傅里叶变换的时移特性和频移特性
第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
傅里叶变换的性质
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
信号分析与处理——傅里叶变换性质
1. 线性 2. 奇偶性 3. 对偶性 4. 尺度变换特性 5. 时移特性
6.
频移特性
7.
微分特性
8.
积分特性
9. 帕斯瓦尔定理
10. 卷积定理
1、线性（叠加性）
若:
x1 (t) X1 ()
x2 (t) X 2 ()
则: a1x1 (t) a2 x2 (t) a1 X 1 () a2 X 2 ()
Sa(t0
)e
j t0 2
2
由积分性质，可得 的x频2 (谱t)为
X 2 ()
X1() j
X1(0) ()
又因为： 所以得：
X1(0) 1
X 2 ()
1
Sa(
t0
)e
j
t0 2
j 2
()
9、帕斯瓦尔定理
若: x(t) X ()
则:
x(t) 2 dt 1 X () 2 d
2
式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式
2
)
由线性和时移特性，有:
X
2
()
3Sa(
3
2
)
X
()
1 2
e
j
5 2
X 1 ( )
e
j 5 2
X
2
()
e
j 5 2
1 2
Sa(
2
)
3Sa( 3
2
)
例：求三脉冲信号的频谱
g (t为)P36页的标准矩形脉冲信号
求如下三脉冲信号的频谱函数
x(t) g(t) g(t T ) g(t T )
解：
X () G()(1 e jT e jT ) G()(1 2 cosT ) E Sa( )(1 2 cosT )
离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释
离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将一个离散信号（或称时域信号）转换为频域表示的数学工具。
在现代信号处理和通信领域中，DFT被广泛应用于信号分析、滤波、频谱估计等领域。
DFT的概念源于傅里叶分析，它是将一个连续时间函数表示为一组基函数乘以一系列复数系数的线性组合。
而离散傅里叶变换则是将这一思想应用于离散信号，将离散时间序列转换为离散频率表示。
通过使用离散傅里叶变换，我们可以将一个时域上的离散信号转换为频域上的频谱表示，从而可以更加直观地观察信号的频率成分和能量分布。
离散傅里叶变换的时移性质是指当输入信号在时域上发生时移时，其在频域上的表示也随之发生相应的时移。
这一性质使得我们可以通过时移操作对信号进行处理和分析。
具体来说，如果我们对一个信号进行时移操作，即将信号中的每个样本向前或向后平移若干个位置，那么该信号在频域上的表示也会相应地发生同样的平移。
在本文中，我们将着重讨论离散傅里叶变换时移的原理和性质。
我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和原理，包括如何进行DFT变换、如何计算DFT系数以及DFT的逆变换等。
然后，我们将详细解释离散傅里叶变换的时移性质，包括时域上的时移操作如何在频域上体现以及时域和频域之间的变换关系等。
通过对离散傅里叶变换时移性质的研究，我们可以更好地理解信号在时域和频域之间的关系，以及对信号进行时移操作的影响。
同时，我们还将探讨离散傅里叶变换时移的应用，包括在信号处理、通信系统和图像处理等领域中的具体应用案例。
通过这些应用案例，我们将展示离散傅里叶变换时移的重要性以及它在实际问题中的实用价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，首先概述了离散傅里叶变换时移的主题，介绍了离散傅里叶变换的基本概念和原理。
接着，详细说明了本文的结构，即按照离散傅里叶变换时移的相关性质展开论述。
3.5傅立叶变换的性质与应用
线性与对称性
例4. 求:
1 F t
(ω ≠ 0)
解: 由符号函数的傅立叶变换对: 由符号函数的傅立叶变换对: Sgn(t)
2 jω
2 ∴ 2π Sgn(ω) = 2π Sgn(ω) jt
1 则 jπ Sgn(ω) : t
脉冲展缩与频带的关系
尺度特性 信号在时域中的扩展或压缩, 信号在时域中的扩展或压缩,将影响频谱的波形 若 f (t ) F ( jω ) 则
h(t ) H ( jω )
Y f ( jω ) = H ( jω ) F ( jω )
卷积定理
利用卷积定理证明时移特性: 利用卷积定理证明时移特性:
f (t t0 ) = f (t ) * δ (t t0 ) F ( jω )e jω t0
利用卷积定理证明频移特性: 利用卷积定理证明频移特性:
0
Aτ 4π τ
ω
τ
4
τ
4
τ
等效脉宽与等效频宽
F ( jω ) =
∫
∞
∞
f ( t )e
jω t
dt
1 ∞ jω t f (t ) = ∫∞ F ( jω)e dω 2π
∫
∞
∞
f ( t )d t = F (0)
F (0 ) B B
f f
∫
= 1
∞
∞
F ( jω )dω = f (0)
等效脉宽
1 ω f ( at ) F( j ) a a
(a ≠ 0)
若 a > 1: 时域压缩,则频域展宽; 若 : 时域压缩,则频域展宽; 若 0 < a < 1: 时域展宽,则频域压缩. 若 : 时域展宽,则频域压缩. 若 a = -1: 若 :
傅里叶变换的性质
a 1
dx
j b a
, dt
t
1
t 1
2f1
(b)
且由图(b)可得 f1 (t ) Sa(t )
第
幅频、相频特性
幅频、相频特性分别如图（c)(d)所示。
| F ( ) |
28 页
( )
1
0
0
(c)
(d)
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
退出
3.时移加尺度变换
（1）性质
2
t
4 E
退出
解 F f t
2E 4E 2E j t t t t e dt 2 2
第 15 页
e 1 2E E 2E 4 j j 2 2 F e e 2 e
则F ( t )的频谱函数形状与 f t 形状相同，t , 幅度差2
3.例题
退出
第
例3-7-1
t 1 , F t 1 2
4 页
例3-7-2
已知F [sgn( t )] 则 2 jt 2 j ,
2 sgn( )
相移全通 网络
j t
dt
f ( u)e j
u
du F ( )
若f ( t ) F ( )，则f ( t ) F ( )
证明
退出
证明
设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）
F ( )
何子述信号与系统习题解答第4章连续时间傅里叶分析(2012新)
2 2 3j 1
F δ t 1 δ
n
j t
F
n
再由傅里叶变换的线性，可得 h t 为
h t 2 t 3¢ t t
（c）同理可得
j Y 6Y j F 2 j F 3F
何子述
高等教育出版社
h t
题 4.8 解：
sin 1t πt
δ t
sin 2 t πt
该题中的单边带通滤波器的频率响应可看成是一个截止频率为 c 的低通滤波器的 频率响应在频谱上的一个搬移，搬移量为 3c ，由第三章傅里叶变化的频移特性知，信 号在时域乘以一个复指数信号 e j0t 后，其傅里叶变换在频域上平移 0 。 由主教材式（4.2.2）知，低通滤波器的冲激响应为
h t
由上可知，一定存在一个信号 g t ，使得
sin c t t
h t
且 g t 为
sin c t πt
g t
g t e j3c t
题 4.9 解： 由主教材式（4.2.1）知，理想低通滤波器的频率响应为
1, H 0,
由主教材式（4.2.2）知，其冲激响应为
c c
h t
sin c t πt
由主教材式（4.1.3）知，系统频率响应 H 可表示为
H H e jH
（a）由上式知，该滤波器对应的频率响应为
H1 H e
0 c c 0 其他
上式可看成截止频率为 c / 2 的低通滤波器被频移至 c / 2 和 c / 2 ，并分别乘上幅度 j 和 j ，且截止频率为 c / 2 的低通滤波器可表示为 H 2 ，所以 H 3 可表示为
傅里叶变换性质
四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、 奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质实质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段.之迟辟智美创作傅里叶变换具有唯一性.傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间简直定的内在联系.讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1. 了解特性的内在联系2. 用性质求3. 了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种水平的对称性.1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2例3-7-3§3.7.2 线性1．性质2．说明这个性质虽然简单，但实际上是应用最多的.例3-7-4§3.7.3 奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§3.4的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过. 1.证明：由界说可以获得，则证明：设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然§3.7.4 标准变换性质1. 性质：2. 证明：综合上述两种情况3．意义(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩.脉冲继续时间增加a倍，信号变动减缓，信号在频域的频带压缩a倍.因此高频分量减少，幅度上升a倍.(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍.继续时间短，变动加快.信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍.此例说明：信号的继续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号继续时间压缩，则要以展开频带为价格.§3.7.5 时移特性性质幅度频谱无变动，只影响相位频谱，例3-7-8求下图所示函数的傅里叶变换.解：由对称关系求，又因为得幅频、相频特性分别如下图所示.幅度频谱无变动，只影响相位频谱§3.7.6 时移+标准变换1. 性质：2. 证明：(仿的证明过程)那时，设，则例3-7-9方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换两种方法结果相同.§3.7.7 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.8 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.9 时域微分性质1．性质2. 证明即3. 特别注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出直流分量独自求傅里变换，余下部份再用微分性质.§3.7.10 频域微分性质性质：则或例3-7-6解：例3-7-7解：……1. 性质2. 证明其中：（1）变上限积分用带时移的单元阶跃的无限积分暗示，成为（2）交换积分顺序，即先求时移的单元阶跃的信号的傅里叶变换（3）（5）.例题——时域积分性质1. 求单元阶跃函数的傅里叶变换.解：则2. 求门函数积分的频谱函数.解：。
机械工程测试技术基础-简答题
一、 信号及其描述1、周期信号频谱的特点：①离散性——周期信号的频谱是离散的；②谐波性——每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；③收敛性——谐波分量的幅值按各自不同的规律收敛。
2、傅里叶变换的性质：奇偶虚实性、对称性、线性叠加性、时间尺度改变特性、时移和频移特性、卷积特性、积分和微分特性。
3、非周期信号频谱的特点：①非周期信号可分解成许多不同频率的正弦、余弦分量之和，包含了从零到无穷大的所有频率分量；②非周期信号的频谱是连续的；③非周期信号的频谱由频谱密度函数来描述，表示单位频宽上的幅值和相位；④非周期信号频域描述的数学基础是傅里叶变换。
二、测试装置的基本特性1、测量装置的静态特性是在静态测量情况下描述实际测量装置与理想时不变线性系统的接近程度。
线性度——测量装置输入、输出之间的关系与理想比例关系的偏离程度。
灵敏度——单位输入变化所引起的输出变化。
回程误差——描述测量装置同输入变化方向有关的输出特性，在整个测量范围内，最大的差值称为回程误差。
分辨力——能引起输出量发生变化的最小输入量。
零点漂移——测量装置的输出零点偏离原始零点的距离，它是可以随时间缓慢变化的量。
灵敏度漂移——由于材料性质的变化所引起的输入与输出关系的变化。
2、传递函数的特点：①()s H 与输入()t x 及系统的初始状态无关，它只表达系统的传输特性；②()s H 是对物理系统的微分描述，只反映系统传输特性而不拘泥于系统的物理结构；③对于实际的物理系统，输入()t x 和输出()t y 都具备各自的量纲；④()s H 中的分母取决于系统的结构。
3、一阶测试系统和二阶测试系统主要涉及哪些动态特性参数，动态特性参数的取值对系统性能有何影响？一般采用怎样的取值原则？ 答：测试系统的动态性能指标：一阶系统的参数是时间常数τ；二阶系统的参数是固有频率n ω和阻尼比ξ。
对系统的影响：一阶系统的时间常数τ值越小，系统的工作频率范围越大，响应速度越快。
傅里叶变换性质
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频 带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比， 有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
五．时移特性
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
时移加尺度变换
六．频移特性
交换积分顺序 ， 即先求时移的单位阶跃 信号的傅里叶变换
续……
……续
证明
即
(flash)
频谱图
1 1 F G 0 G 0 2 2 E 0 E 0 Sa Sa 2 2 2 2
将包络线的频谱一分为 二，向左、右各平移 0
E 2
f 0
f t
F 0
F
O
t
O
f t d t f 0
t 0
1 f 0 2 1 2
F e jt d F d
F 0
F d F 0B
B
f t d t
2
2
T
t
(a)三脉冲信号的波形
F0 E Sa 2
E
F0
2
O
(b)
例3-7-9
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
相同
例3-7-6（教材例3-4） 已知矩形调幅信号 f t Gt cos 0 t ,
傅里叶变换常用公式
1、门函数F(w)=2w w sin=Sa() w
222、指数函数（单边）f(t)=e-atu(t) F(w)=1,实际上是一个低通滤波器a+jw
3、单位冲激函数F（w）=1,频带无限宽，是一个均匀谱
4、常数1 常数1是一个直流信号，所以它的频谱当然只有在w=0的时候才有值，体现为（w)。
F(w)=2(w) 可以由傅里叶变换的对称性得到
5、正弦函数F(ejw0t)=2(w-w0),相当于是直流信号的移位。
F(sinw0t)=F((ejw0t-e-jw0t)/2)=((w-w0)-(w+w0))
F(sinw0t)=F((e
6、单位冲击序列jw0t-e-jw0t)/2j)=j((w-w0)-(w+w0)) T(t)=(t-Tn) -这是一个周期函数，每隔T出现一个冲击，周期函数的傅里叶变换是离散的F(T(t))=w0(w-nw0)=w0
w0(w) n=-单位冲击序列的傅里叶变换仍然是周期序列，周期是w0=2T
1、线性性傅里叶变换是积分运算，而积分运算是加法。
2、时移特性信号在时域的时移，相当于信号在频域的各频率分量相移，即
3、频移特性（调制定理）f(t-t0)--e-jwt0F(w) 傅里叶变换公式。
3.7傅里叶变换的基本性质
FT[F(t)] 2f ()
FT[Sa(t)]
0
1 1
15
例 : 求f (t) 1 的傅里叶变换 F ()
a jt
FT[F(t)] 2f ()
1 f (t) F1(t) a jt
F1 ( )
a
1
j
f1(t) eatu(t) a 0
F () FT[F1(t)] 2 f1() 2 eau()
2
F(0) f (t)dt
f (0) 1
F ()d
2
f (0) F (0) F (0) B 2f (0) B 2
11
信号f (t)如图所示,其频谱密度为F (),不必求出 F ()的表达式,也不必做积分运算, 试计算下列值:
(1) F(0) ; (2) F()d
F () f (t)e jt dt
1 2
1 2
j
d
d
F ( )
2
j 4
F '( )
2
2
FT[tf (2t)] j F'( ) j d F( ) 4 2 2 d 2
35
八、积分特性
设FT[ f (t)] F(), 则FT[ t f ( )d ] F(0) () 1 F()
j
t
FT[
f ( )d ]
t
[
f ( )d ]e jt dt
3
1、f(t)是实函数
F () FT[ f (t)] f (t)e jtdt
f (t) costdt j f (t) sin tdt
R() jX ()
R() f (t) costdt X () f (t)sin tdt
R() R() X () X () F() F() () ()
傅里叶变换的性质
∫−
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ←→ j dΩ
FT
例如： 例如： du (t ) (t
dt
对应的傅里叶变换
= δ (t )
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ(Ω) + =1 δ(t ) ←→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如： 再例如：
1 d [ πδ ( Ω ) + ] jΩ FT tu ( t ) ← → j dΩ
= j π δ ′( Ω ) −
1 Ω2
七、反褶与共轭特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ( − t ) ← → X ( − j Ω ) FT x * ( t ) ← → X * ( − j Ω )
由傅里叶变换公式很容易证明。 由傅里叶变换公式很容易证明。 奇偶、 八、奇偶、虚实性 1、实信号 、
FT x(t ) = x* (t ) ←→ X ( jΩ) = X * (− jΩ)
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
六、微分特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ′( t ) ← → j Ω X ( j Ω )
------时域微分性 时域微分性 ------频域微分性 ------频域微分性
1 x (t ) = 2π
∞
dX ( j Ω ) − jtx ( t ) ← → dΩ
FT
因为， 因为，由傅里叶反变换公式 等号两边同时对时间t求导数 等号两边同时对时间 求导数
傅里叶变换的时移特性和频移特性
03 在图像处理中，时频分析用于图像压缩和去噪， 以及图像特征提取和分类。
04
傅里叶变换的物理意义
傅里叶变换与信号的时间特性关系
时间平移
傅里叶变换能够表示信号在时间上的平移，即信号在时间轴上移动时，其频谱不会发生变化。
时移特性在信号处理中的应用
信号压缩
利用时移特性，可以将信号在时间轴上进行压缩或扩展，从而改 变信号的时域特性。
频谱分析
在进行频谱分析时，可以利用时移特性来调整信号的相位和频率， 以便更好地观察和分析信号的频谱特性。
数字信号处理
在数字信号处理中，可以利用时移特性来实现信号的滤波、调制和 解调等操作。
时移特性的数学表达
公式
如果 $f(t)$ 是原信号，那么 $f(t-a)$ 和 $f(t+a)$ 分别是信号在时间轴上向前和向后平移 $a$ 后的新信号。傅里 叶变换 $F(omega)$ 和 $F(omega-a)$ 和 $F(omega+a)$ 分别是这三个信号的频谱。
推导
通过傅里叶变换的基本性质，可以推导出 $F(omega-a) = F(omega) cdot e^{-jaomega}$ 和 $F(omega+a) = F(omega) cdot e^{ jaomega}$。
时间尺度
通过傅里叶变换，可以将信号的时域尺度转换为频域尺度，从而更好地理解信号在不同尺度下的特性 。
傅里叶变换与信号的频率特性关系
频率平移
傅里叶变换能够表示信号在频率上的平移，即信号的频谱在频域内移动时，其时间函数 不会发生变化。
频率调制
通过傅里叶变换，可以将信号的频域调制转换为时域调制，从而更好地理解信号在不同 频率下的调制方式。
傅里叶变换性质最终版.ppt
或
.精品课件.
14
1．时域微分
注意
.精品课件.
15
注意
如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里 变换，余下部分再用微分性质。
.精品课件.
16
2．频域微分性质
推广 或
.精品课件.
17
八．时域积分性质
也可以记作：
.精品课件.
18
证明
因为
综合上述两种情况
.精品课件.
19
等效脉冲宽度与等效频带宽度
求图(a)所示三脉冲信号的
f t
频谱。
E
解：
令f0 t 表示矩形单脉冲
信号，其频谱函数F0 ,
F0
E
Sa
2
T
22
Tt
(a)三脉冲信号的波形
F0
E
2
O
(b)
.精品课件.
23
例3-7-9
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
.精品课件.
相同
24
例3-7-6（教材例3-4）
已知矩形调幅信号 f t Gtcos0t ,
交换积分顺序
，
即先求时移的单位阶跃
信号的傅里叶变换
.精品课件.
35
……续
.精品课件.
36
证明
即
.精品课件.
37
(flash)
.精品课件.
38
X
29
第 页
.精品课件.
29
X
例3-7-8
解：
.精品课件.
30
例3-7-9
解：
.精品课件.
31
例3-7-10
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。
傅里叶变换具有唯一性。
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。
讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1. 了解特性的内在联系2. 用性质求3. 了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。
§对称性质1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2例3-7-3§ 线性1．性质§ 奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。
1.证明：由定义可以得到2.若，则证明：设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然§ 尺度变换性质1. 性质：2. 证明：综合上述两种情况3．意义(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
脉冲持续时间增加a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩a倍。
因此高频分量减少，幅度上升a倍。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化加快。
信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。
§ 时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱，例3-7-8求下图所示函数的傅里叶变换。
解：由对称关系求，又因为得幅频、相频特性分别如下图所示。
幅度频谱无变化，只影响相位频谱§ 时移+尺度变换1. 性质：2. 证明： (仿的证明过程)当时，设，则例3-7-9方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换两种方法结果相同。
§ 频移特性1．性质2．证明4．应用通信中调制与解调，频分复用§ 频移特性1．性质2．证明4．应用通信中调制与解调，频分复用§ 时域微分性质1．性质即3. 特别注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出直流分量单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。
傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明
证明
续……
证明
变上限积分用带时移的 单位阶跃的无限积分表 示，成为
交换积分顺序
，
即先求时移的单位阶跃
信号的傅里叶变换
……续
证明
即
(flash)
E
2
Sa
0 2
E
2
Sa
0 2
将包络线的频谱一分为二，向左、右各平移 0
F
E
2
0 O
0
0
2
ห้องสมุดไป่ตู้
(b)矩形调幅信号的频谱
例3-7-5
求三角函数的频谱密度函数．
分析
X
第 29 页
X
例3-7-8
解：
例3-7-9
解：
例3-7-10
1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换 解：
解：
证明
设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）
f t f 0
F F 0
O
t
f td t
f 0
f 0 1 F ejt d
2
t0
1
2
F
d
2
B
O
B
F
d
F 0B
F0 f td t
等效脉冲宽
度与占有的
等效带宽成
1
Bf
反比。
例3-7-2
例3-7-1
相移全通 网络
例3-7-3
例3-7-4（时移性质，教材3-2）
求图(a)所示三脉冲信号的
一．对称性质
1．性质
2． 意义
二．线性性质
1．性质
2．例
三．奇偶虚实性
证明： 由定义 可以得到
四．尺度变换性质
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精品课件
15
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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上图为 f ( t )精，品课下件 图为 f (t t0 )
3
得到 f ( t ) 的傅里叶变换的三维图、幅值与相位：
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-0.5
三 幅度谱 2
-1
维
3 4 -1.5
图 相位谱
1.5 1 0.5
精品课件
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4 0
-0.4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
精品课件
13
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
精品课件
14
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-1000
-500
0
500
1000
事实上，上面这个矩形脉冲的调制过程就是无线 数字通信中最基本的一个调制过程。
-1 4 -1.5
0 -0.5
1.5 1 0.5
精品课件
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 54
频移特性
精品课件
6
我们可以得到如下两个简单的结论：
某信号在时域中乘以 e j 0 t ，相当于频域中频谱右移 0 ； 某信号在时域中乘以 e j 0t ，相当于频域中频谱左移 0 ；
也就是：
傅里叶变换的时移特性 和频移特性
2012-05-11
2
例如：原信号为宽度为1，幅度为1的矩 形窗函数，经过0.1s的时移后。
f(t) 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
f(t-t0) 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
精品课件
11
余弦载波信号，
为了看得清楚，频率 只取了5Hz
调制后的信号， 时域：
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5
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-0.5
0
0.5
1
1.5
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12
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
5
10
15
20
25
30
35
40
45
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 44
得到 f (t t0 ) 的傅里叶变换的三维图、幅值
与相位：
1
0.8
1.5
0.6
0.4
1
0.2
0.5
0
0
-0.2
-0.5
-0.4 0
5
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15
20
25
30
35
40
45
-1
3
-1.5 -4
-2
0
2
三 幅度谱 维 图 相位谱
精品课件
7
前面两个结论可以这样直观理解：
信号 x ( t ) 由无数不同旋转角速度 ( ) 的旋转向量叠加而成。
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8
精品课件
9
精品课件
10
假定我们用一个矩形脉冲信号去调制余弦载波， 我们看一下调制前后信号在时域和频域各发生了哪些 变化。
矩形脉冲信号，时域：
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1.5