现代分析3-3赋范空间 (1)
《泛函分析》教学大纲（本科）说明本课程的教学目的与要求本大纲
《泛函分析》教学大纲（本科）说明1本课程的教学目的与要求本大纲适用专业为数学与应用数学专业脱产与本科。
《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数、几何处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理。
工程技术等领域有很大帮助。
2本课程的主要内容：本课程主要介绍线性泛函分析，重点介绍Banach空间最基本的几个定理，如泛函延拓，逆算子定理共鸣定理及某些具体空间泛函表示定理等，Hilbert空间几何学以及距离空间的必要知识，压缩映象原理等。
3教学重点与难点本重点是几个最基本的定理，如泛函延拓定理，逆算子定理，共鸣定理，他们也是本章的重点。
4本课程的知识范围及与相关课程的关系本课程主要可以在学完数学分析、线性代数空间、解析几何及实变函数，复变函数后学习。
5教材的选用本课程选用程其襄的《实变函数与泛变分析基础》。
6．教学学时分配本课程为一学期课程，每周４学时，总学时为７２学时，其中授课６２学时，习题课８学时，机动２学时, 函授按脱产学时的百分之四十进行面授。
教学内容第六章距离空间（２５学时）一、教学内容距离空间的概念，距离空间中开集闭集，稠密性与可分性，连续映照的概念，距离空间中完备性，及其上连续映照，具体空间收敛性、完备性判定法及不动点定理。
二、教学目的及要求要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。
泛函分析讲义
第三章赋范空间3.1. 范数的概念“线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。
为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。
那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？3.1.1. 向量的长度为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。
回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。
这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。
可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。
图3.1.1. 三维欧氏空间中向量的大小和方向矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。
实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,,,)n x x x x =的如下三种长度（称为“范数”）：● 2-范数（也称为欧氏范数）：2x =● 1-范数：11nk k x x ==∑；● ∞-范数：1max k k nxx ∞≤≤=。
图3.1.2. 三种向量范数对应的“单位圆” 图3.1.3. “单位圆”集合的艺术形式下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。
我们注意到：通常将2或3中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的长度。
由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。
因此，长度是比距离更本质的概念。
3.1.2. 范数的定义我们希望将向量范数的概念推广到（以函数空间为原型的）无限维线性空间的场合。
现代分析基础
1.什么是数学，数学的内涵是什么？第一章19世纪时由恩格斯给出的定义，数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称：数与形）的科学按照恩格斯所说，数与形是数学的两大基本柱石之一。
整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。
20世纪初的定义，数学是研究模式与秩序的科学,数学研究的基本对象是各种各样的集合以及在它们上面赋予的各种结构。
一、对数学进行分类（1）从纵向划分：初等数学和古代数学；变量数学；近代数学；现代数学。
（2）从横向划分：基础数学（理论、纯粹数学）（代数、几何、分析，三大分支）应用数学；计算数学；概率统计；运筹与控制论。
二、数学的独特思考方式分类化归类比抽象化符号化公理化最优化模型化三、1近代数学的特征：分析的严密化;代数的抽象化;几何的非欧化。
2现代数学的六大特征从单变量到多变量，从低维到高维；从线性到非线性；从局部到整体，从简单到复杂；从连续到间断，从稳定到分岔；从精确到模糊；计算机的应用。
四、现代对数学的认识数学即包括数学思维，数学文化，数学素质。
（1）数学思维：一种能够通过分析、类比等方法从众多的事物现象中归纳出其共性和本质性的抽象性思维，一种能够从已知事理中推知未知事理的逻辑性思维，一种敢于突破常规、勇于创新的创造性思维，一种用数学方法模拟与验证现实世界的模式化思维。
（2）数学文化：现代科技文化的核心，是现代科技的形式语言，是理性主义观念。
（3）数学素质：是具有“数学思维”能力和运用数学思想方法解决实际问题的能力的一种特殊素质。
五、现代数学的三大趋势：分支多、交叉多交错发展、高度综合、逐步走向统一的趋势；边缘、综合、交叉学科与日俱增的趋势；数学表现形式、对象和方法日益抽象化的趋势。
六、数学形成与发展的因素与轨迹1. 数学的形成与发展的因素实用的、科学的、哲学的和美学的因素，共同促进了数学的形成与发展，第一动力：解决因社会需要而直接提出的问题。
第二动力：提供自然现象的合理结构。
第三动力：智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣。
【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间-文档资料
称级数
xn x1 x2 xn
n1
收敛于sV,如果 lim Sn s 0.
S x 这里
n
n
n
.
k
k 1
级数 xn称为绝对收敛的,如果 xn 收敛.
n1
n1
定理4.1 线性赋范空间V是完备的
V中每个绝对收敛的级数都收敛4 .
证明: )设V完备.级数
若 lim xn x,则lim xn x .
n
n
线性赋范空间V中加法是连续的,即
若 xnx,yny(n), 则 xn+ynx+y(n).
8
线性赋范空间V中数乘是连续的,即 若n,xnx(n,n,F,xn,xV),则
nxnx(n); 定义4.2 设‖x‖1和‖x‖2(x∈V)是x的两 个范数,如果存在两个正数A和B,使
第一章 集合上的数学结构
（抽象空间）
4.线性赋范空间
一、线性赋范空间概念与性质 二、有限维线性赋范空间 有限维线性赋范空间的基本性质: 有限维线性赋范空间都是完备的
1
一、线性赋范空间的概念和性质
定义4.1 设V是数域F上的线性空间.
如果xV,对应一个非负实数‖‖,
即VR是一泛函,满足:
(1)xV,‖x‖≥0;‖x‖=0x=.
n
|
k1
k
kHale Waihona Puke |2 2
B
x
y
从而 Tx Ty Rn Rn
1
n
| k 1
k
|2
2
如何理解线性赋范空间、希尔伯特空间, 巴拿赫空间,拓扑空间
（1） 对 称 性 ；
（2） 对 第 一 变 元 的 线 性 性 ；
（3） 正 定 性 ；
则称(x, y) 为内积 所以内积又是比范数更加具体的东西，因为范数只是到0的距离的时候多了线性性。但是 内积是线性性的充分条件【A>B，B不能>A就称为A是B的充分条件；类似的，B>A,A不 能>B，则称A是B的必要条件】 举个栗子： 我们可以把内积定义为：(x, y) = ∑Ni=1xiyi 也可以定义为：(f, g) = ∫∞0 f(x)g(y)dx 所以：内积可导出范数 | | x | | 2 = (x, x); 在线性空间上定义内积；其空间称为内积空间； 内积可在空间中建立 欧几里得空间学，例如交角，垂直和投影等，故习惯上称其为欧几 里得空间。 所以，我们平日中生活的空间就是欧几里得空间 接下来，我们看几个听起来似乎很牛逼哄哄的东西
赋予范数或者距离的集合分别称为：赋范空间和度量空间 若在其上再加上线性结构称为：线性赋范空间和线性度量空间
那么，我们日常生活的空间可以称为赋范空间或者度量空间么？ 答案是否定的因为这样的空间缺少角度的概念，从前面的定义中我们无法退出角度。所 以，我们才有了接下来的内容。
内积空间
赋范空间有向量的模长，即范数。但是还缺乏一个很重要的概念——两个向量的夹角，为 了克服这一缺陷，我们引入：内积 定义：
赋线空范性间空度，间量拓，空扑度间空量，间空希如间尔何，伯不线特被性空他赋间们范，吓空到巴间？拿，赫 函数空间
一、问题的提出
在微积分中可以定义极限和连续，依赖于距离 那么，什么是距离呢？ 通俗的看法，大家都认为距离就是所谓的直线
但是，在这张图中，我们如何衡量两点之间的距离？ 因为地球仪上不能画直线，所以这里的距离显然就不是直线了。我们只能沿着地球仪取曲 线作为距离 再来看一张图
数值分析(03)赋范线性空间(1)
m ax a j
1 j n
1
m ax a ij
1 j n i 1
数值分析
数值分析
特 征 值 及 对 应 特 征 向 量 :对 A R
特征对 ( , x )满足 Ax x , x 0
n n
Ax x , x 0 ( I A ) x 0 , x 0
2 2
|| x || || x ||2
n || x ||
注意： 1.等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混
用不同的范数。
2.在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。
数值分析
数值分析
2. R
n n
, A ( a ij ) n n
n n n n
定 义 (矩 阵 的 范 数 ) 若 矩 阵 A R 的 一 个 实 值 函 数 F ( A )( F : R R) 满足条件 ① ( 正 定 性 ) F ( A ) 0, 及 F ( A ) 0当 且 仅 当 A 0; ② ( 齐 次 性 ) k R , 有 F ( kA ) k F ( A ); ③ ( 三 角 不 等 式 ) A , B R 有 F ( A B ) F ( A ) F ( B ); ④ ( 相 容 性 ) A , B R 有 F ( A B ) F ( A ) F ( B ). 则 称 F ( A )是 R
2
max ( A T A )
T T
其中 max ( A A ) 表示 ( A A )的最大特征值 .
数值分析
数值分析
例 ： 证 明 矩 阵 的 1范 数 ： A R
n n
，A
1
数值分析04赋范线性空间
2）性质
除了一般的赋范线性空间的性质外，有限维赋
范线性空间还有一些特殊的性质。 （1） 有限维赋范线性空间的各种范数等价。 （2） 有限维赋范线性空间必是完备、可分的空间。 （3） 赋范线性空间 E 是有限维的 E 中的任意有界闭集 是列紧的（即有界闭集中的任意点列都有收敛的子列） 。 （4） 任意 n 维赋范线性空间都与 Rn 代数同构 （有相同的 代数运算性质） 。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
例：在 R 中，按范数 x 2
n
i 1
b
n
xi ，(R n , x 2 )是 Banach 空间;
2
x(t ) ，(C[ a ,b ] , x )是 Banach 空间； 在 C[ a ,b ] 中，按范数 x tmax [ a ,b ]
在L
2 [ a ,b ]
注：由于( E , )在 (x, y ) x y 定义下也是 ( E , ) ， 所以在(E ,
)中可类似定义——邻域、开集、闭集、极
限点、收敛点列、柯西点列等，并可讨论相关的性质。
4）巴拿赫空间（Banach） 如果赋范线性空间 (E , )按范数导出的距离空间
( E , ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
(E , )或 E 。
（2） 赋范线性空间与距离空间的关系
若在(E , )中，按范数定义距离，即
x, y E , (x, y ) x y ，
由范数导出 的距离
验证得知 满足距离的三个条件，因此，(E , )在范数意 义下（以后均指这种情况）是距离空间 ( E , ) 。
泛函分析第2章_度量空间与赋范线性空间[1]
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第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(∙∙ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(∙∙ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(∙∙ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x yx y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(∙∙ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
数值分析(03)赋范线性空间
A的特征值1 5, 2,3 3,
数值分析
数值分析
第二步：由(i I A)x 0求A的特征向量，
对1 5，解齐次方程组(5I A)x 0，有
1 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 1 0 1 0 0 0
x1 x2
x3 2x3
基础解系为1 (1,2,1)T
矩阵A属于1 5的全部特征向量
为 x(1) k1 k(1,2,1)T , k 0
数值分析
数值分析
对2,3 3，解齐次方程组(3I A)x 0，有
1 0 1 1 0 1 2 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0
3 用max（求最大）、sum（求和）编写计算矩阵1 范数
A 的程序。 1
数值分析
例：证明
x
= max 1 i n
xi
为向量范数.
证：(1)显然 x 0,
x 0 xi 0, i 1, 2, ..., n x 0
(2)
kx
= max 1 i n
程序3
计算向量的 范数
x
max 1 i n
xi
s=0;
for i=1:n
if abs(x(i))>s,s=abs(x(i));end
end
作业
1 用for语句、if 语句编写计算矩阵1 范数 A 的程序。 1
2 用for语句、if 语句编写计算矩阵 范数 A 的程序。
数值分析
数值分析
2. Rnn , A (aij )nn 定义(矩阵的范数)
赋范线性空间
(1) 线性性： ∀x = (x1, , xn ) , y = ( y1, , yn ) ∈ R ， α, β ∈ R
T T n
1
T (α x + β y) = A(α x + β y) = α Ax + β Ay = αTx + βTy
∀x = ( x1 , , xn )T ∈ R n ， Tx = Ax = ( z1 , , zm )T ∈ R m (2)有界性：
T 定义： E、 1 是赋范线性空间， : D(T ) ⊂ E → N (T ) ⊂ E1 。 设 E
（1）线性算子：若 ∀x, y ∈ D(T ), α ∈ K (数域) ，有
⎧T ( x + y ) = Tx + Ty ⎨ 即 T (α x + β y) = αTx + β Ty T (α x) = α Tx ⎩
3）范数的等价性 定义 设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1和 x 2 如果由 xn 1 → 0 ⇒ xn 2 → 0 ，称 x 1比 x 2 更强； 若又由 xn 2 → 0 ⇒ xn 1 → 0 ，即 x 2 比 x 1更强， 则称范数 x 1与 x 2 等价。 注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1、 x 2 、 x ∞ 相互等价
m n
T 2
⎛ ⎞ = ∑ z = ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎠
m 2 i
⎛ ⎞ ⎛ m n 2⎞ ≤ ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ ≤ ⎜ ∑∑ aij ⎟ i =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎝ i=1 j =1 ⎠
2
x2 = M x ∑ j
j =1
赋范空间及其性质
赋范空间及其性质赋范空间是数学分析中一个非常重要的概念，也是线性代数、拓扑学的重要内容之一。
本文将对赋范空间的概念、性质以及应用进行介绍。
一、赋范空间的概念赋范空间是一种向量空间，它在向量空间上还定义了一个范数，这个范数满足三条公理：1.非负性：对于 x∈X，有||x||≥0并且||x||=0当且仅当x=0；2.齐次性：对于 x∈X 和λ∈K（其中 K 是实数域或者复数域），有||λx||=|λ| ||x||；3.三角不等式：对于 x,y∈X，有||x+y||≤||x||+||y||。
赋范空间的一个重要特点是它是一个可度量的向量空间。
在赋范空间中，有一个用于度量向量长度的函数，这个函数可以用来衡量向量的大小和方向。
二、赋范空间的性质1. 赋范空间是一个度量空间。
2. 赋范空间的所有范数是等价的。
具体来说，如果∥⋅∥ 1 和∥⋅∥ 2 是同一向量空间 X 上的两个范数，则存在两个正数 A 和 B，对于所有 x∈X，有A∥x∥1≤∥x∥2≤B∥x∥1。
3. 赋范空间中的所有有界子集都是可列紧的。
这是紧性的一种形式，它告诉我们在赋范空间中的有界集合一定可以在有限的步骤内被完全覆盖。
4. 赋范空间中的任意 Cauchy 序列都收敛。
这个性质在分析中有重要的应用，因为它确保了我们在无穷维空间中仍然可以定义连续的函数。
5. 赋范空间中的每一闭凸子集是可分离的。
这个性质在拓扑学中有重要的应用，因为它告诉我们可以通过分别考虑凸集合来分析空间的性质。
三、赋范空间的应用赋范空间在分析学中有着广泛的应用。
例如，在微积分、偏微分方程、泛函分析、概率论等领域中，我们需要通过赋范空间来定义函数空间和算子空间。
此外，赋范空间还被广泛应用于类似于图像处理和模式识别等问题的机器学习和计算机视觉领域中。
总之，赋范空间是一种非常重要的数学概念，它在数学和其他领域中有着广泛的应用。
它的重要性在于，它通过引入范数将向量空间扩展为可度量的空间，从而使分析成为可能。
俄罗斯数学教材选译系列书目
俄罗斯数学教材选译系列出版社: 高等教育出版社册数:38简介:从上世纪50年代初起，在当时全面学习苏联的大背景下，国内的高等学校大量采用了翻译过来的苏联数学教材，这些教材体系严密，论证严谨，有效地帮助了青年学子打好扎实的数学基础，培养了一大批优秀的数学人才，到了60年代，国内开始编纂出版的大学数学教材逐步代替了原先采用的苏联教材，但还在很大程度上保留着苏联教材的影响，同时，一些苏联教材仍被广大教师和学生作为主要参考书或课外读物继续发挥着作用，客观地说，从解放初一直到文化大革命前夕，苏联数学教材在培养我国高级专门人才中发挥了重要的作用，起了不可忽略的影响，是功不可没的。
改革开放以来，通过接触并引进在体系及风格上各有特色的欧美数学教材，大家眼界为之一新，并得到了很大的启发和教益，但在很长一段时间中，尽管苏联的数学教学也在进行积极的探索与改革，引进却基本中断，更没有及时地进行跟踪，能看懂俄文数学教材原著的人也越来越少，事实上已造成了很大的隔膜，不能不说是一个很大的缺憾。
事情终于出现了一个转折的契机，今年初，在由中国数学会、中国工业与应用数学学会及国家自然科学基金委员会数学天元基金联合组织的迎春茶话会上，有数学家提出，莫斯科大学为庆祝成立250周年计划推出一批优秀教材，建议将其中的一些数学教材组织翻译出版，这一建议在会上得到广泛支持，并得到高等教育出版社的高度重视，会后高等教育出版社和数学天元基金一起邀请熟悉俄罗斯数学教材情况的专家座谈讨论，大家一致认为：在当前着力引进俄罗斯的数学教材，有助于扩大视野，开拓思路，对提高数学教学质量、促进数学教材改革均十分必要，《俄罗斯数学教材选译》系列正是在这样的情况下，经数学天元基金资助，由高等教育出版社组织出版的微积分学教程（第1卷）作者: F.M.菲赫金哥尔茨译者:出版社: 高等教育出版年: 2006-1本书是一部卓越的数学科学与教育著作。
自第一版问世50多年来，本书多次再版，至今仍被俄罗斯的综合大学以及技术和师范院校选作数学分析课程的基本教材之一，并被翻译成多种文字。
第二章 赋范线性空间1
5
凸集在求解极值问题中是一个十分重要的条件。 命题：凸集的交是凸集；凸集的直和是凸集。
凸锥（convex core）： C ⊂ X , C ≠ ∅ 。若对任意的 x1, x2 ∈ C ，θ1,θ2 > 0 ，有θ1x1 + θ2 x2 ∈ C ，则 称 C 为 X 的一个凸锥，例如 R+n = {x = (ξ1,",ξn ) ∈ Rn | ξi > 0, i = 1,", n}
则 F : C[a,b] → R 是连续（泛）函数。
证明：
三 完备性
设 X 为一个度量空间，如果 X 任意一个 Cauchy 序列在 X 中都有极限，则称 X 是完备的度量空
间。
例2.6 Rn 关于任何 p ≥ 1的距离都是完备的， n ≥ 1。
例2.7
C[a, b] 关于 d∞ 是完备的，而关于 d1 ， d2 都不是完备的。
定义 ||
x
|| p
=
⎛ ⎜⎝
∞ i =1
| ξi
|p
⎞1/ ⎟⎠
p
。由
Minkowski
不等式可知， (l
则 称 X 为 一 个 赋 范 线 性 空 间 （ normalized linear space）或赋范空间，|| ||为 X 的范数（norm）。|| x || 称为向量 x 的范数。
范数实际上是向量“模”或“长度”的统一称谓。
例2.9 n 维欧氏（Euclid）空间 R n （ Cn ）
∑ 对
证明：考虑 C[0,1] ，赋予距离 d1 。
3
⎧⎪0,
⎪
取
xn
(t
)
=
⎪⎨nt ⎪
−
[文学研究]赋范空间
![[文学研究]赋范空间](https://img.taocdn.com/s3/m/06a386243868011ca300a6c30c2259010202f3f8.png)
备的,并称 X 为 Banach 空间 .
直接看出,收敛序列必 为 Cauchy 列;而 Banach 空间中的 Cauch y 列也是收 敛
序列 . 因此 可 以 说,Banach 空 间 正是 使 Cauchy 收 敛 原理 成 立 的 赋 范空 间 . 鉴 于 Cauch y 收 敛 原 理 在 经 典 分 析 中 的 重 要 性,不 难 理 解,在 泛 函 分 析 中 通 常 使 用
看起来,这似乎 是一缺点 . 实际上,这 正是赋 范空间概 念的优点:本质的 东西其 实 只是公理(N1)～ (N3 ),范数 ‖ x‖ 的具体界定正是要舍弃的 .
以下设 X 是一个给定的赋范空间 . 我们将大量借 用 通常 的 几何 术 语,以 加强 与
平常 Euclid 空间的类比 .例如,X 中的元称为点或
说 Y 是 X 的完备化 .
以 I 记 X 上的单位算子(或称恒等算子),即 I x = x ( x ∈ X).若 ‖·‖ 与
‖·‖′ 是 X 上的两个范数,而 I ∶ (X,‖·‖)→ (X,‖·‖′ )
为拓扑同构,这意味着存在 α,β > 0,使得 (对照(12))
第 一 章 Banach 空 间
用一种比拟的说法,可将泛 函分 析界定 为 “无限 维空 间上 的分析 学”;若更 特 殊点,就是 “Banach 空 间上 的分析 学”. 于此可 见,Banach 空间 对于 泛函分 析之 意 义,恰如 Euclid 空间对于经典分析 之意 义 . 因 此,关于 Banach 空间 基 本理 论的 初 步介绍,自然地 构成本 书的第一 章,读者不妨 将它与 数学分析 中的实 数理论相 对 照.
向量,向量 x 亦解图 1 - 1),而 ‖ x‖ 即 其“长度”. 三角 不等 式无
《现代对位及其赋格》读书笔记思维导图
一、音区转换法 二、音节缩减法
三、音序纵横法 四、音点分合法
一、帕特拉英 科《七首前奏 曲与赋格——
为独...
二、布里顿 《序曲与赋 格——为十八 件弦乐器...
第七章 偶然对位
第一节 偶然对位的 内涵特征
第二节 偶然对位的 产生发展
第三节 偶然对位的 定位结构
第四节 偶然对位的 赋格分析
一、偶然对位 的本质属性
第四节 多节拍对位 的赋格分析
二、多节拍对位的 早期运用
一、多节拍对位的 律动关系
三、多节拍对位的 产生背景
二、复节奏的组合 样式
一、节拍与节奏的 区别
三、多节拍对位与 复节奏组合
二、相同节拍的错 位结合
一、不同节拍的错 位结合
三、不同节拍的同 位结合
第五章 十二音对位
第一节 十二音对位 的概念特征
第一章 对位与赋格概论
第一节 对位的 内涵与逻辑
第二节 赋格的 特征与精神
二、复调的发展轨 迹
一、对位的内涵特 质
三、对位与复调的 关系
一、赋格的结构特征 二、赋格的历史演化
三、赋格与其他概念 的关系
四、赋格的精神
第二章 线性对位
第一节 线性对位的 技术逻辑
第二节 线性对位的 历史渊源
第三节 线性对位的 组织规则
第二节 十二音对位 的音列陈述
第三节 十二音对位 的和声基础
第四节 十二音对位 的赋格分析
一、十二音对 位的概念定义
二、十二音对 位的结构特征
二、相同音列的同 时陈述
一、单一音列的同 时陈述
三、不同音列的同 时陈述
二、和弦的紧张度 类别
一、音程的不协和 分类
三、八度重复与调 性渗透
数值分析(02)线性空间与赋范线性空间
, n V ，令
, kn F
则 V1 是 V 的子空间，称为由元素 1 , 2 , 记作 V1 span 1 , 2 ,
, n 生成的子空间，
, n
P[ x]n span 1, x, x ,
2
,x
n
是Ｃ［a，ｂ］的子空间
矩阵代数中的几个重要子空间 1、矩阵的零空间 m n 设A R ，齐次线性方程组Ax 0的 全体解集合是R n的子空间，称为A的零空间， 记为N ( A),
代数运算的八条规则 设 , , V ; , F (1) ; ( 2) ;
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 V , 都有 0 ; (4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使 0; (5) 1 ; (6) ;
n i 1
, n ) ,则
k11 k2 2
则称 为 1 , 2 , 由 1 , 2 ,
kn n = ki i V ( F )
, n 的一个线性组合，或称 可
, n 线性表出。
定义2-2 : 设Ｖ是定义在数域F 上的线性空间,
1 , 2 , ..., m V , 若存在一组不全为零的数k1 , k2 , ...,
所以 R 对所定义的运算构成线性空间．
3、线性空间的基和维数 已知：在 R n中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题： 在线性空间V中，最多能有多少线性无关的向量？
3、线性空间的基和维数
若 1 , 2 ,
, n V ( F ) ， ki F (i 1, 2,
第1章 距离空间和赋范空间(1)kj
在 [a, b] 上一致收敛于函数 x(t ).
d ( xn , x) = max xn (t ) - x(t ) .
a£t £b
因 此 d ( xn , x) 0 当 且 仅 当 max xn (t ) - x(t ) 0. 这 相 当 于 {x n (t )} 在
a£t £b
[a, b] 上一致收敛于函数 x(t ). ■
x(t ), 则当 n ¥ 时 0 £ mE ( f n ³ ) £ mE ( xn - x ³ ) 0.
故 { f n } 依测度收敛于 0. 注意到 0 £ f n (t ) £ 1, 利用有界收敛定理得到
n¥
lim d ( xn , x) = lim ò f n dt = 0.
对任意 x, y, z Î s, 利用(2)式得到
¥ ¥ | xi - zi | | zi - yi | 1 | xi - yi | 1 £ + ) å i i ( 2 1 + | xi - yi | 1 + | xi - zi | 1 + | zi - yi | i =1 2
(2)
d ( x, y ) = å
d 1 ( x, y ) = å xi - yi ,
i =1
n
d 2 ( x, y ) max xi y i .
1i n
容易验证 d 1 和 d 2 也是 K n 上的距离. 注意 (K n , d ), (K n , d 1 ) 和 (K n , d 2 ) 这 三个空间上的距离是不同的, 因此它们是不同的距离空间. 由(1)式定义 的距离称为 K n 上的欧氏距离. 今后若无特别申明, 将 K n 视为距离空间 时, 其距离总是指的是欧氏距离. 设 E 是 K n 的非空子集, 则 K n 上的距离也是 E 上的距离, 因此 E 按 照 这 个 距 离 成 为 距 离 空 间 . 称 之 为 Kn 的 子 空 间 . 例 如 , 区 间
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因而
(t ) (1) 1
由此可得
t (0,)
t t (1 )
令
t (0,)
t
A ,代入上面不等式,那么 B
A A (1 ) B B
两边乘B,得到
A A (1 ) B 1 B
1 1 令 q 于是上式成为 p ,则
p 而不加以区别,设 f , g L [a, b] ,因为
f (t ) g (t ) (2 max f (t ) , g (t ) ) p
p
2 ( f (t ) g (t ) )
p
p
p
p p 所以， f (t ) g (t ) 是 L 上可积函数,即 f g L [a, b] ,至于 L [a, b]
p
k 1
1 2k
（12）
但是因为常数 1 Lq [a, b] ,由Holder不等式,成立
a
b
f nk f nk 1 dt f nk 1 _ f nk
p
(b a )
1 q
所以级数
f
k 1
a
n
b
nk
f nk 1 dt
(13)
n k 1
收敛,由级数形式的Levi定理,级数
证毕. 例5:空间 l
p
Lp [a, b] 空间一样,在空间中也有类似的Holder不等式 和Minkowski不等式:
k 1 k
n
k
) ,(k Holder 不等式) ( k ) (
p q k 1 k 1
n
1 p
n
1 q
其中
p 1 1 1 1 (1 , 2 , 3 ....) l p,( 1 , 2 ,3 ...) l q
证明:
f
p
满足范数条件(1)及(2)是显然的.又由 Minkowski不等式,当
p
p 1 时,对任何 f , g Lp [a, b] 有 f g
f
p
g
p
p ,所以 L [a, b] 按 f
p
成赋范线性空间. 证毕.
定理2:Lp [a, b] p 1 是Banach空间. 证明: 设{ f n }是 Lp [a, b] 中柯西点列,由柯西点列的定义,存在正整数mk ,使当
对于任何正数 0 ,存在N,使当 n, m N 时, f n f m
b
k
nk0 N ,于是当 k k0 .n N 时,就有 f n (t ) f n (t ) dt f n _ f n
p p
,取足够大的 k0 ,使
p
k
p
又因当 k 时函数列
q
g (t ) g
q
令
A (t ) , B (t )
代入不等式(8),得到
p
(t ) (t )
(t )
p
(t )
q
q
（9）
由(9)立即可知 (t ) (t ) 在 [a,b]上L 可积,由此可知f(t)g(t)也L可积,对(9)的 两边积分,得到
因此
b
a
p
f n (t ) f nk (t )
p
a
f n (t ) f (t ) a.e.于[a,b],由Fatou定理
p
得到 f n (t ) f (t ) 是L可积函数,并且有,
a
b
p
f n (t ) f (t ) dt lim
k
a
b
p
f n (t ) f nk (t ) dt p
k 1 j 1
k 1 j 1
f n k 1 (t ) f n k (t )
在[a,b]上几乎处处收敛.
因此,函数列 f n (t ) f n (t ) ( f n (t ) f n (t ))(k 1,2,3,.....) 在[a,b]上几乎处处收
j
p 敛于一可测函数f(t).下面证明 f L [a, b] 因为{ f n }是 Lp [a, b] 中柯西点列,
1 1 1 f Lp [a, b] g Lp [a, b] p q
那么 f (t ) g (t ) 在 [ a, b] 上 L 可积,并且成立
b
a
f (t ) g (t ) dt f
p
g
q
（7）
1 1 1 时,对任何正数A及B,有 证明:首先证明当 p 1 p q
x
完备的赋范线性空间称为Banach(巴拿赫)空间.
例1:欧氏空间 R n ,对每个 x
(1 , 2 , 3 ....) R n
2
定义
x 1 ..... n
2
（3）
1 1 ..... n n y (1 , 2 ,3 ....) R
2 2
如果令 d ( x, y ) x y =
例3:空间 l p
对每个 x (1 , 2 , 3 ....) l ,定义
p
x sup
j
j
（5）
不难验证 l 按(5)中范数成为Banach空间.
p 例4:空间 L [a, b]
设 f (t ) 是 [a, b]上实值可测函数, p 0 ,如果 f ( x ) 是[a, b] 上可积函数,
p q
p
g
p
b
a
f (t ) g (t ) dt
p
1 q
（11）
f
p
b 若 f (t ) g (t ) p dt 0 ,则 f g a
p
0 (10)式显然成立,
若 a
b
f (t ) g (t ) dt 0 ,则在(11)式两边除以
p
b p
p q
1 q
b
a
f (t ) g (t ) dt f (t ) g (t ) f (t ) g (t )
p a b p q b a a
b
p 1
dt
f (t ) f (t ) g (t ) dt g (t ) f (t ) g (t ) dt f
这说明 f f n Lp [a, b] ,且当 n N 时,
.
又因 f n
fn f
p
（ 14 ）
Lp [a, b] ,而
f [ f f n ] f n ,由于 Lp [a, b] 是线性空间,所以
f Lp [a, b] ,由(14), f n f ,这就证明了 Lp [a, b] 是Banach空间.
l p 完备.
定理3:设X是n维赋范线性空间,{ e1 , e2 ,.... en }是X的一组基,则存在常数 M和 M 使得对一切 x k ek 成立 M x ( k ) M X
由Holder不等式有
p q p f ( t ) g ( t ) dt p a b 1 q
类似对g也有
b
a
f (t ) f (t ) g (t ) dt f
因而
b
a
g (t ) f (t ) g (t ) dt g p a f (t ) g (t ) dt
A B
1 p 1 q
1
A B p q
如果 f
p
0
(或 g
q
0 ),则
f (t ) 0a.e 于 [a, b] (或 g (t ) 0a.e 于 [a, b] ),
p
这时,不等式(7)自然成立,所以不妨设 f
(t )
p
0 g
p
0 做函数
f (t ) f
p
, (t )
p 则称 f (t )是[a, b] 上 p 方可积函数, [a, b]上 p 方可积函数全体记为 L [a, b]
p
当 p 1时, L [a, b] 即为 [a, b]上 L 可积函数全体.
1
p 在空间 L [a, b] 中,我们把两个 a.e 相等的函数视为 Lp [a, b] 中同一个元素
n
n
,则 d ( x, y ) 即为 R 中欧几里得距离,且满足(1)中条件(a)及(b),由此可知
x
是R
n
n 中范数,又因 R 完备,故 R 按(3)中范数成Banac b]对每个x , [a, b] 定义
x max x(t )
a t b
（4）
容易证明 C[a, b] 按(4)中范数成为Banach空间.
p 关于数乘运算封闭是显见的.于是L [a, b] 按函数通常的加法及数乘运算
p
p 成为线性空间.对每个 f L [a, b] ,定义
f
p
( f (t ) dt) （6）
a
p
b
p
1 p
p 我们要证明当 p 1 时, L [a, b] 按 f
成为Banach空间.为此,首先
证明几个重要的不等式. 引理1:(Holder不等式)设 p 1
{xn }
依范数收敛于
x
x
记为
xn x(n ),或 lim n
xn x
如果令 d ( x, y) x y ( x, y X ) 容易验证 d ( x, y ) 是x上的距离,且
{xn } 依范数收敛于
导出的距离.