力）：约束作用于被约束物体上的力。
约束力的方向总是与约束所能限制的运动方向相反。
约束力的作用点，在约束与被约束物体的接处7、主动力：使物体产生运动或运动趋势的力。
作用于被约束物体上的除约束力以外的其它力。
8、柔性约束：如绳索、链条、胶带等。
(1)约束的特点：只能限制物体原柔索伸长方向的运动。
(2)约束反力的特点：约束反力沿柔索的中心线作用，离开被约束物体。
（）9、光滑接触面：物体放置在光滑的地面或搁置在光滑的槽体内。
（1）约束的特点：两物体的接触表面上的摩擦力忽略不计，视为光滑接触面约束。
被约束的物体可以沿接触面滑动，但不能沿接触面的公法线方向压入接触面。
（2）约束反力的特点：光滑接触面的约束反力沿接触面的公法线，通过接触点，指向被约束物体。
（）10、铰链约束：两个带有圆孔的物体，用光滑的圆柱型销钉相连接。
约束反力的特点:是方向未定的一个力；一般用一对正交的力来表示，指向假定。
（）11、固定铰支座（1）约束的构造特点：把中间铰约束中的某一个构件换成支座，并与基础固定在一起，则构成了固定铰支座约束。
（2）约束反力的特点：固定铰支座的约束反力同中间铰的一样，也是方向未定的一个力；用一对正交的力来表示，指向假定。
()12、可动铰支座（1）约束的构造特点把固定铰支座的底部安放若干滚子，并与支撑连接则构成活动铰链支座约束，又称锟轴支座。
求图示平面图形的形心坐标
求图示平面图形的形心坐标
试求图示组合平面图形的形心坐
标。
（单位：mm）
解：1、将图示组合平面图形分成如右图所示的矩形I和矩形II组合后再减去圆III（认为其面积为负的）
2、I、II、III的面积和形心坐标分别为：
A1=(100-20)×20=1600mm2X1=10mm Y1=20+40=60mm
A2=80×20=1600mm2X2=40mm Y2=10mm
A３=-πR2=3.14×52=-78.5mm2X3=10mm Y3=90mm
3、利用形心坐标公式计算形心坐标
知识点：
1、重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。
（与组成该物体的物质有关）
2、形心：物体的几何中心。
（只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物质无关）
一般情况下重心和形心是不重合的，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合。
3、平面图形的形心坐标公式：
(１)、分割法：
工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几个基本图形，利用查表法查出每个基本图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。
此法称为分割法。
(２)、负面积法：
仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。
上式中的A
i 是每一个基本图形的面积；X
i
、Y
i
分别是每一个基本图形的形心的
X、Y坐标。
上述两种方法可以分别使用，也可以同时使用。
建筑力学习题,详解答案
y
0： FAy FB 0
FB 1.5kN
3-5 求图示各梁的支座反力。
q A
3m 3m 3m
B
A
5m
A
B
1m
M
3m 3m
B
3m
(a )
(b )
(c )
A
M1
2m 4m
M2
2m
B A
q
l
(e ) 题 3-5 图
q B A
(f)
l
B
(d )
解：以梁 AB 为研究对象。采用数学中一般平面直角坐标系。 设所有的垂直反力向上的画，水平反力指向右。反力偶逆时针画。 (a)
yC
A x
i
i
第三章 3-1 用两根绳子 AC 和 BC 悬挂一个重 G = 1kN 的物体。绳 AC 长 0.8 m，绳 BC 长 1.6 m，A、B 点在 同一水平线上，相距 2 m。求这两根绳子所受的拉力。
【解】以整体为研究对象
cos
0.82 22 1.62 0.6500 2 0.8 2 1.62 22 0.82 cos 0.9250 2 1.6 2
F4 100kN 。
解：1.计算每个力在 x 轴上的投影，并求和。
F F
x
F1 60
1 1 3 1
2 2
F2 80
1 1 1 1
2 2
F3 F4 50 100
2 1 22 2
2
x
12 32
12 12
12 22
-1.848
解【分析】求力系合力的题目的一般步骤如下： 选定一点为简化中心。建立坐标系（一般以简化中心为坐标原点） ； 计算所有力在 x 轴上投影并求和，即主知在 x 轴上的投影 Fx； 计算所有力在 y 轴上投影并求和，即主知在 y 轴上的投影 Fy； 根据公式： F '
求图示平面图形的形心位置及形心主惯性矩
=
−
l2 2EI
δ 22
=
1 EI
⎛ ⎜⎝
l 2
×1+ l ×1⎞⎟⎠
=
3l 2EI
将以上系数代入式（1），经简化可得
l 3
X1
−
1 2
lX1 − 3X
X2 2+
+
0
⎪ ⎪⎭
X1
=
−
P 8
X2
=
Pl 6
HA
= HB
=
P 8
RA
=
RB
=
P 2
MA
=
MB
=
Pl 24
六、图示传动轴。直径为 d，轮 C、轮 E 直径均为 D。轮 C 受铅垂力 P。轮 E 受水平力 P。试求：⑴作轴的扭矩图，弯矩图。⑵指出危险截面的位置。⑶ 用第三强度理论写出校核该轴强度的相当应力表达式。（10 分）
七、图示细长压杆，两端球形铰支，材料弹性模量 E ，试对下面两种情况计 算其临界压力 Plj 。①圆截面，直径 d ，杆长 l 。②矩形截面， h = 2b ，长 l 。 （10 分）
班级：
解：
τ = Q = P / 2 = 2P A πd2 /4 πd2
， σ jy max
=
Pjy A
=
P 2
dt
=
P 2dt
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5、图示悬臂梁 AB 。已知当自由端受静载 P 时，自由端的挠度为 vA ，固定端 的最大正应力为σ Bmax 。现有重为 2P 的物体自 H 高度自由落体冲击于自由端， 求此时 A 端的挠度 vd 和梁内最大正应力σ d max 。
清华理论力学课后答案2
kh da
（b）
w.
co
m
4
三角块 V4
V4 = 2 × 3 × 3 ÷ 2 = 9
(1, 7, 1)
2-5 均质折杆及尺寸如图示，求此折杆形心坐标。 解： 将图示折杆简化为折线计算。 折杆有 5 段直线组成， 每一段的长度及形心坐标如表所示。 按形心计算公式，有
xc =
∑iLi xi 200 × (−100) + 100 × (−50) + 100 × 0 + 200 × 100 + 100 × 200 = 200 + 100 + 100 + 200 + 100 ∑iLi = 21.43(mm)
kh da
，
w.
FRx ' = F1 cos 45� − F2 cos 45� = 0 ，
�
co
在坐标轴上的投影为
m
解： 各力均在与坐标平面平行的面内， 且与所在平面的棱边成 45°角。 将力系向 A 点简化， 主矢 FR '
a b c + + = 0。 F1 F2 F3
当主矢与主矩平行时，力系能简化为力螺旋，即从 FR '× M O = 0 得，
yc =
答
案
网
（200，100，-50）
ww w.
3
kh da
题 2-5 图
w.
co
m
题 2-6 图
解: 由对称性知，该图形的形心一定在 x 轴上，即 yc = 0 。用负面积法计算其横坐标。此平面图
按形心计算公式，有
xc =
2-7 工字钢截面尺寸如图示，求此截面的形心坐标。
题 2-7 图
建筑力学与结构力学作业答案(高职)讲解
建筑力学与结构、结构力学与建筑构造练习册（宁大专升本）姓名：学号：班级：任课教师：杭州科技职业技术学院作业一、静力学基本概念(一)判断题：1、使物体运动状态发生改变的效应称为力的内效应。
（ ⨯ ）2、在两个力作用下处于平衡的杆件称为二力杆。
（ √ ）3、力的可传性原理适用于任何物体。
（ ⨯ ）4、约束是使物体运动受到限制的周围物体。
（ √ ）5、画物体受力图时，只需画出该物体所受的全部约束反力即可。
（ ⨯ ）(二)选择题：1、对刚体来说，力的三要素不包括以下要素（ B ）。
（A ）大小 （B ）作用点 （C ）方向 （D ）作用线2、刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必（ C ）且汇交于一点。
（A ）共点 （B ）共线 （C ）共面 （D ）不能确定3、光滑圆柱铰链约束的约束反力通常有（ B ）个。
（A ）一 （B ）二 （C ）三 （D ）四4、如图所示杆ACB ，其正确的受力图为（ A ）。
（A ）图A （B ）图B （C ）图C （D ）图D成绩D（A ）（D ）（C ）5、下图中刚架中CB 段正确的受力图应为（ D ）。
（A ）图A （B ）图B （C ）图C （D ）图D(三)分析题：1、画出下图所示各物体的受力图，所有接触面均为光滑接触面，未注明者，自重均不计。
解：(a)取球为研究对象，作受力图如下：∙C G(b)60︒(c)F CFB (C)F B∙ABC GAR(b)取刚架为研究对象，作受力图如下：(c)取梁为研究对象，作受力图如下：2、画出下图所示各物体的受力图，所有接触面均为光滑接触面，未注明者，自重均不计。
解：(a)先取AC 杆为研究对象，作受力图如下：(a) AC 杆、BC 杆、整体(b)AC 杆、BC 杆、整体q (c) AB 杆、BC 杆、整体 CAAx F B R F或：BB R60︒ Ay F BF CCx F再取BC 杆为研究对象，作受力图如下：最后取整体为研究对象，作受力图如下：(b) 先取AC 杆为研究对象，作受力图如下：再取BC 杆为研究对象，作受力图如下：最后取整体为研究对象，作受力图如图所示：BF BF CxFF 'T 'BB A F A Ax FAy FB Cx F F 'Bx F By FA Ax FAy FBBx FBy F(c) 先取AB 杆为研究对象，作受力图如下：再取BC 杆为研究对象，作受力图如上：最后取整体为研究对象，作受力图如下：二、平面汇交力系(一)判断题：1、求平面汇交力系合力的几何作图法称为力多边形法。
形心和质心的计算公式
形心和质心的计算公式形心和质心是两个在物理和几何中常用的概念。
形心（centroid）通常用于描述一个几何体（如平面图形或立体体积）的几何中心，它可以看作是几何体各个部分的平均位置。
质心（center of mass）是一个物体内各个质点的加权平均位置，根据质量分布确定。
下面是形心和质心的计算公式：1. 形心的计算公式：对于一个平面图形，形心的计算公式为：x = (x₁+ x₂+ x₃+ ... + xₙ) / ny = (y₁+ y₂+ y₃+ ... + yₙ) / n其中，(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ) 是图形上的各个点的坐标，n 是点的数量。
对于一个立体体积，形心的计算公式类似，只是在三维空间中进行计算：x = (x₁+ x₂+ x₃+ ... + xₙ) / ny = (y₁+ y₂+ y₃+ ... + yₙ) / nz = (z₁+ z₂+ z₃+ ... + zₙ) / n2. 质心的计算公式：对于一个物体，质心的计算公式为：x = (m₁x₁+ m₂x₂+ m₃x₃+ ... + mₙxₙ) / (m₁+ m₂+ m₃+ ... + mₙ)y = (m₁y₁+ m₂y₂+ m₃y₃+ ... + mₙyₙ) / (m₁+ m₂+ m₃+ ... + mₙ)z = (m₁z₁+ m₂z₂+ m₃z₃+ ... + mₙzₙ) / (m₁+ m₂+ m₃+ ... + mₙ)其中，(x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), ..., (xₙ, yₙ, zₙ) 是物体上各个质点的坐标，m₁, m₂, ..., mₙ是相应质点的质量。
请注意，以上的计算公式是对离散点的情况进行的。
对于连续分布的情况，需要使用积分来进行计算。
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《工程力学》试题库第一章静力学基本概念4. 试计算图中力F对于O点之矩。
解：M O(F)=07. 试计算图中力F对于O点之矩。
解： M O(F)= -Fa8.试计算图中力F对于O点之矩。
解：M O(F)= F(l＋r)19. 画出杆AB的受力图。
24. 画出销钉A的受力图。
物系受力图26. 画出图示物体系中杆AB、轮C、整体的受力图。
29. 画出图示物体系中支架AD、BC、物体E、整体的受力图。
30. 画出图示物体系中横梁AB、立柱AE、整体的受力图。
32. 画出图示物体系中梁AC、CB、整体的受力图。
第二章平面力系3. 图示三角支架由杆AB，AC铰接而成，在A处作用有重力G，求出图中AB，AC所受的力（不计杆自重）。
解:（1）取销钉A画受力图如图所示。
AB、AC杆均为二力杆。
（2）建直角坐标系，列平衡方程：∑F x＝0，-F AB+F AC cos60°＝0∑F y＝0，F AC sin60°-G＝0（3）求解未知量。
F AB＝0.577G（拉）F AC＝1.155G（压）4.图示三角支架由杆AB，AC铰接而成，在A处作用有重力G，求出图中AB，AC所受的力（不计杆自重）。
解（1）取销钉A画受力图如图所示。
AB、AC杆均为二力杆。
（2）建直角坐标系，列平衡方程：∑F x＝0，F AB-F AC cos60°＝0∑F y＝0，F AC sin60°-G＝0（3）求解未知量。
F AB＝0.577G（压）F AC＝1.155G（拉）6. 图示三角支架由杆AB，AC铰接而成，在A处作用有重力G，求出图中AB，AC所受的力（不计杆自重）。
解（1）取销钉A画受力图如图所示。
AB、AC杆均为二力杆。
（2）建直角坐标系，列平衡方程：∑F x＝0，-F AB sin30°+F AC sin30°＝0∑F y＝0， F AB cos30°+F AC cos30°-G＝0（3）求解未知量。
形心坐标计算公式
形心坐标计算公式
形心计算公式是∫∫Dxdxdy=重心横坐标×D的面积，∫∫Dydxdy=重心纵坐标×D的面积。
形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。
n维空间中一个对象X的几何中心或形心是将X分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。
非正式地说，它是X 中所有点的平均。
如果一个对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和质量中心重合，该条件是充分但不是必要的。
工程力学习题解答(详解版)
工程力学答案详解1-1试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。
与其它物体接触处的摩擦力均略去。
解：1-2 试画出以下各题中AB 杆的受力图。
(a) B(b)(c)(d)A(e)A(a)(b) A(c)A(d)A(e)(c)(a)(b)解：1-3 试画出以下各题中AB 梁的受力图。
(d)(e)BB(a)B(b)(c)F B(a)(c)F (b)(d)(e)解：1-4 试画出以下各题中指定物体的受力图。
(a) 拱ABCD ；(b) 半拱AB 部分；(c) 踏板AB ；(d) 杠杆AB ；(e) 方板ABCD ；(f) 节点B 。
解：(a)F (b)W(c)(d)D(e)F Bx(a)(b)(c)(d)D(e)W(f)(a)D(b)B(c)BF D1-5 试画出以下各题中指定物体的受力图。
(a) 结点A ，结点B ；(b) 圆柱A 和B 及整体；(c) 半拱AB ，半拱BC 及整体；(d) 杠杆AB ，切刀CEF 及整体；(e) 秤杆AB ，秤盘架BCD 及整体。
解：(a)(d) FC(e)WB (f)F FBC(c)(d)AT F BAF (b)(e)(b)(c)(d)(e)CAA C’CDDB2-2 杆AC 、BC 在C 处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，F 1和F 2作用在销钉C 上，F 1=445 N ，F 2=535 N ，不计杆重，试求两杆所受的力。
解：(1) 取节点C 为研究对象，画受力图，注意AC 、BC 都为二力杆，(2) 列平衡方程：12140 sin 600530 cos6005207 164 o y AC o x BC AC AC BC F F F F F F F F F N F N=⨯+-==⨯--=∴==∑∑ AC 与BC 两杆均受拉。
2-3 水平力F 作用在刚架的B 点，如图所示。
如不计刚架重量，试求支座A 和D 处的约束力。
解：(1) 取整体ABCD 为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形：(2)F 1F FDF F AF D211 1.122D A D D A F F FF F BC AB AC F F F F F =====∴===2-4 在简支梁AB 的中点C 作用一个倾斜45o 的力F ，力的大小等于20KN ，如图所示。
材料力学形心位置确定课件
其中，(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) 是图 形各点的坐标，n 是 图形的顶点数。
图表：通过在坐标系 中绘制图形，可以直 观地显示形心的位置 。例如，对于矩形、 三角形等简单图形， 可以通过作图软件计 算并绘制出其形心的 位置。
立体图形形心位置的相关公式与图表
• 公式：对于三维图形，形心位置的坐标可以通过对图形各点坐标的加权平均来计算。假设三维空间中有一个点集 {P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), ..., Pn(xn, yn, zn)}，那么形心坐标 (xc, yc, zc) 可以通过以下公式计算
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组合截面对形心的位置可以通过将各部分 形心位置加总得到。如果各部分形心位置 不在同一直线上，则需要通过坐标系转换 和线性代数的方法进行计算。
思考题及答案解析
问题5
举例说明形心在材料力学中的应用。
• 答案
形心在材料力学中有着广泛的应用，如组合 截面对形心的计算、截面应力的计算等。例 如，在组合截面对形心的计算中，可以通过 对各部分形心位置的计算，得到组合截面对 形心的位置，从而得到截面的内力和应力。
06
复习与思考题
本章重点回顾
理解截面内力和截 面应力的概念和计 算方法
掌握组合截面对形 心的计算方法
掌握形心的定义和 计算方法
熟悉静矩、惯性矩 、极惯性矩、惯性 积的计算和意义
理解形心在材料力 学中的重要性及应 用
思考题及答案解析
问题1
什么是形心？其重要性是什么？
• 答案
形心是指截面的几何中心，即截面上各点到截面几何中心点 的距离相等。形心在材料力学中有着重要的应用，如组合截 面对形心的计算、截面应力的计算等。
材料力学附录I 平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩
10 150yC x1
x
由于对称知： xC=0
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-2 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
Iz
y 2 d A,
A
Iy
z2dA
A
工程中常把惯性矩表示为平面图 形的面积与某一长度平方的乘积， 即
Iy A iy2
或
iy
Iy A
Iz A iz2
或
iz
Iz A
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2[I圆x1A圆 (0.5dy)2 ]
1.5d
(2d )3
3d 2 (0.177 d )2
d 4
[
d 2
(0.5d
0.177 d )2 ]
0.685 d 4
A
dA
zdy
h1
y2 b2
dy
dz
z
yC C y
O b
A
y
dA
A
b 0
h1
y2 b2
dy
2bh 3
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
z
h yC C z O y dy
b
Sz
y
ydA
A
b 0
yh1
y2 b2
dy
b2h 4
yC
Sz A
3b 8
z
dz
z
yC C y
y
O b
Sy
4bh2 15
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式 主惯性轴
高等数学形心计算公式
高等数学形心计算公式
形心是指一个平面或空间图形的质心位置。
在高等数学中，计算图形的形心位
置是一个重要的数学问题。
下面是一些常见的高等数学形心计算公式：
1. 平面图形形心计算公式：
- 长方形形心计算公式：长方形的形心位于中心点，即横轴上的中点和纵轴
上的中点的交点。
- 三角形形心计算公式：三角形的形心位于三条中线的交点，每条中线连接
一个顶点和对边中点。
- 圆形形心计算公式：圆形的形心位于圆心，即圆心的坐标。
2. 空间图形形心计算公式：
- 球体形心计算公式：球体的形心位于球心，即球心的坐标。
- 圆柱体形心计算公式：圆柱体的形心位于连接两个底圆心的线段的中点，
并与轴线垂直相交。
- 圆锥体形心计算公式：圆锥体的形心位于连接底圆心和顶点的线段的中点，并与底圆中心连线垂直相交。
- 直方体形心计算公式：直方体的形心位于连接两个对角顶点的线段的中点。
需要注意的是，以上公式仅适用于常见的平面和空间图形。
对于复杂的图形，
形心计算可能需要使用积分等更高级的数学工具。
总之，形心计算公式是高等数学中对于平面和空间图形形心位置的计算方式。
通过使用这些公式，可以准确地求解出给定图形的形心坐标。
二重积分形心坐标计算公式
二重积分形心坐标计算公式（原创实用版）目录1.二重积分的概念2.形心坐标的概念3.二重积分形心坐标计算公式的推导4.二重积分形心坐标计算公式的应用正文一、二重积分的概念二重积分是多元函数积分的一种，它是对一个函数在空间中某个区域的横截面上的值进行积分。
二重积分可以理解为对一个函数的“体积”进行积分。
设 f(x,y) 为二重积分的被积函数，D 为横截面区域，则二重积分可表示为：∫∫f(x,y)dydx二、形心坐标的概念形心坐标是一种用于描述平面图形几何中心的坐标。
对于一个平面图形，形心坐标是该图形内所有点的坐标的平均值。
设一个平面图形由 x1, y1, x2, y2,..., xn, yn 这 n 个点组成，则该图形的形心坐标为：x_c = (x1 + x2 +...+ xn) / ny_c = (y1 + y2 +...+ yn) / n三、二重积分形心坐标计算公式的推导对于二重积分，我们可以将其看作是“体积”的累加。
在计算二重积分时，我们可以将横截面区域 D 划分为无数个小的矩形，每个矩形的面积为 dxdy。
对于每个矩形，我们可以计算出其形心坐标 (x_c, y_c)。
我们可以用这些形心坐标来近似表示整个区域的形心坐标。
通过让矩形的数量无限增加，使得近似越来越接近真实值。
四、二重积分形心坐标计算公式的应用二重积分形心坐标计算公式在实际应用中具有重要意义。
例如，在物理学中，它可以用于计算物体受力的合力；在工程领域，它可以用于计算结构的应力分布等。
通过使用二重积分形心坐标计算公式，我们可以更好地理解和解决实际问题。
总结：本文介绍了二重积分的概念，形心坐标的概念，并详细推导了二重积分形心坐标计算公式。
形心重心的理论计算公式
§3-4 重心和形心一、重心的概念：一、重心的有关知识，在工程实践中是很有效的，必需要加以把握。
二、重力的概念：重力确实是地球对物体的吸引力。
3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。
不管物体如何放置，重心老是一个确信点，重心的位置维持不变。
二、重心座标的公式：(1)、重心座标的公式三、物体质心的坐标公式在重心坐标公式中，假设将G=mg，G i＝m i g代入并消去g，可得物体的质心坐标公式如下：四、均质物体的形心坐标公式假设物体为均质的，设其密度为ρ，整体积为V,微元的体积为V i，那么G=ρgV,G i＝ρgV i，代入重心坐标公式，即可取得均质物体的形心坐标公式如下：式中V=∑Vi。
在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。
五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y；∑A i.y i＝A.y c＝S x那么S y、S x别离称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。
六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方式简介如下：一、对称法凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心必然在它的对称面、对称轴和对称中心上。
对称法求重心的应用见以下图。
二、实验法关于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，经常使用实验法确信其重心位置，经常使用的实验法有悬挂法和称重法。
（1）、悬挂法利用二力平稳公理，将物体用绳悬挂两次，重心必然在两次绳延长线的交点上。
悬挂法确信物体的重心方式见图(2）、称重法关于体积庞大或形状复杂的零件和由许多构件所组成的机械，经常使用称重法来测定其重心的位置。
例如，用称重法来测定连杆重心位置。
如图。
设连杆的重力为G ,重心C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力F B,那么由∑M A(F)=0 F B.L－G.x c＝0x c＝F B.L/G(3)、分割法：工程中的零部件往往是由几个简单大体图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块大体图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。
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知识点：
1、重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。（与组成该物体的物质有关）
2、形心：物体的几何中心。（只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物 质无关）
一般情况下重心和形心是不重合的，只有物体是由同一种均质材料构成时， 重心和形心才重合。
3、平面图形的形心坐标公式 ：
求图示平面图形的形心坐标
试求图示组合平面图形的形心坐 标。（单位：mrj）
解：1、将图示组合平面图形分成如右图所示的矩形I和矩形II组合
后再减去圆III（认为其面积为负的）
2、I、II、III的面积和形心坐标分别为：
2
A=（100-20）x20=1600mmXi=10mm Yi=20+40=60mm
上式中的A］是每一个基本图形的面积；分别是每一个基本图形的形心的X、
Y坐标。
上述两种方法可以分别使用，也可以同时使用。
2
A=80x20=1600mmX2=40mm Y2=10mm
A=-n氏=3.14X 52=-78.5mm X=10mm Ya=90mm
3、利用形心坐标公式计算形心坐标
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E—A
（1）、分割法：
工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，
可先将其分割为几个基本图形，利用查表法查岀每个基本图形的形心位置与面积，
然后利用形心计算公式求岀整体的形心位置。此，只不过去掉部分的面积用负值。