高中立体几何证明平行的专题训练1

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高中立体几何证明平行的专题训练

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法: (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质 (3)利用对应线段成比例。(4)利用面面平行,等等。 第一类 通过“平移”再利用平行四边形的性质

1. 如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点.

求证:AF ∥平面PCE ;

分析:取PC 的中点G ,连EG .,FG ,则易证AEGF 是平行四边形

2、如图,已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB =1, BC =2,CD =1+

3,过A 作AE ⊥CD ,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE

折叠,使得DE ⊥EC.

(Ⅰ)求证:BC ⊥面CDE ; (Ⅱ)求证:FG ∥面BCD ; 分析:取DB 的中点H ,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形

3、已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点,

(第1题图)

D

E B 1

A 1

C 1

C

A

B

F

M M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证:

(Ⅰ)C 1D ⊥BC ; (Ⅱ)C 1D ∥平面B 1FM. 分析:连EA ,易证C 1EAD 是平行四边形,于是MF//EA

4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证

明:

//EB PAD 平面;

分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形

第二类 利用三角形中位线的性质

5、如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点,求证:AM ∥

平面EFG 。

分析:连MD 交GF 于H ,易证EH 是△AMD 的中位线

6、如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,E 是PC 的中点。

A

B

C

D

E

F G M

求证:PA ∥平面BDE

7.如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,D为AC的中点.

求证:AB1//面BDC1;

分析:连B1C交BC1于点E,易证ED是△B1AC的

中位线

8、如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,

90, BAD FAB BC ∠=∠=//

=1

2

AD,BE//

=

1

2

AF,,G H分别为,

FA FD的中点

(Ⅰ)证明:四边形BCHG是平行四边形;(Ⅱ),,,

C D F E四点是否共面?为什么?第三类利用平行四边形的性质

P

E

D

C

B

A

9.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心,M 为BB 1的中点, 求证: D 1O//平面A 1BC 1;

分析:连D 1B 1交A 1C 1于O 1点,易证四边形OBB 1O 1 是平行四边形

10、在四棱锥P-ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2

1

DC ,中点为PD E . 求证:AE ∥平面PBC ;

分析:取PC 的中点F ,连EF 则易证ABFE 是平行四边形

11、在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ ACB=90︒,EA⊥平面ABCD,EF ∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF.若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE;. 证明:

因为EF//AB ,FG//BC ,EG//AC ,90ACB ∠=︒,

所以

90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆

由于AB=2EF ,因此,BC=2FC , 连接AF ,由于FG//BC ,BC FG

2

1=

在ABCD Y 中,M 是线段AD 的中点,则AM//BC ,且

BC AM 2

1=

因此FG//AM 且FG=AM ,所以四边形AFGM 为平行四边形,因此GM//FA 。

又FA ⊂平面ABFE ,GM ⊄平面ABFE ,所以GM//平面AB 。

第四类:利用对应线段成比例

12、如图:S 是平行四边形ABCD 平面外一点,M 、N 分别是SA 、BD 上的点,且

SM

AM

=

ND

BN

,求证:MN ∥平面SDC 分析:过M 作ME//AD ,过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形

13、如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ,M ,N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 求证:MN ∥平面BEC 分析:过M 作MG//AB ,过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形

第五类:利用面面平行

14、如图,三棱锥ABC P -

中,PB ⊥底面ABC ,90

BCA ∠=o

,,E 为PC 的中

点,M 为AB 的中点,点F 在PA 上,且2AF FP =. (1)求证:BE ⊥平面PAC ;(2)求证://CM 平面BEF ;

分析: 取AF 的中点N ,连CN 、MN ,易证平面CMN//EFB

A F

E

B

C

D

M

N

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