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高等数学中的数列与极限
高等数学中的数列与极限引言：数列与极限是高等数学中的重要概念，它们在数学分析、微积分等学科中起着至关重要的作用。
本教案将从数列的定义开始，逐步介绍数列的性质、收敛与发散的判定方法，以及极限的概念及其性质。
通过本教案的学习，学生将能够深入理解数列与极限的概念与性质，为后续的数学学习打下坚实的基础。
一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一组数的有序集合。
数列的定义包括了数列的通项公式和数列的项数范围。
数列的性质包括有界性、单调性和有限项和等。
1.1 有界性数列的有界性是指数列的所有项都在某个范围内，即存在上界和下界。
上界是指数列中的所有项都小于等于某个数，下界是指数列中的所有项都大于等于某个数。
有界数列在数学分析中具有重要的性质和应用。
1.2 单调性数列的单调性是指数列的项随着项数的增加而单调递增或单调递减。
单调递增数列是指数列的后一项大于等于前一项，单调递减数列是指数列的后一项小于等于前一项。
单调性是数列性质中的重要概念，对于数列的收敛与发散的判定有着重要的影响。
1.3 有限项和有限项和是指数列中前n项的和，记作S(n)。
对于某些数列，当n趋向于无穷大时，有限项和也会趋向于某个数。
这个数就是数列的极限。
二、收敛与发散的判定方法数列的收敛与发散是数列理论中的重要概念，它们对于理解数列的性质和应用有着重要的作用。
本小节将介绍数列收敛与发散的判定方法。
2.1 收敛数列的定义数列收敛是指数列的项随着项数的增加逐渐趋近于某个数，这个数称为数列的极限。
数列收敛的定义可以用极限的ε-N语言来描述，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n大于等于N时，数列的项与极限的差的绝对值小于ε。
2.2 发散数列的定义数列发散是指数列的项随着项数的增加没有趋近于某个数的性质。
发散数列可以分为无穷大和无穷小两类。
2.3 收敛与发散的判定方法判定数列是否收敛或发散的方法有多种。
其中，夹逼定理、单调有界数列的性质以及数列极限的四则运算法则是常用的判定方法。
数列极限
定理3 定理
函数极限与数列极限关系(1) 函数极限与数列极限关系
对于数列 {a n }，若存在定义域包含 [1, + ∞ ) 的一个
函数 f ( x )， 成立 f (n) = an， 并且 lim f ( x) = a，则必有
x →+∞
lim a n = a．
n→ ∞
π 1 【例3】计算极限 lim tan + ． 】 n→ ∞ 4 n
x x x lim cos cos L cos n n→ ∞ 2 4 2 x x x a n = cos cos L cos n 【解】设 2 4 2 x x 1 x 由 cos n sin n = sin n − 1 得 2 2 2 2 1 x 1 x x 1 a n sin n = a n −1 sin n −1 = 2 a n − 2 sin n − 2 = L = n sin x 2 2 2 2 2 2 sin x sin x ; 当x＝0, a n = 1 → 1. → 当x≠0, a n = ＝ x x 2 n sin n 2 (2)
k
注意
(1)子列的下标 n1，n2， ，nk， 依从小到大的顺序 L L 排列 ;
显然， 数列 { a n }中却是第 nk 项，显然， nk ≥ k .
L L 例如： 例如： a 3，a7，a8， ，a79，
( 2)一般项 a nk 是子列 a nk 中的第 k 项，而 a nk 在原
{ }
定理1 若数列{a 定理 若数列 n} 收敛于a，则{an} 的任一子列 均收敛于a. 均收敛于 注意
⋅ sin ( i − 1) = n n π
π
1
∫
π
0
数列极限与数列极限的判别法
数列极限与数列极限的判别法数列极限是数学中非常重要的概念，它可以用来描述数列的趋势和收敛性质。
数列的极限是指当数列中的元素无限逼近某个常数时，该常数即为数列的极限。
在数学分析中，为了判断一个数列是否有极限，我们需要通过一些判别法来进行推导和验证。
一、数列的有界性判别法数列的有界性是判定数列极限的重要条件之一。
如果一个数列有上界和下界，那么我们可以推断出该数列必有极限。
下面我们使用数列{an} 作为示例来说明这一判别法：{an} 是一个数列，如果存在实数 M，使得对于所有的 n∈N，都有an ≤ M 成立，那么数列 {an} 就是有界的。
进一步，如果 {an} 是单调递增的有界数列，那么它一定有极限，并且极限是该数列的上确界。
二、夹逼定理夹逼定理是另一种常用的数列极限判别法。
它基于一个简单的思想：如果一个数列在两个其他数列之间夹逼住，那么它们的极限应该相同。
下面我们通过一个例子来说明夹逼定理：{an} 是一个数列，{bn} 和 {cn} 是两个数列，假设对于所有的 n∈N，都有bn ≤ an ≤ cn 成立，并且 {bn} 和 {cn} 的极限都等于 L。
那么根据夹逼定理，数列 {an} 的极限也等于 L。
三、单调有界数列的极限对于单调有界数列，它的极限可以通过单调性和有界性来判定。
单调有界数列包括单调递增数列和单调递减数列，它们分别具有上界和下界。
下面我们分别说明这两种情况：1. 单调递增数列的极限：如果数列 {an} 是一个单调递增的有界数列，则它的极限等于该数列的上确界。
2. 单调递减数列的极限：如果数列 {an} 是一个单调递减的有界数列，则它的极限等于该数列的下确界。
综上所述，数列极限与数列极限的判别法涉及到有界性、夹逼定理、单调有界数列等概念和定理。
在实际应用中，我们可以根据数列的特点和已知条件选择合适的判别法来判定数列的极限。
总结：数列极限是数学中重要的概念，通过判别法可以判定数列是否有极限。
1.2数列和函数的极限
n2 1
n2 n
n2 1
又 lim n 1, lim n 1
n n2 n
n n2 1
根据夹挤定理，原式极限为1
(5)
lim (1
n
1 22
)(1
1 32
) (1
1 n2
)
解：1
1 k2
(k 1)(k 1) k2
k 1 k 1 kk
1 2n
0.
证 0,
由1 2n
0
1 2n
2n 1 ,可得
n
log
2
(
1
)(限定0
1).
N
1
[log 2( )]
1.
n N ,
有
1 2n
0
.
lim n
1 2n
0.
三、收敛数列的性质
性质1（唯一性） 若数列 {xn} 收敛，则其极限必唯一 . 性质2（有界性） 若数列 {xn} 收敛，则 {xn} 必有界 .
x : 0 x x0 , A f (x) A .
是任意小
当 x 在 U O (x0 , ) 时, y
y f (x)的图形完全 落在以直线 y A 为
A
A
A
y f (x)
中心线, 宽为 2 的带
形区域内.
o
x0 x0 x0
16 8
4
2
1
一、数 列
自变量为正整数的函数xn f (n) , n Z , 函数值按自变量n从小到大排成一列，表示为：
数列与数列的极限与通项公式
数列与数列的极限与通项公式数列是由一系列有序的数字按照一定规律排列而成的数学概念。
在数学中，数列和数列的极限以及通项公式是非常重要的概念。
本文将详细介绍数列、数列的极限以及通项公式，并探讨它们在数学中的应用。
一、数列的概念与定义数列是按照一定规律排列的一系列数字的集合，其中每个数字称为数列的项。
数列可以用符号表示，常用的表示方法有a1、a2、a3......an 等，其中ai表示数列的第i个项。
数列的定义通常包括两个要素：起始项和通项公式。
起始项是指数列中第一个项的值，通项公式是指通过数列中前一项的值来计算下一项的数学公式。
例如，斐波那契数列是一个著名的数列，它的起始项为1和1，通项公式为an = an-1 + an-2（n ≥ 3），即每一项等于前两项之和。
二、数列的极限数列的极限是指当数列中的项随着自变量的变化趋向某个值时，数列中的项的极限值也趋向于该值。
具体来说，给定一个数列{an}，如果存在一个常数A，对于任意ε > 0，总存在正整数N，使得当n > N时，|an - A | < ε 成立，那么我们称A是数列{an}的极限。
通常用lim(n→∞)an = A表示。
数列的极限可以分为有界数列和无界数列。
如果数列的绝对值不超过一个常数M，即|an| ≤ M（n为自然数），则称该数列是有界数列。
反之，如果数列的绝对值没有上界，即对于任意正整数M，总存在n0，使得|an| > M(n > n0)，则称该数列是无界数列。
三、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列中的某一项或多项的值，来计算数列中任意项的公式或规律。
通项公式的存在使得我们可以不用逐项列举数列的项，而直接通过公式来求解。
通项公式的求解可以通过数列的递推关系来进行。
递推关系是指通过数列中前几项的值来推导下一项的关系式。
通常使用递推关系的方法可以得到数列的通项公式。
以等差数列为例，数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
数列与数列极限
数列与数列极限数列是数学中的一个重要概念，也是数学研究中的基础之一。
数列是由一系列数字按照一定的规律排列而成的序列。
数列的研究不仅有助于我们理解数学中的一些基本概念，还能应用于实际问题的解决中。
而数列极限则是数列研究中的一个重要内容，它涉及到数列的收敛性与发散性，对于数学的发展和应用都具有重要意义。
一、数列的定义与分类数列是由一系列数字按照一定的规律排列而成的序列。
数列可以用数学符号表示为：{a₁, a₂, a₃, ...}，其中 a₁, a₂, a₃, ... 表示数列的各项。
数列的项数可以是有限的，也可以是无限的。
根据数列的项数，可以将数列分为有限数列和无限数列。
有限数列是指数列的项数是有限的，例如：{1, 2, 3, 4, 5}。
无限数列是指数列的项数是无限的，例如：{1, 2, 3, 4, ...}。
无限数列又可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。
等差数列是指数列的各项之间的差值是相等的数列。
例如：{1, 3, 5, 7, ...}，其中各项之间的差值都是2。
等比数列是指数列的各项之间的比值是相等的数列。
例如：{1, 2, 4, 8, ...}，其中各项之间的比值都是2。
二、数列极限的概念数列极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于一个确定的常数或无穷大的现象。
数列极限可以分为有界数列和无界数列。
有界数列是指数列的各项都在某个范围内变动的数列。
例如：{1, 2, 3, 4, ...}，其中各项都在正整数范围内。
无界数列是指数列的各项没有上界或下界的数列。
例如：{1, 2, 3, 4, ...}，其中各项没有上界。
对于有界数列，它可能存在极限值，也可能不存在极限值。
如果有界数列存在极限值，那么这个极限值就是数列的极限。
如果有界数列不存在极限值，那么这个数列就是发散的。
三、数列极限的性质数列极限具有一些重要的性质，这些性质对于数列的研究和应用都具有重要意义。
1. 数列极限的唯一性：一个数列只能有一个极限值。
数列与数列的极限
数列与数列的极限数列是数学中一个重要的概念，它在数学运算和分析中扮演着关键的角色。
数列与数列的极限是数列理论的核心内容之一。
本文将介绍数列的基本概念，探讨数列的极限及其应用。
一、数列的基本概念数列是按照一定顺序排列的一串实数或复数，通常用{an}表示，其中n为自然数。
数列中的每一个元素可以按照其位置与值的对应关系来描述。
例如，{1，2，3，4，5，...}就是一个常见的数列，其中每个元素的值与其位置相等。
二、数列的极限数列的极限指的是当数列的项数趋于无穷大时，数列中各项的极限值。
数列的极限可以分为单调有界数列和非单调有界数列两种情况。
1. 单调有界数列当数列满足以下两个条件时，称其为单调有界数列：- 单调递增：数列的后一项大于等于前一项，即an≤an+1；- 有上界或下界：数列的所有项都小于等于（或大于等于）某个常数M，即存在M，使得an≤M（或an≥M）。
对于单调有界数列，其极限存在，并且等于数列的上界（或下界）。
2. 非单调有界数列当数列既不单调递增也不单调递减，且有界时，称其为非单调有界数列。
对于非单调有界数列，其极限也存在，但无法通过简单的条件得出。
处理非单调有界数列的极限时，需要运用极限定义以及数列的性质进行分析。
三、数列极限的应用数列极限在数学中具有广泛的应用，并且在各个领域都有重要的作用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 近似计算通过数列的极限，可以利用数列的有界性与收敛性来进行近似计算。
例如，利用莱布尼茨级数的概念可以求得π/4的近似值。
2. 绘图与连续性数列的极限在绘图和连续性理论中有重要的应用。
例如，在函数图像的分析中，可以通过数列的极限来确定函数的单调性、拐点、极值等。
3. 物理学中的运动学模型数列的极限在物理学中也有广泛的应用，特别是在运动学模型中。
例如，通过极限的概念可以推导出物体在运动过程中的速度、加速度等相关参数。
四、总结数列是数学中重要的概念之一，而数列的极限则是数列理论的核心内容。
数列极限与函数极限
例 5 计算 lim sin 2 x . x→0 → 解 令 u = 2x , 则函数 y = sin 2 x 可视为由
如果一个数列没有极限, 就称该数列是发散 发散的 如果一个数列没有极限 就称该数列是发散的. 常读作: 趋于无穷大时, 注: 记号xn → a( n → ∞ ) 常读作 当 n 趋于无穷大时
xn 趋于 a .
下列各数列是否收敛, 若收敛, 例1 下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出 其收敛于何值. 其收敛于何值
数列的极限 按 一定次序排列的无穷多个数
x1 , x2 ,L, xn ,L
称为无穷数列, 简称数列 数列. 称为无穷数列 简称数列 可简记为{xn }. 其中的每 个数称为数列的项, xn 称为通项 一般项 称为通项 一般项). 通项(一般项 个数称为数列的项 数列可看作数轴上一个动点, 注: (1) 数列可看作数轴上一个动点 它在数轴上 依次取值
lim f ( x ) = A 或 f ( x ) → A)( x → x0 ). x→ x
0
试根据定义说明下列结论: 例5 试根据定义说明下列结论:
(1) x→ x x = x0 ; lim
0
( 2) x→ x C = C (C为常数 ). lim
0
显然, 解 (1) 当自变量 x 趋于 x0 时, 显然, 函数 y = x 也趋于 x0 , 故
n +1
} 无休止地反复
取1、 1 两个数, 而不会无限接近于任何一个确 − 两个数,
定的常数, 故该数列是发散的; 定的常数, 故该数列是发散的; (4) 数列 n − 1 即为
n 1 , 2 , 3 ,L , n − 1 ,L 0, 2 3 4 n 易见, 易见, 当 n 无限增大时, n − 1 无限接近于 1 , 无限增大时, n 故该数列收敛于 1 .
数列的极限(可编辑修改word版)
→∞ n nn n→∞ ⎪ n →∞ 数列的极限【知识概要】1. 数列极限的定义1） 数列的极限，在 n 无限增大的变化过程中，如果数列{a n }中的项 a n 无限趋向于某个常数A ，那么称 A 为数列{a n }的极限，记作lim a n = A . 换句话说，即：对于数列{a n }，如果n存在一个常数 A ，对于任意给定的> 0 ，总存在自然数 N ，当 n > N 时，不等式 a n - A < 恒成立，把 A 叫做数列{a }的极限，记为lim a = A . n →∞注：① 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； ② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ③ 这里的常数 A 是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(-1)n }；④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限；⑤ “无限趋近于 A ”是指数列{a n }后面的项与 A 的“距离”可以无限小到“零”.例 1 判断下列结论的正误（1） 若lim a = 0 ，则 a 越来越小； n →∞（2） 若lim a n = A ，且{a n }不是常数数列，则 a n 无限接近 A ，但总不能达到 A ；n（3） 在数列{a n }中，如果对一切 n ∈ N 总有 a n +1 > a n ，则{a n }没有极限； （4） 若lim a n = A ，则lim a n - A = 0 .n →∞n →∞1解：（1）不正确，例如： a n = - n， a n +1 > a n⎧ （2）不正确，例如： a n = ⎨ 2，（n 为偶数) 2n ， lim a n = 2 .⎪⎩ n +1 1，（n 为奇数） n →∞ （3） 不正确，例如： a n = 1- n（4） 正确， a n +1 > a n ，但lim a n = 1.n2. 数列极限的运算性质1） 数列极限的运算性质如果lim a n = A ， lim b n = B ，那么n →∞n →∞① lim(a n ± b n ) = lim a n ± lim b n = A ± B ；n →∞n →∞n →∞② lim(a n ⋅ b n ) = lim a n ⋅ lim b n = A ⋅ B ；n →∞③ lima nn →∞lim a n = n →∞ = n →∞A (B ≠ 0) . n →∞b nlim b B n →∞特别地，如果C 是常数，那么lim(C ⋅ a n ) = lim C ⋅ lim a n = C ⋅ A .2） 四种常见的重要极限（1） lim C = Cn →∞n →∞n →∞（2） lim 1= 0n →∞（3） lim q n = 0(-1 < q < 1)n →∞n（4） lim(1+ 1)n = en →∞n →∞ n例 2 下列命题中正确的命题是（）（A ） 若lim a = A ，lim b = B ，则lim a n = An →∞ n n →∞ n n →∞ b nB（B ） 若lim a n = 0 ，则lim(a n b n ) = 0n →∞n →∞（C ） 若lim a 2 = A 2 ，则lim a = An →∞nn →∞ n（D ） 若lim a= A ，则lim a 2 = A 2n →∞ n解：选（D ）n →∞ n例 3 已知lim[(2n -1)a n ] = 2 ，求lim na n .n →∞n →∞n1解： lim na n = lim(2n -1)a n ⋅ lim= 2 ⨯ = 1n →∞n →∞n →∞ 2n -1 2例 4 求下列数列的极限⎧2n -1,1 ≤ n ≤ 6（1） 若 a n ⎪⎨ 1 ⎩⎪ 2n -6(n ∈ N *) ，则lim a = 0 ， n →∞ n lim S n →∞ = 37 . = , n ≥ 7 n⎪ - 2 - - - =3 4n→∞ =（2） lim n 2 + 2n -1 1 ； n →∞ 2n 2 - n + 3 2（3） limn →∞(⎛ 2n -1 ⎫n- n -1) = 1 ；1（4） lim = ；n →∞ ⎝ 2n +1 ⎭ e1 1 1 1（5） lim(1 )(1 )(1 ) (1 ) 0;n →∞ （6） lim 1+ 2 + 3 + + n = 1 . n →∞ n 2 23. 数列极限常见的解题技巧现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算法则求解。
数列与数列极限的计算与应用
数列与数列极限的计算与应用数列是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
数列的极限则是数列理论的重要组成部分，其使用极为广泛。
本文将探讨数列与数列极限的计算方法和应用。
一、数列的定义与性质数列是由一系列按照一定规律排列的数构成的。
通常用{an}或an表示，其中n为序号，an表示第n个数。
数列的性质包括趋势、周期、增减等。
例如，等差数列具有公差相等的特点，等比数列则是每项与前一项之比相等。
二、数列的计算方法1. 等差数列的计算等差数列{an}的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为任意项数。
通过这个公式，我们可以轻松计算出等差数列中任意一项的值。
2. 等比数列的计算等比数列{an}的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为任意项数。
利用这个公式，我们可以计算等比数列中任意一项的值。
3. 斐波那契数列的计算斐波那契数列是一个特殊的数列，其中的每一项都等于前两项之和。
例如，斐波那契数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13等。
通过递推公式fn = fn-1 + fn-2，我们可以计算出斐波那契数列中任意一项的值。
三、数列极限的定义与计算数列极限描述了数列在无穷项时的趋势。
数列{an}收敛于A，即极限为A，表示为lim(n→∞)an = A。
如果数列在无穷项时趋向于某个常数A，则称该数列收敛于A；如果数列无法趋向于某个常数，即趋向于无穷大或无穷小，则称该数列发散。
数列极限的计算方法有多种，常见的有极限定义法、夹逼定理、洛必达法则等。
这些方法可根据具体数列的特点来选择合适的计算方法。
四、数列与应用领域1. 数学的数列应用数列在数学中有着广泛的应用，例如在微积分中，数列的极限与函数的极限紧密相关，通过研究数列的收敛性可以推导出函数的连续性、可导性等重要性质。
2. 经济学的数列应用数列在经济学中也有着重要的应用。
例如，经济增长率可以通过对经济数据的数列进行分析得出，利用数列的趋势和周期性，可以预测未来的经济发展。
数列与函数的极限公式概念
极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列{x n }，如果当n A ，则称数列{x n }以A 为极限，记作：lim n→∞x n =A 或者x n →A (n →∞)2、当数列{x n }以实数A 为极限时，称数列{x n }收敛于A ，否则称数列{x n }发散。
二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若 lim n→∞x n =a ，则lim n→∞x n+1=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列： ,12,,432,322,212++n n则它的极限为3即：3121lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n nn n n n n三、几个需要记忆的常用数列的极限 01lim =∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(<q )(lim 为常数a a a n =∞→四、运算法则：如果 A a n =∞→lim B b n =∞→lim则： B A b a n ±=±∞→)(lim B A b a n ⋅=⋅∞→)(lim )0(,lim≠=∞→B BA b a n二、函数极限：▪函数极限lim x→∞f(x)=A 的充分必要条件是lim x→−∞f(x)=lim x→+∞f(x)=A▪函数极限lim x→x 0f(x)=A 的充分必要条件是lim x→x 0−f(x)=lim x→x 0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关. 即 lim x→x 0f (x )存在⇌ lim x→x 0−f (x )= lim x→x 0+f (x )▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x →x 0（或x →∞）时有极限，则其极限惟一.▪极限运算法则： 设limf(x)=A,limg(x)=B,则 1)lim[f(x)±g(x)]=A ±B 2)lim[f(x)g(x)]=AB 3)当B ≠0时，lim f(x)g(x) =AB 4)lim[cf(x)]=climf(x) (c 为常数) 5）lim[f(x)]k = [limf(x)]k (k 为常数)▪小结．．：．当a 0≠0, b 0≠0时，有lim x→∞a 0x n +a 1x n−1+⋯+a nb 0x m +b 1x m−1+⋯+b m= {a 0b 0 当n =m 时 0 当 n <m 时 ∞ 当n >m 时▪复合函数运算法则：lim x→x 0f[φ(x )]=lim u→u 0f (u )▪数列的夹逼准则：设有3个数列{x n }{y n }{z n },满足条件： 1）y n ≤x n ≤z n （n=1,2,…）；2）lim n→∞y n =lim n→∞z n =a ，则数列{x n }收敛，且lim n→∞x n =a▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的某去心邻域内有定义，且满足条件： 1）g(x) ≤f(x) ≤h(x);2) lim x→x 0g(x)=A, lim x→x 0h (x )=A . 则极限lim x→x 0f (x )存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪两个重要的极限： ▪重要极限Ⅰ：lim x→0sinx x=1▪重要极限Ⅱ：lim x→∞(1+1x )x=e , lim x→0(1+x )1x=e▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小. 2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小. 3)常量与无穷小的乘积为无穷小. 4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小. 5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+α(x). 其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x) ，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若lim βα=c (c ≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小. 2.若lim βα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α. 3.若lim βα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α) 4.若lim βαk =c(c ≠0,k 是正整数), 则称β与α是k 阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β−α=o (α)或β=α+o(α)6.α,β, α′,β′,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 α~α′,β~β′,lim β′α′存在，则有lim βα= lim β′α′ ▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能] x →0时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e x −1; 1-cosx~x 22；(1+x )a -1~ax(a ≠0) ;a x-1~xlna(a >0,a ≠1);√1+x n- 1~ xn常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-√1+x - 1~ 12x~,(1)1~x x x αα+-．▪无穷大：函数无穷大 ⇀↚无界 x ⟶x 0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x⟶x0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x) ≠0, 则1为无穷大.f(x)[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.f(x)=f(x0).如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limx→x0最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) ≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)= μ.零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)∙f(b)<0)，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=01、0/0型：方法：将分子分母分解因式（消去公因子）或者将分子有理化（有理化），再求极限。
数列与数列极限计算总结
数列与数列极限计算总结数列是指一系列按照某种规律排列的数的集合。
在数学中，数列是研究数学性质与计算的重要工具之一。
数列的极限是指数列中的数随着项数的增加，逐渐趋于一个确定的值。
一、等差数列与等比数列1. 等差数列等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差保持恒定。
设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n - 1) * d在计算等差数列的极限时，根据公式可以得到极限的计算方法。
如果公差d为正数，且在无穷大的范围内，d的绝对值小于1，则极限为无穷小。
若公差d为正数，且在无穷大的范围内，d的绝对值大于1，则极限为正无穷。
若公差d为负数，则极限为负无穷。
2. 等比数列等比数列是指数列中每一项与前一项的比保持恒定。
设首项为a₁，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * r^(n - 1)在计算等比数列的极限时，也可以根据公式进行计算。
若公比r的绝对值小于1，则极限为0；若公比r的绝对值大于1，则极限为正无穷或负无穷，具体情况取决于首项a₁的正负。
二、数列极限的计算方法1. 数列极限的定义数列的极限是指当数列中的数随着项数的增加无限逼近某一特定值时，该特定值即为数列的极限。
数列极限的计算是数学分析的重要内容之一。
2. 极限计算的基本方法（1）代入法：对于一些简单的数列，可以直接代入项数n，计算出极限的值。
例如等差数列和等比数列。
（2）递推关系法：通过给定的递推公式，利用项数的迭代来计算数列的极限。
例如Fibonacci数列。
（3）夹逼准则法：对于一些较为复杂的数列，可以运用夹逼准则来计算极限。
夹逼准则是指通过夹逼数列，找到一个趋于极限的数列，并证明该数列与原数列极限相等。
（4）数列展开法：将数列表示为一定函数的展开形式，然后运用函数的性质来计算极限。
三、举例与总结1. 等差数列举例∙ 1, 4, 7, 10, 13, ...对于该等差数列，首项为1，公差为3，可以通过代入法计算极限。
数列与数列极限的概念与性质
数列与数列极限的概念与性质数列是数学中常见的一种数学对象，它由依次排列的数字组成。
数列极限是数列的一个重要概念，它描述了数列中的数字随着序号的增加逐渐趋近于某个值的特性。
本文将介绍数列与数列极限的概念与性质。
一、数列的概念数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列。
数列可以用数学公式表示，通常用{an}或{a1, a2, a3, ...}表示，其中an表示数列的第n个元素。
例如，数列{1, 2, 3, 4, ...}表示自然数数列，数列{2, 4, 6, 8, ...}表示偶数数列。
二、数列的性质1. 有界性：数列可能是有界的，也可能是无界的。
如果数列的所有元素都小于或等于某个实数M，则称该数列是有上界的；如果数列的所有元素都大于或等于某个实数N，则称该数列是有下界的。
如果数列既有上界又有下界，则称其为有界数列；否则，称其为无界数列。
2. 单调性：数列可能是递增的，也可能是递减的，还可能是保持常数的。
如果数列的每个元素都大于其前一个元素，则称该数列是递增数列；如果数列的每个元素都小于其前一个元素，则称该数列是递减数列；如果数列的每个元素都等于其前一个元素，则称该数列是常数数列。
3. 有限和无限：数列可能是有限的，也可能是无限的。
如果数列只有有限个元素，则称其为有限数列；如果数列有无穷个元素，则称其为无限数列。
三、数列极限的概念数列极限是数列中的数字随着序号的增加逐渐趋近于某个值的特性。
一个数列{an}收敛到一个实数a，表示为lim(an) = a，如果对于任意给定的正数ε（ε > 0），存在正整数N，使得当n > N时，|an - a| < ε。
换句话说，就是无论怎样选择正数ε，总能找到一个正整数N，使得数列中的所有元素与实数a的差的绝对值都小于ε。
四、数列极限的性质1. 极限的唯一性：如果数列{an}收敛到一个实数a，那么a是唯一确定的，即数列只有一个极限值。
2. 有界性与收敛性的关系：如果数列{an}收敛到实数a，则数列必定是有界的，即数列的所有元素都小于或等于某个实数M。
数列与数列的极限与收敛
数列与数列的极限与收敛在数学中，数列是由一列按特定规律排列的数所组成的。
数列的极限和收敛是数学分析中的重要概念，它们对于理解数学中的变化趋势和数值计算都有着重要的作用。
本文将从数列的定义开始，逐步介绍数列的极限和收敛以及它们在数学中的应用。
一、数列的定义数列是由一系列有序数按照一定规律排列而成的集合。
数列可以用一般形式表示为：{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ}，其中 a₁、a₂、a₃等为数列的项，n为项的序号。
每个数列都有一个递增的自然数集合作为序号集。
二、数列的极限数列的极限是数列中项的值逐渐趋近于某个确定的值的过程。
如果存在一个实数L，对于任意给定的正数ε，总能找到自然数N，使得当n大于N时，数列的第n项与L的差的绝对值小于ε，那么我们称数列的极限为L。
三、数列的收敛数列的收敛是指数列中的项逐渐趋近于某个值的过程。
如果一个数列存在极限，那么我们称该数列是收敛的。
反之，如果一个数列不存在极限，或者极限不是一个实数，那么我们称该数列是发散的。
四、数列极限的性质1. 数列的极限唯一性：对于一个数列来说，它的极限是唯一的。
2. 收敛数列有界性：如果一个数列是收敛的，那么它是有界的。
3. 收敛数列的性质：如果一个数列是收敛的，并且它的极限是L，那么数列中的所有项都会无限接近于L。
五、数列极限的计算方法1. 常数列的极限：对于一个常数c来说，它自身就是一个数列的极限，即lim(c) = c。
2. 递推数列的极限：对于一个递推数列来说，可以通过借助极限的性质和运算法则来计算极限。
3. 收敛数列的运算法则：对于两个收敛数列{aₙ}和{bₙ}来说，它们的和差、积、商仍然是收敛数列，并且满足相应的运算法则。
六、数列极限的应用1. 数学建模：在数学建模中，数列的极限和收敛是重要的工具。
通过研究数列的极限和收敛，可以推断出一些复杂问题中的规律和趋势。
2. 数值计算：在数值计算中，数列的极限和收敛可以用来进行数值逼近和数值解的计算，从而提高计算的精度和效率。
第8章 数列与无穷级数
第九章 数列与无穷级数一．内容提要 （一） 数列 1． 数列极限的定义若ε∀>0，∃正整数N ，当n>N 时成立n a L-<ε,则称常数L 是数列}{n a 的极限，或称数列}{n a 收敛于L ，记为La n n =∞→lim。
否则称数列}{n a 发散。
2． 数列极限的运算法则 若()1lim L a nn =∞→，2limL b n n =∞→，C 是常数，则()1lim cL ca nn =∞→；()21lim L L b an nn ±=±∞→；()21lim L L b an nn =∞→；()0,221l i m ≠=∞→L L L ba nnn 。
3．数列极限的性质(1)若La n n =∞→lim>0则正整数∃N ，当n>N时成立na >0；Lb a N n N n n n =≥>∃∞←lim,0且时成立，当正整数若。
则0≥L 。
(2)收敛数列是有界数列。
4．数列极限的存在性准则 (1)夹逼定理Lb Lc a c b a N n N n n n n n n n n n ===≤≤>∃∞→ℵ→∞↔lim limlim,,则且时成立，当正整数若（2）数列的单调有界收敛定理 单调有界数列必有极限。
5． 数列极限与函数极限的联系对于数列{}n a ，若存在定义域包含[)∞，1的函数()x f ，使()n f n a =，且()Lx f n =∞←l i m ，且La n n =∞→lim。
6． 数列与数列的关系（1）若L a n n =∞→lim ，{}kn a 是{}na 的一个数列，则a k n k =∞→lim 。
（2）若La a k k k k ==+∞→∞→122limlim，则La n n =∞→lim。
（二）无穷级数的基本概念 1．级数敛散性的定义称∑==nk kn us 1为级数∑∞=1n nu的n 项部分和() ,2,1=n ，而称数列{}n s 为级数∑∞=1n nu 的部分和数列。
数列与数列的极限
数列与数列的极限数列是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
数列的极限是数列理论中的一个重要概念，它在数学分析、微积分等领域起着至关重要的作用。
本文将介绍数列的基本概念和性质，并深入探讨数列的极限及其相关概念。
首先，让我们从数列的定义开始。
数列是指由一串按照一定规则排列的数所组成的序列。
通常用{an}表示数列，其中n为数列的下标。
例如，数列{an}可以表示为a1, a2, a3, ...。
数列的每个元素都有一个确定的位置和数值。
数列的极限是数列理论的核心概念之一。
极限表示数列中的元素在无限逼近一个特定值时的趋势。
数列{an}的极限可以表示为lim(n->∞) an = L，其中L为数列的极限。
如果数列{an}的极限不存在，则称其为发散。
数列的极限具有以下几个重要性质：1. 极限的唯一性：一个数列的极限只能有一个确定的值。
2. 保号性：如果数列的极限为正数L，则存在正整数N，使得当n>N时，数列的所有元素都为正数；同理，如果数列的极限为负数L，则存在正整数N，使得当n>N时，数列的所有元素都为负数。
3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列的元素一定是有界的。
数列的极限可分为几种特殊情况：1. 有限数列的极限：如果数列{an}只包含有限个元素，则其极限为数列的最后一个元素。
2. 常数数列的极限：如果数列{an}的所有元素都相等，则其极限等于任意一个元素。
3. 递增数列的极限：如果数列{an}的元素随着n的增大而递增，并且无上界，则其极限为正无穷大。
4. 递减数列的极限：如果数列{an}的元素随着n的增大而递减，并且无下界，则其极限为负无穷大。
对于一般数列的极限的计算，我们可以运用数列的极限存在性定理以及极限的运算法则来帮助求解。
其中，数列的极限存在性定理表明对于一个数列，如果它是单调递增且有上界的，那么它必定存在极限；如果数列是单调递减且有下界的，那么它也必定存在极限。
在实际应用中，数列的极限可以用于求解序列和级数的问题，以及对函数的连续性、收敛性进行研究。
数列与数列极限的性质
数列与数列极限的性质数列是数学中的重要概念，它是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
通过研究数列的性质和极限，我们可以深入理解数学中的连续性和趋势演化。
一、数列的定义和性质数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列。
数列可以用公式或者递归关系进行定义。
例如，斐波那契数列可以通过递推公式F(n)=F(n-1)+F(n-2)进行定义，其中F(1)=1，F(2)=1。
数列可分为有界数列和无界数列。
有界数列是指数列中的元素存在上界和下界，即存在一个上界M和下界m，使得对于数列中任意元素a(n)，都有m≤a(n)≤M。
无界数列则没有上界或下界。
数列还可分为递增数列和递减数列。
递增数列是指数列中的元素随着n的增大而增大，即对于任意的n1<n2，有a(n1)≤a(n2)。
递减数列则相反。
二、数列的极限数列的极限是指数列中的元素随着n趋于无穷大时的极限值。
数列极限常用表示为lim(a(n)) = L，其中L为极限值。
数列的极限可以分为收敛和发散。
若数列存在有限的极限值L，即lim(a(n)) = L，则数列收敛。
若数列没有有限极限值，即不存在lim(a(n))，则数列发散。
对于收敛的数列，它的极限值唯一。
若数列发散，可以进一步分为无穷大和无穷小。
三、数列的收敛性判定数列的收敛性可以通过几种方法进行判定。
1. 单调有界原理：如果数列是递增有上界（或递减有下界）的，则数列收敛；如果数列是递减有上界（或递增有下界）的，则数列收敛。
2. 夹逼准则：如果数列a(n) ≤ b(n) ≤ c(n)，且lim(a(n)) = lim(c(n)) = L，则lim(b(n)) = L。
3. 收敛数列的性质：若数列收敛，则它是有界的。
四、数列极限的计算要计算数列的极限，可以应用以下常用的方法：1. 代入法：将n值代入数列的通项公式，计算出相应的数值，观察随着n增大，数列的变化趋势，从而推测极限。
2. 套路法：通过对数列进行变形或运算，将其转化成形式已知的数列，从而求出极限。
数列与极限(一)
数列与极限(一)1、若c b a cba、、，则，，1226232===构成 （ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．是等差数列也是等比数列D ．不是等差数列也不是等比数列 2、若四个正数a ，b ，c ，d 成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是 （ ） A ．x <y B ．x >y C ．x =y D ．x ≥y3、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 （ ）A ．13项 B ．12项 C ．11项 D ．10项4、一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（既沿对边中点的连线折叠）7次， 这时报纸的厚度和面积分别是 （ ）A ．b a 81,8 B ．b a 641,64 C ．b a 1281,128D ．b a 2561,256 5、凸n 边形的各内角度数成等差数列，最小角是120︒，公差为5︒，则边数n 等于（ ）A ．9B ．12C ．16D ．18 6、在等差数列{n a }中，若其前n 项和),,(,N n m n m nmS m m n S m n ∈≠==项和前，则 n m S +的值（ ）A ．大于4B ．等于4C ．小于4D ．大于2且小于47、等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若231n n S nT n =+，则n na b 的值是（ ） A ．211n n -+B ．231n n +C．31n n +-D ．2131n n --8、已知等比数列的公比是2，且前4项的和是1，那么前8项之和为 （ ） A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 9、已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，若854,18S a a 则-=等于（ ）A ．18B ．36C ．54D ．7210、一个等差数列共有n 项(n>10), 其前10项之和为50，后10项之和为70，则这n 项的和为（ ）。
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高中学生学科素质训练高三数学同步测试（2）—《数列与极限》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．在等比数列}{n a 中，a 1+a 2=2，a 3+a 4=50，则公比q 的值为 （ ）A ．25B ．5C ．－5D ．±52．已知等差数列{a n }中，a 6=a 3＋a 8=5，则a 9的值是（ ）A ．5B ． 15C ．20D ．253．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方程bx 2－2ax+c=0（ ）A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根4．等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ）A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S5．设数列{}n a 为等差数列，且65867424,20042a a a a a a a 则=++等于 （ ）A ．501B ．±501C ．2004D ．±20046．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,012211==-+-+-m m m m S a a a ，则m等于 （ ）7．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （ ）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:38．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）A ．7)1(p a + B ．8)1(p a +C ．)]1()1[(7p p p a+-+ D ．()()[]p p pa+-+118 9．已知()1+=bx x f 为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()=n g ⎩⎨⎧≥-=)1()],1([)0(1n n g f n , 设()()()+∈--=N n n g n g a n 1，则数列{}n a 为 （ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列10．已知02log 2log >>a b ,则nn nn n b a b a ++∞→lim 的值为（ ） A ．1B ．－1C ．0D ．不存在11．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ）A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%12．已知3)(32lim ,2)3(,2)3(3---='=→x x f x f f x 则的值为（ ）A ．－4B ．8C ．0D ．不存在二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________. 14．设数列{a n }满足a 1=6，a 2=4，a 3=3，且数列{a n+1－a n }（n ∈N *）是等差数列，求数列{a n }的通项公式__________________.15．设()244+=x xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，求+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛112111f f …⎪⎭⎫⎝⎛+1110f 的值为______ ___.16．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖____________块.（理）已知nn a ⎪⎭⎫⎝⎛∙=312，把数列{}n a 的各项排成三角形状；1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a ……记A （m,n ）表示第m 行，第n 列的项，则A （10，8）= .三、解答题（本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 17．（本小题满分12分）已知一个数列{a n }的各项是1或3．首项为1，且在第k 个1和第k +1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前n 项的和为S n ．（1）试问第2004个1为该数列的第几项？ （2）求a 2004； （3）S 2004；（4）是否存在正整数m ，使得S m =2004？如果存在,求出m 的值；如果不存在,说明理由．18．（本小题满分12分）如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S . （1）求1a 的值;（2）求数列{n a }的通项公式n a ; （3）求证:当2≥n 时, 有2222122111132nn n na a a a ++++++<.19．（本小题满分12分）假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末．．．结束时加300元。
请你选择。
．．．．加1000元；（Ⅱ）每半年（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121+n ， （1）求{}n a 的通项公式；（2）设12+=n a c nn ，试判断并说明()N n c c n n ∈-+1的符号； （3）（理）设函数124)(2+-+-=n a x x x f n，是否存在最大的实数λ，当λ≤x 时，对于一切自然数n ，都有0)(≤x f 。
（文）已知()0>=t t b na n ，数列{}nb 的前n 项为n S ，求nn n S S 1lim+∞→的值。
21．（本小题满分12分）若S n 和T n 分别表示数列{}n a 和}{n b 的前n 项和，对任意正整数)1(2.+-=n a n n ， T n －3S n =4n .（Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）在平面直角坐标系内，直线n l 的斜率为n b .且与曲线2x y =有且仅一个交点，与y 轴交于D n ，记)72(||311+-=+n D D d n n n 求n d ； （Ⅲ）若.1)(lim :)(2211221=-+++∈+=∞→++n x x x N n d d d d x n n nn nn n 求证22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若函数(),2,321)(321≥∈++++++++=n N n a n na n a n a n n f n且 求函数 )(n f 的最小值； （3）设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前项和。
试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得 ()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321 对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。
参 考 答 案（二）一、选择题（每小题5分，共60分）：(1).D (2). C (3).A (4).B (5). A (6). C (7).C (8). D (9).B (10).B (11). B (12).B 提示（9）B ()()()()111111,1+-⋅-=--+-⋅=>n g b n g n g b a n n()()[]()()()()[]b n g b b b b n g b b n g b b ++-⋅-=+--=++-⋅-=131211121 ()()=+--=2231b n g b b ……()()()n n n n b b b b g b b =+-=+⋅-=---1101111二、填空题（每小题4分，共16分）(13). 978； (14). 21872+-=n n a n （n ∈N *）；(15).5；(16).（文）42n +（理）2·89)31(提示13。
设}{n a 的公比为q ，由题知：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+，，，221102111d q a d q a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.1211d q a ，，则12-=n n a ，n b n -=1．这个新数列的前10项之和为)()()(10102211b a b a b a ++++++ 21(a a +=9782)]9(0[102121)()10102110=-++--=++++++b b b a14. 由已知a 2－a 1= －2，a 3－a 2= －1，－1－(－2)=1∴a n+1－a n =( a 2－a 1)+(n －1)·1=n －3n ≥2时，a n =(a n －an －1)+(a n －1－a n －2)+…+(a 3－a 2)+(a 2－a 1)+a 1=(n －4)+(n －5) +…+(－1)+(－2)+6=21872+-n n n=1也合适∴21872+-=n n a n （n ∈N *）15. ()()12244244244111=++=+++=-+--x xx x xx x f x f ⎫⎛⎫⎛2110110⎤⎡⎫⎛⎫⎛⎫⎛三、解答题（共74分，按步骤得分）17. 解：将第k 个1与第k +1个1前的3记为第k 对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（2×2-1）=4项；)3,,3,3,3,1(312个共-k 为第k 对，共1+（2k-1） =2k项；…．故前k 对共有项数为2+4+6+…+2k =k (k +1)． …………2分（Ⅰ）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项， 即为2003(2003+1)+1=4014013（项）． …………4分（Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004项在第45对内，从而a 2004=3．…7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是S 2004=45+3×1959=5922． …………9分 （Ⅳ）前k 对所在全部项的和为 S k (k +1)=k +3[k (k +1)-k ]=3k 2+k ．易得，S 25(25+1)=3×252+25=1900，S 26(26+1)=3×262+26=2054，S 651=1901，且自第652项到第702项均为3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m ，使S m =2004．…………12分18. 解 （1）由条件可得11112P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,代入曲线2(0)y x y =≥得 21111312,0,423a a a a =>∴=; …………5分 (2)12n n S a a a =+++∴点1111()2n n n n P S a ++++代入曲线2(0)y x y =≥并整理得2113142n n n S a a ++=-, 于是当*2,n n N ≥∈时,221113131()()4242n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--- 即11113()()()24n n n n n n a a a a a a ++++=+⋅- *1120,(2,)3n n n n a a a a n n N ++>>∴-=≥∈ …………10分又当2122231421,,(4233n S a a a ==-∴=-时舍去）2123a a ∴-=,故*12()3n n a a n N +-=∈所以数列{n a }是首项为23、公差为23的等差数列, 23n a n =;…………12分19．解：设方案一第n 年年末加薪a n ，因为每年末加薪1000元，则a n =1000n ；设方案二第n 个半年加薪b n ，因为每半年加薪300元，则b n =300n ；(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S 10=a 1＋a 2＋……＋a 10=55000元。