近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷

一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y

x

z f x y =,则dz = .

4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =

≤≤≤≤,则

()()

()()

D

af x bf y d f x f y σ++⎰⎰

= .

5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序

2220

(,)x x dx f x y dy -=⎰

⎰

.

二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内）

6.直线l 1:

155

121x y z --+==

-与直线l 2:623

x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）

2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6

π

. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分

cos 2

d (cos ,sin )d f r r r r π

θθθθ⎰

⎰

可以写成直角坐标中的二次积分为

（A

）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B

）1

00(,)dy f x y dx ⎰⎰

（C

）

10

(,)dx f x y dy ⎰

⎰

（D

）10

(,)dx f x y dy ⎰⎰

[ ]

8.设1, 02()122, 1

2

x x f x x x ⎧

≤≤⎪⎪=⎨

⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -=

（A ）

12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3

4

-. [ ] ＜

9.

设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩

则(,)f x y 在点O (0,0)处

（A ）偏导数存在，函数不连续 （B ）偏导数不存在，函数连续

（C ）偏导数存在，函数连续 （D ）偏导数不存在，函数不连续 [ ] 三、解答题

10.（本题满分10分）求曲线L ：222222

239

3x y z z x y

⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.

11.（本题满分10分）设F 可微，z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数，并设23F F ''≠，求

z z

x y

∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3

y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集，

求

2

[e sin()]d x

D

x y σ++⎰⎰. 13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920

335

x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与

最小值.

14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤，计算二重积分

22 1 d D

x y σ+-⎰⎰.

15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微，且已知

2

22222

(,)(

)(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y

=++-++++. 求(,)u x y .

浙江大学2007－2008学年春季学期

《微积分II 》课程期末考试试卷答案

一、填空题（每小题5分，共25分） 1．23

1

421=-++=

d .

2．2

2

()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．(

)()

dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 12121

1ln ln --'+⋅'+'+⋅'=

4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=

D D

d x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ， ()()⎰⎰+=

+=+=

∴D

b a I b a d b a I 2

1

,2σ

.

5．

()()2220

1

1

1,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰

⎰⎰

或 ()01

1

1,dy f x y dx -⎰

⎰

或 ()1

10

1,dy f x y dx -⎰⎰

.

二、选择题（每小题5分，共20分）

6．选（B ）. l 1的方向向量{}1,2,1-，l 2的方向向量{}

2,1,1--，

{}{}3

,2

16

36

62,1,11,2,1cos π

θθ===--⋅-=

.

7．选（D ）. 积分区域(){}

0,,22≥≤+=y x y x y x D ，化成直角坐标后故知选（D ）.

8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)2

22222224S S S f f -=-==-++=+=.

9．选（A ）. ()()000

0,0lim

0,0,00x y x f f x

→-''===，偏导数存在. 取kx y =，()4

4

11lim

,lim k

k k

k kx x f x x +=

+=→→

随k 而异，所以不连续．

三、解答题（10～14每题10分，15题5分，共55分） 10．由L ，视x 为自变量，有