八年级数学《直角三角形》知识点

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八年级数学《直角三角形》知识点

八年级数学《直角三角形》知识点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠ C=90 ° ∠A+∠ B=90°2、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠ A =30°可表示如下：BC=1AB2∠ C =90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ A CB=90°可表示如下：CD= 1AB=BD=AD2D为 AB 的中点4、勾股定理直角三角形两直角边 a ， b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2b2c25、射影定理 ( 了解 )在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∠ ACB=90°CD2AD BDAC 2AD ABCD ⊥ ABBC2BDAB6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC二、直角三角形的判定1 、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理222如果三角形的三边长 a ，b ， c ，有关系 a b c ，那么这个三角形是直角三角形。

1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A ，∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ，c（ 1）三边之间的关系：a 2 b2c 2（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系：∠ A+∠ B=90° （ 3）边角之间的关系：练习：一、选择题1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为 6 cm ，则它的斜边长为（）A 、 4 cmB 、 8 cmC 、 10 cmD 、 12 cm2. 已知一个 Rt △的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）A 、 25B 、 14C 、 7D 、 7 或 253. 等腰三角形的腰长为 10, 底长为 12, 则其底边上的高为 ()A 、 13B 、 8C 、 25 D、 644. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( )A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等腰三角形 . 5、等腰三角形腰长为 13，底边长为 10，则它底边上的高为（） A.12 B.7 C.5 D.66. 已知 a ，b ， c 为△ ABC 三边，且满足 ( a 2－ b 2)( a 2+b 2－ c 2) ＝0，则它的形状为（）A. 直角三角形B.等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形7. 如图， MP ⊥ NP ，MQ 为△ MNP 的角平分线， MT ＝ MP ，连接 TQ ，则下列结论中不正确的是（）A 、 TQ ＝ PQB 、∠ MQT ＝∠ MQPC 、∠ QTN ＝ 90°D 、∠ NQT ＝∠ MQT8. 在△ ABC 中 , ∠ A: ∠ B: ∠C=1:2:3,CD ⊥ AB 于 D,AB=a , 则 DB 等于 ()A.aB.aC.aD. 以上结果都不对PQMNT23 4二、解答题1、已知：如图， AC 平分∠ BAD ， CE ⊥ AB 于 E ， CF ⊥ AD 于 F ，且 BC ＝DC. 求证： BE=DFFDC1 2AE B2. 已知，如图，四边形 ABCD 中， AB=3cm ， AD=4cm ， BC=13cm ， CD=12cm ，且∠ A=90°，求四边形 ABCD 的面积。

初中数学直角三角形的知识点

初中数学直角三角形的知识点一、知识概述《直角三角形》①基本定义：有一个角是直角（90°）的三角形就叫做直角三角形。

这个直角就像是三角形里的特殊标志，一眼就能认出来。

②重要程度：在初中数学里，直角三角形超级重要的。

很多几何问题都和它有关，像是勾股定理、三角函数之类的都是基于直角三角形发展出来的学问。

③前置知识：得先知道三角形的基本定义，像三角形是由三条线段首尾相连围成的图形。

还有角的基本概念，比如直角是90度这个概念得清楚。

④应用价值：在建筑时，如果要确保一个墙角是垂直的，就可以用直角三角形的知识来测量。

还有在测量山的高度时，如果知道测量点到山底的距离和在这个点观测山顶的仰角（能构成直角三角形的情况），就能算出山高。

二、知识体系①知识图谱：直角三角形是三角形大家族里比较特殊的一类，就像是三角形群体里的VIP。

和等腰三角形等其他特殊三角形共同丰富了三角形的知识体系。

②关联知识：和勾股定理紧紧相连，这定理可是专为直角三角形定制的。

还有三角函数也是在直角三角形的基础上定义的角的关系。

和三角形内角和定理也有关系，因为直角三角形里除了直角剩下的两个锐角相加是90度。

③重难点分析：难点在于对一些性质和定理的灵活运用。

比如说勾股定理在复杂图形里的应用有时候就不容易想得到。

重点就是掌握直角三角形特有的那些性质，像直角对应的斜边最长等。

④考点分析：在考试里那可太常见了。

选择题可能会简单地考直角三角形的性质判断，填空题可能会出勾股定理的简单计算，大题里可能让综合运用直角三角形和其他知识点解题。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：直角三角形就是必须有一个角为90度的三角形，这个90度的角不能多也不能少，多了或者少了就是其他三角形了。

②特征分析：它有一个很明显的直角，斜边是直角所对的边，斜边比任意一个直角边都长。

两个锐角之和是90度，就像两个小跟班凑一块正好90度。

③分类说明：没按特殊的方式分类的普通直角三角形，还有特殊的等腰直角三角形，这种三角形不光有一个直角，它的两条直角边还相等，就像双胞胎一样。

华东师大版数学八年级上册14.1《直角三角形的判定》知识点解读

《直角三角形的判定》知识点解读知识点1直角三角形的判别条件（重点）如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.【例1】三角形三边之长分别为①3,4,5；②9,40,41；③7,24,25；④13,84,85.其中能构成直角三角形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个分析：若已知三角形三边长，要判断这个三角形是否为直角三角形，可利用直角三角形的判别条件，即是否有两个较小数的平方和等于大数的平方.①222345+=②22294041+=③22272425+=④222138485+=所以以上4组都能构成直角三角形，故选D.解：D【例2】在△ABC 中，22-,a m n =2,b mn =22+,c m n =其中m ，n 是正整数，且m>n ，试判断△ABC 是不是直角三角形.分析：本题已给出三角形的三边长，只需运用直角三角形的判别条件进行判断就可以，但关键是确定最大边.解：因为m ，n 是正整数，且m>n ，222(-)20,m n m n mn =+->所以22+2,m n mn >所以c>b.又222222222(+)()20,m n m n m n m n n --=+-+=>所以c>a.所以c 为最长边.因为2222224224222222()(2)24(),a b m n mn m m n n m n m n c +=-+=-++=+=所以△ABC 是直角三角形.知识点2 勾股数（了解）能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。

（1）3，4，7；（2）5，12，13；（3）111345，，（4）3，-4，5. 分析：判断的时候，要紧扣两个条件：（1）是否符合222a b c +=，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；（2）它们是不是正整数。

八年级数学三角形知识点总结归纳

八年级数学三角形知识点总结归纳单选题1、用直角三角板作△ABC的边AB上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是（）A．B．C．D．答案：D解析：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高线的定义即可得出结论．解：A、作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；B、作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项正确；C、不能作出△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；D、作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；故选D．小提示：本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．2、如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（）A．80°B．82°C．84°D．86°答案：A解析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．解：∵∠BAC＝105°，∴∠2＋∠3＝75°①∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②把②代入①得：3∠2＝75°，∴∠2＝25°．∴∠DAC＝105°−25°＝80°．故选A．小提示：此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键．3、如图，已知a//b，∠1=120°，∠2=90°，则∠3的度数是( )A．120°B．130°C．140°D．150°答案：D解析：延长∠1的边与直线b相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．如图，延长∠1的边与直线b相交，∵a//b，∴∠4=180°−∠1=180°−120°=60°，由三角形的外角性质可得，∠3=90°+∠4=90°+60°=150°．故选：D．小提示：本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．4、三角形的三条高所在直线的交点一定在A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的内部或外部D．三角形的内部、外部或顶点根据高的概念知：不同形状的三角形的高所在直线的交点位置不同．锐角三角形的三条高都在内部，交点在其内部；直角三角形的三条高中，两条就是直角边，第三条在内部，交点是直角顶点；钝角三角形有两条在外部，一条在内部，所在直线的交点在外部．A. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的内部，错误；B. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的外部，错误；C. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，既不在三角形的内部，又不在三角形的外部，错误；D. 锐角三角形的三条高的交点在其内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高所在直线的交点在其外部，正确.故选D.小提示：此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握其性质定义性质.5、如图所示的图形中具有稳定性的是（）A．①②③④B．①③C．②④D．①②③答案：B解析：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，一个多边形从一个顶点出发引出的对角线将其分成(n−2)个三角形，此时这个多边形就具有稳定性了，图①③便具有稳定性，此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．6、△ABC中，它的三条角平分线的交点为O，若∠B＝80°，则∠AOC的度数为（）A．100°B．130°C．110°D．150°答案：B解析：先根据角平分线的定义可得∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，再根据三角形的内角和定理可得∠AOC=180°−12(∠BAC+∠BCA)，然后根据三角形的内角和定理可得∠BAC+∠BCA=100°，由此即可得出答案．如图，∵AO，CO分别是∠BAC，∠BCA的角平分线∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA∴∠AOC=180°−∠OAC−∠OCA=180°−12∠BAC−12∠BCA=180°−12(∠BAC+∠BCA)又∵∠B=80°∴∠BAC+∠BCA=180°−∠B=180°−80°=100°∴∠AOC=180°−12×100°=130°故选：B．本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，掌握三角形的内角和定理是解题关键．7、下图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定，如果在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加（）个螺栓A．1B．2C．3D．4答案：A解析：用木条交叉点打孔加装螺栓的办法去达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．如图，A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边所以答案是：A．小提示：本题考查了三角形的稳定性的问题，掌握三角形的稳定性是解题的关键．8、下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．答案：D解析：根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．解：A、是一个三角形，其内角和为180°；B、是一个四边形，其内角和为360°；C、是一个五边形，其内角和为540°；D、是一个六边形，其内角和为720°；∴内角和最大的是六边形；故选D．小提示：本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．填空题9、如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点可以连___________条对角线．答案：6解析：首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．解：设此多边形的边数为n，由题意得：（n-2）×180=1260，解得；n=9，从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9-3=6，所以答案是：6．小提示：此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n-2）．10、如图，在ABC中，∠A=70°，∠B=60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于________ ．答案：130°解析：根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和可得．解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A=70°，∠B=60°，∴∠ACD=∠A+∠B=70°+60°=130°．故答案为；130°．小提示：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11、如图，如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=________．答案：540°解析：连接BC、AD．根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和是180°进行分析求解．解：如图，连接BC、AD．在四边形BCEG中，得∠E+∠G+∠ECB+∠GBC=360°，又因为∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠F=180°，∠4+∠5+∠3+∠6=∠CAF+∠BDF，即∠1+∠2+∠5+∠6=∠CAF+∠BDF，所以∠CAF+∠B+∠C+∠BDF+∠E+∠F+∠G=540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．所以答案是：540°．小提示：本题考查了四边形内角和定理以及三角形内角和定理，解题的关键是能够巧妙构造四边形，根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理进行求解．12、若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于________．答案：75°解析：根据三角形内角和定理计算即可．解：∵另一个锐角为15°，∴另一个锐角为180°-90°-15°=75°，所以答案是：75°．小提示：本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余．13、如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________．答案：180°解析：解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3∠EFD=180°-∠EFC∴∠1+∠3—∠2=180°所以答案是：180°解答题14、（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C ＞∠B ，其他条件不变，请你求出∠EAD 与∠B 、∠C 之间的数列关系？并说明理由．答案：（1）20°；（2）∠EAD=12∠C ﹣12∠B ．理由见解析. 解析：（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC ，求出∠CAE ，根据三角形内角和定理求出∠CAD ，代入∠EAD=∠CAE-∠CAD 求出即可；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC ，求出∠CAE ，根据三角形内角和定理求出∠CAD ，代入∠EAD=∠CAE-∠CAD 求出即可．（1）∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE=12∠BAC=30°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，∵∠C=80°，∴∠CAD=90°-∠C=10°，∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=30°-10°=20°；（2）∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE=12∠BAC=12（180°-∠B-∠C ）， ∵AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C ，∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=12（180°-∠B-∠C ）-（90°-∠C ）=12∠C-12∠B ．小提示：本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质的应用，解此题的关键是求出∠CAE 和∠CAD 的度数.15、如图，矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，点P 从点A 沿边AB 以1cm/s 的速度向点B 移动，同时点Q 从点B 沿边BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，当P 、Q 两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当ΔDPQ 的面积比ΔPBQ 的面积大19.5cm 2时，求点P 运动的时间．答案：当ΔDPQ 的面积比ΔPBQ 的面积大19.5cm 2时，点P 经过了12秒．解析：设运动时间为x 秒，根据题意，列方程求解即可．解：设当ΔDPQ 的面积比ΔPBQ 的面积大19.5cm 2时，点P 运动了x 秒．根据题意得：12×8×x +12×2x(6−x)+12×6(8−2x)+[12×2x(6−x)+19.5]=6×8，化简得：2x 2−10x +92=0，解得：x1=12，x2=92∵当x2=92时，8−2x=−1<0，∴x2=92舍去．答：当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，点P经过了12秒．小提示：此题考查了一元二次方程的应用，涉及了三角形面积的计算，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．。

八年级数学上册《直角三角形的性质》课件

测量角度
通过测量直角三角形中的两个锐角，可以计算出第三个角的大小，从而解决一些测量问题。
建筑设计中直角三角形应用
建筑设计
01
在建筑设计中，直角三角形常被用于计算建筑物的角度、高度
和距离等参数，以确保建筑物的稳定性和美观性。
结构工程
02
在结构工程中，直角三角形可以帮助工程师计算结构的支撑力
、承载力和稳定性等关键参数。
AA相似条件在直角三角形中应用
AA相似条件：如果两个三角形中有两个角分别相等，则这两个三角形相似。
在直角三角形中，由于一个角是90度，因此只需要再证明一个角相等即可判定两个直角三角形相似。
常见的证明方法包括利用余角相等、利用平行线的性质等。
利用三边比例关系判断相似
三边比例关系：如果两个三角形的三边长度成比例，则这两个三角形相似。
在直角三角形中，可以利用勾股定理和已知边长求出未知边长，进而判断三边是否成比例。
需要注意的是，由于直角三角形的特殊性，有时候只需要证明两边成比例即可判定相似。
实例分析与解题技巧
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利用AA相似条件和三边比例关系判断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问题和技巧，如正确运用勾股定理、灵活运用相似条件等。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
勾股数
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²，其中a、b为直角边，c为斜边。
满足勾股定理的三个正整数，称为勾股数。例如，3、4、5是一组勾股数，因为3² + 4² = 5²。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为最长边。

八年级数学第1章直角三角形 1.1 直角三角形的性质与判定(ⅰ)(第1课时)

∠A=90°-∠B，
④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有
_____①__②__③__(填序号).
世纪金榜导学号
第十七页，共三十四页。
知识点二直角三角形斜边上中线(zhōngxiàn)的性质 (P3探究拓展)
第十八页，共三十四页。
【典例2】如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°， ∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，求∠AFB 度数(dù shu). 世纪金榜导学号
)
C
A.75° B.65° C.55° D.45°
第七页，共三十四页。
2.具备下列条件(tiáojiàn)的△ABC中，不是直角三角形的是 ( D) A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
第八页，共三十四页。
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C
第九页，共三十四页。
3.(2019·睢宁县期中(qī zhōnɡ))已知一个直角三角形的斜边长为12，则其斜边上的中线长为_____6_.
第十页，共三十四页。
知识点一直角三角形两锐角(ruìjiǎo)的关系及应用 (P2议一议拓展)
第十一页，共三十四页。
【典例1】如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD是高. (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)∠1和∠A有什么(shén me)关系？∠2和∠A呢？还有哪些
锐角相等？
第二十五页，共三十四页。
【火眼金睛】如图，△ABC为等腰直角三角形，AD为斜边BC上的高，E，F分别(fēnbié)为AB和AC的中点，试判断DE和DF的关系.
第二十六页，共三十四页。
第二十七页，共三十四页。

浙教版数学八年级上册2.6《直角三角形》说课稿(1)

浙教版数学八年级上册2.6《直角三角形》说课稿（1）一. 教材分析《直角三角形》是浙教版数学八年级上册第二章第六节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角形和钝角三角形的基础上，进一步引导学生研究直角三角形的性质。

通过本节的学习，使学生了解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质，能够运用直角三角形的性质解决一些实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了三角形的分类，对锐角三角形和钝角三角形有了初步的认识。

但学生对直角三角形的理解可能还停留在直观的层面，需要通过本节课的学习，使学生从几何的角度去理解直角三角形的性质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质，能够运用直角三角形的性质解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极参与数学探究活动的态度。

四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质。

2.教学难点：直角三角形的性质的推导和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等软件辅助教学。

六. 说教学过程1.导入：通过一个生活中的实例，如测量楼房的高度，引出直角三角形的问题，激发学生的兴趣。

2.新课导入：介绍直角三角形的定义，引导学生观察和思考直角三角形的性质。

3.学生活动：学生分组合作，利用几何画板等软件探究直角三角形的性质。

4.教师讲解：讲解直角三角形的性质，引导学生进行推理和证明。

5.巩固练习：学生进行一些相关的练习题，加深对直角三角形性质的理解。

6.总结：对本节课的内容进行总结，强调直角三角形性质的重要性。

7.布置作业：布置一些有关的作业，巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出直角三角形的性质。

可以设计一些图示，如直角三角形的定义图，直角三角形性质的图示等。

湘教版数学八年级下册_《直角三角形的性质和判定》要点及典例分析

直角三角形的性质和判定
一、知识要点解析:
1.直角三角形的判定:
(1)定义:有一个角是直角的三角形是直角三角形.
(2)定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.当然后面学了勾股定理后还可以运用勾股定理的逆定理进行判定.
注意:判定直角三角形要灵活运用定义和定理,根据具体题目具体分析.
2.直角三角形的性质:
(1)直角三角形的两个锐角互余。

（2）在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
二.典例分析
例1、在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点. 如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请证明△OMN是直角三角形.
分析:要证明△OMN是直角三角形,只要证明∠MON=900即可.
证明：连接OA。

AN=BM，OA=OB，∠OAC=∠B=45°
△OAN≌△OBM,得ON=OM，∠AON=∠BOM
又∠AOM+∠BOM=90°
所以∠AON+∠AOM=90°,即∠MON=90°.
所以△OMN是直角三角形.
专项练习：
1、若一个三角形三内角之比为1:2:3,则该三角形一定是( )
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定
2、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边上的中线的长是（）
A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
参考答案:
1.B
2.A。

八年级数学上第二章《直角三角形》

第7讲直角三角形（）一、知识要点1、直角三角形的性质（1）两锐角互余.（2）斜边上的中线等于斜边的一半.（3）30°的角所对的直角边等于斜边的一半.（4）ab=ch（a，b，c分别是直角三角形的三边，h为斜边上的高）（5）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则∠ACD=∠B，∠DCB=∠A 2、直角三角形的判定（1）两锐角互余的三角形.（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半.（3）如图，AD是△ABC的高，且∠DAC=∠B.（4）证明一个三角形与另一个直角三角形全等.二、例题精选例1.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AF平分∠BAC，分别交CD，BC于点E，F.求证：∠CEF=∠CFE例2.如图，已知AD是△ABC的高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于点G，求证：（1）点G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE.例3、如图，AB，CD交于点E，AD=AE，CB=CE，点F，G，H分别是DE，BE，AC的中点.求证：FH=GH.CACAE F例1AEGB D C例2DA H CBFGE例3例4.如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， D 是AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别与直线AC ，BC 交于E ，F. （1）当点E ，F 分别在AC ，BC 上时（如图1），求证：ABC CEF DEF S S S ∆∆∆=+21；（2）当点E ，F 分别在AC ，CB 延长线上时（如图2），则（1）结论是否还成立？请说明理由.例5.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分 ∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 交于点F ，H 是边BC 的中点，连接DH ，与BE 交于点G.（1）求证：CE=21BF ；（2）CE 与BG 的大小关系如何？试说明理由.例6.已知P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与点A ，B分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，点Q 是斜边AB 的中点.（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，试写出QE ，QF 的数量关系和BF ，AE 的位置关系：；（2）如图2，当点P 在线段AB 上但不与点Q 重合时，试判断QE ，QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）延长线上时，此时（中的结论是否仍成立？请画出图形给予证明.ADEC F B例4图1ADEC B F 例4图2A GDF E B H C 例5 B例7.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以2cm/s 的速度向终点B 运动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 方向以1cm/s 的速度向终点C 运动.问△PQC 成为以QC 为底边的等腰三角形时候，则运动时间t 的值为多少？例8.已知，如图点D 是线段AB 上一点（不与点A ，B 重合），CD ⊥AB 于D ，且CD=AB ，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，且AE=BD ，BF=AD.（1）如图1，当点D 是线段AB 的中点时，试判断∠ACE 与 ∠BCF 的数量关系，并给予证明；（2）如图2，当点D 不是线段AB 的中点时，（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明.C AD BE 图2 C A D B E 图1F 例7学生练习一．选择题（共12小题）1．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 2．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，则下列各图中的直角三角形与Rt △ABC 全等的是（） 3．如图，△ABC 中，∠C=45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD=DB=DE ，AE=1，则AC 的长为（）A.5 B. 2 C. 3 D. 24．如图，BD 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，D 为垂足，∠C=55°，则∠ABC 的度数是（） A. 35° B. 55° C.60° D. 70°5．已知如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ⊥DE ，CD=ED ，AD=2，BC=3，则△ADE 的面积为（） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定6．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥CE 于D ，AE=5cm ，BD=2cm ，则DE 的长是（） A. 8 B. 5 C. 3 D. 27．如图所示，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，作PR ⊥AB 于R 点，作PS ⊥AC 于S 点，若AQ=PQ ，PR=PS ，下面三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△CSP ，正确的是（） A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③8．在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=8，点F 是AB 的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，则四边形CDFE 的面积是（） A. 32 B. 16 C. 28 D. 无法确定9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；A. B. C. D. 第3题第4题第5题第6题第7题第8题第9题第10题②DE 长度的最小值为4；③四边形CDFE 的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ①③C. ①③④D. ②③④10．如图，在等腰直角△ACB 中，∠ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE=90°，DE 交OC 于点P ．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；（3）CD+CE=OA ；（4）AD 2+BE 2=2OP •OC ．其中正确的结论有（） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3；…；依次作下去，则第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是（） A.131-n B. n 31 C. 131+n D. 231+n 12．如图，已知∠AOB=45°，A 1、A 2、A 3、…在射线OA 上，B 1、B 2、B 3、…在射线OB 上，且A 1B 1⊥OA ，A 2B 1⊥OA ，…A n B n ⊥OA ； A 2B 2⊥OB ，…，A n+1B n ⊥OB （n=1，2，3，4，5，6…）．若OA 1=1，则A n B n 的长是（） A.n 2 B.()n2 C. n2D. 12-n二．填空题（共8小题） 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF=AC ，则∠ABC= 度．14．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为9，则BE= ． 15．判断题：（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等．16．如图，三角形ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你填加一个适当的条件，使△AEC ≌△CDA ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，则DE= cm ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP= 时，△ABC 和△PQA 全等．第13题第12题第14题第16题第17题第18题第20题第19题第11题 D 2 C 2 D 1 C 119．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．20．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．三．解答题（共5小题）21．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？22．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）连接BE，设DC=a，求BE的长．23．已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．24．（1）两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图1放置，点B，A，D在同一条直线上．那么点C，A，E在同一条直线上；①在图1中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F；②猜想：线段BF，CE的关系，结论是：．（2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2，连接CE，请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．25．同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为．（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为_________，周长为．（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为．（4）在如图3的情况下，AC交MN于D，MK交BC于E，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．直角三角形训练参考答案例1.法一∵∠3=∠1+∠5 ∠4=∠2+∠B∠1=∠2 ∠B=∠5 ∴∠3=∠4 法二：∠1+∠4＝90° ，∠2+∠AED ＝90°∠1=∠2，∴∠3=∠4＝∠AED例2.（1）DE 是Rt △ADB 斜边上中线，∴DE=BE=CD ∵DG ⊥CE ∴G 为CE 中点.（2）由（1）∠B=∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE例3.由等腰三角形得，AF ，CG 为高，又H 为中点，∴HF=HG=21AC例4.（1）ABC DCBCEF DEF S S S S ∆∆∆∆==+21（2）D BFE CD E D BFE D BF D EF S S S S S +=+=∆∆∆ =CEF ABC CEF DCB S S S S ∆∆∆∆+=+21例5.（1）△ADC ≌△BDF∴BF=AC=2CE（2）连接CG ，∵DH ⊥BC ∴BG=CG 》CE例6.（1）平行，相等（2）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ∴FQ=EQ （3）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ ∴FQ=EQ例7.解例8.（1）∴△ACE ≌△BCF ∴∠ACE=∠BCF（2）∵△ABE ≌△BCD ∴BE=BC ∠ABE=∠BCD ∴∠EBC=∠ABE+∠DBC=∠BCD +∠DBC=90°∴△BEC 为等腰直角三角形.同理，△AFC 为等腰直角三角形. ∴∠ACE=45°-∠ECF=∠BCFCA E F例1 1 23 4 5D A H CBF G E 例3ADEC F B例4图1AD E C B F例4图2AEGB D C例2AG DFE B H C 例5A D BE 例8图2学生练习：一．选择题：CADD ACCB CCBD9、①连接CF．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，∵∠AFD+∠CFD=90°∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，故本选项正确；②∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4，∴DE=DF=4，故本选项错误；③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=S△ABC故本选项正确；④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，S△CED=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，故本选项正确；综上所述正确的有①③④．10、（1）错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．10、结论（2）正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP•OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确的结论有3个，11、过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长．12、由题意，可知图中的三角形均为等腰直角三角形，OA1=1，A1B1=A1A2=1，B1A2=B1B2=，A2B2=A2A3=2，B2A3=B2B3=2，A3B3=A3A4=4，…，从中发现规律为A n B n=2A n﹣1B n﹣1，其中A1B1=1，所以A n B n=2n﹣1．二、13、45°14、 3 15、正确；正确；错误；正确；正确.16、CE=AD或∠DAC=∠ECA或∠BAC=∠ACB（正确即可）17、7 18、5或1019、连接AP在Rt△ASP和Rt△ARP中PR=PS，PA=PA所以Rt△ASP≌Rt△ARP所以①AS=AR正确因为AQ=PQ所以∠QAP=∠QPA又因为Rt△ASP≌Rt△ARP所以∠PAR=∠PAQ于是∠RAP=∠QPA所以②PQ∥AR正确③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故填①②20、①②④∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD∴①∠ABE=∠BAD 正确∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°∴∠1=∠CAD又∠E=∠ACB=90°，AC=BC∴②△CEB≌△ADC 正确∴CE=AD，BE=CD∴④AD﹣BE=DE．正确而③不能证明，三、21、略22、（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；（2）∵∠CAE=∠CEA=15°，∴AC=CE，∠ACE=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=60°，∵AC=CE，AC=BC，∴CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=AC．如图，在△ACD中，过点D作DM⊥AC于点M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．在Rt△CDM中，∵∠CMD=90°，∠C=45°，DC=a，∴DM=MC=a．在Rt△DMN中，∵∠NMD=90°，∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°，DM=a，∴DN=2DM=a，NM=DM=a．∵∠ADN=∠CAD=15°，∴AN=DN=a，∴AC=AN+NM+MC=a+a+a=a，∴BE=AC=a．23、（1）证明：连接AD∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点∴AD==BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45°在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE=DF，∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90°∴∠ADF+∠ADE=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：四边形AEDF面积不变．理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED∴S△BDE=S△ADF，而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD∴S四边形AEDF不会发生变化．（3）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF=DE，∠ADF=∠BDE∵∠ADF+∠FDB=90°∴∠BDE+∠FDB=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形24、BF⊥CE，BF=CE（1）①画图②结论是：BF⊥CE，BF=CE．（2）如图，①证明BF=CE∵BF为∠ABC的平分线，∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABF=45°∵DF⊥BF∴∠F=90°∵点B，A，D在同一条直线上，△BFD为直角三角形∴cos∠FBD=∴BF=又∵Rt△ABC≌Rt△EDA∴BC=AD，BA=DE设BC=AD=a，BA=DE=b∴BD=a+b∴BF=过E作EH∥BD交CB的延长线于H∵∠CBA=90°，∠ADE=90°∴∠CBA=∠ADE∴CH∥DE∴四边形BHED为矩形∴BH=DE=b，HE=BD=a+b∴CH=a+b∴△HCE等腰直角三角形由勾股定理，得CE=∴BF=CE②证明BF⊥CE∵Rt△CHE是等腰直角三角形∴∠HCE=∠HEC=45°∵∠FBC=45°∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°∴BF⊥CE∴BF⊥CE，BF=CE仍然成立25、（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB===4，∵M是AB的中点，∴AM=2，∵∠ACM=45°，∴AM=MC，∴重叠部分的面积是=4，∴周长为：AM+MC+AC=2+2+4=；（2）∵叠部分是正方形，∴边长为×4=2，面积为2×2=4，周长为2×4=8．（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a，∴MH=BC，MG=AC，∴MH=MG，又∵∠NMK=∠HMG=90°，∴∠NMH+∠HMK=90°，∠GME+∠HMK=90°，∴∠HMD=∠GME，在△MHD和△MGE中，∵，∴△MHD≌△MGE（ASA），∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积，∵正方形CGMH的面积是MG•MH=2×2=4；∴阴影部分的面积是4；（4）过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，∴四边形MGCH是矩形，∴MH=CG，∵∠A=45°，∴∠AMH=45°，∴AH=MH，∴AH=CG，在Rt△DHM和Rt△EGM中，，∴Rt△DHM≌Rt△EGM．∴GE=DH，∴AH﹣DH=CG﹣GE，∴CE=AD，∵AD=1，∴DH=1，CE=1，CD=4﹣1=3，∴DM=∴四边形DMEC的周长为：CE+CD+DM+ME=1+3++=4．故答案为：4，，4，8，4。

湘教版八年级数学下册课件《直角三角形》小结与复习(1)

5. 直角三角形_两__直__角__边__的平方和等于__斜__边___的平
方。如果用字母a，b和c分别表示直角三角形的两条
直角边和斜边，那么__a_2__+ ___b2__=___c2__。
6.如果三角形中_两__边_的平方和等于第三边边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大边所对的角是直角。
逆时针旋转90°而得，连结DE，可得：
E
∠DAE=90°，CE=BD
在Rt∆DEC中，CE2+CD2=DE2 B
D
C
∴ BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2
又∵∠DCE=90° AE=AD， ∴ 在Rt∆ADE中，AD2+AE2=DE2=2AD2
∴ BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2=2AD2
分析：要证OD=OC，就只要证∠1=∠2
只要证明Rt∆BDC≌Rt∆ACD，条件满足吗？
A
B
O
证明: ∵ DA⊥AC DB⊥BC ∴∠A=∠B=900
D1
2
C
又∵ AC=BD ，CD=DC ∴ ∆ACD≌∆BDC （HL）
∴ ∠BDC= ∠ACD（全等三角形的对应角相等）
∴ OD=OC（等角对等边）
即：(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0 ∴ a=3，b=4，c=5 ∵ 32+42=52
∴ △ABC是直角三角形。作业：p28 A 1、6、7
定
勾股定理逆定理
3、直角三角形中300角所对的边的大小性质及逆定理。
4.直角三角形勾股定理的内容： A
∵△ABC为直角三角形． ∴a2＋b2＝c2 .
bc C aB

八年级数学上册 17.2《直角三角形》课件

D
C
A
E
B
第三十页，共三十四页。
3、在△ ABC中， ∠ACB=900，CD是
边AB上的高，∠A=300
求证(qiúzhèng)：—B14D=
AB
A
C
D
B
第三十一页，共三十四页。
小结(xiǎojié)
• 直角三角形的性质(xìngzhì)
１．直角三角形的两个(liǎnɡ ɡè)锐角互余．
2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
又∵∠A+∠B=90°（直角三角形的两锐角(ruìjiǎo)互）余 ∠1+∠2=90° ∴ ∠2= ∠B
于是(yúshì)得 B D' =C D' ( 等角对等边
)
1 故得 B D' =A D' =C D' = 2 AB
所以D是斜边AB上的中点，即C D'是斜边AB上的中线，从而C D'与CD重合，并有CD= A1B
2
第八页，共三十四页。
1.阅读课本148页的“发现”的证明过程。
2.通过(tōngguò)阅读你有什么发现？
直角三角形的性质(xìngzhì)定理：
1 2
在直角三角形12 中，斜边上的中线(zhōngxiàn)等于斜边的一半
∵CD是直角三角形ABC斜边上的中线
∴CD= A12 B
第九页，共三十四页。
Ｄ
=900，所以(suǒyǐ)∠C =900，于
是△ABC是直角三角形。
Ｂ
Ｃ
1.判定(pàndìng)定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
第二十三页，共三十四页。
观察思考(sīkǎo)，总结规律．

八年级数学上册直角三角形知识点总结

八年级数学上册直角三角形知识点总结
直角三角形是初中数学中的重要内容，下面是八年级数学上册直角三角形的知识点总结：
1. 三角函数
- 正弦函数：sin(A) = 对边/斜边
- 余弦函数：cos(A) = 邻边/斜边
- 正切函数：tan(A) = 对边/邻边
2. 特殊直角三角形
- 等腰直角三角形：两条直角边相等
- 30度-60度-90度特殊直角三角形：长边：短边：斜边 = 1：√3：2
- 45度-45度-90度特殊直角三角形：两条直角边相等，斜边等于直角边的√2倍
3. 定义和性质
- 直角三角形的定义：一个角为直角（90度）
- 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方（勾股定理）
4. 三角形的解题方法
- 已知两边求第三边：利用勾股定理求第三边的长度
- 已知一个角和一边求其他边：利用三角函数计算其他边的长度
- 解决实际问题：将实际问题转化为数学问题，利用三角函数解题
这些是八年级数学上册直角三角形的主要知识点总结，请认真研究，掌握这些内容，将有助于你在数学研究中的进一步理解和应用。

第14课直角三角形全等的判定(学生版)八年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破(浙教版)

第14课直角三角形全等的判定目标导航学习目标1.掌握两个直角三角形全等的判定定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.3.探索并证明定理:角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.知识精讲知识点01 直角三角形全等的判定1.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.直角三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL知识点02 角平分线性质定理的逆定理角平分线的性质定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上能力拓展考点01 直角三角形全等的判定【典例1】如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF．求证：AB＝AC．【即学即练1】如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点A在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．考点02 角平分线性质定理的逆定理【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE＝BC．求证：AB平分∠EAD．【即学即练2】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝16，DE＝4，求△ADC的面积．分层提分题组A 基础过关练1．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA2．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．AD＝BD3．如图，已知AB＝DC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，有下列条件，其中，选择一个就可以判断Rt △ABE≌Rt△DCF的是（）①∠B＝∠C ②AB∥CD ③BE＝CF ④AF＝DEA．①②B．①②③C．①③④D．①②③④4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE＝6cm，AD ＝9cm，则BE的长是（）A．6cm cm C．3cm cm5．在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，有如下几个条件：①AC＝A'C'，∠A＝∠A'；②AC＝A'C'，AB＝A'B'；③AC＝A'C'，BC＝B'C'；④AB＝A'B'，∠A＝∠A'．其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'“的条件的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是（不添加字母和辅助线）．7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分△BAC交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥AB 交AB于点F．若BF＝BE，AC＝4，DF＝3．则AE的长为．8．如图，在△ABC中，D是BC上一点，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，且DE＝DF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE长．9．已知：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D、F分别在边CB和AC上，DE⊥AB，垂足为E，且BD＝DF，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）当∠CAB＝40°时，求∠FDC的度数．题组B 能力提升练10．下列说法正确的有（）①两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．411．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE ＝4，则CH的长是（）A．1 B．2 C．3 D．413．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点（不与O重合），过P分别向角的两边作垂线PD、PE，垂足是D、E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有（）A．3对B．2对C．1对D．没有14．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，则BE＝．15．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，EF＝8，BG＝4，DH＝6，计算图中阴影部分的面积S＝．16.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．17.如图所示，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD．（2）写出DM与AM的位置关系，并说明理由．（3）线段CD，AB，AD间有怎样的数量关系？18.如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，延长BC，DE交于点M．（1）求证：点A在∠M的平分线上；（2）若AC∥DM，AB＝12，BM＝18，求BC的长．题组C 培优拔尖练19.两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等．则：①若斜边上的高对应相等．那么这两个直角三角形全等；②若直角的平分线相等，那么这两个直角三角形全等；③若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等；④两个直角三角形都有一个锐角是30°，那么这两个直角三角形全等．其中正确命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个20．如图，△BDC为等腰直角三角形，延长BD至A，连接AC，作∠ABC的角平分线BE交DC于F，且BE⊥AC于E．若AE＝12，△ABC的面积为360，则EF的长度为（）A．6 B．7 C．8 D．921．如图，已知点C是∠F AE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，点E，F为垂足，点B在AE的延长线上，点D在AF上，若AB＝20，AD＝8，BC＝DC，则AE的长为（）A．14 B．15 C．16 D．1722．已知∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥NM，BE⊥NM，垂足分别为点D，E．（1）如图①，求证：AD＝BE+DE；（2）如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由．23.如图，在△ABC中，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，延长BD，CE相交于点F，BF＝AC＝．（1）求证：△BEF≌△CEA；（2）若CE＝2，求BD的长．24.如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）求证：BM＝CN；（2）若AB＝8，AC＝4，求BM的长．25.（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABDC中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB 于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．。

八年级数学三角形基础知识点归纳总结

八年级数学三角形基础知识点归纳总结单选题1、用直角三角板作△ABC的边AB上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是（）A．B．C．D．答案：D解析：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高线的定义即可得出结论．解：A、作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；B、作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项正确；C、不能作出△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；D、作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；故选D．小提示：本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．2、已知一个多边形的内角和与外角和的和为2160°，这个多边形的边数为（）A．9B．10C．11D．12答案：D解析：依题意，多边形的外角和为360°，该多边形的内角和与外角和的总和为2160°，故内角和为1800°．根据多边形的内角和公式易求解．解：该多边形的外角和为360°，故内角和为2160°-360°=1800°，故（n-2）•180°=1800°，解得n=12．故选：D．小提示：本题考查的是多边形内角与外角的相关知识，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．3、如图，三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B解析：根据三角形的定义可直接进行解答．解：由图可得：三角形有：△ABC、△ABD、△ADC，所以三角形的个数为3个；故选B．小提示：本题主要考查三角形的概念，正确理解三角形的概念是解题的关键．4、如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．13答案：C解析：设多边形的边数为n，根据多边形外角和与内角和列式计算即可；解：设多边形的边数为n，根据题意可得：(n−2)×180=360×5，化简得：n−2=10，解得：n=12；故选：C．小提示：本题主要考查了多边形的内角和与外角和，结合一元一次方程求解是解题的关键．5、下列图形为正多边形的是（）A．B．C．D．答案：D解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．根据正多边形的定义，得到D中图形是正五边形．故选D．小提示：本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．6、如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．13答案：C解析：设多边形的边数为n，根据多边形外角和与内角和列式计算即可；解：设多边形的边数为n，根据题意可得：(n−2)×180=360×5，化简得：n−2=10，解得：n=12；故选：C．小提示：本题主要考查了多边形的内角和与外角和，结合一元一次方程求解是解题的关键．7、如图，AE是△ABC的中线，已知EC=4，DE=2，则BD的长为()A．2B．3C．4D．6答案：A解析：试题解析：∵AE是△ABC的中线，EC=4，∴BE=EC=4，∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2．故选A．8、如图，AE是△ABC的中线，已知EC=4，DE=2，则BD的长为()A．2B．3C．4D．6答案：A解析：试题解析：∵AE是△ABC的中线，EC=4，∴BE=EC=4，∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2．故选A．填空题9、如果三角形的三条边长分别为2、x、6，那么x的取值范围是______．答案：4<x<8解析：根据三角形的三边关系列出不等式组，解不等式组即可求解解：根据题意得：6−2<x<6+2，即4<x<8．所以答案是：4<x<8．小提示：考查了三角形三边关系，本题需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．10、如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC=3∠B=117°，∠C=∠D，则∠BED=________．答案：102°解析：首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数．解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，∴∠B＝39°，设∠C＝∠D＝x°，39＋x＋x＝117，解得：x＝39，∴∠D＝39°，∴∠BED＝180°−39°−39°＝102°．所以答案是：102°．小提示：此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11、如图，将三角尺ABC和三角尺DFF (其中∠A＝∠E＝90°，∠C＝60°，∠F＝45°)摆放在一起，使得点A、D、B、E在同一条直线上，BC交DF于点M，那么∠CMF度数等于_____．答案：105°解析：利用直角三角形的两个锐角互余求得∠ABC与∠FDE的度数，然后在△MDB中，利用三角形内角和定理求得∠DMB，再依据对顶角相等即可求解．解：∵∠ABC＝90°−∠C＝90°−60°＝30°，∠FDE＝90°−∠F＝90°−45°＝45°，∴∠DMB＝180°−∠ABC−∠FDE＝180°−30°−45°＝105°，∴∠CMF＝∠DMB＝105°．所以答案是：105°．小提示：本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形的内角和定理以及对顶角的性质，正确求得∠DMB的度数是关键．12、如果一个多边形的边数恰好是从—个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为__________．答案：6解析：设此多边形有n条边，则一个顶点可以引出(n－3)条对角线，根据题意得n＝2(n－3)，解的n=6.设此多边形有n条边，根据题意得:n＝2(n－3)，解得n=6.故答案为6.13、如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________．答案：180°解析：解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3∠EFD=180°-∠EFC∴∠1+∠3—∠2=180°所以答案是：180°解答题14、如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？答案：他们在求九边形的内角和；少加的那个内角为120度．解析：根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．解：1140°÷180°＝6…60°，则边数是：6+1+2＝9；他们在求九边形的内角和；180°﹣60°＝120°，少加的那个内角为120度．小提示：本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．15、如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A沿边AB以1cm/s的速度向点B移动，同时点Q从点B沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当P、Q两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，求点P运动的时间．答案：当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，点P经过了12秒．解析：设运动时间为x秒，根据题意，列方程求解即可．解：设当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，点P运动了x秒．根据题意得：12×8×x+12×2x(6−x)+12×6(8−2x)+[12×2x(6−x)+19.5]=6×8，化简得：2x2−10x+92=0，解得：x1=12，x2=92∵当x2=92时，8−2x=−1<0，∴x2=92舍去．答：当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，点P经过了12秒．小提示：此题考查了一元二次方程的应用，涉及了三角形面积的计算，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．。

八年级数学常考点精练(苏科版)：专题16 直角三角形斜边上的中线(解析版)

专题16直角三角形斜边上的中线知识点一直角三角形斜边上的中线性质1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____．【答案】一半【解析】【详解】试题解析：根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得解.故答案为一半．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，若AB＝10，则CD的长等于_____．【答案】5【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝12AB，∵AB＝10，∴CD＝12×10＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．3．如图，在Rt ABC△中，斜边AB上的中线5CD ，则AB ________．【答案】10【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线性质得出AB =2CD ，代入求出即可．【详解】解：∵CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的中线，CD =5，∴AB =2CD =10，故答案为：10．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4．如图， ABC 中，90ACB ，CD 是AB 边上的中线，且12CD AB ，则AB 的长为______．【答案】8【解析】【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】解：∵∠ACB =90°，D 是AB 边的中点，12CD AB ，∵12CD AB 8AB 故答案为：8．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．5．若直角三角形斜边上的高是4cm ，斜边上的中线是5m ，则这个直角三角形的面积是_____．【答案】20m 2【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是5m∴斜边长为10m∵直角三角形斜边上的高是4m ∴这个直角三角形的面积＝12×10×4＝20m 2故答案为20m 2【点睛】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ，点D 是AC 上一点，连接BD ，P 点是BD 的中点，若D A BA ，8AD ，则CP 的长为（）．A ．8B ．4C ．16D ．6【答案】B【解析】【分析】由题意推出BD ＝AD ，然后在Rt △BCD 中，CP ＝12BD ，即可推出CP 的长度．【详解】∵D A BA ，∴BD ＝AD=8，∵P 点是BD 的中点，90ACB∴CP ＝12BD ＝4，故选：B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出BD ＝AD ，求出BD 的长度．7．如图，AD 是ABC 的角平分线，点E 为AC 的中点，连结DE ．若10AB AC ，8BC ，则CDE △的周长为（）A ．20B ．12C ．14D ．13【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，CD=BD ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=12AC ，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【详解】解：∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，BC=8，∴AD ⊥BC ，CD=BD=12BC=4，∵点E 为AC 的中点，∴DE=CE=12AC=5，∴△CDE 的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．知识点二斜边上中线分割直角三角形成两个等腰三角形8．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若∠A ＝26°，则∠BDC 的度数是（）A ．26°B ．38°C ．42°D ．52°【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．【详解】解：∵∠ACB＝90 ，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝26 ，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26 +26 ＝52 ．故选：D．【点睛】本题考查了对三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD＝CD＝AD和∠DCA的度数是解此题的关键．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝_____．【答案】50°【解析】【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠A＝50°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝AD，则等边对等角，即∠ACD＝∠A＝50°．【详解】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，∴∠A＝50°．∵D为线段AB的中点，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝50°．故答案是：50°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若BC＝BD，则∠A＝_____度．【答案】30【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝BD，再由BC＝BD，可得CD＝BC＝BD，可得△BCD是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD，∵BC＝BD，∴CD＝BC＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°．故答案为30．【点睛】考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是证明△BCD是等边三角形．11．如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝56°，D是AB的中点，则∠ACD＝_____°．【答案】34°．【解析】【分析】由∠ACB＝90°，D是AB的中点，可得出CD＝BD＝AD，结合∠B的度数可得出∠BCD的度数，再由∠ACD和∠BCD互余可求出∠ACD的度数．【详解】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD＝AD＝12AB，∴∠BCD＝∠B＝56°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣56°＝34°．故答案为34°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质，牢记“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B＝50°，则∠ACB′＝______.【答案】10°【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据直角三角形的性质分别求出∠BCD、∠DCA的度数，根据翻折变换的性质求出∠B′CD的度数，计算即可．【详解】∵∠ACB=90 ,∠B=50 ，∴∠A=40 ，∵∠ACB=90 ，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50 ,∠DCA=∠A=40 ，由翻折变换的性质可知,∠B′CD=∠BCD=50 ，∴∠ACB′=∠B′CD−∠DCA=10 ，故答案为10 .【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线.知识点三斜边上的中线应用13．如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为5km ，则M ，C 两点间的距离为（）A ．2kmB ．2.5kmC ．3kmD ．4km【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直接可以得出答案．【详解】∵AC ，BC 互相垂直，ABC 是直角三角形，M ∵是AB 的中点， 1 2.52CM AB ，故选B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出12CM AB 是解此题的关键．14．如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，在墙角（点O 处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（AB ）正中间（点P 处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子A 端沿墙下滑，且梯子B 端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离（）A ．不变B ．变小C ．变大D ．无法判断【解析】【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可解答．【详解】如图，连接OP ，由题意可知：点P 为AB 的中点，∠AOB =90 ，在Rt AOB 中，12OP AB ，若梯子A 端沿墙下滑，且梯子B 端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，OP 始终等于AB 的一半，故OP 的长不变，即猫与老鼠的距离不变．故选：A【点睛】本题主要考查了直角三角形形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形形斜边中线的性质，并会利用数学建模思想．知识点四共斜边的两个直角三角形的斜边上的中线相等15．如图，四边形ABCD 中，90ACB ADB ，取AB 中点E ，连接DE ，CE ，CD ，则EDC △为______三角形．【答案】等腰【解析】【分析】根据题意结合直角三角形中“斜中半”定理即可推出结论．由题ABC ADB，均为直角三角形，且都以AB为斜边，∵E为AB的中点，∴1122CE AB DE AB CE DE，，，即：EDC为等腰三角形，故答案为：等腰．【点睛】本题考查直角三角形中“斜中半”定理，理解并灵活运用定理是解题关键．16．如图，点C为线段AB的中点，90AMB ANB，则CMN△是_______________三角形．【答案】等腰【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.【详解】∵90AMB ANB∴在Rt△ABM中，C是斜边AB上的中点，∴MC=12AB，同理在Rt△ABN中，CN=12AB，∴MC=CN∴CMN△是等腰三角形，故答案为：等腰.【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.三、解答题(共0分)17．如图所示，在△ABC中，CD是AB上的中线，且DA＝DB＝DC．（1）已知∠A＝30°，求∠ACB的度数；（2）已知∠A＝40°，求∠ACB的度数；（3）已知∠A＝x°，求∠ACB的度数；（4）请你根据解题结果归纳出一个结论．【答案】（1）90°；（2）90°；（3）90°；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°．【解析】【分析】（1）（2）（3）利用等腰三角形及三角形内角和定理即可求出答案；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°．【详解】解：（1）∵在△ABC中，CD是AB上的中线，且DA＝DC，∠A＝30°∴∠ACD＝30°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝60°∵DB＝CD∴∠DCB＝∠B＝60°∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝30°+60°＝90°；（2）若∠A＝40°，同（1），可知∠ACD＝40°，∠CDB＝40°+40°＝80°∠DCB＝12（180°﹣∠CDB）＝12（180°﹣80°）＝50°∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝40°+50°＝90°；（3）若∠A＝x°，同（1），可知∠ACD＝x°，∠CDB＝x°+x°＝2x°∠DCB＝12（180°﹣∠CDB）＝12（180°﹣2x°）＝90°﹣x°，故∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝x°+90°﹣x°＝90°；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°．【点睛】此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知直线三角形斜边上的中线的性质.18．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【答案】（1）见解析，（2）40°【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明EM=FM即可；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BMF，∠CME，然后根据平角等于180°列式计算即可求出∠EMF．【详解】（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM＝12BC，FM＝12BC，∴BM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）∵BM＝FM，∠ABC＝50°，∴∠MBF＝∠MFB＝50°，∴∠BMF＝180°﹣2×50°＝80°，∵CM＝EM，∠ACB＝60°，∴∠MCE＝∠MEC＝60°，∴∠CME＝180°﹣2×60°＝60°，∴∠EMF＝180°﹣∠BMF﹣∠CME＝40°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．19．如图，已知ABC 的高BD CE 、相交于点O M N ，、分别是BC AO 、的中点，求证：MN 垂直平分DE ．(括号中需写本学期新学理由)【答案】见解析【解析】【分析】联结EN DN EM DM 、、、,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得EN DN EM DM ，，进而判断M N 、在线段DE 的垂直平分线上，即可证明MN 垂直平分DE【详解】证明：联结EN DN EM DM 、、、,∵BD AC ,CE AB ,∴90AEC ADB BEC BDC ,∵M N 、是BC AO 、的中点,∴1111,,,2222EN AO DN AO EM BC DM BC (直角三角形斜边中线等于斜边一半),∴EN DN EM DM ，,∴M N 、在线段DE 的垂直平分线上(垂直平分线的逆定理),∴MN 垂直平分DE .【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，掌握以上性质定理是解题的关键．。

数学人教版八年级上册《第三节直角三角形的性质》

数学人教版八年级上册《第三节直角三角形的性质》直角三角形是初中数学中比较重要的概念之一，它具有一些独特的性质。

本文将介绍《数学人教版八年级上册》第三节《直角三角形的性质》，包括直角三角形的定义、勾股定理、特殊的直角三角形以及与直角三角形相关的一些例题和应用。

通过学习本节内容，读者将能够更好地理解和运用直角三角形的性质。

直角三角形是指一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，有一个特殊的定理，被称为勾股定理。

勾股定理表明，在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。

例如，在一个直角三角形中，较短的直角边为3，较长的直角边为4，那么斜边的长度可以通过勾股定理计算得出，即斜边的长度为5。

勾股定理是直角三角形的重要性质，我们可以通过它解决一些实际问题，比如测量不可直接测量的距离或确定物体之间的距离和角度关系。

除了勾股定理，直角三角形还有一些特殊的性质。

我们先来看一下等腰直角三角形。

等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。

在等腰直角三角形中，斜边的长度可以通过直角边的长度计算得出，即斜边长度为直角边长度的平方根乘以2。

比如，如果等腰直角三角形的直角边长为3，那么斜边的长度可以通过计算√3^2+3^2得出，即斜边的长度为3√2。

另一个特殊的直角三角形是45度角三角形。

45度角三角形是指一个角为45度的直角三角形。

在45度角三角形中，两条直角边长度相等，即两条直角边的长度均为斜边长度的平方根。

比如，如果45度角三角形的斜边长度为2，那么两条直角边的长度也为2的平方根。

45度角三角形经常在实际问题中出现，比如在建筑和几何图形设计中的应用。

了解了直角三角形的基本性质和特殊情况后，我们来看一些与直角三角形相关的例题和应用。

通过解答这些问题，我们可以更深入地理解直角三角形的性质。

例如，题目如下：已知一个直角三角形的直角边为3，斜边为5，求另一直角边的长度。

解答：根据勾股定理，直角边的长度可以通过计算√5^2-3^2得出，即直角边的长度为4。

人教版八年级数学上册第十一章直角三角形的性质和判定

(2)如图②，∠B＝∠D＝90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由．
∠A＝∠C.理由：∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠A＋∠AOB＝90°，∠C＋∠COD＝90°. 又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A＝∠C.
你还有其他的方法能解决刚才的问题吗？
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提疑惑：你有什么疑惑？
例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
则下列结论不一定成立的是( B )
A．∠1＋∠2＝90° B．∠3＝60°
C．∠2＝∠3
D．∠1＝∠4
例2：如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=40°，
则∠2的度数是（ D）
A.40°
B.60°
C.70°
D.80°
例3：在直角三角形ABC中，∠A ∶∠B ∶∠C＝2 ∶m ∶4，则m
那么直角三角形的角有什么特殊呢？
如图，MN为树，为了小树的安全起见，在树干的点A处放置柱子，使柱子AB与树干MN的夹角∠BAN=58°.为了保证角度准确，在地面固定点B时，应该使∠ABN的度数是多少？∠CAN与 ∠ACN又满足什么样的数量关系？
我们观察一下中间这两个三角形，有什么特殊？两个锐角的度数有什么关系呢？
本节课我们学习了哪些知识？
（1）直角三角形的性质（2）直角三角形的判定（3）8字模型
【教材习题】完成课本14页练习2 题和16页习题4题. 【作业本作业】
旧知回顾什么是直角三角形？
(有一个角是直角的三角形叫做直角三角形)
在国外，边长之比为3∶4∶5的直角三角形被称为“埃及三角形”.这是因为早在古埃及时，人们就学会了用特质的绳子来构造它，以供生活、生产使用.绳子上要有多个均匀分布的绳结，三个人如图所示抓住对应的绳结拉紧就可以得到直角三角形.

八年级数学《直角三角形》知识点