分类讨论综合型问题
分类讨论型问题
C．y＝2x
D．y＝x＋2
解析
根据已知，在没有给出 x 的取值范围时，不能确定 2x 和 x＋2
的大小，所以不能直接表示为 y＝2x，y＝x＋2. 当 x＜2 时，可得：x＋x＜x＋2，即 2x＜x＋2，可表示为 y＝2x. 当 x≥2 时，可得：x＋x≥x＋2，即 2x≥x＋2，可表示为 y＝x＋2. 故选 A.
3 方法二：设 P(x，－ x＋ 3)， 3 3 得 OM＝x，PM＝－ x＋ 3. 3 由∠BOP＝∠BAO，得∠POM＝∠ABO. PM ∵tan∠POM＝OM＝ － 3 x＋ 3 3 ， x
OA tan∠ABO＝OB＝ 3. － ∴ 3 x＋ 3 3 3 3 3 3 ＝ 3，解得 x＝ . 此时，P3( ， )． x 4 4 4
探究提高
本题有一定的难度，分类的情况比较复杂，解题
时要多读试题，首先确定分类的方向，理解解题思路，做
到胸有成竹，而不要急于下笔．
知能迁移3 (2010· 莆田)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分 ∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD，垂
图1
图2
探究提高
本题(2)中直线AB与⊙O相切有两种情况，一
种在⊙O的左边与AB相切，一种在⊙O的右边与AB相
切.
知能迁移2
已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的
距离相等，且OB＝OC.
图1
图2
(1)如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC； (2)如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC； (3)若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示．
题型分类
题型一
分类讨论问题(含问题解析)
初三数学专题复习：分类讨论问题【学习目标】1、学会运用数学的思维方式去观察、分析数学问题，体会分类讨论思想解决数学问题的方法．2、培养学生思维的逻辑性、探究性、以及归纳的条理性、完整性．【学习重点】用分类讨论思想观察、分析数学问题【学习难点】选择恰当的标准进行分类【学习过程】一、分类讨论概述：1、分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.2、分类的要求：①分类的标准统一②分类要不重不漏.二、典型例题例1.已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为。
例2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（）A. 7㎝B. 8㎝C. 7㎝或1㎝D. 1㎝例3.如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。
当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
例4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动时间为秒。
⑴设△BPQ 的面积为S ，求S 与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？二、当堂达标1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0)2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．± 6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 63．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，44．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或85．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22 C.22D. 26．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．8．在△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．10．如图，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M 为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．中考数学专题复习分类讨论问题参考答案一、例题参考答案【例题1】解：由已知易得⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
第36课 分类讨论型问题
(2)分三种情况讨论：①当 0≤x＜6 时，如解图②所示． ∵∠GDB＝60° ，∠GBD＝30° ，∴∠BGD＝90° ． 1 3 ∵BD＝x，∴DG＝ x，BG＝ x． 2 2 1 1 1 3 3 ∴y＝ DG· BG＝ × x· x＝ x2． 2 2 2 2 8 ②当 6≤x＜12 时，如解图③所示． 1 3 ∵BD＝x，∴DG＝ x，BG＝ x，BE＝x－6， 2 2 ∴EH＝ 3 (x－6)． 3
【典例 1】
(2015· 河南)如图 361，正方形 ABCD 的边长是 16，
点 E 在边 AB 上，AE＝3，F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一 个动点．把△ EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在点 B′处，若△ CDB′恰 为等腰三角形，则 DB′的长为________．
【点评】
图 361 本题主要考查折叠的性质、正方形的性质及等腰三角
形的性质，注意等腰三角形的腰和底的不确定性．
【解析】 △ CDB′恰为等腰三角形需分三种情况讨论： ①当 DB′＝DC 时，DB′＝16(易知点 F 在 BC 上且不与点 C，B 重合)． ②当 CB′＝CD 时，∵EB＝EB′，FB＝FB′， ∴点 E，F 在 BB′的垂直平分线上，∴EF 垂直平分 BB′． 由折叠可知，点 F 与点 C 重合，不符合题意，舍去． ③当 CB′＝DB′时，如解图，过点 B′作 B′G⊥AB 于点 G， B′G 的反向延长线交 CD 于点 H． ∵AB∥CD，∴B′H⊥CD． 1 ∵CB′＝DB′，∴DH＝ CD＝8． 2 ∴AG＝DH＝8．∴GE＝AG－AE＝5． 在 Rt△ B′EG 中，∵GE＝5，B′E＝BE＝AB－AE＝13， ∴B′G＝12．∴B′H＝GH－B′G＝4． 在 Rt△ B′DH 中，B′H＝4，DH＝8，∴DB′＝4 5． 综上所述，DB′＝16 或 4 5．
怎样解决初中数学分类讨论问题
怎样解决初中数学分类讨论问题在数学问题中，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。
需要利用这种方法解决的问题就是分类讨论问题。
分类讨论问题是近年来中考命题的热点内容之一，这一类数学问题，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查同学们的数学知识又能考查同学们的思维能力。
通过加强数学分类讨论问题的求解训练，对提高同学们的综合学习能力会有很大帮助，同时有利于培养同学们严谨、求实的学习态度，培养同学们思维的条理性、缜密性、科学性，提高同学们对学习数学的兴趣，并且这种优良的思维品质对同学们以后的学习生活也会有深刻和久远的影响。
那么，怎样才能熟练解决初中数学分类讨论问题呢？一、解分类讨论题的方法及步骤解决分类讨论问题的一般方法及步骤是：（1）根据题设条件及设计的解题过程确定是否需要分类讨论，从而确定分类对象，然后确定分类标准。
（2）在确定讨论对象后，针对这些对象实施分类讨论，对比较复杂的问题，还要进行逐级分类。
（3）对讨论的结果进行归纳、合并，综合得出结论。
具体流程是：明确讨论的对象和动机→确定分类→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备。
二、解决初中数学分类讨论问题应注意的问题首先要明确分类讨论的动因与讨论的方法，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由于数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，有些概念、性质、公式本身就是分类给出的，运用时应按规定分类，再按常规方法求解；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。
其次，分类时要条理分明，做到分类讨论既不重复也无遗漏。
这是解答初中数学分类讨论问题的基本原则。
也就是说在分类讨论中，要科学合理地分类，分类时须遵循三个原则，即同标准，无遗漏，不重复，就是必须按照同一个标准进行分类，切不可开始时按这个标准分类，后面就按另一个标准分类了，并且要做到分类时既不重复，也无遗漏，考虑到所有可能的情况。
分类讨论型问题-中考数学总复习讲义练习
第36讲 分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)类型一 由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(2016·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1x 的图象有唯一公共点，若直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1x的图象有2个公共点，则b 的取值范围是( )A ．b>2B ．－2<b<2C ．b>2或b<－2D ．b<－2 (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t(秒)，下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是( )3．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．类型三 由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3 (2017·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx(k ＞0)分别交反比例函数y ＝1x 和y ＝9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝1x 的图象于点C ，连结AC.若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k 表示点A 、B 、C 的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，3)，M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M 的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．8(2) (2016·北流模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝6，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使△ABC 和△QPA 全等，则AP ＝ .(3) (2016·临淄模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，且CN ＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4(2017·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C 同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(2016·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D，使这四个点构成平行四边形，则D点坐标为.(2)(2016·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t(s)，当t＝s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．(3) (2016·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(2016·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五 由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(2016·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P从点O 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；(3)在线段PE上取点F，使PF＝1，过点F作MN⊥PE，截取FM＝2，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S.①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部(不包括边界)时，直接写出S的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N 在CE 边上时，由△EFN ∽△EOC 求解；②当1≤t ＜94时和当92＜t ≤5时，分别求出S 的取值范围．这种双动点型、分类讨论问题是中考命题常用的策略．【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC 中，P 是AB 上的动点(P 异于A ，B)，过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图，∠A ＝36°，AB ＝AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有________条．参考答案第36讲 分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MF CO ＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。
初中数学专题复习分类讨论问题(含答案)
初中数学专题复习（1） 分类讨论问题【简要分析】在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中，有不少是分类给出的，遇到涉及这些知识的问题，就可能需要分类讨论。
另外，有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性，也需要从问题的实际出发进行分类讨论。
把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。
它体现了化整为零与积零为整的思想，是近年来中考重点考查的思想方法。
分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。
分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【典型考题例析】例1：已知一次函数y x =-+3333与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，试在x 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。
分析：本题中△PAB 由于P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。
△PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB ；（2）PA=AB ；（3）PB=AB 。
先可以求出B 点坐标()033，，A 点坐标（9，0）。
设P 点坐标为()x ，0，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P 点坐标有四解，分别为()()()()-+-903096309630，、，、，、，。
（不适合条件的解已舍去）点拨：解答本题极易漏解。
解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。
另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。
由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
例2：正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。
如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时，P ，D 两点间的距离。
分类讨论解不等式后的“综上所述”问题
分类讨论解不等式后的“综上所述”问题分类讨论解不等式后的“综上所述”问题在解不等式时，有好多题是用分类讨论方法来解题，好多学生在分类讨论后不知道怎么写“综上所述”。
现总结如下：其中“a”代表参数，“x”代表自变量。
共有三句话：讨论参数a，求参数a的范围，综上所述要求分类讨论结果的并集。
讨论参数a，求自变量x的范围，综上所述时讨论几种情况就写几种情况。
讨论自变量x，求自变量x的范围，综上所述要求分类讨论结果的并集。
举例如下：讨论参数a，求参数a的范围，综上所述要求分类讨论结果的并集若cos2θ+2msinθ－2m－2＜0对θ∈R恒成立,求实数m的取值范围．2解：将原不等式变为sinθ－2msinθ+2m+1＞0即(sinθ－m)2－m2+2m+1＞0恒成立,令sinθ=t,则 y=(t－m)2－m2+2m+1(|t|≤1)∴只需求y=(t－m)2－m2+2m+1的最小值大于0恒成立．①当m＞1时,ymin=f(1)=2＞0②当m＜－1时,ymin=f(－1)=4m+2＞0 m＞－ (舍) ③当－1≤m≤1时,ymin=f(m)=－m2+2m+1＞0 ∴1－＜m≤1综合①②③得 m＞1－．讨论参数a，求自变量x的范围，综上所述时讨论几种情况就写几种情况解关于x 的不等式a(x?1)＞1（a≠1）。
x?2解：原不等式可化为：(a?1)x?(2?a)＞0，x?2①当a＞1时，原不等式与（x－a?2）（x－2）＞0同解。
a?1由于a?2?1?1?1?2，a?1a?1∴原不等式的解为（－∞，a?2）∪（2，＋∞）。
a?1②当a＜1时，原不等式与（x－a?2）（x－2）＜0同解。
a?1由于a?2?1?1，a?1a?1若a＜0，a?2?1?1?2，解集为（a?2，2）；a?1a?1a?1若a＝0时，a?2?1?1?2，解集为?；a?1a?1若0＜a＜1，a?2?1?1?2，解集为（2，a?2）。
a?1a?1a?1综上所述：当a＞1时解集为（－∞，a?2）∪（2，＋∞）；a?1当0＜a＜1时，解集为（2，a?2）；当a＝0时，解集为?；a?1a?1当a＜0时，解集为（a?2，2）。
小升初课程第三讲 分类讨论问题
第三讲分类讨论问题---分类讨论能力训练教学建议：小学数学的分类思想，就是把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法．分类思想，贯穿于整个数学教学的内容中。
分类思想方法的渗透可以根据学生的年龄特征，以及学习的各阶段的认识水平和知识特点，循序渐进，反复训练，逐步上升，可以让学生在数学知识学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、概括，形成对分类思想的主动应用每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、书籍的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。
比如在五年级“方程的意义”教学中，学生对方程意义的理解就是通过式的二次分类建构对“相等关系”、“含有未知数”的理解，从而把握方程的特质的。
教学时首先出示各种各样的“式”，按照式子中有无等号可分为：有等号的式子和不含有等号的式子；按照式子中是否含有未知数又可分为：含有未知数和不含有未知数的等式。
进一步分别对每种情况中的第一类进行观察，将他们分类，该如何进行？将有等号的式子按照式子中是否含有未知数，分成两类：含有未知数的式子和不含有未知数的式子。
将含有未知数的式子按照式子中是否有等号，分成两类：有等号的式子和没有等号的式子。
此时，满足方程的二要素便很清楚了：含有未知数、等式。
再如，数的整除中对自然数的分类：按自然数能否被2整除可分为奇数和偶数；根据自然数的约数的个数又可分为质数、1和合数；而这正是本阶段需要学生掌握的重点之一。
通过分类，建构了知识网络，又突出了学习的重点。
初中数学从开始接触绝对值、相反数等概念后，分类讨论成为非常重要的数学思想与方法，许多初一新生在这个问题上形成很大知识缺陷，以至影响初中阶段的学习，因此，让小学毕业生尽早明确解题不仅要准备无误，而且还要完整无缺是至关重要的。
专题六 分类讨论问题
分类讨论问题是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干 不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.分类讨 论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难度较大，在各地中考 试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性.目前， 深圳中考试卷中，常见的需分类讨论的知识点有三大类: （1）代数类：有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点(坐标 未给定)所在象限等. （2）几何类：有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似 的可能对应情况等. （3）综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
●考点解析
题型三 综合类
类代数与几何类分类情况的综合运用.
【例题 5】（2016·齐齐哈尔市）如图所示，在平面直角坐 标系中，过点 A( 3, 0) 的两条直线分别交y轴于B，C两点， 且B，C两点的纵坐标分别是一元二次方程 x2 2x 3 0 的两 个根． （1）求线段BC的长度． （2）试问直线AC与直线AB是否垂直？
思路分析：直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质 进而得出x2=4，y2-5y+6=0，再利用分类讨论得出即可， 故答案为 2 2或 13或. 5.
●考点解析
题型二 几何题
几何类常涉及各种图形的位置关系，未明确对应关系 的全等或相似的可能对应情况，函数的定义以及点(坐标 未给定)所在象限等；函数自变量的取值变化、函数图象 未给出、函数对称性(反比例函数、二次函数的图象)等， 分类讨论问题也常通过数形结合的方法来解答.
【例题 3】在半径为5 cm的⊙O中，弦AB=6 cm，弦CD=8 cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离.
思路分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两 弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧.
第四讲 分类讨论型问题
分类讨论型问题的解题策略数学思想和方法属于基础知识的范畴，分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法。
近年各地中考试题都加强了数学思想方法的考查，其中分类讨论思想的应用最为广泛，成为检测学生分析问题和解决问题能力的常见题型。
分类讨论是在解题过程中，将某一数学对象根据它本身的本质属性，按照一定的原则或标准分成若干类，然后逐类进行讨论解决，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案的一种思想方法；其作用是克服思维的片面性，防止漏解。
常见的分类讨论题有：按数分类（绝对值概念，实数的分类等）；按字母的取值范围分类（二次根式的化简，一元二次方程概念中二次项不为0等）；按图形的位置分类（如点与直线，直线与圆的位置关系等）。
考查方式有填空题，选择题，综合题，特别是在中考压轴题中，往往涉及分类讨论思想。
【例题讲解】例1 、若0322=+--+b a b a x x 是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值解答：当⎩⎨⎧=-=+222b a b a 或⎩⎨⎧=-=+122b a b a 或⎩⎨⎧=-=+212b a b a或⎩⎨⎧=-=+012b a b a 或⎩⎨⎧=-=+202b a b a 时，原方程为关于x 的一元二次方程，因此，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3234b a 或⎩⎨⎧==01b a 或⎩⎨⎧-==11b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3232b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3432b a 解析： 结合方程特点，由于 x 2a+b 项的次数是2a+b ， -2x a -b项的次数是a – b,因而考虑这两个次数至少有一个为2即可，共有五种情况。
按题目的要求解决问题时，考虑问题要全面周到，要把所有可能的情况进行穷举，避免出现少解或漏解的情况。
例2、（04年贵阳市）如图，AB 是半圆O 的直径，BC是弦，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以每秒1㎝的速度移动，若AB 长为10㎝，点O 到BC 的距离为4㎝。
（1） 求弦BC 的长；（2） 问经过几秒后，△BPC 是等腰三角形。
分类讨论问题
分类讨论问题【简要分析】分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决．分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【典型考题例析】例1：已知直角三角形两边x、y的长满足240x-=，则第三边长为．例2：⊙O的半径为5㎝，弦AB∥∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB和CD的距离是（）（A）7㎝（B）8㎝（C）7㎝或1㎝（D）1㎝例3：如图2-4-2，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动．当DM= 时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似．例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．【提高训练12】1．已知等腰△ABC的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC≌△A´B´C´，则△A´B´C´中一定有一定有条边等于（）A．7㎝B．2㎝或7㎝C．5㎝D．2㎝或7㎝2．已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与⊙O相切的圆的半径一定是（）A．1或5 B．1 C．5 D．1或则3．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t小时两车相距50千米，则t的值是（）A．2或2．5 B．2或10 C．10或12．5 D．2或12．5４．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作了长为的弦AB，连续PB，则PB的长为5．在直角坐标系xoy中，一次函数2y=+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标．（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【提高训练12参考答案】1．D 2．A 3．A 4．2或5（1）3（2）满足条件的2点P存在，它的坐标是或或或((4(4---。
分类讨论思想在初中数学中的应用
分类讨论思想在初中数学中的应用分类讨论思想是初中数学中常用的一种解题方法。
它是指将问题分成几类，分别进行讨论，最后综合各类情况得出结论的思考方式。
分类讨论思想的应用可以帮助我们更好地解决数学问题，提高数学能力。
一、常用的分类讨论思想（一）分情况讨论法所谓分情况讨论法，就是把原问题划分为若干不同的情况，对每种情况分别进行讨论，最后根据所有情况的讨论结果得出原问题的解决办法。
例如：某电影院座位有两种，一种是普通座位，票价为25元；一种是豪华座位，票价为50元。
售票系统统计，当电影院所有座位都售出时，收入最高为1200元，最少为900元。
这时要求你编写程序，计算出电影院的总座位数，普通座位数和豪华座位数分别为多少。
这个问题一共有三个未知量，构成了一个三元一次方程组。
假设总座位数为x，普通座位数为y，豪华座位数为z，则可以列出如下方程组：y+z=x25y+50z=120025y+50z=900很显然，这个方程组无解。
因为一张普通座位和一张豪华座位的票价差距是25元，显然不可能造成1200元和900元这种巨大的差距。
则此时需要用到分情况讨论法。
只使用普通座位的收入为25x，只使用豪华座位的收入为50x，则此时有以下两种情况：①只使用普通座位的情况25x=900，得x=36；知道x=36后，已知经过统计全部座位都已售出，故有：y+z=x=36；由此可得：y=9,z=27。
②只使用豪华座位的情况50x=1200，得x=24；知道x=24后，已知经过统计全部座位都已售出，故有：y+z=x=24；由此可得：y=24,z=0。
因此，分情况讨论法的最终解决办法是电影院的总座位数是36，普通座位数是9，豪华座位数是27。
（二）合情况讨论法所谓合情况讨论法，就是将原题设想为一个更大的问题，再将其划分为若干个子问题，对每个子问题进行讨论，最后综合所有的子问题的情况，得出原问题的答案。
这种方法主要是利用排除法以及一些特殊的性质。
中考数学分类讨论题型整编
中考数学分类讨论题型整编【知识整合创新】整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一,此类题综合性强,难题较大,在各地中测试题中多以压轴题出现,对考生的水平要求较高,具有选拔性.目前,中测试卷中,觉见的需分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点〔坐标未给定〕所在象限等.2．几何类：几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等. 3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 中考高分解密：题型1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义,其中以绝对值、方程及根的定义,函数的定义尤为重要,必须明确讨论对象及原因,进而确定其存在的条件和标准. 考题1．求函数251()(3)22y k x k x =-+-+的图象与x 轴的交点？ 名师点拔：二次项系数中含有参数k,此函数可能是二次函数,也可能是一次函数,故应对52k -分类讨论.解：〔1〕当502k -=时,即52k =时,此函数为1122y x =-+,故其与x 轴只有一个交点〔1,0〕 〔2〕当55022k k -≠≠，即时,此函数为二次函数,2251(3)4()(2)22k k k ∆=--⨯-⨯=-.①当2k =时,Δ＝0.抛物线与x 轴的交点只有一个.212110,122x x x x -+===,交点坐标为〔1,0〕②当2k ≠时,Δ＞0,函数与x 轴有两个不同的交点.1(1,0)(,0)52k-和.综合所述：当52k =或2k =时,函数图像与x 轴只有一个交点〔1,0〕；当52k ≠且2k ≠时,函数图像与x 轴有两个不同交点1(1,0),(,0)52k-. 变式思考1关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-= 〔1〕假设方程有实数根,求k 的取值范围〔2〕假设等腰三角形ABC 的边长a=3,另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根,求ΔABC 的周长.易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程,同时应注意的是第〔2〕问中并无说明哪两边是ΔABC 的腰,故应考虑其所有可能情况. 题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中表达颇多,考查自变量的取值范围的分类,解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.考题2．〔2022,河南〕如图〔1〕边长为2的正方形ABCD 中,顶点A 的坐标是〔0,2〕一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时,位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S 〔阴影局部〕.〔1〕当t 取何值时,S ＝3？〔2〕在平面直角坐标系下〔图2〕,画出S 与t 的函数图像.名师点拔：设l 与正方形ABCD 的交点为M,N,易知ΔDMN 是等腰Rt Δ,只有当MD ＝2时,1MDN S ∆=,那么3ABCDMDNS SS=-=,此时求得42t =-,第〔2〕问中,随着t 的变化,S的表达式发生变化,因而须分类讨论t 在不同取值时S 的表达式,进而作出图像.解：〔1〕设l 与正方形ABCD 的交点为M,N, ∵l 的解析式y x t =+,在x 轴,y 轴上所截线段相等. ∴ΔDMN 为等腰Rt ΔDMN∵S ＝3,∴2231DMN ABCD S S S ∆=-=⨯-= 又∵21122DMN S MD ND ND ∆=⋅= ∴MD ＝ND ＝2,∴ON ＝OD －DM ＝4－2, 即D 点的坐标为〔0,4－2〕 ∴42t =-,即当42t =-时,S ＝3.图〔2〕〔2〕∵直线l 与y 轴的交点M 的坐标为(0,)t∴当0≤t ＜2时,21122S B B t =M ⋅N = 当2≤t ＜4时,21(4)42ABCD DMN S S S t ∆=-=--+当t ≥4时,S ＝4根据以上解析式,作图如下列图〔图2〕变式思考2 〔2022 资阳〕如下图,在平行四边形ABCD 中, 4AD cm =,∠A ＝60°,BD ⊥AD,一动点P 从A 出发,以每秒1cm 的速度沿A B C →→的路线匀速运动,过点P 作直线PM,使PM ⊥AD.〔1〕当点P 运动2秒时,设直线PM 与AD 相交于点E,求△APE 的面积；〔2〕当点P 运动2秒时,另一动点Q 也从A 出发沿A B C →→的路线运动,且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动,在BC 上以每秒2cm 的速度匀速运动.过Q 作直线QN,使QN//PM.设点Q 运动的时间为t 秒〔0≤t ≤10〕,直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm 2. ①求S 关于t 的函数关系式；②〔附加题〕求S 的最大值.易误点睛：讨论变量t 的取值范围,是解此题的关键,解此类题应十分注意变量的取值须符合题意,逐层分析.题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.规律提示：熟知直角三角形的直角,等腰三角形的腰与角以及圆的对称性,根据图形的特殊性质,找准讨论对象,逐一解决.考题3．〔2022 上海〕在ΔABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ＝22,圆A 的半径为1,如下图,假设点O 在BC 边上运动,〔与点B 和C 不重合〕, 设BO ＝x,ΔAOC 的面积为y .〔1〕求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. 〔2〕以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当圆O 与圆A 相切时ΔAOC 的面积.名师点拔：〔1〕过点A 作AD ⊥BC 于D 点 ∵AB ＝AC ＝22 ∴AD ＝AB sin 45⋅︒=2445ABBC Sin ==︒∴OC=BC －BO=4－x,故ΔAOC 的面积y 与x 的函数解析式为12y OC AD =⋅即1(4)242y x x =-⨯=- 〔2〕由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切,故解题中须分类讨论.解：〔1〕过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵∠BAC=90° AB=AC=22 ∴BC=4 AD ＝12BC ＝2 ∴112(4)422AOC S OC AD x x ∆=⋅=⨯⨯-=- 即4(04)y x x =-+<<〔2〕当点O 与点D 重合时,圆O 与圆A 相交,不合题意；当点O 与点D 不重合时,在Rt ΔAOD 中,222224248AO AD OD x x x =+=+-=-+∵⊙A 的半径为1,⊙O 的半径为x ∴①当⊙A 与⊙O 外切时22(1)48x x x +=-+ 解得76x =此时,ΔAOC 的面积717466y =-= ②当⊙A 与⊙O 内切时,22(1)48x x x +=-+ 解得72x = 此时ΔAOC 的面积71422y =-= ∴当⊙A 与⊙O 相切时,ΔAOC 的面积为17162或. 变式思考3〔2022 南京〕如图,直线443y x =-+与x 轴,y 轴分别交于点M,N 〔1〕求M,N 两点的坐标； 〔2〕如果点P 在坐标轴上,以点P 为圆心,125为半径的圆与直线443y x =-+相切,求点P 的坐标. 易误点睛：此题是一道函数与圆的综合题,注意第〔2〕小问涉及到分类讨论,与直线相切时的情况,此题可分为两大类,四小类,切勿漏掉,解决此类问题关键是把握标准,正确的分类. 题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题,对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.考题4〔2022 福州〕如下图,抛物线2()y x m =--的顶点为A,直线:33l y x m =-与y 轴的交点为B,其中m ＞0.〔1〕写出抛物线对称轴及顶点A 的坐标 〔用含有m 的代数式表示〕〔2〕证实点A 在直线l 上,并求∠OAB 的度数.〔3〕动点Q 在抛物线的对称轴上,那么抛物线上是否存在点P,使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 全等？假设存在,求出m 的值,并写出所有符合上述条件的P 点坐标；假设不存在,说明理由.名师点拨：〔1〕对称轴x m =,顶点A 〔m,0〕〔2〕把x ＝m 代入33y x m =-得330y m m =-= ∴点A 〔m,0〕在直线l 上,直线l 与y 轴相交,那么B 点的横坐标为：3y m =-；B 点坐标为(0,3)m -,由三角函数知识可得：3tan 3OB mOAB OA m∠=== 即∠OAB ＝60° 〔3〕由于全等的对应关系,因而需进行分类论,找准对应关系,从而解决问题.解：〔1〕对称轴为直线x m =,顶点A 〔m,0〕〔2〕把x m =代入函数33330y x m y m m =-=-=得 ∴点A 〔m,0〕在直线l 上.当x=0时,3y m =-∴3(0,3),tan 3mB m OAB m-∠== ∴∠OAB=60°(3)如图,以P 、Q 、A 为顶点的三角形与ΔOAB 全等,共有以下4种情况：①1111190,3,PQ A PQ m Q A m ∠=︒== ∴1P 点的坐标为(3,)m m m --,代入抛物线解析式得：23,0m m m -=-> ∴13m =∴1131(,)33P --②22290,B P Q A P ∠=︒点与点重合 ∴2,0m m =->∴m =∴2(0,3)P -③3333390,,Q P A Q P m P A ∠=︒= ∴3P 点的坐标为3(,)22m m --代入抛物线解析式得：233,024m m m -=-> ∴2m = ∴3(23)P -④4444490,,Q P A Q P P A m ∠=︒== ∴4P 点的坐标为1(,)22m m m --,代入抛物线解析式得：213,024m m m -=-> ∴23m = ∴41)3P - 分析可知,1234,,,P P P P 关于抛物线对称轴的对称点均符合题意；综上所述,符合条件的P 点分别为1111),(),()3333----；〔0,3〕,3)-,(23)--,(23)+-.变式思考4〔2022宁波〕抛物线22ax bx c ++y ＝的顶点坐标为〔4,－1〕与y 轴交于点C 〔0,3〕,O 是原点.〔1〕求这条抛物线的解析式.〔2〕设此抛物线与x 轴的交点A 、B 〔A 在B 的左边〕,问在y 轴上是否存在点1P ,使以O,B,P 为顶点的三角形与ΔAOC 相似？假设存在,请求出点P 的坐标,假设不存在,请说明理由. 易误点睛：解决此类问题,必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心,对两三角形的对应角〔或边〕进行分类讨论,逐步找到符合题意的结论.中 考 零 距 离一、选择题1．假设m 为实数,那么点P 〔m －2,m+2〕不可能在〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．相交两圆公共弦长为6,两圆的半径分别为那么这两圆的圆心距等于〔 〕A ．1B ．2或6C ．7D ．1或73．〔2022,河南〕如果关于x 的方程210x mx ++=的两个根的差为1,那么m 等于〔 〕A ．2±B ．3±C ．5±D ．6±4．平面上A 、B 两点到直线l 的距离分别是2323-+与,那么线段AB 的中点C 到直线l 的距离是〔 〕A ．2B ．3C ．2或3D ．不能确定 5．22(3)49x m x +-+是完全平方式,那么m 的值是〔 〕A ．－3B ．10C ．－4D ．10或－4 二、填空题6．AB 是⊙O 的直径,AC 、AD 是弦,且AB ＝2,AC ＝2,AD ＝1,那么∠CAD ＝＿＿＿＿＿＿＿. 7．AB 、CD 是⊙O 的两条平行线,AB ＝12,CD ＝16,⊙O 的直径为20,那么AB 与CD 之间的距离为＿＿＿＿＿＿＿＿.8．方程560x x x ⋅-+=的最大根与最小根的积为＿＿＿＿＿＿.9．〔2022 上海〕直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于＿＿＿＿＿＿＿＿.10．〔2022 沈阳〕ΔABC 中,∠C ＝90°,AC ＝3,BC ＝4,分别以A 和C 为圆心作⊙A 和⊙C,且⊙C 与直线AB 不相交,⊙A 与⊙C 相切,设⊙A 的半径为r,那么r 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 11．2225,7x y x y +=+=,那么x y -的值等于＿＿＿＿＿＿＿.12．在平面直角坐标系内,A 、B 、C 三点的坐标分别是〔0,0〕,〔4,0〕,〔3,2〕,以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形,那么第四个顶点不可能在第＿＿＿＿＿象限. 三、解做题13．〔2022 广东〕实数a,b 分别满足221122,22,a a b b a b+=+=+求的值. 14．〔2022 黑龙江〕在劳技课上,老师请同学们在一张长为17cm,宽16cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形〔要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余两个顶点在长方形上的边上〕请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.15．〔2022 芜湖〕在钝角△ABC 中,AD ⊥BC,垂足为D 点,且Ad 与DC 的长度为27120x x -+=方程的两个根,⊙O 是△ABC 的外接圆,如果BD 长为(0)a a >.求△ABC 的外接圆⊙O 的面积.16．〔2022 烟台〕在直角坐标系中,有以A 〔－1,－1〕,B 〔1,－1〕,C 〔1,1〕,D 〔－1,1〕为顶点的正方形,设正方形在直线y ＝x 上方及直线y=－x+2a 上方局部的面积为S,〔1〕求12a =时,S 的值.〔2〕a 在实数范围内变化时,求S 关于a 的函数关系式.17．(2022 黄冈)在直角坐标系XOY 中,O 为坐标原点,A 、B 、C 三点的坐标分别为A 〔5,0〕,B 〔0,4〕,C 〔－1,0〕,点M 和点N 在x 轴上,〔点M 在点N 的左边〕点N 在原点的右边,作MP ⊥BN,垂足为P 〔点P 在线段BN 上,且点P 与点B 不重合〕直线MP 与y 轴交于点G ,MG ＝BN. 〔1〕求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式.〔2〕求点M 的坐标.〔3〕设ON ＝t,△MOG 的面积为S,求S 与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围. 〔4〕过点B 作直线BK 平行于x 轴,在直线BK 上是否存在点R,使△ORA 为等腰三角形？假设存在,请直接写出R 的坐标；假设不存在,请说明理由.变式思考答案1．解：〔1〕∵方程有实数根.∴①当k ＝0时,原方程变为1840,2x x -==,方程有实数根. ②当0k ≠时,24(4)4(4)k k k ∆=+--≥0,解之得43-k ≥,∴403k k -≠≥且 故k 的取值范围是43-k ≥.〔2〕①假设b=c,那么24(4)4(4)0k k k ∆=+--=,解得43k =-,此时方程的根为b ＝c＝2,又∵a ＝3,满足三角形三边关系,∴2237ABC C a b c ∆=++=++=②假设a=b 或a=c,那么92(4)3(4)0k k k ++⨯+-=,∴54k =-,此时方程另一根为：7755c b ==或,满足三角形三边关系,∴7373355ABCC a b c ∆=++=++=.2．〔1〕当点P 运动2秒时,AP ＝2cm,由∠A ＝60°,知AE ＝1,PE .∴2APE S ∆=. 〔2〕①〔i 〕当0≤t ≤6时,点P 与点Q 都在AB 上运动,设PM 与AD 交于点G ,QN 与AD 交于点F,那么AQ ＝t,AF ＝2t ,QF ＝2,AP ＝t+2,AG ＝1+2t,PG 2.∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S =+〔ii 〕当6≤t ≤8时,点P 在BC 上运动,点Q 仍在AB 上运动,设PM 与DC 交于点G,QN 与AD 交于点F,那么AQ ＝t,AF ＝2t ,DF ＝4－2t,QF＝2t ,BP ＝t －6, CP ＝10－t,PG ＝〔10－t而BD＝故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为28S =-+〔iii 〕当8≤t ≤10时,点P 和点Q 都在BC 上运动,设PM 与DC 交于点G,QN 与DC 交于点F,那么CQ ＝20－2t,OF ＝〔20－2t 〕,CP ＝10－t,PG ＝〔10－t∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为2S =-. 故S 关于t 的函数关系式为22+(0t 6)22S =t 8)-t 10)⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤≤≤ ②〔附加题〕当0≤t ≤6时,S的最大值为2； 当6≤t ≤8时,S的最大值为当8≤t ≤10时,S的最大值为所以当t ＝8时,S有最大值为3．解：〔1〕当x ＝0时,y ＝4. 当y ＝0时,4403x -+=,∴x ＝3. ∴M 〔3,0〕,N 〔0,4〕〔2〕①当1P 点在y 轴上,并且在N 点的下方时,设⊙1P 与直线443y x =-+相切于点A,连接1P A,那么1P A ⊥MN.∴∠1P AN ＝∠MON ＝90°,∵∠1P NA=∠MNO,∴△1P AN ∽△MON,∴11P A P N MO MN=在Rt △OMN 中,OM ＝3,ON ＝4,∴MN ＝5. 又∵1125P A =,∴14P A =,∴1P 点坐标是〔0,0〕 ②2P 点在x 轴上,并且在M 点的左侧时,同理可得2P 点坐标是〔0,0〕 ③当3P 在x 轴上,并且在M 点的右侧时,设⊙3P 与直线443y x =-+相切于点B,连接3P B ,那么3P B MN ⊥ ∴OA//3P B . ∵OA ＝3P B ,∴33P M OM ==.∴36OP =,∴3P 点坐标是〔6,0〕④当4P 点在y 轴上,并且在点N 上方时,同理可得44P N ON ==. ∴48OP =. ∴4P 点坐标是〔0,8〕 综上,P 点坐标是〔0,0〕,〔6,0〕,〔0,8〕.4．解：〔1〕可设2(4)1y a x =--. ∵交y 轴于点C 〔0,3〕,∴3＝16a －1,∴14a =. ∴抛物线的解析式为21(4)14y x =-－,即21234y x x+=－. 〔2〕存在 当y ＝0时,那么21(4)104x --=,∴122, 6.x x ==∴A 〔2,0〕,B 〔6,0〕. 设P 〔0,m 〕,那么OP ＝m . 在△AOC 与△BOP 中, ①假设∠OCA ＝∠OBP,那么△BOP ∽△COA,∴OB OPOC OA=. OP ＝6243⨯=,∴4m =±. ②假设∠OCA ＝∠OPB,那么△BOP ∽△AOC,∴OP OBOC OA=. 6392OP ⨯==,∴9m =±. ∴存在符合题意的点P,其坐标为〔0,4〕、〔0,－4〕、〔0,9〕或〔0,－9〕中考零距离答案一、选择题1．C 2．D 3．C 4．C 5．D二、填空题6．15°或105° 7．14或2 8．3 9．4或5 10．327r <33<r 55≤或≤ 11．1± 12．三三、解做题程13．解：假设a b ≠,那么可知,a b 为方程2220x x +-=的两实数根,由韦达定理得a+b ＝－2,ab ＝－2. ∴11212a b a b ab +-+===- 假设a b =,那么解关于a,b 的方程分别得1313a b a b ==-+==--或113113a b+=+-或. 14．解：分三种情况计算：〔1〕当AE ＝AF ＝10cm 时,〔如图1〕,2150()2AEF S AE AF cm ∆=⋅= 〔2〕当AE ＝EF ＝10cm 时〔如图2〕,2228()140()2AEF BF EF EB cm S AE BF cm ∆=-==⋅= 〔3〕当AE ＝EF ＝10cm 时〔如图3〕,2251()DF EF ED cm =-=21551()2AEF S AE DF cm ∆=⋅=. 15．解：∵AD 与DC 的长度为27120x x -+=的两根 ∴有两种情况①AD ＝3,DC ＝4 ②AD ＝4,DC ＝3由勾股定理：求得AC ＝5,连接AO 并延长交⊙O 于E 点,连接BE ∴∠ABE ＝90° 又∵∠E ＝∠C∴△ABE ∽△ADC, 第15题图∴AB AE AB AE AC AD AC AD =⇒=⋅ 16．解：〔1〕当12a =时,如图1,直线1y x y x ==-+与的交点是11(,)22E∴1111224S =⨯⨯=〔2〕①当1a <-时,如图2,△ADC 的面积就是S,∴12222S =⨯⨯=②当－1≤a ＜0时,如图3,直线2y x y x a ==-+与的交点是E 〔a ,a 〕∴EG ＝〔1－a 〕＝1+a AF ＝2〔1+a 〕212(1)2(1)22(1)ADC AEFS S S a a a ∆∆=-=-+⨯+=-+∴③当0≤a ＜1时,如图4,直线2y x y x a ==-+与的交点是E 〔a,a 〕∴EG ＝1－a CF ＝2〔1－a 〕∴21(1)2(1)(1)2CEF S S a a a ∆==-⨯-=- ④当a ≥1时,如图5,S ＝0∴S 关于a 的函数关系式为222(a <1)2(1+a)1a <0S =(1a)0a 10a 1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ －－ （－≤）－ （≤＜） （≥）17．〔1〕设所求抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠.由题意,得：255004a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩ 解得：451654a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求的解析式为2416455y x x =-++.〔2〕依题意,分两种情况：①当点M 在原点的左边〔如图1〕时,在Rt △BON 中,∠1+∠3＝90°∵MP ⊥BN,∴∠2+∠3＝90°在Rt △BON 和Rt △MOG 中,12BON MOGBN MG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △BON ≌Rt △MOG . ∴OM ＝OB ＝4∴M 点坐标为〔－4,0〕②当点M 在原点的右边〔如图2〕时,同理可证：OM ＝OB ＝4. 此时M 点的坐标为〔4,0〕∴M 点的坐标为〔－4,0〕或〔－4,0〕〔3〕图1中,Rt △BON ≌Rt △MOG . ∴OG ＝ON ＝t. ∴S ＝114222OM OG t t ⋅=⋅⋅=〔其中0＜t ＜4〕图2中,同理可得S ＝2t,其中t ＞4.∴所求的函数关系式为S ＝2t.t 的取值范围为t ＞0且t ≠4.〔4〕存在点R,使△ORA 为等腰三角形.其坐标为：123455(3,4),(3,4),(2,4),(,4),(8,4)2R R R R R -.。
第44课分类讨论型问题
①当点 Q 在边 AB 上时，0<t≤5，如解图①，过 Q 作
QE⊥AC 于 E，连结 PQ，∵∠C＝90°，∴QE∥BC，∴△
ABC∽△AQE，∴AAQB＝AACE＝QBCE，∵AQ＝2t，AP＝t，∴120t ＝ t＋8PE＝Q6E，∴PE＝53t，QE＝56t，∴PQ2＝QE2＋PE2，∴PQ
(例 3 题图解) ③如解图③，AE＝EF＝4.先求出 AE 边上的高 DF＝ 7，再代入面积公 式求得 S＝2 7 cm2.
答案 8 cm2 或 2 15 cm2 或 2 7 cm2
变式训练 3 (2015·攀枝花)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 在矩形 OABC 中，点 A(10，0)，C(0，4)，D 为 OA 的中点，P 为 BC 边上一 点．若△POD 为等腰三角形，则所有满足条件的点 P 的坐标为________．
答案 D
变式训练 1 (2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为 3，它的另两条边
的边长是关于 x 的一元二次方程 x2－12x＋k＝0 的两个根，则 k 的值是( )
A. 27
B. 36
C. 27 或 36
D. 18
解析 由于等腰三角形的一边长 3 为底或腰不能确定，故应分两种情 况进行讨论：①当 3 为腰时，其他两条边中必有一个为 3，把 x＝3 代入原方 程可求出 k 的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断出 的值是否符合题意即可；②当 3 为底时，则其他两条边相等，即方程有两个 相等的实数根，由 Δ＝0 可求出 k 的值，再求出方程的两个根进行判断即可．
变式训练 3 题图解
答案 (2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)
总结回顾：此题型多为点的位置不确定，导致图形不确定，所以在解题 时依据点可能出现的位置进行分类讨论，此类问题的分类讨论容易遗漏，考 虑问题务必要全面.
分类讨论题
中考专题讲解：分类讨论题（代数部分）安徽省无为县刘渡中心学校（238341） 丁浩勇有一类数学题，我们在解答时，需要根据研究对象性质的差异将它分为不同的情况加以分析考查．这一类试题，我们称之为分类讨论题．分类思考是解决数学问题的一种重要的思想方法，也是我们必须要掌握的一种解题策略．掌握好分类讨论的解题方法，非常有利于培养和发展我们思维的条理性、缜密性和灵活性，使我们能够完整地考虑问题，从而学会化整为零地解决问题．解决分类讨论题首先要弄清分类的方法和原则，分类时要考虑研究对象的相同点和差异点，将它划分为不同种类加以分析和研究．分类时必须遵循以下原则：（1）分类中的每个分支是相互独立的，不能有重复情况出现； （2）分类时标准要统一，不能有遗漏情况出现； （3） 分类讨论应逐级进行．解决分类讨论题的基本方法和步骤是：（1）确定研究对象的全体范围； （2）确定分类标准，合理地进行分类； （3）逐级对所分类别进行讨论，获取阶段性结果； （4） 综合各级结果，得出最终结论．近年来中考数学试题中分类讨论题（代数部分）一般有概念型分类讨论题、性质型分类讨论题、参数型分类讨论题、解集型分类讨论题、统计型分类讨论题和方案设计型分类讨论题等几种类型．类型一 概念型分类讨论题 有一些中考题中所涉及到的数学概念是按照分类的方法进行定义的，如a 的定义分a ＜0、a ＝0和a ＞0三种情况描述的．解决这一类问题，往往需要分类讨论，这一类问题我们称之为概念型分类讨论题．【例1】（2009·孝感）若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ． 【分析与解答】由m n n m -=-，得n ≥m ．而由4=m ，3=n ，得4±=m ，3±=n ．下面分情况进行讨论．（1）当3,4±==n m 时，有m ＞n ，这与n ≥m 相矛盾，所以不成立； （2）当4-=m ，3=n 时，满足n ≥m ，那么()()13422=+-=+n m ； （3） 当4-=m ，3-=n 时，满足n ≥m ，那么()()493422=--=+n m ． 综合上面的讨论可知()2n m +的值为1或49．【点拨】每年的中考题都会出现一些考查基础知识、基本技能、基本思想方法的问题，这类题主要集中在数与式的一些基本概念与运算方面．因此我们一定要牢固掌握好这些分类定义的概念，并能灵活运用．否则的话对于这类题目我们容易丢解．类型二 性质型分类讨论题有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的，这就要求我们在运用它们时一定要分情况讨论．这一类问题我们称之为性质型分类讨论题．【例2】（2008·威海）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是 （ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2【分析与解答】因为A （1，2）、B （3，2）两点的纵坐标相等，所以抛物线c bx ax y ++=2的对称轴方程是231+=x ，即2=x ．又因为点C （5，7）也在抛物线上，所以抛物线的开口向上．下面就对称轴的两边分两种情况讨论二次函数的性质．（1）当x ＜2时，此二次函数是单调递减函数．由于2-＜1-，所以有1y ＞2y ． （2） 当x ＞2时，此二次函数是单调递增函数．而M （1,2y -）关于对称轴2=x 的对称点的坐标为（1,6y ），由于6＜8，所以有1y ＜3y ．综合（1）、（2）可得2y ＜1y ＜3y ，故选B ．【点拨】解决此类问题时，我们一定要分类讨论二次函数的性质：（1）当a ＞0时，对称轴的左边单调递减，对称轴的右边单调递增；（2）当a ＜0时，对称轴的左边单调递增，对称轴的右边单调递减．【例3】（2008·株州）已知函数1y x =的图象如下，当1x ≥-时，y 的取值范围是（ ）A ．1y <-B ．1y ≤-C ．1y ≤- 或0y >D ．1y <-或0y ≥ 【分析与解答】由于反比例函数1y x=的性质是分段描述的：当x ＞0时，反比例函数1y x =的图象在第一象限y 随着x 增大而减小，且y ＞0；当x ＜0时，反比例函数1y x=的 O -1 -1 X图象在第三象限y 随着x 增大而减小，且y ＜0．本题中1x ≥-，必须分为x ≤-1＜0和x ＞0两种情况进行考查．（1） 当x ≤-1＜0时，由反比例函数1y x =的性质可知1-≤y ； （2） 当x ＞0时，由反比例函数1y x=的性质可知y ＞0． 所以本题的正确答案是选C ．【点拨】本题主要考查反比例函数的增减性，理解反比例函数的增减性主要存在以下两方面的误区：一是片面地理解反比例函数的增减性，没有分x ＞0和x ＜0两个区间分别讨论；二是错误地认为反比例函数是单纯的递增函数或单纯的递减函数．类型三 参数型分类讨论题解答含有字母系数（参数）的题目时，需要根据字母（参数）的不同取值范围进行讨论，这一类分类讨论问题我们称之为参数型分类讨论题．【例4】（2009·凉山州）若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b y x=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）【分析与解答】要确定正比例函数y ax =与反比例函数b y x=在同一坐标系中的大致图象，首先要知道a 、b 的取值范围．由于0ab <，所以要分a ＞0，b ＜0和a ＜0，b ＞0两种情况进行讨论．（1） 当a ＞0，b ＜0时，正比例函数y ax =的图象在一、三象限，反比例函数by x=的图象在二、四象限．图中的四个选择支没有一个符合条件； （2） 当a ＜0，b ＞0时，正比例函数y ax =的图象在二、四象限，反比例函数by x =的图象在一、三象限．图中的四个选择支只有B 符合条件．综合（1）、（2）可知，本题的正确答案是B ．【点拨】解决这类问题，关键要把握两点：一是判断正比例函数y ax =中a 的取值，确定图象所在象限及增减性；二是判断反比例函数b y x=中b 的取值，确定图象所在象限及xxxx B ．每一象限中的增减性．【例5】（2008·贵阳）对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【分析与解答】平面直角坐标系中，每一象限内点的坐标的正负性有如下规律：由于点P （1）当x ＜0时，()222-=-x x x x ＞0，点2(2)P x x x -，在第二象限； （2）当0=x 时，022=-x x ，点2(2)P x x x -，为原点； （3）当0＜x ＜2时，()222-=-x x x x ＜0，点2(2)P x x x -，在第四象限； （4） 当x ＞2时，()222-=-x x x x ＞0，点2(2)P x x x -，在第一象限． 综上所述，点2(2)P x x x -，一定不在第三象限，故选C ．【点拨】解决这类问题首先应熟练掌握每一象限内点的横、纵坐标的正负性，以及在坐标轴上的点的坐标特点，然后根据参数的不同取值分段讨论．【例6】（2009·荆门）关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为 ( )(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2．【分析与解答】关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0中参数a 的取值不同，方程的性质也会发生变化，下面分别讨论．（1）当0=a 时，原方程变为一元一次方程022=+-x ，此方程只有一个解； （2） 当0≠a 时，原方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0是一元二次方程，由()[]02422=⨯-+-=∆a a ，得2=a ．综合（1）、（2）得0=a 或2=a ，所以本题选择D ．【点拨】因为题目中相同解算作一解，所以一元一次方程和一元二次方程都有可能符合条件，因此，我们在解答类似题目时一定要考虑周全，不要漏解．类型四 解集型分类讨论题求一元二次不等式及分式不等式的解集时，可以利用有理的乘（除）法法则“两数相乘（除），同号得正，异号得负”来分类，把它们转化为几个一元一次不等式组来求解．我们把这一类问题我们称之为解集型分类讨论题．【例7】（2009·深圳）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式290x ->.解：∵29(3)(3)x x x -=+-，∴(3)(3)0x x +->.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1）3030x x +>⎧⎨->⎩ （2）3030x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组（1），得3x >，解不等式组（2），得3x <-，故(3)(3)0x x +->的解集为3x >或3x <-，即一元二次不等式290x ->的解集为3x >或3x <-. 问题：求分式不等式51023x x +<-的解集. 【分析与解答】阅读例题可知，把()3+x 和()3-x 看成两个数，它们的积为正，则这两个数同号，由此类推不难解决给出的问题．由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”可知()15+x 和()32-x 异号，下面分情况讨论即可．（1）当15+x ＞0，32-x ＜0时，解不等式组510230x x +>⎧⎨-<⎩得135x -<<；（2）当15+x ＜0，32-x ＞0，时，解不等式组510230x x +<⎧⎨->⎩无解． 综合（1）、（2）两种情况，得分式不等式51023x x +<-的解集为135x -<<. 【点拨】本例先根据乘法法则用分组的方法结出了一个一元二次不等式的求解过程，然后要求我们用类比的方法求解一个分式不等式．解决这类问题的关键是要弄清解题原理，能够“现学现用”，分析并解决问题．类型五 统计型分类讨论题有一类问题在求一组数据的平均数、众数或中位数时，由于题设的不确定性，往往需要分类讨论才能获得完整的答案．这一类问题我们称之为统计型分类讨论题．【例8】（2009·牡丹江）已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为 ．【分析与解答】设这三个不相等的正整数从小到大排列为a ，3，b ．根据题意，a 的取值可以是1和2．下面我们分别讨论：（1）当1=a 时，由333⨯=++b a 得5=b ； （2） 当2=a 时，由333⨯=++b a 得4=b ．综上所述，这三个数分别为1，3，5或2，3，4．【点拨】由于数据的不确定性，需要对它进行分类讨论．如果我们不能有条理地进行思考，就可能有遗漏的情况出现．分类讨论的思想非常有利于克服思维的片面性，防止漏解．类型六 方案设计型分类讨论题在日常生活中，针对同一问题，借助于分类讨论的思想往往可以得出不同的解决方案，这一类问题我们称之为方案设计型分类讨论题．【例9】（2009·绥化）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有 ( )A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种【分析与解答】设需二人间x 间，三人间y 间，则需四人间为()y x --7间．根据题意，得()207432=--++y x y x ，化简，得x y 28-=．由于x 、y 、y x --7皆为正整数．下面分别讨论．（1）当1=x 时，628=-=x y ，07=--y x ，不符合要求； （2）当2=x 时，428=-=x y ，17=--y x ，符合要求； （3）当3=x 时，228=-=x y ，27=--y x ，符合要求； （4） 当4=x 时，028=-=x y ，37=--y x ，不符合要求；故符合条件的方案有2种，即C 是正确答案．【点拨】利用不定方程解决日常生活中的实际问题是近年来中考题中的常见题型之一．本题的误区是往往由于读题不细心，审题不严谨，从而容易忽视x 、y 、y x --7是正整数这个隐含条件，导致4种方案都符合要求的结论．总之，分类讨论是一种非常重要，也是很常见的数学解题方法，在中考试卷中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度．因此，我们一定要牢固掌握分类的技能技巧，做到举一反三，触类旁通．。
考点跟踪训练44分类讨论型问题
考点跟踪训练44 分类讨论型问题一、选择题1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0) 答案 B解析 当P 点坐标为(4,0)时，点A 在OP 的中垂线上，OA ＝P A ；当P 点坐标为(－2 2，0)时，OP ＝OA ＝2 2；当P 点坐标为(2,0)时，OP ＝AP ＝2，所以P 点坐标不可能为(1,0)．2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．± 6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 6 答案 D解析 当x ≤2时，x 2＋2＝8，x ＝±6(舍去6)；当x >2时，2x ＝8，x ＝4.综上，x ＝－6或x ＝4.3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，4答案 D解析 ∵点A 的坐标为(3,4)，∴OA ＝32＋42＝5. 当AP ＝AO 时，可知P 1(－2,4)，P 2(8,4)，当OP ＝OA 时，可知P 3(－3,4)， 当PO ＝P A 时，设PO ＝PA ＝m .有(m －3)2＋42＝m 2，m ＝256，∴m －3＝76，P 4⎝⎛⎭⎫－76，4，故选D. 4．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或8 答案 C解析 如图①，S 矩形＝1×(1＋3)＝4；如图②，S 矩形＝3×(3＋1)＝12，故选C.5．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22C.22D. 2 答案 B解析 A (m,1)代入y ＝k x 中，得m ＝k ，代入y ＝2kx 中，得2k 2＝1，k 2＝12，所以k ＝±22.二、填空题6．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．答案 70°，70°，40°或55°，55°，70°解析 当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为180°－70°2＝55°.7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC 上一定点，且MC ＝8.动点P 从C 点出发沿C →D →A →B 的路线运动，运动到点B 停止．在点P 的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P 有________个．答案 4解析 当MC 为底边时，MC 的中垂线交CD 于一点P ，该点能满足PM ＝PC ；当MC 为腰时，分别以C 、M 为圆心，MC 长为半径画圆，⊙C 与CD 交于一点P ，⊙M 与AB 、AD 各有一个交点，因此，满足条件的点P 有4个．8．在△ABC 中 ，AB ＝AC ＝12 cm ，BC ＝6 cm ，D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1 cm 的速度沿B →A →C 的方向运动，设运动的时间为t 秒，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t 的值为________．答案 11或13解析 当0<t ≤12时，点P 在AB 上，2(t ＋3)＝12＋3＋(12－t )，t ＝11；当12<t <24时，点P 在AC 上，2[3＋(24－t )]＝3＋12＋t ，解得t ＝13.9．(2010·上海)已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ＝2，EC ＝1，如图所示．把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为_______．答案 1或5解析 题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC 上的点”，所以有两种情况如图所示：旋转得到F 1点，则F 1C ＝1；旋转得到F 2点，则F 2B ＝DE ＝2，F 2C ＝F 2B ＋BC ＝5.10．如图，点A 、B 在直线MN 上， AB ＝11 cm ，⊙A 、⊙B 的半径均为1 cm ，⊙A 以每秒2 cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r (cm)与时间t (秒)之间的关系式为r ＝1＋t (t ≥0)，当点A 出发后________秒两圆相切．答案 3或113或11或13解析 两圆相切可分为如下四种情况： ①当两圆第一次外切，由题意， 可得11－2t ＝1＋1＋t ，t ＝3； ②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t ＝1＋t －1，t ＝113；③当两圆第二次内切，由题意， 可得2t －11＝1＋t －1，t ＝11； ④当两圆第二次外切，由题意， 可得2t －11＝1＋t ＋1，t ＝13.所以，点A 出发后3秒或113秒或11秒或13秒两圆相切．三、解答题 11．(2010·柳州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝2 cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC ＝60°.若动点E 以2 cm/s 的速度从A 点出发沿着A →B →A 方向运动，设运动时间为t (s)(0≤t <3)，连接EF ，当t 值为多少时，△BEF 是直角三角形．解 ∵AB 是⊙O 的直径， ∠ABC ＝60°， ∴∠C ＝90°，AB ＝2BC ＝4. 当∠BFE ＝90°时， ∵F 是BC 中点，∴BF ＝12×2＝1.在Rt △BEF 中，∠B ＝60°，∴BE ＝2BF ＝2×1＝2，AE ＝4－2＝2. 又∵AE ＝2t ，∴2t ＝2，t ＝1. 当∠BEF ＝90°时，在Rt △BEF 时，BE ＝12BF ＝12，∴AE ＝4－12＝312，∴2t ＝312，t ＝1.75.同样，当t ＝1.75＋12＝2.25时，∠BEF ＝90°.综上，t ＝1或1.75或2.25. 12．(2011·南通)已知A (1,0)，B (0，－1)，C (－1,2)，D (2，－1)，E (4,2)五个点，抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C 、E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上；(2)点A 在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上吗？为什么？ (3)求a 和k 的值．解 (1)证明：将C ，E 两点的坐标代入y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝2，9a ＋k ＝2，解得a＝0，∴与条件a ＞0不符，∴C 、E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上． (2)解法一：∵A 、C 、D 三点共线(如下图)，∴A 、C 、D 三点也不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上． ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A 、B 、C ； ②A 、B 、E ； ③A 、B 、D ； ④A 、D 、E ； ⑤B 、C 、D ； ⑥B 、D 、E .将①、②、③、④四种情况(都含A 点)的三点坐标分别代入y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)，解得：①无解；②无解；③a ＝－1，与条件不符，舍去；④无解．所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上．解法二：抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)的顶点为(1，k )，假设抛物线过A (1,0)，则点A 必为抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A 、B 、C 、D 、E 中的三点，所以必过x 轴上方的另外两点C 、E ，这与(1)矛盾，所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上．(3)①当抛物线经过(2)中⑤B 、C 、D 三点时，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋k ＝－1，4a ＋k ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－2. ②当抛物线经过(2)中⑥B 、D 、E 三点时，同法可求：⎩⎨⎧a ＝38，k ＝－118.综上，a 和k 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－2或⎩⎨⎧a ＝38，k ＝－118.13．(2011·贵阳)【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)为端点的线段中点坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)． 【运用】(1)如图，矩形ONEF 的对角线交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4,3)，则点M 的坐标为__________；(2)在直角坐标系中，有A (－1,2)，B (3,1)，C (1,4)三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．解 (1)∵四边形ONEF 是矩形， ∴点M 是OE 的中点． ∵O (0,0)，E (4,3)，∴点M 的坐标为(2，32)．(2)设点D 的坐标为(x ，y )．若以AB 为对角线，AC 、BC 为邻边构成平行四边形，则AB 、CD 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.若以BC 为对角线，AB 、AC 为邻边构成平行四边形，则AD 、BC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋x 2＝1＋32，2＋y 2＝4＋12，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.若以AC 为对角线，AB 、BC 为邻边构成平行四边形，则BD 、AC 的中点重合， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5.综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5,3)或(－3,5)．。
中考数学《第36讲：分类讨论型问题》总复习讲解含真题分类汇编解析
第36讲分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)内容特性分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于存在的一些不确定因素而无法解答或结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决.解题策略很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决．分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破．具体是：(1)确定分类对象；(2)进行合理分类(理清分类“界限”，选择分类标准，并做到不重复、不遗漏)；(3)逐类进行讨论；(4)归纳并得出结论.基本思想分类讨论的基本方法是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.类型一由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积(平方米)单价(万元/平方米)不超过30(平方米)0.3超过30平方米不超过m平方米部分(45≤m≤60)0.5超过m平方米部分0.7根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝1x的图象有唯一公共点，若直线y＝－x＋b与反比例函数y＝1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是()A．b>2 B．－2<b<2 C．b>2或b<－2 D．b<－2(2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数关系的图象是()3．已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝43x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．类型三由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3(·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k＞0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k表示点A、B、C的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，3)，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为()A．4 B．5 C．6 D．8(2)(·北流模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA 全等，则AP＝.(3)(·临淄模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四 由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4 (·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8cm ，AD ＝16cm ，BC ＝22cm ，∠ABC ＝90°，点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm /s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 成为矩形？(2)当t 为何值时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D ，使这四个点构成平行四边形，则D 点坐标为 .(2)(·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝6cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动．如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t(s )，当t ＝ s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．(3) (·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五 由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造▱PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；(3)在线段PE 上取点F ，使PF ＝1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM ＝2，FN ＝1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD 的面积为S.①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值； ②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部(不包括边界)时，直接写出S 的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．参考答案第36讲 分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD ＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MFCO＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。
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分类讨论综合型问题
1．(2013·杭州)给出下列命题及函数y ＝x ，y ＝x 2
和y ＝1x ，
①如果1a ＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1；
②如果a 2＞a ＞1a ，那么a ＞1；
③如果1a ＞a 2＞a ，那么－1＜a ＜0；
④如果a 2＞1a ＞a 时，那么a ＜－1.
则 ( )
A ．正确的命题是①④
B ．错误的命题是②③④
C ．正确的命题是①②
D ．错误的命题只有③
2．(2013·杭州)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B
在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图
象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．
3．(2012·广州)如图，抛物线y ＝－38x 2－34x ＋3与x 轴
交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点
C .
(1)求点A ，B 的坐标；
(2)设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△
ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
(3)若直线l 过点E (4，0)，M 为直线l 上的动点，当
以A ，B ，M 为顶点所作的直角三角形有且只有两个时，求直线l 的解析式．
【能力提升】
4．(2012·绍兴)如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连
接AC，抛物线y＝x2－4x－2经过A，B两点．
(1)求A点的坐标及线段AB的长；
(2)若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边
向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单
位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一
个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时
间为t秒．
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的
纵坐标的取值范围．
5．(2012·福州)如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)，B(4，4)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共
点D，求m的值及点D的坐标；
(3)如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出
所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．
6．(2010·宁波)如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点，▱ABCD的顶点A的
坐标为(－2，0)，点D的坐标为(0，23)，点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G.
(1)求∠DCB的度数；
(2)连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线DC的交点为H.
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为33，请直接写出点F的坐标．。