2020年上海市位育中学高三期中数学试卷及答案(2020.04)
上海市位育高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试题含解析
上海市位育高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数（，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）A. 函数f(x)的最小正周期是2πB. 函数f(x)的图象关于点成中心对称C. 函数f(x)在单调递增D. 将函数f(x)的图象向左平移后得到的关于y轴对称参考答案：C【分析】根据条件求出c的值，结合三角函数的周期关系求出周期，以及对应的对称轴，对称中心，利用三角函数的性质分别进行判断即可．【详解】解：根据函数（，）的部分图象以及圆C 的对称性，可得，两点关于圆心对称，故，则，解得：，函数的周期为，故A错误；∵函数关于点对称，∴函数的对称中心为，则当时，对称中心为，故B不正确；函数的一条对称轴为，在x轴负方向内，接近于y轴的一条对称轴为，由图像可知，函数的单调增区间为，，当时，函数的单调递增区间为，，故C正确；的一条对称轴为，∴函数的图象向左平移个单位后，此时，所得图象关于直线对称，故D错误.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，解决问题的关键是由图象求出函数的性质，再根据图象变换的规则解决问题.2. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B略3. 曲线在点处的切线为．若直线与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为A. B. C.2 D.参考答案：【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6A 解析：∵，∴即，可得A(,0)，B(0, )，∴△OAB的周长，当且仅当时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线的方程，从而求得A 、B的坐标，进而用表示△OAB的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.4. 已知函数f（x）=acosx+xsinx，x∈．当1＜a＜2时，则函数f（x）极值点个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合法；导数的概念及应用．分析：先判定该函数为偶函数，再通过运算得出x=0为函数的一个极值点，最后再判断函数在（0，）有一个极值点．解答：解：∵f（﹣x）=acos（﹣x）+（﹣x）sin（﹣x）=acosx+xsinx=f（x），∴f （x）为偶函数，又∵f'（x）=（1﹣a）sinx+xcosx，且f'（0）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①所以，x=0为函数的一个极值点，而f''（x）=（2﹣a）cosx﹣xsinx，a∈（2，3），则f''（0）=2﹣a＞0，故函数f'（x）在x=0附近是单调递增的，且f'（）=1﹣a＜0，结合①，根据函数零点的判定定理，必存在m∈（0，）使得f'（m）=0成立，显然，此时x=m就是函数f（x）的一个极值点，再根据f（x）为偶函数，所以f（x）在（﹣，0）也必有一个极值点，综合以上分析得，f（x）在共有三个极值，故选C．点评：本题主要考查了函数的极值，以及运用导数研究函数的单调性和函数零点的判定，属于中档题5. 双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略6. “0<x<1”是“log2(x＋1)<1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：7. 函数的大致图象是参考答案：D因为函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,B.函数的导数为，由，得，所以，当，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得极小值，选D.8. 函数的图象A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称参考答案：B略9. 已知点在曲线上，且该曲线在点处的切线与直线垂直，则方程的实数根的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．不确定参考答案：A10. 多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位）A． B．C．D．参考答案：【知识点】三视图求表面积.G2A根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：,所以,所以,,,在三角形ABD 中，，,,所以该几何体的表面积为这四个面的面积和，故选A。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试高三数学理科试题
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试高三数学理科试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}213A x x =-≤，集合{}2B y y x ==，则=B A （ ） A.{}x x ≤1B. {}x x ≤≤01C. {}2x x ≤ D.{}x x ≤≤022．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10081009101010112a a a a +++=，则2018S =（ ） A ．1009B ．1010C ．D ．3. 设函数(){()211log 2,1,2, 1.x x x f x x -+-<=≥ 则((2))f f -= ( )A.2B.4C.8D.164. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”.B ．命题p ：0x R ∃∈，使得0sin x =；命题q ：x R ∀∈，都有sin x x >；则命题p q ∨为真.C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”.D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.5. 已知()21f x x =+，若()()10f x f a =⎰，则a 的值为（ ） A.12- B.32-C.12D.16． 如右图，正六边形ABCDEF 中，AC BD ⋅的值为18，则此正六边形的边长为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．327. 角B A ,是△ABC 的两个内角.下列六个条件中，“B A >”的充分必要条件的个数是 ( )①B A sin sin >； ②B A cos cos <； ③B A tan tan >； ④B A 22sin sin >； ⑤B A 22cos cos <； ⑥B A 22tan tan >. A ． B ． C ． D ．8. “今有垣厚二丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为（ ）A ．4B ．5C. 6D ．79.函数)1ln(25x x x y -++=的图象大致为（ ）ABCD10.已知函数()()212sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调函数，则ω的最大值是（ ） A ．12B ．35C ．23D ．3411. 在ABC ∆中,16,7,cos 5AC BC A ===,O 是ABC ∆的内心,若OP xOA yOB =+,其中01,12x y ≤≤≤≤,动点P 的轨迹所覆盖的面积为( )103D.20312. 已知函数1ln(1)()2x f x x +-=-（x ＞2），若()1kf x x >-恒成立，则整数k的最大值为（ ） A ．2B ．3C. 4 D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)13．已知1,22cos cos sin sin αβαβ+=+=则() cos αβ-=。
位育中学第一学期期中考试高三年级
位育中学第一学期期中考试高三年级数学试卷(理科)一、填空题(每题4分，共计56分)1、已知集合},3,1{m A =，}4,3{=B ，}4,3,2,1{=B A ，则=m __________2、不等式3|2|<-x 的解集是__________3、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x++=22)((b 为常数)，则)2(-f =__________4、已知+∈R y x ,，且满足143=+yx ，则xy 的最大值为__________ 5、对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是__________6、若函数x a x y 2cos 2sin +=的图像关于直线6π-=x 对称，则a =__________7、函数||log )(b x x f a -=(0>a 且1≠a )是偶函数，且在),0(+∞上单调递减，则)3(-a f 与)2(-b f 的大小关系是______________8、定义在R 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧>---≤=0),2()1(0,23sin)(x x f x f x xx f π，则)2010(f 的值为__________ 9、某种商品，若定价为p 元，则每月可卖出n 件，设定价上涨x 成(一成即%10)，卖出数量将减少32x成，为了使售货金额有所增加，则x 的取值范围是__________ 10、无论m 取何值，函数)43sin(2π+=kx y 在区间))(43,32[R m m m ∈++上至少有一个最大值和最小值，则正整数k 的最小值为11、若关于x 的方程x x k =++2有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是__________12、设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有[]2,aa y ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时，a 的取值的集合为13、若关于x 的两个不等式0)(<x f 和0)(<x g 的解集分别为),(b a 和)1,1(ab ，则称这两个不等式为对偶不等式。
2020-2021上海位育初级中学高三数学上期中一模试卷带答案
2020-2021上海位育初级中学高三数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸2．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或5 4．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．165．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．36．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形8．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-9．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．510．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5211．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4012．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．80二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,a b c +==，则ab 为 ．15．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．16．设0,0,25x y x y >>+=______.17．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 18．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题21．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求A ；（2）若3,,2b ac 成等差数列，ABC ∆的面积为23，求a ． 22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？24．已知函数()sin 2(0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．25．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．26．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
上海市2020〖人教版〗高三年级第二学期期中练习数学理 - 副本
上海市2020年〖人教版〗高三年级第二学期期中练习数学（理）一、选择题（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，2{|4}B x x =∈R ≤，则A B =（ ）（A ）[2,)-+∞ （B ）(1,)+∞（C ）(1,2]（D ）(,)-∞+∞【难度】1【考点】集合的运算 【答案】A 【解析】2{|4}{|2}B x x x x =∈=∈-R R ≤≤≤2,1{|}A x x >=∈R所以，{}2A B x R x =∈≥-故选A（2）抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）12【难度】1 【考点】抛物线 【答案】C 【解析】抛物线2=4x y 的焦点为(0,1)，准线方程为：1y =- 又因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为坐标原点到准线的距离 故选C（3）已知向量a 与向量b 的夹角为60︒，1||||==a b ，则-=a b （ ）（A ）3 （B （C ）2（D ）1【难度】1【考点】平面向量的线性运算【答案】D 【解析】2222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅222cos ,a b a b a b =+-⋅⋅<>1=故选D（4）“sin 0α>”是“角α是第一象限的角”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【难度】1【考点】充分条件与必要条件 【答案】B 【解析】 先考察充分性： 当sin 0α>时，取23πα=，则不满足“角α是第一象限的角” 所以，充分性不成立； 再考查必要性：当“角α是第一象限的角”时，由正弦函数的定义知，sin 0α> 所以，必要性成立。
故选B（5）圆1,1x y ⎧=-θ⎪⎨=+θ⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的劣弧长为（ ） （A）2（B ）π（C ）（D ）4π【难度】2 【考点】A【答案】参数和普通方程互化 【解析】由1,1x y ⎧=-+θ⎪⎨=+θ⎪⎩得，22(1)(1)2x y ++-=圆心C (1,1)-，半径为2，设圆与0y =交于A B 、两点， 令0y =得：2x =-或0x =，即(2,0)A -，(0,0)B 显然，ABC ∆为等腰直角三角形，其中90A ∠= 故所求劣弧长为圆周长的14，即1224r ππ=故选A（6）若,x y 满足0,1,0,x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则下列不等式恒成立的是（ ）（A ）1y ≥ （B ）2x ≥ （C ）220x y ++≥（D ）210x y -+≥作出可行域如图：对于选项A ：故选项A 不正确；对于选项B ：【难度】2【考点】线性规划 【答案】D 【解析】由题意得，题干表示的平面区域必须全部在选项表示的平面区域内部，故选项B不正确；对于选项C：故选项C不正确；对于选项D：所以选项D符合题意故选D（7）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【难度】3【考点】空间几何体的三视图与直观图 【答案】C 【解析】由正视图可知该三棱锥的顶点一定是在右侧， 而选项C 的俯视图表示的三棱锥的顶点在左侧， 故选C（8）某地区在六年内第x 年的生产总值y （单位：亿元）与x 之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率．．．．．．最高的是（ ）（A ）第一年到第三年（B ）第二年到第四年 （C ）第三年到第五年（D ）第四年到第六年 【难度】3【考点】函数图象 【答案】A 【解析】年增长率是指当年比去年多出的产量与去年产量的比值， 比如第一年产量100，第二年产量103，则年增长率为1031003100100-=所以，由图可知，第二年与第三年的年增长率的和最大， 所以，第一年到第三年的年平均增长率最大。
上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析
【答案】 (1, 3)
【解析】 【分析】 利用直线的法向量的意义即可得Байду номын сангаас． 【详解】由直线方程 x＝3y+1，可得斜率 k 1 ．
3 ∴直线的法向量可以取（1，﹣3）． 故答案为：（1，﹣3）． 【点睛】本题考查了直线的法向量的求法，属于基础题． 2.函数 y log2 (x 3) 的反函数为________. 【答案】 f 1(x) 2x 3 【解析】 【分析】 利用反函数定义直接求解即可． 【详解】∵ y log2 (x 3) ∴ x 3 2y ，即 x 2y 3 ∴函数 y log2 (x 3) 的反函数为 f 1(x) 2x 3 故答案为： f 1(x) 2x 3 【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
3.已知 (1 ax)7 的展开式中，含 x3 项的系数等于 280，则实数 a ________.
【答案】2 【解析】 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，即可求得展开式中的 含 x3 项的系数，再根据含 x3 项的系数等于 280，求得实数 a 的值．
x
x
∴a4
故答案 为： (, 4]
【点睛】本题考查二次不等式在闭区间上恒成立问题，考查参变分离及均值不等式，属于常 考题型. 8.袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的 概率为________.
-4-
4
【答案】
7
【解析】
【分析】
基 本 事 件 总 数 n C94 126 ， 其 中 三 种 颜 色 的 球 都 有 包 含 的 基 本 事 件 个 数
2020届上海市上海中学高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届上海市上海中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】根据必要不充分条件的判定方法，即可作差判定，得到答案. 【详解】由题意可知，“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破流量”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A. 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义及判定，其中解答中熟记充分条件和必要条件的定义，合理、准确盘判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可知，答案选C.【考点】等比数列的性质3．若存在[1,2]x ∈，使得2120xa ⋅-->成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,24⎛⎫-⎪⎝⎭B ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13,44⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】根据绝对值不等式得212x a ⋅->或212x a ⋅-<-，再因为20x >，得32xa >或12xa <-， 由[1,2]x ∈时，得242x <<，得333422x <<或111224x -<-<-，要存在[1,2]x ∈，使得32x a >或12xa <-成立，则需min 32x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭或max12x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，可得a 的取值范围. 【详解】由2120xa ⋅-->得212x a ⋅->或212x a ⋅-<-，即23x a ⋅>或21x a ⋅<-，因为20x>，所以32x a >或12xa <-， 当[1,2]x ∈时，242x <<，所以333422x <<或111224x -<-<-，所以要存在[1,2]x ∈，使得32x a >或12xa <-成立，则需min 32x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭或max12x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 所以34a >或14a <-，故选：D. 【点睛】本题考查绝对值不等式、指数函数的值域以及不等式的存在性的问题，属于中档题，在解决不等式的存在性的问题时，常有以下情形：（1）0 x D ∃∈，使不等式()0f x A >成立，则max f ()x A >； （2）0 x D ∃∈，使不等式()0f x B <成立，则()min f x B <；（3）0 x D ∃∈,使不等式()()00f x g x >成立,则max ()()(),()0F x f x g x F x =-∴>； （4）0 x D ∃∈,使不等式()()00f x g x <成立,则min ()()(),()0F x f x g x F x =-∴<； （5）1 x D ∃∈,2 x E ∃∈,均有()()12f g x x >恒成立，则max min f ()()x g x >； （6）1 x D ∃∈,2 x E ∃∈,均有()()12f x g x <恒成立，则min max f ()()x g x <. 4．给定函数()f x 和()g x ，令()max{(),()}h x f x g x =，对以下三个论断： （1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数：（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性；其中正确论断的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对于论断举反例，可得结论. 对于（1），设()f x x =-，()g x x =，所以,0(),0x x h x x x -≤⎧=⎨>⎩，可判断（1）；对于（2），设()1f x x =+，()1g x x =-+，则1,0()1,0x x h x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，可判断（2）；对于（3）设()f x x =，2()g x x =，则22,0(),01,1x x h x x x x x ⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩，可判断（3），可得选项.【详解】对于（1），设()f x x =-，()g x x =，所以,0(),0x x h x x x -≤⎧=⎨>⎩，()f x 和()g x 都是奇函数，而()h x 是偶函数不是奇函数，故（1）不正确；对于（2），设()1f x x =+，()1g x x =-+，则1,0()1,x x h x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，而()h x 是偶函数，故（2）不正确；对于（3）设()f x x =，2()g x x =，则22,0(),01,1x x h x x x x x ⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩，()f x 是奇函数,()g x 是偶函数，而()h x 是非奇非偶函数，故（3）不正确。
上海市西南位育中学2020届高三上学期期中考试 数学(含解析)
上海市西南位育中学2020届高三上学期期中考试数学一. 填空题1.已知全集U =R ，若集合01xA x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则UA________.【答案】(]0,1 【分析】解出集合A ，然后利用补集的定义可得出集合UA .【详解】解不等式01xx ≥-，得0x ≤或1x >，则集合(](),01,A =-∞+∞，因此，0,1UA .故答案为：(]0,1.【点睛】本题考查补集的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.数列{}n a 的通项公式()1,110021,10023nn n a n N n n n *⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=∈⎨+⎪>⎪-⎩，则lim n n a →∞=________. 【答案】12【分析】由题意得出1lim lim23n n n n a n →∞→∞+=-，然后在分式和分母中同时除以n ，于是可计算出所求极限值.【详解】()1,110021,10023nn n a n N n n n *⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=∈⎨+⎪>⎪-⎩，111101lim lim lim 3232022n n n n n n a n n →∞→∞→∞+++∴====---. 故答案为：12. 【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见极限的值，考查计算能力，属于基础题.3.若函数()y g x =图像与函数2(1)(1)y x x =-≤的图像关于直线y x =对称，则(4)g =_____.【答案】1-【详解】解：因为两个函数互为反函数，因此2(4),()4,141g t f t t t ==-=∴=-那么（） 4.函数()()2sin 22cos f x x x x R =+∈的最大值为________.21 【分析】利用二倍角降幂公式、辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由此可得出函数()y f x =的解析式.【详解】()21cos 2sin 22cos sin 22sin 2cos 2122124x f x x x x x x x π+⎛⎫=+=+⋅=++=++ ⎪⎝⎭，因此，函数()y f x =21. 21.【点睛】本题考查三角函数的最值，解题时要将三角函数的解析式进行化简，再结合三角函数的有界性来求解，考查计算能力，属于中等题.5.在无穷等比数列{}n a 中，若此数列的前n 项和n S 满足1lim 2n n S →∞=，则1a 的取值范围为_______. 【答案】110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知10q -<<或01q <<，由等比数列的前n 项和公式得出11lim 12n n a S q →∞==-，得出()1112a q =-，由此可得出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知10q -<<或01q <<，()111n n a q S q-=-，则()1111lim lim112n n n n a q a S qq →∞→∞-===--，可得出()1112a q =-.当10q -<<时，112q <-<，此时()1111,122a q ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；当01q <<时，011q <-<，此时()11110,22a q ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.因此，1a 的取值范围为110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查数列极限的计算，本题中要得出数列的公比()()1,00,1q ∈-，同时根据极限得出1a 与q 所满足的关系，考查计算能力，属于中等题.6.已知向量()1,1a =，()8,6b =-，则a 与b 的夹角大小为________. 【答案】2arccos 10π- 【分析】利用平面向量的数量积计算出cos ,a b ，由此可得出a 与b 的夹角,a b 的大小. 【详解】()222218162cos ,101021186a b a b a b⨯-+⨯⋅====-⋅+⨯-+，2,a b π∴=-，因此，a 与b 的夹角大小为2π-. 故答案为：2arccos10π-. 【点睛】本题考查平面向量夹角的计算，解题时要充分利用平面向量数量积的定义来进行计算，考查计算能力，属于基础题. 7.若3sin 5α=且α是第二象限角，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.【答案】7- 【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出tan α的值，然后利用两角差的正切公式可求出tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【详解】α第二象限角，则2234cos 1sin 155αα⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，sin 3tan cos 4ααα∴==-.因此，3tan tan144tan 7341tan tan 1144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++-⨯ ⎪⎝⎭. 故答案为：7-.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式求三角函数值，在解题时要注意角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.8.已知数列{}n a 的通项公式为()12nn n a n =-⋅+，*n ∈N ，则这个数列的前2n 项和2n S =________.【答案】2122n n ++- 【分析】利用并项求和法求出数列(){}1nn -⋅的前2n 项和2n T ，并利用等比数列的求和公式求出数列{}2n 的前2n项和，相加可得出2n S . 【详解】设数列(){}1nn -⋅的前2n 项和2n T ，则()()()()212342121234212n T n n n n =-+-+---+=-++-+++--+⎡⎤⎣⎦1n n =⨯=，因此，()221222122212n n n n S T n +-=+=+--.故答案为：2122n n ++-.【点睛】本题考查数列求和，考查并项求和与分组求和，解题时要根据数列通项的结构选择合适的方法求和，考查计算能力，属于中等题.9.某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量()f x （毫克/毫升）随时间x （小时）变化的规律近似满足表达式()250131() 1.53x x x f x x -⎧≤≤⎪=⎨⋅⎪⎩，，＞《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．（精确到1小时） 【答案】4 【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升时，才能开车，因此只需由()0.02f x ≤，求出x 的值即可.【详解】当01x ≤≤时，由()0.02f x ≤得250.02x -≤，解得5520.020.50x log log ≤+=<，舍去； 当1x ＞时，由()0.02f x ≤得31()0.0253x⋅≤，即130.1x -≤，解得3310.1110x log log ≥-=+，因为331104log <+<，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.故答案为4【点睛】本题主要考查函数的应用，由题意得出不等式，分类求解即可，属于基础题型. 10.如图，在ABC ∆中，若3AB AC ==，3BAC π∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅=________.【答案】32- 【分析】将AD 、BC 利用向量AB 、AC 表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义可计算出AD BC ⋅的值. 【详解】2DC BD=，13BD BC∴=，()1133AD AB BD AB BC AB AC AB ∴=+=+=+-2133AB AC =+，BC AC AB =-.由平面向量数量积的定义得219cos 3322AB AC AB AC π⋅=⋅=⨯=.因此，()221211233333AD BC AC AB AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭22119233333232=⨯+⨯-⨯=-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就选择合适的基底表示问题中涉及的向量，同时也可以建立平面直角坐标系，利用坐标法来计算平面向量的数量积，考查计算能力，属于中等题. 11.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为12211k kk +=+，得2k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.12.已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}nB x x n N ==∈．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________． 【答案】27分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥ 所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如,2,n nn n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数），符号型（如2(1)n n a n =-），周期型（如πsin 3n n a =）. 二. 选择题13.若a 、b ∈R ，那么11a b>成立的一个充分非必要条件是（ ） A. a b > B. ()0ab a b -<C. 0a b <<D. a b <【答案】C 【分析】 利用作差法得出11a b >的等价条件，然后可找出11a b >成立的一个充分非必要条件. 【详解】11a b >，110b a a b ab -∴-=>，即0a b ab-<，等价于()0ab a b -<. 对于A 选项，若a b >，则0a b ->，由于ab 的符号不确定，则()0ab a b -<不一定成立； 对于B 选项，()0ab a b -<是11a b>成立的充要条件； 对于C 选项，当0a b <<时，0a b -<，0ab >，此时()0ab a b -<， 则()00a b ab a b <<⇒-<，另一方面，()00b a ab a b >>⇒-<.则()00ab a b a b -<⇒<</，则0a b <<是11a b>成立的充分非必要条件； 对于D 选项，若a b <，0a b -<，由于ab 的符号不确定，则()0ab a b -<不一定成立. 因此，11a b>成立的一个充分非必要条件是0a b <<. 故选：C.【点睛】本题考查充分非必要条件的寻找，解题时应充分考查不等式的基本性质，考查推理能力，属于中等题.14.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．15.关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. (],8-∞-C. (][),80,-∞-+∞D. 以上都不对【答案】B 【分析】换元30x t =>，问题转化为关于t 的二次方程()2440t a t +++=在0t >时有实数根，利用参变量分离法得出()44a t t -+=+，转化为()4a -+的取值范围即为函数()40y t t t=+>的值域，然后利用基本不等式求出该函数的值域，即可求出实数a 的取值范围.【详解】令30x t =>，则29x t =，由()94340xxa ++⋅+=，得()2440t a t +++=.则问题转化为关于t 的二次方程()2440t a t +++=在0t >时有实数根.由()2440t a t +++=，可得()44a t t-+=+， 由基本不等式得()44424a t t t t-+=+≥⋅=，当且仅当2t =时，等号成立， 所以，()44a -+≥，解得8a ≤-. 因此，实数a 的取值范围是(],8-∞-. 故选：B.【点睛】本题考查利用函数的零点求参数，解题的关键就是将指数函数转化为二次函数来求解，并利用参变量分离法简化计算，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.16.将一圆的六个等分点分成两组相同的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x 、y 分别为点O 到两个顶点的向量，若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写出ax b y +的形式，则+a b 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【分析】根据题意，作出图形，分别用x 、y 表示出相邻的6个顶点的向量，即可求出结果. 【详解】要求+a b 的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下： （1）因=OA x ，所以(,)(1,0)=a b ；（2）因为3=+=+OB OF FB y x ，所以(,)(3,1)=a b ； （3）因为2=+=+OC OF FC y x ，则(,)(2,1)=a b ；（4）因为32=++=++=+OD OF FE ED y x OC x y ，则(,)(3,2)=a b ； （5）因为=+=+OE OF FE y x ，则(,)(1,1)=a b ； （6）因为=OF y ，则(,)(0,1)=a b ； 因此，+a b 的最大值为325+=. 故选：C【点睛】本题主要考查由用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 三. 解答题17.已知a ∈R ，函数()1f x a x=+. （1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤；（2）若关于x 的不等式()2f x x ≤在区间[]2,1--上有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[)1,+∞；（2）(],3-∞-. 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，分0x <和0x >两种情况，去绝对值，解出不等式()2f x x ≤即可；（2）由()2f x x ≤，利用参变量分离法得出12a x x≤-，将问题转化为：当[]2,1x ∈--时，max12a x x ⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭，然后分析函数()12g x x x =-在[]2,1--上的单调性，求出该函数在区间[]2,1-- 上的最大值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()11f x x=+. 当0x <时，()111f x x=+>，而20x <，则不等式()2f x x ≤无解； 当0x >时，()1111f x x x =+=+，由()2f x x ≤，得112x x+≤，即2210x x --≥， 解得12x ≤-或1x ≥，此时，1x ≥. 综上所述，当1a =时，不等式()2f x x ≤的解集为[)1,+∞； （2）由()2f x x ≤，得12a x x +≤，由参变量分离法得12a x x≤-. 由题意可知，当[]2,1x ∈--时，max12a x x ⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭.当[]2,1x ∈--时，构造函数()1122g x x x x x=-=+. 任取1221x x -≤<≤-，则()()1212121122g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()1212211212121212211122x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-+-=-+=. 1221x x -≤<≤-，则1214x x <<，12210x x ->，120x x -<，()()12g x g x ∴<.则函数()12g x x x=+区间[]2,1--上单调递增，所以，()()max 13g x g =-=-，3a ∴≤-，因此，实数a 的取值范围是(],3-∞-.【点睛】本题考查分式不等式的求解，同时也考查了不等式成立求参数，灵活利用参变量分离法求解，可简化分类讨论，考查化归与转化思想，属于中等题.18.如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为游客体验活动区，已知120A ∠=，AB 、AC 的长度均大于200米，设AP x =，AQ y =，且AP 、AQ 总长度为200米.（1）当x 、y 为何值时，游客体验活动区APQ 的面积最大，并求最大面积？ （2）当x 、y 为何值时，线段PQ 最小，并求最小值？【答案】（1）100x y ==时，最大值为25003；（2）100x y ==时，最小值为1003. 【分析】（1）由题意得出200x y +=，利用三角形的面积公式和基本不等式可求出APQ ∆面积的最大值，并利用等号成立的条件求出对应的x 与y 的值；（2）由余弦定理结合基本不等式可得出PQ 的最小值，并利用等号成立的条件求出对应的x 与y 的值. 【详解】（1）由题意可知，200x y +=，且0x >，0y >.APQ ∆的面积为1133sin 22ABQ S AP AQ A xy xy ∆=⋅⋅∠==.由基本不等式得)222333100250032ABQx y S xy m ∆+⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭. 当且仅当200x y x y +=⎧⎨=⎩时，即当100x y ==时，等号成立，因此，当100x y ==时，游客体验活动区APQ 的面积取得最大值225003m ； （2）由余弦定理得222212cos 22PQ AP AQ AP AP A x y xy ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⋅- ⎪⎝⎭()22240000x y xy x y xy xy =++=+-=-由基本不等式得224000040000400001002x y PQ xy +⎛⎫=-≥-=- ⎪⎝⎭()1003m =.当且仅当200x y x y+=⎧⎨=⎩时，即当100x y ==时，等号成立，因此，当100x y ==时，PQ 取得最小值1003m .【点睛】本题考查三角形面积公式与余弦定理的应用，同时也考查了基本不等式的应用，解题时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x1x132x 3x103x ωϕ+2π π32π 2π()sin A x ωϕ+33-（1）请写出上表1x 、2x 、3x ，并求出函数()f x 的解析式；（2）设()()()31g x x f x =+-，当[]0,4x ∈时，求()g x 的单调递增区间. 【答案】（1）123x =-，243x =，373x =，()323f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据五点作图法，求出ω、ϕ的值，结合表格中的数据可得出1x 、2x 、3x 的值，并可得出函数()y f x =的解析式；（2）利用诱导公式、辅助角公式可得出()2326g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，先求出函数()y g x =在R 上的单调递增区间A ，再由[]0,4A可得出函数()y g x =在区间[]0,4上的单调递增区间.【详解】（1）由题意可得1321023πωϕωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2πω=，3πϕ=，且3A =则1023x ππ+=，得123x =-；223x πππ+=，得243x =；33232x πππ+=，得373x =.()323f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()()()313sin 323232g x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭313sin 323cos 232323223x x x x ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦23sin cos cos sin 23236236236x x x πππππππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦2326x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解不等式()222262k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，得()424433k x k k Z -≤≤+∈. 所以，函数()y g x =在R 上的单调递增区间为()424,433A k k k Z ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦. []280,40,,433A⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 因此，函数()y g x =在区间[]0,4上的单调递增区间为20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用五点作图法求函数解析式，同时也考查了正弦型三角函数在定区间上的单调区间的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，考查运算求解能力，属于中等题. 20.对于定义在D 上的函数()y f x =，若同时满足：①存在闭区间[],a b D ⊆，使得任取[]1,x a b ∈，都有()1f x c =（c 是常数）；②对于D 内任意2x ，当[]2,x a b ∉时总有()2f x c >，称()f x 为“平底型”函数.（1）判断()112f x x x =-+-，()22f x x x =+-是否为“平底型”函数？说明理由；（2）设()f x 是（1）中的“平底型”函数，若()11t t f x -++≥对一切t ∈R 恒成立，求实数x 的范围；（3）若()22F x mx x x n =++，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数，求m 和n 的值.【答案】（1）()1f x 是“平底型”函数，()2f x 不是“平底型”函数；理由见解析；（2）15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）1m n ==. 【分析】（1）将函数()1y f x =与()2y f x =分别表示为分段函数，结合题中定义对这两个函数是否为“平底型”函数进行判断；（2）由（1）知，()12f x x x =-+-，由题意得出()()min11f x t t ≤-++，利用绝对值三角不等式求出11t t -++的最小值2，然后分1x <、12x ≤≤、2x >三种情况来解不等式()2f x ≤，即可得出x 的取值范围；（3）假设函数()22F x mx x x n =+++，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数，则该函数的解析式需满足“平底型”函数的两个条件，化简函数解析式，检验“平底型”函数的两个条件同时成立的m 、n 值是否存在.【详解】（1）()132,1121,1223,2x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-≥⎩，()22,222,2x f x x x ≤⎧=⎨->⎩.对于函数()1y f x =，当[]1,2x ∈时，()11f x =，当1x <时，()1321f x x =->；当2x >时，()1231f x x =->. 所以，函数()1y f x =为“平底型”函数.对于函数()2y f x =，当2x ≤时，()22f x =；当2x >时，()2222f x x =->. 但区间(],2-∞不是闭区间，所以，函数()2y f x =不是“平底型”函数； （2）由（1）知，()12f x x x =-+-，由于不等式()11t t f x -++≥对一切t ∈R 恒成立，则()()min11f x t t ≤-++.由绝对值三角不等式得()()11112t t t t -++≥--+=，则有()2f x ≤. ①当1x <时，由()2f x ≤，得322x -≤，解得12x ≥，此时，112x ≤<； ②当12x ≤≤时，()12f x =≤恒成立，此时，12x ≤≤； ③当2x >时，由()2f x ≤，得232x -≤，解得52x ≤，此时，522x <≤. 综上所述，x 的取值范围是15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）假设函数()22F x mx x x n =+++，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数，则存在R c ∈， 使得()F x c =对[)2,-+∞上某个闭区间上的任意实数x 恒成立，即22mx x x n c ++=，22x x n c mx ++=-，()2222222x x n c mx m x cmx c ∴++=-=-+.所以，22122m cm c n ⎧=⎪-=⎨⎪=⎩，解得111m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或111m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.①当1m =，1c =-，1n =时，()21,2121121,1x F x x x x x x x x --≤≤-⎧=+++=++=⎨+>-⎩.且当1x >-时，()211F x x =+>-，此时，函数()y F x =，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数； ②当1m =-，1c =，1n =时，()221,212111,1x x F x x x x x x x ---≤<-⎧=-++=-++=⎨≥-⎩.[)1,-+∞不是闭区间，此时，函数()y F x =，[)2,x ∈-+∞不是“平底型”函数.综上所述，当1m n ==，函数()22F x mx x x n =+++，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数.【点睛】本题考查函数的新定义“平底型”函数，同时也考查了不等式恒成立问题以及绝对值不等式的求解，体现等价转化和分类讨论数学思想，属于难题.21.已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足111{2n n a a a +=-=，111{2n nb b b +=-=，其中*n N ∈，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，称数列{}n c 为“k 坠点数列” ①若数列{}n a 为“5坠点数列”，求n S ；②若数列{}n a 为“p 坠点数列”，数列{}n b 为“q 坠点数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21n a n =-，11,1{2,2n n n b n --==≥（2）①22,4{415,5n n n S n n n ≤=-+≥②6【解析】(1)∵数列{}{},n n a b 都为递增数列，∴由递推式可得12n n a a +-=,21212,2,n n b b b b n N ++=-=∈∗， 则数列{}n a 为等差数列,数列{}n b 从第二项起构成等比数列。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试卷数学理科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试卷数学理科一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B={x|2x＜4}，则A∪B＝ ( )A.RB. ∅C. {x|x≤1}D. {x|x＞2}2.,点在( )A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.）A BC D4．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2) …(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n －1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是( )A．2k＋1 B．2(2k＋1)C．2k＋1k＋1D．2k＋3k＋15.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6.设()250.22log 4,log 3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C.a c b >> D ．b a c >>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 8.如图，在平面四边形ABCD中，AB BC⊥，AD CD⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为（ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39.已知函数121)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为( )A.B. C. D10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（）11.有）12.的值为（）ABC第Ⅱ卷共90分二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.a=b =b=14的最小值为____.15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：（甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中,3B π=,2BC =,点D 在边AB 上,AD DC =, DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆的面积为33,求CD 的长;(Ⅱ)若62DE =,求A ∠的大小.18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，21n n a S =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分） 在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当EDCBAEDA时， 求的取值范围.20.（本小题满分12分） 已知函数()1f x a x x a=-+-（ ）0a >.（Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围． 21.（本小题满分12分） 函数()()23sincos3cos 022xxf x x ωωωω=⋅+>，在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由. 22.（本小题满分12分） 已知函数()()()2e x f x x ax =--． （Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况；（Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求a 的值．答案一、选择题：ABDBB;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.．7 15．67.17.（本小题满分12分）(Ⅰ)由已知得3=，又，得3分=……………6，……………11分分18.(本小题满分12分）2S1分2分3分等差数列，且首项为，公差为25分6分7分，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅ (9)分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分19.（本小题满分12分） 解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f (x)＝2|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4，x ＜1，x ，1≤x≤2，3x －4，x ＞2．所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，又f (0)＝f ( 8 3)＝4，故f (x)≤4的解集为{x|0≤x ≤ 8 3}. ....................................6分 （2）①若a ＞1，f (x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a －1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a ≥2. .................................7分②若a ＝1，f (x)＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意. ...................…9分③若0＜a ＜1，f (x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)， 当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾..............11分综上所述， a 的取值范围是[2，＋∞). …...................12分21.（本小题满分12分）:2分所而且有两个………8分.，由及分和不足.)法三：由得，即11分零点存在定理得:12分22.解：210分11 12分。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷上期中考试数学文试题及解析
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷上期中考试数学（文）试题及解析一、选择题1．“6πα=”是“tan 2α= ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：∵tan 22()=+()362k k k Z k Z πππααπα=⇔=+∈⇔∈，∴应是充分不必要条件，故选A ．【考点】1．三角函数的定义；2．充分必要条件．2．设,,αβγ是三个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若,αββγ⊥⊥，则//αγB ．若,//m αββ⊥，则m α⊥C ．若,m n αα⊥⊥，则//m nD ．若//,//m n αα，则//m n【答案】C【解析】试题分析：A ：α，γ可能的位置关系为相交，平行，故A 错误；B ：m 可能在α上，可能与α斜交，故B 错误；C ：根据线面垂直的性质，可知C 正确；D ：m ，n 可能的位置关系为相交，平行，异面，故D 错误，故选C ． 【考点】空间中直线平面的位置关系．3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112 【答案】C【解析】试题分析：根据三视图可该几何体为三棱锥与立方体的组合，如下图所示，故所求体积314443803V =+⨯⨯⨯=，故选C ．【考点】1．三视图；2．空间几何体的体积计算．4．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，351,1a a ==，则2326372a a a a a ++=（ ）A ．8B ．6C ．4D ．8-【答案】A【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴22223263733553522()8a a a a a a a a a a a ++=++=+=，故选A ．【考点】等比数列的性质．5．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+<<的图象向右平移8π后关于y 轴对称，则满足此条件的ϕ值为（ ） A ．4π B ．38π C ．34π D ．58π 【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+<<关于直线8x π=-对称，∴2()()82k k Z ππϕπ⨯-+=+∈，∴3()4k k Z πϕπ=+∈，又∵0ϕπ<<，∴31044k k -<<⇒=， ∴34πϕ=，故选C ．【考点】三角函数的性质．6．函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：∵是上的单调递减函数，∴，故选D．【考点】分段函数的单调性．【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是，将分段函数在上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转折点处，函数的图象不上升．7．已知定义在上的函数满足：①图象关于点对称；②；③当时，则函数在区间上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】试题分析：∵，∴的图象关于直线对称，又∵图象关于点对称，故如下图，画出在上的图象，以及的图象，由图可知，零点个数为5个，故选A．【考点】1．函数与方程；2．数形结合的思想．【思路点睛】解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化．8．已知正的顶点在平面上，顶点在平面的同一侧，为的中点，若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形，则直线与平面所成角的正弦值的范围是（）_科A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：如图所示，设B到平面，C到平面的射影，D到平面的射影分别为E，F，P，设，，则，由题意可知，，，∴，由，∴，由函数在上单调递减，上单调递增，∴可知，故选B ．【考点】立体几何综合题．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解． 二、填空题9．已知全集，集合，集合，则；．【答案】，．【解析】试题分析：，∴，． 【考点】1．对数的性质；2．集合的运算． 10．若指数函数的图象过点，则；不等式的解集为．【答案】，．【解析】试题分析：设指数函数为且，∴，，即不等式的解集是．【考点】指数函数的性质． 11．向量22(,2m =，(sin ,cos ),(0,)n x x x π=∈，①若//m n ，则tan x =；②若m 与n 的夹角为3π，则x =．【答案】，．【解析】试题分析：①：∵//m n ，∴；②：显然，∴，即，∴，又∵，∴． 【考点】1．平面向量共线的坐标表示；2．平面向量数量积；3．三角恒等变形．12．数列{}n a 的前项和为，则；数列的前10项和．【答案】，．【解析】试题分析：当时，，当时，，∴，∴．【考点】1．数列的通项公式；2．数列求和． 13．求值．【答案】．【解析】试题分析：．【考点】三角恒等变形．14．已知数列{}a的各项均为正整数，其前项和为，若n且，则．【答案】．【解析】试题分析：∵为奇数，且当是奇数时，是偶数，∴，，中必有两个偶数，一个奇数，若为奇数，，是偶数：，，，，，，，∴从第四项起，数列是以3为周期的数列，而，∴．【考点】1．分类讨论的数学思想；2．数列求和．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解．15．已知三角形中，过中线的中点任作一条直线分别交边，于，两点，设，，则的最小值为．【答案】．【解析】试题分析：由题意可知，，，三点共线，故设，而，∴，即，∴，当且仅当时，等号成立，故的最小值是．【考点】1．平面向量的数量积；2．基本不等式．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．三、解答题16．设为等差数列的前项和，已知．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）将条件中的式子转化为只与，有关的方程，解出与，即可得到通项公式；（2）利用等差数列的前项和公式首先求出，再利用裂项相消法即可求得新数列的前项和，即可得证不等式．试题解析：（1）∵等差数列，，，∴；（2）由（1）可知，，∴，∴．【考点】1．等差数列的通项公式及其前项和；2．裂项相消法求数列的和．17．在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．18．在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．（1）求证：面；（2）求二面角的大小的正弦值；（3）求点到面的距离．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）根据已知条件中的中点，利用三角形的中位线性质产生线线平行，再利用线面平行的判定，进一步将其转化到线面平行即可；（2）根据已知条件，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再利用已知数据即可求解；（3）利用，从而即可求得所求距离．试题解析：（1）如图所示，取中点，连结，，∵，分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴面；（2）作于点，作于点，连结，易证平面，∴，又∵，，∴平面，∴，∴即为二面角的平面角，在中，；（3）∵，∴．【考点】1．线面平行的判定；2．二面角的求解；3．体积法求线面距离．【方法点睛】立体几何大题通常会考查两条异面直线所成的角，求二面角的平面角，点到面的距离等，要综合运用平行垂直关系等判定定理，性质定理，及支线与平面所成角的概念，二面角的概念，作出相应的角，再通过平面几何知识进行计算，求点到平面的距离，通常可考虑体积法，此外，空间向量也是解决立体几何大题的一种方法．19．若满足，则称为的不动点．（1）若函数没有不动点，求实数的取值范围；（2）若函数的不动点，求的值；（3）若函数有不动点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）根据条件可知，没有不动点，等价于方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）根据零点定理求得的根所在的区间，即可求得的值；（3）有不动点，等价于有解，从而可知，从而问题进一步等价于关于的一元二次方程至少有一正根，利用韦达定理，即可求解的取值范围．试题解析：（1）由已知可得，问题等价于无实数根，即无实数根，∴，；（2）令，∴，即，令，在上递增，，，，；（3）令，则，又令，从而可得，故问题等价于关于的一元二次方程至少有一正根，若方程有一根为：此时，，，符合题意，若方程的根不为，考虑都为负根，由韦达定理可知，因此方程至少有一正根需，又∵或，∴实数的取值范围是．【考点】1．材料阅读；2．零点存在定理；3．韦达定理．【思路点睛】解决含有参数的动函数的常见方法有：1．参变分离，转化成固定函数在固定区间上的最值问题，2．对参数的讨论，与恒成立问题，根的分布问题相结合；3．零点的情况，与零点存在，唯一性相结合；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练掌握等价转化和准确表述；3．数形结合思想．20．已知函数（1）若函数在上无零点，请你探究函数在上的单调性；（2）设，若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）若：在上无单调性，若：在上单调递增，若：在上单调递减，在上单调递增；（2）．【解析】试题分析：（1）根据条件在上无零点首先可求得的取值范围，再对求得的的取值范围分类讨论，从而可知相应的单调性；（2）问题等价于在上的最大值小于1即可，通过分类讨论结合二次函数的性质即可求得的取值范围．试题解析：（1）令，从而可知，∵，∴，故满足在上无零点的实数的取值范围是，若：，在上无单调性，若：，在上单调递增，若：则，∴在上单调递减，在上单调递增；（2），而在上恒成立等价于，∴实数的取值范围是．【考点】1．二次函数的性质；2．分类讨论的数学思想．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。
上海市2023-2024学年高三上学期期中考试 数学含解析
2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．3.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===-，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.7.若直线()1y k x =-与曲线e xy =相切，则k 的值为___________.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a=__________.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.11.已知曲线C：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.12.已知函数ln xf x x （）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38xy==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy =D.x y +>14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x=⋅ D.x y k a =⋅；15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a << D.()()()f c f a f b <<16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a 中，4m a =，32m a +=-，其中m 为给定的正整数，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，1m =，求13a ；（2）若{}n a 为等差数列，是否存在正整数m ，使得130S =？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.18.如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝PB ＝PC ，且M ，N 分别为线段AB ，PC 的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D 且3CD =ABC 面积的最小值.20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin xxx x x >++．2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.【答案】{}04x x ≤<【解析】【分析】对集合(){}40B x x x =-<解一元二次不等式，取并集即可.【详解】∵(){}{}4004B x x x x x =-<=<<，∴{}04A B x x ⋃=≤<.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．【答案】1【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z ，再求出其模.【详解】因为1i 1i ()z -=+，所以()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2z ++++====--+，所以||1z =.故答案为：13.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，代入计算，即可得到结果.【详解】由2a b -=r r ()2210a b-= ，222π44441cos 104a ab b b b -⋅+=-⨯⨯⋅+= ，(260,0b b b b --=-=，解得b =故答案为：4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.【答案】512【解析】【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出sin α，再利用平方关系求出cos α，进而求出tan α.【详解】 ()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，∴()5sin sin 13αββα+-==-⎡⎤⎣⎦，α是第三象限角，∴12cos 13α==-，∴sin 5tan cos 12ααα==.故答案为：512.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===- ，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.【答案】1-【解析】【分析】先求得c a b λμ=+的坐标，再利用向量相等求解.【详解】解：因为()()1,0,1,1a b==，所以()c a b λμλμμ=+=+，，又因为()1,2c =-，所以1,2,λμμ+=-⎧⎨=⎩解得3,1λλμ=-∴+=-．故答案为：1-6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.【答案】①.车长②.车速【解析】【分析】由题意求出一辆车通过该路段所需时间表达式，看表达式主要与哪些量有关即可.【详解】设式子路口的宽度、车长、车速为m,m,m /s d l v ，则若车辆在15s 内能够通过该式子路段，需要满足215d lt v+=≤，因此在该段时间内，车辆通过的数量可能会受到车长、车速等因素的影响.故答案为：车长，车速.7.若直线()1y k x =-与曲线e x y =相切，则k 的值为___________.【答案】2e 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，利用导数的几何意义结合条件即得.【详解】设切点为()00,x y ，则00e xy =，()001y k x =-，e x y '= ，0e x k ∴=，()000e e 1x x x ∴=-，所以02x =，2e k =.故答案为：2e .8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a =__________.【答案】32【解析】【分析】利用等比数列通项公式11n n a a q -=⋅将4114a a -=化简，再利用等比数列前n 项和的性质将3S 化为123a a a ++，两式联立解方程即可.【详解】设该数列的公比为q ，则()()()()23123132411111411114S a a a a q q a a a q a q q q ⎧=++=++=⎪⎨-=-=++-=⎪⎩，解得12,2q a ==，则45132a a q =⋅=.故答案为：32.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.【答案】0x =或34120x y +-=【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求出A ，B两点的坐标，再判断AB =是否成立，当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系列方程可求出k ，从而可求出直线方程【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，由2202220x x y x y =⎧⎨+---=⎩，得01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或01x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，此时AB =.当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，因为圆222220x y x y +---=的圆心(1,1)C ，半径2r =，所以圆心C 到直线l的距离d ==.因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222341k k ++=+，解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=.综上，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=.故答案为：0x =或34120x y +-=10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.【答案】3【解析】【分析】根据正余弦定理可得ABC 的外接圆半径，然后根据球的性质结合条件可得球的半径，再利用球的体积公式即得.【详解】因为2π3AB AC BAC ∠===，所以2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠133232⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即3BC =，所以ABC 的外接圆半径为12sin BCr BAC∠=⋅=，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA =，设球O 的半径为R ，则R ==因此球O 的体积为34205ππ33V R ==．故答案为：205π3.11.已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.【答案】[2,3]【解析】【详解】故答案为[2,3].12.已知函数ln xf x x（）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．【答案】(,1e)-∞-【解析】【分析】首先利用导函数求f x （）的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．【详解】解：因为()ln x f x x=，则'2ln 1()(ln )x f x x -=，当01x <<或1e x <<时，()0f x '<，当e x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1和(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，且当0x →时，()0f x →，(e)e f =，故f x （）的大致图像如图所示：关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=等价于[()1()1]0f x f x a ][++-=，即()1f x =-或()1f x a =-，由图可得，方程()1f x =-有且仅有一解，则()1f x a =-有两解，所以1e a ->，解得1a e <-，故答案为：(,1e)-∞-二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38x y ==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy = D.x y +>【答案】ACD 【解析】【分析】根据指数与对数的互化，求出,x y ，再根据指数的运算，结合换底公式与基本不等式逐个选项判断即可.【详解】由题意，23log 3,log 8x y ==.对A ，222233log 32log 33log 9log 822x >⇔>⇔>⇔>，成立，故A 正确；对B ，333333log 82log 83log 64log 2722y <⇔<⇔<⇔<，不成立，故B 错误；对C ，232lg 3lg8lg8log 3log 8log 83lg 2lg 3lg 2xy ⨯=⨯====，成立，故C 正确；对D ，因为3xy =，故x y +≥=，当且仅当x y ==x y ≠，故x y +>，成立，故D 正确；故选：ACD14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x =⋅D.x y k a =⋅；【答案】B 【解析】【分析】由题意观察出y 随x 的变化趋势，对比函数单调性即可得解.【详解】∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而三个函数中y ax b =+、log b y a x =、x y k a =⋅显然都是单调函数，不满足题意，∴选择2y ax bx c =++．故选：B.15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a <<D.()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由已知得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，这样得出函数在[1,2]上是减函数，再由奇函数得出在[1,1]-上是增函数，利用奇函数得(0)0f =，从而得出(2)0(0)f ==，确定,,a b c 的值或范围后利用单调性可比较大小．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()()2f x f x +=-，(2)()()f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，()f x 在[1,2]上是减函数，则在[0,1]上是增函数，又()f x 是奇函数，所以()f x 在[1,0]-上是增函数，所以()f x 在[1,1]-上是增函数，()f x 在[1,3]上是减函数，结合奇函数得(0)0f =，所以(2)0f =，121(24b -==，12log 21c ==-，ln 2(0,1)a =∈，所以(1)(0)(ln 2)f f f -<<，即()()()f c f b f a <<，故选：C ．16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433【答案】C 【解析】【分析】根据题设建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离问题.【详解】 90ABC ∠= ，//AD BC ，∴AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ，∴(2,0,2)BP =- ，(2,2,0)CD =-，(2,2,2)PC =- ，对于A ， 41cos ,22222BP CD BP CD BP CD ⋅===⨯，且0,180BP CD ≤≤，∴,60BP CD =，∴PB 与CD 所成的角是60 ，故A 错误；对于B ，设平面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111112220,220,n PC x y z n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令11x =，则11y =，12z =，所以1(1,1,2)n = ，显然平面PAB 的法向量为(0,1,0)m =，∴111cos ,6m n m n m n ⋅===，∴平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是66，故B 错误.对于C，111sin ,6BP n BP n BP n ⋅==，故C 正确；对于D ， M 是线段PC 上动点，∴设()()2,2,201PM PC λλλλλ==-≤≤，N 为AD 中点，∴()0,2,0N ，()2,2,0BN =-，∴()22,2,22BM BP PM λλλ=+=-+-，当1λ=时，M 位于C 点，此时点P 到平面BMN 距离为2PA =,当1λ≠时，设平面BMN 的法向量为()2222,,n x y z =，则()()2222222222220,220,n BM x y z n BN x y λλλ⎧⋅=-+++-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令21x =，则21y =，2121z λλ-=-，所以212(1,1,)1n λλ-=- ，∴点P 到平面BMN距离22BP n d n ⋅==，当143λ=，即34λ=时，2min 1123863λλ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，此时maxd==2>，∴点P到平面BMN，故D错误.故选：C.三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a中，4ma=，32ma+=-，其中m为给定的正整数，{}n a的前n项和为n S.（1）若{}n a为等比数列，1m=，求13a；（2）若{}n a为等差数列，是否存在正整数m，使得130S=？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）14（2）存在，5m=【解析】【分析】(1)利用等比数列任意两项之间的关系求出公比，结合等比数列的通项公式即可得出结果.(2)利用等差数列任意两项之间的关系求出公差，进而求出首项，结合等差数列的求和公式即可.【小问1详解】由题意，14a=，42a=-，设等比数列的公比为q，则34112aqa==-.故41213111424a a q⎛⎫=⋅=⨯-=⎪⎝⎭.【小问2详解】设等差数列{}n a的公差为d，由题意，323m ma ad+-==-.由()11ma a m d=+-可知122a m=+.由()1311312131321002S a d m⨯=+=⨯-=，解得5m=.存在正整数5m=，使得130S=18.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分别为线段AB，PC的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意利用中位线定理知//NK CM ，利用线面平行的判定定理即可证明//NK 平面ABC ．（2）由PA ，PB ，PC 两两垂直，可证PC ⊥平面PAB ，进而可得PC AB ⊥，再证明AB ⊥平面PCM ,根据面面垂直判定定理即可证明平面PCM ⊥平面ABC ．【小问1详解】因为N 为线段PC 的中点，点K 是线段PM 的中点，所以由中位线定理知//NK CM ，又CM 在平面ABC 内，且NK 在平面ABC 外，因此根据线面平行判定定理得直线//NK 平面ABC ，得证．【小问2详解】因为PA ，PB ，PC 两两垂直，所以PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，,,PA PB P PA PB =⊂ 平面PAB ，所以PC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，所以PC AB ⊥，又PA ＝PB ，且M 为线段AB 的中点，所以PM AB ⊥，结合,,PM PC P PM PC =⊂ 平面PCM ,所以AB ⊥平面PCM ,因为AB ⊂平面ABC ，所以平面PCM ⊥平面ABC ，得证．.19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D且CD =ABC 面积的最小值.【答案】（1）π3C =；（2【解析】【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式化简已知条件，由此求得C .（2）根据已知条件求得a b =或a b ab +=，结合基本不等式求得三角形ABC 面积的最小值.【小问1详解】依题意，sin(2)sin sin A B B A +=-，则()sin()sin sin A B A C A A ++=+-，故()sin(π)sin sin A C C A A +-=+-，则()sin()sin sin C A C A A -=+-，sin cos cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C A A -=+-，2cos sin sin C A A =，由于0,πA C <<，所以sin 0A >，所以1cos 2C =，则C 为锐角，且π3C =.【小问2详解】依题意CD 平分ACB ∠，在三角形ACD 中，由正弦定理得3πsin sin 6AD A =，在三角形BCD中，由正弦定理得πsin sin 6BD B =，所以sin sin AD A BD B ⋅=⋅，由正弦定理得AD bBD a=.在三角形ACD 中，由余弦定理得222π3cos336AD b b b =+-⋅=-+，在三角形BCD 中，由余弦定理得222π3cos336BD a a a =+-⋅=-+，所以2222223333AD b b b BD a a a -+==-+，整理得()()0a b ab a b +--=，所以a b =或a b ab +=.当a b =时，三角形ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，1AD BD ==，2AB AC BC ===，所以1π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=当a b ab +=时，2,4ab a b ab =+≥≥，当且仅当2a b ==时等号成立，所以三角形113sin 4222ABC S ab C =≥⨯⨯= .综上所述，三角形ABC20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．【答案】（1）22143x y +=（2）28849【解析】【分析】（1）设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，根据题意列出1271||,||22PC R PC R =-=+，即可得12||||4PC PC +=，结合椭圆定义即可求得答案；（2）（i ）设直线AB 的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，进而利用BM 方程，求出N 点坐标，结合根与系数关系式化简，可得结论；（ii ）求出弦长||AB 和||DG ，结合题意可求出四边形ADBG 面积的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.【小问1详解】设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，22145:204C x y x ++-=即22149:(1)4C x y ++=，2223:204C x y x +-+=，即2221:(1)4C x y -+=，而动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，故1271||,||22PC R PC R =-=+，则1212||||4||2PC PC C C +=>=，故动圆P 的圆心的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b +=>>，则23,,24222,a c a b ∴====，故轨迹E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】（i ）由题意知AB 斜率存在，设其方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()11,M x y -，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，由于直线AB 过椭圆焦点，则必有0∆>，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，可得()()()()2211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k k k -⨯-++==-+，即N 为一个定点(4,0)；（ii ）()222212112||1|14AB k x x k x x x x =+-=++-()22222222121841214.434343k k k k k k k +⎛⎫-=+-⨯ ⎪+++⎝⎭1,DGAB DG k k ⊥∴=- ，同理可得()22121||34k DG k +=+，AB DG ⊥ ，则()()222212112111||||224334ABDGk k SAB DG k k ++=⨯=⨯++四边形22222222272(1)72(1)2884334(43)(34)49()2k k k k k k ++=≥=+++++，当且仅当224334k k +=+，即1k =±时等号成立，即四边形ADBG 的面积的最小值为28849.21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin x x x x x >++．【答案】（1）证明详见解析（2）1a =（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）将()42g x x ≤-转化为ln 10x x -+≤，然后利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（2）利用换元法，将不等式()()f x g x ≥恒成立，转化为10t e at --≥恒成立，利用构造函数法，结合导数求得正实数a 的值.（3）结合（1）（2），将所要证明的不等式转化为证明222sin x x x -+>，结合二次函数的性质证得不等式成立.【小问1详解】2a =时，()42ln 10g x x x x ≤-⇔-+≤，设()ln 1t x x x =-+，11()1(0)x t x x x x'-=-=>，所以()t x 在区间()()()'0,1,0,t x t x >递增；在区间()()()'1,,0,t x t x +∞<递减.所以()()10t x t ≤=，即ln 10x x -+≤，所以2a =时，()42g x x ≤-.【小问2详解】依题意，ln e 1(ln )e (ln )10x x x x a x x a x x +-≥+⇔-+-≥，令ln t x x =+，ln y x x =+在()0,∞+上递增，且R t ∈，所以10t e at --≥对任意R t ∈恒成立.设()()()'e 10,e t t h t at a h t a =-->=-，所以函数()h t 在区间()()()',ln ,0,a h t h t -∞<递减；在区间()()()'ln ,,0,a h t h t +∞>递增.所以()()min ln ln 1h t h a a a a ==--，所以ln 10--≥a a a ，111ln 1,ln 1a a a a a+≥≥-，由（1）知ln 10x x -+≤，即ln 1≤-x x ，即11ln1a a≤-，所以11ln 1a a =-，当且仅当11a =，即1a =时成立.【小问3详解】由（2）得，当1a =时，()e (ln )1x f x x x x =-+≥对任意0x >恒成立.所以()0,x ∀∈+∞，e ln 1x x x x ≥++，则()22e ln 0x x x x x x x ≥++>，要证明()()2e 2ln 2sin 0x x x x x x >++>，只需证明2ln (2)ln 2sin (0)x x x x x x x x ++>++>，即证22ln 2sin (0)x x x x x +>+>，由（1）知()ln 10x x x ≤->，所以只需证()22(1)2sin 0xx x x x +>-+>，即证()222sin 0x x x x -+>>，①当1x >时，()221222sin x x x x x -+=-+>≥，不等式成立.②当01x <≤时，221772()244x x x -+=-+≥，π72sin 2sin12sin34x ≤<=<，不等式成立.所以()222sin 0x x x x -+>>成立，所以()()2e 2ln 2sin 0xx x x x x >++>成立.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可对不等式进行转化，然后利用构造函数法，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.。
{高中试卷}上海位育中学高三第一学期期中考试(数学理)[仅供参考]
![{高中试卷}上海位育中学高三第一学期期中考试(数学理)[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/3163b4ec376baf1ffd4fad81.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：位育中学20XX学年第一学期期中考试高三年级数学试卷(理科)一、填空题(每题4分，共计56分)1、已知集合},3,1{mA=，}4,3{=B，}4,3,2,1{=BA ，则=m__________2、不等式3|2|<-x的解集是__________3、设)(xf为定义在R上的奇函数，当0≥x时，bxxf x++=22)((b为常数)，则)2(-f=__________4、已知+∈Ryx,，且满足143=+yx，则xy的最大值为__________5、对任意不等于1的正数a，函数)3(log)(+=xxfa的反函数的图像都经过点P，则点P 的坐标是__________6、若函数xaxy2cos2sin+=的图像关于直线6π-=x对称，则a=__________7、函数||log)(bxxfa-=(0>a且1≠a)是偶函数，且在),0(+∞上单调递减，则)3(-af与)2(-bf的大小关系是______________8、定义在R上的函数⎪⎩⎪⎨⎧>---≤=),2()1(,23sin)(xxfxfxxxfπ，则)2010(f的值为__________9、某种商品，若定价为p元，则每月可卖出n件，设定价上涨x成(一成即%10)，卖出数量将减少32x成，为了使售货金额有所增加，则x的取值范围是__________10、无论m取何值，函数)43sin(2π+=kxy在区间))(43,32[Rmmm∈++上至少有一个最大值和最小值，则正整数k的最小值为11、若关于x 的方程x x k =++2有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是__________12、设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有[]2,aa y ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时，a 的取值的集合为13、若关于x 的两个不等式0)(<x f 和0)(<x g 的解集分别为),(b a 和)1,1(ab ，则称这两个不等式为对偶不等式。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期文科数学期中考试卷
CBAPN上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期文科数学期中考试卷创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |y ＝ln(x －2)}，则(∁R B )∩A ＝( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2} 2.已知i 是虚数单位，则复数ii -+131的模为A.1B.2C.5D.5 3.下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是A. x y lg =B.xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21 C. ||x x y = D.3x y -=4. 一元二次方程022=++m x x 有实数解的一个必要不充分条件为 A.1<m B.1≤m C. 1≥m D.2<m点，若5.如右下图，在ABC ∆中，NC AN 21=,P 是BN 上的一AC AB m AP 92+=,则实数m 的值为 D.A.3B. 1C.31 91主视图3232俯视图6. 函数ϕωϕω,,()sin()(A x A x f +=为常数，)0,0>>ωA 的部分图象如图所示，则)0(f =7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12,9321-=+-=a a a ，则使n S 取得最小值时n 的值为 A. 2 B. 4 C. 5 D. 78. 巳知点),(y x 在ΔABC 所包围的阴影区域内界),解,则实数a 的取值范围为 9.定义{}n a a a ,,,m in 21⋅⋅⋅是n a a a ,,,21⋅⋅⋅中的最小值，执行程序框图（如下图），则输出的结果是 A. 51 B.41 C.31 D.32 （第10题图）（第9题图）10.已知正三棱锥P-ABC 的主视图和俯视图如上图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为双曲线的离心率为12. [x]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]=2，[-4.1]=-5，已知f(x)=x-[x](x ∈R),g(x)=log 4(x-1),则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是A. 1B. 2C. 3D. 4第II 卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第：24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上，则r 的值是14. 已知点),(y x P 在直线32=+y x 上移动，当y x 42+取得最小值时，过点P 引圆21)41()21(22=++-y x 的切线，则此切线段的长度为_______15、天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0〜9之间随机整数的20组如下： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为________16.已知函数a ax x e x f x +--=)12()(，其中1<a ，若存在唯一的整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c .已知b ac B C A -=-2cos cos 2cos .（Ⅰ）求sin sin CA的值；（Ⅱ）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S .18. (本小题满分12分）四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如下，其中正视图是等边三角形，俯视图是直角梯形.(I)若F为AC的中点，当点M在棱AD上移动，是否总有BF丄CM，请说明理由.(II)求三棱锥ADEC 的高.19. (本小题满分12分）有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间Array的频数分布如下表：(I)为进行某项研究，从所用时间为12天的60辆汽车中随机抽取6辆.(i) 若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；(ii)若从（i)的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路1的概率.(II)假设汽车A只能在约定日期(某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A 和汽车B 应如何选择各自的道路. 20. (本小题满分12分）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点是)0,1(F ，O 为坐标原点。
2023-2024学年上海市位育中学高三上学期期中考试数学试卷含详解
2023学年第一学期位育中学期中考试试卷高三年级数学学科（考试时间：120分钟总分：150分）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知集合{}{}1,2,1,3,5A x x B =≤=-，则A B = __________.2.复数12i3i z -=+的模为__________．3.如果22sin 3α=-，α为第三象限角，则3sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭________．4.已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f -=________5.若定义在R 上的函数()f x 为奇函数，设()()1F x af x =-，且(1)3F =，则(1)F -的值为____________．6.如图，在三棱柱111A B C ABC-中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______7.设1()lg f x x x =-，则不等式1(1)1f x -<的解集为__________．8.已知正实数x ，y 满足x y 1+=，则14yx y 1-+的最小值是______9.设P 是曲线323y x x =-++上任意一点，则曲线在点P 处的切线的倾斜角α的取值范围是__．10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为2，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为________．11.若函数()f x 的图象上存在不同的两点()()1122,,,M x y N x y，坐标满足关系：1212x x y y +≥，则称函数()f x 与原点关联．给出下列函数：①()2f x x =；②()sin f x x =；③1()(0)f x x x x =+>；④()ln f x x =．其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．12.已知函数()ln 1f x b x =+--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑13.已知向量()()1,2,2,4a x b =-= ，则“a 与b 夹角为锐角”是“3x >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A.①反映建议（2），③反映建议（1） B.①反映建议（1），③反映建议（2）C.②反映建议（1），④反映建议（2） D.④反映建议（1），②反映建议（2）15.函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π-=，则下列结论成立的是（）A.162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.62f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.162f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D.362f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭16.已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，如果关于x 的实系数方程22023202320230x S x T -+=有实数解，那么以下2023个方程()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.1009B.1010C.1011D.1012三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知函数()1cos cos 22f x x x x =-,（1）求()f x 的最小正周期;（2）在ABC 中,三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若()1f A =,2cos c a B =⋅,6b =,求ABC 的面积.18.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝22110.8,010301081000,103x x x xx ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）19.在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．（1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．20.已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线C 的虚轴长与离心率；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点2F 无论怎么转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标：若不存在，请说明理由.21.若定义域为R 的函数()y f x =满足()y f x '=是R 上的严格增函数，则称()y f x =是一个“T 函数”.（1）分别判断()1e xf x =，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由：（2）设R a ∈，若函数()y g x =是T 函数，判断()()12g a g a +++和()()3g a g a ++的大小关系，并证明：（3）已知函数()y F x =是T 函数，过()00,x y 可以作函数()y F x =的两条切线，证明：()00y F x <.2023学年第一学期位育中学期中考试试卷高三年级数学学科（考试时间：120分钟总分：150分）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知集合{}{}1,2,1,3,5A x x B =≤=-，则A B = __________.【答案】{}1【分析】解集合A 中的不等式，得到集合A ，再由交集的定义求A B ⋂.【详解】不等式1x ≤解得11x -≤≤，得{}11A x x =-≤≤，又{}2,1,3,5B =-，则{}1A B ⋂=.故答案为：{}12.复数12i3iz -=+的模为__________．【答案】22【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】()()()()12i 3i 12i 17i 2,3i 3i 3i 102z z ----===∴=++-．故答案为：223.如果22sin 3α=-，α为第三象限角，则3sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】13【分析】由条件22sin 3α=-，α为第三象限角，可求出1cos 3α=-，再由诱导公式可得3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而可得答案.【详解】由22sin 3α=-，α为第三象限角,有1cos 3α==-.由诱导公式可得3sin cos 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭所以31sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭故答案为：13【点睛】本题考查同角三角函数的关系和诱导公式，注意角的范围，属于基础题.4.已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f -=________【答案】18-【分析】设幂函数()f x x α=，将1,82⎛⎫⎪⎝⎭代入，求得3α=-，进而可得结果.【详解】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，所以311822α-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3α=-，所以()()()331,22,8f x x f --=-=-=-故答案为18-.【点睛】本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题.5.若定义在R 上的函数()f x 为奇函数，设()()1F x af x =-，且(1)3F =，则(1)F -的值为____________．【答案】5-【分析】根据()f x 为奇函数得到()f x 的对称中心为()0,0，再结合()()1F x af x =-得到()F x 的对称中心为()0,1-，然后利用对称性求()1F -即可.【详解】由()13F =可得0a ≠，因为()f x 为奇函数，所以()f x 的对称中心为()0,0，则()F x 的对称中心为()0,1-，又()13F =，则()15F -=-.故答案为：-5.6.如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______【答案】124【详解】试卷分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4，又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍．即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=13S △ADE•h/S △ABC•H ＝124=1：24考点：棱柱、棱锥、棱台的体积7.设1()lg f x x x =-，则不等式1(1)1f x -<的解集为__________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据初等函数的性质，得到函数1()lg f x x x =-为单调递减函数，且(1)1f =，把不等式1(1)1f x-<转化为111x->，即可求解.【详解】由题意，函数1()lg f x x x=-，根据初等函数的性质，可得函数()f x 为单调递减函数，且(1)1f =，则不等式1(1)1f x -<等价于111x ->，即11220x x x--=>，解得102x <<，所以不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.8.已知正实数x ，y 满足x y 1+=，则14y x y 1-+的最小值是______【答案】12【分析】由已知分离14y 14y 44144x y 1x y 1x y 1+--=-=+-+++，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x ，y 满足x y 1+=，则()14y 14y 44141144x y 14x y 1x y 1x y 12x y 1⎛⎫+-⎡⎤-=-=+-=+++- ⎪⎣⎦++++⎝⎭()1y 14x 11545442x y 122⎛⎫+=++-≥+-= ⎪+⎝⎭当且仅当y 14x x y 1+=+且x y 1+=即1y 3=，2x 3=时取得最小值是12故答案为12【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9.设P 是曲线323y x x =-++上任意一点，则曲线在点P 处的切线的倾斜角α的取值范围是__．【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．【详解】由已知得2πtan 311tan4y x α'==-+≤=，由π)[0,a ∈得ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．故答案为：ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为________．【答案】【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a 的最大值．【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P ，球P 的半径为r ，圆锥的轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如图：则32OA OB ==，332MO =，所以，223MA MB MO OA ==+=，所以，MAB △为等边三角形，11339332224MAB S MO AB =⋅=⨯⨯=△.由等面积法可得19933224MAB r S r AB =⋅⋅==，解得32r =，即四面体的外接球的半径为32r =．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a 时，截得它的正方体的棱长为22a ，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以262322r a ==，所以2a =a 2．2．【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.11.若函数()f x 的图象上存在不同的两点()()1122,,,M x y N x y ，坐标满足关系：1212x x y y +≥，则称函数()f x 与原点关联．给出下列函数：①()2f x x =；②()sin f x x =；③1()(0)f x x x x=+>；④()ln f x x =．其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．【答案】①②④【分析】由“西数函数与原点关联”的定义可知函数f （x ）在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得OA、OB共线，即存在点A 、B 与点O 共线，结合4个函数的图象分别判断即可.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212,OA OB x x y y OA B O ⋅=+= ，由题意可知·0OA OB OA OB -≥ ，即·OA OB OA OB ≥，即cos ,OA OB OA OB OA OB ≥ ，所以cos ,1OA OB ≥ ，又cos ,1OA OB ≤，所以cos ,1OA OB = ，即,OA OB 共线，亦即,,A O B 三点共线，也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为西数函数与原点关联.对于①，易知函数2y x =经过原点，且图象关于原点对称，存在点A 、B 与点O 三点共线，故①是与原点关联的函数；对于②，设过原点的直线为y kx =，作出函数sin y x =与y kx =的图象，如图，所以存在实数k 使得直线y kx =与函数sin y x =图象在R 上有3个交点，即存在点A 、B 与点O 三点共线，故②是与原点关联的函数；对于③，设过原点的直线为y kx =，作出函数()()10f x x x x=+>与y kx =的图象，如图，所以存在实数k 使得直线y kx =与函数()()10f x x x x=+>图象在(0,)+∞上有1个交点，即不存在点A 、B 与点O 三点共线，故③不是与原点关联的函数；对于④，设过原点的直线为y kx =，作出函数ln y x =与y kx =的图象，如图，所以存在实数k 使得直线y kx =与函数ln y x =图象在(0,)+∞上有2个交点，即存在点A 、B 与点O 三点共线，故④是与原点关联的函数；故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的性质，理解新定义的本质是求解的关键.12.已知函数()1ln 1f x x b x =-+--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．【答案】29e 【分析】设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则由1ln 10m b m ---=，则(),P a b 在直线:1ln 10l m x y m -+--=上，则22a b +可看作是O 到直线l 的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案【详解】解：设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则1ln 10m b m -+--=，所以点(),P a b 在直线1ln 10l m x y m -+--=上，设O 为坐标原点，则222||a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，22ln 1ln 1m m a b OP mm++=≥，2e,e m 轾Î犏臌，设e,e t m ⎤=⎦，设()2ln 1t g t t+=，则()()212ln 0e,e tg t t t-⎤'=≤∈⎦，所以()g t 在e,e ⎤⎦上单调递减，所以()()min 3e eg t g ==，3e≥即2229e a b +≥，所以22a b +的最小值为29e ，故答案为：29e 二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑13.已知向量()()1,2,2,4a x b =-= ，则“a 与b夹角为锐角”是“3x >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求a与b夹角为锐角时，x 的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项.【详解】当()21240a b x ⋅=-+⨯>，解得：3x >-，且当//a b 时，()4140x --=，解得：2x =，所以“a与b夹角为锐角时，x 的取值范围是3x >-且2x ≠，所以“a 与b夹角为锐角”是“3x >-”的充分不必要条件.故选：A14.某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A.①反映建议（2），③反映建议（1） B.①反映建议（1），③反映建议（2）C.②反映建议（1），④反映建议（2） D.④反映建议（1），②反映建议（2）【答案】B【分析】根据收支差额的计算公式可得正确的判断.【详解】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）.【点睛】本题考查函数图像在实际问题中的应用，注意根据给出的建议结合题设中的计算公式分析出图象变化的规律，此题为基础题.15.函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π-=，则下列结论成立的是（）A.162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.62f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.162f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.62f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据(),P s t ,()(),0Q r t t >在()sin2f x x =上,可得出222,r s k k Z ππ+=+∈,再根联立6r s π-=,得到s 的值,根据0t>缩小s 的取值范围,进而代入,66f s fs ππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求值即可.【详解】解:由题知()sin2f x x =,T π∴=,()(),,,P s t Q r t 均在()sin2f x x =上,sin 2sin 20s r t ∴==>,644Tr s ππ-=<= ,0222Tr s ∴<-<,故有:222,Z r s k k ππ+=+∈,两等式联立有2226r s k r s πππ+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得2,Z 3s k k ππ∴=+∈,sin 20s t => ,1122,Z 3s k k ππ∴=+∈,3sin 2sin 2sin 2663332f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,sin 2sin 2sin 2066333f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,综上选项B 正确.16.已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，如果关于x 的实系数方程22023202320230x S x T -+=有实数解，那么以下2023个方程()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.1009B.1010C.1011D.1012【答案】D【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到21012101240a b -≥，要想无实根，要满足240i i a b -<，结合根的判别式与基本不等式得到10∆<和2023Δ0<至多一个成立，同理可证：20∆<和2022Δ0<至多一个成立，……，1011Δ0<和1013Δ0<至多一个成立，且1012Δ0≥，从而得到结论.【详解】由题意得：220232023420230S T -⨯≥，其中()1202320231012202320232a a S a +==，()1202320231012202320232b b T b +==，代入上式得：21012101240a b -≥，要想()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 方程无实数解，则240i i a b -<，显然第1012个方程有解，设方程2110x a x b -+=与方程2202320230x a x b -+=的判别式分别为1∆和2023Δ，则()()()22221202311202320231202312023ΔΔ444a b a b a a b b +=-+-≥+-+()()()()2212023101221202310121012101224824022a a ab b b a b +≥-+=-=-≥，等号成立的条件是12023a a =.所以10∆<和2023Δ0<至多一个成立，同理可证：20∆<和2022Δ0<至多一个成立，……，1011Δ0<和1013Δ0<至多一个成立，且1012Δ0≥，综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个，有实数根的方程至少1012个.故选：D.三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知函数()1cos cos 22f x x x x =-,（1）求()f x 的最小正周期;（2）在ABC 中,三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若()1f A =,2cos c a B =⋅,6b =,求ABC 的面积.【答案】（1）π（2）【分析】(1)运用辅助角公式进行化简为()sin A x ωϕ+的形式,进而求出最小正周期即可;(2)先由()1f A =,求得π3A =,再由2cos c a B =⋅用正弦定理,再将()sin sin C A B =+代入展开化简即可得π3A B C ===,故ABC 为等边三角形,再由6b =,即可求面积.【小问1详解】解:由题知()1cos cos 22f x x x x=-1sin 2cos 222x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()f x \的最小正周期2ππ2T ==;【小问2详解】由于在ABC 中,三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,()1f A =,()πsin 216f A A ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭,0πA << ,ππ11π2666A ∴-<-<ππ262A ∴-=,π3A ∴=,2cos c ac B = ,在ABC 中由正弦定理得,sin 2sin cos C A B =,又有()sin sin πC A B =-+⎡⎤⎣⎦()sin A B =+sin cos cos sin A B A B =+2sin cos A B =,sin cos cos sin 0A B A B ∴-=,()sin 0A B ∴-=,πA B k ∴-=,Z k ∈,,A B 中ABC 的内角,且π3A =,π3A B C ∴===,6a b c ∴===,ABC ∴的面积136622ABC S =⨯⨯⨯= .18.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝22110.8,010301081000,103x x x xx ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）【答案】（1）W ＝318.110,010******** 2.7,103x x x x x x ⎧--<≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）9千件.【分析】（1）根据题意，结合已知条件，即可容易求得结果；（2）由（1）中所求函数解析式，分段考虑函数最值，注意利用导数即可.【详解】（1）由题意得W ＝22110.8 2.710,010********* 2.710,103x x x x x x x x x ⎧⎛⎫-⨯--<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯--> ⎪⎪⎝⎭⎩即W ＝318.110,010******** 2.7,103x x x x x x ⎧--<≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）①当0＜x ≤10时，W ＝8.1x －130x 3－10，则W ′＝8.1－110x 2＝28110x -＝(9)(9)10x x +-，因为0＜x ≤10，所以当0＜x ＜9时，W ′＞0，则W 递增；所以当x ＝9时，W 取最大值1935＝38.6万元.②当x ＞10时，W ＝98－1000 2.73x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤98－38.当且仅当10003x ＝2.7x ，即x ＝1009时等号成立.综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大.【点睛】本题考查函数模型的应用，涉及利用导数求利润的最大值，属基础题.19.在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．（1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，利用勾股定理证明AD BD ⊥，根据线面垂直的性质可得PD BD ⊥，从而可得BD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以12AE BF ==，故2DE =，BD ==所以222AD BD AB +=，因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，又=PD AD D ⋂，所以BD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥；【小问2详解】解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD =，则()()(1,0,0,,0,0,A B P ，则(((,0,,0,0,AP BP DP =-==，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则有0{0n AP x n BP ⋅=-+=⋅==，可取)n = ，则5cos ,5n DP n DP n DP⋅==，所以PD 与平面PAB20.已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线C 的虚轴长与离心率；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点2F 无论怎么转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）虚轴长2e =（2）证明见解析（3）1m =-【分析】（1）根据双曲线方程直接得虚轴长与离心率；（2）设点()00,A x y ，()00,B x y --，(),P m n ，分别表示PA k ，PB k ，再根据点P 在双曲线上，可得证；（3）当直线斜率存在时，设直线方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线，结合韦达定理，可将0MA MB ⋅= 恒成立转化为()222243530m m k m k ---+=恒成立，所以224533m m m ⎧-=⎨-=-⎩，解得1m =-，当直线斜率不存在时，直线方程为2x =，此时()2,3A ，()2,3B -，由0MA MB ⋅=可解得1m =-.【小问1详解】由双曲线方程为22:13y C x -=，可知1a =，b =，2c ==，所以虚轴长为2b =，离心率2ce a==；【小问2详解】则00PA n y k m x -=-，0PB n y k m x +=+，则220220PA PBn y k k m x -⋅=-，又点()00,A x y 与点(),P m n 均在双曲线上，则220033=-y x ，2233n m =-，所以()22220022220033333PA PBm x n y k k m x m x ----⋅===--，所以PA PB k k ⋅为定值3；【小问3详解】假设存在点(),0M m ，使0MA MB ⋅= 恒成立，由已知得()22,0F 当直线l 斜率存在时，设直线方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=，()()()222224434336360k k k k D =---+=+>，且k ≠，212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()11,MA x m y =-，()22,MB x m y =-，()()()()222212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x k x x k ×=--+=-+++-++()2222243533m m k m k k ---+=-，若0MA MB ⋅= 恒成立，则()222243530m m k m k ---+=恒成立，即224533m m m ⎧-=⎨-=-⎩，解得1m =-，当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时()2,3A ，()2,3B -，()2,3MA m =-，()2,3MB m =--()2290MA MB m ⋅=--= ，解得1m =-或5m =，综上所述，1m =-，所以存在点()1,0M -，使0MA MB ⋅= 恒成立.【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21.若定义域为R 的函数()y f x =满足()y f x '=是R 上的严格增函数，则称()y f x =是一个“T 函数”.（1）分别判断()1e x f x =，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由：（2）设R a ∈，若函数()y g x =是T 函数，判断()()12g a g a +++和()()3g a g a ++的大小关系，并证明：（3）已知函数()y F x =是T 函数，过()00,x y 可以作函数()y F x =的两条切线，证明：()00y F x <.【答案】21.()1e x f x =是“T 函数”；()32f x x =不是“T 函数”，理由见解析22.()()()()312g a g a g a g a ++>+++，理由见解析23.证明见解析【分析】（1）利用定义直接判断各函数；（2）构造函数()()()1G x g x g x =+-，可证()G x 在R 上单调递增，即可得证；（3）设切点()11,A x y ，不妨设10x x >，由“T 函数”可知，()01,m x x ∃∈，使()()()1010f x f x F m x x -'=-，又()()()10110F x y F x F m x x -''=>-，化简即可得证.【小问1详解】()1e x f x =，得()1e x f x '=，是R 上的严格增函数，所以()1e xf x =是“T 函数”；()32f x x =，得()223f x x '=，不是R 上的严格增函数，所以()32f x x =不是“T 函数”；【小问2详解】由函数()y g x =是T 函数，可知()g x '是R 上的严格增函数，设()()()1G x g x g x =+-，则()()()10G x g x g x '''=+->，所以()G x 在R 上单调递增，所以()()2G a G a +>，即()()()()321g a g a g a g a +-+>+-，即()()()()312g a g a g a g a ++>+++；【小问3详解】过()00,P x y 作函数()y F x =的切线，设切点为()11,A x y ，不妨设10x x >则()()10110AP f x y F x k x x -'==-，由函数()y F x =是“T 函数”，所以()F x '是R 上的严格增函数，所以()()01F x F x ''<，则()01,m x x ∃∈，使()()()1010F x F x F m x x -'=-，所以()()1F m F x ''<，即()()()10101010F x F x F x y x x x x --<--，化简可得()00y F x <.。
上海市西南位育中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题
试卷第1页，总21页绝密★启用前上海市西南位育中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若a 、b ∈R ，那么11a b>成立的一个充分非必要条件是（ ） A.a b > B.()0ab a b -<C.0a b <<D.a b <【答案】C 【解析】 【分析】 利用作差法得出11a b >的等价条件，然后可找出11a b>成立的一个充分非必要条件. 【详解】11a b >Q，110b a a b ab -∴-=>，即0a bab-<，等价于()0ab a b -<. 对于A 选项，若a b >，则0a b ->，由于ab 的符号不确定，则()0ab a b -<不一定成立；对于B 选项，()0ab a b -<是11a b>成立的充要条件； 对于C 选项，当0a b <<时，0a b -<，0ab >，此时()0ab a b -<， 则()00a b ab a b <<⇒-<，另一方面，()00b a ab a b >>⇒-<. 则()00ab a b a b -<⇒<</，则0a b <<是11a b>成立的充分非必要条件； 对于D 选项，若a b <，0a b -<，由于ab 的符号不确定，则()0ab a b -<不一定成试卷第2页，总21页立. 因此，11a b>成立的一个充分非必要条件是0a b <<. 故选：C. 【点睛】本题考查充分非必要条件的寻找，解题时应充分考查不等式的基本性质，考查推理能力，属于中等题.2．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．试卷第3页，总21页…………○………………○……3．关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A.[)0,+∞B.(],8-∞-C.(][),80,-∞-+∞UD.以上都不对【答案】B 【解析】 【分析】换元30x t =>，问题转化为关于t 的二次方程()2440t a t +++=在0t >时有实数根，利用参变量分离法得出()44a t t-+=+，转化为()4a -+的取值范围即为函数()40y t t t=+>的值域，然后利用基本不等式求出该函数的值域，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】令30x t =>，则29x t =，由()94340xxa ++⋅+=，得()2440t a t +++=.则问题转化为关于t 的二次方程()2440t a t +++=在0t >时有实数根.由()2440t a t +++=，可得()44a t t-+=+， 由基本不等式得()444a t t -+=+≥=，当且仅当2t =时，等号成立， 所以，()44a -+≥，解得8a ≤-. 因此，实数a 的取值范围是(],8-∞-. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的零点求参数，解题的关键就是将指数函数转化为二次函数来求解，并利用参变量分离法简化计算，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.4．将一圆的六个等分点分成两组相同的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x r 、y ur 分别为点O 到两个顶点的向量，若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写出ax b y +r u r的试卷第4页，总21页外…………○…线…………○…※※请内…………○…线…………○…形式，则+a b 的最大值为（ ）A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，分别用x r 、y ur 表示出相邻的6个顶点的向量，即可求出结果.【详解】要求+a b 的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下： （1）因为=OA x uur r，所以(,)(1,0)=a b ；（2）因为3=+=+OB OF FB y x uu u r uuu r uu r u r r，所以(,)(3,1)=a b ； （3）因为2=+=+OC OF FC y x uuu r uuu r uu u r u r r，则(,)(2,1)=a b ；（4）因为32=++=++=+OD OF FE ED y x OC x y uuu r uuu r uur uu u r u r r uuu r r u r，则(,)(3,2)=a b ； （5）因为=+=+OE OF FE y x uu u r uuu r uur u r r，则(,)(1,1)=a b ；（6）因为=OF y uuu r u r，则(,)(0,1)=a b ； 因此，+a b 的最大值为325+=. 故选：C【点睛】本题主要考查由用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.试卷第5页，总21页第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．已知全集U =R ，若集合01xA x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则U A =ð________.【答案】(]0,1 【解析】 【分析】解出集合A ，然后利用补集的定义可得出集合U A ð. 【详解】 解不等式01xx ≥-，得0x ≤或1x >，则集合(](),01,A =-∞+∞U ，因此，(]0,1U A ð=.故答案为：(]0,1. 【点睛】本题考查补集的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.6．数列{}n a 的通项公式()1,110021,10023nn n a n N n n n *⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=∈⎨+⎪>⎪-⎩，则lim n n a →∞=________. 【答案】12【解析】 【分析】由题意得出1lim lim23n n n n a n →∞→∞+=-，然后在分式和分母中同时除以n ，于是可计算出所求极限值. 【详解】()1,110021,10023nn n a n N n n n *⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=∈⎨+⎪>⎪-⎩Q ，111101lim lim lim3232022n n n n n n a n n →∞→∞→∞+++∴====---.试卷第6页，总21页故答案为：12. 【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见极限的值，考查计算能力，属于基础题.7．若函数()y g x =图像与函数2(1)(1)y x x =-≤的图像关于直线y x =对称，则(4)g =_____.【答案】1- 【解析】 【详解】解：因为两个函数互为反函数，因此2(4),()4,141g t f t t t ==-=∴=-那么（） 8．函数()()2sin 22cos f x x x x R =+∈的最大值为________.1 【解析】 【分析】利用二倍角降幂公式、辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由此可得出函数()y f x =的解析式.【详解】()21cos 2sin 22cos sin 22sin 2cos 21224x f x x x x x x x π+⎛=+=+⋅=++=+ ⎝Q ，因此，函数()y f x =1. 1. 【点睛】本题考查三角函数的最值，解题时要将三角函数的解析式进行化简，再结合三角函数的有界性来求解，考查计算能力，属于中等题.9．在无穷等比数列{}n a 中，若此数列的前n 项和n S 满足1lim 2n n S →∞=，则1a 的取值范围为_______.试卷第7页，总21页【答案】110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知10q -<<或01q <<，由等比数列的前n 项和公式得出11lim 12n n a S q →∞==-，得出()1112a q =-，由此可得出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知10q -<<或01q <<，()111n n a q S q-=-Q ，则()1111lim lim112n n n n a q a S qq →∞→∞-===--，可得出()1112a q =-. 当10q -<<时，112q <-<，此时()1111,122a q ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭； 当01q <<时，011q <-<，此时()11110,22a q ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.因此，1a 的取值范围为110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查数列极限的计算，本题中要得出数列的公比()()1,00,1q ∈-U ，同时根据极限得出1a 与q 所满足的关系，考查计算能力，属于中等题.10．已知向量()1,1a =r ，()8,6b =-r ，则a r 与b r的夹角大小为________.【答案】arccos 10π- 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积计算出cos ,a b r r ，由此可得出a r 与b r的夹角,a b r r 的大小.【详解】试卷第8页，总21页1816cos,10a ba ba b⨯-+⨯⋅====-⋅r rr rQ r r,arccos10a bπ∴=-r r，因此，ar与br的夹角大小为arccos10π-.故答案为：arccos10π-.【点睛】本题考查平面向量夹角的计算，解题时要充分利用平面向量数量积的定义来进行计算，考查计算能力，属于基础题.11．若3sin5α=且α是第二象限角，则tan4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭________.【答案】7-【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出tanα的值，然后利用两角差的正切公式可求出tan4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【详解】αQ是第二象限角，则4cos5α===-，sin3tancos4ααα∴==-.因此，3tan tan144tan7341tan tan1144παπαπα---⎛⎫-===-⎪⎛⎫⎝⎭++-⨯⎪⎝⎭.故答案为：7-.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式求三角函数值，在解题时要注意角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.12．已知数列{}n a的通项公式为()12n nna n=-⋅+，*n∈N，则这个数列的前2n项和2nS=________.试卷第9页，总21页【答案】2122n n ++- 【解析】 【分析】利用并项求和法求出数列(){}1nn -⋅的前2n 项和2nT，并利用等比数列的求和公式求出数列{}2n的前2n 项和，相加可得出2nS.【详解】 设数列(){}1nn -⋅的前2n 项和2n T ，则()()()()212342121234212n T n n n n =-+-+---+=-++-+++--+⎡⎤⎣⎦L L 1n n =⨯=，因此，()221222122212n n n n S T n +-=+=+--.故答案为：2122n n ++-. 【点睛】本题考查数列求和，考查并项求和与分组求和，解题时要根据数列通项的结构选择合适的方法求和，考查计算能力，属于中等题.13．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量()f x （毫克/毫升）随时间x （小时）变化的规律近似满足表达式()250131() 1.53x x x f x x -⎧≤≤⎪=⎨⋅⎪⎩，，＞《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．（精确到1小时） 【答案】4 【解析】 【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升时，才能开车，因此只需由()0.02f x ≤，求出x 的值即可.【详解】当01x ≤≤时，由()0.02f x ≤得250.02x -≤，解得5520.020.50x log log ≤+=<，舍去；试卷第10页，总21页订…………○※※答※※题※※订…………○当1x ＞时，由()0.02f x ≤得31()0.0253x ⋅≤，即130.1x -≤，解得3310.1110x log log ≥-=+，因为331104log <+<，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车. 故答案为4 【点睛】本题主要考查函数的应用，由题意得出不等式，分类求解即可，属于基础题型. 14．如图，在ABC ∆中，若3AB AC ==，3BAC π∠=，2DC BD =uuu r uu u r ，则AD BC ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32- 【解析】 【分析】将AD u u u r 、BC uuu r 利用向量AB u u u r 、AC u u u r表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义可计算出AD BC ⋅u u u r u u u r的值.【详解】2DC BD =uuu r uu u rQ ，13BD BC ∴=uu u r uu u r ，()1133AD AB BD AB BC AB AC AB ∴=+=+=+-uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ，BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r . 由平面向量数量积的定义得219cos 3322AB AC AB AC π⋅=⋅=⨯=uu u r uu u r uu u r uu u r .因此，()221211233333AD BC AC AB AC AB AC AB AC AB⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuur uu u r uuu r uu u r 22119233333232=⨯+⨯-⨯=-. 故答案为：32-.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就选择合适的基底表示问题中涉及的向量，同时也可以建立平面直角坐标系，利用坐标法来计算平面向量的数量积，考查计算能力，属于中等题.○…………装…………学校:___________姓名：__________○…………装…………15．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】13⎡⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为11=，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得试卷第12页，总21页13k =.综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为134⎡⎢⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.16．已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}n B x x n N ==∈．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++L L()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m L L =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >.由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如,2,n nn n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数），符号型（如2(1)n n a n =-），周期型（如πsin3n n a =）.三、解答题17．已知a ∈R ，函数()1f x a x=+. （1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤；（2）若关于x 的不等式()2f x x ≤在区间[]2,1--上有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[)1,+∞；（2）(],3-∞-. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，分0x <和0x >两种情况，去绝对值，解出不等式()2f x x ≤即可；（2）由()2f x x ≤，利用参变量分离法得出12a x x≤-，将问题转化为：当[]2,1x ∈--时，max12a x x ⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭，然后分析函数()12g x x x =-在[]2,1--上的单调性，求出该函数在区间[]2,1-- 上的最大值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()11f x x=+. 当0x <时，()111f x x=+>，而20x <，则不等式()2f x x ≤无解； 当0x >时，()1111f x x x =+=+，由()2f x x ≤，得112x x+≤，即2210x x --≥， 解得12x ≤-或1x ≥，此时，1x ≥. 综上所述，当1a =时，不等式()2f x x ≤的解集为[)1,+∞； （2）由()2f x x ≤，得12a x x +≤，由参变量分离法得12a x x≤-.………装……请※※不※※要※※………装……由题意可知，当[]2,1x∈--时，max12a xx⎛⎫≤-⎪⎪⎝⎭.当[]2,1x∈--时，构造函数()1122g x x xx x=-=+.任取1221x x-≤<≤-，则()()1212121122g x g x x xx x⎛⎫⎛⎫-=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()1212211212121212211122x x x xx xx x x xx x x x x x---=-+-=-+=.1221x x-≤<≤-Q，则1214x x<<，12210x x->，12x x-<，()()12g x g x∴<.则函数()12g x xx=+在区间[]2,1--上单调递增，所以，()()max13g x g=-=-，3a∴≤-，因此，实数a的取值范围是(],3-∞-.【点睛】本题考查分式不等式的求解，同时也考查了不等式成立求参数，灵活利用参变量分离法求解，可简化分类讨论，考查化归与转化思想，属于中等题.18．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区，已知120A∠=o，AB、AC的长度均大于200米，设AP x=，AQ y=，且AP、AQ总长度为200米.（1）当x、y为何值时，游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积？（2）当x、y为何值时，线段PQ最小，并求最小值？【答案】（1）100x y==时，最大值为；（2）100x y==时，最小值为.【解析】【分析】（1）由题意得出200x y+=，利用三角形的面积公式和基本不等式可求出APQ∆面积的最大值，并利用等号成立的条件求出对应的x与y的值；（2）由余弦定理结合基本不等式可得出PQ的最小值，并利用等号成立的条件求出对试卷第14页，总21页应的x 与y 的值. 【详解】（1）由题意可知，200x y +=，且0x >，0y >.APQ ∆的面积为11sin 2224ABQ S AP AQ A xy xy ∆=⋅⋅∠=⨯=.由基本不等式得)2221004424ABQx y S xy m ∆+⎛⎫=≤⋅== ⎪⎝⎭. 当且仅当200x y x y+=⎧⎨=⎩时，即当100x y ==时，等号成立，因此，当100x y ==时，游客体验活动区APQ 的面积取得最大值2； （2）由余弦定理得PQ =====由基本不等式得PQ =≥=)m =.当且仅当200x y x y+=⎧⎨=⎩时，即当100x y ==时，等号成立，因此，当100x y ==时，PQ 取得最小值. 【点睛】本题考查三角形面积公式与余弦定理的应用，同时也考查了基本不等式的应用，解题时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：试卷第16页，总21页（1）请写出上表1x 、2x 、3x ，并求出函数()f x 的解析式；（2）设()()()1g x x f x =+-，当[]0,4x ∈时，求()g x 的单调递增区间. 【答案】（1）123x =-，243x =，373x =，()23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）根据五点作图法，求出ω、ϕ的值，结合表格中的数据可得出1x 、2x 、3x 的值，并可得出函数()y f x =的解析式；（2）利用诱导公式、辅助角公式可得出()26g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，先求出函数()y g x =在R 上的单调递增区间A ，再由[]0,4A I 可得出函数()y g x =在区间[]0,4上的单调递增区间.【详解】（1）由题意可得1321023πωϕωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2πω=，3πϕ=，且A =则1023x ππ+=，得123x =-；223x πππ+=，得243x =；33232x πππ+=，得373x =.()23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()()()13sin 23232g x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 13sin cos 232323223x x x x ππππππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-+⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦sin cos cos sin 236236236x x x πππππππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦26x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解不等式()222262k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，得()424433k x k k Z -≤≤+∈. 所以，函数()y g x =在R 上的单调递增区间为()424,433A k k k Z ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦. []280,40,,433A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q I U ，因此，函数()y g x =在区间[]0,4上的单调递增区间为20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用五点作图法求函数解析式，同时也考查了正弦型三角函数在定区间上的单调区间的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.20．对于定义在D 上的函数()y f x =，若同时满足：①存在闭区间[],a b D ⊆，使得任取[]1,x a b ∈，都有()1f x c =（c 是常数）；②对于D 内任意2x ，当[]2,x a b ∉时总有()2f x c >，称()f x 为“平底型”函数.（1）判断()112f x x x =-+-，()22f x x x =+-是否为“平底型”函数？说明理由；（2）设()f x 是（1）中的“平底型”函数，若()11t t f x -++≥对一切t ∈R 恒成立，求实数x 的范围； （3）若()F x mx =+，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数，求m 和n 的值.【答案】（1）()1f x 是“平底型”函数，()2f x 不是“平底型”函数；理由见解析；（2）15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）1m n ==. 【解析】 【分析】试卷第18页，总21页（1）将函数()1y f x =与()2y f x =分别表示为分段函数，结合题中定义对这两个函数是否为“平底型”函数进行判断；（2）由（1）知，()12f x x x =-+-，由题意得出()()min11f x t t ≤-++，利用绝对值三角不等式求出11t t -++的最小值2，然后分1x <、12x ≤≤、2x >三种情况来解不等式()2f x ≤，即可得出x 的取值范围； （3）假设函数()F x mx =+，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数，则该函数的解析式需满足“平底型”函数的两个条件，化简函数解析式，检验“平底型”函数的两个条件同时成立的m 、n 值是否存在. 【详解】（1）()132,1121,1223,2x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-≥⎩Q ，()22,222,2x f x x x ≤⎧=⎨->⎩. 对于函数()1y f x =，当[]1,2x ∈时，()11f x =，当1x <时，()1321f x x =->；当2x >时，()1231f x x =->. 所以，函数()1y f x =为“平底型”函数.对于函数()2y f x =，当2x ≤时，()22f x =；当2x >时，()2222f x x =->. 但区间(],2-∞不是闭区间，所以，函数()2y f x =不是“平底型”函数； （2）由（1）知，()12f x x x =-+-，由于不等式()11t t f x -++≥对一切t ∈R 恒成立，则()()min11f x t t ≤-++.由绝对值三角不等式得()()11112t t t t -++≥--+=，则有()2f x ≤. ①当1x <时，由()2f x ≤，得322x -≤，解得12x ≥，此时，112x ≤<；②当12x ≤≤时，()12f x =≤恒成立，此时，12x ≤≤； ③当2x >时，由()2f x ≤，得232x -≤，解得52x ≤，此时，522x <≤. 综上所述，x 的取值范围是15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）假设函数()F x mx =+，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数，则存在R c ∈， 使得()F x c =对[)2,-+∞上某个闭区间上的任意实数x 恒成立， 即mx c =，c mx =-，()2222222x x n c mx m x cmx c ∴++=-=-+.所以，22122m cmc n ⎧=⎪-=⎨⎪=⎩，解得111m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或111m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.①当1m =，1c =-，1n =时，()1,21121,1x F x x x xx x --≤≤-⎧==++=⎨+>-⎩.且当1x >-时，()211F x x =+>-，此时，函数()y F x =，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数； ②当1m =-，1c =，1n =时，()21,2111,1x x F x x x x x ---≤<-⎧=-=-++=⎨≥-⎩.[)1,-+∞Q 不是闭区间，此时，函数()y F x =，[)2,x ∈-+∞不是“平底型”函数.综上所述，当1m n ==，函数()F x mx =，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数. 【点睛】本题考查函数的新定义“平底型”函数，同时也考查了不等式恒成立问题以及绝对值不等式的求解，体现等价转化和分类讨论数学思想，属于难题.21．已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足111{2n n a a a +=-=，111{2n nb b b +=-=，其中*n N ∈，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，称数列{}n c 为“k 坠点数列”①若数列{}n a 为“5坠点数列”，求n S ；②若数列{}n a 为“p 坠点数列”，数列{}n b 为“q 坠点数列”，是否存在正整数m ，使得试卷第20页，总21页1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21n a n =-，11,1{2,2n n n b n --==≥（2）①22,4{415,5n n n S n n n ≤=-+≥②6 【解析】(1)∵数列{}{},n n a b 都为递增数列，∴由递推式可得12n n a a +-=,21212,2,n n b b b b n N ++=-=∈∗， 则数列{}n a 为等差数列,数列{}n b 从第二项起构成等比数列。
上海市上海中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷
上海市上海中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．2B ．1169C ．16．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x 依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记{}()max (),(),()K x f x g x h x =．则对于下列命题：①若()K x 是严格增函数，则()()K x f x =；三、解答题17．已知:31x m a <-或x m >-，:2x b <或4x ³．(1)若a 是b 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若a 是b 的必要条件，求实数m 的取值范围．18．已知0a >，关于x 的不等式223ax bx c £++£．分以下两种情形来讨论：情形一：当21x y xy +=->时，有()()113x y --=，注意到,*x y ÎN ，所以,x y 中有一个是2，有一个是4，所以集合A 中除1以外的最小元素为6，但是336A +=Î，3327A ´-=Ï，而这与集合A 是“减2集”矛盾.情形二：当2x y xy +¹-时，则1x y xy +=-或(),2x y xy m m +=->，（因为若m 为负整数，则()()110x y m --->，即此时1x y xy m +¹-+），若11x y xy +=->，有()()112x y --=，注意到,*x y ÎN ，所以,x y 中有一个是2，有一个是3，所以集合A 中除1以外的最小元素为5，但是235A +=Î，2324A ´-=Ï，而这与集合A 是“减2集”矛盾；若(),2x y xy m m +=->，有()()111x y m --=+，不妨设(),2,2x a y b a b ==>>，()()111a b m --=+，且此时集合A 中除1以外的最小元素为x y a b A +=+Î，但是122xy a b a b <-=+-<+，所以2xy A -Ï,而这与集合A 是“减2集”矛盾.综上所述：不存在集合A 是“减2集”.（3）假设存在A 是“减1集”，{}1A ¹.假设1A Î，则A 中除了元素1以外，必然还含有其他元素.假设2A Î，则11A +Î，但111A ´-Ï，因此2A Ï，假设3A Î，则12A +Î，且121A ´-Î，因此3A Î，因此可以有{}1,3A =,假设4A Î，则13A +Î，但131A ´-Ï，因此4A Ï，假设5A Î，则23A +Î，且321A ´-Î，因此5A Î，可得奇数可能属于减一集，偶数不属于减一集，又当7A Î时，34A +Î，但3412´=，所以A 中元素应该小于7，因此减1集可以有{}{}131,3,5,,.【点睛】关键点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减2集”的性质分两种情况21x y xy +=->和2x y xy +¹-证出矛盾，第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减1集”的性质即可求解.答案第171页，共22页。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷数学文期中考试卷
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷数学文期中考试卷创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校（．11．10）一．选择题：（每小题5分，共60分） 1．命题“对任意的x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是A ．不存在x ∈R ，x 2＋1>0B ．存在x ∈R ，x 2＋1>0 C ．对任意的x ∈R ，x 2＋1≤0D ．存在x ∈R ，x 2＋1≤02． 已知集合{}23,A a =，集合{}0,,1B b a =-，且{}1A B =，则A B =A ．{}0,1,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,4D ．{}0,1,2,3,43．设,a b 为实数，若复数121ii a bi+=++，则a b -= A ．2- B ．1-C ．1D ．24.在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A.33B.23C.3D.15.等比数列{}n a 中，0,13>=q a ，满足n n n a a a 6212=-++，则5S 的值为A.31 B 121 C.431D 96.已知函数221,1,(), 1.x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))f f =4a ，则实数a =（ ） A.2 B.9 C.12D.457. 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是A ．1-B.22D.08．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图像如右图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是9．“1-<a ”是“一元二次方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log)(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A.[1,2]B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.(0,2]11．已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量),(1+=n n n a a c ，)1,(+=n n b n ，*n N ∈. 下列命题中真命题是A. 若*n N ∀∈总有n c n b 成立，则数列{}n a 是等差数列B. 若*n N ∀∈总有nc n b 成立，则数列{}n a 是等比数列C. 若*n N ∀∈总有n n b c ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D. 若*n N ∀∈总有n n b c ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列12. 设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 A ．0()()g a f b << B.()0()f b g a << C. ()()0f b g a << D.()0()g a f b << 二.填空题（每题5分，共20分） 13．函数()3lg 2x y x x+=+-的定义域为_________ 14.在极坐标系中，已知圆C 经过点2,4P π⎫⎪⎭，圆心为直线3sin 32πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，则圆C 的极坐标方程是．15. 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为.16.给出下列四个命题中： ①命题：,sin cos 2x R x x ∃∈-=()22x f x x =-有三个零点；③对()(){},,43100x y x y x y ∀∈+-=，则224x y +≥.④已知函数()1f x x x=+，若ABC ∆中，角C 是钝角，那么()()sin cos f A f B > 其中所有真命题的序号是. 三.解答题17．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，999S =. （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）若数列241n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T ，试求n T 并证明不等式112n T ≤<成立 18．（本小题满分12分）在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =.(Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.19．（本小题满分12分）已知函数||212)(x x x f -=.（Ⅰ）若2)(=x f ，求x 的值； （Ⅱ）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知椭圆E 的方程：22110025x y += ，P 为椭圆上的一点(点P 在第三象限上),圆P 以点P 为圆心，且过椭圆的左顶点M 与点()2,0C -,直线MP 交圆P 与另一点N.（Ⅰ）求圆P 的标准方程；（Ⅱ）若点A 在椭圆E 上，求使得AM AN ⋅取得最小值的点A 的坐标；（III ）若过椭圆的右顶点的直线l 上存在点Q ，使MQN ∠为钝角，求直线l 斜率的取值范围.21．（本小题满分12分）设函数3222()1,()2f x x ax a xg x ax x =+-+=-（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围． 22．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+。