2018北京市朝阳区高一(上)期末数学

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北京市朝阳区2018-2019年高一(上)期末答案(1)

北京市朝阳区2018~2019学年度第一学期期末质量检测高一年级数学学科试题答案 2019.1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分16分）解：（Ⅰ）当1a =时，由10x -<，解得1x <.所以{}1B x x =<．所以1{ 1}2AB x x ≤=<，{ 2}A B x x =≤. ………………………………………………………………5分（Ⅱ）若A B ⊆，即1,22B ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，{}B x x a =<，则2a >.所以实数a 的取值范围是()2,+∞. …………………………………………………………………………10分（Ⅲ）{}B x x a =<.因为当A B B R ()=ð时，有1={2}2B A x x x R 或⊆<>ð. 要使B A R ⊆ð，必须12a ≤. 所以实数a 的最大值是12. ……………………………………………………………………………………16分18. （本小题满分18分）解：（Ⅰ）由已知2(0)cos 01f ==.2()cos sin cos 4444f ππππ=+ 11122=+=. …………………………………………………5分（Ⅱ）因为()f x 1cos 21sin 222x x +=+11(sin 2cos 2)22x x =++π1sin(2)242x =++，所以函数()f x 的最小正周期为π．因为sin y x =的对称轴方程为ππ2x k =+,k ∈Z , 令ππ2π42x k +=+,k ∈Z ，得1ππ28x k =+，k ∈Z .所以函数()f x 的对称轴方程为1ππ28x k =+，k ∈Z . ………………12分（Ⅲ）令πππ2π-22π242k x k ++≤≤得 3πππ-π88k x k +≤≤，k ∈Z . 函数()f x 的单调增区间为3πππ-,π88k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z ，所以函数()f x 在区间[0,π]上的单调递增区间为π[0,]8和5π[,π]8. ……18分 19. （本小题满分18分）解：（Ⅰ）当2m =时， 2()21f x x x =-++，配方得：2()(1)2f x x =--+，因此当1x =时，()f x 的最大值为2. …………………………………5分（Ⅱ）由()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++，由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．即 0)2(2=+x m 恒成立，所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以实数m 的值是2-． ……………………………………………12分（Ⅲ）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[0,]π上的值域为B ，由题意和子集的定义，得A B ⊆．当[0,]x ∈π时，7[,]666x πππ+∈，]2,1[)(-∈x g ．所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立，有[]1,1,2m x x x ≤+∈，易证1y x x =+在[]1,2上为增函数，得2m ≤. 有[]2,1,2m x x x ≥-∈，易证2y x x=-在[]1,2上为增函数，得1m ≥.综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． …………………………………………18分20. （本小题满分18分）解：（I ）（i ）a k =时，().xf x a b =+ 当1a >时，函数()f x 是增函数，则(0)0(1)1f f =⎧⎨=⎩，，即101b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得21.a b =⎧⎨=-⎩，符合题意.此时 ()2 1.x f x =-当01a <<时，函数()f x 是减函数，则(0)1,(1)0,f f =⎧⎨=⎩即11,0,b a b +=⎧⎨+=⎩解得0,0.a b =⎧⎨=⎩不符合题意.综上，()2 1.xf x =- ……………………………………………………………7分（ii ）证明：假设[,]m n 是函数()f x 的一个等域区间.由1k a ≥+，则1a k -≤-，因为01a <<，所以函数()f x 是减函数，所以(),(),f m n f n m =⎧⎨=⎩即(),(),mn a a k m b n a a k n b m ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩两式相减得：()()m na a a k m n n m -+--=-.整理得，(1)()0m na a a k m n -+-+-=. 因为m n <，所以mna a >，而10a k -+≤，所以(1)()0mna a a k m n -+-+->，与(1)()0mn a a a k m n -+-+-=矛盾.假设不成立.所以函数()f x 不存在等域区间. …………………………………………14分（Ⅱ）21()log 4g x x =-是等域函数. 11[,]42是该函数的一个等域区间. 这是因为()g x 在11[,]42单调递减，且1111(),()4224g g ==，所以当定义域为11[,]42时，值域也是11[,]42.所以11[,]42是函数21()log 4g x x =-的一个等域区间. ……………………18分。

高考最新-北京朝阳区第一学期期末考试(理) 精品

北京市朝阳区2018-2018学年第一学期期末统一考试高三数学（理科）试卷2018.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题50分）参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )'(21+=台侧其中c’、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式h S S S S V )''(31++=台体其中S ’、S 分别表示上、下底面面积，h 表示高一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确的选项前的字母填在题后的括号内。

（1）设集合}12|{<<-=x x A }0|{<-=a x x B ，若B A ⊂，则a 的取值范围是（）（A ）]2,(--∞ （B ）),1[+∞ （C ）]1,(-∞ （D ）),2[+∞- （2）已知二面角βα--l ，直线α⊂a ，β⊂b ，且a 与l 不垂直，b 与l 不垂直，那么（）（A ）a 与b 可能垂直，但不可能平行（B ）a 与b 可能垂直，也可能平行（C ）a 与b 不可能垂直，但可能平行（D ）a 与b 不可能垂直，也不可能平行（3）函数k x A x f ++=)sin()(ϕω在一个周期内的图象如图所示，函数)(x f 解析式为（）（A ）1)1221sin(4)(-+=πx x f （B ）1)122sin(2)(+-=πx x f（C ）1)621sin(4)(-+=πx x f （D ）1)62sin(2)(+-=πx x f（4）双曲线c ：)00(12222>>=-，b a by a x 的左、右焦点分别为21，F F ，过焦点2F 且垂直于x 轴的弦O ，︒=∠901B AF ，则双曲线c 的离心率为（）（A ）)22(21- （B ）12- （C ）12+ （D ）)22(21+ （5）如图，O 为直二面角βα--MN 的棱MN 上的一点，射线OE ，OF 分别在βα，内，且∠EON=∠FON=45°，则∠EOF 的大小为（）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90° （6）在等差数列}{n a 中， 2≥n ，公差d<0，前n 项和是n S ，则有（）（A ）1na S na n n << （B ）n n na S na <<1 （C ）1na S n ≥ （D ）n n na S ≤（7）用不着，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数中，若按从小到大的顺序排列，那么12340应是（）（A ）第9个数（B ）第10个数（C ）第11个数（D ）第12个数（8）下列四个命题： ①满足zz 1=的复数只有i ±±,1； ②若a ，b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数； ③复R z ∈的充要条件是z z =；④复平面内x 轴即实轴，y 轴即虚轴。

2018-2019学年北京市朝阳区高一第一学期期末数学试卷〖详解版〗

A．﹣7
B．﹣1
C．
D．7
6．（5 分）已知非零向量，满足| |＝2| |，
夹角的余弦值是，若（t + ）⊥ ，
则实数 t 的值是（）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在边长为 2 的正方形 ABCD 内部及其边
界上运动，已知点 M（﹣2，0），B（1，﹣1），C（1，1），则
10．（5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，且
C．①③④
D．②③④
，f（0）≠0，若对于任意实数 x，y，
恒有
．则下列说法中不正确的是（）
A．f（0）＝1
B．f（x）＝f（﹣x）
C．f（x+2π）＝f（x）
D．f（2x）＝2f（x）﹣1
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
故选：D． 2．【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，
∴A∩B＝{2}，故选：A． 3．【解答】解：由于 cos（﹣x）＝cosx≠sinx，故排除 A；由于 cos（π+x）＝﹣cosx≠sinx，故排除 B；由于 cos（ ﹣x）＝sinx，故 C 满足条件；
由于 cos（π﹣x）＝﹣cosx≠sinx，故排除 D，
（ ii）证明：当 0＜a＜1，k≥a+1 时，函数 f（x）不存在等域区间；
（Ⅱ）判断函数
是否存在等域区间？若存在，写出该函数的一个等域
区间；若不存在，请说明理由．
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2018-2019 学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．【解答】解：sin120°＝sin（180°﹣60°）＝sin60°＝，

2018-2019学年北京市朝阳区高一第一学期期末质量检测数学试题(解析版)

2018-2019学年北京市朝阳区高一第一学期期末质量检测数学试题一、单选题1．的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】，故选：D．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．设，3，，则（）A．B．C．3，D．2，3，【答案】A【解析】由A与B，求出两集合的交集即可．【详解】，3，，，故选：A．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．下列各式中，化简的结果为的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用诱导公式逐一化简各个选项，可得结果．【详解】由于，故排除A；由于，故排除B；由于，故C满足条件；由于，故排除D，故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．4．下列函数中，值域是的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．【详解】对于A：的值域为；对于B：，，，的值域为；对于C：的值域为；对于D：，，，的值域为；故选：D．【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．5．已知，则（）A．B．C．D．7【答案】D【解析】直接利用两角和的正切函数公式求解即可．【详解】，．故选：D．【点睛】本题考查了两角和的正切函数公式，是基础题．6．已知非零向量，满足，夹角的余弦值是，若，则实数t的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据条件即可求出，而根据即可得出，进行数量积的运算即可求出t的值．【详解】，且夹角的余弦值是；；又；；；；．故选：A．【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P在边长为2的正方形ABCD内部及其边界上运动，已知点，，，则的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．【答案】C【解析】设，再求出和，利用向量数量积可得，最后由x的最大值为1可得的最大值为6．【详解】故选：C．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．8．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算”做出了巨大贡献法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命”比如在下面的部分对数表中，16，256对应的幂指数分别为4，8，幂指数和为12，而12对应的幂4096，因此根据此表，推算（）A ．524288B ．8388608C ．16777216D ．33554432 【答案】B【解析】先通过阅读，理解题意后再进行简单的合情推理即可得解. 【详解】由上表可知：，，即512，16384对应的幂指数分别为9，14，幂指数和为23，而23对应的幂为8388608，因此．故选：B ．【点睛】本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题.9．给出以下四个方程：；；；其中有唯一解的是（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】由方程与函数的关系，将方程问题转化为函数问题，再利用函数的增减性，奇偶性，函数零点存在性定理解题即可.【详解】设，易知：为增函数，又，故有唯一解，设，易知：为增函数，又，，由函数零点定理可得：有唯一解，设，易知：为增函数，由，，由函数零点定理可得：有唯一零点，又为偶函数，则有两个解，因为，，当且仅当时，即有唯一解，综合得：有唯一解的是，故选：B．【点睛】本题考查了方程与函数的转化及函数的增减性、奇偶性，函数零点存在性定理，属中档题．10．设函数的定义域为R，且，，若对于任意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，即可求解，令，，即可求出，令，，可得结论，令，，.【详解】由题意，令，可得，，，故A正确，令，，可得，，故B正确令，，可得，，；，，故C正确，令，，可得，，故D错误，故选：D．【点睛】本题考查抽象函数问题，考查了函数的奇偶性、对称性、单调性，同时也考查了学生解决探索性问题的能力，属于中档题.二、填空题11．已知平面向量，，若，则实数______．【答案】【解析】利用向量平行的性质直接求解．【详解】平面向量，，，，解得实数．故答案为：．【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知，则______；______．【答案】【解析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角公式求得的值．【详解】已知，则，，故答案为：；．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．13．已知函数的部分图象如图所示，则______；______．【答案】2【解析】由函数图象的顶点求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值．【详解】有函数的图象顶点坐标可得，再根据，求得．再根据五点法作图可得，可得：，故答案为：2，．【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数图象的顶点求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．14．设函数，则______．【答案】【解析】求出，，，，，，，得到是以6为周期的周期函数，由此能求出．【详解】函数，，，，，，，，是以6为周期的周期函数，，．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．设集合3，6，9，12，集合N满足：有两个元素；若，则且请写出两个满足条件的集合N______．【答案】，【解析】由，得，再结合已知条件可得答案．【详解】由，得．结合已知条件可得：两个满足条件的集合N为，．故答案为：，．【点睛】本题考查了元素与集合关系的判定，是基础题．16．已知函数．若在上是单调函数，则______；若对任意实数k，方程都有解，则a的取值范围是______．【答案】0【解析】作出函数的图象，由单调性的定义，结合图象可得a的值；由题意可得的值域为R，由，解得或，讨论，时，时，函数的图象和值域是否为R，即可得到所求范围．【详解】作出函数的图象，在上是单调函数，可得，而的对称轴为，可得在R上递增，即有；对任意实数k，方程都有解，即恒有解，即直线和的图象恒有交点，可得的值域为R，由时，时，；时，递增，且，不成立；由，解得或，当时，由图象可得的值域为R，当时，由图象可得的值域不为R，综合可得a的范围是故答案为：0，【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的单调性和值域，考查转化思想和数形结合思想方法，属于中档题．三、解答题17．设全集是实数集R，集合，．Ⅰ当时，分别求与；Ⅱ若，求实数a的取值范围；Ⅲ若，求实数a的最大值．【答案】(1)，；(2) (3)【解析】Ⅰ当时，确定集合B，由交、并的定义可得结果；Ⅱ由得；Ⅲ由得，得，可得实数a的最大值．【详解】Ⅰ当时，，，；Ⅱ，，实数a的取值范围为；Ⅲ，，又，，实数a的最大值为．【点睛】本题考查的知识点是集合的基本运算，包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，属基础题．18．已知函数．Ⅰ求，的值；Ⅱ求的最小正周期及对称轴方程；Ⅲ当时，求的单调递增区间．【答案】(1)．．(2) 最小正周期，函数的对称轴方程为：．(3) 函数的单调递增区间为：和【解析】Ⅰ直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．Ⅱ利用Ⅰ的函数的关系式利用整体思想求出函数的最小正周期和函数的对称轴方程．Ⅲ利用整体思想求出函数的单调区间．【详解】Ⅰ函数．，，则：．．Ⅱ由于：，所以：函数的最小正周期，令，解得：，所以函数的对称轴方程为：．Ⅲ令，解得，由于，所以：当或1时，函数的单调递增区间为：和【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19．已知函数，．Ⅰ当时，求的最大值；Ⅱ若函数为偶函数，求m的值；Ⅲ设函数，若对任意，总有，使得，求m的取值范围．【答案】（1）2（2）-2（3）【解析】Ⅰ代入m的值，求出函数的最大值即可；Ⅱ根据偶函数图象关于y轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得m的值；Ⅲ求解的值域M和的值域N，可得，即可求解实数m的取值范围．【详解】Ⅰ时，，故的最大值是2；Ⅱ函数，为偶函数，可得，可得即实数m的值为；（Ⅲ)，，那么的值域．当时，总有，使得，转化为函数的值域是的值域的子集；即：当时，函数，其对称轴，当时，即，可得；；此时无解．当时，即可得；或m；可得：当时，即，可得；；此时无解．综上可得实数m的取值范围为．【点睛】本题主要考查三角函数的化简，图象即性质的应用，二次函数的最值问题．20．如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．Ⅰ已知函数，其中且，，．当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；证明：当，时，函数不存在等域区间；Ⅱ判断函数是否存在等域区间？若存在，写出该函数的一个等域区间；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；见证明；(2)见解析【解析】Ⅰ当时，若函数是上的等域函数，根据函数的单调性，建立方程关系，进行求解即可；当，时，根据等域区间的定义建立方程关系，进行判断；Ⅱ结合函数的单调性，建立方程关系进行判断即可．【详解】Ⅰ已知函数，其中且，，．当时，若函数是上的等域函数，当时，为增函数，则，得，此时当时，为减函数，则，得，不满足条件．即；证明：当，时，，即，则为减函数，假设函数存在等域区间，则，两式作差得，即，，，，，，则，等式不成立，即函数不存在等域区间；Ⅱ函数不存在等域区间，证明假设函数存在等域区间，则，即，两式作差得，即，即函数过，的割线斜率等于4，为减函数，任意两点的割线斜率为负数，故不成立，即不存在等域区间．【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合等域区间的定义建立方程组关系，结合函数单调性的性质是解决本题的关键．。

北京市朝阳区2018-2019学年高一上期末数学试卷含答案解析

2018-2019学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc23．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？5．给定函数①，②，③y=|x2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①④B．②④C．②③D．①③6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）15．若函数的图象关于y轴对称，则a=．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．2018-2019学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，【考点】集合的相等．【分析】根据两个集合相等，元素相同，排除A；根据两个集合相等，元素相同，排除B先解集合M，然后判断元素是否相同，排除C先化简集合N，然后根据集合元素的无序性，选择D【解答】解：A：M={π}，N={3.14159}，因为π≠3.14159，故元素不同，集合也不同，故排除B：M={2，3}，N={（2，3）}，因为M的元素为2和3，而N的元素为一个点（2，3），故元素不同，集合不同，故排除C：M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1}，由M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}得，M={0，1}，故两个集合不同，故排除D：∵∴=，根据集合元素的无序性可以判断M=N，故选择D故答案为D【点评】本题考查两个集合相等的条件，涉及到元素相同以及集合元素的三个性质：无序性，互异性，确定性，为基础题2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc2【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得A、B、C都不正确，对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．【解答】解：∵a＞b，故当c=0时，ac=bc=0，故A不成立．当b=0 时，显然B、C不成立．对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．3．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点】二分法求方程的近似解．【专题】应用题．【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故应选C【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．给定函数①，②，③y=|x 2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据增函数、减函数的定义，对数函数的单调性，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性即可判断每个函数在（0，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：①y=，x 增大时，增大，即y 增大；∴该函数在（0，1）上单调递增；②，x 增大时，x+1增大，减小；∴该函数在（0，1）上单调递减；③；∴x ∈（0，1）时，y=﹣x 2+2x ，对称轴为x=1；∴该函数在（0，1）上单调递增；④，∴指数函数在（0，1）上单调递减；∴在区间（0，1）上单调递减的函数序号是②④．故选：B ．【点评】考查增函数、减函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，对数函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性．6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵，∴b ＞c ＞a ．故选A ．【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．7．函数的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y 轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x ＞0时，其图象是指数函数y=a x 在y 轴右侧的部分，因为a ＞1，所以是增函数的形状，当x ＜0时，其图象是函数y=﹣a x 在y 轴左侧的部分，因为a ＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C 符合题意故选C ．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据茎叶图，计算甲、乙的平均数，再根据数据的分布情况与方差的概念，比较可得答案．【解答】解：根据茎叶图有：①甲地树苗高度的平均数为=28cm，乙地树苗高度的平均数为=35cm，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；②甲地树苗高度分布在19～41之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右，乙地树苗高度分布在10～47之间，不是明显的单峰分布，相对分散些；∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些；故选：B．【点评】本题考查了利用茎叶图估计平均数与方差的应用问题，关键是正确读出茎叶图，并分析数据，是基础题．9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项，故选：C．【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可知x＜1时，g（x）＜0成立，进而得到a（x+a）（x﹣2a+1）＜0对x≥1均成立，得到a满足的条件，求解不等式组可得答案．【解答】解：由g（x）=2x﹣2＜0，得x＜1，故对x≥1时，g（x）＜0不成立，从而对任意x≥1，f（x）＜0恒成立，由于a（x﹣a）（x+a+3）＜0对任意x≥1恒成立，如图所示，则必满足，解得﹣4＜a＜0．则实数a的取值范围是（﹣4，0）．故选：C．【点评】本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是﹣2．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】将x=代入函数的表达式，求出函数值即可．【解答】解：f（）==﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了求函数值问题，考查分段函数以及对数函数的性质，是一道基础题．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=0.03．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故答案为：0.03，3．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】将二次函数进行配方，根据二次函数的图象和性质进行求值即可．【解答】解：∵y=4x（3﹣2x）=﹣8x2+12x=﹣8（x﹣）2+，∴当x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方得到函数的对称轴是解决二次函数的关键．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）【考点】模拟方法估计概率．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件A，∴P（A）==，=平方米，∴S不规则图形故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．15．若函数的图象关于y轴对称，则a=．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，函数f（x）的定义域关于原点对称，从而求得a 的值．【解答】解：由于函数的图象关于y轴对称，故该函数为偶函数，故函数f（x）的定义域关于原点对称，故a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查偶函数的图象特征，偶函数的定义域关于原点对称，属于基础题．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是①②③④．【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．【专题】函数思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：对于①，若x是有理数，则f（x）=1，则f（1）=1，若x是无理数，则f（x）=0，则f（0）=1，即对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；故①正确，对于②，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是偶函数，故②正确；对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；对于④，取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查命题的真假判断，给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（Ⅰ）先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义即可求出；（Ⅱ）根据交集的定义即可求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由的定义域得A={x|﹣1＜x≤5}．当m=3时，B={x|﹣1＜x＜3}，则∁R B={x|x≤﹣1或x≥3}．所以A∩∁R B={x|3≤x≤5}．（Ⅱ）因为A={x|﹣1＜x≤5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，所以有﹣42+2×4+m=0．解得m=8．此时B={x|﹣2＜x＜4}，符合题意．所以m=8．【点评】本题考查了函数的定义域的求法和集合的基本运算，属于基础题．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个某市年月日﹣月日（天）对空气质量指数进行检测，获得数据后整理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分布的意义和作用．【专题】图表型；概率与统计．【分析】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率；（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．【解答】解：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为．…（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．则基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个．其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9个，∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为．【点评】本题考查条形图，考查学生的阅读能力，考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0．（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0，所以．又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．所以．综上，（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立．方法一令3t2﹣2t﹣k=0，则△=4+12k＜0．由△＜0，解得．方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）=3t2﹣2t，t∈R则∴故实数k的取值范围为．【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．【考点】函数的值．【专题】证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值．（Ⅱ）当x∈（1，3]时，，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）当x∈（k n，k n+1]时，，由此得到，当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n），由此能求出f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，∴．∵函数f（x）为二阶伸缩函数，∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．∴．（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．∵x∈（1，3]时，．∴．令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．∴函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．∴当x∈（k n，k n+1]时，．∵，所以．∴当x ∈（k n ，k n+1]时，f （x ）∈[0，k n ）．当x ∈（0，1]时，即0＜x ≤1，则∃k （k ≥2，k ∈N *）使，∴1＜kx ≤k ，即kx ∈（1，k ]，∴f （kx ）∈[0，1）．又，∴，即．∵k ≥2，∴f （x ）在（0，k n+1]（n ∈N *）上的取值范围是[0，k n ）．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．2019年3月12日。

2017-2018学年北京市朝阳区高一(上)期末数学试卷含参考答案

2017-2018学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|x＞1}，B={x|0＜x＜4}，则（）A．A∩B={2，3}B．A∪B=R C．A∪B={1，2，3，4} D．A∩B=∅2．（5分）已知平面向量=（m，4），=（1，﹣2），且∥，则m=（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．83．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．＞0 B．cosx﹣cosy＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lgx+lgy＞0 4．（5分）函数f（x）=3x+3x﹣8的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，）C．（，3）D．（3，4）5．（5分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，且f（3）=0，当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图所示，则不等式e f（x）＜1的解集是（）A．（0，3） B．[﹣5，﹣3]∪（0，3）C．[﹣5，﹣3）∪（0，3） D．（﹣3，0）∪（3，5]6．（5分）在△ABC中，若||＜||，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形7．（5分）将函数y=sin2x图象上的点P（t，1）向右平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin（2x﹣）的图象上，则（）A．t=+kπ，k∈Z，s的最小值为B．t=+kπ，k∈Z，s的最小值为C．t=+kπ，k∈Z，s的最小值为D．t=+kπ，k∈Z，s的最小值为8．（5分）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x），满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=sinωx+1（ω≠0）与y=f（x）图象的交点为（x i，y i），i=1，2，3…，m（m∈N*），将每一个交点的横、纵坐标之和记为t i，i=1，2，3，…，m（m∈N*），则t1+t2+t3+…+t m=（）A．m B．C．2m D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知sinα=，α∈（，π），则cosα=，tanα=．10．（5分）已知函数f（x）=则f（﹣1）=；若f（x）=，则x=．11．（5分）已知平面向量，的夹角为60°，=（1，），||=1，则=；||=．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若角α的终边经过点（3，4），则tan（α﹣β）=．13．（5分）已知函数f（x）=（m∈R）（1）若m=﹣1，则函数f（x）的零点是；（2）若存在实数k，使函数g（x）=f（x）﹣k有两个不同的零点，则m的取值范围是．14．（5分）对任意两个非零的平面向量，，定义一种运算“*”为：*=．若平面向量，的夹角θ∈（0，），且*和*的值均为集合{t|t=，k∈N*}中的元素，则*+*=．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（12分）函数f（x）=的定义域为A，关于x的不等式x2﹣（2a+3）x+a2+3a≤0的解集为B．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若A∩B=A，试求实数a的取值范围．16．（13分）已知函数f（x）=2sinx•cosx﹣cos2x+sin2x，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．（12分）已知二次函数f（x）的图象经过A（﹣1，4），B（﹣1，0），C（1，0），D（3，0）四个点中的三个．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：存在常数m，使得当实数x1，x2满足x1+x2=m时，总有f（x1）=f （x2）．18．（13分）函数f（x）的定义域为D，如果存在实数a，b使得f（a﹣x）+f（a+x）=b对任意满足a﹣x∈D且a+x∈D的x恒成立，则称f（x）为广义奇函数．（Ⅰ）设函数f（x）=﹣1，试判断f（x）是否为广义奇函数，并说明理由；（Ⅱ）设函数f（x）=，其中常数t≠0，证明f（x）是广义奇函数，并写出+++…+的值；（Ⅲ）若f（x）是定义在R上的广义奇函数，且函数f（x）的图象关于直线x=m （m为常数）对称，试判断f（x）是否为周期函数？若是，求出f（x）的一个周期，若不是，请说明理由．2017-2018学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|x＞1}，B={x|0＜x＜4}，则（）A．A∩B={2，3}B．A∪B=R C．A∪B={1，2，3，4} D．A∩B=∅【解答】解：集合A={x∈Z|x＞1}，B={x|0＜x＜4}，A∩B={2，3}，A∪B={x|0＜x＜4或x≥4，x∈Z}，故选：A．2．（5分）已知平面向量=（m，4），=（1，﹣2），且∥，则m=（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8【解答】解：∵∥，﹣2m﹣4=0，则m=﹣2．故选：B．3．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．＞0 B．cosx﹣cosy＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lgx+lgy＞0【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则＜，cosx与cosy的大小关系不确定，（）x＜（）y，即（）x﹣（）y＜0，lgx+lgy与0的大小关系不确定．故选：C．4．（5分）函数f（x）=3x+3x﹣8的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，）C．（，3）D．（3，4）【解答】解：∵函数f（x）=3x+3x﹣8在R上为连续增函数，又由f（1）=3+3﹣8＜0，f（）=+﹣8=＞0，函数f（x）=3x+3x﹣8的零点所在的区间为（1，），故选：B．5．（5分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，且f（3）=0，当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图所示，则不等式e f（x）＜1的解集是（）A．（0，3） B．[﹣5，﹣3]∪（0，3）C．[﹣5，﹣3）∪（0，3） D．（﹣3，0）∪（3，5]【解答】解：不等式e f（x）＜1等价于f（x）＜0，由图可知当x∈（0，3）时有f（x）＜0，当x∈（3，5]时有f（x）＞0，又f（x）是定义域为[﹣5，5]的奇函数，所以当x∈[﹣5，﹣3）时有f（x）＜0，当x∈（﹣3，0）时有f（x）＞0，所以，f（x）＜0的解集是[﹣5，﹣3）∪（0，3），从而e f（x）＜1的解集是[﹣5，﹣3）∪（0，3），故选：C．6．（5分）在△ABC中，若||＜||，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵||＜||，∴||2＜||2，∴2+2•+2＜2﹣2•+2，∴4•＜0，即•＜0，∴∠A∈（，π），即△ABC是钝角三角形．故选：D．7．（5分）将函数y=sin2x图象上的点P（t，1）向右平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin（2x﹣）的图象上，则（）A．t=+kπ，k∈Z，s的最小值为B．t=+kπ，k∈Z，s的最小值为C．t=+kπ，k∈Z，s的最小值为D．t=+kπ，k∈Z，s的最小值为【解答】解：∵函数y=sin2x图象上的点P（t，1），∴sin2t=1，∴2t=2kπ+，即t=kπ+，k∈Z ①，把函数向右平移s（s＞0）个单位长度得到y=sin2（x﹣s），点P（t，1）变为点P′（t+s，1），若P′位于函数y=sin（2x﹣）的图象上，则sin（2t+2s﹣）=1，∴2t+2s﹣=2k′π+，结合①可得2s最小为，即s得最小值为，故选：B．8．（5分）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x），满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=sinωx+1（ω≠0）与y=f（x）图象的交点为（x i，y i），i=1，2，3…，m（m∈N*），将每一个交点的横、纵坐标之和记为t i，i=1，2，3，…，m（m∈N*），则t1+t2+t3+…+t m=（）A．m B．C．2m D．【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=sinωx+1的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，∴t1+t2+t3+…+t m=（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（x m+y m）+（﹣x m+2﹣y m）]=m．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知sinα=，α∈（，π），则cosα=﹣，tanα=﹣．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，tanα===﹣．故答案为：﹣，﹣．10．（5分）已知函数f（x）=则f（﹣1）=2；若f（x）=，则x=．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=2，当x≤0时，f（x）≥1≠，当x＞0时，由f（x）=log2x=得：x=，故答案为：2，．11．（5分）已知平面向量，的夹角为60°，=（1，），||=1，则=1；||=2．【解答】解：平面向量，的夹角为60°，=（1，），||=1，则===1，||===2；故答案为：1；2．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若角α的终边经过点（3，4），则tan（α﹣β）=﹣．【解答】解：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，角α的终边经过点（3，4），可得：角β的终边经过点（﹣3，4），∴tanα=，tanβ=﹣，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案为：﹣．13．（5分）已知函数f（x）=（m∈R）（1）若m=﹣1，则函数f（x）的零点是0；（2）若存在实数k，使函数g（x）=f（x）﹣k有两个不同的零点，则m的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【解答】解：（1）当m=﹣1时，函数f（x）=，可知函数的零点为0；（2）分别画出y=f（x）与y=k的图象，如图所示，当m≥0时，y=x3在（﹣∞，m]为增函数，最大值为m3，y=x2在（m，+∞）为增函数，最小值为m2，若存在实数k使得函数g（x）有两个零点，则m3＞m2，解得m＞1，当m＜0时，y=x2在（m，0）上为减函数，在（0，+∞）为增函数，故若存在实数k使得函数g（x）有两个零点，综上所述m的取值范围为（﹣∞，0）∪（1，+∞），故答案为：（1）：0；（2）：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．14．（5分）对任意两个非零的平面向量，，定义一种运算“*”为：*=．若平面向量，的夹角θ∈（0，），且*和*的值均为集合{t|t=，k∈N*}中的元素，则*+*=2．【解答】解：由题意，可得*====，同理可得：⊗==，其中m、k都是正整数，将化简的两式相乘，可得cos2θ=．由于夹角θ∈（0，），可得cosθ∈（，1），则cos2θ∈（，1），则mk=3，即m，k为正整数，可得m=1且k=3，或m=3，k=1，则*+*=2，故答案为：2．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（12分）函数f（x）=的定义域为A，关于x的不等式x2﹣（2a+3）x+a2+3a≤0的解集为B．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若A∩B=A，试求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域满足：，则集合A=（1，2）…（4分）（Ⅱ）解不等式x2﹣（2a+3）x+a2+3a≤0，可得（x﹣a）（x﹣a﹣3）≤0，解得B=[a，a+3]，若A∩B=A，则A⊆B，所以，解得：﹣1≤a≤1，则a的取值范围是[﹣1，1]．…（12分）16．（13分）已知函数f（x）=2sinx•cosx﹣cos2x+sin2x，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinx•cosx﹣cos2x+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），所以函数f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z；所以函数f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；…（7分）（Ⅱ）因为0≤x≤，所以﹣≤2x﹣≤，所以当2x﹣=，即x=时，函数f（x）有最大值f（）=；当2x﹣=﹣，即x=0时，函数f（x）有最小值f（0）=﹣1．…（13分）17．（12分）已知二次函数f（x）的图象经过A（﹣1，4），B（﹣1，0），C（1，0），D（3，0）四个点中的三个．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：存在常数m，使得当实数x1，x2满足x1+x2=m时，总有f（x1）=f （x2）．【解答】（Ⅰ）解：因为A，B横坐标相同，所以函数图象不能同时经过A，B两点；因为B，C，D三点纵坐标相同，所以二次函数图象不能同时经过B，C，D三点，所以f（x）的图象经过A，C，D三点．∴f（x）的图象对称轴为直线x=2，设f（x）=a（x﹣2）2+c（a≠0），将A（﹣1，4）和C（1，0）两点代入方程可得，解得a=，c=﹣．∴f（x）的解析式为：f（x）=（x﹣2）2﹣．f（x）的最小值为﹣．（Ⅱ）证明：∵f（x）的图象关于直线x=2对称，∴当x1+x2=4时，f（x1）=f（x2），∴存在常数m=4，使得当实数x1，x2满足x1+x2=4时，总有f（x1）=f（x2）．18．（13分）函数f（x）的定义域为D，如果存在实数a，b使得f（a﹣x）+f（a+x）=b对任意满足a﹣x∈D且a+x∈D的x恒成立，则称f（x）为广义奇函数．（Ⅰ）设函数f（x）=﹣1，试判断f（x）是否为广义奇函数，并说明理由；（Ⅱ）设函数f（x）=，其中常数t≠0，证明f（x）是广义奇函数，并写出+++…+的值；（Ⅲ）若f（x）是定义在R上的广义奇函数，且函数f（x）的图象关于直线x=m （m为常数）对称，试判断f（x）是否为周期函数？若是，求出f（x）的一个周期，若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣1是广义奇函数．理由如下：f（x）的定义域为{x|x≠0}，只需证明存在实数a，b使得f（a﹣x）+f（a+x）=b对任意x≠±a恒成立，由f（a﹣x）+f（a+x）=，得+﹣2=b，即b+2=，所以（b+2）（a2﹣x2）=2a对任意x≠±a恒成立，即b=﹣2，a=0，从而存在a=0，b=﹣2，使f（a﹣x）+f（a+x）=b对任意x≠±a恒成立，所以f（x）是广义奇函数．（Ⅱ）记f（x）的定义域为D，只需证明存在实数a，b使得当a﹣x∈D且a+x ∈D时，f（a﹣x）+f（a+x）=b恒成立，即+=b恒成立，所以2a+x+t+2a﹣x+t=b（2a+x+t）（2a﹣x+t），化简得，（1﹣bt）（2a+x+2a﹣x）=b（22a+t2）﹣2t，所以1﹣bt=0，b（22a+t2）﹣2t=0，因为t≠0，可得b=，a=log2|t|，即存在实数a，b满足条件，从而f（x）是广义奇函数，由以上证明可知，h（x）=是广义奇函数，对a=log2|﹣|=，b=﹣，有h（+x）+h（﹣x）=﹣，（x≠0），即h（x）+h（1﹣x）=﹣，（x≠），故+++…+=h（）+h（）+…+h（）=[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+…+[h（）+h（）] =1008×（﹣）=﹣504；（Ⅲ）因为f（x）是定义在R上的广义奇函数，且函数f（x）的图象关于直线x=m对称，所以有f（a﹣x）+f（a+x）=b，f（m+x）=f（m﹣x）恒成立，由f（m+x）=f（m﹣x），得f（x）=f（2m﹣x），由f（a﹣x）+f（a+x）=b，得f（x）+f（2a﹣x）=b，所以f（2m﹣x）+f（2a﹣x）=b①恒成立，把x用2m﹣2a+x代换得f（2m﹣（2m﹣2a+x））+f（2a﹣（2m﹣2a+x））=b，即f（2a﹣x）+f（4a﹣2m﹣x）=b②，由①②得：f（2m﹣x）=f（4a﹣2m﹣x）=f（4a﹣4m+（2m﹣x）），当a≠m时，f（x）为周期函数，4a﹣4m是函数f（x）的一个周期，当a=m时，由①得f（2a﹣x）=，从而f（x）=对x∈R恒成立．函数f（x）为常函数，也为周期函数，任何非零实数均为函数f（x）的周期．。

北京市朝阳区2018届高三第一学期期末质量检测数学(理)试卷及答案

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C.{}|0x x > D.{}|2x x >2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4C.10D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“2sin 2α=”是“cos2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.423D.42 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >-8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上， CE DE⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈o ，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C ，则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.YABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a= ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受A到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-o . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同m.一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，bb caca cbC BA P 21B C且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ；（Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FT MN P ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ；（Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+ija a的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ .所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+，则()f B的取值范围是⎡⎢⎣⎦. ……………… 13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分（Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=o ，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A D AC D =I ，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =I ，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分（Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥，又因为1A D ⊥平面ABC ，所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．ACB B 1C 1A 1DE 1又因为11A B AC ⊥，1BC A B B =I , 所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥，所以四边形11AAC C 为菱形．由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B，(1A ．设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =u u u r ，()2,2,0AB =u u u r ，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-u u u r ，()2,0,0CB =u u u r ，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rm m，即1110,20. y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角，所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分（Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<,所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN P . …………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i ja a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（：当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j jj q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分（Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<.+i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数.即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。

2018年高三最新北京市朝阳区2018学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷(理) 精品

朝阳区18-18学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科）2018．1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数x y 2=的定义域是}3,2,1{P ，则该函数的值域是（）A ．}3,1{B ．{}8,2C ．{}8,4,2D ．[]8,2 2．的是为锐角中"0sin """,>∆A A C AB（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知)(log ,,1,0x y a y a a a x -==≠>函数的图象大致是下面的（）4．已知向量a ，b ，c 满足a 与b 的方向相反，2)(,5,2c b a c a a b ⋅+===若，则a与c 夹角的大小是（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．与直线044232:22=+--++=y x y x x y l 平行且与圆相切的直线方程是（） A ．05=±-y x B ．052=±-y xC ．052=±+y xD ．052=±-y x6．从10张学生的绘画中选出6张放在6个不同的展位上展出，如果甲、乙两学生的绘画不能放在第1号展位，那么不同的展出方法共有（）A ．种5918A CB ．种5919C CC ．种48210A CD ．种5818C C7．已知时且当时当是偶函数]1,3[,4)(,0,)(--∈+=>=x xx x f x x f y ，m x f n ≤≤)(恒成立，则n m -的最小值是（）A ．31B ．32 C ．1D ．34 8．已知双曲线)0,(12222>=-b a by a x 左、右焦点分别为F 1、F 2，左、右顶点分别为A 1、A 1，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两个圆的位置关系是（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年北京市朝阳区高三第一学期期末数学(理)试题及答案

1 北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x >2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是A.(00)，B.(20)-，C.(01)-，D. (02)，4.“sin α=是“cos 2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B. 43D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是正视图侧视图俯视图温馨推荐您可前往百度文库小程序享受更优阅读体验不去了立即体验A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =?-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中，AD =.点E 在AB 边上，CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ() 0180∈，时，① 存在某个位置，使1CE D A ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF xAB yAE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位A同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α- . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围.P 21BCbbcdac cbDC BA为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ；（Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D。

精品解析：北京市朝阳区2018届高三第一学期期末文科数学试题(解析版)

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学学科试卷（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}0B x lnx =，则A B 是A. {}|0x x >B. {}|2x x >C. {}|12x x <<D. {}|02x x <<【答案】C 【解析】(){}{}{}{}|20|02,ln 01,A x x x x x B x x x x =-<=<<=={} |12A B x x ⋂=<<选C2.已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A. 3B.C. 4D. 10【答案】B 【解析】i 3,3i.3i z z z +=∴=-∴=-=选B3.某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为( )A. 16B. 16.2C. 16.6D. 16.8【答案】D 【解析】估计该商品日平均需求量为140.1150.2160.3180.2200.216.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 选D4.“sin 2α=”是“cos2=0α”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由sin 24k πααπ=⇒=+或2,,4k k Z παπ=+∈ 此时cos2=0α ；但当cos2=02,224k k k Z πππααπα⇒=+⇒=+∈ 不一定得到sin 2α=，故“sin 2α=”是“cos2=0α”的充分而不必要条件选A5.下列函数中，是奇函数且在(0,1)内是减函数的是①3()f x x =- ②1()2xf x =（） ③()sin f x x =- ④()xx f x e=A. ①③B. ①④C. ②③D. ③④【答案】A 【解析】①()3f x x =-是奇函数且在()0,1内是减函数②()12xf x =（）为偶函数；③()sin f x x =-是奇函数且在()0,1内是减函数 ④()xx f x e=是奇函数且在()0,1内是增函数故选A6.某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A.43B. 4C.3D.【答案】B 【解析】由三视图可知，该四棱锥直观图如图（图中正四棱柱的底面边长为2，高为3，P 为棱的三等分点），由图可知四棱锥底面为边长为2和3的矩形，高为2的四棱锥，体积为123243V =⨯⨯⨯=，故选A. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及棱锥的体积公式，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P 满足PA PB=当P 、A 、B 不共线时，三角形PAB 面积的最大值是（）A.B.C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】由题，设点A(-1,0), B(1,0)，根据题意，求得圆的方程，再求得P 点的位置，即可求得面积的最大值. 【详解】以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：A(-1,0), B(1,0) 设P(x, y),||||PA PB ==，两边平方并整理得：2222610(3)8x y x x y +-+=⇒-+= ，当点P 到AB （x 轴）的距离最大时，三角形PAB 的面积最大，此时面积为122⨯⨯= 故选A【点睛】本题考查了曲线的轨迹方程，熟悉圆的定义和求轨迹方程是解题的关键，属于中档题型. 8.如图，PAD ∆为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ．若点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 及其内部的轨迹为A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 一段圆弧D. 一条线段【答案】D 【解析】【详解】在空间中，存在过线段PC 中点且垂直线段PC 的平面，平面上点到,P C 两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD 有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点M 在正方形ABCD 及其内部的轨迹为一条线段选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为___________.【答案】48 【解析】第1次运行，1,2,122,4i S S i ===⨯=<成立第2次运行，2,2,224,4i S S i ===⨯=<成立第3次运行，3,4,3412,4i S S i ===⨯=<成立第3次运行，4,12,41248,4i S S i ===⨯=<不成立，故输出S 的值为4810.已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=，则双曲线C 的方程是________．【答案】22122x y -=【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为20（，），所以双曲线C 的右焦点坐标为20（，），因为双曲线的一条渐近线方程为0x y +=，所以a b = ，所以224a a += ，所以22a = ，所以双曲线方程为22122x y -=．11.已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=，则AB BC ⋅=________．【答案】2 【解析】由题意()cos 1801202AB BC AB BC ⋅=⋅-=12.若变量x ，y 满足约束条件40,540,540,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值为________．【答案】8 【解析】画出可行域如图阴影部分所示，根据题意，22x y +的最小值为可行域内的点到原点距离平方的最小值，由图可知即原点到直线40x y +-=的距离的平方，即228d ==即答案为813.高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；（2）左图阴影区域面积用a b c d ,,,表示为__________；（3）右图中阴影区域的面积为BAD ∠；（4）则柯西不等式用字母a b c d ,,,可以表示为()22222()()ac bd a b c d +≤++．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：_______________．【答案】 (1). ac bd + (2). （1）两图中的阴影部分面积相等；（2）sin 1BAD ∠≤. 【解析】（2）左图阴影区域面积用,,,a b c d 表示为两个矩形面积之和ac bd +；因为两图中的阴影部分面积相等即ac bd BAD +=∠ 两边同时平方得()()()222222sin ,sin 1ac bd a bcd BAD BAD +=++∠∠≤()()()22222ac bd a b c d ∴+≤++14.如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 ______ m ；旗杆BA 的高为 ______ m.（用含有l 和α的式子表示）【答案】 (1). sin l α (2).cos 2sin l αα【解析】设BC x m =（）在1Rt BCP 中，1B P C α∠=，在2Rt P BC中，22P α∠=，1122122BPC PBP P PBP α∠=∠+∠∴∠=，，即12P BP 为等腰三角形，1212PP PP l ==sin BC x l α∴==在1Rt ACP 中，()21cos tan 90cos sin AC AC l AC CP l αααα==-∴= 则()222cos sin cos cos 2sin sin sin sin l l l AB AC BC l αααααααα-=-=-==【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =+-．（Ⅰ）求N 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥．【答案】（Ⅰ）π（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即可求出()f x 的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()f x 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦讨论() f x 的值域，可知其最小值为0，即当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥．试题解析：（Ⅰ）因为()22sin cos sin2f x x x x =++ cos2x -1sin2cos2214x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭.所以函数(),f x 的最小正周期为π. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()f x214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．当x ∈ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，sin 242x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2114x π⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭. 当2,44x ππ-=-即0x =时，()f x 取得最小值0．所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥.16.已知由实数构成的等比数列{}n a 满足12a =，13542a a a ++=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求2462...n a a a a ++++．【答案】（Ⅰ）2n n a =或1(1)2n nn a -=-⋅（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由题可得()242142q q++=.由此解得2q =±，即可得到数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知2nn a =或()112n n n a -=-⋅，分情况讨论即可得到2462...n a a a a ++++试题解析：（Ⅰ）由1135=242a a a a ⎧⎨++=⎩可得()242142q q ++=.由数列{}n a 各项为实数，解得24q =，2q =±.所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =或()112n n n a -=-⋅.（Ⅱ）当2nn a =时，()()24624144...=41143n nna a a a -++++=⋅--；当()112n nn a -=-⋅时，()()2462(4)144...=14143nnn a a a a -⋅-++++=⋅--.17.2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．图1选手乙的接发球技术统计表表1（Ⅰ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）正手搓球和反手拧球（Ⅱ）35P =（Ⅲ）正手技术更稳定.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术. （Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B ,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，由古典概型概率公式可得概率（Ⅲ）正手技术更稳定. 试题解析：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B ,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是: AB , Aa ,Ab , Ac , Ad , Ba, Bb ，Bc, Bd, ab ，ac, ad, bc, bd,cd. 其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是: AB ,Aa ，Ab ，Ac, Ad, Ba, Bb ，Bc, Bd.则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率93155P ==. （Ⅲ）正手技术更稳定. 18.如图，在三棱柱中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知是的中点，12AB AA ==．（Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）11A AB D V -= 【解析】试题分析：（Ⅰ）由AD BC ⊥，1BB AD ⊥及1B B BC B ⋂=,可证AD ⊥平面11BB C C ．即可证明平面1AB D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）证明1//DE A C ．又因为DE ⊂平面1AB D ，1AC ⊄平面1AB D ，所以1A C ∥平面1AB D （Ⅲ）由1111113A AB DC ABD B ACD ACD V V V S BB ---∆===⨯⨯即可求得三棱锥11A AB D -的体积．试题解析：（Ⅰ）证明：由已知ABC ∆为正三角形，且D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥．因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，11//AA BB ，所以1BB ⊥底面ABC ．又因为AD ⊂底面ABC ，所以1BB AD ⊥. 而1B B BC B ⋂=, 所以AD ⊥平面11BB C C ．因为AD ⊂平面1AB D ，所以平面1AB D ⊥平面11BB C C ．（Ⅱ）证明：连接1A B ，设11A B AB E ⋂=，连接DE ．由已知得，四边形11A ABB 为正方形，则E 为1A B 的中点. 因为D 是BC 的中点，所以1//DE A C ．又因为DE ⊂平面1AB D ，1AC ⊄平面1AB D ，所以1A C ∥平面1AB D（Ⅲ）由（Ⅱ）可知1A C ∥平面1AB D ，所以1A 与C 到平面1AB D 的距离相等，所以111A AB D C AB D V V --=．由题设及12AB AA ==，得12BB =，且2ACD S ∆=．所以11111233C AB D B ACD ACD V V S BB --∆==⨯⨯==所以三棱锥11A AB D -的体积为11A AB D V -=．【点睛】本题考查了正三角形与平行四边形的性质、线面平行、面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，其中求体积时等价转换和等体积法的应用是解题的关键．19.已知椭圆2222:1(0)5x y C b b b+=>的一个焦点坐标为(2,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(3,0)E ，过点(1,0)的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于,M N 两点，直线ME 与直线5x =相交于点F ，试证明：直线FN 与x 轴平行．【答案】（Ⅰ）2215x y +=（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可知222,5.c a b =⎧⎨=⎩所以225,1a b ==，即可得到求椭圆C 的方程；（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，易证直线FN 与x 轴平行②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠ ()()1122,,,M x y N x y . 因为点()3,0E ，所以直线ME 的方程为()1133y y x x =--. 令5x =，所以()111125333F y y y x x =-=--. 由()221,55y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 得()()22221510510k x k x k +-+-=.显然0∆>恒成立.所以()221212225110,.5151k k x x x x k k -+==++ 这时可证20F y y -=，即2F y y =. 所以直线//FN x 轴. 试题解析：（Ⅰ）由题意可知222,5.c a b =⎧⎨=⎩所以225,1a b ==.所以椭圆C 的方程为2215x y +=. （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，此时MN x ⊥轴.设()1,0D ，直线5x =与x 轴相交于点G ，易得点()3,0E 是点()1,0D 和点()5,0G 的中点，又因为MD DN =，所以FG DN =，所以直线//FN x 轴.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠ ()()1122,,,M x y N x y . 因为点()3,0E ，所以直线ME 的方程为()1133y y x x =--. 令5x =，所以()111125333F y yy x x =-=--. 由()221,55y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 得()()22221510510k x k x k +-+-=.显然0∆>恒成立. 所以()221212225110,.5151k k x x x x k k -+==++ 因为()()()()2112111221113213212333F y x y k x x k x y y y y x x x -------=-==--- ()()222212121151103551513533k k k k k k x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥-⨯+++⎢⎥⎡⎤-++⎣⎦⎣⎦==-- 22221516510513k k k k k x --++=⋅=+-，所以2F y y =.所以直线//FN x 轴.综上所述，所以直线//FN x 轴. 20.已知函数()cos f x x x a =+，a R ∈．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2k π=-（Ⅱ）见解析（Ⅲ）cos10a -≤<【解析】试题分析：（Ⅰ）求导()cos sin f x x x x -'=.根据导数的几何意义可得. 22k f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭' （Ⅱ）设()()g x f x ='，()()sin sin cos 2sin cos g x x x x x x x x =--+=--'.由()g x 的单调性及因为()010g =>，()1cos1sin10g =-<,可知有且只有一个()00,1x ∈，使()00g x =成立.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根.（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.由()f x 的单调性可知函数()f x 在0x x =处取得极大值()0f x .当()00f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：()()0010f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩.即可得到a 的取值范围试题解析：（Ⅰ）()cos sin f x x x x -'=.22k f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭'.（Ⅱ）设()()g x f x ='，()()sin sin cos 2sin cos g x x x x x x x x =--+=--'. 当()0,1x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为()010g =>，()1cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个()00,1x ∈，使()00g x =成立. 所以函数()g x 区间()0,1内有且只有一个零点，即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根.（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当()0,1x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，()()00g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在()0,1x 上， ()()00g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数. 则函数()f x 在0x x =处取得极大值()0f x .当()00f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求. 由于()1cos1f a =+， ()0f a =，显然()()10f f >.若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：()()0010f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩.即010a cos a <⎧⎨+≥⎩，解得cos10a -≤<.。

2018年北京市朝阳区第一学期期末高三年级数学(理)试题及答案

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类）2018.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C.{}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B.4103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是A.(00)，B.(20)-，C.(01)-，D. (02)，4.“sin 2α=”是“cos 2=0α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43D.6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A .2a <- B.2a ≤- C.20a -≤< D.2a >-8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上，CE DE⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈ ，时， ① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是 A . ①B. ①② C.①③D.②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线则双曲线的渐近线方程为.10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为. 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若AF xAB yAE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a =;2018S =.（用含,p q 的式子表示）13.伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.CCA证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α- . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有和的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围.l αP 21Bbbcdac a cbD C BA为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ；（Ⅱ）求证：1//BC 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FT MN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ；（Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+i j a a 的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类）2018.1一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得88k x k 3πππ-≤≤π+ . 所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+，则()f B的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦，.……………… 13分 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分（Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠= ，所以BC AC ⊥．根据题意，1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A D AC D = ，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E = ，连接DE．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//BC 平面1A BD ． ………………8分（Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥，又因为1A D ⊥平面ABC ，所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．又因为11A B AC ⊥，1BC A B B = , 所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥，所以四边形11AAC C 为菱形．由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ．设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA = ，()2,2,0AB = ，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 设1z =，则)=n ．ACBB 1C 1A 1DE再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =- ，()2,0,0CB = ，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20. y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角，所以二面角1A A B C --． …………14分 18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分（Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；在上，，即成立，函数为减函数, 则函数在处取得极大值0()f x .()sin cos F x x x x ax =++()0,1()()F x f x '=()cos f x x x a =+()0,11x ()f x 1x (0,1)x ∈()g x ()00,x 0()()0g x g x >=()0f x '>()f x 0(,1)x 0()()0g x g x <=()0f x '<()f x ()f x 0x x =当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于，显然. 若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）(0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得0()0f x =()f x ()0,10x ()f x 0x ()F x ()0,1(1)cos1f a =+，(0)f a =(1)(0)f f >()f x ()0,11x ()f x 1x cos10a -≤<02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i j a a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（：当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分（Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<.+i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数.即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。

2018 北京市朝阳区高三(上)期末数学(理)

2018 北京市朝阳区高三（上）期末数学（理） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4C.10D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“2sin 2α=”是“cos2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.423D.42 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中，3AD =.点E 在AB 边上， CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，图1BAEDC① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为 . 10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn ii S a==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.开始 i =1，S =2结束i =i +1i >4?输出S 是否S=i ⋅SEBCD AA 1图2bb dacdacda cbD C BAAP 2P 1BC测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围.为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表.表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AQI 47 123 232 291 78 103 159 132 37 67 204 日期 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 AQI 270 78 40 51 135 229 270 265 409 429 151 日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31AQI4715519164548575249329表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AQI 91 187 79 28 44 49 27 41 56 43 28 日期 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 AQI 28 49 94 62 40 46 48 55 44 74 62 日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31AQI5050464110114022115755根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.A CBB 1C 1A 1D如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ；（Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角 1A A B C --的余弦值.已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N .（Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FTMN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ；（Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+ija a的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）数学试题答案一、选择题（40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ACDAABBC二、填空题（30分）题号 910 11答案 y x =±48 12题号 121314答案 p - p q +2222sin a b c d θ⋅⋅++ ad bc = sin l αcos 2sin l αα三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +2=sin(2)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ .所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(2)14B π-≤+≤.由2()sin(2)24f B B π=+，则()f B 的取值范围是2222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分（Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为ξ 1 2 3P310 610 110所以361123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A DAC D =，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点，ACB 1C 1A 1DE因为D 是AC 的中点，所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分（Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥，又因为1A D ⊥平面ABC ，所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．又因为11A B AC ⊥，1BCA B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥，所以四边形11AAC C 为菱形．由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,3A ．设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为()10,1,3AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即30,220.y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩设1z =，则()3,3,1=-n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为()10,1,3CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即11130,20.y z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()0,3,1=m ．yxz ACBB 1C 1A 1D F故317cos ,772⋅-+〈〉===⋅⨯m n m n m n ．由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角，所以二面角1A A B C --的余弦值为77． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分（Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数.又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<,所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数()s i n c o sF x x x x a x =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N N x x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02N N y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1N N x y +-= （0N x ≠）.即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i ja a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（：当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j jj q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分（Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<.+i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数.即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。

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