计量学-联立方程组模型
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收入变量 Yt 为模型的“外生变量”，相当于单 方程模型中的解释变量。
内生变量 Pt 的一期滞后变量 Pt1 ，称“滞后内
生变量”。 外生变量和滞后内生变量统称为联立方程组模
型的“前定变量”。
6
区分联立方程组模型的内生变量和前定变量 非常重要。因为两类变量的数目及构成模型 的情况，对联立方程组模型是否意义，是否 能够得出唯一确定的参数估计等都有重要的 影响。
35
根据上述判别法则可进一步推出下述结论：如 果在联立方程组模型中存在一个，或可以用其 他方程的线性组合得到一个，所有变量都已包 含在所考察方程中的方程，那么所考察的方程 是不可识别的。
该结论的一个直接推论是，如果联立方程组模 型中的某个方程包含了模型中所有的变量，那 么该方程是不可识别的。
36
那么模型的结构式变为
Tt
Qt 1 2Pt 3Pt1 4Tt 1t Pt 1 2Qt 3Yt 2t
30
Qt 11 12Yt 13Pt1 14Tt u1t Pt 21 22Yt 23Pt1 24T u2t
11
1 21 1 22
,
21
1 12 1 22
式， 1、能否通过简约式的参数确定或唯一确定结构
式方程的参数； 2、各个结构式方程是否具有唯一确定的形式。 在其他方程作为条件或约束的前提下，模型的
某个或某些方程没有唯一确定的形式，正是无 法从简约式参数唯一地解出结构式参数的根源。
34
判别每个方程识别性的基本准则： 联立方程组的每一个方程是否具有唯一 确定的形式。即如果所考察的联立方程 组模型的一个方程，不能用模型中其他 方程的线性组合产生其他形式，该方程 是可识别的，否则是不可识别的。
济模型。 用一个简单的微观市场均衡模型说明联
立方程组模型的基本情况，以及它们所 涉及的基本概念。
4
这个微观市场均衡模型包括一个供给函 数、一个需求函数、以及一个均衡方程 ，具体如下：
QtS 1 2 Pt 3Pt1 1t QtD 1 2Pt 3Yt 2t
QtS QtD
5
称被决定的 Pt 和 Qt 为模型的“内生变量”。 联立方程组模型的内生变量对应单方程模型中 的被解释变量。
11
1 21 1 22
,
21
1 12 1 22
,
12
23 1 22
,
22
3 1 22
,
13
3 1 22
23
32 1 22
29
需要注意的是，并不是联立方程组模型引进越 多的变量，方程或整个模型的识别性越强越好。
例如若在上面的供给函数中再加入一个认为与
这种产品的供给有关的气温变量 作解释变量，
23
解成简约式为：
Qt
1 21 122
23 122
Yt
1t 2 2t 122
11 12Yt
u1t
Pt
1 12 122
1
3 22
Yt
2 1t 2t 122
21 22Yt
u2t
24
P
D1
S
P3
P2
P1
D3
D2 D1
Q1
Q2
Q3
Q
25
也可以根据简约式和结构式之间的关系，论证 供给函数可识别和需求函数不可识别。
17
第二节 联立方程组模型的识别性
一、识别性问题的意义 由于联立方程组模型中内生变量的水平由多个
方程的共同作用决定，因此能否根据所观测到 变量数据推测出生成它们的各个经济关系，或 者说联立方程组模型中的函数关系是否可以明 确辨别或唯一确定，是一个很重要的问题。这 就是联立方程组模型的识别性问题。 联立方程组模型的识别性等价于结构式参数与 简约式参数之间的对应关系。
程中变量的个数，Ng-1是rank(S)g-1的先决 条件，因此Ng-1是识别性的先决条件。
只有S矩阵同时满足阶条件和秩条件，所考察 的方程才是可识别的。不满足阶条件时肯定不 可识别，这有利于简化判断识别性的工作。
41
两种不同的满足可识别的阶条件和秩条 件的情况：
1、N=g-1
没有出现在考察方程中模型变量的个数 正好等于其他方程的个数。这时候实际 上就是该方程的结构式参数，可由简约 式参数唯一确定的情况，也就是恰好可 识别的情况。
11
1 21 122
, 21
1 12 122
是无法从简约式参数推导、确定出结构式参数
的。
能否根据简约式参数解出结构式参数，是识别 问题的另一种标准。
22
为了说明怎样的联立方程组模型是可识 别的，我们在需求函数中引进收入变量 ，得到如下模型：
Qt 1 2Pt 1t Pt 1 2Qt 3Yt 2t
32
当存在过度可识别的方程时，实际上也意味着 模型化为简约式后，简约式的参数不是完全独 立的，如本例的
23 13
2
24 14
相对上述过度可识别的情况，如果一个
方程的结构式参数可通过简约式参数得
到唯一的值，则称为“恰好可识别”的。
33
二、判断识别性的一般方法 根据前述分析可知识别性有两种等价的定义方
1 21 122
, 12
23 122
, 13
3 122
, u1t
1t 2 2t 122
21
1 12 122
, 22
3 122
, 23
32 122
, u2t
21t 2t 122
则模型进一步化为 Qt 11 12Yt 13Pt1 u1t
Pt 21 22Yt 23Pt1 u2t 这就是原市场均衡模型的简约式模型。
够使得λS 0，从而得到的方程中不包含 Z2t，
如：
λRZ1t λWt
那么所考察的方程是不可识别的。反过来如果不 存在上述非零向量，则所考察方程是可识别 的。
38
要满足λS 0 ，即：
S11
λS
1 , g 1
S21
S12 S22
Sg1,1 Sg1,2
S1N
S2N
00 0
当然这需要符合一定条件，就是后面要 讨论的联立方程组模型的识别性。
12
二、联立方程组模型的假设 （一）联立方程组模型的一般表示法
一般用Y1,,Yg 分别表示有g个方程的联立方程 组模型的g个内生变量，用 X1,, X K 表示模型 的K个前定变量
13
模型的结构式表示为：
Y1t Y 12 2t Y 1g gt 11X1t 1K X Kt 1t
,
12
23 1 22
,
22
3 1 22
,
13
3 1 22
,
23
32 1 22
,
14
4 1 22
24
42 1 22
31
23 32 13 1 22 24 42 14 1 22
3 122
2
4 122
2
通过简约式采纳述可以导出两个的2 值。这时候
我们称 2 所在的需求函数为“过度可识别”的。
Y2t Y 21 1t 2gYgt 21X1t 2K X Kt 2t
Ygt Y g1 1t gg 1Yg 1t g1X1t gK X Kt gt
14
（二）联立方程组模型的矩阵表示法
ΓYt βXt εt
向量、矩阵记号如下：
1 12
Γ
21
1
g1 g 2
联立方程组模型
1
本章简单介绍联立方程组模型计量分 析，包括联立方程组模型的基本概念、 假设、识别性和参数估计等。
2
第一节 联立方程组模型及其假设 第二节 联立方程组模型的识别性 第三节 联立方程组模型的参数估计
3
第一节联立方程组模型及其假设
一、联立方程组模型的基本概念 联立方程组模型是方程组形式的计量经
27
如果要市场均衡模型的两个方程都可识别，只
需在供给函数中再引进一个变量，如 Pt1，也
就是下面的形式：
Qt 1 2Pt 3Pt1 1t Pt 1 2Qt 3Yt 2t
Qt 11 12Yt 13Pt1 u1t
Pt 21 22Yt 23Pt1 u2t
28
其中结构式和简约式系数的关系为：
结构式参数和简约式参数之间有下列四个关系
式
1 21 122
11,
1
23 22
12
1 12 122
21
,
1
3 2
2
22
23 122
3 122
2
12
22
26
还可以通过考察结构式供给函数和需求 函数的形式是否统一，是否能通过两个 方程的线性组合产生其他形式的供给函 数和需求函数，判断它们的识别性问题 。
2 1t 2t 122
21 u2t
20
供求模型的识别问题
S2 P
S1 (Qt 1 2 Pt 1t )
Pt
D2
D1 (Pt 1 2Qt 2t )
Qt
21
Q
根据均衡价格和销售量数据确定供给和需求函 数，实际上就是根据简约式推导结构式。由于 简约式中只有两个参数，而结构式中有四个参 数，因此根据两个方程
10
引进简约式模型的根本原因： 1、简约式模型的每个方程都是内生变量与
前定变量的函数关系，不存在内生变量 的交叉决定，因此求解内生变量的数值 和进行预测都比较简单， 2、没有内生变量作为解释变量可避免解释 变量与误差项存在相关性，并对分析结 果有效性的影响。
11
简约式模型的意义比较模糊，不能清晰 地反映经济变量的内在联系，因此不是 联立方程组模型分析的最终目标，最后 必须回到结构式模型。
8
Qt QtS QtD
Qt 1 2Pt 3Pt1 1t
Qt 1 2Pt 3Yt 2t
Qt
1 21 122
23 122
Yt
3 122
Pt 1
1t 2 2t 122
Pt
1 12 122
3 122
Yt
32 122
Pt 1
2 1t 2t 122
9
引进下述记法
11
1g
2
g
1
11 12
β
21
22
g1
g2
1K
2K
gK
Y1t
Yt
Y2t
X1t
Xt
X
2t
1t
εt
2t
Ygt
X
Kt
gt
15
（三）联立方程组模型的基本假设如下 1、模型由上述结构式线性方程组组成，或者可
用向量方程表示。其中有些系数，即 Γ和的 部分元素可以是0， εt 中有些元素也可以是0； 2、不等于0的 1t ,,2t 都满足单方程线性回归模 型误差项的假设，包括零均值、同方差、误差 序列不相关和正态分布。
16
Cov(it , jt ) ij
3、不同方程的同期误差可以相关，但协方差与
时期t无关Co，v(即it , js ) 0 i j,t 不 s是t的函数。此
外，不同方程的误差项也不能有跨期相关性，
即
当
时必须成立。
4、模型的外生变量是确定性变量。
5、模型是可识别的。这是联立方程组模型特有 的重要假设。下一节将专门讨论这个问题。
一般联立方程组模型方程识别 性的一般判别法则的推导
设讨论的是有g个方程的联立方程组模型中某 个方程的识别性问题。设这个方程中有M个变
量，此外这个方程中没有出现，但在模型其他
方程中出现的有N个变量。 把所考察方程以外的其余g-1个模型方程，表
示为向量方程：
RZ1t SZ 2t Wt
37
根据前面的结论，如果这其余g-1个方程的一 个线性组合，能够产生一个不包含没有在考察 方程中出现的变量的方程，相当于存在一个非 零向量 λ (1, , g1) ，左乘上述向量方程能
S
g
1,
N
的条件是S矩阵的秩rank(S)g-1
39
“秩条件”（Rank Condition）
rank(S)g-1是联立方程组模型方程识别
性的关键条件：
当rank(S)g-1时所考察方程是不可识别
的；
当rank(S)g-1时所考察方程是可识别的。
40
识别性的“阶条件”(Order Condition) 因为S矩阵的列数，也就是没有出现在考察方
通常一个联立方程组模型的内生变量数量与 方程个数相等，而且能够表示成每个内生变 量被其他变量决定的标准形式。
7
“结构式模型”（Structural Model）： 每个方程都代表经济问题和系统的一个方面， 每个参数都有意义，能反映研究问题或经济系 统结构和内在联系的联立方程组模型
“简约式模型”（Reduced Form Model）： 为了参数估计和分析的需要，常需要把结构式 模型变换为各内生变量只是前定变量函数形式 的“简约式模型” 。由于内生变量数与方程的 个数相等，因此这种变换一般是不难做到的。
18
例如一个最简单的供给需求均衡模型如 下： 供给函数：Qt 1 2Pt 1t 需求函数：Qt 1 2Pt 2t
如果其中参数已知，那么很容易根据这 个模型解出均衡价格和销售量，实际上 就是模型的简约式
19
Qt
1 21 122
1t 2 2tBiblioteka Baidu122
11 u1t
Pt
1 12 122
内生变量 Pt 的一期滞后变量 Pt1 ，称“滞后内
生变量”。 外生变量和滞后内生变量统称为联立方程组模
型的“前定变量”。
6
区分联立方程组模型的内生变量和前定变量 非常重要。因为两类变量的数目及构成模型 的情况，对联立方程组模型是否意义，是否 能够得出唯一确定的参数估计等都有重要的 影响。
35
根据上述判别法则可进一步推出下述结论：如 果在联立方程组模型中存在一个，或可以用其 他方程的线性组合得到一个，所有变量都已包 含在所考察方程中的方程，那么所考察的方程 是不可识别的。
该结论的一个直接推论是，如果联立方程组模 型中的某个方程包含了模型中所有的变量，那 么该方程是不可识别的。
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那么模型的结构式变为
Tt
Qt 1 2Pt 3Pt1 4Tt 1t Pt 1 2Qt 3Yt 2t
30
Qt 11 12Yt 13Pt1 14Tt u1t Pt 21 22Yt 23Pt1 24T u2t
11
1 21 1 22
,
21
1 12 1 22
式， 1、能否通过简约式的参数确定或唯一确定结构
式方程的参数； 2、各个结构式方程是否具有唯一确定的形式。 在其他方程作为条件或约束的前提下，模型的
某个或某些方程没有唯一确定的形式，正是无 法从简约式参数唯一地解出结构式参数的根源。
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判别每个方程识别性的基本准则： 联立方程组的每一个方程是否具有唯一 确定的形式。即如果所考察的联立方程 组模型的一个方程，不能用模型中其他 方程的线性组合产生其他形式，该方程 是可识别的，否则是不可识别的。
济模型。 用一个简单的微观市场均衡模型说明联
立方程组模型的基本情况，以及它们所 涉及的基本概念。
4
这个微观市场均衡模型包括一个供给函 数、一个需求函数、以及一个均衡方程 ，具体如下：
QtS 1 2 Pt 3Pt1 1t QtD 1 2Pt 3Yt 2t
QtS QtD
5
称被决定的 Pt 和 Qt 为模型的“内生变量”。 联立方程组模型的内生变量对应单方程模型中 的被解释变量。
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1 21 1 22
,
21
1 12 1 22
,
12
23 1 22
,
22
3 1 22
,
13
3 1 22
23
32 1 22
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需要注意的是，并不是联立方程组模型引进越 多的变量，方程或整个模型的识别性越强越好。
例如若在上面的供给函数中再加入一个认为与
这种产品的供给有关的气温变量 作解释变量，
23
解成简约式为：
Qt
1 21 122
23 122
Yt
1t 2 2t 122
11 12Yt
u1t
Pt
1 12 122
1
3 22
Yt
2 1t 2t 122
21 22Yt
u2t
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P
D1
S
P3
P2
P1
D3
D2 D1
Q1
Q2
Q3
Q
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也可以根据简约式和结构式之间的关系，论证 供给函数可识别和需求函数不可识别。
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第二节 联立方程组模型的识别性
一、识别性问题的意义 由于联立方程组模型中内生变量的水平由多个
方程的共同作用决定，因此能否根据所观测到 变量数据推测出生成它们的各个经济关系，或 者说联立方程组模型中的函数关系是否可以明 确辨别或唯一确定，是一个很重要的问题。这 就是联立方程组模型的识别性问题。 联立方程组模型的识别性等价于结构式参数与 简约式参数之间的对应关系。
程中变量的个数，Ng-1是rank(S)g-1的先决 条件，因此Ng-1是识别性的先决条件。
只有S矩阵同时满足阶条件和秩条件，所考察 的方程才是可识别的。不满足阶条件时肯定不 可识别，这有利于简化判断识别性的工作。
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两种不同的满足可识别的阶条件和秩条 件的情况：
1、N=g-1
没有出现在考察方程中模型变量的个数 正好等于其他方程的个数。这时候实际 上就是该方程的结构式参数，可由简约 式参数唯一确定的情况，也就是恰好可 识别的情况。
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1 21 122
, 21
1 12 122
是无法从简约式参数推导、确定出结构式参数
的。
能否根据简约式参数解出结构式参数，是识别 问题的另一种标准。
22
为了说明怎样的联立方程组模型是可识 别的，我们在需求函数中引进收入变量 ，得到如下模型：
Qt 1 2Pt 1t Pt 1 2Qt 3Yt 2t
32
当存在过度可识别的方程时，实际上也意味着 模型化为简约式后，简约式的参数不是完全独 立的，如本例的
23 13
2
24 14
相对上述过度可识别的情况，如果一个
方程的结构式参数可通过简约式参数得
到唯一的值，则称为“恰好可识别”的。
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二、判断识别性的一般方法 根据前述分析可知识别性有两种等价的定义方
1 21 122
, 12
23 122
, 13
3 122
, u1t
1t 2 2t 122
21
1 12 122
, 22
3 122
, 23
32 122
, u2t
21t 2t 122
则模型进一步化为 Qt 11 12Yt 13Pt1 u1t
Pt 21 22Yt 23Pt1 u2t 这就是原市场均衡模型的简约式模型。
够使得λS 0，从而得到的方程中不包含 Z2t，
如：
λRZ1t λWt
那么所考察的方程是不可识别的。反过来如果不 存在上述非零向量，则所考察方程是可识别 的。
38
要满足λS 0 ，即：
S11
λS
1 , g 1
S21
S12 S22
Sg1,1 Sg1,2
S1N
S2N
00 0
当然这需要符合一定条件，就是后面要 讨论的联立方程组模型的识别性。
12
二、联立方程组模型的假设 （一）联立方程组模型的一般表示法
一般用Y1,,Yg 分别表示有g个方程的联立方程 组模型的g个内生变量，用 X1,, X K 表示模型 的K个前定变量
13
模型的结构式表示为：
Y1t Y 12 2t Y 1g gt 11X1t 1K X Kt 1t
,
12
23 1 22
,
22
3 1 22
,
13
3 1 22
,
23
32 1 22
,
14
4 1 22
24
42 1 22
31
23 32 13 1 22 24 42 14 1 22
3 122
2
4 122
2
通过简约式采纳述可以导出两个的2 值。这时候
我们称 2 所在的需求函数为“过度可识别”的。
Y2t Y 21 1t 2gYgt 21X1t 2K X Kt 2t
Ygt Y g1 1t gg 1Yg 1t g1X1t gK X Kt gt
14
（二）联立方程组模型的矩阵表示法
ΓYt βXt εt
向量、矩阵记号如下：
1 12
Γ
21
1
g1 g 2
联立方程组模型
1
本章简单介绍联立方程组模型计量分 析，包括联立方程组模型的基本概念、 假设、识别性和参数估计等。
2
第一节 联立方程组模型及其假设 第二节 联立方程组模型的识别性 第三节 联立方程组模型的参数估计
3
第一节联立方程组模型及其假设
一、联立方程组模型的基本概念 联立方程组模型是方程组形式的计量经
27
如果要市场均衡模型的两个方程都可识别，只
需在供给函数中再引进一个变量，如 Pt1，也
就是下面的形式：
Qt 1 2Pt 3Pt1 1t Pt 1 2Qt 3Yt 2t
Qt 11 12Yt 13Pt1 u1t
Pt 21 22Yt 23Pt1 u2t
28
其中结构式和简约式系数的关系为：
结构式参数和简约式参数之间有下列四个关系
式
1 21 122
11,
1
23 22
12
1 12 122
21
,
1
3 2
2
22
23 122
3 122
2
12
22
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还可以通过考察结构式供给函数和需求 函数的形式是否统一，是否能通过两个 方程的线性组合产生其他形式的供给函 数和需求函数，判断它们的识别性问题 。
2 1t 2t 122
21 u2t
20
供求模型的识别问题
S2 P
S1 (Qt 1 2 Pt 1t )
Pt
D2
D1 (Pt 1 2Qt 2t )
Qt
21
Q
根据均衡价格和销售量数据确定供给和需求函 数，实际上就是根据简约式推导结构式。由于 简约式中只有两个参数，而结构式中有四个参 数，因此根据两个方程
10
引进简约式模型的根本原因： 1、简约式模型的每个方程都是内生变量与
前定变量的函数关系，不存在内生变量 的交叉决定，因此求解内生变量的数值 和进行预测都比较简单， 2、没有内生变量作为解释变量可避免解释 变量与误差项存在相关性，并对分析结 果有效性的影响。
11
简约式模型的意义比较模糊，不能清晰 地反映经济变量的内在联系，因此不是 联立方程组模型分析的最终目标，最后 必须回到结构式模型。
8
Qt QtS QtD
Qt 1 2Pt 3Pt1 1t
Qt 1 2Pt 3Yt 2t
Qt
1 21 122
23 122
Yt
3 122
Pt 1
1t 2 2t 122
Pt
1 12 122
3 122
Yt
32 122
Pt 1
2 1t 2t 122
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引进下述记法
11
1g
2
g
1
11 12
β
21
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g1
g2
1K
2K
gK
Y1t
Yt
Y2t
X1t
Xt
X
2t
1t
εt
2t
Ygt
X
Kt
gt
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（三）联立方程组模型的基本假设如下 1、模型由上述结构式线性方程组组成，或者可
用向量方程表示。其中有些系数，即 Γ和的 部分元素可以是0， εt 中有些元素也可以是0； 2、不等于0的 1t ,,2t 都满足单方程线性回归模 型误差项的假设，包括零均值、同方差、误差 序列不相关和正态分布。
16
Cov(it , jt ) ij
3、不同方程的同期误差可以相关，但协方差与
时期t无关Co，v(即it , js ) 0 i j,t 不 s是t的函数。此
外，不同方程的误差项也不能有跨期相关性，
即
当
时必须成立。
4、模型的外生变量是确定性变量。
5、模型是可识别的。这是联立方程组模型特有 的重要假设。下一节将专门讨论这个问题。
一般联立方程组模型方程识别 性的一般判别法则的推导
设讨论的是有g个方程的联立方程组模型中某 个方程的识别性问题。设这个方程中有M个变
量，此外这个方程中没有出现，但在模型其他
方程中出现的有N个变量。 把所考察方程以外的其余g-1个模型方程，表
示为向量方程：
RZ1t SZ 2t Wt
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根据前面的结论，如果这其余g-1个方程的一 个线性组合，能够产生一个不包含没有在考察 方程中出现的变量的方程，相当于存在一个非 零向量 λ (1, , g1) ，左乘上述向量方程能
S
g
1,
N
的条件是S矩阵的秩rank(S)g-1
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“秩条件”（Rank Condition）
rank(S)g-1是联立方程组模型方程识别
性的关键条件：
当rank(S)g-1时所考察方程是不可识别
的；
当rank(S)g-1时所考察方程是可识别的。
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识别性的“阶条件”(Order Condition) 因为S矩阵的列数，也就是没有出现在考察方
通常一个联立方程组模型的内生变量数量与 方程个数相等，而且能够表示成每个内生变 量被其他变量决定的标准形式。
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“结构式模型”（Structural Model）： 每个方程都代表经济问题和系统的一个方面， 每个参数都有意义，能反映研究问题或经济系 统结构和内在联系的联立方程组模型
“简约式模型”（Reduced Form Model）： 为了参数估计和分析的需要，常需要把结构式 模型变换为各内生变量只是前定变量函数形式 的“简约式模型” 。由于内生变量数与方程的 个数相等，因此这种变换一般是不难做到的。
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例如一个最简单的供给需求均衡模型如 下： 供给函数：Qt 1 2Pt 1t 需求函数：Qt 1 2Pt 2t
如果其中参数已知，那么很容易根据这 个模型解出均衡价格和销售量，实际上 就是模型的简约式
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Qt
1 21 122
1t 2 2tBiblioteka Baidu122
11 u1t
Pt
1 12 122