数学分析2试题B及答案
2020-2021某大学《数学分析(二)》期末课程考试试卷B(含答案)
第1页 共2页2020-2021《数学分析（二）》期末课程考试试卷B适用专业： 考试日期：试卷所需时间120分钟 闭卷 试卷总分100分一、判断题：（对的打√，错的打×，每小题2分，共10分）1、平面上两曲线22y x =与4y x =-所围成图形的面积为18。
（ ）2、若()f x 在[,]a b 上连续，2()0bafx dx =⎰，则[,]x a b ∀∈，()0f x =。
（ ） 3、级数11!n e n ∞==∑。
（ ） 4、函数列{}nx 在(0,1)上收敛且一致收敛于0。
（ ）5、幂级数2(!)(2)!nn x n ∑的收敛区域为[4,4]-。
（ ） 二、选择题：（共5小题，每小题2分，共10分）1、设()f t 在[1,1]-连续，则sin cos1()xdf t dt dx ⎰等于 （ ） (A) (sin )(cos1)f x f -；(B) (sin )cos f x x ； (C) (sin )f x ；(D) ()cos f x x 。
2、设1n n u ∞=∑是正项级数，那么下列命题正确的是： （ ）(A) 若11n n u u +< ，则1n n u ∞=∑收敛； (B) 若lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛； (C) 若21nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；(D) 若1nn u∞=∑的某一重排1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛。
3、二元函数222(,)yf x y x y=+在点(0,0)的重极限和累次极限分别为（ ） (A) 均存在； (B) 存在，不存在； (C) 不存在，存在； (D) 均不存在。
4、下列等式中，正确的是 （ ）(A)； (B) ；(C) ； (D) 。
5、下列关于反常积分1sin p xdx x+∞⎰是条件收敛时正确的是（ ） (A)2p ≤； (B)01p <≤；(C)1p >； (D) p 为任何实数均条件收敛。
济南大学1516高等数学 二BW参考解答
lim
n
un1 ( x) un (x)
lim (n 1) xn1
n nxn
| x |
当 x 1, 当 x 1,
时级数收敛 故收敛半径为 R 1.
时级数发散
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5. 级数
的和为____.
教材P182-185
解:
Sn
n (2)k k 1 3
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f ( x, y )
x0 y0
即
函数
zz
=
f f(x( ,xy)
在 点x , y(x,
y)y可) 微f
(函x ,数y )在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微A x B y 偏导数存在 (2z)偏A导 x数连B续 y o ( ) 函数可微
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f ( x, y )
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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当函数可微时 :
lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
即 8x y 3z 4 0
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3. 设 z z(x, y) 是由方程 z3 x y z 0确定的隐函数 求 z , z . x y 知识点:隐函数求导公式, 教材P99-101
解： 令 F z3 x y z.
考研数学二真题及答案分析精选文档
证明：
若 ，求方程组 的通解。
【答案】（I）略；（II）通解为
【解析】
（I）证明：由 可得 ，即 线性相关，
因此， ，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为
（15）（本题满分10分）求极限
【答案】
【解析】 ，令 ，则有
（16）（本题满分10分）设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ，
【答案】
【解析】
结论：
（17）（本题满分10分）求
【答案】
【解析】
（18）（本题满分10分）已知函数 由方程 确定，求 的极值
【答案】极大值为 ，极小值为
【解析】
两边求导得：【答案】 Nhomakorabea【解析】
(11) _______
【答案】1
【解析】
(12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则
【答案】
【解析】 故
，
因此 ，即 ，再由 ，可得
【答案】
【解析】
（13）
【答案】 .
【解析】交换积分次序：
.
（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则
【答案】-1
【解析】设 ，由题设知 ，故
故 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【解析】 在 处连续 选A.
（2）设二阶可导函数 满足 且 ，则（）
【答案】B
【解析】
为偶函数时满足题设条件，此时 ，排除C,D.
取 满足条件，则 ，选B.
东北林业大学 数学分析2考卷答案
所以
1 1 1 1 x x x x . 1 ( ) ( ) 2 ( ) 3 ....... ( ) n ....... x 2 2 x 2 2 2 2 2 1 2
=
1 x x2 x3 xn 2 3 4 ...... n 1 ....., x (2,2) 2 2 2 2 2
6、解： f x =--2sinx+e x - e x ，令 f ( x) 0 ，解得一个稳定点 0,
f (x) =2sinx+ e x - e x , f 0 =0,
f (x) 2sinx+ e x - e x f 0 =0,
f 4 x =2cosx+ e x - e x , f 4 x >0,
3、B 4、C
ln 2 0
5、 0, ,2 4 4
3
7
5、C
ln 2
0
xde x =- xe x
ln 2 e x d x 0
1 1 1 ln 2 1 = 1 ln 2 2 2 2
1 n 1 ，则有 n =S =2 2 2 n 1 2
1 x 2
x
令 x=
五、解：因为 f x = x 为偶函数，只能展成余弦级数， 即 bn =0,
a0 =
2
0
2 x2 x =3 x dx = 2 0
1 dx 2 x dx = 2 2 2、 解：原式=- 2 2 2 x x 1 x x 1
1 x2 1 1 1 2 2 = 2 dx 2 +C dx = ln 2 2 x x 1 2 x 1
数学分析2期末考试题库
数学分析2期末试题库 《数学分析II 》考试试题（1）一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、 牛顿-莱不尼兹公式2、∑∞=1n na收敛的cauchy 收敛原理3、 全微分 二、计算题：（每小题8分，共32分）1、4202sin limx dt t x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和4、已知zy x u = ，求yx u∂∂∂2三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。
，一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、 叙述反常积分a dx x f ba,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)212111(lim nn n n +++++∞→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积3、求⎰∞+∞-++dx x xcpv 211)(4、求幂级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛半径和收敛域 5、),(yxxy f u =， 求y x u ∂∂∂2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、yx y x y x f +-=2),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞+0arctan dx x xp的敛散性。
高等数学(二)答案B
A.（1,3）
B. 1,3
C. 1,3)
D. (1,3
二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 1、球心在点（1，2,3） ，半径为 4 的球面方程为 ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 16 。
2、方程 x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 z − 2 = 0 表示的图形是圆心在（-1,0， -1 ） ，半径为 2 的球面。 。
n=1
1 n2
D.
(−1)
n =1
n
n
3.若幂级数 an xn 在 x = 3 处收敛，则该级数在 x = 1 处必定（
n =1
C
）
A．发散 4.下列命题（
B. 条件收敛 A ）正确
C. 绝对收敛
D. 收敛性不能确定
A.
u
n =1
n
收敛， un 必定收敛。B． un 收敛， un 必定收敛
n =1 n =1
n =1
C.
un 发散， un 必定发散，
n =1
D.
n =1
un 发散， un 未必发散
n =1
n =1
1
（共 5 页）
2013 年 4 月
中国地质大学（北京）继续教育学院
2014 年
5. z = ln x 2 − y 2 的定义域是（
2 2
D
）
A． x 2 − y 1
3、二元函数 z = 16 − x 2 − y 2 的定义域是 ( x, y ) : x 2 + y 2 16 。
2017考研数学二真题及答案解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1））若函数1cos ,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A【解析】001112lim lim ()2x x xf x ax ax a ++→→-== 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】B 【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-=-<⎰⎰，选B.（3）设数列{}n x 收敛，则（）()A 当lim sin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()B当lim(0n n x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有lim sin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为（A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++（B ）22(cos 2sin 2)xx Axee B x C x ++（C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++（D ）22(cos 2sin 2)xx Axee B x C x ++【答案】A【解析】特征方程为：21,248022iλλλ-+=⇒=±222*2*212()(1cos 2)cos 2,(cos 2sin 2),x x x x xf x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+ 故特解为：***2212(cos 2sin 2),xx y y y Aexe B x C x =+=++选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则（A ）(0,0)(1,1)f f >（B ）(0,0)(1,1)f f <（C ）(0,1)(1,0)f f >（D ）(0,1)(1,0)f f <【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数，所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（）（A ）12αα+（B ）232αα+（C ）23αα+（D ）122αα+【答案】B【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。
数学分析II(山东联盟)智慧树知到期末考试章节课后题库2024年齐鲁师范学院
数学分析II（山东联盟）智慧树知到期末考试答案章节题库2024年齐鲁师范学院1.答案:02.答案:3.答案:发散4.答案:5.答案:6.答案:7.答案:8.答案:充分不必要9.答案:条件收敛10.答案:收敛11.答案:收敛12.答案:013.答案:14.答案:收敛15.答案:116.答案:117.答案:18.答案:19.答案:20.答案:充要21.答案:22.答案:单调减少且小于零23.答案:1224.答案:25.答案:26.答案:27.答案:28.答案:0 29.答案:30.答案:31.答案:收敛32.答案:33.答案:34.答案:收敛35.答案: 36.答案:37.答案:38.答案:条件收敛39.答案:必要非充分40.下列数项级数中发散的是（）；答案:41.答案:42.答案:绝对收敛43.答案:44.答案:45.答案:46.答案:247.答案:收敛48.答案: 49.答案:50.答案:收敛51.答案:52.答案: 53.答案:54.答案:55.答案:56.答案:057.答案:58.答案:发散59.答案:60.答案:61.答案:262.答案:有关63.答案:必要非充分64.答案:365.答案:发散66.答案: 67.答案: 68.答案: 69.答案: 70.答案:71.答案:2 72.答案:073.答案:74.答案:可能收敛也可能发散75.答案:76.答案:收敛77.答案:78.答案:79.答案:80.答案:收敛81.答案:82.答案:必要非充分83.答案:发散84.答案:85.答案:错86.答案:错87.答案:错88.答案:对89.答案:对90.答案:错91.答案:对92.答案:错93.答案:对94.孤立点一定是界点；（）答案:对95.任给一个函数，都可以写出它的傅里叶展开式。
（）答案:错96.答案:对97.答案:对98.答案:对99.答案:对100.答案:错101.答案:对102.设 .w68205758251s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758251s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758251s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758251s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } f 在点 .w68205758236s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758236s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758236s .font0 { font-size: 262px;font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758236s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758236s .font2 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } 0 x 具有任意阶导数，那么 .w68205758217s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758217s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758217s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758217s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } f 在区间 .w68205758201s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758201s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758201s .font0 { font-size: 473px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758201s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758201s .font2 { font-size: 373px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758201s .font3 { font-size: 262px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758201s .font4 { font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758201s .font5 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } ( ) r x r x + - 0 0 , 内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式 .w68205758185s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758185s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758185s .pen1 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 16; stroke-linejoin: round; } .w68205758185s .font0 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758185s .font1 { font-size: 373px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758185s .font2 { font-size: 262px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758185s .font3 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } r x x < - 0 的 .w68205758230s .brush0 { fill: rgb(255,255,255); } .w68205758230s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758230s .font0 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758230s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } x ，有 .w68205758212s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758212s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758212s .font0 { font-size: 473px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758212s .font1 { font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758212s .font2 { font-size:373px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758212s .font3 { font-size: 242px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758212s .font4 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758212s .font5 { font-style: italic; font-size: 262px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758212s .font6 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } ( ) 0 lim = ¥ ® x R n n ，这里 .w68205758196s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758196s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758196s .font0 { font-size: 473px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758196s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758196s .font2 { font-style: italic; font-size: 262px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758196s .font3 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } ( ) x R n 是 .w68205758375s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758375s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758375s .font0 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758375s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } f 在 .w68205758359s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758359s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758359s .font0 { font-size: 262px;font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758359s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758359s .font2 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } 0 x 的泰勒公式余项。
数学分析2试题B及答案(
fn (x)
x
f (x) ，
fn (x) f (x) n2 (
x2
1
1 n2
x)
1 ，所以 limsup(
n
n
fn (x)
f (x) ) 0 ，即
函数列 fn (x)
x2
1 n2
,
n 1, 2,L 在 R 上一致收敛。
三、1、证明： t R, b ( f (x) tg(x))2dx b f 2 (x)dx 2t b f (x)g(x)dx t2 b g 2 (x)dx 0 ，所以，
2
二、1、解:
lim
n
n2 2n2 1
1 2
0
，所以该级数发散。
2、解： lim n n
n 2n1
1 2
1 ，所以该级数收敛。
3、解： x [0, ),
sgn(sin x) 1 x2
1
1 x
2
1 x2
，因为
1 dx 收敛，所以 1 x2
sgn(sin x) dx 绝对收敛。 1 1 x2
4、解： x R, lim n
n1
n1
n1
n1
级数 bn (bn an an ) (bn an ) an 收敛。
n1
n1
n1
n1
四、解： A 2 1 a2 (1 cos )2 d 3 a2
20
2
五、解：
R
1，收敛域为 (1,1)
，和函数
f
(x)
n1
nxn
x
n1
nxn1
x
n1
xn
x
1
x
5、求极限： lim 0
x0
高数B2分题型练习(答案)
高等数学B2分题型练习(参考答案)一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B 10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B 19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B 28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、16 18、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n n n x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n nn x x n +∞=-∈-∞∞+∑28、110- 29、x e - 30、2xy e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、C y x = 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdx ππ=-⎰0cos |2x π==-3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=- 5、求定积分02222dxx x -++⎰解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分dx 解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。
2006——2007学年第二学期数学分析试题B答案
2006——2007学年第二学期数学分析试题Ｂ答案（0601，0602，0603）一：填空（20分）1. 12. ≤3. 1、04. 05. ''()()x t y t 与不同时为06. ()x e C ϕ+7. 绝对收敛8. 1p >9. 充要条件 10.[,]a b 二：判断（16分）⨯∨⨯∨∨⨯⨯⨯三：计算下列各题（15分）2222212221()(3)21241)241(1) (5)22x x x x x x C ====-+⎰⎰分分分2令6x u =则原式变为523216(1)(3)16(ln |1|)326ln |1| 5u u du u u u u u C C ==-+-+=-+-++=+⎰⎰分（分）2020220020cos 3sin cos 1cos sin sin cos (3)2sin cos 11(sin cos )22sin cos (ln |sin cos |)| (4)44d d d d πππππθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπ++-+=++=++=+=⎰⎰⎰⎰分分 (5)分四：解下列各题（28分）1、求幂级数 +++++++12531253n x x x x n )1,1(-∈x 的和函数0011,12121n n n x n n ∞∞====±++∑∑2n+1(-1)解：因且，与都是发散级数该幂级数的收敛区域为(1,1)- （4分）设3521()3521n x x x F x x n +=++++++在收敛区域||1x <内逐项微分之，得'2321()11F x x x x =+++=- （5分） 注意(0)0F =，即得2011()ln (||1)121xdt xF x x t x+==<--⎰于是当||1x <时，有352111ln (||1)352121n x x x x x x n x+++++++=<+- （7分）2、计算⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x t x t x dte dt e 022022lim 解：该极限是∞∞型的不定式极限，利用洛必塔法则有 ()22222222222020lim2lim(3)2lim (5)2lim20 (7)x t xx t x xt x x xt x x xxx e dt e dte e dtee dte e xe →∞→∞→∞→∞====⎰⎰⎰⎰分分分112(1)3lim sin sin sin1(1)lim sin (3)n n n i n n n n n i n n ππππππ→∞→∞=-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-=⋅∑分其中的和式是()sin f x x =在区间[0,]π上的一个积分和，这里所取的是等分分割，(1),i i i x nn ππξ-∆==为小区间1,(1)[][,]i i i i x x n nππ--=的左端点，1,2,,i n =故有12(1)lim sin sin sin1sin (6)n n n n n n xdxπππππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎰分1(cos )|2(7)x πππ=-=分4 解：为方便起见。
考研数学二真题及解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1））若函数1,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（） (A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab = (D)2ab =【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x xf x ax ax a++→→-==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（） 【答案】B【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx x dx --=-=-<⎰⎰，选B. （3）设数列{}n x 收敛，则（）()A 当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()B当lim(0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D. （4）微分方程的特解可设为（A ）22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++（B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++（D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ 【答案】A【解析】特征方程为：21,248022i λλλ-+=⇒=± 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则 （A ）(0,0)(1,1)f f >（B ）(0,0)(1,1)f f <（C ）(0,1)(1,0)f f >（D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数，所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（） （A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为0120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（）（A ）12αα+（B ）232αα+（C ）23αα+（D ）122αα+ 【答案】B【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。
《数学分析II》期末试卷+参考答案
《数学分析（II ）》试题2004.6一．计算下列各题：1．求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(；2．求定积分； ∫−222),1max(dx x3．求反常积分dx x x ∫∞++021ln ；4．求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；5．设，求du 。
yz x u =二．设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。
a三．平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集？请说明理由。
四．函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。
]1,0[五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。
求。
∫21)(dx x f六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。
证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。
七．设如下定义函数：dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。
1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。
八．设∫=40cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。
求级数的和。
∑∞=0n n I《数学分析（II ）》试题（答案）2004.6一．1．421π⋅； 2．320； 3．； 4． 0)2/1,2/1(−； 5．⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。
二．。
3=a 三． 是紧集。
四．一致收敛。
五．43。
六．因为，所以单调增加，因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。
高数B2综合练习答案
1综合练习一参考答案一、单项选择题1、B2、C3、C4、A5、B6、C7、D 二、填空题（1）22{(,)|1}x y x y +≥ （2）2b a -- （3)1 (4）3 （5) 1 （6）、2xy e = 三、计算题1、求定积分12011x dx x ++⎰ 解 11121100222000111ln(1)|arctan |1112x x dx dx dx x x x x x +==+++++⎰⎰⎰1ln 224π=+ 2、求定积分21e ⎰ 解2221112e e e dx ===⎰⎰ 3、设ln()(0,0),xz y xy x y =+>>求dz .解 因为 111111ln ,,(ln )()x x x x z z y y xy dz y y dx xy dy x x y y x y--∂∂=+=+=+++∂∂所以 4、设22(),z f x y f =+是可微函数，求z z y x x y∂∂-∂∂。
解 因为 2222()2,()2z zf x y x f x y y x y ∂∂''=+⋅=+⋅∂∂ 所以 2222()2()20z zy x f x y xy f x y yx x y∂∂''-=+⋅-+⋅=∂∂ 5、设(,)z f x y =是由方程21z xyz =+所确定的隐函数,求,z z x y∂∂∂∂。
解 设2(,,)1,,,2x y z F x y z z xyz F yz F xz F z xy '''=--=-=-=-于是故 ,,22y x z z F F z yz z xzx F z xy y F z xy''∂∂=-==-=''∂-∂-6、计算x yDedxdy ⎰⎰，其中D 是由2,0,1x y x y ===所围成的闭区域.解 2:01,0D y x y ≤≤≤≤221112100011[][|][]()|22y x x x y y y yyyyDe dxdy e dx dy ye dy ye y dy ye e y ===-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 四、解答题 1、判定级数3111(1)3n nn n ∞+=+-∑的敛散性。
《高等数学(二)》期末考试试卷B(含答案)
2
y
0
D.
x2
2
y
0
6. 如果 (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极值点，且 f (x, y) 在 (x0, y0 ) 处的一阶偏导数存在，则
(x0, y0 ) 点必为 f (x, y) 的（ B
A．最大值点
B.驻点
） C．连、若级数 un 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中 sn ui ）
2、方程 x2 y2 z2 2 x 2 z 2 0表示的图形是圆心在（-1,0，-1），半径为 2
的球面.
.
3、二元函数 z 16 x2 y2 的定义域是 (x, y) : x2 y2 16 .
4、 F (x, y) x 5y ，则 F(1,3) =
14
2x y
三、计算题（每小题 5 分，共 35 分） 1、求函数的一阶偏导数
dx cos y.y ex (2xy2 2x2 y.y) 0
y ex 2xy2 2x2 y cos y
5、求函数 f (x, y) x3 y3 9xy 27 的极值
解： fx 3x2 9y f y 3y2 9x 令 fx 0, fy 0 得：（1） x 3, y 3 （2） x 0, y 0 （ 1 ） 当 x 3 ,y 3fx x 6 x, fx y 9 , f y y 6y 故 A 18, B 9,C 18 ，
《高等数学（二）》期末考试试卷
考试形式：闭卷考试 考试时间：120 分钟
一、选择题（单选题，每题 4 分，共 32 分） 1、下列命题（ A ）正确
A．若 un 收敛，则必有 limun 0
n 1
n
B. 若 limun 0 ,则 un 必收敛
n
n 1
高等数学 二 b教材答案
高等数学二 b教材答案第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质- 极限的定义- 极限的唯一性和局部有界性- 极限的四则运算法则2. 函数的极限- 函数极限的定义和性质- 无穷大与无穷小3. 连续与间断- 连续函数的定义和性质- 间断点的分类与判定第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义和几何意义- 导数与函数的连续性、可导性的关系2. 求导法则- 基本初等函数的导数- 和差、积、商的导数法则- 复合函数的求导法则3. 高阶导数与隐函数求导- 高阶导数的定义和性质- 隐函数求导的方法第三章：微分中值定理与导数应用1. 微分中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 函数单调性与极值点2. 泰勒公式与应用- 泰勒公式的定义和性质- 求函数的近似值3. 线性近似与牛顿法- 线性近似的定义和性质- 牛顿法的基本思想与应用第四章：定积分1. 定积分的概念与性质- 定积分的定义和几何意义- 定积分的性质和基本定理2. 定积分的计算- 基本初等函数的定积分- 积分的换元法和分部积分法3. 定积分的应用- 曲线长度与曲面面积的计算- 物理中的定积分应用第五章：多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续- 多元函数的极限的定义和性质- 多元函数的连续性定义和性质2. 偏导数与全微分- 偏导数的定义和计算- 全微分的定义和应用3. 隐函数与方向导数- 隐函数的存在与求导- 方向导数的定义和计算第六章：多元函数的积分学1. 二重积分- 二重积分的定义和性质- 二重积分的计算方法2. 三重积分- 三重积分的定义和性质- 三重积分的计算方法3. 曲线曲面积分- 第一、第二类曲线积分的定义和性质- 曲面积分的定义和计算方法总结：通过学习高等数学二B教材，我们了解了极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数应用、定积分、多元函数微分学以及多元函数的积分学等内容。
这些知识点对我们深入理解数学的基本概念和运算规则，以及应用数学解决实际问题具有重要意义。
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五、（10分）
解： ，收敛域 。设和函数 ，则
六、（10分）
解：将函数进行偶延拓，于是 ，
所以
七、（10）解：对 。当 ，
即函数列 在 上非一致收敛。
当
所以 ，即函数列 在 上一致收敛。
一、计算下列各题：（5分×8=40分）
1、 ；2、利用定积分求极限：
3、求下列极限： ；4、求平面曲线 所围图形的面积。
5、讨论无穷积分 的收敛性；6、讨论瑕积分 的收敛性
7、判别级数 的敛散性
8、求函数 在 处的幂级数展开式，并确定它的收敛区间：
二、（10分）证明：设 在 上可积，则 ，使得 。
三、（10分）证明：若数列 收敛，且级数 收敛，则级数 收敛。
5、解：（1）因为 ，所以原式收敛。
6、解： 是瑕点，因为 ，所以瑕积分 收敛。
7、解： ，所以原级数收敛。
8、解：
二、（10分）
证明：考虑函数 ，则 在 上连续，且
若 ，则 ，根据零点定理， ，使得
或
若 ，则取 ，有 。
三、（10）
证明：设级数 与 的部分和分别是 ，且则 ，即级 Nhomakorabea 收敛。
四、（10分）
四、（10分）设函数 ，求 。
五、（10分）确定幂级数 的收敛域，并求其和函数：
六、（10分）将函数 在 上展开成余弦级数。
七、（10分）函数列 分别在区间 是否一致收敛，并说明理由。
一、计算下列各题：（5分×8=40分）
1、解法一：
解法二：
2、解：
3、解： 。
4、解：两曲线焦点是 ，于是所围图形的面积是