初中数学竞赛：换元法
初中数学 什么是换元法
初中数学什么是换元法换元法是一种在初中数学中常用的解题方法，特别适用于一些复杂的方程或不等式的求解过程。
通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
下面我将为您详细介绍换元法的定义、原理以及应用方法。
一、换元法的定义换元法是指通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解的解题方法。
通过将问题中的变量进行替换，可以改变问题的形式，使其更易于处理。
换元法在解方程、求不等式的最值、证明等问题中都有广泛的应用。
二、换元法的原理换元法的原理是通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式。
新的未知数或代换的选择通常是根据问题的特点和需要来确定的。
通过合理的选择，可以使问题的形式更简单，从而更容易求解。
三、换元法的应用方法换元法的应用方法可以根据具体问题的不同而有所变化。
下面我将分别介绍在解方程、求不等式的最值以及证明中的换元法应用方法。
1. 解方程：a. 对于一元一次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程2x + 3 = 7，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y = 7，进而求得x的值。
b. 对于一元二次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以引入新的未知数y = x + 1，转化为y^2 + 2 = 0，进而求得x的值。
2. 求不等式的最值：a. 对于一元一次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y > 5，进而求得x的取值范围。
b. 对于一元二次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，可以引入新的未知数y = x - 2，转化为y^2 - 1 > 0，进而求得x的取值范围。
初中数学竞赛辅导资料(52)换元法
初中数学竞赛辅导资料（52）换元法甲内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.乙例题例1. 解方程1112---++x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）.例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x 解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .丙练习52解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6. x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x . 14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____ (1989年泉州市初二数学双基赛题)18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.(1987年全国初中数学联赛题)参考答案练习52 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－1 11.－32,－35 12.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y17.设原式=k, k=442 18. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。
初中数学专题训练换元法解题方法练习及试题解析
专题02 换元法【规律总结】换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
【典例分析】 例1、已知方程组{2a −3b =133a +5b =30.9的解是{a =8.3b =1.2，则{2(x −2)−3(y +1)=133(x −2)+5(y +1)=30.9的解是：（ ）A. {x =8.3y =1.2B. {x =10.3y =2.2C. {x =6.3y =2.2D. {x =10.3y =0.2【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了换元法和二元一次方程组的解，掌握其解得定义是解题的关键．根据换元法先令x −2=a ，y +1=b ，再根据二元一次方程组的解，得x −2=8.3和y +1=1.2，即可求得x 与y 的值． 【解答】解：令x −2=a ，y +1=b ， 则方程组{2(x −2)−3(y +1)=133(x −2)+5(y +1)=30.9, 可化为：{2a −3b =133a +5b =30.9，∵方程组{2a −3b =133a +5b =30.9的解为{a =8.3b =1.2，∴{x −2=8.3y +1=1.2, ∴{x =10.3y =0.2． 故选：D ．例2、已知(2016+a)(2018+a)=b ，则(2016+a)2+(2018+a)2=_________________(用含b的代数式表示)【答案】4+2b【解析】1.【分析】本题考查了完全平方公式和整体代入法的思想，灵活使用整体代入法是解本题的关键．令2016+a=x，2018+a=y，将原式化为(x−y)2+2xy，即可求解．【解答】解：令2016+a=x，2018+a=y，则(2016+a)(2018+a)=xy=b，(2016+a)2+(2018+a)2=x2+y2=(x−y)2+2xy=(−2)2+2b=4+2b；故答案为4+2b．例3、【阅读材料】若x满足(80−x)(x−60)=30，求(80−x)2+(x−60)2的值．解：设(80−x)=a，(x−60)=b，则(80−x)(x−60)=ab=30，a+b=(80−x)+ (x−60)=20，所以(80−x)2+(x−60)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×30=340【解决问题】(1)若x满足(2019−x)2+(2017−x)2=4042，求(2019−x)(2017−x)的值；(2)已知a1,a2,a3,...a2015均为负数，M=(a1+a2+...+a2014)(a2+a3+...+a2015)，N=(a1+a2+...+a2015)(a2+a3+...+a2014)，比较M与N的大小关系并说明理由；(3)如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积为多少？直接写出答案.(结果必须是一个具体的数值)．【答案】解：(1)设(2019−x)=c,(2017−x)=d，则c−d=(2019−x)−(2017−x)=2，(2019−x)(2017−x)=cd，∴(2019−x)2+(2017−x)2=c2+d2=(c−d)2+2cd=4042，即22+2cd=4042解得：cd=2019，即(2019−x)(2017−x)=2019；(2)设x=a1+a2+⋯+a2014，y=a2+a3+⋯+a2015，则M=xy，2，N=(x+a2015)(y−a2015)=xy+a2015(y−x)−a2015M−N=a2015(y−x−a2015)=−a1a2015由于a1,a2,a3,...a2015均为负数所以−a1a2015为负数，则M−N=−a1a2015<0，M<N；(3)由题意得：(x−1)(x−2)=5，设x−1=a，x−2=b，则ab=5，a−b=1，∴(a +b )2=(a −b )2+4ab =21． 则阴影部分的面积为21．【解析】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．(1)模仿例题，利用换元法解决问题即可．(2)设x =a 1+a 2+⋯+a 2014，y =a 2+a 3+⋯+a 2015，则M =xy ，N =(x +a 2015)(y −a 2015)=xy +a 2015(y −x)−a 20152，M −N =a 2015(y −x −a 2015)=−a 1a 2015由于a 1,a 2,a 3,...a 2015均为负数，所以−a 1a 2015为负数，则M −N =−a 1a 2015<0，最后得M <N ； (3)模仿例题，利用换元法解决问题：由题意得：(x −1)(x −2)=5，设x −1=a ，x −2=b ，则ab =5，a −b =1，得出(a +b )2=(a −b )2+4ab =21．【好题演练】一、选择题1.设a 、b 是实数，且11+a −11+b =1b−a ，则1+b1+a 的值为( )．A. 1±√52B. ±1±√52C. ±3−√52D. 3±√52【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．先设1+a =x ，1+b =y ，则b −a =y −x ，原方程可化为1x −1y =1y−x ，整理得，y 2−3xy +x 2=0，方程两边同除以x 2，解关于yx 的一元二次方程即可． 【解答】解：解：设1+a =x ，1+b =y ，则b −a =y −x ，原方程可化为1x −1y =1y−x ， 整理得，y 2−3xy +x 2=0，两边同除以x2，得(yx )2−3(yx)+1=0，解得yx =3±√52，即1+b1+a 等于3±√52，故选D．2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，1a+1+1b+3+1c+5=0，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为()．A. 125B. 120C. 100D. 81【答案】C【解析】【分析】本题考查换元法和整体代入法，巧妙利用换元法是解题的关键.首先令a+1=x，b+3=y，c+5=z，分别求出x+y+z和xy+yz+xz，然后所求代数式即为x2+y2+z2，整体代入可求出值．【解答】解：令a+1=x，b+3=y，c+5=z，∵a+b+c=1∴x+y+z=(a+1)+(b+3)+(c+5)=10，又1a+1+1b+3+1c+5=0则1x +1y+1z=0，∴xy+yz+xz=0，∴(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2=x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+xz)=102=100．故选C．3.已知(x−2015)2+(x−2017)2=34，则(x−2016)2的值是()A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及换元法．将x−2016设为t，则x−2015=t+1，x−2017=t−1，代入原方程中，可得到关于t 的方程，进而求解。
八年级数学(竞赛)因式分解
第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。
利用换元法解一元高次方程
利用换元法解一元高次方程在初中数学竞赛中,常常会出现一些高次方程求解问题,解这类问题的核心思想是降次,而换元法是其最主要的方法,所谓换元法,是指把方程中某些代数式用新的变量代替,使方程的次数降低,从而化难为易,使问题得以解决,这里举例说明如下．一、直接换元例1 解方程：x＋1x＋2x＋3x＋4＝24．分析与解∵x＋1x＋4＝x2＋5x＋4,x＋2x＋3＝x2＋5x＋6,设t＝x2＋5x＋4,则可将原方程转化为关于t的一元二次方程tt＋2＝24．即t2＋2t－24＝0,t－4t＋6＝0,∴t＝4．t＝－6．当t＝4时,x2＋5x＝0,∴x＝0,或x＝－5；当t＝－6时,x2＋5x＋10＝0,此方程无解．故原方程的解为x＝0,或x＝－5．二、均值换元即求出几个代数式的平均值,利用平均值进行代换．例2 解方程：4x＋13x＋12x＋1x＋1＝3x4．分析与解根据上面的经验,这样的方程左边是不能完全展开的,只能部分展开．∵4x＋1x＋1＝4x2＋5x＋1,3x＋12x＋1＝6x2＋5x＋1,两个代数式有相同的一次项和常数项,故设t＝5x2＋5x＋1,则原方程可化为t－x2t＋x2＝ 3x4．∴t2＝4x4,t＝2x2或t＝－2x2,代回即可求得原方程的根为：x＝．注当然本题也可以直接设t＝4x2＋5x＋1或者t＝6x2＋5x＋1．例3 解方程：x＋24＋x－44＝272．分析与解若将方程左边展开,将得到难解的高次方程．注意到12x＋2＋x－4＝x－1,故可设y＝x－1,则原方程可化为y＋34＋y－34＝272,即y4＋54y2－55＝y2－1y2＋55＝0,∴y＝±1．∴x－1＝±1,∴x＝0或2．三、双变量换元例4 解方程：4x2－92＋4x2－99x2－4＋9x2－42＝13x2－132．分析与解注意到4x2－9＋9x2－4＝13x2－13,设m＝4x2－9,n＝9x2－4．则原方程可化为m2＋mn＋n2＝m＋n2,即mn＝0,则有4x2－99x2－4＝0,解得x＝±32,±23．注用换元法解方程,有时引入的新变量可以不止一个,如本题中引入了m,n．在例1中,如果注意到x＋1x＋4－x＋2x＋3＝－2,还可以设m＝x＋1x＋4,n＝－x＋2x＋3,则有224 m nmn+=-⎧⎨=-⎩由韦达定理可知m,n是方程z2－2z－24＝0的根,求解这个方程即可以得到原方程的根过程略．四、倒数换元形如ax4＋bx3＋cx2＋bx＋a＝0a≠0的倒数方程可以两边同除以x2,降次换元．例5 解方程：12x4－56x3＋89x2－56x＋12＝0．分析与解直接因式分解比较困难,容易发现该方程是倒数方程与首尾等距离的项的系数相等．又因为x＝0不是方程的根,所以两边同时除以x2,得五、常值换元将某一常值看作未知数,原来的未知数当成常数,则可以把高次方程转化为低次方程．例6 解方程：32310+++=．x x分析与解这是关于x的三次方程,直接解这个方程有一定困难,看成未知数,则原方程可化为求解高次方程的方法还有很多,需要我们在平时的学习过程中,不断整理,不断总结,逐步深化,灵活运用．。
初中数学换元法解析
初中数学换元法解析换元法是数学中的重要方法之一,它往往和消元的思想联系在一起.换元的实质就是“转化”的数学思想,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换.换元的基本方法有:整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等.换元法的一般步骤为:设元(或构造元)、换元、求解、回代和检验等。
（1）换元法在整式运算中的应用初中数学问题中,常见的就是整式运算问题.在整式运算中经常会出现相对复杂的题目,这就需要在解题过程中将结构相同的部分看成一个整体,并用新元去替换它,将综合性强的问题转换成普通问题。
【典型例题】【思路分析】从题目中可发现,第一个括号中的式子=1-第四个括号中的式子,第三个括号中的式子=1-第二个括号中的式子.所以我们可以把第四个括号中的式子、第二个括号中的式子整体设元。
【答案解析】设2+3+4+…+999=a,2+3+4+…+998=b,则有a-b=999.所以原式=(1-b)·a-(1-a)b=a-ab-b+ab=a-b=999.【归纳总结】解题之前可以先观察题目,发现并探究相同的式子,然后用字母将相同部分替换,计算相对快捷简便.从此题中还可以发现,每两组括号都会相差999,第三个括号比第一个括号中少了999,第二个括号比第四个括号中多了999.所以还可以这样设元、换元:设1-2-3-…-998=a,2+3+4+…+998=b,则有a+b=1那么原式就变换a·(b+999)-(a-999)b=999(a+b)=999.所以换元方法不止一种,可以灵活选择.（2）换元法在因式分解中的应用初中数学问题中的重要内容之一就是因式分解.用换元法分解因式,它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换,减少因式项数或者降低次数,同时,让隐含的关系清晰地表现出来,从而使运算过程简明清晰.【典型例题】【思路分析】认真观察题目的结构,可以发现(x-4)(x+1)=x²-3x-4,(x-2)(x-1)=x²-3x+2,它们的二次项、一次项完全相同,这就具备了换元的条件,使用换元法进行降次处理,就使得分解变得简单易行.在设辅助未知数时,方法比较灵活,如可设x²-3x=a,或设x²-3x-4=a等,一般地,设辅助元为x²-3x-4和x²-3x+2的算术平均式比较简捷.【答案解析】（3）换元法在解方程(组)中的应用掌握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求,而在解高次方程、分式方程、无理方程时,要注意方程的特点,创造运用换元法的条件,往往会简化求解过程.A.高次方程解一元高次方程的基本思想是降次,而换元法是降次的一种基本方法.用换元法解高次方程的思路,与用换元法分解因式的思路一致.【典型例题】【思路分析】这个方程左边的两个因式中都含有x²+3x,于是解此题可设x²+3x+4=y或者x²+3x=y,当然与分解因式类似,也可设两个因式的算术平均式为辅助元,不过此题中算术平均式为x2+3x+9/2,计算并不方便.所以辅助元的选择要根据题意灵活地掌握.【答案解析】B.分式方程运用换元法解分式方程的基本思路是化分式方程为整式方程.【典型例题】【思路分析】【答案解析】C.无理方程运用换元法解无理方程的基本思路是化无理方程为有理方程.【典型例题】【思路分析】当无理方程的有理式部分与无理式部分所含未知数的项的系数成比例(包括相等)时,把无理式部分设为辅助元.此方程组中存在两组这样的关系,所以需设两个辅助元.用换元法解方程或方程组,虽然能把复杂的方程(组)简单化,但用此方法必须验根,因为在换元过程中(特别是分式方程和无理方程)常会出现增根.【答案解析】（4）换元法在证明中的应用换元法在证明中应用广泛,比如一元二次方程根的问题、不等式的证明、几何问题等,证明题利用换元法十分简捷.常采用的方法有增量换元法、均值换元法等.【典型例题】【思路分析】因为b+c=8,所以b和c的均值就是4,所以b和c的值都在4附近,所以可分别给b,c在4的基础上加上一个变量,这两个变量之和应为0,所以为简便起见,一个表示为t,另外一个则为-t.所以设b=4+t,c=4-t.又因为b,c都大于0,所以可以求出t值的取值范围.到此,设辅助元完成,然后代入换元即可.像这样,若某几个变量之和为一定值,则可求出其均值,则这几个变量都在均值这一常量附近变化,此时,可设这几个变量为该均值加上另外几个变量.新加入的变量之和为0,这种换元方法叫作均值换元法.【答案解析】。
初中换元法经典例题
初中换元法经典例题
初中数学中，换元法是解方程的一种常见方法。
下面是一个经典的例题：
例题，解方程 $x^2 + 2x 3 = 0$。
解答，首先，我们观察到这是一个二次方程，可以使用换元法来解决。
我们可以通过引入一个新的变量来进行换元，使得原方程变得更容易解决。
我们可以设 $y = x + 1$，即令 $y$ 代替 $x + 1$。
这样，原方程可以改写为 $y^2 4 = 0$。
接下来，我们可以将方程 $y^2 4 = 0$ 因式分解为 $(y 2)(y + 2) = 0$。
这样，我们得到两个可能的解，$y 2 = 0$ 或 $y + 2 = 0$。
解第一个方程 $y 2 = 0$，我们得到 $y = 2$。
将 $y = 2$ 代入 $y = x + 1$，我们可以得到 $x = 1$。
解第二个方程 $y + 2 = 0$，我们得到 $y = -2$。
将 $y = -
2$ 代入 $y = x + 1$，我们可以得到 $x = -3$。
综上所述，原方程 $x^2 + 2x 3 = 0$ 的解为 $x = 1$ 或 $x
= -3$。
通过这个例题，我们可以看到换元法是一种有效的解方程方法。
通过引入新的变量，我们可以将原方程转化为一个更简单的形式，
从而更容易求解。
初中数学—换元法
知识点拨【知识提要】1. 方程中变量的换元；2. 三角换元；3. 特殊换元。
【基本题型】1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程；2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围；3. 求某些难以直接求出来表达式的值。
【解题技巧】1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元；2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元；3. 有时候甚至可以联想三角函数。
快乐热身【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2223x x ay by c ++=++成立。
求abc 的值。
【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。
有没有简单一些的方法呢？解 因为23y x =+，所以32y x -=。
所以，22239232424y y y x x y -⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭。
因此，119942432abc ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭。
第五讲 换元法热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 求1111111...++++（无穷多个）的值。
【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？解 设原式x =，则11x x=+，也就是说210x x --=。
解得12x +=（负根舍去）。
说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。
关于极限的概念，以后会学到。
【例 2】 解关于x 的一元四次方程：43210x ax bx ax ++-+=。
【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。
解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。
显然0x =不是原方程的解，所以除以2x 后得到：2210a x ax b x x ++-+=。
设1y x x=-，则有220y ay b +++=。
248a b ∆=--。
⑴若0∆>，则方程的解为1y =2y =。
代回1y x x =-得到1,2x =，3,4x =。
⑵若0∆=，则方程的解为1,22a y =-，于是有1,34a x -+=，2,44a x -=。
测试卷2：因式分解的方法二—换元法参考答案
因式分解的方法二——换元法参考答案知识要点：换元法是数学中的一种重要方法，在解题和证明中常常起到桥梁作用。
用换元法分解因式，是把题目中的某一部分或某几部分看成一个整体，设为一个或几个新的变元，从而使代数式的结果简单化，便于分解。
A 卷一、填空题1、分解因式：()()_______________122122=-++++x x x x .2、分解因式：()()()()_______________157531=+++++x x x x .3、（重庆市竞赛题）分解因式：()____________________199911999199922=---x x .4、（第12届“五羊杯”初二试题）分解因式：()()()_____________22333=-----y x y x . 5、（“TI 杯”初中竞赛题）若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .二、选择题6、当1=-y x 时，42233433y xy y x y x xy x ++---的值为（ ）A 、1-B 、0C 、2D 、17、（武汉市选拔赛）若133=-x x ，则199973129234+--+x x x x 的值等于（ ）A 、1999B 、2001C 、2003D 、20058、要使()()()()m x x x x +--+-8431为完全平方式，则m 为（ ）A 、12B 、24C 、196D 、200B 卷一、填空题9、化简：()()()_______________111120022=++++++++x x x x x x x .11、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）在有理数范围内分解因式： ()()()()________________________________________63212=+++++x x x x x二、解答题12、分解因式：（2）()13322132222-+-+-x x x x 解原式()()13211132222---+-=x x x x令y x x =-322，则原式()11112--+=y y y y 92-=()9-=y y()()9323222---=x x x x ()()()32332+--=x x x x（3）()()()91729522---+a a a （湖北省黄冈市竞赛题）解原式()()()()91723352---++=a a a a()()[]()()[]91723352---++=a a a a()()9121215222-----=a a a a 令y a a =-22，则原式()()912115---=y y224362+-=y y()()828--=y y()()8228222----=a a a a()()()827242--+-=a a a a （4）()()42424101314x x x x x ++++-（第13届“五羊杯”竞赛题）解：设y x =+14，则原式()()4221034x x y x y ++-=44221012x x y x y +--=4222x y x y --=()()222x y x y +-=()()1122424+++-=x x x x()()[]2222211x x x -+-=()()()1112222-+++-=x x x x x （5）()()()2121231-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++y x y x xy xy xy （天津市竞赛题） 解：设a y x =+，b xy =，则 原式()()()2121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=a a b b b ()2212a b b -++=()()a b a b -+++=11()()y x xy y x xy --++++=11()()()()1111--++=y x y x （6）()()()3331252332y x y x y x ---+-（第13届“五羊杯”竞赛题） 解原式()()()[]33352332y x y x y x ---+-= ()()()()[]33323322332y x y x y x y x -+---+-= 设a y x =-32，b y x =-23，则原式()333b a b a +-+= ()b a ab +-=3()()()y x y x y x 5523323----=()()()y x y x y x 233215----=C 卷一、解答题13、（安徽省竞赛试题）证明：12000199919981997+⨯⨯⨯是一个整数的平方，并求出这个整数。
初中数学竞赛专题选讲换元法(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.二、例题例1. 解方程1112---++x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .三、练习解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6. x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x .14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.参考答案 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－111.－32,－3512.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y17.设原式=k, k=44218. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。
初中数学竞赛精品标准教程及练习52换元法
初中数学竞赛精品标准教程及练习52换元法换元法是解决一些复杂的代数问题的一种常用方法。
在初中数学竞赛中，我们经常会遇到一些需要通过换元法来简化或改造问题的情况。
下面是一份初中数学竞赛精品标准教程及练习，主要讲解换元法的原理、基本思路以及应用技巧。
一、换元法的原理换元法是通过引入新的变量，使得原问题可以转化为容易解决的形式。
通过合理选择新变量，我们可以改变原来的问题的结构，从而更容易找到解法。
二、换元法的基本思路1.从已知信息中分析问题的性质和特点，并寻找可以引入新变量的可能。
2.根据问题的要求和条件，选择合适的新变量。
3.通过代数变换、化简等方式，将原问题转化为关于新变量的简化形式。
4.利用已知的数学工具和方法，解决新问题。
5.根据新问题的解，反推回原问题的解。
三、换元法的应用技巧1.用几何方法引入新变量：通过引入几何图形的边长、角度等作为新变量，来解决代数问题。
2.用代数方法引入新变量：通过引入未知数、系数等作为新变量，来简化问题。
3.用函数法引入新变量：通过引入函数关系，将原问题转化为关于函数的方程。
四、实例练习题目：已知三个实数a、b、c满足方程组ab + bc + ca = 1a +b +c = ab + ac + bc求a、b、c的值。
解答：1.分析问题：根据已知条件，我们可以将方程组中的a、b、c看作三个变量。
我们可以使用换元法来简化问题。
2. 引入新变量：设a+b+c=p, ab+bc+ca=q，通过引入新变量p和q，我们可以得到新的方程组：q=1p=q3.解决新问题：根据新的方程组，我们可以得到p=1，q=14.反推回原问题：将p和q的值带入原来的方程组，我们可以得到：a+b+c=1ab+bc+ca=1根据以上方程，我们可以求出a、b、c的值。
综上所述，我们通过换元法将原问题转化为新的方程组，然后解决新的方程组，最后反推回原问题。
通过这种方法，我们可以简化问题，找到解法。
通过以上的精品标准教程及练习，我们对换元法有了更深入的理解。
初中换元法解二元一次方程
初中换元法解二元一次方程在初中数学的世界里，有一种方法叫换元法，听起来是不是有点高大上？其实它就是个聪明的“小把戏”。
想象一下，你在解一个二元一次方程，像是遇到了一道难题。
咱们不慌，换个角度，换个“角色”，把方程变得简单明了，就像魔术师变出的小兔子。
先说说什么是二元一次方程。
简单来说，就是形如ax + by = c的方程，x和y就是咱们的主角。
它们就像两位舞者，在数学的舞台上翩翩起舞。
可是这俩家伙的舞步总是对不上，导致我们看得一头雾水。
换元法就像是给他们换了一双舞鞋，让他们能够跳得更顺畅。
想象一下，x有时候在大舞台上不够自信，y就得给它鼓劲。
这个时候，我们可以设x = u，y = v，这样它们就有了新的身份，新的舞台。
怎么换呢？比方说，我们有方程2x + 3y = 12，先设x = u，y = (12 2u) / 3，这样把y“藏”起来，x就能更自由地展现自己。
这时候，看，u就是新的舞者，舞步变得简单又清晰。
咱们可以轻松求出u的值，再代入到y的表达式里，这样就能找到y。
这种方法不就像变魔术吗？你一换，就变成了新的方程。
在生活中，换元法就像是把繁琐的事情简化，比如说，你在厨房里做饭，遇到了一道复杂的菜谱，结果你灵机一动，把一些材料换成了更简单的，比如说换点儿调料。
这样，菜也能做得更顺口。
数学也是一样，换个方式，问题就迎刃而解。
说到这里，许多小伙伴可能会觉得这方法有点难，其实不然，换元法最重要的就是找到合适的“替代品”。
像换鞋一样，合适的才舒适。
如果你换的角色不合适，那可就麻烦了，可能舞蹈就会变成踩脚舞，哈哈。
记得最初学的时候，我也是一头雾水，总是搞不清楚该怎么换。
有一次，老师的一个简单例子彻底点醒了我。
老师说，“就像换口味的冰淇淋，选哪个都能好好享受。
”这下我懂了，换元其实也是让方程更美味的过程。
练习是关键，毕竟“工欲善其事，必先利其器”。
多做几道题，你就会发现，换元法其实是一种乐趣。
像在打游戏，刚开始可能会有些难，但越玩越顺手。
初中数学竞赛代数部分
分式方程与无理方程的应用题
应用题类型：解分式方程和无理方程
解题步骤：设未知数，列方程，解方程
解题技巧：利用方程的性质和技巧，如因式分解、配方法等 应用题实例：求解分式方程和无理方程的实际问题，如工程问题、经济 问题等
方程的近似解法
牛顿法：通过迭代 求解方程的近似解
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函数的性质：函数的性质包括单调 性、奇偶性、周期性等
函数的应用：函数在初中数学竞赛 中经常出现，是代数部分的重要内 容
一次函数与反比例函数
一次函数： y=kx+b，其 中k为斜率，b
为截距
反比例函数： y=k/x，其中k
为常数
一次函数的图 像是一条直线， 反比例函数的 图像是一条双
曲线
一次函数与反 比例函数的区 别在于斜率与 截距的关系， 以及图像的形
状
函数的图像与性质
函数的定义：函 数是一种映射关 系，将自变量x映 射到因变量y
函数的图像：函 数图像是函数在 平面直角坐标系 中的图形表示
函数的性质：函 数的性质包括单 调性、奇偶性、 周期性等
函数的应用：函 数在初中数学竞 赛代数部分中的 应用广泛，如求 解方程、不等式、 最大值最小值等 问题
代数表达式的应用
解方程：利用代 数表达式求解方 程
求值：计算代数 表达式的值
化简：将复杂的 代数表达式化简 为简单的形式
证明：利用代数 表达式进行数学 证明
一元一次方程
一元一次方程的解法
代入法： 将方程中 的未知数 用已知数 代替，求 解出未知 数
加减法： 将方程中 的未知数 移到一边， 另一边的 常数移到 另一边， 求解出未 知数
换元法在数学竞赛中的若干运用(李鑫)
换元法在数学竞赛中的若干运用摘要：在中学数学竞赛中，换元法作为一种重要的解题方法，有着能够将数学问题化繁为简，化难为易的作用。
本文论述换元法在中学数学竞赛中的若干种运用，主要从自身换元、局部换元、整体换元、常值换元、均值换元、参数换元、比值换元及其功能分类等八个方面来论述.关键词：换元法、数学竞赛Abstract前言从往年的竞赛试题看，初中竞赛和高中竞赛题需要用到换元法来求解的问题是相当多的。
在计算题、解高次方程、解无理方程、求函数解析式、不等式的证明、数列等题型中经常能过发挥重要的作用。
通过换元法可以达到化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，化超越式为代数式的转化。
这里我仅结合数学竞赛中常出现的一些题型来谈一谈它在数学竞赛中的一些运用.1.换元法的定义及其相关概念1.1换元法的定义所谓换元法（substitution method; substitution; changing yuan）是一种设辅助元素，把题中一个（些）字母的表达式用另外的一个字母（些）字母的表达式来代替，从而达到把要求解的问题简单化，建立已知和未知的联系的方法.在解决数学竞赛试题时，有时我们直接按原始的方法去解决问题会显得比较繁琐和困难，或者原问题所给已知条件不易得出最后结果，或者所给问题不好下手，那么这时如果我们能够引人新的“元”代替旧的“元”，使得建立在“新元”基础上的条件和问题得到了化繁为简、化难为易，容易得出最后的正确结果。
这就是换元法之所在.1.2换元法的基本思想化繁为简、化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式、化不熟悉为熟悉.1.3换元法的一般步骤①构造新元②解答③求出原解转化代价代换2.换元法的分类及典例分析2.1从结构上划分2.1．1自身换元法在数学竞赛中，我们经常会遇到一些很繁杂的计算题，如果按照原始的方法去计算，如果按照原始的方法去计算，将会使计算过程变的复杂难解，甚至不能得到最后的正确结果，这时我们常会用到“自身换元法”。
例析均值换元法解数学竞赛最值问题
2020年第11期中学数学研究・63・例析均值换元法解数学竞赛最值问题江苏省南京市第二十九中学致远初级中学（210029）蔡俊剑将几个量的平均值作为辅助元，这种换元法称为均值换元法•例如将%+*=m中的％,*分别用2 +/号-/来代换，这种代换就称为均值换元.均值法的应用非常广泛，以几道数学竞赛题为，介绍其在求最值中的作用.一、求最例1（2016中数学联赛初三年级试题）设实数%,*,4满足％+*4=1，则M二％*+2*4+ 3%z的最大值为'）.123（2）1（5）3（C）'（D）1解：因为%+*+4=1,所以%+*=1-4.故可设（宁+/（宁4）+2（宁-）4+34・（L-+ /二+（-942+8z+4/—4/+1），化简整理得942-4（方+2）z+4/+4M-1二0，将此式视为关于4的一二次方程，且有实数根，因此0，7 16（t+2）2-36（4/+4M-1）*0，化简整理得M#-y（/-+）+#，因而当方二+时，.最大值二+故选C评注：本题依据已知条件%+*+4=1,M=%*+ 2*4+3%4,通过均值换元消去％,*,构一个关于力的一元二次方程，再利用有实数根的条件，“大”建立M的最大值.解题过程巧妙自然，构思精彩，耐人回味.例2（2003中数学联题）已知实数%1*满%2+f$+2②求％的最大值-解：由①可设％，筈丄+/*=专丄—/将其代入②中得(丸#+/2+(^-/2=4&2-2& +2，化简整理得&2-2&-3二-4/，因为-4/#0，所以&2-2&-3#0，即'&+1)(&-3)#0，所以&+1*0，&+1#0，{&-3#0或{&-3*0，解得—1#.从而%*=(%+*)2_(%2+*2)_(3&_1)2_(4&2_2&+2) 2二2最大值为16.评注:根据题设巧用均值换元，再结合因式公解十字相乘法，通过解一元二次&的取范围，合配方技巧求得%*的最大值•方法巧妙，解法新颖，匠心独具，令人赞叹.二、求最小值例3（2007中数学竞赛试题）已知& +'二1，求&2+'2的最小解：因为&+b=1，所以可设&二*+/'二+一力,则&2+'2=（*+/2+（*-彳）2二*+2/2*1，故&2+b2的最小值是2（这时方二0，即&二b二*）.评注：本题运用均值代换，其绝妙之处在于能最值问题关方的函数的最小问题，从而只要令/二0即可.其解法简捷明晰，别具风味.例4（2012年“希望杯”全国数学二第二题）如图1，已知边长为1的个正方一个“品”字，求“品”字的最小圆的面积.解析％“品”字的最小际是四边形ABCD的外接圆.“品”字形的高EF=2（（，由轴对称性知，四边形ABCD的外心在EF 由EO+FO=2，由，设E：=1+t,FO= 1-/外接圆的半径为?,由轴对称性知+E=*CD 二*,在Rt AAFO和Rt$DEO中，由勾股定理得3r1+（1-/2二？2,卩二16,[1）2+（1+/2=?解得?242=所以覆盖H2丿I一256°c425“品”字形的最小圆的面积为S="256评注：本题的等量关系隐藏在图形中，运用均-64-中学数学研究2020年第11期值换元法，用平均数和一个字母表示图中两条线段的长，既形象直观地表示出圆心的位置，又使计算简单明晰，令人耳目一新.三、求最大值和最小值例5（2001年全国初中数学竞赛题）已知实数&,'满足&2+&'+'2=1,且t—&'-&2-'2.试求t 的最大最小!解：由题设知&2+'2-〒'①,4&2'2-(1+t2②.由①式可设&2二1-+P,'21-1—丁->.代入②式得'（宁+P）d（宁=（1+/$，整理得（t+3）（3/1）二-16>,而一16>#0,所以（t+3）（3方+1）#0,解得-3#t#-1，故t的最大 值是-丁，最小值是-3.评注:对已知条件变形，先求得&2+'2=\-,再运用均值换元法结合一元二次不等式求最值,可见均值换元技巧在解题中的重要作用.例6（2004年“信利杯”全国初中数学竞赛题）设实数％,*,4满足％+*+4二5,%*+*4++4二3,试求4的最大值和最小值.、5-4解：由%+*+4=5，得%+*=5一4设％二+二5?4一一,代入%*+*4++4=3,化简整理得342-104-13=-412.因为—4/#0,故342-104-13#0,解得-1#2#琴，所以4的最大值是琴，最小值是-1.评注：本题题设为三元二次方程组，如按常规方法直接求4的最大值和最小值,很困难，但由%与5—4*的和是5-4,那么％与*的平均值就是丁.因此借助于均值换元，通过化简整理得到关于z的一元二次，解最大和最.例7（第31届IMO国家集训队测试题）设实数{%+*—=—12求4的最大最小.%*=—-74+14,解：由%+*—4-1,可设%—4-1+/*—=-y1-t,代入%*—42-74+14得（4-1+/（4—1-/—42 -74+14，即'4-1）2-t2—42-74+14,即42-24+1 -412—4z2-284+56，整理得342-264+ 55—-412,所以342-264+55#0，解得¥#Z#5，故Z的最大值是5，最小值是¥.评注:本题已知条件是关于％、*、4的三元二次，要通题设4的最大和最4-1困难，然而通过%+*—4-1—2d丁，再利用均值换元巧妙求得最值.其方法新颖简捷，别有风味.其解法既减少了计算量，又降低了解题的难度，充分显示了均值换元法的优越性.综上可知，均值换元法的应用是极其广泛的，方法通俗易懂，既有利于学生融会贯通“基础知识和基本技能”，又有利于帮助学生提高综合解题水平，对于启迪学生思维、开阔学生视野，培养学生学数学、用数学、研究数学的兴趣均颇有益处.*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%一道地中海地区数学奥林匹克试题推广——兼论一个条件的多余江苏省姜堰中等专业学校（225500）陈宇第21届地中海地区数学奥林匹克第4题:在锐 角中，AE,AF为的三等分线，且分别与$ABC的外接圆交于点.,7,分别在边4）,AC上取点P,R,使得）PEA—）B,）AER—）C.设PR与4E交于U,U7与BC交于+.证明：寻+爲-E+。
初中数学重点梳理：换元法
换元法 知识定位很多时候，我们遇到的问题直观比较复杂，在这种情况下把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
知识梳理知识梳理1：换元法在因式分解中的运用利用换元法分解因式，就是将多项式中的某一部分用一个新字母（元）来代替，进行变量替换，将问题转化，从而起到化繁为简、化隐为显、化难为易的作用。
知识梳理2：换元法在解方程中的运用换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的 效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。
例题精讲【试题来源】【题目】分解因式：()()a a a a a 22216112++-++【答案】【解析】直接换元设a m 21+=，则原式=+-+()()m a m a a 6122=-+=--=+-+-=-+-m am a m a m a a a a a a a a 22222256231213311()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a ----24 【答案】【解析】双元换元设b c m c a n -=-=，则a b m n -=-+()，原式=-+-[()]m n mn 24=-=---=+-()[()()]()m n b c c a a b c 2222【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b ab a b ab +-+-+-2212【答案】【解析】和积换元设a b m ab n +==，原式=--+-()()()m n m n 2212=---+=--=+--=--()()()()()()m n m n m n a b ab a b 22222211111【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()ab a b ab a b --+---1222 【答案】【解析】和差换元设a b ab m n +-=+22--=-a b m n则m ab n a b ab =-=+--11， 原式=-+-m m n m n 2()()=--=m m n n 2222()=+--=--()()()a b ab a b 111222【知识点】换元法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：a a a 42200320022003+++【答案】【解析】常值换元设2003=m ，则20021=-m ，原式=++-+a ma m a m 421()=-+++()()a a m a a 421=++-+=++-+()()()()a a a a m a a a a 2222112003【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()()x m x m x m x m m +++++2344 【答案】【解析】均值换元 原式=+++++()()x mx m x mx m m 222245456 设n x mx m x mx m =+++++1254562222[()()] =++x mx m 2255则原式=-++()()n m n m m 224==++n x mx m 222255()【知识点】换元法 【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】分解因式：291492432a a a a -+-+【答案】【解析】倒数换元 原式=-+-+a a a a a 222291492()=+-++a a a a a 222219114[()()] 设a a m +=1，则原式=--+a m m 2222914[()]=-+=--a m m a m m 2222910225()()()=+-+-=-+-+=---a a a a a a a a a a a a 222212225212521221()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a abc ++++【答案】【解析】变形后换元原式=++-++-++-+()()()a b c c a b c a a b c b abc设a b c m ++=，则原式=---+()()()m c m a m b abc =-+++++-+=-+++=++++m a b c m ab bc ca m abc abcm m m ab bc ca mab bc ca a b c 3232()()()()()·【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()a a a 212472----【答案】【解析】整体换元原式=+----[()()][()()]a a a a 141272 =---+-()()a a a a 22343272设a a m 232-+=，则原式=--()m m 672=--=-+=-+--++=+--+m m m m a a a a a a a a 222267212632123262538()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()12323+++-m m m m【答案】【解析】局部换元设12++=m m a ，则原式=+-()a m m 323 =++-=++-=++-=++-=++++++a am m m a am m m a am m m aa a m m m m m m m m m 23632333233343223422121211()()()()()【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：x 4+(x －4)4=626.【答案】x=5；或x=－1.【解析】（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .【答案】x=－2+3；x=－2－3； x=2；或x=21. 【解析】∵这是个倒数方程，且知x ≠0， 两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25.由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x 【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x . 【解析】（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】 【题目】解方程=++++)7(27x x x x 35－2x. 【答案】【解析】7=x x t ++则原式变为2t 420t +-=，解得t = -7 或 6【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2. 【答案】【解析】可以换元令16x 2－9 = a ，9x 2－16 = b ，25x 2－25 = a + b 则原式变为 ()222a ab b a b++=+化简得ab = 0即【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(2115-+x )4+(2315-+x )4=16.【答案】1，3【解析】【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程x x x x 112+++=223.【答案】无实数解【解析】x x x x 112+++=223 即111x x x x +++=223.令1x x + = t原方程变为1t t +=223.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程组【答案】【解析】【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2， 那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.【答案】-2【解析】【知识点】换元法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】4【试题来源】 【题目】解方程1112---++x x x =x. 【答案】45 【解析】设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3。
和差换元法在数学竞赛中的应用
ｐｇ ｍ 一 ｎ ＝１一Ｉ ｔ ≤ ｌ，
解 ： 由 题 目 知 ： ｛ ： ６ ） ＋ １ ６ ， 将 （ 。 一 ６ ） 看 作 一 个 整 体 ，
Ｐ ＋ ｑ ＝（ Ｐ＋ ｑ ） 【 （ Ｐ＋ ｑ ） 一 ３ ｐ ｑ 】 ＝ ８ — ６ ｐ ｑ ２ ． 即Ｐ ｑ 的最 小值为 ２ ．
又 ， 一ｎ ２＝ ＋１ ６， ． ・ ．一， ＝ ≥Ｏ ， 竞赛 常见三 类题 型 中的应用 。 得 ｚ＝ ０， ｎ＝０ ． ． ‘ ． ＝Ｙ＝４。 ． ’ ． ＋２ ＋３ ｚ＝１ ２ ． 类 型一 ： 已知 两个 数 的 和为 定值 ， 求 这 两 个 数 的 幂 的 和 的最 例４ ： Ａ Ａ Ｂ Ｃ的三边 口 ， ｂ ， ｃ 满足 ｂ ＋ ｃ ＝ ８ ， ｂ ｃ ＝ ａ 一 １ ２ ａ＋ ５ ２ ， 问 值或值 的 问题 。 ＡＡ Ｂ Ｃ是什么三角形？（ 按边分） ． 例１ ： 已知 ｐ ， ｑ Ｅ Ｒ， 满足 Ｐ＋ ｑ ＝ ２ ， 求Ｐ ＋ ｑ ’ 的最 小值． 解： 令Ｐ ＝ｍ＋ ｎ ， ｑ ＝ ｍ— ｔ Ｉ ’ ． ． ． Ｐ＋ ｑ ＝ ２ ｍ， 解 得 ｍ＝１ ．
关 键词 ： 和 差换元 法 ； 换元 法 ； 数 学竞赛 中图分 类号 ： Ｇ ６ ３ ３ 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ０ ５ — ０ ０ ３ ２— ０ １
换 元法 是求解 许多 数学 问题时 常用 的 一种 方法 ， 它 可 使 复杂 问题变 得简 单易解 ． 其 中有一 种换元方 式作 如 下变 换 ： ＝ ｍ＋ ｎ ， ｙ
符合类型一． 所 以仿例３ ， 令ｂ ＝ ｍ＋ ｎ ， ｃ ＝ｍ— ｎ ， 最终可以解得 ｂ ＝
ｃ ＝ ４ ， ａ＝ ６ ， 所以Ａ Ａ Ｂ Ｃ为等腰 三角 形． 类 型三 ： 解 决满足 如 下 条 件 的二 元 二次 方 程 的相 关 问题 ： 题 目中 出 现 形 如 ＋ａ ｙ ２＋Ｂ ｘ ｙ＋Ｅ ｙ一 ＋Ｆ ＝０且 满 足
初中数学换元法
初中数学换元法数学中的换元法指通过一个一次或多次函数变换将原方程转化成更易解的方程的方法。
它在初中数学中主要应用于简化复杂的代数式和解方程，主要有以下几种类型。
1. 代数式的化简当出现一次多项式和一个二次多项式相乘时，可以使用一个新的变量，将二次项的系数给去掉。
例如：x^2 + 6x = (x+3)^2-92. 解一元一次方程组对于一元一次方程组，也可以使用换元法进行求解，通过将其中一个方程的某一变量项代入到另一个方程中，从而消去一部分未知数。
例如：\begin{cases} x-y=3\\ 2x+y=7\end{cases}，可将第一个方程中的 y 用 3-x 表示，代入第二个方程，得到 x=2，进而求出 y=-1。
3. 解一元二次方程对于一元二次方程，可以通过变换将其化为一元一次方程。
例如：x^2-5x+4=0，令 x=y-\dfrac{b}{2a}，代入原方程即可求解 y，再通过还原变量得到 x。
4. 解三角函数方程对于某些三角函数方程，可以通过一些简单的代数变换将其转化为其他类型的方程，例如：\sin^2 x - \sin x -2=0，令 y=\sin x，则原方程变为 y^2-y-2=(y+1)(y-2)=0，解得 y=-1 或 y=2，进而求出 x。
5. 解根式方程对于一些含有根式的方程，可以通过换元法将其化为一元二次方程，例如：\sqrt{2x+5}-\sqrt{x+1}=1，令 y=\sqrt{x+1}，则原方程变为\sqrt{2y^2+3}-y=1，化为 2y^2-2y-2=0，解得 y=1+\sqrt{2} 或y=1-\sqrt{2}，进而求出 x。
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初中数学竞赛：换元法
【内容提要】
1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.
2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.
例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.
3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.
4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.
5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2
+bx+a=0. 两边都除以x 2,得a(x 2+2
1x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.
对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.
ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.
形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x
)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x =y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.
【例题】
例1. 解方程1112---++x x x =x.
解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .
原方程化为： y －
21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.
当y=0时，
11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，
解得，x=4
5. 检验（略）.
例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.
解：（用平均值2
4-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2. 原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.
［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2
－626=0
整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).
(y 2+33)(y 2－9)=0.
当y 2+33=0时， 无实根 ；
当y 2－9=0时， y=±3.
即x －2=±3，
∴x=5；或x=－1.
例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .
解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0， 两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.
解得 y=－4；或y=2
5. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.
由y=2.5得 x=2；或x=
2
1. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++0
1012124012522222y x y xy x y x y xy x 解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：
⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .
【练习】
解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++
)7(27x x x x 35－2x. 2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .
4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4
=16.
5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=1
6. 6. x x x x 11
2+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x .
10. 5
63964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6. 12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x . 14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++0
1823312y xy y y x y x . 15
x x x x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .
17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.
则a=___,b= ____,c=_____,d=____
18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，
那么 方程 ［3x+1］=2x －
2
1 的所有根的和是_____.
【答案】 1. 2212
29 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.2
1,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==7
27272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==55
5555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－1 11.－32,－3
5 12.⎩
⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨
⎧==8228y x y x
14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==10
31041031041513y x y x y x y x 15. x=
251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y
17.设原式=k, k=442
18. –2可设2x －
21=t, x=21t+41代入[3x+1]。