材料力学-10-压杆的稳定问题

FPcr
平衡路径
Δ O
第10章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
判别弹性平衡稳定性的静力学准则
FP FP
平衡构形——压杆的两种平衡构形 (equilibrium configuration)
FP<FPcr : FP>FPcr : 直线平衡构形 弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
第10章 压杆的稳定问题
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
用长细比表示的细长杆临界应力公式
π 2 EI
2
cr
2 FPcr l π E 2 A A
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
三类不同压杆的不同失效形式
细长杆——长细比大于或等于某个极限值p时，压杆将发生 弹性屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超 过材料的比例极限，这类压杆称为细长杆。 长中杆——长细比小于p，但大于或等于另一个极限值s 时，压杆也会发生屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上 的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性 状态。这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。 粗短杆——长细比小于极限值s时，压杆不会发生屈曲，但 将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零 的条件是他们的系数行列式等于零：
0
1
sinkl coskl
0
sinkl 0
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI
第10章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念 两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式 不同刚性支承对压杆临界载荷的影响 临界应力与临界应力总图 压杆稳定性设计的安全因数法 压杆稳定性设计的折减系数法 结论与讨论
第10章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
第10章 压杆的稳定问题
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
需要特别指出的是，细长杆和 中长杆在轴向压缩载荷作用下，虽 然都会发生屈曲，但这是两类不同 的屈曲：第一，从平衡路径看，细 长杆的轴向压力超过临界力后，平 衡路径的分叉点即为临界点。这类 屈曲称为分叉屈曲。中长杆在轴向 压缩载荷作用下，其平衡路径无分 叉和分叉点，只有极值点，这类屈 曲称为极值点屈曲(limited point buckling)。
2
kl nπ, n 1, 2 ,,
由此得到临界载荷
FPcr
最小临界载荷
π 2 n 2 EI l2
FPcr
π 2 EI 2 l
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
B0
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念
前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这 就要求在分叉载荷即临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时， 其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即
FPcr cr p A
其中σcr称为临界应力(critical stress)； σp为材料的比例极限。
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
对于某一压杆，当分叉载荷FP尚未算出时，不能判断压杆 横截面上的应力是否处于弹性范围；当分叉载荷算出后，如果 压杆横截面上的应力超过弹性范围，则还需采用超过比例极限 的分叉载荷计算公式。这些都会给计算带来不便。 能否在计算分叉载荷之前，预先判断哪一类压杆将发生弹 性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极限的非弹性屈曲？哪一 类不发生屈曲而只有强度问题？回答当然是肯定的。为了说明 这一问题，需要引进长细比（slenderness）的概念。
Δ
第10章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
FP F P FP FP FP F P
分叉点 (临界点)
FP
FP>FPcr
平衡路径
F´P
Δ
FPcr
FP<FPcr Δ O
第10章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
FP
分叉点
平衡路径
平衡路径的分叉点： 平衡路径开始出现分叉 的那一点。 分叉载荷（临界载 荷）：分叉点对应的载荷， 用FPcr 表示。
压杆稳定的基本概念
当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下， 压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程 称为屈曲（buckling）或失稳（lost stability）。对于细长压杆， 由于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所以又称为分叉屈曲 （bifurcation buckling）。 稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临 界点（critical point）。对于细长压杆，因为从临界点开始， 平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所对应的载荷称 为临界载荷（critical load）或分叉载荷（bifurcation load）， 用FP表示。
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念 三类不同压杆的不同失效形式
三类压杆的临界应力公式
临界应力总图与P、s值的确定
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
两根直径均为 d 的压杆， 材料都是 Q235 钢，但二者长 度和约束条件各不相同。试； 分析: 哪一根压杆的临界 载荷比较大？
Nanjing University of Technology
材料力学
课堂教学软件(10)
2014年3月7日
材料力学
第10章 压杆的稳定问题
第10章 压杆的稳定问题
与刚体平衡类似，弹性体平衡也存在稳定与不稳 定问题。 细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，将会由于平 衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为 稳定性失效 (failure by lost stability)，又称为屈曲失效(failure by buckling)。
压杆稳定性实验
第10章 压杆的稳定问题
工程构件稳定性实验
第10章 压杆的稳定问题
工程构件 稳定性实验
第10章 压杆的稳定问题
脚手架中的压杆
第10章 压杆的稳定问题
“ Such failures can be catastrophic and lead to a large loss of life as well as major economic loss”.
d2w M ( x) - EI 2 dx
d2w 2 k w0 2 dx
k2 FP EI
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
d2w 2 k w0 2 dx
FP k EI
2
微分方程的解 w =Asinkx + Bcoskx 边界条件 w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡 微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦 因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆， 这些公式可以写成通用形式：
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同支承 影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈曲后 的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比 值确定。
第10章 压杆的稳定问题
压杆
第10章 压杆的稳定问题
压杆
第10章 压杆的稳定问题
桁架中的压杆
第10章 压杆的稳定问题
液压缸顶杆
第10章 压杆的稳定问题
液压缸 顶杆
第10章 压杆的稳定问题
火箭发射架中的压杆
第10章 压杆的稳定问题
高压输电线路保持相间距离的受压构件
第10章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FP FP
FP>FPcr :在扰动作用下， 直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
第10章 压杆的稳定问题
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图 长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面 形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：
＝
l
i
I A
其中，I为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：
i
从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条件以 及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
第10章 压杆的稳定问题
不同刚性支承对压杆临界载荷的影响
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
两端固定 ＝0.5
第10章 压杆的稳定问题
不同刚性支承对压杆临界载荷的影响
FPcr
π 2 EI
l
2Leabharlann Baidu
需要注意的是, 临界载荷公式只有在压杆的微弯 曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的。
第10章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
在很多情形下，屈曲将导致构件失效，这种失 效称为屈曲失效（failure by buckling）。由于屈曲 失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因 此工程设计中需要认真加以考虑。
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式
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压杆稳定的基本概念
压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉 判别弹性平衡稳定性的静力学准则
细长压杆临界点平衡的稳定性
第10章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉
FP FP 压杆从直线平衡构形 到弯曲平衡构形的转变过 程，称为“屈曲”。由于 屈曲，压杆产生侧向位移， 称为屈曲位移。
压杆稳定的基本概念
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FP F P FP
FP<FPcr :在扰动作用下， 直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是稳定的。
第10章 压杆的稳定问题
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
微分方程的解 w =Asinkx + Bcoskx 边界条件 w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
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第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
FP
分叉点
平衡路径
平衡路径
Δ O
从平衡路径可以看出，当 w00时FPFPcr。这表明，当FP无 限接近分叉载荷FPcr时，在直线平 衡构形附近无穷小的邻域内，存在 微弯的平衡构形。根据这一平衡构 形，由平衡条件和小挠度微分方程， 以及端部约束条件，即可确定临界 载荷。
FPcr
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处 于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于微 弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡： M (x) = FP w (x)
w =Asinkx + Bcoskx
得到屈曲位移函数
nπ x wx Asin l
其中A为未定常数。这表明屈曲位移是不确定的量。这与开始 推导公式时假设压杆处于任意微弯状态是一致的。
第10章 压杆的稳定问题
不同刚性支承对压杆临界 载荷的影响
第10章 压杆的稳定问题
不同刚性支承对压杆临界载荷的影响
第10章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
细长压杆临界点平衡的稳定性
线性理论认为，细长压杆在临界点以及临界点 以后的平衡路径都是随遇的，即：载荷不增加，屈 曲位移不断增加。精确的非线性理论分析结果表明， 细长压杆在临界点以及临界点以后的平衡路径都是 稳定的。清华大学于20世纪90年代初所作的细长杆 屈曲实验结果证明了非线性分析所得到的结论。