(完整版)2019年天津卷理科数学高考真题(最新整理)
2019年天津卷理科数学高考真题及标准答案解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,42．设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．63．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．295．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为ABC ．2D 6．已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．CD ．28．已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年天津市高考数学试卷(理科)-含详细解析
2019年天津市高考数学试卷（理科）含详细解析一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合A ={−1,1，2，3，5}，B ={2,3，4}，C ={x ∈R|1≤x <3}，则(A ∩C)∪B =( ) A. {2} B. {2,3} C. {−1,2，3} D. {1,2，3，4} 2. 设变量x,y 满足约束条件{x +y −2≤0,x −y +2≥0,x ≥−1,y ≥−1,则目标函数z =−4x +y 的最大值为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 3. 设x ∈R ，则“x 2−5x <0”是“|x −1|<1”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A. 5B. 8C. 24D. 295. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.若l 与双曲线x 2a2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB|=4|OF|(O 为原点)，则双曲线的离心率为( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √5 6. 已知a =log 52，b =log 0.50.2，c =0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b7. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)是奇函数，将y =f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g(π4)=√2，则f(3π8)=( )A. −2B. −√2C. √2D. 28. 已知a ∈R.设函数f(x)={x 2−2ax +2a,x ≤1,x −alnx,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A. [0,1] B. [0,2] C. [0,e] D. [1,e]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9. i 是虚数单位，则|5−i1+i |的值为______． 10. (2x −18x 3)8的展开式中的常数项为______．11. 已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形，侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________． 12. 设a ∈R ，直线ax −y +2=0和圆{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数)相切，则a 的值为______．13. 设x >0,y >0,x +2y =5，则√xy的最小值为__________．14. 在四边形ABCD 中，AD//BC ，AB =2√3，AD =5，∠A =30°，点E 在线段CB的延长线上，且AE =BE ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b +c =2a ，3csinB =4asinC ．(Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)求sin(2B +π6)的值．16. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(Ⅰ)用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(Ⅱ)设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．17. 如图，AE ⊥平面ABCD ，CF//AE ，AD//BC ，AD ⊥AB ，AB =AD =1，AE =BC =2．(Ⅰ)求证：BF//平面ADE ；(Ⅱ)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(Ⅲ)若二面角E −BD −F 的余弦值为13，求线段CF 的长．18. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为√55．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON|=|OF|(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．19. 设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1=4，b 1=6，b 2=2a 2−2，b 3=2a 3+4．(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{c n }满足c 1=1，c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N ∗．(i)求数列{a 2n (c 2n −1)}的通项公式；(ii)求∑a i 2ni=1c i (n ∈N ∗).20. 设函数f(x)=e x cosx ，g(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)当x ∈[π4,π2]时，证明f(x)+g(x)(π2−x)≥0；(Ⅲ)设x n 为函数u(x)=f(x)−1在区间(2nπ+π4,2nπ+π2)内的零点，其中n ∈N ，证明2nπ+π2−x n <e −2nπsinx0−cosx 0．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的交集、并集运算，比较基础． 根据集合的基本运算即可求A ∩C ，再求(A ∩C)∪B ． 【解答】解：设集合A ={−1,1，2，3，5}，C ={x ∈R|1≤x <3}， 则A ∩C ={1,2}， ∵B ={2,3，4}，∴(A ∩C)∪B ={1,2}∪{2,3，4}={1，2，3，4}； 故选：D ． 2.【答案】C【解析】【分析】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立{x =−1x −y +2=0，解得A(−1,1)，化目标函数z =−4x +y 为y =4x +z ，由图可知，当直线y =4x +z 过A 时，z 有最大值为5． 故选C ． 3.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分必要条件，考查解不等式问题，属于基础题． 根据充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果． 【解答】解：∵x 2−5x <0，∴0<x <5， ∵|x −1|<1，∴0<x <2， ∵0<x <5推不出0<x <2， 0<x <2⇒0<x <5，∴0<x<5是0<x<2的必要不充分条件，即x2−5x<0是|x−1|<1的必要不充分条件．故选：B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：i=1，S=0；第一次执行第一个判断语句后，S=1，i=2，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，j=1，S=5，i=3，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，S=8，i=4，满足退出循环的条件；故输出S值为8．故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．推导出F(1,0)，准线l的方程为x=−1，|AB|=2ba，|OF|=1，从而b=2a，进而c=√a2+b2=√5a，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．∴F(1,0)，准线l的方程为x=−1，∵l与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|(O为原点)，∴|AB|=2ba ，|OF|=1，∴2ba=4，∴b=2a．∴c=√a2+b2=√5a，∴双曲线的离心率为e=ca=√5．故选D．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数、指数的大小比较，本题属中档题．本题先将a、b、c的大小与1作个比较，发现b>1，a、c都小于1.再对a、c的表达式进行变形，判断a、c之间的大小。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（ ） Ａ．1i +Ｂ． 1i -+Ｃ．1i -Ｄ．1i --2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 5．函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ） Ａ．142(2)xx y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)xx y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设a bc ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，中央电视台mλ的取值范围是（ ） Ａ．Ｂ．[48]，Ｃ．Ｄ．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n n a n S →∞-= ．14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则直线AB 的方程是 ．15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =· ． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；AB DC（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；ACDPE（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 14．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：x由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=··． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=． （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得332PA a AD a PD a AE a ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，则7a PA AD AM a PD===··． 在AEM Rt △中，sin 4AE AME AM ==． 所以二面角A PD C --的大小是arcsin4． 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，可得13326PA a AD a PD a CF a FD a =====，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD=∴．于是，3a aFD PA FM PD ===··． 在CMF Rt △中，1tan aCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =， ACD PEFM ABCDPEM又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即62320x y +-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数．函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+． （Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ② 当1λ≠时，①式减去②式， 得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---， 21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+· 1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立．因此，存在1k =，使得1121n k n k a a a a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．。
2019年天津市高考数学试题(理科)(解析版)
2019年天津市高考数学试题（理科）一、单选题1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …，则()A C B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,4【答案】D【解析】先求A B ⋂，再求()A C B 。
【详解】 因为{1,2}A C =， 所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D 。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2．设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……则目标函数4z x y =-+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】C【解析】画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值。
由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=。
故选C 。
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．3．设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B 。
2019年高考理科数学天津卷真题理数(附参考答案及详解)
文档说明绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{1,1,2,3,5}A=-，{2,3,4}B=，{|13}C x x=∈≤<R，则()A C B=I U（）A.{2}B.{2,3}C.{1,2,3}- D.{1,2,3,4}2.设变量x y⋅满足约束条件20,20,1,1,x yx yxy+-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y=-+的最大值为（）A.2B.3C.5D.63.设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A.5B.8C.24D.29 5.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）C.26.已知52log a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a c b << B.a b c << C.b c a << D.c a b <<7.已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.2-B. D.28.已知a ∈R ，设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分。
2019年天津理科数学高考真题(含答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ． ·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =I U A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,42．设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．63．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 A ．5 B ．8C ．24D ．295．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．56．已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．2-C ．2D ．28．已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年天津市高考理科数学试卷及答案解析【word版】
绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734i i（ ）（A ）1i （B ）1i （C ）17312525i （D ）172577i （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945FED CBA （4）函数212log 4f x x 的单调递增区间是（）（A ）0, （B ）,0（C ）2,（D ）,2（5）已知双曲线22221x y a b 0,0ab 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y （B ）221205x y （C ）2233125100x y （D ）2233110025x yD ，交（6）如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CEBE DE ；④AF BD AB BF .则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a bR ，则|“a b ”是“a a b b ”的（ ）（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DFDC .若1AE AF ，23CE CF，则（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年高考试题(天津卷)-数学(理)(有解析)(最新整理)
2019年高考试题（天津卷）-数学（理）（word 有解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
数学〔理〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第一卷本卷须知1.每题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.本卷共8小题, 每题5分, 共40分.参考公式:如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =球的体积公式 34.3V R π=其中R 表示球的半径.【一】选择题: 在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.(1) 集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 那么A B ⋂=(A) (B) [1,2](C) [－2,2](D) [－2,1](,2]-∞(2) 设变量x , y 满足约束条件那么目标函数z = y －360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩2x 的最小值为(A) －7(B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 假设输入x 的值为1, 那么输出S 的值为(A) 64(B) 73(C) 512(D) 585①假设一个球的半径缩小到原来的,那么其体积缩小到原来的;1218②假设两组数据的平均数相等,那么它们的标准差也相等;③直线x +y +1=0与圆相切.2212x y +=其中真命题的序号是:(A)①②③(B)①②(C)①③(D)②③(5)双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于22221(0,0)x y a b a b-=>>22(0)px p y =>A ,B 两点,O 为坐标原点.假设双曲线的离心率为2,△AOB 那么p =(A)1(B)(C)2(D)332(6)在△ABC 中,那么=,3,4AB BC ABC π∠===sin BAC ∠(7)函数的零点个数为0.5()2|log |1x f x x =-(A)1(B)2(C)3(D)4(8)函数.设关于x 的不等式的解集为A ,假设,()(1||)f x x a x =+()()f x a f x +<11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦那么实数a 的取值范围是(A)(B)⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭(C)(D)⎛⋃ ⎝⎫⎪⎪⎭⎛- ⎝∞第二卷本卷须知1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.【二】填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.(9)a ,b ∈R ,i 是虚数单位.假设(a +i )(1+i )=bi ,那么a +bi =.(10)的二项展开式中的常数项为.6x⎛- ⎝(11)圆的极坐标方程为,圆心为C ,点P 的极坐标为,那么|CP |=.4cos ρθ=4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭(12)在平行四边形ABCD 中,AD =1,,E 为CD 的中点.假设,那么AB 的长60BAD ︒∠=·1AD BE =为.(13)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且BD //AC .过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ,AD 与BC 交于点F .假设AB =AC ,AE =6,BD =5,那么线段CF 的长为.(14)设a +b =2,b >0,那么当a =时,取得最小1||2||a a b+值.【三】解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题总分值13分)函数.2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R (Ⅰ)求f (x )的最小正周期;(Ⅱ)求f (x )在区间上的最大值和最小值.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦(16)(本小题总分值13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ)再取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望.(17)(本小题总分值13分)如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,侧棱A 1A ⊥底面ABCD ,AB //DC ,AB ⊥AD ,AD =CD =1,AA 1=AB =2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ)证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ)设点M 在线段C 1E 上,且直线AM 与平面ADD 1A 1所成,求线段AM 的长.(18)(本小题总分值13分)设椭圆的左焦点为F ,,过点22221(0)x y a b a b +=>>F 且与x (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A ,B 分别为椭圆的左右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D 两点.假设,求k 的值.··8AC DB AD CB += (19)(本小题总分值14分)首项为的等比数列不是递减数列,其前n 项和为,且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 432{}n a (*)n S n ∈N 成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;{}n a (Ⅱ)设,求数列的最大项的值与最小项的值.*()1n n nT S n S ∈=-N {}n T (20)(本小题总分值14分)函数.2l ()n f x x x =(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ)证明:对任意的t >0,存在唯一的s ,使.()t f s =(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为,证明:当时,有.()s g t =2>e t 2ln ()15ln 2g t t <<。
2019高考天津卷数学(理)试卷及答案(word版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学第Ⅰ卷参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A C B =（ ） A.{}2 B.{}2,3 C.{}1,2,3- D.{}1,2,3,4则目标函数4z x y =-+的最大值为（ ）2.设变量,x y 满足约束条件A.2B.3C.5D.6 3.设∈x R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A.5B.8C.24D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）C.2 6.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a c b << B.a b c << C.b c a <<D.c a b << 7.已知函数()sin()(0,0,||π)ωϕωϕ=+>><f x A x A 是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且π4⎛⎫=⎪⎝⎭g 3π8⎛⎫= ⎪⎝⎭f （ ）A.2-B. D.28.已知∈a R ，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.i 是虚数单位，则5i1i-+的值为 . 10.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为 .11.的正方形，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .12.设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为 . 13.设0,0,25x y x y >>+=的最小值为 .14.在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= .三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16.（本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.17.（本小题满分13分）如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为5. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.19.（本小题满分14分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .20.（本小题满分14分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当ππ,42⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，证明π()()02⎛⎫+- ⎪⎝⎭f xg x x ；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间ππ2,2π42⎛⎫++ ⎪⎝⎭m m 内的零点，其中∈n N ，证明2π00e π2π2sin cos -+-<-n n n x x x .【参考答案】一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.1.D2.C3.B4.B5.D6.A7.A 8.C二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.9. 10.28 11.π4 12.3413. 14.1- 三.解答题15.（Ⅰ）解：在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故πππ717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216+⎛⎫+=+=-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭B B B ， 16.（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3321(),0,1,2,333k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=. （Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{}3X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由（Ⅰ）知()({3,1}{2,0})(3,1)(2,0)P M P X Y X Y P X Y P X Y ========+==824120(3)(1)(2)(0)279927243P X P Y P X P Y ===+===⨯+⨯=. 17. （Ⅰ）证明：依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E .设(0)CF h h =>，则()1,2,F h .依题意，(1,0,0)AB =是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE . （Ⅱ）解：依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--.设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则0,0,n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =，可得(2,2,1)n =.因此有4cos ,9||||CE n CE n CE n ⋅==-.所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. （Ⅲ）解：设(,,)m x y z =为平面BDF 的法向量，则0,0,m BD m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,m h ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 由题意，有||1cos ,||||3m n m n m n ⋅〈〉===，解得87h =.经检验，符合题意.所以，线段CF 的长为87.18.（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,c b a ==又222a b c =+，可得a =，2,b =1c =.所以，椭圆的方程为22154x y +=. （Ⅱ）解：由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k -=-.在2y kx =+中，令0y =，得2M x k =-.由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-.由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而5k =±所以，直线PB或. 19.（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n nn n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯. 所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯.（Ⅱ）（i ）解：()()()()22211321321941n n x n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-. 所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n n a c -=⨯-. （ii ）解：()()22221111211n n niini iiiiii i i i a c a a c a a c====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n n n ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑ ()()2124143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N .20.（Ⅰ）解：由已知，有'()(cos sin )xf x e x x =-.因此，当π5π2π,2π44⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭x k k ()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减；当3ππ2π,2π44⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭x k k ()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增. 所以，()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k f x Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦k k k Z . （Ⅱ）证明：记π()()()2⎛⎫=+-⎪⎝⎭h x f x g x x .依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )=-xg x x x ，从而'()2e sin =-xg x x .当ππ,42⎛⎫∈⎪⎝⎭x 时，()'0g x <， 故ππ'()'()'()()(1)'()022⎛⎫⎛⎫=+-+-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h x f x g x x g x g x x . 因此，()h x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而ππ()022⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h x h f .所以，当ππ,42⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，π()()02⎛⎫+- ⎪⎝⎭f xg x x .（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos 1n xn e x =.记2π=-n n y x n ，则ππ,42⎛⎫∈⎪⎝⎭n y ，且()()()2π2πe cos e cos 2πe --==∈=-n n y x n n n n n f y x n n y N .第 11 页 共 11 页 由()()e 20e 1-==n n f y f y 及（Ⅰ），得0n y y .由（Ⅱ）知，当ππ,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()'0g x <，所以()g x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()0π04⎛⎫<= ⎪⎝⎭n g y g y g .又由（Ⅱ）知，()()π02⎛⎫+- ⎪⎝⎭n n n f y g y y ， 故()()()()()02π2π2π2π0000π2sin cos sin c e e e e e os ------=-=<--n n n n n n y n n f y y g y g y g y x x y y . 所以，2π00e π2π2sin cos -+-<-n n n x x x .。
高考天津卷理科数学真题(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,42．设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．63．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．295．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 ABC ．2D6．已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．CD ．28．已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年高考理科数学(天津卷)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …，则()A C B =A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+，，，，1-y 1-x 02y -x 02-y x 则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.6 3.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 A.5 B.8 C.24 D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为C.2 6.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭A.2-B. D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含详解
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 （3）设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 （4）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥⊂b a (D) βαβα⊥⊂,//,b a（5）设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为 (A) 6 (B) 2 (C)21(D) 772（6）设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是(A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a(C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-<a 或1->a（7）设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为0（8）已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x（9）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos,72sinπππf c f b f a ，则 (A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 (A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2019年数学真题及解析_2019年天津市高考数学试卷（理科）
2019年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={-l,1,2,3,5},B=[2,3,4),C={x∈R∣l≤x<3},贝∣J(A∩C)UB=()A.(2)B.{2,3)C.{-1,2,3}D.(1,2,3,4}2.（5分）设变量x,y满足约束条件＜x+y-2≤0,x-y+2≥0,χ≥-l,则目标函数Z=-4x+y的最大值为（) y≥-l,A.2B.3C.5D.63.（5分）设x€R,则"j-5xV0”是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A.5B.8C.24D.295.（5分）己知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为/.若/与双曲线圣-Yi=I（。
＞0,b2k2a b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点5,且IABI=4∣Ofl（0为原点），则双曲线的离心率为（）A.√2B.√3C.2D.√56.（5分）己知α=logs2,⅛=logo.5θ.2,c=0.50'2,则α,b,C的大小关系为（）A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<-a<~b7.（5分）己知函数f（x）=ASin（ωx+φ）（A>0,ω>0,∣φ∣<π）是奇函数，将y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（X）.若g（X）的最小正周期为2n,且g（ɪ）=√2-则/（.ɜɪ）=（）48A.-2B.C.y]~2.D.28.（5分）已知αeR.设函数/（x）=<χ2-2ax+2a,x<l,若关于X的不等式ʃ（X）Noχ-al nx,x>l.在R上恒成立，则1的取值范围为（）A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.（5分）f是虚数单位，则ImI的值为.1+i10.（5分）（2χ-旦K）8的展开式中的常数项为_______.Sx311.（5分）己知四棱锥的底面是边长为扼的正方形，侧棱长均为√&若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.12. （5分）设灰R,直线双-y+2=0和圆厂-乙^COS'（。
2019年天津卷理科数学高考试题含答案#
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈<… ，则()A C B =A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}2.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为A. 2B. 3C. 5D. 63.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A. 5B. 8C. 24D. 295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为C. 26.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A a c b << B. a b c << C. b c a <<D. c a b <<7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2-B.C.D. 28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. []0,1B. []0,2C. []0,eD. []1,e第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题.9.i 是虚数单位，则51ii-+值为__________.10.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________. 11.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.12.设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____.13.设0,0,25x y x y >>+=的最小值为______.14. 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在V ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率. 17.如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 18.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.19.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .20.设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案一、选择题：1.D2. D3. B4. B5. D6. A7. C8. C 8.∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤。
2019年高考理科数学天津卷含答案
数学试卷 第 3页（共 16页）
数学试卷 第 4页（共 16页）
毕业学校_____________
姓名________________
考生号________________
________________ _____________
------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -----------------------------------
x，y
满足约束条件
x
1,
则目标函数 z 4x y 的最大值为（ ）
y 1,
题
A.2
B.3
C.5
D.6
3.设 x R ，则“ 0 x 5 ”是“ | x 1| 1 ”的
（）
无
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
效
数学试卷 第 1页（共 16页）
18.（本小题满分 13 分）
在
设椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左焦点为 F
，上顶点为 B .已知椭圆的短轴长为
4，离
心率为 5 . 5
（Ⅰ）求椭圆的方程；
此
（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，
点 N 在 y 轴的负半轴上.若 | ON || OF （| O 为原点），且 OP MN ，求直线 PB
2019年高考理科数学天津卷(附参考答案和详解)
之
前
到
校
的
概率
均
为
$ +
!假
定
甲
/乙
两
位
同
学
到
校
情
况
互
不 影 响 #且 任 一 同 学 每 天 到 校 情 况 相 互 独 立 !
$!%用 8 表示甲同 学 上 学 期 间 的 三 天 中 7,+# 之 前 到 校 的
天数#求随机变量 8 的分布列和数学期望-
$$%设 " 为事件&上学 期 间 的 三 天 中#甲 同 学 在 7,+# 之 前
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7!已 知 函 数 *$#%'+9/:$#0%$+)##)##""#%是 奇 函 数#将 &'*$#%的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 $
'!!!!!
三 解 答 题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
!"!$本小题满分!+分%在'+0. 中#内角 +#0#. 所对的边分 别 为'#(#)!已 知(0)'$'#+)9/:0')'9/:.! $!%求5290 的值-
2019年天津市高考数学试卷(理科)(解析版)
2019年天津市高考数学试卷（理科）（解析版）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共8小题）1.设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2} B．{2，3} C．{﹣1，2，3} D．{1，2，3，4}2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．63.设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“|x﹣1|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．5 B．8 C．24 D．295.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．6.已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（）＝，则f（）＝（）A．﹣2 B．﹣C．D．28.已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e]二、填空题（共6小题）9.i是虚数单位，则||的值为．10.（2x﹣）8的展开式中的常数项为．11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．12.设a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，则a的值为．13.设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则的最小值为．14.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则•＝﹣．三、解答题（共6小题）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3c sin B＝4a sin C．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．17.如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．18.设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．19.设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2﹣2，b3＝2a3+4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c1＝1，c n＝其中k∈N*．（i）求数列{a（c﹣1）}的通项公式；（ii）求a i c i（n∈N*）．20.设函数f（x）＝e x cos x，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）设x n为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ+，2nπ+）内的零点，其中n∈N，证明2nπ+﹣x n＜．2019年天津市高考数学试卷（解析版）参考答案一、单选题（共8小题）1.【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；【解答】解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D．【知识点】交、并、补集的混合运算2.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，z有最大值为5．故选：C．【知识点】简单线性规划3.【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果【解答】解：∵x2﹣5x＜0，∴0＜x＜5，∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，即x2﹣5x＜0是|x﹣1|＜1的必要不充分条件．故选：B．【知识点】充要条件4.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：i＝1，s＝0；第一次执行第一个判断语句后，S＝1，i＝2，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，j＝1，S＝5，i＝3，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，S＝8，i＝4，满足退出循环的条件；故输出S值为8，故选：B．【知识点】程序框图5.【分析】推导出F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，|AB|＝，|OF|＝1，从而b＝2a，进而c＝＝，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），∴|AB|＝，|OF|＝1，∴，∴b＝2a，∴c＝＝，∴双曲线的离心率为e＝．故选：D．【知识点】圆锥曲线的综合6.【分析】本题先将a、b、c的大小与1作个比较，发现b＞1，a、c都小于1．再对a、c的表达式进行变形，判断a、c之间的大小．【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2＝＝＝log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝．而log25＞log24＝2＞，∴＜．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A．【知识点】对数值大小的比较7.【分析】根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g（x）的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，则f（x）＝A sin（ωx）将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．即g（x）＝A sin（ωx）∵g（x）的最小正周期为2π，∴＝2π，得ω＝2，则g（x）＝A sin x，f（x）＝A sin2x，若g（）＝，则g（）＝A sin＝A＝，即A＝2，则f（x）＝2sin2x，则f（）＝2sin（2×＝2sin＝2×＝，故选：C．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换8.【分析】分2段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得．【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a≥恒成立，令g（x）＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣（1﹣x+﹣2）≤﹣（2﹣2）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a≤恒成立，令h（x）＝，则h′（x）＝＝，当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）＝e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．【知识点】函数恒成立问题二、填空题（共6小题）9.【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意，可知：＝＝＝2﹣3i，∴||＝|2﹣3i|＝＝．故答案为：．【知识点】复数代数形式的乘除运算10.【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x的指数为0即可得到r的值，代入r的值即可算出常数项．【解答】解：由题意，可知：此二项式的展开式的通项为：T r+1＝（2x）8﹣r＝•28﹣r•（﹣）r•x8﹣r•（）r＝•（﹣1）r28﹣4r•x8﹣4r．∴当8﹣4r＝0，即r＝2时，T r+1为常数项．此时T2+1＝•（﹣1）228﹣4×2＝28．故答案为：28．【知识点】二项式定理11.【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，则该圆柱的体积为：v＝sh＝π（）2×1＝；故答案为：【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）12.【分析】推导出圆心（2，1）到直线ax﹣y+2＝0的距离：d＝＝2＝r，由此能求出a的值．【解答】解：∵a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，∴圆心（2，1）到直线ax﹣y+2＝0的距离：d＝＝2＝r，解得a＝．故答案为：．【知识点】圆的参数方程13.【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝5，则＝＝＝2+；由基本不等式有：2+≥2＝4；当且仅当2＝时，即：xy＝3，x+2y＝5时，即：或时；等号成立，故的最小值为4；故答案为：4【知识点】基本不等式14.【分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝＝＝＝﹣12+×5×2×﹣＝﹣1故答案为：﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律三、解答题（共6小题）15.【分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理＝，得b sin C＝c sin B，又由3c sin B＝4a sin C，得3b sin C＝4a sin C，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b＝，c＝，由余弦定理可得cos B＝＝＝﹣．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B＝＝，从而sin2B＝2sin B cos B＝﹣，cos2B＝cos2B﹣sin2B＝﹣，故sin（2B+）＝sin2B cos+cos2B sin＝﹣×﹣×＝﹣．【知识点】三角形中的几何计算16.【分析】（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（），可求分布列及期望；（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，利用相互对立事件的个概率公式可求【解答】解：（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（3，），从而P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3．所以，随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的期望E（X）＝3×＝2．（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y＝0}＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）＝＝【知识点】离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差17.【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得A，B，C，D，E的坐标，设CF＝h（h＞0），得F（1，2，h）．可得是平面ADE的法向量，再求出，由，且直线BF⊄平面ADE，得BF∥平面ADE；（Ⅱ）求出，再求出平面BDE的法向量，利用数量积求夹角公式得直线CE与平面BDE所成角的余弦值，进一步得到直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面BDF的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段CF的长．【解答】（Ⅰ）证明：以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）．设CF＝h（h＞0），则F（1，2，h）．则是平面ADE的法向量，又，可得．又∵直线BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE；（Ⅱ）解：依题意，，，．设为平面BDE的法向量，则，令z＝1，得．∴cos＜＞＝．∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设为平面BDF的法向量，则，取y＝1，可得，由题意，|cos＜＞|＝，解得h＝．经检验，符合题意．∴线段CF的长为．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题18.【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝2，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，c，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y＝kx+2，联立椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由OP⊥MN，运用斜率之积为﹣1，解方程即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2b＝4，即b＝2，e＝＝，a2﹣b2＝c2，解得a＝，c＝1，可得椭圆方程为+＝1；（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y＝kx+2，代入椭圆方程4x2+5y2＝20，可得（4+5k2）x2+20kx＝0，解得x＝﹣或x＝0，即有P（﹣，），y＝kx+2，令y＝0，可得M（﹣，0），又N（0，﹣1），OP⊥MN，可得•＝﹣1，解得k＝±，可得PB的斜率为±．【知识点】椭圆的简单性质19.【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，利用等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，能求出{a n}和{b n}的通项公式．（Ⅱ）（i）由a（c﹣1）＝（b n﹣1），能求出数列{a（c﹣1）}的通项公式．（ii）a i c i＝[a i+a i（c i﹣1）]＝+＝（×3）+，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，依题意有：，解得，∴a n＝4+（n﹣1）×3＝3n+1，b n＝6×2n﹣1＝3×2n．（Ⅱ）（i）∵数列{c n}满足c1＝1，c n＝其中k∈N*．∴a（c﹣1）＝（b n﹣1）＝（3×2n+1）（3×2n﹣1）＝9×4n﹣1，∴数列{a（c﹣1）}的通项公式为：a（c﹣1）＝9×4n﹣1．（ii）a i c i＝[a i+a i（c i﹣1）]＝+＝（×3）+＝（3×22n﹣1+5×2n﹣1）+9×﹣n＝27×22n﹣1+5×2n﹣1﹣n﹣12．（n∈N*）．【知识点】等比数列的通项公式、数列的求和、等差数列的通项公式20.【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得当x∈（，）（k∈Z）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，）（k∈Z）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）记h（x）＝f（x）+g（x）（），依题意及（Ⅰ），得到g（x）＝e x（cos x﹣sin x），由h′（x）＜0，得h（x）在区间[，]上单调递减，有h（x）≥h（）＝f（）＝0，从而得到当x∈[，]时，f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）依题意，u（x n）＝f（x n）﹣1＝0，即，记y n＝x n﹣2nπ，则y n∈（），且f（y n）＝e﹣2nπ（x∈N）．由f（y n）＝e﹣2nπ≤1＝f（y0）及（Ⅰ），得y n≥y0，由（Ⅱ）知，当x∈（，）时，g（x）在[，]上为减函数，有g（y n）≤g（y0）＜g（）＝0，又由（Ⅱ）知，，得＝＜，从而证得2nπ+﹣x n＜．【解答】（Ⅰ）解：由已知，f′（x）＝e x（cos x﹣sin x），因此，当x∈（，）（k∈Z）时，有sin x＞cos x，得f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，）（k∈Z）时，有sin x＜cos x，得f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）的单调增区间为[，]（k∈Z），单调减区间为[，]（k∈Z）；（Ⅱ）证明：记h（x）＝f（x）+g（x）（），依题意及（Ⅰ），有g（x）＝e x（cos x﹣sin x），从而h′（x）＝f′（x）+g′（x）•（）+g（x）•（﹣1）＝g′（x）（）＜0．因此，h（x）在区间[，]上单调递减，有h（x）≥h（）＝f（）＝0．∴当x∈[，]时，f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）证明：依题意，u（x n）＝f（x n）﹣1＝0，即．记y n＝x n﹣2nπ，则y n∈（），且f（y n）＝＝e﹣2nπ（x∈N）．由f（y n）＝e﹣2nπ≤1＝f（y0）及（Ⅰ），得y n≥y0，由（Ⅱ）知，当x∈（，）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[，]上为减函数，因此，g（y n）≤g（y0）＜g（）＝0，又由（Ⅱ）知，，故＝＜．∴2nπ+﹣x n＜．【知识点】利用导数研究函数的单调性。
天津市2019年高考[理数]考试真题与答案解析
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天津市2019年高考[理科数学]考试真题与答案解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ()A C B = A ．B ．C ．D ．{}2{}2,3{}1,2,3-{}1,2,3,42．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为,x y 20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩4z x y =-+A ．2B ．3C ．5D ．63．设，则“”是“”的x ∈R 250x x -<|1|1x -<A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为S A ．5B ．8C ．24D ．295．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐24y x =F l l 22221(0,0)x y a b a b-=>>近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为A B ||4||AB OF =OA B C ．D 26．已知，，，则的大小关系为5log 2a =0.5og 2.l 0b =0.20.5c =,,a b c A ．B ．C ．D ．a c b<<a b c<<b c a<<c a b<<7．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π()y f x =横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周()g x ()g x期为，且，则2π4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．CD ．2-28．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，a ∈R 222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩x ()0f x ≥R 则的取值范围为a A ．B ．C ．D ．[]0,1[]0,2[]0,e []1,e 二．填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．是虚数单位，则的值为_____________．i 5ii1-+10．的展开式中的常数项为_____________．83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．12．设，直线和圆（为参数）相切，则的值为a ∈R 20ax y -+=22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θa _____________．13．设_____________．0,0,25x y x y >>+=14．在四边形中，，点在线段的延长ABCD ,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥E CB 线上，且，则_____________．AE BE =BD AE ⋅=三．解答题本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在中，内角所对的边分别为．已知，．ABC △,,A B C ,,a b c 2b c a +=3sin 4sin c B a C =（Ⅰ）求的值；cos B （Ⅱ）求的值．sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭16．（本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校23情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和X X 数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30M 之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．M 17．如图，平面，，．AE ⊥ABCD ,CF AE AD BC ∥∥,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====（Ⅰ）求证：平面；BF ∥ADE （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；CE BDE （Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．E BDF --13CF18．设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率22221(0)x y a b a b+=>>F B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在P M PB x N y 轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．||||ON OF =O OP MN ⊥PB 19．设是等差数列，是等比数列．已知．{}n a {}n b 1122334,622,24a b b a b a ===-=+，（Ⅰ）求和的通项公式；{}n a {}n b （Ⅱ）设数列满足其中．{}n c 111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩*k ∈N （i ）求数列的通项公式；(){}221n n a c -（ii ）求．()2*1ni ii a c n =∈∑N 20．设函数为的导函数．()e cos ,()x f x x g x =()f x （Ⅰ）求的单调区间；()f x （Ⅱ）当时，证明；,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明n x ()()1u x f x =-2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭n ∈N ．20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-答案解析一．选择题1．D2．C3．B4．B5．D6．A7．C8．C二．填空题910．11．28π412．13．14．341-三．解答题15．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分13分．（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，又由ABC △sin sin b cB C=sin sin b C c B =，得，即．又因为，得到，3sin 4sin c B a C =3sin 4sin b C a C =34b a =2b c a +=43b a =．由余弦定理可得．23c a =222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得从而sin B ==sin 22sin cos B B B ==，故227cos 2cossin 8B B B =-=-．71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭16．本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．232~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭3321()C ,0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，随机变量的分布列为X X 0123P1272949827随机变量的数学期望．X 2()323E X =⨯=（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且Y 2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭．由题意知事件与互斥，且事件{3,1}{2,0}M X Y X Y ===== {3,1}X Y =={2,0}X Y ==与，事件与均相互独立，从而由（Ⅰ）知{}3X ={}1Y ={}2X ={}0Y =()({3,1}{2,0})(3,1)(2,0)P M P X Y X Y P X Y P X Y ========+== ．824120(3)(1)(2)(0)279927243P X P Y P X P Y ===+===⨯+⨯=17．本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间A AB AD AE，，x y z 直角坐标系（如图），可得，．设(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D (0,0,2)E ，则．(0)CF h h =>>()1,2,F h （Ⅰ）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得，(1,0,0)AB = ADE (0,2,)BF h = 0BF AB ⋅= 又因为直线平面，所以平面．BF ⊄ADE BF ∥ADE （Ⅱ）解：依题意，．(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--设为平面的法向量，则即不妨令，(,,)x y z =n BDE 0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩1z =可得．因此有．(2,2,1)=n 4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-n n n 所以，直线与平面所成角的正弦值为．CE BDE 49（Ⅲ）解：设为平面的法向量，则即(,,)x y z =m BDF 0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令，可得．1y =21,1,h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭m 由题意，有，解得．经检验，符合题意．||1cos ,||||3⋅〈〉===m n m n m n 87h =所以，线段的长为．CF 8718．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，c 24,c b a ==222a b c =+a =2,b =．1c =所以，椭圆的方程为．22154x y +=（Ⅱ）解：由题意，设．设直线的斜率为，又()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，PB ()0k k ≠，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得()0,2B PB 2y kx =+222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得，代入得，进而直线的斜()2245200k x kx ++=22045P kx k =-+2y kx =+2281045P k y k -=+OP 率．在中，令，得．由题意得，所以直线的24510P p y k x k -=-2y kx =+0y =2M x k=-()0,1N -MN斜率为．由，得，化简得，从而2k-OP MN ⊥2451102k kk -⎛⎫⋅-=-⎪-⎝⎭2245k =k =所以，直线或．PB 19．本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识．考查化归n 与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．满分14分．（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解{}n a d {}n b q 2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩得故．3,2,d q =⎧⎨=⎩14(1)331,6232n n n n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯所以，的通项公式为的通项公式为．{}n a {}31,n n a n b =+32n n b =⨯（Ⅱ）（i ）解：．()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-所以，数列的通项公式为．(){}221n n a c -()221941n n n a c -=⨯-（ii ）解：()()22221111211n n ni i ni i i i i i i i i i a c a a c a a c ====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n nn ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n---=⨯+⨯+⨯--．()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N 20．本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：由已知，有．因此，当时，有()e (cos sin )x f 'x x x =-52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z ，得，则单调递减；当时，有sin cos x x >()0f 'x <()f x 32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z ，得，则单调递增．sin cos x x <()0f 'x >()f x所以，的单调递增区间为的单调递减区间为()f x 32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z （Ⅱ）证明：记．依题意及（Ⅰ），有，从而()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()e (cos sin )x g x x x =-．当时，，故()2e sin x g'x x =-,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0()g'x <．()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此，在区间上单调递减，进而．()h x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当时，．,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭（Ⅲ）证明：依题意，，即．记，则()()10n n u x f x =-=cos e 1n x n x =2n n y x n =-π，且．,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N 由及（Ⅰ），得．由（Ⅱ）知，当时，，()()20e 1n n f y f y -π==≤0n y y ≥,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g'x <所以在上为减函数，因此．又由（Ⅱ）知，()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭，故()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．()()()()()022********sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<所以，．20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-。
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3
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 A {1,1, 2,3,5}, B {2,3, 4},C {x R |1 x 3}，则 ( A C) B
17．（本小题满分 13 分）
如图， AE 平面 ABCD ， CF ∥ AE, AD ∥ BC ， AD AB, AB AD 1, AE BC 2 ．
（Ⅰ）求证： BF ∥平面 ADE ； （Ⅱ）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 E BD F 的余弦值为 1 ，求线段 CF 的长．
3
18．（本小题满分 13 分）
设椭圆 x2 y2 a2 b2
1(a b 0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B ．已知椭圆的短轴长为 4，离心率为
5
．
5
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负
半轴上．若| ON || OF | （ O 为原点），且 OP MN ，求直线 PB 的斜率．
且 AE BE ，则 BD AE _____________．
三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分）
在△ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ．已知 b c 2a ， 3c sin B 4a sin C ． （Ⅰ）求 cos B 的值；
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为
A．5
B．8
C．24
D．29
5．已知抛物线
y2
4x 的焦点为 F
，准线为 l ，若 l 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0) 的两条渐近线分
别交于点 A 和点 B ，且| AB | 4 | OF |（ O 为原点），则双曲线的离心率为
所以，椭圆的方程为 x2 y2 1 ． 54
（Ⅱ）解：由题意，设 P xP ，yP xp 0 , M xM , 0 ．设直线 PB 的斜率为 k k 0 ，又 B 0, 2 ，
y kx 2,
则直线 PB 的方程为
2B
6
sin
2B
cos
6
cos
2B
sin
6
15 8
3 71 3
57
．
2 82
16
16．本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基
础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分 13 分．
2
（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 ，故
2n
, 2n 4
2 内 的 零 点 ， 其 中
nN，证明
2n
2
xn
sin
e2n x0 cos
x0
．
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 40 分．
1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 30 分．
9． 13
10． 28
π
11．
4
3
12．
4
13． 4 3 14． 1
三．解答题
15．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦
定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分 13 分．
取值范围为
A． 0,1
B．0, 2
C．0, e
D．1, e
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共 12 小题，共 110 分。
二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
5i
9． i 是虚数单位，则
3,
2 3
，且
M {X 3,Y 1}{X 2,Y 0} ．由题意知事件 {X 3,Y 1}与 {X 2,Y 0}互斥，且事件
X 3 与Y 1，事件X 2 与Y 0 均相互独立，从而由（Ⅰ）知
P(M ) P({X 3,Y 1}{X 2,Y 0}) P( X 3,Y 1) P( X 2,Y 0) P( X 3)P(Y 1) P( X 2)P(Y 0) 8 2 4 1 20 ． 27 9 9 27 243
（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理 b c ，得 b sin C c sin B ，又由 3c sin B 4a sin C ，得 sin B sin C
3b sin C 4a sin C ， 即 3b 4a ． 又 因 为 b c 2a ， 得 到 b 4 a ， c 2 a ． 由 余 弦 定 理 可 得
祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷
注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式：
·如果事件 A 、 B 互斥，那么 P( A独立，那么 P( AB) P( A)P(B) ．
7
18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的 性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分 13 分．
（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为 c ，依题意， 2b 4, c 5 ，又 a2 b2 c2 ，可得 a 5 ， b 2, c 1． a5
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
3
X
~
B
3,
2 3 ，从而
P( X
k)
C3k
2 k 3
1 3k 3
,k
0,1, 2,3 ．
所以，随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
1
2
P
27
9
随机变量 X 的数学期望 E( X ) 3 2 2 ． 3
4
8
9
27
（
Ⅱ
）
解：
设
乙
同学
上
学
期间
的
三
天
中
7：
30
之
前
到校
的
天
数为
Y
，
则
Y
~
B
A． 2
B． 3
C． 2
D． 5
6．已知 a log5 2 ， b log0.5 0.2 ， c 0.50.2 ，则 a, b, c 的大小关系为
A． a c b
B． a b c
C． b c a
D． c a b
7．已知函数 f (x) Asin(x )( A 0, 0,| | ) 是奇函数，将 y f x 的图象上所有点的横坐标
17．本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立
体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分 13 分．
依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 AB ，AD ，AE 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向的空间直角坐
标系（如图），可得 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 2, 0), D(0,1, 0) ， E(0, 0, 2) ．设 CF h (h >0) ，
12．设
a
R
，直线
ax
y
2
0
和圆
x
y
2 2 cos 1 2sin
,
（
为参数）相切，则
a
的值为_____________．
13．设 x 0, y 0, x 2 y 5 ，则 (x 1)(2 y 1) 的最小值为_____________． xy
14．在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC, AB 2 3, AD 5, A 30 ，点 E 在线段 CB 的延长线上，
的值为_____________．
1 i
10．
2x
1 8x3
8
的展开式中的常数项为_____________．
11．已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5 ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条
侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
（Ⅱ）求
sin
2B
6
的值．
16．（本小题满分 13 分）
2
设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不
3
影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校 的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．