北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题
北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学1试题
北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么（ ）A. 命题p ，q 均为真命题B. 命题p ，q 均为假命题C. 命题p ，q 有且只有一个为真命题D. 命题p 为真命题，q 为假命题 2. 已知函数y=f （x ）的图象在点（1，f （1））处的切线方程为x-2y+1=0，则f （1）+2f'（1）的值是（ ） A. 21 B. 1 C. 23 D. 2 3. 已知AB 是抛物线y 2=2x 的一条焦点弦，|AB|=4，则AB 的中点M 的横坐标是（ ） A. 2 B. 21 C. 23 D. 25 4. 函数f （x ）=x ·e x 的最小值是（ ）A. -1B. -eC. -e 1D. 不存在5. “a>1”是“函数f （x ）=ax+cosx 在（-∞，+∞）上单调递增”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线的一个焦点为F ，点P 在双曲线的一条渐近线上，点O 为双曲线的对称中心。
若△OFP 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 6 B. 2 C. 2 D. 37. 函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. a>0，b<0，c>0，d>0B. a>0，b<0，c<0，d>0C. a<0，b<0，c>0，d>0D. d>0，b >0，c>0，d<0 8. 如图，抛物线W ：y 2=4x 与圆C ：（x-1）2+y 2=25交于A ，B 两点，点P 为劣弧⋂AB 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是（ ）A. （10，14）B. （12，14）C. （10，12）D. （9，11）二、填空题共6小题。
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试题(解析版)
30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，
则这五个接收器不能同时接收到信号的概率是
故选： B 【点睛】本题考查等可能事件的概率，对立事件概率，注意本题中分组为平均分组，其次要结合电学知识分析电路．
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11.编号为 1， 2，3， 4， 5 的五个人，分别坐在编号为 1， 2， 3，4， 5 的座位上，则恰有两个人的编号与其座位号分 别相同的坐法种数为 __________。（用数字作答） 【答案】 20 【解析】
）
A. 24 种 B. 48 种 【答案】 B
C. 96 种
D. 120 种
【解析】
【分析】
5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素， 与另外 3 个元素全排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．
【详解】 解：∵ 5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，
∴首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外
3 个元素排列，
再者甲和乙之间还有一个排列， 共有 A44A22＝ 48， 故选： B．
【点睛】 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查相邻问题，是一个比较简单的题目，这种题目一般有限制条件，
首先排列有限制条件的元素．
5.某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，
成的长度即为线段 CD，构成事件 M 的长度为线段 CD 的 ，
设 AB＝ 3x， AD＝ y，则
根据对称性，当 PD CD 时， AB＝ PB，
由勾股定理可得（ 3x）2＝y2+（2x） 2，
∴
，
∴
北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. 14y 5x 22=- B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 22=- D. 116y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（ ） A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1 B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l 3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）A. （0，1）B. （0，161） C . （1，0） D. （161，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。
则真命题的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 05. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 2± D. ±27. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A. 24B. 18C. 12D. 68. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. （332，2] B. [332，2） C. （332，+∞） D. [332，+∞）二、填空题共6小越。
2017-2018学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．12．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．405．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120°D．150°6．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（）A．B．C．D．8．（4分）在正方体的ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是BC的中点，点Q为线段AD1（与AD1不重合）上一动点．给出如下四个推断：①对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1；②存在点Q，使得A1Q∥B1P；③对任意的点Q，B1Q⊥A1C则上面推断中所有正确的为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为．10．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为，点（4，4）到其准线的距离为．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是．（只需写出一组）12．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．14．（4分）曲线W的方程为①请写出曲线W的一条对称轴方程；②请写出曲线W上的两个点的坐标；③曲线W上的点的纵坐标的取值范围是．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：BC⊥PA．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）求证：OG⊥平面FCDE；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．（ⅰ）当m=1时，求线段PQ的长度；（ⅱ）是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【分析】把直线方程化为斜截式即可得出．【解答】解：直线2x+y﹣1=0化为：y=﹣2x+1，则在y轴上的截距为1．故选：D．【点评】本题考查了斜截式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线方程直接求解双曲线的渐近线方程即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．【分析】把原点的坐标代入圆的方程，即可求得实数m的值．【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，∴0+0﹣0+m+1=0，则实数m=﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．40【分析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积．【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=10×2×2﹣2×2×1=36．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．5．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120°D．150°【分析】利用椭圆的定义列出方程，求出|MF1|，|MF2|，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，|MF1|+|MF2|=8，所以|MF1|=5，|MF2|=3，|F1F2|=4，则△F1MF2中最大角为：∠F1F2M=90°．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1⇔m＜0．即可判断出结论．【解答】解：方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1⇔m＜0．∴“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（）A．B．C．D．【分析】在A中，m，n相交、平行或异面；在B中，m，n相交、平行或异面；在C中，m与β相交、平行或m⊂β；在D中，由面面平行的性质定理得m∥β．【解答】解：由两条直线m，n，两个平面α，β，知：在A中，相交、平行或异面，故A错误；在B中，相交、平行或异面，故B错误；在C中，相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，，由面面平行的性质定理得D正确．故选：D．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的判断，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，属于中档题．8．（4分）在正方体的ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是BC的中点，点Q为线段AD1（与AD1不重合）上一动点．给出如下四个推断：①对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1；②存在点Q，使得A1Q∥B1P；③对任意的点Q，B1Q⊥A1C则上面推断中所有正确的为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】①根据平面A1ADD1∥B1BCC1，判断A1Q∥平面B1BCC1；②根据平面A1ADD1∥B1BCC1，利用面面平行的性质得出A1Q∥B1P；③由题意得出A1C⊥平面AB1D1，即可得出B1Q⊥A1C．【解答】解：对于①，平面A1ADD1∥B1BCC1，A1Q⊂平面A1ADD1，∴对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1，①正确；对于②，平面A1ADD1∥B1BCC1，过点A1、B1、B作平面A1B1B，交直线AD1于Q，则交线A1Q∥B1P，如图1所示，∴②正确；对于③，由正方体的性质知，B1D1⊥A1C，AD1⊥A1C，且B1D1∩AD1=D1，∴A1C⊥平面AB1D1，如图（2）所示；∴对任意的点Q，B1Q⊥A1C，③正确；综上，上面推断中正确的是①②③．故选：D．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是中档题．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为135°，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为x+y﹣2=0．【分析】先求出直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，由此能求出倾斜角，利用点斜式方程能求出经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程．【解答】解：直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，倾斜角为α=135°，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：135°，x+y﹣2=0．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线方程的求法，考查直线方程、直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），点（4，4）到其准线的距离为5．【分析】利用抛物线方程求出焦点坐标，准线方程，然后求解点（4，4）到其准线的距离．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，点（4，4）到其准线的距离为：5．故答案为：（1，0）；5．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是A1、A、C、D．（只需写出一组）【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由CD⊥平面ADD1A1，AA1⊥平面ABCD，得到从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．故答案为：A1、A、C、D．【点评】本题正方体的八个顶点中能构成4个面都是直角三角形的三棱锥的顶点的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、函数与方程思想，是中档题．12．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为．【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y﹣1=0的距离d，即可求出弦长．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=，故直线x +y ﹣1=0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长为2=．故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，正确运用圆的性质是关键，是基础题．13．（4分）已知椭圆C 1和双曲线C 2的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．【分析】由题意可知图标中点（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点，设双曲线方程为（a ＞0，b ＞0），把点的坐标代入双曲线方程，求得a ，b 的值，结合隐含条件求得c ，则双曲线的离心率可求． 【解答】解：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴图标中点（0，）是椭圆上的点，则（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点． 设双曲线方程为（a ＞0，b ＞0），则，解得．∴，．则e=． 故答案为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．14．（4分）曲线W 的方程为①请写出曲线W的一条对称轴方程x=0；②请写出曲线W上的两个点的坐标（0，2），（0，﹣2）；③曲线W上的点的纵坐标的取值范围是[﹣2，2] ．【分析】将原方程两边平方，借助平方差公式，化简整理，再由x换为﹣x，y 不变，可得曲线的一条对称轴；可令x=0，可得曲线上的两点坐标；再由x2≥0，解不等式即可得到所求纵坐标的取值范围．【解答】解：曲线W的方程为即为[x2+（y+1）2][x2+（y﹣1）2]=9，即有[（x2+y2+1）+2y][（x2+y2+1）﹣2y]=9，可得（x2+y2+1）2﹣4y2=9，即有x2+y2+1=，①将x换为﹣x，y不变，方程不变，可得曲线的一条对称轴为x=0；②令x=0，可得y=2或﹣2，可得曲线上两点的坐标为（0，﹣2），（0，2）；③由x2=﹣（y2+1）≥0，即为≥y2+1，平方可得9+4y2≥y4+2y2+1，即为y4﹣2y2﹣8≤0，解得﹣2≤y2≤4，解得﹣2≤y≤2，则曲线上点的纵坐标的范围是[﹣2，2]．故答案为：x=0；（0，2），（0，﹣2）；[﹣2，2]．【点评】本题考查曲线与方程的关系，考查化简整理的运算能力，以及曲线的性质，考查分析问题的能力，属于中档题．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）设出C的坐标，根据线段长度求出C的坐标，即可求圆C的方程；（Ⅱ）讨论直线斜率是否存在，利用直线和圆相切的位置关系建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，∵．∴=a，则a=2，即圆心C（2，2），．则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．（Ⅱ）若直线斜率不存在，则直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2﹣1=1=r，此时满足直线和圆相切，若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时直线方程为x﹣y﹣=0，即3x﹣4y﹣3=0，则对应的切线方程为x=1或3x﹣4y﹣3=0．【点评】本题主要考查圆的标准方程以及直线和圆相切的位置关系的应用，利用点到直线的距离等于半径是解决本题的关键．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：BC⊥PA．【分析】（Ⅰ）由点D，E分别是BC，PB的中点，得DE∥PC，由此能证明DE∥平面PAC．（Ⅱ）推导出PD⊥BC，AD⊥BC，从而BC⊥平面PAD，由此能证明BC⊥PA．【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E分别是BC，PB的中点．∴DE∥PC，∵DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．（Ⅱ）∵PB=PC，AB=AC，且点D是BC的中点，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∵PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，∵PA⊂平面PCD，∴BC⊥PA．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查空间中空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）求证：OG⊥平面FCDE；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出OG⊥FC，由此利用平面ABCF⊥平面FCDE，能证明OG⊥平面FCDE．（Ⅱ）F、D点为所求的点，推导出OG⊥FD，FD⊥EO，由此能证明FD⊥平面EGO．（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EOG，推导出EO∥DC，从而DC∥平面EOG，进而平面EOG∥平面BCD，推导出GBCO是平行四边形，从而GB=CO，矛盾，由此得到不存在点H，使得BH∥平面EOG．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCF是等腰梯形，点O 为FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE．解：（Ⅱ）F、D点为所求的点．∵FD⊂平面FCDE，∴OG⊥FD，又ED FO，且EF=ED，∴EFOD为菱形，∴FD⊥EO，∵EO∩OG=O，∴FD⊥平面EGO．（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EOG，由ED OC，得EOCD是平行四边形，∴EO∥DC，∵EO⊂平面EOG，∴DC∥平面EOG，又BH∩DC=H，∴平面EOG∥平面BCD，∴BC∥平面EOG，∴BC∥OG，∴GBCO是平行四边形，∴GB=CO，矛盾，∴不存在点H，使得BH∥平面EOG．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足线面垂直的两点的判断与证明，考查满足线面平行的点是否存在的与求法，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．（ⅰ）当m=1时，求线段PQ的长度；（ⅱ）是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形，可得a=2，b=c=，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）分别设为P（x1，y1），Q（x2，y2），将y=x+m代入椭圆+=1中，消y 可得3x2+4mx+2m2﹣4=0，根据韦达定理和弦长公式可得|PQ|=•，（i）代值计算即可，（ii）根据点到直线的距离公式求出d，再根据三角形的面积公式和三角形的面积可得S=|PQ|•d=ו×=，求出m的值即可．△POQ【解答】解：（Ⅰ）∵△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形，∴a=2，b=c=，∴椭圆标准方程为+=1．（Ⅱ）分别设为P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=x+m代入椭圆+=1中，消y可得3x2+4mx+2m2﹣4=0，∵△=16m2﹣12（2m2﹣4）＞0，解得m2＜6，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|PQ|=•=•=•，（i）当m=1时，|PQ|=，（ii）原点到直线y=x+m的距离d=，∴S=|PQ|•d=ו×=，△POQ整理可得m4﹣6m2+8=0，解得m2=4，或m2=2，解得m=±2，或m=±故m的值存在，为±，±2【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．。
北京市101中学2017_2018学年高二数学上学期期中试题理
A. 4 3
B. 2
C. 4
D. 6
5. 在下列命题中：
①若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；
②若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面；
③若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面；
④已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p，总存在实数 x，y，z，
7
因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱， 所以四边形 AA1B1B 是矩形， 所以 M 为 AB1 的中点。 因为 D 是 AC 的中点， 所以 MD 是三角形 AB1C 的中位线， 所以 MD∥B1C。 因为 MD 平面 A1BD，B1C 平面 A1BD， 所以 B1C∥平面 A1BD。 （2）作 CO⊥AB 于 O，所以 CO⊥平面 ABB1A1，
m 2 12
所以 x1+x2=m+1，x1x2=
。
2
代入（*）式，得 m2-12-m·（m+1）+m2=0，
所以 m=4 或 m=-3，经检验都满足判别式 >0，
所以直线 l 的方程为 x+y-4=0 或 x+y+3=0。
16. （1）因为 PA⊥AB，PA⊥BC，所以 PA⊥平面 ABC。 又因为 BD 平面 ABC，所以 PA⊥BD。
A. k1>k2>k3
B. k1> k3> k2
C. k3> k2> k1
D. k2> k3> k1
2. 如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点。若 AB =a，AD =b，AA1 =c，
2017-2018北京海淀101高二上期末【文】数学真题卷
北京一零一中2017-2018学年度第一学期期末考试高二数学（文）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题纸上．1．如果命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，那么（）．A ．命题p ，q 均为真命题B ．命题p ，q 均为假命题C ．命题p ，q 有且只有一个为真命题D ．命题p 为真命题，q 为假命题【答案】C【解析】p q ∨为真命题，即至少有1个为真，p q ∧为假命题，即至少有1个为假，∴p ，q 一真一假．故选C ．2．已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程210x x -+=，则(1)2(1)f f '+的值是（）．A ．12B ．1C ．32D ．2 【答案】D 【解析】12k =，即1(1)2f '=，11(1)12f +==， ∴(1)2(1)2f f '+=．故选D ．3．已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，||4AB =，则AB 的中点M 的横坐标是（）． A ．2B ．12C ．32D ．52【答案】C【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y 由抛物线定义可知，1212||14AB x x P x x =++=++=，123x x +=， ∴M 横坐标为12322x x +=． 故选C ．4．函数()e x f x x =⋅的最小值是（）．A ．1-B ．e -C ．1e -D ．不存在【答案】C【解析】()e x f x x =⋅，()e e e (1)x x x f x x x '=+=+，∴当1x <-时，()0f x '<，()f x 单减，当1x >-时，()0f x '>，()f x 单增， ∴min 1()(1)ef x f =-=-． 故选C ．5．“1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(,)-∞+∞上单调递增”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()cos f x ax x =+，()sin f x a x '=-，∵sin [1,1]x ∈-，当1a ≥时，()0f x '≥恒成立，∴当1a >时，()f x 恒增，当()f x 恒增时，a 可以为1．故选A ．6．已知双曲线的一个焦点为F ，点P 在双曲线的一条渐近线上，点O 为双曲线的对称中心，若OFP △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）．ABC ．2 D【答案】B 【解析】设双曲线方程为22221x y a b-=，(,0)F c ， P 在渐近线b y x a=上，OFP △为等腰直角三角形， 只能90OPF =︒△或90OFP =︒∠，均有45POF =︒∠， 即1b a=，∴e = 故选B ．7．函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（）．A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d <【答案】A 【解析】2()32f x ax bx c '=++，由图可知，()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上为增函数，12(,)x x 为减函数，∴0a >，12203b x x a +=->， ∴0b <，12.03c x x a=>，∴0c >，0d >．故选A ．8．如图，抛物线2:4W y x =与圆22:(1)25C x y -+=交于A ，B 两点，点P 为劣弧 AB 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则PQC △的周长的取值范围是（）．A ．(10,14)B ．(12,14)C ．(10,12)D ．(9,11) 【答案】C【解析】由图可知，PC PQ QC PQC ++=△周长，Q 为抛物线上点，准线方程1x =-，延长PQ 交准线方程于M ，∴QC QM =，∴PQC △周长为5PM PC PM +=+，2224(1)25y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，∴2(1)25x +=，4x =，当P 在A 上，PM 最短，当P 为圆x 轴交点时PM 最长，∴周长(10,12)∈．故选C ．二、填空题共6小题．9．命题0x ∃>，20x x +≤的否定是__________．【答案】0x ∀>，20x x +>【解析】否定为：0x ∀>，20x x +>．10．若椭圆221(4)4x y m m +=<的离心率为12，则m =__________．【答案】3【解析】∵4m <，∴24a =，2b m =，1e 2=， ∴22222241e 44c a b m a a --====，∴3m =．11．函数3()31f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值是__________最小值是__________．【答案】3；17-【解析】22()333(1)f x x x '=-=+，∴当[3,1)x ∈--时，()0f x '>，()f x 为增函数，当[1,0]x ∈-时，()0f x '<，()f x 为减函数，∴max ()(1)1313f x f =-=-++=，{}{}min ()min (3),(0)min 17,117f x f f =-=-=-．12．若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1a <-或3a >【解析】若命题为真，则0∆>，2(1)40a -->，∴1a <-或3a >．13．抛物线28y x =的准线与双曲线22:184x y C -=的两条渐近线所围成的三角形面积为__________．【答案】【解析】28y x =，准线方程为2x =-，双曲线渐近线方程为y =，∴交点分别为(2,A -，(B -，∴||AB =∴122OAB S =⨯⨯=△．14．设函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-=⎨->⎩≤ （1）若0a =，则()f x 的最大值__________．（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是__________．【答案】（1）2；（2）(,1)-∞．【解析】（1）若0a =，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩≤， 当0x >时，()0f x <，当0x ≤时，2()33f x x '=-，∴()f x 在(,1)f -∞-上为增，在(1,0)-为减，∴max ()(1)2f x f =-=，∴max ()2f x =．（2）由①可知，33x x -在(,1)-∞-，(1,)+∞上为增函数，在(1,1)-上为减函数，如图所示：①当12a -<≤时，最大值为(1)2f -=，②当2a ≥时，3max ()()3f x f a a a ==-，③当1a <-时，没有最大值．综上，当1a <-时，函数没有最大值．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．设函数32()f x x ax bx c =+++满足(0)4f '=，(2)0f '-=．（1）求a ，b 的值及曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）若函数()f x 有三个不同的零点，求c 的取值范围．【答案】（1）4y x c =+．（2）32027c <<． 【解析】（1）∵2()32f x x ax b '=++，依题意(0)4(2)1240f b f a b ⎧'==⎪⎨'⎪-=-+=⎩， ∴4b =，4a =，2()384f x x x '=++，32()44f x x x x c =+++，∴(0)4k f '==，(0)f c =，∴切点坐标为(0,)c ，∴切线方程4y x c =+．（2）∵()(2)(32)f x x x '=++且x ∈R ，令()0f x '=，∴12x =-，223x =-，∴(2)f c -=，2327f c ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 若()f x 有2个不同零点，则(2)0f c -=>，2320327f c ⎛⎫-=-+< ⎪⎝⎭， ∴32027c <<． 16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，右焦点为((1,0)F ． （1）求椭圆E 的方程．（2）设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ON ⊥，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=．（2）1x y =+． 【解析】（1）2221c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得a =1b =， ∴椭圆方程为2212x y +=． （2）依题意，直线l 斜率不为0，设l 方程为1x my =+， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立：221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，消22:(2)210x m y my ++-=， ∵相交，∴2244(2)0m m ∆=++>，m ∈R ，1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， ∵OM ON ⊥， ∴12120OM ON x x y y ⋅=+= ，∴1212(1)(1)0my my y y +++=，21212(1)()10m y y m y y ++++=， ∴212m =，直线l方程为1x y =+．17．已知函数()ln f x x =．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）求证：当0x >时，1()1f x x-≥． （3）若1ln x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值． 【答案】（1）10x y --=．（2）见解析．（3）max 1a =．【解析】（1）∵1()(0)f x x x'=>， ∴(1)1k f '==，(1)0f =，∴切线方程为1y x =-，10x y --=．（2）证明：设1()()1g x f x x=--+，(0,)x ∈+∞， 1ln 1x x=+-， 则22111()x g x x x x-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 减函数， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 增函数， ∴min ()(1)0g x g ==，∴()(1)0g x g =≥， ∴1()1f x x-≥． （3）设()1ln h x x a x =--，(0,)x ∈+∞， 则()1a x a h x x x-'=-=， ①当1a ≤时，()0h x '>对(1,)x ∀∈+∞恒成立， ∴()h x 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0h x h >=，∴1ln 0x a x -->在(1,)+∞上成立， ∴1a ≤成立．②当1a >时，令()0h x '=，∴x a =且(1,)a ∈+∞，当(1,)x a ∈时，()0h x '<，∴()h x 单减， 当(,)x a ∈+∞时，()0h x '>，∴()h x 单增， ∴min ()()(1)0h x h a h =<=，∴不成立， 故1a ≤，max 1a =．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点． （1）求圆O 和椭圆C 的方程． （2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ．求证：MQN ∠为定值．【答案】（1）222x y +=；22142x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）依题意22224a b c a b c⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，得2a =，b c =， ∴圆方程222x y +=，椭圆C 方程22142x y +=． （2）设00(,)P x y ，10(,)Q x y ， ∴2200142x y +=，22102x y +=，00y ≠， ∵AP 方程00(2)2y y x x =++，令0x =时，0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，BP 方程为00(2)2y y x x =--，令0x =得02020,y N x -⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴01002,2y QM x y x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭ ，01002,2y QN x y x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭， ∴2222220000102200(42)2042x y y y QM ON x y x y -⋅=+=-+=-- ， ∴90MON =︒∠．。
北京101中学2018-2019学年高二数学上册期末测试题
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、 选择题：本大题共8小题，共40分。
1. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）A. 123p p p ==B. 123p p p =<C. 132p p p =<D. 321p p p =<2. 某公司10位员工的月工资（单位:元）为10321,,,,x x x x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A. x ，22100+sB. 100+x ，22100+sC. x ， 2sD. 100+x ，2s3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出i 的值是（ ）A. 27B. 31C. 63D. 154. 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人。
则这三个社团共有（ ）A. 130人 B . 140人 C . 150人 D. 160人 5. 下列结论中正确的个数是（ ）①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”； ②若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件； ③命题“若22,am bm a b <<则”的逆命题是真命题； ④,R x ∈∀不等式2243x x x +>-均成立.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 若区间)1,0(上任取一实数b ，则方程20x x b ++=有实根的概率为（ ） A.14 B. 13C.12 D. 347. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） A.34B.38 C. 2D. 48. 已知点M （－3，2）是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是（ ）A. 72B. 52C. 3D. 2二、填空题：本大题共6小题，共30分。
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷及答案
北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知z 轴上一点N 到点A （1，0，3）与点B （－l ，1，－2）的距离相等，则点N 的坐标为（ ）A. （0，0，21-） B. （0，0，52-） C. （0，0，21）D. （0，0，21） 2. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）A. BD 与CF 成60°角B. BD 与EF 成60°角C. AB 与CD 成60°角D. AB 与EF 成60°角3. 若椭圆22a x +22b y =1（a >b >0）的焦距为2c=2，且其离心率为22，则椭圆的方程为（ ）A. 42x +22y =1B. 22x +12y =1C. 42x +32y =1D. 82x +42y =14. 5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 120种5. 某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。
如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有（ ）A. 6人B. 7人C. 8人D. 9人6. 某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A. 68种B. 70种C. 240种D. 280种7. 在（xx 12-）5的展开式中，第4项的二项式系数为（ ） A. 10B. －10C. 5D. －58. 某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是21，构造数列{n a }，使得 ⎩⎨⎧-=次抛掷时出现反面，第次抛掷时出现正面，第n n a n ,1,1记1a S n =+a 2+…a n （n ∈N +），则24=S 的概率为（ ） A.161B.81C.41D.21 9. 已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为31，则=ABAD（ ）A.21B.23C. 32D.3510. 下图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
北京市一零一中学高二上学期期末考试(数学理)
北京一零一中－第一学期期末考试高 二 数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题，共40分.1. 已知,αβ是两个不同平面，直线m α⊂，那么“m β⊥”是“αβ⊥”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件 2．如图所示是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．椭圆221x my +=m 的值为（ ）A ．2B ．14C ．2或12D ．14或4 4．设抛物线28y x =上一点M 到y 轴的距离为4，则点M 到该抛物线焦点的距离是（ ） A ．12B ．8C ．6D ．45．已知3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值为 ( ) A ．3 B ．2C ．1D ．06.已知()f x 的导函数'()(1)()f x a x x a =+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,0)-C ．(,1)-∞-D ．(,0)-∞7．如图，E 为正方体1111ABCD A BC D -的棱1AA 的中点，F 为棱AB 上一点，190C EF ∠=，则:AF FB = （ ）A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:48．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率为（ ）D.3二、填空题：每小题5分，共30分.9．函数()ln f x x x =-的单调减区间是 .10.已知1F 、2F 是椭圆22:1259x y C +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，且1290F PF ∠=，则12PF F ∆的面积.主视图侧视图俯视图22111C 1A 1CA BB 1DD 1FE11．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1A D 与1BC 所成角为90，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的大小为_________.12．函数()y f x =的图象在点(3,(3))f 处的切线方程是4y x =-+，则(3)'(3)f f +等于___________.13．已知直线l 过点(0,2)，且与抛物线24y x =交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则1211y y +=________．14．如图，正四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox 、Oy 、Oz 上，给出下列四个命题：①多面体O ABC -是正三棱锥； ②直线//OB 平面ACD ；③直线AD 与OB 所成的角为45；④二面角D OB A --为45.其中真命题有_______________（写出所有真命题的序号）.参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分。
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷
北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知z 轴上一点N 到点A （1，0，3）与点B （－l ，1，－2）的距离相等，则点N 的坐标为（ ）A. （0，0，21-） B. （0，0，52-） C. （0，0，21）D. （0，0，21） 2. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）A. BD 与CF 成60°角B. BD 与EF 成60°角C. AB 与CD 成60°角D. AB 与EF 成60°角3. 若椭圆22a x +22b y =1（a >b >0）的焦距为2c=2，且其离心率为22，则椭圆的方程为（ ）A. 42x +22y =1B. 22x +12y =1C. 42x +32y =1D. 82x +42y =14. 5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）A. 24种B. 48种C. 96种D. 120种5. 某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。
如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有（ ）A. 6人B. 7人C. 8人D. 9人6. 某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A. 68种B. 70种C. 240种D. 280种7. 在（xx 12-）5的展开式中，第4项的二项式系数为（ ） A. 10B. －10C. 5D. －58. 某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是21，构造数列{n a }，使得 ⎩⎨⎧-=次抛掷时出现反面，第次抛掷时出现正面，第n n a n ,1,1记1a S n =+a 2+…a n （n ∈N +），则24=S 的概率为（ ）A.161B.81C.41D.21 9. 已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为31，则=ABAD（ ） A.21B.23C. 32D.3510. 下图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
2017-2018学年北京市101中学高二(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷（文科）试题数：18.满分：1001.（单选题.3分）如果命题p∨q为真命题.p∧q为假命题.那么（）A.命题p.q均为真命题B.命题p.q均为假命题C.命题p.q有且只有一个为真命题D.命题p为真命题.q为假命题2.（单选题.3分）已知函数y=f（x）的图象在点（1.f（1））处的切线方程是x-2y+1=0.则f （1）+2f′（1）的值是（）A. 12B.1C. 32D.23.（单选题.3分）AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦.|AB|=4.则AB中点C的横坐标是（）A.2B. 12C. 32D. 524.（单选题.3分）函数y=xe x的最小值是（）A.-1B.-eC. −1eD.不存在5.（单选题.3分）“a＞1”是“函数f（x）=ax+cosx在（-∞.+∞）上单调递增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.（单选题.3分）已知双曲线的一个焦点F.点P在双曲线的一条渐近线上.点O为双曲线的对称中心.若△OFP为等腰直角三角形.则双曲线的离心率为（）A. √6B. √2C.2D. √37.（单选题.3分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示.则下列结论成立的是（）A.a＞0.b＜0.c＞0.d＞0B.a＞0.b＜0.c＜0.d＞0C.a＜0.b＜0.c＜0.d＞0D.a＞0.b＞0.c＞0.d＜08.（单选题.3分）如图.抛物线W：y2=4x与圆C：（x-1）2+y2=25交于A.B两点.点P为劣弧AB̂上不同于A.B的一个动点.与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q.则△PQC的周长的取值范围是（）A.（10.14）B.（12.14）C.（10.12）D.（9.11）9.（填空题.3分）命题∃x＞0.x2+x≤0的否定是___ ．10.（填空题.3分）若椭圆x24 + y2m=1（m＜4）的离心率为12.则m=___ ．11.（填空题.6分）函数f（x）=x3-3x+1在闭区间[-3.0]上的最大值为___ ；最小值为___ ．12.（填空题.3分）若命题“∃x∈R.使得x2+（1-a）x+1＜0”是真命题.则实数a的取值范围是___ ．13.（填空题.3分）抛物线y2=8x的准线与双曲线C：x28 - y24=1的两条渐近线所围成的三角形面积为___ ．14.（填空题.6分）设函数f（x）= {x3−3x，x≤a −2x，x＞a．① 若a=0.则f（x）的最大值为___ ；② 若f（x）无最大值.则实数a的取值范围是___ ．15.（问答题.12分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c满足f′（0）=4.f′（-2）=0．（1）求a.b的值及曲线y=f（x）在点（0.f（0））处的切线方程．（2）若函数f（x）有三个不同的零点.求c的取值范围．16.（问答题.12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22.右焦点为F（1.0）．（1）求椭圆的方程；（2）设点O为坐标原点.过点F作直线l与椭圆E交于M.N两点.若OM⊥ON.求直线l的方程．17.（问答题.14分）已知函数f（x）=lnx．（1）求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程．（2）求证：当x＞0时.f（x）≥1- 1x．（3）若x-1＞alnx对任意x＞1恒成立.求实数a的最大值．18.（问答题.14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4.以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点.点A.B分别是椭圆C的左、右顶点．（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P.Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P.Q位于y轴两侧）.且直线PQ与x轴平行.直线AP.BP分别与y轴交于点M.N．求证：∠MQN为定值．2017-2018学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：18.满分：1001.（单选题.3分）如果命题p∨q为真命题.p∧q为假命题.那么（）A.命题p.q均为真命题B.命题p.q均为假命题C.命题p.q有且只有一个为真命题D.命题p为真命题.q为假命题【正确答案】：C【解析】：直接利用复合命题的真假判断得答案．【解答】：解：∵p∨q为真命题.即p、q至少有1个为真.又p∧q为假命题.即p、q至少有1个为假.∴p.q一真一假．故选：C．【点评】：本题考查复合命题的真假判断.是基础题．2.（单选题.3分）已知函数y=f（x）的图象在点（1.f（1））处的切线方程是x-2y+1=0.则f （1）+2f′（1）的值是（）A. 12B.1C. 32D.2【正确答案】：D【解析】：利用函数y=f（x）的图象在点（1.f（1））处的切线方程是x-2y+1=0.可求f（1）、f′（1）的值.从而可得结论．【解答】：解：∵函数y=f（x）的图象在点（1.f（1））处的切线方程是x-2y+1=0.∴f（1）=1.f′（1）= 12∴f（1）+2f′（1）=2故选：D．【点评】：本题考查导数的几何意义.考查学生的计算能力.属于基础题．3.（单选题.3分）AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦.|AB|=4.则AB中点C的横坐标是（）A.2B. 12C. 32D. 52【正确答案】：C【解析】：先设出A.B的坐标.进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p求得x1+x2的值.进而求得AB的中点的横坐标．【解答】：解：设A（x1.y1）.B（x2.y2）根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4.∴ x1+x22 = 32.故选：C．【点评】：本题主要考查了抛物线的定义．在涉及抛物线的焦点弦问题时.常需要借助抛物线的定义来解决．4.（单选题.3分）函数y=xe x的最小值是（）A.-1B.-eC. −1eD.不存在【正确答案】：C【解析】：求导函数.确定函数的单调性.即可求得函数的最小值．【解答】：解：求导函数.可得y′=e x+xe x.令y′=0可得x=-1令y′＞0.可得x＞-1.令y′＜0.可得x＜-1∴函数在（-∞.-1）上单调减.在（-1.+∞）上单调增∴x=-1时.函数y=xe x取得最小值.最小值是−1e故选：C．【点评】：本题考查导数知识的运用.考查函数的单调性与最值.属于基础题．5.（单选题.3分）“a＞1”是“函数f（x）=ax+cosx在（-∞.+∞）上单调递增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：求函数的导数.利用函数单调性和导数之间的关系求出a的取值范围.结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：函数的导数f′（x）=a-sinx.若函数f（x）=ax+cosx在（-∞.+∞）上单调递增.则f′（x）=a-sinx≥0恒成立.即a≥sinx.∵-1≤sinx≤1.∴a≥1.则“a＞1”是“函数f（x）=ax+cosx在（-∞.+∞）上单调递增”的充分不必要条件.故选：A．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.结合函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．6.（单选题.3分）已知双曲线的一个焦点F.点P在双曲线的一条渐近线上.点O为双曲线的对称中心.若△OFP为等腰直角三角形.则双曲线的离心率为（）A. √6B. √2C.2D. √3【正确答案】：B【解析】：设双曲线的方程为x 2a2 - y2b2=1（a.b＞0）.P在渐近线y= bax上.△OFP为等腰直角三角形.只能是∠OPF=90°或∠OFP=90°.均有∠POF=45°.运用直线的斜率公式和离心率公式.计算即可得到所求值．【解答】：解：设双曲线的方程为x 2a2 - y2b2=1（a.b＞0）.F（c.0）.P在渐近线y= bax上.△OFP为等腰直角三角形.只能是∠OPF=90°或∠OFP=90°.均有∠POF=45°.即有ba=1.即a=b.c= √a2+b2 = √2 a.则e= ca= √2．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的离心率的求法.注意运用渐近线方程.考查运算能力.属于基础题．7.（单选题.3分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示.则下列结论成立的是（）A.a＞0.b＜0.c＞0.d＞0B.a＞0.b＜0.c＜0.d＞0C.a＜0.b＜0.c＜0.d＞0D.a＞0.b＞0.c＞0.d＜0【正确答案】：A【解析】：根据函数的图象和性质.利用排除法进行判断即可．【解答】：解：f（0）=d＞0.排除D.当x→+∞时.y→+∞.∴a＞0.排除C.函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c.则f′（x）=0有两个不同的正实根.则x1+x2=- 2b3a ＞0且x1x2= c3a＞0.（a＞0）.∴b＜0.c＞0.方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c.由图象知当当x＜x1时函数递增.当x1＜x＜x2时函数递减.则f′（x）对应的图象开口向上.则a＞0.且x1+x2=- 2b3a ＞0且x1x2= c3a＞0.（a＞0）.方法3：f（0）=d＞0.排除D.函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c.则f′（0）=c＞0.排除B.C.故选：A．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断.根据函数图象的信息.结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．8.（单选题.3分）如图.抛物线W：y2=4x与圆C：（x-1）2+y2=25交于A.B两点.点P为劣弧AB̂上不同于A.B的一个动点.与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q.则△PQC的周长的取值范围是（）A.（10.14）B.（12.14）C.（10.12）D.（9.11）【正确答案】：C【解析】：由抛物线定义可得|QC|=x Q+1.从而△PQC的周长=|QC|+|PQ|+|PC|=x Q+1+（x P-x Q）+5=6+x P.联立圆的方程和抛物线的方程.确定P点横坐标的范围.即可得到结论．【解答】：解：抛物线的准线l：x=-1.焦点C（1.0）.由抛物线定义可得|QC|=x Q+1.圆（x-1）2+y2=25的圆心为（1.0）.半径为5.可得△PQC的周长=|QC|+|PQ|+|PC|=x Q+1+（x P-x Q）+5=6+x P.由抛物线y2=4x及圆（x-1）2+y2=25可得交点的横坐标为4.即有x P∈（4.6）.可得6+x P∈（10.12）.故△PQC的周长的取值范围是（10.12）．【点评】：本题考查抛物线的定义.考查抛物线与圆的位置关系.确定P点横坐标的范围是关键.属于中档题．9.（填空题.3分）命题∃x＞0.x2+x≤0的否定是___ ．【正确答案】：[1]∀x＞0.x2+x＞0【解析】：直接写出特称命题的否定得答案．【解答】：解：命题∃x＞0.x2+x≤0的否定是：∀x＞0.x2+x＞0．故答案为：∀x＞0.x2+x＞0．【点评】：本题考查命题的否定.关键是明确特称命题的否定为全称命题.是基础题．10.（填空题.3分）若椭圆x24 + y2m=1（m＜4）的离心率为12.则m=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：利用椭圆的离心率.列出方程求解即可．【解答】：解：∵椭圆x 24 + y2m=1（m＜4）的离心率为12.∴a=2.c= √4−m .可得：√4−m2=12.解得m=3.故答案为：3．【点评】：本题考查椭圆的简单性质的应用.考查计算能力．11.（填空题.6分）函数f（x）=x3-3x+1在闭区间[-3.0]上的最大值为___ ；最小值为___ ．【正确答案】：[1]3; [2]-17【解析】：求出函数的导数.通过导数为0.求出极值点.比较极值点的函数值与端点的函数值.即可得到所求的最值．【解答】：解：因为函数f（x）=x3-3x+1.所以函数f′（x）=3x2-3.令3x2-3=0.解得x=-1.或x=1∉[-3.0].因为f（-3）=（-3）3-3×（-3）+1=-17.f（-1）=（-1）3-3×（-1）+1=3.f（0）=1；所以函数的最大值为：3；最小值为：-17．故答案为：3；-17．【点评】：本题是基础题.考查函数与导函数的关系.函数的最值的求法.考查计算能力.注意端点的函数的求解．12.（填空题.3分）若命题“∃x∈R.使得x2+（1-a）x+1＜0”是真命题.则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（3.+∞）∪（-∞.-1）【解析】：因为不等式对应的是二次函数.其开口向上.若“∃x∈R.使得x2+（1-a）x+1＜0”.则相应二次方程有不等的实根．【解答】：解：∵“∃x∈R.使得x2+（1-a）x+1＜0∴x2+（1-a）x+1=0有两个不等实根∴△=（1-a）2-4＞0∴a＜-1.或a＞3故答案为：（3.+∞）∪（-∞.-1）．【点评】：本题主要考查一元二次不等式.二次函数.二次方程间的相互转化及相互应用.这是在函数中考查频率较高的题目.灵活多变.难度可大可小.是研究函数的重要方面．13.（填空题.3分）抛物线y2=8x的准线与双曲线C：x28 - y24=1的两条渐近线所围成的三角形面积为___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程.解得两交点.由三角形的面积公式.计算即可得到所求值．【解答】：解：抛物线y2=8x的准线为x=-2.双曲线C：x 28 - y24=1的两条渐近线为y=± √22x.可得两交点为（-2. √2）.（-2.- √2）.即有三角形的面积为12×2×2 √2 =2 √2．故答案为：2 √2．【点评】：本题考查三角形的面积的求法.注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程.考查运算能力.属于基础题．14.（填空题.6分）设函数f （x ）= {x 3−3x ，x ≤a −2x ，x ＞a．① 若a=0.则f （x ）的最大值为___ ；② 若f （x ）无最大值.则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]2; [2]（-∞.-1）【解析】： ① 将a=0代入.求出函数的导数.分析函数的单调性.可得当x=-1时.f （x ）的最大值为2；② 若f （x ）无最大值.则 {a ≤−1−2a ＞a 3−3a.或 {a ＞−1−2a ＞a 3−3a −2a ＞2 .解得答案．【解答】：解： ① 若a=0.则f （x ）= {x 3−3x ，x ≤0−2x ，x ＞0 .则f′（x ）= {3x 2−3，x ≤0−2，x ＞0.当x ＜-1时.f′（x ）＞0.此时函数为增函数. 当x ＞-1时.f′（x ）＜0.此时函数为减函数. 故当x=-1时.f （x ）的最大值为2； ② f′（x ）= {3x 2−3，x ≤a −2，x ＞a.令f′（x ）=0.则x=±1.若f （x ）无最大值.则 {a ≤−1−2a ＞a 3−3a.或 {a ＞−1−2a ＞a 3−3a −2a ＞2 . 解得：a∈（-∞.-1）． 故答案为：2.（-∞.-1）【点评】：本题考查的知识点是分段函数的应用.函数的最值.分类讨论思想.难度中档． 15.（问答题.12分）设函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 满足f′（0）=4.f′（-2）=0． （1）求a.b 的值及曲线y=f （x ）在点（0.f （0））处的切线方程． （2）若函数f （x ）有三个不同的零点.求c 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.求出函数的导数.据此可得 {f′(0)=b =4f′(−2)=12−4a +b =0.解可得a 、b的值.进而求出f （0）与f′（0）.由导数的几何意义分析可得答案；（2）根据题意.由（1）的结论.令f′（x ）=0.解可得x 1=-2或x 2=- 23 .列表分析函数的单调性与极值.分析可得若f （x ）有2个不同的零点.则必有f （-2）=c ＞0.f （- 23 ）=- 3227 +c ＜0.解可得c 的取值范围.即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c. 则f′（x ）=3x 2+2ax+b. 又由f′（0）=4.f′（-2）=0． 则有 {f′(0)=b =4f′(−2)=12−4a +b =0 .解可得a=4.b=4.则f （0）=c.切点坐标为（0.c ）. 则f′（x ）=3x 2+8x+4.则k=f′（0）=4. 即切线的斜率k=4. 则切线的方程y=4x+c ；（2）由（1）的结论.f′（x ）=3x 2+8x+4. 令f′（x ）=0.解可得x 1=-2或x 2=- 23. 列表可得：且极大值f （-2）=c.极小值f （- 3 ）=- 27 +c.若f （x ）有2个不同的零点.则必有f （-2）=c ＞0.f （- 23 ）=- 3227 +c ＜0. 解可得0＜c ＜ 3227 .即c 的取值范围为（0. 3227 ）．【点评】：本题考查利用导数分析函数的单调性以及计算曲线的切线方程.以及利用极值进行函数的零点判断.属于综合题．16.（问答题.12分）已知椭圆E ： x 2a 2 + y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √22.右焦点为F （1.0）． （1）求椭圆的方程；（2）设点O 为坐标原点.过点F 作直线l 与椭圆E 交于M.N 两点.若OM⊥ON .求直线l 的方程．【正确答案】：【解析】：（1）根据椭圆的几何性质.求出a 、b 的值即可；（2）讨论直线MN 的斜率是否存在.设出MN 的方程.与椭圆方程联立.利用根与系数的关系.结合OM⊥ON . OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0求出直线的斜率k.即可求出直线l 的方程．【解答】：解：（1）依题意得.c=1.∴ {1a=√22a 2=b 2+1；…（2分）解得a= √2 .b=1； ∴椭圆E的标准方程为 x 22+y 2=1；…（4分）（2）设M （x 1.y 1）.N （x 2.y 2）.① 当MN 垂直于x 轴时.MN 的方程为x=1.不符题意；…（5分） ② 当MN 不垂直于x 轴时.设MN 的方程为y=k （x-1）；…（6分）由 {x 22+y 2=1y =k (x −1)得：[1+2k 2]x 2-4k 2x+2（k 2-1）=0.…（8分） ∴x 1+x 2= 4x 21+2k 2 .x 1•x 2= 2(k 2−1)1+2k 2；…（10分）∴y 1•y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]= −k 21+2k 2 ； 又∵OM⊥ON .∴ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0； ∴x 1•x 2+y 1y 2=k 2−21+2k 2=0. 解得k=± √2 .…（13分）∴直线l 的方程为：y=± √2 （x-1）．…（14分）【点评】：本题考查了椭圆的几何性质的应用问题.也考查了直线与椭圆的应用问题.考查了根与系数关系的应用问题.平面向量的应用问题.是综合题．17.（问答题.14分）已知函数f（x）=lnx．（1）求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程．（2）求证：当x＞0时.f（x）≥1- 1x．（3）若x-1＞alnx对任意x＞1恒成立.求实数a的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由f′（x）= 1x（x＞0）.可得k=f′（1）=1.f（1）=0.即可得出．（2）设g（x）=f（x）-1+ 1x =lnx-1+ 1x．x∈（0.+∞）.可得g′（x）= 1x- 1x2= x−1x2.研究其单调性即可证明．（3）设h（x）=x-1-alnx.x∈（1.+∞）.h′（x）=1- ax = x−ax.对a分类讨论.研究其单调性极值即可得出．【解答】：解：（1）∵f′（x）= 1x.（x＞0）. ∴k=f′（1）=1.f（1）=0.∴切线方程为：y=x-1.即x-y-1=0．（2）证明：设g（x）=f（x）-1+ 1x =lnx-1+ 1x．x∈（0.+∞）.则g′（x）= 1x - 1x2= x−1x2.当x∈（0.1）时.g′（x）＜0.函数g（x）为减函数. 当x∈（1.+∞）时.g′（x）＞0.函数g（x）为增函数. ∴g（x）min=g（1）=0.∴g（x）≥g（1）=0.∴f（x）≥1- 1x．（3）设h（x）=x-1-alnx.x∈（1.+∞）.则h′（x）=1- ax = x−ax.① 当a≤1时.h′（x）＞0对∀x∈（1.+∞）恒成立. ∴h（x）在（1.+∞）上单调递增.∴h（x）＞h（1）=0.∴x-1-alnx＞0在（1.+∞）上成立.∴a≤1成立．② 当a＞1时.令h′（x）=0.∴x=a＞1．当x∈（1.a）时.h′（x）＜0.∴h（x）单调递减.当x∈（a.+∞）时.h′（x）＞0.∴h（x）单调递增.∴h（x）min=h（a）＜h（1）=0.∴不成立.综上可得：a≤1.a max=1．【点评】：本本题考查了利用导数研究单调性极值及其切线方程、方程与不等式的解法、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于难题．18.（问答题.14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4.以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点.点A.B分别是椭圆C的左、右顶点．（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P.Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P.Q位于y轴两侧）.且直线PQ与x轴平行.直线AP.BP分别与y轴交于点M.N．求证：∠MQN为定值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由椭圆的定义可得a=2.由题意可得b=c.结合椭圆的a.b.c的关系.解方程可得b.c.进而得到圆和椭圆的方程；（Ⅱ）方法一：设出P的坐标.得到Q的坐标.代入圆和椭圆方程.由AP和BP的方程.求得M.N 的坐标.再由向量QM.QN.运用数量积的坐标表示.即可证得∠MQN为定值．方法二、设P（x0.y0）.AP：y=k（x+2）（k≠0）．联立椭圆方程.求得P的坐标.进而得到Q.M的坐标.再由BP 的方程得到N 的坐标.再由向量的数量积的坐标表示.即可得证．【解答】：解：（Ⅰ）依题意得 {2a =4c =b a 2−b 2=c 2. 解得：a=2. b =c =√2 ．所以圆O 的方程为x 2+y 2=2.椭圆C 的方程为 x 24+y 22=1 ．（Ⅱ）证法一：如图所示.设P （x 0.y 0）（y 0≠0）.Q （x Q .y 0）.则 {x 024+y 022=1x Q 2+y 02 =2即 {x 02=4−2y 02x Q 2=2−y 02.. 又由 AP ：y =y 0x 0+2(x +2) 得 M (0，2y 0x0+2) ． 由 BP ：y =y 0x0−2(x −2) 得 N (0，−2y 0x0−2) ． 所以 QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x Q ，2y 0x 0+2−y 0)=(−x Q ，−x 0y 0x 0+2) . QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x Q ，−2y 0x 0−2−y 0)=(−x Q ，−x 0yx 0−2) ． 所以 QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x Q 2+x 02y 02x 02−4=2−y 02+(4−2y 02)y 02−2y 02=0 ．所以 QM⊥QN .即∠MQN=90°．（Ⅱ）证法二：如图所示.设P （x 0.y 0）.AP ：y=k （x+2）（k≠0）．由 {x 24+y 22=1y =k (x +2)得（2k 2+1）x 2+8k 2x+8k 2-4=0．所以 −2x 0=8k 2−42k 2+1 .即 x 0=2−4k 22k 2+1 ． 所以 y 0=4k 2k 2+1 .即 P (2−4k 22k 2+1，4k2k 2+1) ． 所以 直线BP 的斜率为4k2k 2+12−4k 22k 2+1−2=−12k ．所以 BP ：y =−12k (x −2) ． 令x=0得：M （0.2k ）. N (0，1k ) ．设Q （x Q .y 0）.则 QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x Q ，2k −y 0) . QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x Q ，1k−y 0) ． 所以 QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x Q 2+(2k −y 0)(1k −y 0)=x Q 2+y 02+2−2k 2+1k •y 0 ． 因为 x Q 2+y 02=2，y 0=4k2k 2+1 .所以 QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ．所以QM⊥QN.即∠MQN=90°．【点评】：本题考查椭圆的定义、方程和性质.主要考查椭圆的定义和方程的运用.联立直线方程和圆的方程.运用韦达定理和向量垂直的条件.考查运算能力.属于中档题．。
北京市第101中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题 含解析
北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题共8小题，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1。
三条直线l1，l2，l3的位置如图所示，它们的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是（)A. k1>k2〉k3B. k1> k3〉k2C。
k3〉k2> k1 D. k2〉k3> k1【答案】D【解析】由图形可得：三条直线l1，l2，l3的倾斜角满足：所以k2> k3〉k1故选D2。
如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点，若，,，则下列向量中与相等的向量是( ）A. B。
C。
D.【答案】A【解析】试题分析：根据向量加法的运算法则：三角形法则、平行四边形法则,可以得到：考点:空间向量的表示；3。
过点（—l，3）且与直线x—2y+3=0平行的直线方程是（) A. x—2y-5=0 B。
x—2y+7=0 C。
2x+y—1=0 D。
2x+y-5=0【答案】B【解析】与直线x—2y+3=0平行的直线可设为x-2y+C=0因为直线过(—l，3）所以C=7故所求直线为x-2y+7=0故选B4. 已知球O与正方体各棱均相切,若正方体棱长为，则球O的表面积为（)A. B。
2C。
4 D. 6【答案】C故选C5. 在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a,b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a,b一定不共面；③若三个向量a，b,c两两共面，则向量a,b,c共面；④已知空间的三个向量,则对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z,使得。
正确命题的个数是（）A。
0 B。
1 C。
2 D. 3【答案】A6. 如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC,且∠AOB=∠AOC=，则cos（，）的值为（）A. B. 0 C。
D.【答案】B【解析】故选B7. 如图，点O为正方体ABCD—A’B’C’D’的中心，点E为面B'BCC’的中心，点F为B’C’的中点,则空间四边形D'OEF在该正方体的面上的正投影不可能是( ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知光线从上向下照射，得到C，光线从前向后照射，得到A光线从左向右照射得到B故选D点睛:本题考查平行投影及平行投影的作图法,考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三视图做准备,告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同．8。
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试题(解析版)
北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知z轴上一点N到点A（1，0，3）与点B（－l，1，－2）的距离相等，则点N的坐标为（）A. （0，0，）B. （0，0，）C. （0，0，）D. （0，0，）【答案】D【解析】【分析】根据点N在z轴上，设出点N的坐标，再根据N到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AN，BN，解方程即可求得N的坐标．【详解】解：设N（0，0，z）由点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，得：12+02+（z﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（1﹣0）2+（﹣2﹣z）2解得z，故N（0，0，）故选：D．【点睛】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．2.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A. BD与CF成60°角B. BD与EF成60°角C. AB与CD成60°角D. AB与EF成60°角【答案】C【解析】试题分析：由正方体的平面展开图，还原成正方体，利用正方体的结构特征，得到BD与CF成0°角，BD与EF成90°角，AB与CD成60°角，AB与EF成90°角．解：由正方体的平面展开图，还原成如图所示的正方体，∵BD∥CF，∴BD与CF成0°角，故A错误；∵BD∥平面A1EDF，EF⊂平面A1EDF，∴BD与EF成90°角，故B错误；∵AE∥CD，∴∠BAE是AB与CD所成角，∵△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，∴AB与CD成60°角，故C正确；∵AB∥A1D，又A1D⊥EF，∴AB与EF成90°角，故D错误．故选：C．考点：异面直线及其所成的角．3.若椭圆+=1（a>b>0）的焦距为2，且其离心率为，则椭圆的方程为（）A. +=1B. +=1C. +=1D. +=1【答案】B【解析】【分析】由题意可知2c＝2，c＝1，根据离心率公式e，求得a，b，即可求得椭圆C的标准方程.【详解】由题意可知：2c＝2，即c＝1，由椭圆的离心率e，解得：a，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆C的标准方程：；故选：B【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆简单的几何性质，属于基础题.4.5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）A. 24种B. 48种C. 96种D. 120种【答案】B【解析】【分析】5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素，与另外3个元素全排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．【详解】解：∵5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，∴首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外3个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，共有A44A22＝48，故选：B．【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查相邻问题，是一个比较简单的题目，这种题目一般有限制条件，首先排列有限制条件的元素．5.某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷
北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知z 轴上一点N 到点A （1，0，3）与点B （－l ，1，－2）的距离相等，则点N 的坐标为（ ）A. （0，0，21-） B. （0，0，52-）C. （0，0，21）D. （0，0，21）2. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）A. BD 与CF 成60°角B. BD 与EF 成60°角C. AB 与CD 成60°角D. AB 与EF 成60°角3. 若椭圆22ax +22by =1（a >b >0）的焦距为2c=2，且其离心率为22，则椭圆的方程为（ ）A.42x+22y=1 B.22x+12y =1C.42x+32y=1 D.82x+42y=14. 5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）A. 24种B. 48种C. 96种D. 120种5. 某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。
如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有（ ）A. 6人B. 7人C. 8人D. 9人6. 某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A. 68种B. 70种C. 240种D. 280种7. 在（xx 12-）5的展开式中，第4项的二项式系数为（ ） A. 10B. －10C. 5D. －58. 某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是21，构造数列{n a }，使得⎩⎨⎧-=次抛掷时出现反面，第次抛掷时出现正面，第n n a n ,1,1记1a S n =+a 2+…a n （n ∈N +），则24=S 的概率为（ ）A.161 B.81 C.41 D.219. 已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为31，则=ABAD （ ）A. 21 B.23 C.32 D.3510. 下图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
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北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. 14y 5x 22=- B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 22=- D. 116y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（ ） A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1 B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l 3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）A. （0，1）B. （0，161） C . （1，0） D. （161，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。
则真命题的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 05. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 2± D. ±27. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A. 24B. 18C. 12D. 68. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. （332，2] B. [332，2） C. （332，+∞） D. [332，+∞）二、填空题共6小越。
9. 双曲线3x 2-y 2=-3的渐近线方程为________。
10. 设常数a ∈R 。
若（x 2+xa ）5的二项展开式中x 7项的系数为-10，则a=________。
11. 设F 1，F 2分别是椭圆7y 16x 22+=1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且21PF PF ⋅=0，则|1PF +2PF |=_________。
12. 若双曲线4y 9x 22-=1与直线y=kx-l 有且仅有一个公共点，则这样的直线有________条。
13. 已知点P 在抛物线y 2=4x 上，那么当点P 到点Q （3，4）的距离与点P 到抛物线准线的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为_______。
14. 下列三个命题中：①“k=l ”是“函数y=cos 2kx-sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件； ③函数y=3x 4x 22++的最小值为2。
其中是假命题的有_______。
（将你认为是假命题的序号都填上）三、解答题共5小题，每小题10分，共50分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. 命题p ：关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f （x ）=log a x （a>0且a ≠1）在（0，+∞）上单调递增。
若p ∨q 为真，而p ∧q 为假，求实数a 的取值范围。
16. 已知P 是椭圆1y 4x 22=+上的一点，F 1,F 2是椭圆的两个焦点。
（1）当∠F 1PF 2=60°时，求△F 1PF 2的面积；（2）当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围。
17. 如图所示，在Rt △ABC 中，已知点A （-2，0），直角顶点B （0，-22），点C 在x 轴上。
（1）求Rt △ABC 外接圆的方程；（2）求过点（-4，0）且与Rt △ABC 外接圆相切的直线的方程。
18. 定长为2的线段AB 的两个端点在以点（0，81）为焦点的抛物线x 2=2py 上移动，记线段AB的中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。
19. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，23）在椭圆C 上。
（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为7212，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
参考答案1. A2. A3. B4. C5. D6. D7. B8. A9. 3x ±y=0 10. -2 11. 6 12. 4 13. （253+，5+1） 14. ①②③. 15. 若p 为真，则△=（2a ）2-42<0，即-2<a<2。
若q 为真，则a>1。
因为p ∨q 为真，而p ∧q 为假，所以p ，q 一真一假。
当p 真q 假时，⎩⎨⎧<<<<-,,1a 02a 2所以0<a<1。
当p 假q 真时，⎩⎨⎧>≥-≤,,1a 2a 2a 或所以a ≥2。
综上，a 的取值范围为（0，1） [2，+∞）。
16. （1）由椭圆的定义，得|PF 1|+|PF 2|=4且F 1（-3，0），F 2（3，0）。
① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2| cos60°。
②由①②得|PF 1|·|PF 2|=34。
所以21F PF S ∆=|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2=33。
（2）设点P （x ，y ），由已知∠F 1PF 2为钝角， 得21PF PF ⋅<0，即（x+3，y ）·（x-3，y ）<0。
又y 2=1-4x 2，所以43x 2<2，解得-362<x<362。
所以点P 横坐标的取值范围是（-362，362）。
17. （1）设点C （a ，0），由AB ⊥BC 可得k AB ·k BC =-1，即222-·a 22=-1，解得a=4。
则所求的圆的圆心为AC 的中点（1，0），半径为3，所求圆的方程为（x-1）2+y 2=9。
（2）由题意知直线的斜率存在，设所求直线的方程为y=k （x+4），即kx-y+4k=0。
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以1k k 52+||=3，解得k=±43， 所求直线的方程为y=43（x+4）或y=-43（x+4），即3x-4y+12=0或3x+4y+12=0。
18. 依题意可得抛物线的方程为x 2=21y 。
设直线AB 的方程为y=kx+b （k ∈R ）， 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==bkx y y 21x 2,得2x 2-kx-b=0。
设A （x 1,y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-2b ,y 1+y 2=b 22k 2+。
因为|AB|=2,所以（1+k 2）[（x 1+x 2）2-4x 1x 2]=4，所以b=8k 1k 222-+， 所以y M =8k 1k 24k b 4k 2y y 222221-++=+=+ =87811k 281k 2811k 281k 2222=-+⋅+≥-+++。
当且仅当81k 2+=1k 22+即k=±3时取等号， 所以点M 到x 轴的最短距离为87，此时点M 的坐标为（43±，87）。
19. （1）设椭圆的方程为2222by a x +=1（a>b>0），由题意可得： 椭圆C 两焦点坐标分别为F 1（-1；0），F 2（1，0）。
所以2a=42325231123112222=+=+-+++）（）（）（）（所以a=2，又c=1，b 2=4-1=3， 故椭圆的方程为13y 4x 22=+。
（2）当直线l ⊥x 轴，计算得到：A （-l ，-23），B （-1，23）， 32321F F AB 21S 21B AF 2=⨯⨯=⋅⋅=∆||||，不符合题意。
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y=k （x+1），由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13y 4x )1k(x y 22,消去y 得（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2-12=0, 显然△>0成立，设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则x 1+x 2=22k 43k 8+-，x 1·x 2=22k 4312k 4+-， 又|AB|=222242212212k 43)12k 4(4)k 43(k 64k 1x x 4)x (x k 1+--+⋅+=⋅-+⋅+, 即|AB|=22222k 43)1(k 12k 431k 12k 1++=++⋅+， 又圆F 2的半径r=22k 1k 2k 1k 01k +=++-⨯||||， 所以7212k 43k 1k 12k 1k 2k 43)1(k 1221r AB 21S 22222B AF 2=++=+⋅++⨯==∆||||||， 化简，得17k 4+k 2-18=0，即（k 2-1）（17k 2+18）=0，解得k=±1， 所以，r=2k 1k 22=+||，故圆F 2的方程为：（x-1）2+y 2=2。