第04章 差异量数思考题

• ②已知不同质的观测值的次数分布为正态时， 可用Z分数求不同的观测值的总合或平均值， 以表示个体在团体中的相对位置。 • 例如高考各科成绩为正态分布，但各科成绩 的难易度不同，因此各科成绩就属于不同质 的分数，如果简单地将各科成绩加起来或求 平均数，这是不科学的。如果用Z分数求综 合才更有意义，也更科学。
X
• CV1=(0.7/1.3)×100％＝53.85％
• CV2=(1.2/4.3)×100％＝27.91％
• 答：5cm组的差异比10cm组的离散程度大
8.P1073
• 求总标准差不做要求。
9.求下表数据分布的标准差和 四分位差。（p107）
• 解：应用分组数据求标准差和四分位差的公式求 解： 2 2 2
第四章
差异量数思考与练习题
• 1.度量离中趋势的差异量数有哪些？为什么要度量 离中趋势？ • （1）有全距、四分位差、百分位差、平均差、标准 差和方差等。 • （2）在心理与教育研究中，要全面描述一组数据的 特征，不但要了解数据的典型情况，而且还要了解 特殊情况。这些特殊性常常表现为数据的变异性。 因此，只用集中量数不可能真实地反映出它们的分 布情形。为了全面反映数据的总体情况，除了必须 求出集中量数外，这时还需要使用差异量数。
• 应用标准分数求不同质的数据总和时， 应注意不同质的观测值的次数分布应该 是正态的。因为标准分数是线形变化， 不改变原始分布的形态，只有原始分布 是正态时，转化后的标准分数才是正态。
5.计算下列数据的标准差与平均差：11.0， 13.0，10.0，9.0，11.5，12.2，13.1， 9.7，10.5。
• ③全距计算简便，容易理解，适用于所有类 型的数据，但它易受极值影响，测量也太粗 糙，只能反映分布两端值的差值，不能显示 全部数据的差异情况，仅作为辅助量数使用。 • ④平均差容易理解，易于计算，能说明分布 中全部数值的差异情况，缺点是会受两极数 值的影响，但当数据较多时，这种影响较小， 因有绝对值也不适合代数方法处理。
3.标准差在心理与教育研究中除度量 数据的离散程度处还有哪些用途？
• 作为一个非常优秀的差异量数，标准差有着非常广 泛的用途。 • （1）差异系数。 • 比较同质性数据的离散程度的大小时，如果平均数 相同，可以直接比较标准差的大小。但是： • ①当进行两个或两个以上的样本资料不同质； • ②即使是同质性数据，其平均数相差较大时；比较 其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与 平均数的比值（相对值）来比较。 • 变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对 两个或多个资料变异程度比较的影响。
• 解：
S
X X
2
2
N
N
1.37
≈ 1.37
AD

i 1
n
xi X n
• ≈1.19
• 答标准差为1.37，平均差为1.19。
6.计算p53（第2章习题4.）所列 次数分布表的标准差、四分差。
f ( x x )2 解（1）应用公式： S f fx 2 ( fx) 2 / f
3 65 45 4 Q2 187.25 12.5 192.45 9
Q3 Q1 Q 16 .68 2
答：标准差为26.3，四分位差为16.68
7. p107
• 解：由于两组数据平均数和标准差都 有很大的差异，因此应该用差异系数 比较两组数据的离散程度。 • 将数据代入公式： S CV ×100％，得
• ⑤百分位差易理解，易计算，不易爱极值影响， 但不能反映出分布的中间数值的差异情况，也 仅用作辅助量数。 • ⑥四分差差意义明确，计算方便容易，对极端 值不敏感，较不受极端值影响。当组距不确定， 其它差异量数都无法计算时，可以计算四分位 差。但是，四分位差无法反映分布中所有数据 的离散状况，不适合使用代数方法处理，受抽 样变动影响较标准差大。 • 通过比较，可以发现标准差和方差价值大，它 们的应用也比较广泛，因此，一般称标准差、 方差为高效差异量。相比较而言，其它差异量 数，如全距、平均差、百分位差和四分位差等 缺点比较明显，应用也受到限制，故称它们为 低效差异量数。
（2）标准分数 标准分数是以标准差为单位，表示一个分数在团体中所处位置 的相对位置量数。
标准分数的应用： ①用于比较分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置 的高低。这样就能进行不同观测值的比较。 • 相对位置包括两层意思：一是表示原数目以平均数为中心， 以标准差为单位，所处距离的远近或方向；二是表示表示原 数目在该组数据分布中的位置，即在该数目以上或以下的数 目有多少。如果是正态分布中，这两个意思合而为一，在偏 态分布中就不能同一。 ②已知不同质的观测值的次数分布为正态时，可用Z分数求不同 的观测值的总合或平均值，以表示个体在团体中的相对位置。
2.各种差异量数各有什么特点？
• ①标准差计算最严密，它根据全部数据求得，考 虑到了每一个样本数据，测量具有代表性，适合 代数法处理，受抽样变动的影响较小，反应灵敏。 缺点是易受极端数据的影响。 • ②方差的描述作用不大，但由于它具有可加性， 是对一组数据中造成各种变异的总和的测量，通 常采用方差的可加性分解并确定属于不同来源的 变异性，并进一步说明各种变异对总结果的影响。 因此，方差是推论统计中最常用的统计量数。
f
求次数分布表的标准差，得s≈26.3 （2）应用公式：
Q1 Lb
百度文库
1 N Fb 4 f
*i
3 N Fb Q3 Lb 4 *i f
1 65 12 4 Q1 150.25 12.5 159.10 6
1 65 12 4 Q1 150.25 12.5 159.10 6
• 例题：某校期中考试物理均分为80，标准差 为4分，英语成绩均分为78，标准差为10分， 某生物理成绩和英语成绩均为85分，问该生 的英语成绩和物理哪一科更好？ • 解：Z物理＝（85－80）/4＝1.25 • Z英语＝（85－78）/10＝0.8 • 问该生的英语成绩和物理哪一科更好？ • 答：该生物理成绩好于英语成绩
P100例4－10利用Z分数求总和
问题：如果这两个考生只录取一个该录取谁？
• ③表示标准测验分数
• 经过标准化的心理或教育测验，如果其常模分数 接近正态，常转化为标准正态分数。其转化公式 为： • Z′＝aZ＋b • 式中Z′为正态标准分数z＝（X－X） /σ ， a,b为常数，σ为测验常模的标准差。 • 如：韦氏离差智商为：IQ＝15Z＋100 注：T分数一般是指对学生的各科成绩计算 标准分数。转换公式为T＝ 10 *Z+50
S
f ( Xc X ) f

fx
( fx ) / f
f
• S＝11.82
Q1 Lb
1 N Fb 4 f
i
3 N Fb 4 Q3 Lb i f
Q3 Q1 Q3 1 4 4 2
1 55 9 4 Q1 39.5 5 42.89 7
1 65 12 4 Q1 150.25 12.5 159.10 6
Q3 Q1 Q 7.76 2
答：标准差为11.82，四分位差为7.76
3 55 35 Q2 54.5 4 5 58.41 8
• 可做一些练习题（P50）
（3）异常值的取舍
• 在一个正态分布中，平均数上下一定的 标准差处，包含有确定百分数的数据个 数。根据这个原理，在整理数据时，常 采用三个标准差法则取舍数据，即如果 数据值落在平均数加减三个标准差之外， 则在整理数据时，可将此数据作为异常 值舍弃。（3σ原则）
4.应用标准分数求不同质的数据时应注意什么问题？