椭圆常结论及其结论(完全版)

2椭圆常用结论

一、椭圆的第二定义:

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，

左对左，右对右）

对于12222=+b

y a x ，左准线c a x l 2

1:-=；右准线c x l 22:=对于12222=+b

x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 2

2:=

椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称

焦点到准线的距离c

b c c a c c a p 2

222=-=-=（焦参数）

二、焦半径

上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。 椭圆的焦半径公式：

焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率

焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=- 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点

焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：

左

加右减，上减下加()

c a PF c a PF -≥-≥21,

推导：以焦点在x 轴为例

如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边.

根据椭圆第二定义，

e PM

PF =1，

则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== 同理可得02ex a PF -=

三、通径：

曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB

坐标：⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛a b c B 2,

弦AB 长度： a

b AB 2

2=

四、若P 是椭圆：12

22

2=+

b

y a

x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为

2

tan

2θ

b .

推导：如图θsin 2

12121⋅⋅=

∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得

θcos =

2

12

2

1222PF PF F F PF PF ⋅-+

=

2

12

2121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+

=

2

12

2122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-

=

2

12

12224PF PF PF PF b ⋅⋅-

得θ

cos 122

21+=⋅b PF PF

θsin 212

12

1⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2

tan 2θb

五、弦长公式

直线与圆锥曲线相交所得的弦长

直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,

则它的弦长

12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.

当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题：

(1)椭圆中点弦的斜率公式：

设00(,)M x y 为椭圆22

221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：

2

2AB OM

b k k a

⋅=-

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有

1212

AB

y y k x x -=-，22

112

222

2222

11x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减

得：2222

1212

22

0x x y y a b

--+=整理得：22

2

1222

212y y b x x a

-=--，即2

121221212()()()()y y y y b x x x x a

+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以

0012

001222OM

y x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a

⋅=-

(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆122

22=+b y a x 中，以00(,)M x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0

202y a x b ；

由（1）得2

2

AB OM

b k k a ⋅=-

0022221y x a b k a b k OM AB

⋅

-=⋅-=