高中数学 131函数的单调性与导数教案教案 新人教A版选修2 2
1.3.1导数与函数的单调性 教案-2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2
导数与函数的单调性【教学重难点】教学重点：1.会求函数的单调区间2.利用导数及单调性解决含有参数的问题教学难点：1.已知函数的单调性求参数范围2.含参数的函数的单调性【知识点梳理】函数的导数与单调性的关系函数y =f (x )在某个区间内可导,(1)若f '(x )>0,则f (x )在这个区间内① 单调递增 ;(2)若f '(x )<0,则f (x )在这个区间内② 单调递减 ;(3)若f '(x )=0,则f (x )在这个区间内是③ 常数函数 .用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系1o . '()0f x 〉( 或0)('〈x f )是)(x f 在（a ,b ）内单调递增（或递减）的充分不必要条件2o . 0)('≥x f （或 0)('≤x f ）是)(x f 在（a,b ）内单调递增(或递减)的必要不充分条件（0)('=x f 不恒成立）【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定恒有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( )【热身训练】1．f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，0)【设计意图】掌握基本常用函数导数公式，巩固一元二次不等式的解法2.函数y =f (x )的导函数y =f '(x )的图象如图所示,则下面判断正确的是( )A.在区间(-3,1)上f (x )是增函数B.在区间(1,3)上f (x )是减函数C.在区间(4,5)上f (x )是增函数D.在区间(3,5)上f (x )是增函数【设计意图】导数与函数单调性的关系体现在图形上，信息在图形上寻找。
1.3.1 函数的单调性与导数 课件(人教A版选修2-2) (1)
A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：f′(x)＝3x2＋a，
令3x2＋a≥0，则a≥－3x2[x∈(1，＋∞)]．∴a≥－3.
答案：B
练习题：1．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k＞ 0)．若f(x)的单调递减区间为(0,4)，单调递增区间为(－∞，0) 与(4，＋∞)，求k的值．
x ( 1 ,1) 3
.
3．已知函数f(x)＝ x ＋ln x，则有( )
A．f(2)<f(e)<f(3)
B．f(e)<f(2)<f(3)
C．f(3)<f(e)<f(2)
D．f(e)<f(3)<f(2)
解析：在(0，＋∞)内，f′(x)＝
2
1
x＋1x
>0，
所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．
1
234Fra bibliotekhh
h
h
o A t o B t o C t o D t
分析 以容器2为例,由于容器
上细下粗,所以水以恒速注入时, 开始阶段高度增加得慢,以后高 度增加得越来越快.反映在图象
上,A 符合上述变化情况.同理
可知其他三种容器的情况.
解 1→B, 2→A, 3→D, 4→C.
2 h
o A t
思考 例 3 表明,通过函数图象 ,不仅可以看出函 数的增与减 ,还可以看出其增减的快慢.结合图象, 你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?
一般地,如果一个函
y
数在 某一范围内导 数 的绝对值较大,那 么函数 在 这个范围
高中数学 131函数的单调性与导数学案 新人教A版选修2-2 学案
1.31函数的单调性与导数【学习目标】1.了解可导函数的单调性与其导数的关系 ；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
【学习重难点】重点：利用导数研究函数的单调性，会求多项式函数的单调区间 难点：利用导数研究函数的单调性，会求多项式函数的单调区间 【学习过程】 一、学前准备：1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ；二、合作探究：探究一：函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内是增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内是减函数.试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--； （3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+.反思：用导数求函数单调区间的三个步骤： ①求函数f (x )的导数()f x '.②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间.探究二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？典型例题例1 已知导函数的下列信息： 当14x <<时，()0f x '>；当4x >，或1x <时，()0f x '<；当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状.变式：函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象的大致形状.例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.【学习检测】1.(A) 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则一定有（ ） A ．240b ac -< B ．230b ac -< C ．240b ac -> D ．230b ac ->2. (A)（2004全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ） A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．35(,)22ππD ．(2,3)ππ 3. (B)若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ） A ．()0f x > B ．()0f x <C ．()0f x =D ．不能确定4.(B)函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是5.(B)已知x x x f 2)(2+=，则(0)f '等于6. (B)判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）32()f x x x x =+-；（2）3()3f x x x =+；.7(C) 求证：函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数.8（C ）如果函数32()5f x ax x x =-+-在R 上递增，求a 的取值范围。
1.3.1函数的单调性与导数1-人教A版高中数学选修2-2课件
令(x
1)(x x2
1)
0，解得 1
x
0或0
x
1
y x 1 的单调减区间是(1,0)和(0,1) x
注: 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止 一个，这些单调区间一般不能用“∪”连接，而 只能用“逗号”或“和”分开。
四、课堂练习 1、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x 2 2x 4; (2) f ( x) e x x;
2
3
3
因 此 ， 函 数f ( x)的 递 增 区 间 是(2k 2 ,2k 2 )(k Z );
3
3
递 减 区 间 是(2k 2 ,2k 4 )(k Z ).
3
3
(2) f ( x) x ln(1 x) 1 2
解：函数的定义域是(1,)，f ( x) 1 1 x 1 . 2 1 x 2(1 x)
2
2
归纳： 1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单 调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求 单调性问题时，应考虑导数法。
2°求可导函数f(x)单调区间的步骤： ①求定义域
②求f'(x)
③令f'(x)>0解不等式⇒f(x)的递增区间 f'(x)<0解不等式⇒f(x)的递减区间
(2) f ( x) x 2 2x 3;
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x) 2x 3 3x 2 24x 1.
解:
(3)因为f ( x) sin x x, x (0, )，所以f ( x) cos x 1 0.
因此，函数f ( x) sin x x在x (0, )上单调递减
1.3.1函数的单调性与导数-人教A版高中数学选修2-2课件
已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减
当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴
内的图象平缓.
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
2：求函数 y 3x2 3x 的单调区间。
解： y' 6x 3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
2
2
y 3x2 3x 的单调递增区间为 (1 , ) 2
单调递减区间为 (, 1) 2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间。
解： y' 9x2 6x 3x(3x 2)
步骤：
（1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即 函数的单调区间。
练习:判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;
高中数学人教A版选修2-2第一章1.3.1《函数的单调性与导数》教案(2课时)
"福建省长乐第一中学2014高中数学 第一章《1.3.1函数的单调性与导数（2课时）》教案 新人教A 版选修2-2 "教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x=--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin(0,)f x x x xπ=-∈，所以，'()cos10f x x=-<因此，函数()sinf x x x=-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C→→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x=在()0,b或(),0a内的图像“陡峭”，在(),b+∞或(),a-∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x=+-=+-=-+当()2,1x∈-即21x-<<时，'0y<，所以函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x在(),a b内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x；（2）判断()'f x在(),a b内的符号；（3）做出结论：()'0f x>为增函数，()'0f x<为减函数．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间.五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．教后反思：。
人教版高中选修2-2《导数与函数的单调性》教学设计
人教版高中选修2-2《导数与函数的单调性》教学设计《人教版高中选修2-2《导数与函数的单调性》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！“函数的单调性与导数”是《普通高中课程标准实验教科书数学(选修2-2)》(人教版)第1.3.1的内容，是学生在学习了平均变化率、瞬时变化率、导数定义之后学习的，是《必修1》函数的单调性的再认识，为后续学习函数的极值、最值等知识作铺垫，也是初等数学向高等数学的一次跨越。
我们已经学习了直接利用函数的单调性的定义，研究函数的单调性，以及函数的最值。
导数作为研究函数重要的工具，而且利用导数研究函数的单调性具有一般性，与《数学1》和《数学4》中的方法比较，导数在研究函数中具有优越性。
本节内容是整个章节的核心，涉及到的知识和方法，是高中的重点。
知识与技能目标在观察、探索的基础上，归纳出函数的单调性与导数的关系，并会用其判函数的单调性，会求函数的单调区间。
过程与方法目标利用图象为结论提供支持，通过观察分析、归纳总结等方式，培养学生的数形结合意识和应用数学知识解决问题的数学思维。
3.情感、态度与价值观通过本节学习，增强对数学的好奇心和求知欲;在教学过程中，培养学生勇于探索、观察发现意识。
三、重点、难点分析本课时要求学生理解函数的单调性与导数之间的关系，能求不超过三次多项式的单调区间，二这种关系的基本思想是数形结合。
由于学生刚刚接触导数的应用，他们在利用导数求函数的单调区间的水平和自觉性上都还有一定的差距。
学生的已有的基础是解不等式和一元二次函数的图象分析，所以要充分利用学生已有的基础，分析原函数的单调性于导函数的正负之间的关系，本教学设计的思路是由“形”导“数”，由“数”到“形”，数形结合的思想。
综上，本节课的教学难点是：函数的单调性与其导数关系;教学重点是利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次多项式函数的单调区间。
四、教学支持条件分析本课时充分借助信息技术手段，如几何画板，PPT等，借助几何画板工具，形象直观地展示原函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，帮助学生直观上认识，在某个区间内导数大于零，则原函数在这个区间递增;在某个区间内导数小于零，则原函数在这个区间递减。
高中数学《导数在研究函数中应用函数单调性与导数》教案2新人教A版选修22
函数的单调性与导数〔二〕一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程⑴〔一〕复习1．确定以下函数的单调区间：y＝x3－9x2＋24x；⑵y＝x－x3．〔4〕f(x)＝2x3－9x2＋12x－32．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的单调区间．3．在区间(a, b)内f'(x)＞0是f (x)在(a,b)内单调递增的A．充分而不必要条件 B ．必要但不充分条件C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件( A)〔二〕举例例1．求以下函数的单调区间(1) f (x)＝x－lnx(x＞0)；(2)(log(3x2)x(3)3(2x1)(1x)2〔4〕f(x)ln(3xb)〔b>0〕〔5〕判断f(x)lg(xx2)的单调性。
分三种方法：〔定义法〕〔复合函数〕〔导数〕例2．〔1〕求函数y1x31(aa2)x2a3xa2的单调减区间.2〔2〕讨论函数f(x)bx(11,b0)的单调性.x2〔3〕)a–+1x+1)，≥–)的单调设函数=x()ln(其中1，求区间.a〔1〕解：y′=2–(a+a2)x+a3=(x–a)(x–a2)，令y′＜0得(x–a)(x–a2)＜0.〔1〕当a＜0时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a,a 2)；〔2〕当0＜a＜1时，不等式解集为a2＜x＜a此时函数的单调减区间为(a2,a)；3〕当a＞1时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a,a2)；4〕a=0，a=1时，y′≥0此时，无减区间.综上所述：当a＜0或a＞1时的函数y1x3aa2)x2a3xa2的单调减区间为(a,a2)；3当0＜a＜1时的函数y 112322a)；x(aa)xax的单调减区间为(a,32当a=0，a=1时，无减区间.〔2〕解：∵f(x)bxbx f(x)，∴f(x)在定义域上是奇函数.(x)21x21在这里，只需讨论f(x)在(0,1)上的单调性即可.当0＜x＜1时，f′(x)=b(xbx21x(x21)bx22x21=bx22(x21)2(x21)2(x21)2假设b＞0，那么有f ′(x)＜0，∴函数fx)在(0,1)上是单调递减的；假设b＜0，那么有f ′(x)＞0，∴函数fx)在(0,1)上是单调递增的.由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论：当b＞0时，函数f(x)在(–1,1)上是单调递减的；当b＜0时，函数f(x)在(–1,1)上是单调递增的.〔3〕解：由得函数f(x)的定义域为(–1,+∞)，且f(x)ax1(a≥–1).x1〔1〕当–1≤a≤0时，f′(x)＜0，函f(x)在(–1,+∞)上单调递减.1〔2〕当a＞0时，由f′(x)=0，解得x.a′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(1,1)1(1, )a a af′(x)–0+f(x)↘极小值↗从上表可知，当x∈(1,1a)时，f ′(x)＜0，函数f(x)在(1,1)上单调递减a.当x ∈( 1, a )时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1,a)上单调递增.综上所述，当–1≤a≤0时，函数f(x)在(–1,+∞)上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(1,1)上单调递减，函数a f(x)在(1,a)上单调递增.作业：?习案?作业八。
高中数学选修2-2教学设计6：1.3.1 函数的单调性与导数教案
1.3.1 函数的单调性与导数教学目标1．知识与技能目标：（1）了解函数的单调性与导函数之间的关系；（2）能利用导数研究简单函数的单调性，并掌握原函数与导函数之间的关系；（3）掌握函数单调性的求法，用以解决一些简单的问题.2．过程与方法目标：（1）利用函数1()f x xx=+回顾单调性的定义和利用图象求单调区间的方法；（2）利用一个函数作为引入，让学生明确本节课学习之后将要达到的学习效果；（3）借助一个函数图象和几何画板让学生体验单调区间与导函数之间的关系；（4）利用所得的结论，让学生研究三个函数的单调区间；（5）利用三个函数图像，作出相应的原函数与导函数的图像草图，让学生体会原函数与导函数之间的图象联系；（6）利用引入中的例题，对本节课所学的内容进行应用并作适当的拓展、总结.3．情感、态度与价值观目标：通过例题的设计培养学生的阅读与理解能力，在图象的研究中培养学生的观察能力，鼓励学生之间的相互协作，培养学生友善的社会主义核心价值观.教学过程环节合作探究问题设计设计意图教师活动学生活动知识回顾例1：已知1()(0)f x x xx=+>，（1）用单调性的定义，求()f x的单调递增区间；（2）作出()f x的图象，并写出()f x的单调区间.解：（1）任取12x x>>，则12()()f x f x-=121211()()x xx x+-+通过对必修1中的单调性判断方法的回顾，可以让学生对当时的单调性判断的方法进行梳理，也便于学生在学习本课教师将问题和[答案]都放在幻灯片中投影给学生看.先让学生阅读题目并进行回顾.然后再一行一行的投影出解答的过程，教师辅助以讲解，让学生在讲解的过程中回顾起高一时单调性问题的学生努力回忆高一时的单调性的判断方法，并积极和同组的同学分享每一步骤的求解思路，并及时梳理问题解答过程中的步得121212121()()()()x x f x f x x x x x --=- 由120x x >>，得120x x ->，120x x > 故当121x x >>时，1210x x ->恒成立 得到12()()0f x f x -> 即()f x 在(1,)+∞上为增函数. （2）作出()f x 的图象如图所示，由图可得，()f x 的增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，减区间为(1,0)-，(0,1)例2：已知函数()f x 的图象如图所示，且'()f x 是()f x 的导函数.（1）写出()f x 的单调增区间； （2）在你所写出的单调增区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的结论；（3）写出()f x 的单调减区间； （4）在你所写出的单调减区间中任选五时内容的时候，将所学到的知识与以前进行相比，能够更好的体现导数在解决单调性问题时的优越性，提升学生学习导数的热情.如果出于教学进度的考虑，教师可以直接用几何画板向学生演示()f x 图象中各个点的切线斜率特征，并给出相应的结论.但是这样只能使学生成为课堂教学的旁观者.通过让学生自己在纸上解答方法.最后教师再对以前所学的单调性的判断方法进行总结并板书：1．利用单调性定义判断；2．利用图象判断.（在讲解的过程中适时的帮助学生梳理解答要点.）教师一条条的放映处题目，让学生依序解答每道题，切忌一次性将所有的问题投影出来，使学生产生畏难心理.然后观察学生的活动情况，根据学生的反应作出是否放映下一个问题的判断.同时对学生学习过程中存在的问题及时给予点拨.在学生得出猜想之后，教师再利用几何画板多次演示切点所在的骤： 1．定义法： 设值、作差、化简、定号、下结论.2．图象法： 从左往右看：上升为增，下降为减.学生通过阅读题目要求，对图象进行独立研究，将所得到的结果与其他组员分享，并根据所得结论的异同进行及时的纠正或讨论.学情预设：学生在此处会出现端点处作切线，点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的 结论；（5）结合切线的斜率与导数的关系，求'()0f x >与'()0f x <的解集；（6）观察单调区间与（5）的解集之间的关系，并总结单调区间和导函数之间的关系.解：（1）增区间是：(1,1)-；（2）增区间上的点所对应的切线斜率为正数；（3）减区间是：(,1),(1,)-∞-+∞； （4）减区间上的点所对应的切线斜率为负数；（5）'()0f x >的解集为(1,1)-，'()0f x <的解集为(,1)(1,)-∞-+∞U ；小结1：当'()0f x >时，则()f x 为增函数；当'()0f x <时，则()f x 为减函数.作出几条切线观察，进行归纳后与其他组员分享，能极大的提高 学生课堂的参与度，即使自己不会也会被其他组员感染而参与研究.若其他同学与他有相同的结论，则可以强化他对自己结论的信心；反之，则能激发他找出结论中的问题所在的动力.单调区间对斜线斜率的符号的影响. 最后再总结函数的单调区间与导函数之间的关系，让学生对所给出的结论有更好的理解.得到导函数在单调区间上可以等于0的结论，对于这个问题可以放到后续的图象中一句话带过，教师不必纠缠.深入应用例3：求下列函数的单调区间： （1）2()23f x x x =--； （2）32()23121f x x x x =+-+； （3）3()3f x x x =+解：（1）∵2()23f x x x =-- ∴'()22f x x =-本题由原来的图象分析过渡到对函数[解析]式分析.以二次函数作为桥梁，重点处理三次函数的单调性判断教师先让学生自主解答，并巡视各小组的解答情况，对薄弱学生给予必要的提示，鼓励学生利用两种方法解答题目.教师在巡视过程中要有目的的寻找一学生自主解答或者向老师或同组同学提出解答过程中所存在的问题，争取课堂上能够尽快掌握利用导数求解当'()0f x >时，则1x > 当'()0f x >时，则1x <故()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(,1)-∞.（2）∵32()23121f x x x x =+-+∴2'()6612f x x x =+- 即'()6(2)(1)f x x x =+- 当'()0f x >时，2x <-或1x > 当'()0f x <时，21x -<<故()f x 的增区间为(,2)-∞-，(1,)+∞，减区间为(2,1)-. （3）∵3()3f x x x =+ ∴2()33f x x =+ 当'()0f x >时，x ∈R ； 当'()0f x <时，x ∈∅故()f x 的增区间为R ，无减区间. 问题，主要是由于二次函数 的图象已为大多数学生所熟识，学生在解答过程中可利用多种方法互相核对自己所得结果的正确性，接着把其中导数的方法应用到三次函数问题的解答中.个字迹清楚，过程完整的学生在黑板上写 出自己的解答结果作为示范，规范学生的解题步骤，一开始就培养学生良好的表达习惯.接着从其他组的成员中抽取两个学生完成剩余两题的解答，如果学生中有采用代数法和几何法的学生，就抽一个利用代数法求解的学生，另一个利用几何法求解的学生将自己的[答案]写到黑板上.单调区间的方法.深入应用学情预设： 此处学生要顺利解决必须弄清楚两个问题： 1．求导函数；2．解不等式 跨过这两个问题，就能比较顺利的完成.教师可以对基础比较薄弱的学生进行指点，鼓励他们树立信心.综合探究例4：已知函数322()39f x x ax a x =--，其中0a >.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(2,1)--上为增函数，求a 的取值范围. 解：（1）∵1a =通过之前几道例题的梳理，学生基本能够比较顺利的完成本题的第（1）小题.对于第（2）小题采用的方法教师先让学生自主探究，在学生一筹莫展的时候，给予必要的提示，并在此强调求解单调区间的解题步骤，充分调动学生的主观能动性自主完成本题的解答.学生自主完成例题的解答，在同组同学的交流中不断深化对本节知识点的理解，最后再听取教师对本节课内容∴32()39f x x x x =-- 故2'()369f x x x =--当'()0f x >时，1x <-或3x > 当'()0f x <时，13x -<<故()f x 的增区间为(,1)-∞-，(3,)+∞()f x 的减区间为(1,3)-（2）∵322()39f x x ax a x =-- ∴22'()369f x x ax a =-- 即'()(3)(33)f x x a x a =-+ ∵0a >∴()f x 的增区间为(,)a -∞-，(3,)a +∞∵()f x 在(2,1)--上为增函数且0a > ∴1a -≥- 故01a <≤与第一小题完全一样只是含有参数和图象分析的内容，目的是让学生的将本节的内容进行充分的回顾，同时培养学生利同时抽取两名解答过程有区别的学生到黑板上分享自己的[答案]，并对全班同学进行讲解.由于本题在课堂一开始的时候就已经给出，所以班级里一些学生在教师讲解前面知识点的过程中已经在不断的琢磨本题的解答，有可能在讲解本题之前，个别学生已经完成了本题的解答.的最后小结.另外在教师的要求下，两个学生要到黑板上将自己的[答案]与全班同学分享. 学生在对照黑板中的解题过程，找到解决自己解题中存在的综合探究用数形结合的思想进行分析题目的能力.问题，并对自己本节课学习过程中存在的问题及时在课堂上给予解决. 板书设计函数的单调性与导数 小结1：小结2：小结3：例1： 例2： 例3：（剩下三分之二的黑板版面留给上黑板写解答过程的学生，在回顾的时候教师可以直接利用幻灯片的回放功能在最后将本节课所讲的内容进行复习和总结.）教学反思《函数的单调性与导数》的教学价值的挖掘与思考导数部分的内容在高中数学教学中占据着举足轻重的地位，这从对导数时常作为压轴题进行考察就可见一斑.而在压轴题中时常都是以探究式的出题方式要求学生在摸索中找到解题的方法，这既要求学生对相关知识点有较为熟练的基本解题能力，还需要有较为扎实的探究问题的技能.这就要求在本阶段的教学绝对不能依靠以教师为主体的精英化教育时代留下的经验，用绝对量的题目和不断加大的题目难度进行教学，并要求学生如法炮制的在解题过程中应用.。
高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数教案新人教A版选修22
高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数教案
新人教A版选修22
教学目标：
⑴知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
⑵ 能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
（3）情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。
教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法：发现式、启发式
教学手段：多媒体课件等辅助手段。
教学过程预设：
问：函数的单调性和导数有何关系呢？
教师仍以y=x2为例，借助几何画板动态演示，让学生记录结果在课前发的表格第二行中：
二、观察与表述
（探索函数的单调性和导数的关系）
1 •这一部分是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻，而学生又只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明是不现实的，因此，只要求学生能借助几何直观得出结论，这与新课标中的要求是相吻合的。
2 •教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验证。
由观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。
3 •得出结论后，教师强调正确理
解“某个区间”的含义, 它必需是
定义域内的某个区
六、板书计划。
高中数学 专题1.3.1 函数的单调性与导数教案 新人教A版选修22
函数的单调性与导数【教学目标】1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．【教法指导】本节学习重点：掌握函数的单调性与导数的关系．本节学习难点：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．【教学过程】☆复习引入☆以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y ＝f (x )的图象如图所示，试画出导函数f ′(x )图象的大致形状．解 f ′(x )图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一． 例2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2)f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4)f (x )＝3tx －x 3单调递减区间是(－3,2)． (2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π) (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x>0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0，解得x <－33或0<x <33.又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2， ∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数的单调递增区间是[－t ，t ]． 令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2， 当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立， 函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x .又∵x >0，∴x >22， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22， 又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22.(2)f ′(x )＝3x 2－2x －1 ＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．解 (1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.反思与感悟 通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行． 跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )【答案】 D☆课堂提高☆1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 【答案】 A【解析】 ∵f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．3．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．【解析】 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2； 令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．6．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3. 所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．。
高一数学1.3.1《函数的单调性》教案（新人教A版必修1）
⾼⼀数学1.3.1《函数的单调性》教案（新⼈教A版必修1）§1.3.1函数的单调性⼀、三维⽬标1、知识与技能：（1）建⽴增（减）函数的概念通过观察⼀些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的⼤⼩⽐较，认识函数值随⾃变量的增⼤（减⼩）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握⽤定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学⽣通过⾃主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与⽅法（1）通过已学过的函数特别是⼆次函数，理解函数的单调性及其⼏何意义；（2）学会运⽤函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应⽤定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学⽣感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感. ⼆、教学重点与难点重点：函数的单调性及其⼏何意义．难点：利⽤函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三、学法与教学⽤具1、从观察具体函数图象引⼊，直观认识增减函数，利⽤这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从⽽完成本节课的三维⽬标。
2、教学⽤具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（⼀）创设情景，揭⽰课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增⼤，y 的值有什么变化？○2 能否看出函数的最⼤、最⼩值？○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增⼤，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______?⼤，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．3、从上⾯的观察分析，能得出什么结论？学⽣回答后教师归纳：从上⾯的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同⼀函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的⼀个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
数学：1.3.1《函数的单调性与导数》教案(新人教A版选修2-2)
1.3.1函数的单调性与导数（一）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程 （一）复习引入1．增函数、减函数的定义一般地，设函数 f (x ) 的定义域为I ：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说 f (x )在这个区间上是增函数． 当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说 f (x ) 在这个区间上是减函数． 2．函数的单调性如果函数 y ＝f (x ) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y ＝f (x ) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y ＝f (x ) 的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的． 例1讨论函数y ＝x 2－4x ＋3的单调性．解：取x 1＜x 2，x 1、x 2∈R ， 取值 f (x 1)－f (x 2)＝(x 12－4x 1+3)－(x 22－4x 2+3) 作差＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4) 变形当x 1＜x 2＜2时，x 1＋x 2－4＜0，f (x 1)＞f (x 2)， 定号 ∴y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减． 判断 当2＜x 1＜x 2时， x 1＋x 2－4＞0，f (x 1)＜f (x 2)，∴y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减，y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增。
能否利用导数的符号来判断函数单调性？xy22-24O ＞0＜0f '(x )正负切线斜率增函数减函数y ＝f (x )(2,＋∞)(－∞,2)一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f (x )'＞0，则f (x )为增函数； 如果f (x )'＜0，则f (x )为减函数． 例2．教材P24面的例1。
高中数学-函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
《函数的单调性与导数》教学设计【教学目标】知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法-2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
【教学的重点和难点】教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
"【教学过程】【！[ 》练习1求函数xxxf ln)(-=的单调区间.，讨论函数单调性的一般步骤是什么&1求定义域;2求函数()f x的导数,3 讨论单调区间，解不等式()0f x'>，解集为增区间；4解不等式()0f x'<，解集为减区间.、例2函数图像如下图，导函数图像可能为哪一个{函数的导数值大于零时，其函数为单调递增；函数的导数值小于零时，其函数为单调递减.教师根据一个学生的作图进行讲解.~由学生共同回答.\从函数的单调性和导数的正负关系的讨论环节中，不断的比较了函数和导函数的图像，因此设置该题，从熟悉的函数到该题，题目更容易解决.学生对所学知识进一步巩固和熟练掌握.。
:结论总结|(例题讲解—…练习2导函数图像如下图，则函数图像可能为（）(`分层作业:！学生思考并共同解决.:…—【板书设计】学情分析参与课堂的学生为高二年级理科的学生，学生基础参差不齐，差别较大，而单调性的概念是在高一第一学期学过的，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性.效果分析本节课教师运用了多种教学手段，创设了丰富的教学情境，成功的激发了学生的学习兴趣；教学目标简明扼要，便于实施，注重数学思想、能力的培养，广度和深度都符合数学课程标准的要求，符合学生的实际情况。
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课时）1.3.1函数的单调性与导数（2教学目标：．了解可导函数的单调性与
其导数的关系；1 ．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；2 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：
教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授
，它表示跳水运动1）．问题：图3.3-1（ 1
th数函变化的中高度随时间20?.51?4.t9?6th(t)?3.3-1的图像，图t v随时间2）表示高台跳水运动员的速度（'6.5?t()??9.8tv(t)?h图变化的函数的像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：t)th(h是增函（1）随时间运动员从起点到最高点，离水面的高度的增加而增加，即'0)?hv(t)?(t数．相应地，．t)h(t h是减函从最高点到入水，运动员离水面的高度（2）的增加而减少，即随时间'0?h(vt)?(t)数．相应地，．．函数的单调性与导数的关系2观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．- 1 -
专心爱心用心．
')xf(，导数3.3-3图如0),yx()xf(处的切线的斜率．表示函数在点00
'xxx?0x)?f()(xf附近单调递处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在在000增；'xxx?0f()?x)(xf 附近单调递处，在，切线是“左上右下”式的，这时，函数在101减．结论：函数的单调性与导数的关系'0f(x)?)f?(ba(,)xy在这个区间内单调递增；如果在某个区间内，如果，那么函数- 2 -专心爱心用心．
'0)?(xf)x(y?f，那么函数在这个区间内单调递减．'0x)?f()f(xy?）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．说明：（1)x?f(y单调区间的步骤：3．求解函数)x?f(y 1）确定函数的定义域；（'')fxy(?；（2）求导数'0?x)f(）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（3'0?xf)(，解集在定义域内的部分为减区间．（4）解不等式三．典例分析
')fx(：例1．已知导函数的下列信息'0?(x)f4x?1?时，；当'0?(x)f1x?x?4当时，，或；
'0(x)f?1?x?4x，或当时，)?f(xy图像的大致形状．试画出函数'0x)f?()f(xy?41?x?解：当时，，可知在此区间内单调递增；'0)f?(x)(xy?f1x?x?4可知在此区间内单调递减；，或当时，；
'0)f?(x1x?4x?时，．当，或，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”)xy?f(综上，函数所示．图像的大致形状如图3.3-4 判断下列函数的单调性，并求出单调区间．例
2．233?2xx3f(x)?x(fx)?x??（1）；（2）23?1x??24xf(x)?2x?3)x?(0,xxf()?sin?x4）；（3（）3x?x3(fx)?，所以，1）因为（解：2'203(?x??1)f)(x?3x?3
3x?3)f(x?x R 1因此，在上单调递增，如图3.3-5（）所示．- 3 -
专心爱心用心．
??'21?2x?2?2xf?(x)3??2x(fx)?x，所以，2）因为（'23?(x)?x?2xff(x)?01x?，即时，函数当
单调递增；2'3?x?2x)f(x)?0f(x?1x?时，函数，即当单调递减；23?2xxf(x)??函数）所示．（2的图像如图3.3-5'?0xf()?cos x?1?)(0,x(fx)?sin x?x?，所以，3）因为（?x sin?x?f(x))(0,）所示．在3.3-5（因此，函数3单调递减，如图231x?24x??f(x)?2x3．）因为（4，所以
2'3fxf()?0(x)?x?2x?；当，即时，函数
2'3?)?x2x?xf?f(x)0(时，函数当；，即
231xxf()?2?3x?24x?）所示．4的图像如图函数3.3-5（ 4）生练（）（注：3、
例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相th的函数关系图像．与时间同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度
- 4 -
专心爱心用心．
分以析：器容）（2为例，于由器容细上下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图 A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．像
上，（????????????????C,3,?1??AB?,D24解：结不仅可以看出函数的增减，还
可以看出其变化的快慢．思考：例3表明，通过函数图像，合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，
这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．????0ba,0,)xy?f(所示，函数如图3.3-7，在或内的图像“陡峭”????a????,b,在．或内的图像“平缓”??232,1?1?12xx?3x?y?24．求证：函数内是减函数．在区间例
??????2'22?1?6x?6x?12?6x?x?2?xx?y6证明：因为
????23'2,1??x?2,11?y?2x?3x?12x0?y12??x?内时，即所以函数在区间当，是减函数．????b,fax在说明：证明可导函数内的单调性步骤：??'xf）求导函数；（1????'bxfa,
内的符号；（2）判断在????''0f?xx?0f为增函数，（3）做出结论：为减函
??321,1?)?Rx()f(x?4x?ax?x a的在区间上是增函数，求实数5例．已知函数3取值数．2
范围．????2''1,1xf?0)?f(xax?f(x)4?2?2x对解：上是增函数，所以在区间，因为????21,1?1,1?xx??02x?ax??1?a?1?对恒成立，即恒成立，解之得：??1,1?a的取值范围为．所以实数- 5 -
专心爱心用心．
已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调说明：
''0(x)?ff(x)?0”来求解，注；若函数单调递减，则性关系：即“若函数单调递增，则意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．1xy. =，试讨论出此函数的单调区间+例6．已知函数x1xy
=()+解：′′
x
2)x?11(x?1)(x??2－x==1－1·22xx
(x?1)(x?1)＞令0.
2x
xx1. 1或解得＜－＞1xy). ∞，+(－∞，－∴1)=和+(1的单调增区间是x)1x?x?1)((xx1. ＜0或00令＜，解得－1＜＜＜2x1xy，1)0)和+(0的单调减区间是(－1∴，=x
四．课堂练习．求下列函数的单调区间11?23]2[?0,y=xlnxfxfx fxxxx x 1.(()=2 －6)=sin+7 2.4.()=, +2x 3. x练习2．课本五．回顾总结）函数的单调性与导数的关系
????baf,x 3（）证明可导函数在内的单调性
（1)xf(y? 2）求解函数单调区间（
六．布置作业- 6 -
专心爱心用心．
- 7 -
专心爱心用心．。