第五章 货币的时间价值

货币时间价值形成的原因
• 个人消费偏好：人们更注重眼前消费 • 风险：人们愿意持有现金 • 通货膨胀：是购买力下降 • 投资机会：使货币有增值的可能
第一节 终值与现值
• 终值=现值+利息。 • 复利，即通常所说的“利滚利”，是指不
仅本金要计利息，利息也要计利息。 • 单利只有本金计息。
复利情况下终值与现值
•
第二个季度利息：（200000-5000×1）×（5.58%÷4）=2720元
•
则第二个季度还款额为5000+2720=7720元
•
……
•
第40个季度利息：（200000-5000×39）×（5.58%÷4）=69.75元
• 则第40个季度（最后一期）的还款额为5000+69.75=5069.75元
比较
• 在贷款期限、金额和利率相同的情况下，在还款初期，等 额本金还款方式每月归还的金额要大于等额本息。但按照 整个还款期计算，等额本金还款方式会节省贷款利息的支 出。
• 总体来讲，等额本金还款方式适合有一定经济基础，能承 担前期较大还款压力，且有提前还款计划的借款人。等额 本息还款方式因每月归还相同的款项，方便安排收支，适 合经济条件不允许前期还款投入过大，收入处于较稳定状 态的借款人。
A A 5000
5000 5000 5000
即：
A FVA (5%,10) 5000 PVA (5%, 20) A 5000 PVA (5%, 20)
FVA (5%,10) 5000 12.462 （查现金终值、现值系数表可得）
12.578 4953.89 (元）
所以现在只需每年存入4953.89，便可在退休后的20年里每年领取5000元。
(1 i)FVA A(1 i)n A(1 i)n1 … A(1 i) 两式相减得：
i FVA A(1 i)n A 则年金终值的计算公式为：
FVA

A

(1
i)n i
1
其中， (1 i)n 1 i
称为年金终值利息系数，记作 FVA (i, n)
应用
第一年至第四年每年年末等额存入银行
1 2 3 10 50
单 利 终 1.1 1.2 1.3 2.0 6.0 值 复 利 终 1.1 1.21 1.331 2.5937 117 值
100 11 13781
200 21.0 189,905,276
如果利率是6%，单利与复利情况下，投资 额翻倍所需要的时间。
单利 复利
2倍
16.7年 12年
三、先付年金 先付年金是指在每期期初支付的年金。其
支付形式如下：
0 1 2 3 .. n-2 n-1
A A A A .. A A
图5.4 先付年金的现金流量
1．先付年金终值 先付年金终值的计算公式为：
FVA A(1 i) A(1 i)2 … A(1 i)n 化简可得：
(1 i)n1 1
的特定资金按复利折算得到的现在价值。
现值的计算公式为：
PV0

FVn (1 i)n
其中， 从
(1
1 i)n
为现值利息系数，记为
PV
(i,
n)，同样可
复利现值利息系数表中查得,见书后附表2。
终值随着时间n和利率i的增大而增大，终值利息系数 不会小于1。现值随着时间的n和利率i的增加而变 小，现值利息系数不会大于1。
3倍
33.3年 19年
4倍
50年 24年
24美元 你也能买下曼哈顿岛
• 1626年，荷属美洲新尼德兰省总督Peter uit 花了大约24美元从印第安人手中买下了曼哈 顿岛。
• 到2000年1月1日，曼哈顿岛的价值已经达到 了约2.5万亿美元。
万科
• 万科1991年成为深圳证券交易所第二家上市公司， 持续增长的业绩以及规范透明的公司治理结构， 使公司赢得了投资者的广泛认可。过去二十年， 万科营业收入复合增长率为31.4.%，净利润复合 增长率为36.2%；公司在发展过程中先后入选《福 布斯》“全球200家最佳中小企业”、“亚洲最佳 小企业200强”、“亚洲最优50大上市公司”排行 榜；多次获得《投资者关系》等国际权威媒体评 出的最佳公司治理、最佳投资者关系等奖项。
A
年金现值即为每年等额资金现值之和：
PVA A(1 i)1 A(1 i)2 … A(1 i)n 计算可得：
其中，1
PVA
(1

i)
A
n
1 (1 i)n i
称为年金现值系数，记为
PVA
(i,
n)
i
同样可以查年金现值系数表得到,见书后附表4。
• pmt
PVA

A [1 (1 i)(n1) i
1]
和普通年金现值系数比，期数减1，系数加1
可记作 [(PVA(i,n 1) 1]， 亦可通过查普通
年金现值系数表计算得到。
四、永续年金 永续年金是指无限支付的年金。永续年
金不存在终值，其现值的计算公式可以通过 普通年金现值计算公式得出：
等额本金还款法其计算公式
• 每季还款额= • 贷款本金÷贷款期季数+（本金-已归还本金累计额）×季利率
• 如：以贷款20万元，贷款期为10年，为例：
• 每季等额归还本金：200000÷（10×4）=5000元
•
第一个季度利息：200000×（5.58%÷4）=2790元
•
则第一个季度还款额为5000+2790=7790元；
PVA

A1
(1 i
i)n
n 时，(1 i)n 0,故上式可写成：
1 PVA A i
ຫໍສະໝຸດ Baidu
现实中，优先股的估价就是利用了永续年金的概念。
五、递延年金
递延年金是指第一次支付发生在第二期 或第二期以后的年金，一般以m表示递延期 数，以n表示支付期数。递延年金的支付如图 所示：
12
可见，一年之内计息次数M越多，有效利率越高。
表5.3 银行利率水平
存款项目 活期存款 定期存款 整存整取
三个月 半年 一年 二年 三年 五年 零存整取、整存零取、存本取息 一年 三年 五年
年利率% 0.72
1.71 2.07 2.25 2.70 3.24 3.60
1.71 2.07 2.25
第五章 货币的时间价值
第五章 货币的时间价值
• 货币的时间价值是贯穿本课程核心价值观 • 本章讲解货币的时间价值原理及应用
本章内容
• 单利、复利下的终值与现值 • 年金的终值与现值 • 名义利率与有效利率
引言
• 货币时间价值：货币在时间推移中的增值 能力，或者按资金使用长短计算的报酬率 。
• 货币时间价值的具体体现形式：绝对形式 是利息，相对形式是利息率。
500元，年利率为10%，第四年末，银行存款 将是多少？
已知A＝500，i=10%，n=4
(1 i)n 1
FVA A
i
A FVA (i, n) 500 FVA (10%, 4)
500 4.641 2320.5(元）
二、年金现值
0
1
2
A
A
n-2 n-1
n
A
A
• 23.74
3.807 27.547
• ……….
• 前期偿还额中利息较多。
期末本金余额 100 82.26 63.456
35.908
比较等额本息还款/等额本息法
假设需要向银行借款20万元，还款年限 为20年，按照目前大部分银行的利率.。 选择等额本金法，在还款初期，第一年每月 还款额在1700元左右；最后一年的月均还款 在800元左右。等额本金法的还款总额为31 万元，其中支付利息款金额为11万。 • 选择等额本息法，每个月大约还1376.9元。 还款总额为 33万元，其中支付利息款金额 为13万。
年金现值，扣除递延期m内实际未支付的年金
现值。
PVA ( m n )

A 1 (1 i)(mn) i
PVAm

A 1 (1 i)m i
PV0 PVA(mn) PVAm
第四节 名义利率和有效利率
• 利率一般以年为计息周期，但在实际中， 计息的周期有可能短于一年或长于一年， 如给定年利率，但一年计息4次，或给定年 利率2年计息一次，这样，名义利率(i)和有 效利率(r)就有区别了。
$50, 000 $5, 000 (1 i)12
(1 i)12 $50, 000 10 $5, 000
(1 i) 101 12
i 101 12 1 1.2115 1 .2115
excel
PV,FV,RATE,NPER
现值是与终值相对称的概念，是指未来时点
FVA A[
i
1]
和普通年金终值系数相比，期数加1，系数减1，可以记做
[FVA (i, n 1) 1]
进而可以通过查普通年金终值系数表得到。
2．先付年金现值
先付年金现值的计算公式为：
PVA A A(1 i)1 A(1 i)2 … A(1 i)(n1) 化简可得：
excel
例5.4：某公司从银行借款100万,期限5年,年 利率为6%(复利计算),每年年末需等额摊还多 少?
PV0 A PVA (i, n)
100 A 4.2124 A 23.74(万元)
• 等摊还额 利息 本金
•
• 23.74
6
17.74
• 23.74
4.936 18.84
0
1
m
1
2
n-1 n
AA
PVAm
AA
PVA0 图5.5 递延年金的现金流量
对于递延年金的计算，有两种方法：
方法1：把递延年金看成是n期的普通年金， 求出其现值，然后将此现值折算到第一期期 初。
PVAm

A 1 (1 i)n i
PV0

PVAm (1 i)m
方法2：假设递延期内也进行支付，求出期的
T ln 2 0.6931 7.27 years ln(1.10) 0.0953
足够的收益率是多少?
假设 小海12年后将进入大学，且大学学费 一共需要$ 50,000 。小海家长今天有$ 5,000 可以用来投资，那么至少需要获得多大的收 益率才能完全支付小海的大学学费? 大概为 21.15%.
• 两种还款方法比较，最终到期算，等额本息比等额本金要 多付出可观利息
例5.5：老王还有10年就要退休，他准备从现 在开始每年存入银行一笔钱，期望在退休后的
20年里每年可以领取5000块的生活费用，那 么在利率为5%的情况下，他每年需要存入银 行多少钱？
12
A
A
9 10（0） 1
18 19 20
第二节 年金的终值与现值
• 年金是指等额、定期的现金流。 • 利息、折旧、租金、养老金等采用的都是
年金的形式。 • 年金有普通年金、先付年金、延迟年金、
永续年金等具体形式
一、年金终值
01
2
A
A
n-2 n-1 n
A
A
A
A(1+i) A(1+i)2 A(1+i)n-2 A(1+i)n-1
FVA A(1 i)n1 A(1 i)n2 … A 两边同乘以(1＋i），得：
终值系数
3
2.5
10%
2
1.5
5%
1
0%
0%
5%
0.5
10%
0 0 2 4 6 8 10
时间
图5.1 终值系数与现值系数与时间和利率的关系
单利情况下终值与现值
FVn PV0(1 ni)
• 年数越长，单利计息和复利计息之间的利 息差别就越大，而且差别大得惊人 。如1元 现值，利率10%，单利与复利终值比较。
(1 r)n (1 i )M ×n M
r (1 i )M 1 M
表5.2
计息次数 1 2
4
： 12
名义利率 10% 10%
10%
： 10%
有效利率 10%
10.25%= （(1 10％）2－1 ) 2
10.38%= （(1＋10% )4 1 ) 4
： 10.47%= （(1＋10% )12 1 )
FV3 PV0(1 i)n 10(1 5%)3 101.1576 11.576(万元)
等待时间为多久?
如果我们今天存入5,000 $ ，需要多长时间它 才能增长到10,000 $?假设利息率为10%。
$10, 000 $5, 000 (1.10)T (1.10)T $10, 000 2 $5, 000 ln(1.10)T ln 2
• n期期末终值的一般计算公式为：
FVn PV0 (1 i)n
• 其中，(1+i)n称为终值 利息系数，记作， FV(i,n)可查复利终值利息系数表得到
应用
• 例5.1：某人因投资需要向银行借款10万元，合同 规定年利率为5%，复利计息，期限为3年，到期 还本付息，到期时应向银行支付多少本息和？