北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题

北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理）

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

一、选择题共8小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. 14

y 5x 2

2=- B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 2

2=- D. 116

y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（ ） A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1 B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1

C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1

D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l 3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）

A. （0，1）

B. （0，161） C . （1，0） D. （16

1，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。则真命题的个数是（ ）

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

5. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）

A. 24种

B. 36种

C. 48种

D. 60种

6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 2± D. ±2

7. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）

A. 24

B. 18

C. 12

D. 6

8. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A. （

332，2] B. [332，2） C. （332，+∞） D. [3

32，+∞）

二、填空题共6小越。

9. 双曲线3x 2-y 2=-3的渐近线方程为________。

10. 设常数a ∈R 。若（x 2+x

a ）5的二项展开式中x 7项的系数为-10，则a=________。 11. 设F 1，F 2分别是椭圆7

y 16x 2

2+=1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且21PF PF ⋅=0，则|1PF +

2PF |=_________。 12. 若双曲线4

y 9x 2

2-=1与直线y=kx-l 有且仅有一个公共点，则这样的直线有________条。 13. 已知点P 在抛物线y 2=4x 上，那么当点P 到点Q （3，4）的距离与点P 到抛物线准线的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为_______。

14. 下列三个命题中：

①“k=l ”是“函数y=cos 2kx-sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；

②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件； ③函数y=3x 4

x 22++的最小值为2。

其中是假命题的有_______。（将你认为是假命题的序号都填上）

三、解答题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. 命题p ：关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f （x ）=log a x （a>0且a ≠1）在（0，+∞）上单调递增。若p ∨q 为真，而p ∧q 为假，求实数a 的取值范围。

16. 已知P 是椭圆1y 4

x 22

=+上的一点，F 1,F 2是椭圆的两个焦点。 （1）当∠F 1PF 2=60°时，求△F 1PF 2的面积；

（2）当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围。

17. 如图所示，在Rt △ABC 中，已知点A （-2，0），直角顶点B （0，-22），点C 在x 轴上。

（1）求Rt △ABC 外接圆的方程；

（2）求过点（-4，0）且与Rt △ABC 外接圆相切的直线的方程。

18. 定长为2的线段AB 的两个端点在以点（0，8

1）为焦点的抛物线x 2=2py 上移动，记线段AB

的中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。

19. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，23）在椭圆C 上。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为

7

212，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

参考答案

1. A

2. A

3. B

4. C

5. D

6. D

7. B

8. A

9. 3x ±y=0 10. -2 11. 6 12. 4 13. （2

53+，5+1） 14. ①②③. 15. 若p 为真，则△=（2a ）2-42<0，即-2

若q 为真，则a>1。

因为p ∨q 为真，而p ∧q 为假，所以p ，q 一真一假。

当p 真q 假时，⎩

⎨⎧<<<<-,,1a 02a 2所以0≥-≤,

,1a 2a 2a 或所以a ≥2。

综上，a 的取值范围为（0，1） [2，+∞）。

16. （1）由椭圆的定义，得|PF 1|+|PF 2|=4且F 1（-3，0），F 2（3，0）。① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，

得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2| cos60°。 ②

由①②得|PF 1|·|PF 2|=3

4。 所以21F PF S ∆=|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2=

33。 （2）设点P （x ，y ），由已知∠F 1PF 2为钝角， 得21PF PF ⋅<0，即（x+3，y ）·（x-3，y ）<0。

又y 2=1-4x 2，所以43x 2<2，解得-362

62）。 17. （1）设点C （a ，0），由AB ⊥BC 可得k AB ·k BC =-1，即

222-·a 22=-1，解得a=4。 则所求的圆的圆心为AC 的中点（1，0），半径为3，

所求圆的方程为（x-1）2+y 2=9。

（2）由题意知直线的斜率存在，设所求直线的方程为y=k （x+4），即kx-y+4k=0。 当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以1k k 52+|

|=3，解得k=±4

3， 所求直线的方程为y=43（x+4）或y=-4

3（x+4），