5结构力学图乘法.
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结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3
6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
结构力学(第三章)-图乘法
( M x tan ) 1 x tan M P dx EI tan
xM P dx
图乘法求位移公式为:
图乘法的 适用条件是 什么?
EI tan 1 xc yc EI EI
ip
yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1 B 1
B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 q ql 2 / 8 ql 2 / 2
MP
A
l/2 C
1
q q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
ql / 2
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 图乘法是Vereshagin于 M M P ds (对于等 截面杆) EI 1925年提出的，他当时 1 为莫斯科铁路运输学院 MM P dx (对于直杆) EI 的学生。
1 1
B
Mi
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
结构力学§5-5_图乘法
L M P M ds L FNP F N ds FNP F N L
o EI
o EA
EA1
（曲杆）
（曲杆）
（拉杆）
§5-5 图乘法
1.图乘原理公式
——将积分转变为图形相乘
y
dω
形心
积分式: L MP M ds
o EI
等直杆EI常数: 1
EI
L
o M P M ds
A
C dx
MP图 B
EI
L o
M
P
M
ds
1 EI
yC
乘积“＋、－”规定—— 与 yC 同侧为＋，不同侧为－
其中:
— M P 图的面积 (教材用A表示)
yC — M P 图形心位置所对应的 M 图中的竖标
2.图乘注意事项
1）杆件是直杆，EI必须是常数；
2） yC必须取自直线图 （ M P 均M为直线时可互换）；
3）M 图为折线或 M P 在基线两侧时都需分段图乘；
MM P EI
dx
1 EI
Ay0
1 2 ql 2 1
ql 3
EI
3
8
l
2
24 EI
Cy
1 EI
(
2 l 1 ql 2 38
)
l 4
B
Cy
1 EI
(
2 3
l 2
1 8
ql 2 )
(85
4l )
2
5 ql4 () 384 EI
分段图乘
[例2] 计算悬臂梁在集中荷载作用下的C点的竖向位移 C 。
o EI
o GA
o EA
2. 各种静定结构位移的计算公式 （1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)
局部变形时静定结构的位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出局部变形处对应的 内力M，FN，FQ； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移： dΔ = ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
Page 7
Δ A 1
B M
θ
14:32
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 截面参数 1 bh3 I=— 12 A =bh，k = 1.2
ql 4 1 2 qx dx 1.5 0 x Ebh3 2
l
变形类型
M P 0.5qx2
M x
FQP qx
F Q 1
MM P 1 ⑴ 弯曲变形引起的位移 M ds EI EI
Page 12
14:32
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直 位移 Δ ，并比较弯曲变形和剪切变 形对位移的影响。设梁的截面为矩 形，泊松比1/3。 解：应用单位荷载法 A 1 q A x B
单位荷载法
单位荷载法求刚体体系位移
虚力原理
⑴ 虚力方程，实质为几何方程；
⑵ 虚力与实际位移状态无关，故可设 单位广义力 P = 1；单位荷载法 ⑶ 关键是找出找出虚力状态的静力平
衡关系。
Page 6
14:32
《结构力学图乘法》PPT课件
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx
tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M ，M P 分为AC、CB两段。16
分块： M P图的AC段分为两块。
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
结构力学图乘法
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
EI
EI
y3=4 ω2 2m MP图(kN.m)
ω3 y2
M图
4B 4
ω1
C 2
y1
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
一、 功的互等定理
功的互等本质上是虚功互等。
下图给出状态I和状态II。
FP1 FP2
(c
2d) 3
b c取负值
A
a A1
C
y1 c
B A2 b
D y2
d
MK 图 M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘
（4）曲线图形与折线图形相乘
M i M K dx A1 y1 A2 y2 A3 y3 Ai yi
（5）阶形杆件图形相乘
M i M K dx A1 y1 A2 y2 A3 y3 Ai yi
12 22
1） δij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。
I 产生位移的方位；j 产生位移的原因。
2） FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应 的δ12和δ21就是线位移影响系数或角位移影响系数。
结构位移和刚度—图乘法(建筑力学)
向相同，即铅直向下。
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
朱明zhubob结构力学5-5图乘法
直角三角形
三角形
二次抛物线
A1
2 3
hl
A2
1 3
hl
二次抛物线
A1
3 4
hl
A2
1 4
hl
三次抛物线
⒊ 应用图乘法时的几个具体问题 ⑴ 如果两个图形都是直线, 则标距y0可取自其中任一个图形。 ⑵ 如果一个图形是曲线, 另一个图形是由几段直线组成的折
线, 则应分段考虑。
Mi Mkdx A1 y1 A2 y2 A3 y3
1
y0
A
1 ql 2 8
⑶ 求位移（用图乘法）。
MMP dx
EI
1 EI
Ay0
1 EI
2 3
ql 2 8
l
1 2
ql 3 24EI
例2 求中点C的挠度ΔC
FP l
y0
1
解：⑴ 虚设单位荷载。 ⑶ 求位移（用图乘法）。
A 1 l l l2 2 22 8
⑵ 用图乘法求位移。
方法一：
ql 2 MP图
ql 2 8
8
ql 2 4
1 M图
ql 2 8
例5-4 求图示悬臂梁C点的竖向位移, 设EI=常数。
ql 2
2
ql 2
8
A3
ql 2 4
A2
ql 2 8
ql 2
A1
8
l 2
y3 y2 y1
1
yC
17ql 4 384EI
解：⑴ 作荷载作用下的弯矩图和单位 荷载作用下的弯矩图。
结构力学5-5图乘法
ql 2 ql 2 l a , b , c , d 0 2 8 2
整理后, 得： yC
17ql 4 384 EI
2
yC
2 1 2 l ql 1 l ql 2 l l ql l 2 2 2 0 0 8 2 EI 3 2 32 2 2 12 EI
§5-5 图乘法
MM P 求积分： ds EI
MM P 1 ds MM P dx EI EI
xdA A x ,
0
1 tan xM P dx EI 1 tan xdA EI
x0 tan y0
⑴ 只适用于等截面直杆； ⑵ 至少有一个弯矩图是直线图形； ⑶ y0只能取自直线图形； ⑷ 可采用分段图乘的方法解决不满足 上述适用条件的杆件和弯矩图。
5 2 3 y1 10m, y2 y4 10, y3 10, 6 3 4 4 5 y5 10kN , y6 10m, y7 0 3 3
⑵求B点水平位移。
M P图
M图
xB
3188kN m 3 EI
1 1 A1 5m 50kN m , A2 A4 5m 25kN m , 2 2 1 1 A3 5m 25kN m , A5 10m 10kN m , 3 2 1 1 A6 10m 20kN m , A7 5m 35kN m 2 2
1 1 120 103 2m EA 2 160 103 N m 2.1 105 MPa 1.6 104 m 4 120 103 N m 2.1 105 MPa 5.0 104 m 2
结构力学图乘法及其应用
ql2 / 8
练习
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘,结果 1 1 为零. 2 MP ( l Pl l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl 3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
二次抛物线
hl n 1
C
h
l n2
( n 1)l n2
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A B
1 2 ql 8 1 2
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
2 Pl
A
MP
2l
P
Pl
l
B
A
MP
1
l
B
l
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
1 1 2 1 2l 3l B [ l Pl l Pl l l Pl l (l ) Pl l ] EI EI 2 3 2 3 2 11Pl 3 ( ) 3EI
yc
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P
a
B
l 2
A
C
l 2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
D
P A
l 2
NP P / 2
D P
Ni 1 / 2
结构力学图乘法
FN FPb M FQ 状态II FPa
M ds ds EI FN ds ds EA
ds 0
kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：
0 ds FN ds W12 FP M ds FQ FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA
yc
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h AP 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
一、 功的互等定理
功的互等本质上是虚功互等。
下图给出状态I和状态II。
FP1 2 FP
FPa
FPb
A
1 2 a b
a
b
B
A
1 2 B a 1 b 2
所以
即
F F
P P
11 FP 2 FP 2 FPa a FPb b
在任一线性变形体系中，第一状态的外力 在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状 态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。
结构力学-图乘法
实例分析：圆轴扭转内力计算
第一段
M1 = (T1 + T2) × L/2
第二段
M2 = (T2 + T1) × L/2
实例分析：圆轴扭转内力计算
01
4. 比较M1和M2的大小，取较大 者作为圆轴内的最大扭矩。
02
5. 根据扭矩的正负号，绘制扭矩 图。
Part
04
组合变形图乘法
组合变形基本概念及分类
者联系起来，从而求解结构位移。
图乘法适用条件及限制
适用条件Βιβλιοθήκη 01载荷作用下，结构的变形是线性的，即变 形量与载荷成正比。
03
02
结构变形符合小变形假设，即变形量与结构 尺寸相比很小。
04 限制
图乘法只适用于线性弹性问题，对于非线 性问题或塑性变形问题不适用。
05
06
在应用图乘法时，需要保证图形函数的准 确性，否则会影响计算结果的精度。
Part
02
弯曲内力图乘法
弯曲内力基本概念
01
02
03
弯曲内力
指构件在受到外力作用时， 其内部产生的抵抗弯曲变 形的力。
剪力
作用于构件横截面上的内 力，其方向与构件轴线垂 直。
弯矩
作用于构件横截面上的内 力偶矩，其大小等于该截 面左侧或右侧所有外力对 截面形心的力矩之和。
弯曲内力图乘法求解步骤
图乘法优点总结
直观性
图乘法通过图形表示结构 中的力学元素和它们之间 的关系，使得分析结果更 直观，易于理解和解释。
高效性
相较于数值分析方法，图 乘法能够更快地给出结构 分析的近似解，适用于初 步设计和快速评估。
适用性广
图乘法可应用于各种不同 类型的结构，包括静定结 构和超静定结构，具有较 广泛的适用性。
结构力学：图乘法
M
1 l 2 5Pl 5Pl 3 ( )
EI 8 6 48EI
？ 1 yc
Pl 另解1：
MP l/2
c
1 EI
yc
1 EI
Pl 2 2
l 6
Pl 3 12EI
(
)
M
错误
另解2：
Pl/2
1
Pl
2
MP
1
l/2
y1 y2
M
c
1 EI
(1 y1
2
y2
)
1 ( 1 l Pl 1 l 1 l Pl 2 l ) EI 2 2 2 3 2 2 2 3 2
习题七
《结构力学》
4-3(b), 4-6,4-7,4-8
上次课主要内容回顾
虚功：力与其它因素产生的位移所形成的功。
P
G
GS
W=G·S — 虚功
虚 — 力与位移在作功过程中互不相关。
虚功原理：
①外力虚功
Pi P2
P1
dx
力状态
位移状态
两种状态相互独立
T Pi i
②内力虚功
内力状态
M N
dx Q
Mi Mk EI
dx
1 EI
Mi
Mk dx
1 EI
( xtg
b) M k dx
b
o1
Mi yc
x xc
Mi图
1 EI
(tg
xM k dx
b
M k dx )
1 EI
(tg
xd k
b
d k
)
xdk k xc — Mk图对o1-o2的静矩
Mi Mk EI
dx
1 EI
结构力学图乘法详述
1(20 2 .5 0 5 30 5 .3 4 5 5 .3 0 3 .6 ) 2 1 3 m 0 0 .2 cm
3 .6465
15
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
q ql2/2 B
NP=0
ω1
ql/2
ω2
ω2 ql2/8
P=1
l
y2
N 1 y3
N 0
y1
M
NP=ql/2 l
MP
ql
l
1
w
3
2 3
3244•0.75
20
183 EI
5m 5m 5m
7kN 求A点水平位移。
F 2kN/m
35 D
50kN.m B
10
10
10
C
25
10
G
10kN
E 20
A
1kN 20
5m 5m
15kN
2kN
AHE 13I1E82 1I7. 55 5 10 .5•94 5 6 1 10 0 2 2 1 m5 5 0 •2 3 1 0 2 3 5 2 4 5•2 1 1 0
ql 2 8
l
ql 3 12
ql/2
w 1N12
ql 2
N2 N El A
Pqll 3 4
ql 2
w×12×ElAy
1
232qEll A12
y2
y3
l 2
M
1 EI
(w 1 y 1 w 2 y 2 w 3 y 3 )
1 EI
ql 2 4
2 l ql 2 34
2l 3
ql 2 12
l
3 ql
1 2 ql 2 l • l 0.5l 17 ql 4 2EI 3 32 2 2 256 EI
结构力学：第5章 静定结构位移计算3(图乘法)
（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合
例如
Mi MKdx 1 y1 2 y2 3 y3 j y j
(2) 梯-梯同侧组合
1
2
Mi MKdx 1 y1 2 y2
y1
(2c 3
FP
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FNP
FP 2
D
A C FP
l
l
2
2
a
B
FN
1 2
D
1 AC
a
B
l
l
2
2
l
MP
FP l
4
Cy
0l
MM P EI
ds
0a
FN FNP EA
ds
M请对计算结4 果 C进y 行4F适8PEl当3I (讨1 论1l！23aAI )
2 [(1 l FPl ) 2 l ] 1 1 FP a FPl 3 FPa
1 EI
yc
必须注意 适用条件
图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl
n1
(n 1)l n2
h
C
l n2
三、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
q A
MP 图
1 ql 2 8
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合
例如
Mi MKdx 1 y1 2 y2 3 y3 j y j
(2) 梯-梯同侧组合
1
2
Mi MKdx 1 y1 2 y2
y1
(2c 3
FP
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FNP
FP 2
D
A C FP
l
l
2
2
a
B
FN
1 2
D
1 AC
a
B
l
l
2
2
l
MP
FP l
4
Cy
0l
MM P EI
ds
0a
FN FNP EA
ds
M请对计算结4 果 C进y 行4F适8PEl当3I (讨1 论1l！23aAI )
2 [(1 l FPl ) 2 l ] 1 1 FP a FPl 3 FPa
1 EI
yc
必须注意 适用条件
图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl
n1
(n 1)l n2
h
C
l n2
三、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
q A
MP 图
1 ql 2 8
结构力学图乘法
2、图乘法原理 y
d A =MPdx
A MP
A 面积
形心 C MP图 B
dx
O
x
M xtgα
yC
yC=xCtg
B
A
xC
x
由此可知，计算位移的积分就等于一 个弯矩图的面积A乘以其形心所对应的 另一个直线弯矩图上的竖标yC，再除以 EI，于是积分运算转化为数值乘除运 算，此法即称图乘法。
剪力与轴力项能用图乘法？
3、图乘法求位移的一般表达式
注意：
yc [1].
应取自直线图中。 [2].若 A 与 yc 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值（不是MP与M 图位于杆件同侧或异侧）。 [3]. 如图形较复杂，可分解为几个简 单图形。
二、图乘法步骤 (1) 画出结构在实际荷载作用下的弯 矩图（荷载弯矩图）MP； (2) 根据所求位移选定相应的虚拟力 状态，画出单位弯矩图M(注：M图不标 单位）； (3) 分段计算一个弯矩图形的面积A 及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖 标yC； (4) 将A、yC代入图乘法公式计算所 求位移。
【预习】：静定结构的位计算习题课
解：1、求φA ① 实际荷载作用 下的弯矩图MP如图(b) 所示。 ② 在A端加单位力 偶m=1，其单位弯矩图M 如图(c)所示。
③ MP图面积及其形心 对应M图竖标分别为：
A=2/3*l*1/8*ql2=ql3/12 yC=1/2 ④ 计算φA φA=1/EI*A*yC =1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24 EI
（3）异侧组合
（4）非规则抛物线图形
由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩 图可以看成一个直线弯矩图和一个规 则抛物线图形的叠加 。
MB
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（1）常见图形面积和形心：
矩 形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次 抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI
(M x tanα)
yc
xc x
M
x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
4、 注意事项
KP AP yc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2） 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2 A3 y3 Ai yi
（5）阶形杆件图形相乘
MiM K Ai yi A1 y1 A2 y 2 A3 y3 EI dx E1 I1 E2 I 2 E3 I 3 Ei I i
yc
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h AP 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
B
1 3 y3 (1 1/ 2) 2 4
1 1 1 20 32 3 ( 1 y1 2 y2 3 y3 ) ( 64 4 ) EI EI 2 3 3 4 1 80 13.33 ( 32 8) ( ) EI 3 EI
例3
(2c d ) y1 3 y (c 2 d ) 2 3
M M
i
K
dx 1 y1 2 y2
(2c d ) y 1 3 y (c 2 d ) 2 3
b c取负值
A a C
A1
B A2 b
MK 图
D
y1
2 4 1 2 1 3 3 1 2 2 2 2 2
2kN/m
A
16
2m C 1
A
4 C
MP
B
CV
2 1 y2 ( 16 4) 2 ω2 1 3 3 M 36 y1 12 B A 3 C 1 1 4 1 (1 y1 2 y2 ) ( 1 2 12) 22.67 EI EI 3 EI
M图
1 2 1 2 4 2 4 2 3 3
A
y ω C 1 2 ω3
A
1 1 16 8 64 2
4 8 1 1/2 ω2 y y1 3 B C 1
y1 1/ 2
2 1 20 y2 ( 4 12) 3 3 3
4 B MP图 （kN.m)
M图
2 32 4 4 3 3
3
1 2 8 1 4 2
xc
x
Δ
MC
EI
l
x
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h Ap 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以
折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
作 M 图 M P 图，如右图所示。 分段： M， M P 分为AC、CB两段。 分块： M P 图的AC段分为两块。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M MP EI
ds
←杆轴为直线 ←杆段EI为常数
y
M MP EI
C
Mp dx
B
dx
A
1 x tan α M P dx EI tan α tan α xdA xM dx P EI EI tan α 1 Ap xc Ap y c EI EI
求 ,B EI等于常数。 A 2m
解：
作 M 图及 M P 图， 如右所示。
6kN/m
B
7kN
6kN.m 4m 17kN
C
y2
分段： M ，M P分 为AB、BC两段。 分块： M P 图的 BC段分为两块。
ω1
ω3
14
6
y1
1 1/6
1/3 2/3
ω2
12 M P 图 （kN.m) y3 1/6
对于等直杆有
1 Δ M ( x ) M ( x )dx l EI MC EI
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
当M图为正弯矩时， ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号. Mc 也应按弯矩符号给以正负号.
M(x)
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
M( x )
§4-4 图乘法
1.图乘法原理
梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：
KP
MKMP ds EI
称莫尔积分
建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况 下不方便。 图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图 形积分变为图形相乘。
2、图乘法的适用条件：
（1）杆件轴线是直线；
（2）杆段的弯曲刚度EI为常数； （3）图 M 图 M P 中至少有一个是直线 图形。
矩 形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次 抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI
(M x tanα)
yc
xc x
M
x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
4、 注意事项
KP AP yc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2） 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2 A3 y3 Ai yi
（5）阶形杆件图形相乘
MiM K Ai yi A1 y1 A2 y 2 A3 y3 EI dx E1 I1 E2 I 2 E3 I 3 Ei I i
yc
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h AP 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
B
1 3 y3 (1 1/ 2) 2 4
1 1 1 20 32 3 ( 1 y1 2 y2 3 y3 ) ( 64 4 ) EI EI 2 3 3 4 1 80 13.33 ( 32 8) ( ) EI 3 EI
例3
(2c d ) y1 3 y (c 2 d ) 2 3
M M
i
K
dx 1 y1 2 y2
(2c d ) y 1 3 y (c 2 d ) 2 3
b c取负值
A a C
A1
B A2 b
MK 图
D
y1
2 4 1 2 1 3 3 1 2 2 2 2 2
2kN/m
A
16
2m C 1
A
4 C
MP
B
CV
2 1 y2 ( 16 4) 2 ω2 1 3 3 M 36 y1 12 B A 3 C 1 1 4 1 (1 y1 2 y2 ) ( 1 2 12) 22.67 EI EI 3 EI
M图
1 2 1 2 4 2 4 2 3 3
A
y ω C 1 2 ω3
A
1 1 16 8 64 2
4 8 1 1/2 ω2 y y1 3 B C 1
y1 1/ 2
2 1 20 y2 ( 4 12) 3 3 3
4 B MP图 （kN.m)
M图
2 32 4 4 3 3
3
1 2 8 1 4 2
xc
x
Δ
MC
EI
l
x
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h Ap 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以
折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
作 M 图 M P 图，如右图所示。 分段： M， M P 分为AC、CB两段。 分块： M P 图的AC段分为两块。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M MP EI
ds
←杆轴为直线 ←杆段EI为常数
y
M MP EI
C
Mp dx
B
dx
A
1 x tan α M P dx EI tan α tan α xdA xM dx P EI EI tan α 1 Ap xc Ap y c EI EI
求 ,B EI等于常数。 A 2m
解：
作 M 图及 M P 图， 如右所示。
6kN/m
B
7kN
6kN.m 4m 17kN
C
y2
分段： M ，M P分 为AB、BC两段。 分块： M P 图的 BC段分为两块。
ω1
ω3
14
6
y1
1 1/6
1/3 2/3
ω2
12 M P 图 （kN.m) y3 1/6
对于等直杆有
1 Δ M ( x ) M ( x )dx l EI MC EI
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
当M图为正弯矩时， ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号. Mc 也应按弯矩符号给以正负号.
M(x)
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
M( x )
§4-4 图乘法
1.图乘法原理
梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：
KP
MKMP ds EI
称莫尔积分
建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况 下不方便。 图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图 形积分变为图形相乘。
2、图乘法的适用条件：
（1）杆件轴线是直线；
（2）杆段的弯曲刚度EI为常数； （3）图 M 图 M P 中至少有一个是直线 图形。