曲线积分及曲面积分习题46页PPT
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一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线 定联计 定联计 面
积 义系算 义系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
P(x,y)d xQ (x,y)dy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
（三）场论初步
梯度 graduu iu juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
:x2y2z2R2。
解： I (a 2 x 2 b 2 y 2 c 2 z 2 )dS
( 2abxy 2acxz 2bcyz )dS
( 2adx 2bdy 2cdz )dS d 2 dS
奇偶对称 (a2x性 2b2y2c2z2)dS00d2dS
轮换对(a称 2b性 2c2)1(x2y2z2)dSd2dS
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
计算上的联系
f(x ,y)d b[y2(x)f(x ,y)d]d y,(x d 面)元
D
a y1(x)
f(x ,y ,z )d V b dy 2 x (x ) dz 2 y (x ,y )f(x ,y ,z )d,(d z体 V)元
3
1 3
(a 2
b2
c
2
)R2
d
2
dS
4R 2
1 3
(a
2
b2
c2
)R2
d
2
.
曲面面积的计算法
z
zf(x,y) S
z
zf(x,y)
o
Dxy
y
bo
a
s
y
LB
A
x S dS
x S f(x,y)ds L(A,B)
1zx2 z2ydxdy
Dxy
b
f(x,y)
1y2dx
a
曲顶柱体的表面积
义
Lf(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
计 L f(x, y)ds
f[,]
2 2dt
算 三代一定
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )
f(x ,y )d s bf[x ,y (x )1 ] y 2 d,(d x 线 s ( 曲 元 ))
L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
f(x ,y ,z)d S f[x ,y ,z(x ,y)]1 zx 2 zy2 dxd
即 P Q y x
(如下图)
I y L O A O A AMO O AA
(QP)dxdy
AMOA D
x
y
o
m dxdy m a2,
D
8
a0d x(exm )0 0, O A 0
M
x
A(a,0)
I ma2 0 m a2 .
AMO O A A 8
8
例 2 计 I算 (axbyczd)2dS,其中
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
二、典型例题
对坐标的曲线积分
P(x,y)dxQ(x,y)dy的计算法
L
思路
ILPdxQdy
(x,y)
I
PdxQdy非闭
(x0,y0)
P
Q
ILPdxQ dy0闭合 y x
P
Q
命 ( 3 )在 D 内 U ( x , 存 y ) 使 d P u 在 Q dx d 题 (4) 在D内,PQ
y x
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
n
n
定 义 f(x,y,z)dS l i0m i1f(i,i,i)Si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
二代一定 (与方向有关)
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D上 P(x,y)Q ,(x,y)具 有 件 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
等 (1) 在 D 内 LPd Q x 与 dy路径无
价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
闭合
Q P
I
( D
x
)dxdy y
y x 非闭 补充曲线或用公式
例 计算
I (exsinymy)dx(excosym)dy, L
其中L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y0.
解 P (exsiy n m ) e yxco y m s y y
Q (exco ys m )exco ys x x
如图曲顶柱体，
z zf(x,y)
S
(1
1
f2 x
源自文库
fy2)d
D
L
f(x,
y)ds
o
y
x
D L
2
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
D xy
(dS面元(曲 素 ))
R (x,y,z)dxd fy [x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
(dx面 dy元 (投 素 )影 )
其中 L P Q d x L d ( P c yo Q c so ) ds s
PdydzQdzdxRdxdy
(Pcos Qcos Rcos)dS
理论上的联系
联 系
PdydQzdzdRxdxd (yP c oQ sco s R co)dsS
计
f(x, y,z)dS
R(x, y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线 定联计 定联计 面
积 义系算 义系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
P(x,y)d xQ (x,y)dy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
（三）场论初步
梯度 graduu iu juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
:x2y2z2R2。
解： I (a 2 x 2 b 2 y 2 c 2 z 2 )dS
( 2abxy 2acxz 2bcyz )dS
( 2adx 2bdy 2cdz )dS d 2 dS
奇偶对称 (a2x性 2b2y2c2z2)dS00d2dS
轮换对(a称 2b性 2c2)1(x2y2z2)dSd2dS
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
计算上的联系
f(x ,y)d b[y2(x)f(x ,y)d]d y,(x d 面)元
D
a y1(x)
f(x ,y ,z )d V b dy 2 x (x ) dz 2 y (x ,y )f(x ,y ,z )d,(d z体 V)元
3
1 3
(a 2
b2
c
2
)R2
d
2
dS
4R 2
1 3
(a
2
b2
c2
)R2
d
2
.
曲面面积的计算法
z
zf(x,y) S
z
zf(x,y)
o
Dxy
y
bo
a
s
y
LB
A
x S dS
x S f(x,y)ds L(A,B)
1zx2 z2ydxdy
Dxy
b
f(x,y)
1y2dx
a
曲顶柱体的表面积
义
Lf(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
计 L f(x, y)ds
f[,]
2 2dt
算 三代一定
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )
f(x ,y )d s bf[x ,y (x )1 ] y 2 d,(d x 线 s ( 曲 元 ))
L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
f(x ,y ,z)d S f[x ,y ,z(x ,y)]1 zx 2 zy2 dxd
即 P Q y x
(如下图)
I y L O A O A AMO O AA
(QP)dxdy
AMOA D
x
y
o
m dxdy m a2,
D
8
a0d x(exm )0 0, O A 0
M
x
A(a,0)
I ma2 0 m a2 .
AMO O A A 8
8
例 2 计 I算 (axbyczd)2dS,其中
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
二、典型例题
对坐标的曲线积分
P(x,y)dxQ(x,y)dy的计算法
L
思路
ILPdxQdy
(x,y)
I
PdxQdy非闭
(x0,y0)
P
Q
ILPdxQ dy0闭合 y x
P
Q
命 ( 3 )在 D 内 U ( x , 存 y ) 使 d P u 在 Q dx d 题 (4) 在D内,PQ
y x
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
n
n
定 义 f(x,y,z)dS l i0m i1f(i,i,i)Si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
二代一定 (与方向有关)
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D上 P(x,y)Q ,(x,y)具 有 件 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
等 (1) 在 D 内 LPd Q x 与 dy路径无
价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
闭合
Q P
I
( D
x
)dxdy y
y x 非闭 补充曲线或用公式
例 计算
I (exsinymy)dx(excosym)dy, L
其中L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y0.
解 P (exsiy n m ) e yxco y m s y y
Q (exco ys m )exco ys x x
如图曲顶柱体，
z zf(x,y)
S
(1
1
f2 x
源自文库
fy2)d
D
L
f(x,
y)ds
o
y
x
D L
2
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
D xy
(dS面元(曲 素 ))
R (x,y,z)dxd fy [x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
(dx面 dy元 (投 素 )影 )
其中 L P Q d x L d ( P c yo Q c so ) ds s
PdydzQdzdxRdxdy
(Pcos Qcos Rcos)dS
理论上的联系
联 系
PdydQzdzdRxdxd (yP c oQ sco s R co)dsS
计
f(x, y,z)dS
R(x, y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系