曲线积分及曲面积分习题46页PPT
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曲线积分曲面积分习题
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
曲线积分与曲面积分复习课好-PPT文档资料
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（3）计算 直接计算法 ——化为对L的定位参数的定积分。 第一类：从小参数到大参数； 第二类：从起点参数到终点参数。 注意： 先化简； 第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲线积分的联系； 用Green公式及其推论、Stokes公式.
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I Pdx Qdy
（2）两类曲面积分的联系 0 d S n dS (cos , cos , cos ) dS
( dydz ,dzdx ,dxdy )
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（3）计算 直接计算法 第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参 数）的二重积分； 第二类：将对x、y的曲面积分化为对x、y的二 重积分。 注意： 先化简；第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲面积分的联系； 用高斯公式。
L
(x ,y )
Q P ( ) dxdy I Pdx Qdy P Q P Q 闭合 I x y (x ,y D 0 0) y x y x 补充曲线再用公式 I Pdx Qdy 0
非闭
L
闭合
非闭
基本 方法
xx ( t) yy ( t)
O ( 0 , 0 ) A ( 1 , 1 ) L y sin x 中 为 由 点 到 点 的 曲 线 . 2
思路:
(x ,y )
Q Байду номын сангаасP 非闭 ( ) dxdy 闭合 I I Pdx Qdy P Q P Q x y (x ,y D 0 0) y x y x I Pdx Qdy 0 非闭 补充曲线再用公式
（3）计算 直接计算法 ——化为对L的定位参数的定积分。 第一类：从小参数到大参数； 第二类：从起点参数到终点参数。 注意： 先化简； 第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲线积分的联系； 用Green公式及其推论、Stokes公式.
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I Pdx Qdy
（2）两类曲面积分的联系 0 d S n dS (cos , cos , cos ) dS
( dydz ,dzdx ,dxdy )
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（3）计算 直接计算法 第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参 数）的二重积分； 第二类：将对x、y的曲面积分化为对x、y的二 重积分。 注意： 先化简；第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲面积分的联系； 用高斯公式。
L
(x ,y )
Q P ( ) dxdy I Pdx Qdy P Q P Q 闭合 I x y (x ,y D 0 0) y x y x 补充曲线再用公式 I Pdx Qdy 0
非闭
L
闭合
非闭
基本 方法
xx ( t) yy ( t)
O ( 0 , 0 ) A ( 1 , 1 ) L y sin x 中 为 由 点 到 点 的 曲 线 . 2
思路:
(x ,y )
Q Байду номын сангаасP 非闭 ( ) dxdy 闭合 I I Pdx Qdy P Q P Q x y (x ,y D 0 0) y x y x I Pdx Qdy 0 非闭 补充曲线再用公式
高等数学《曲线积分与曲面积分》习题课
L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
的侧面积.
解 由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
欲求
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
P Q R
*
(
x
y
z
)dxdydz
x
2
o1
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
2
2
3
dxdz
D
8
a 0 dx (e x m) 0 0, OA 0
M
A(a,0) x
I
m a2 0 m a2.
AMOA OA
8
8
曲面面积的计算法
z
z f (x, y) S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
a
bo
A
s LB
y
x S dS
1
z
2 x
z
2 y
曲线积分及其曲面积分习题40页PPT
损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
曲线积分及其曲面积分习题
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
曲线积分及其曲面积分习题
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
高数课件第十章 曲线积分与曲面积分
Σ: x−y+z = 在第四卦限部分的上侧 1 在第四卦限部分的上侧.
解： (c sα,c sβ,c sγ) = 1 ( ,− ,1 o o o 1 1) 3 1 I =∫∫ [f (x y z)+x−2f (x y z)−y+f (x y z)+z]dS , , , , , , ∑ 3 1 =∫∫ [x−y+z]dS ∑ 3 1 1 3 1 =∫∫ dS= . = ∑ 3 3 2 2
+∫ ( x y−3 y2 +y2) d 32 x y u(x y =∫ 5x d , ) x 0
4 0
x
y
32 2 3 1 3 =x + x y −xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y −xy + y =C 2 3
5
y
(x y , )
o (x0 x ,)
2π R 2 2 2
π
+ ∫ dθ ∫π dϕ ∫
2 0 3
2π
π
2 R cos ϕ
0
r cos ϕ ⋅ r sin ϕ dr
2 2 2
第十章 曲线积分与曲面积分
1. 第一类曲线积分 物质曲线质量） （物质曲线质量） 2. 第二类曲线积分 变力作功） （变力作功） 3. 第一类曲面积分 曲面薄板质量） （曲面薄板质量） 4. 第二类曲面积分 通量） （通量）
曲线积分
曲面积分
1. 第一类曲线积分的计算
(1)利用参数方程化为定积分 利用参数方程化为定积分 • 对光滑曲线弧
f (x y d =∫ f[ ( )ψ( ) φ 2( )+ ′2( )dt ∫ , ) s α φt , t ] ′ t ψ t L
曲线积分及其曲面积分习题40页PPT
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
曲线积分及其曲面积分习题
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟身后来自名，于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
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曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
计算上的联系
f(x ,y)d b[y2(x)f(x ,y)d]d y,(x d 面)元
D
a y1(x)
f(x ,y ,z )d V b dy 2 x (x ) dz 2 y (x ,y )f(x ,y ,z )d,(d z体 V)元
闭合
Q P
I
( D
x
)dxdy y
y x 非闭 补充曲线或用公式
例 计算
I (exsinymy)dx(excosym)dy, L
其中L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y0.
解 P (exsiy n m ) e yxco y m s y y
Q (exco ys m )exco ys x x
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
二、典型例题
对坐标的曲线积分
P(x,y)dxQ(x,y)dy的计算法
L
思路
ILPdxQdy
(x,y)
I
PdxQdy非闭
(x0,y0)
P
Q
ILPdxQ dy0f(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
计 L f(x, y)ds
f[,]
2 2dt
算 三代一定
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt
联 系
PdydQzdzdRxdxd (yP c oQ sco s R co)dsS
计
f(x, y,z)dS
R(x, y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
3
1 3
(a 2
b2
c
2
)R2
d
2
dS
4R 2
1 3
(a
2
b2
c2
)R2
d
2
.
曲面面积的计算法
z
zf(x,y) S
z
zf(x,y)
o
Dxy
y
bo
a
s
y
LB
A
x S dS
x S f(x,y)ds L(A,B)
1zx2 z2ydxdy
Dxy
b
f(x,y)
1y2dx
a
曲顶柱体的表面积
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
（三）场论初步
梯度 graduu iu juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
如图曲顶柱体，
z zf(x,y)
S
(1
1
f2 x
fy2)d
D
L
f(x,
y)ds
o
y
x
D L
2
命 ( 3 )在 D 内 U ( x , 存 y ) 使 d P u 在 Q dx d 题 (4) 在D内,PQ
y x
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
n
n
定 义 f(x,y,z)dS l i0m i1f(i,i,i)Si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线 定联计 定联计 面
积 义系算 义系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
P(x,y)d xQ (x,y)dy
即 P Q y x
(如下图)
I y L O A O A AMO O AA
(QP)dxdy
AMOA D
x
y
o
m dxdy m a2,
D
8
a0d x(exm )0 0, O A 0
M
x
A(a,0)
I ma2 0 m a2 .
AMO O A A 8
8
例 2 计 I算 (axbyczd)2dS,其中
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )
f(x ,y )d s bf[x ,y (x )1 ] y 2 d,(d x 线 s ( 曲 元 ))
L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
f(x ,y ,z)d S f[x ,y ,z(x ,y)]1 zx 2 zy2 dxd
:x2y2z2R2。
解： I (a 2 x 2 b 2 y 2 c 2 z 2 )dS
( 2abxy 2acxz 2bcyz )dS
( 2adx 2bdy 2cdz )dS d 2 dS
奇偶对称 (a2x性 2b2y2c2z2)dS00d2dS
轮换对(a称 2b性 2c2)1(x2y2z2)dSd2dS
二代一定 (与方向有关)
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D上 P(x,y)Q ,(x,y)具 有 件 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
等 (1) 在 D 内 LPd Q x 与 dy路径无
价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
D xy
(dS面元(曲 素 ))
R (x,y,z)dxd fy [x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
(dx面 dy元 (投 素 )影 )
其中 L P Q d x L d ( P c yo Q c so ) ds s
PdydzQdzdxRdxdy
(Pcos Qcos Rcos)dS
理论上的联系