河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试数学试题(理)及答案
2018新课标全国卷3高考理科数学试题及答案解析
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B ．22C ．2D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．3B．3C．3D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r=λAB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(全国卷1,解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷1）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到，根据复数模的公式，得到，从而选出正确结果.详解：因为，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目.2. 已知集合，则A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式得，所以，所以可以求得，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.4. 设为等差数列的前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.5. 设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.6. 在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B.C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.8. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.9. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A详解：设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.11. 已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第1课 三点共线 变式拓展+向量+命题探秘第二版一题一课
= a1 瓦；+ a200 反劣，且 A,B,C 三点共线（该直线不过原点 0)，则 S209 一（ )
A. 100
B. 101
C. 200
D. 201
方法 由 A,B,c 三点共线，可得 a1 + a200 = 1，所以 SS22。0。0 - 2 00 (a1广 a200) =100 乙
故选 A. 令 A1 = a1 ,A2 = a2017 ，求“1009 ，可编题 2. 题 2 （河北省衡水中学 2018 届高三上学期九模考试理科第 6 题）已知数列恤价为
1．图形的特征：OP,OA,OB 三向量共起点，A,P,B 三点共线，但其位置并没有上、下
（或左、右）之分；
2．公式的特征：向量瓦不，石百的系数之和等于 1（即为向量石声的系数）;
3 公式的变形若将条件变为 A0声 = A1 丽+A2 丽，即石声鸽丽＋督0百，则 A,
尸，刀三点共线，当且仅当份＋粉 1，即 A1 十 A2 = 几，其特征为左端向量的系数等于右端 两向量的系数之和；
由三点共线向量式定理，可知平面内一组基底〔皿，OB 及任一向量0尸 'OP 一 A1 OA+ A2 石百（儿 ,A2 任 R) ，则 A,P,B 三点共线，当且仅当 A +A2 = 1.
如将基底向量瓦；，石百的系数 A1 ,A2 用等差数列中的项置换，借助等差数列的对称 性，可编拟新题．
如令 A1 = a1 ,A2 = a200 ，求 S200 ，可编题 1. 题 1 (2006 年高考江西卷理科第 7 题）已知等差数列恤”｝的前 n 项和为 s,, ，若0归
注 本题也可以用排除法，由石右 =3乙右知，B,c,D 三点共线，故万苏 = A1 万百 + A2
2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析)
2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析) 数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理科数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{10}A x x =-∣≥,{0,1,2}B =,则A B = ( )A .{0}B .{1}C .{1,2}D .{0,1,2} 2.()(1i 2i)+-=( )A .3i --B .3i -+C .3i -D .3i +3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )ABC D 4.若1sin 3α=,则cos2α=( )A .89B .79C .79-D .89-5.252()x x+的展开式中4x 的系数为( )A .10B .20C .40D .806.直线2=0x y ++分别与x 轴,y 交于A ,B 两点,点P 在圆22(2)=2x y -+上,则ABP △面积的取值范围是( )A .[2,6 ]B .[4,8]C .[2,3 2 ]D [ 22,32] 7.函数422y x x =-++的图象大致为( )ABCD8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =,()6(4)P X P X ==＜,则p =( )A .0.7B .0.6C .0.4D .0.39.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC △的面积为2224,则C = ( )A .π2B .π3C .π4D .π6毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）10.设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D ABC -体积的最大值为( )A .123B .183C .243D .54311.设1F ,2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点,O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若1||6||PF OP =,则C 的离心率为 ( )A .5B .2C .3D .2 12.设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则( )A .0a b ab +＜＜B .ab a b +＜＜0C .0a b ab +＜＜D .0ab a b +＜＜第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量2)(1,=a ,)2(2,=-b ,),(1λ=c .若2()+∥c a b ,则=λ . 14.曲线)e (1xy ax =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-,则a = .15函数π()cos(3)6f x x =+在[0,π]的零点个数为 .16.已知点1()1,M -和抛物线C ：²4y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若90AMB ∠=,则k = .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.) (一)必考题：共60分. 17.(12分)等比数列{}n a 中,11a =,534a a =. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min )绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过超过m不超过m第一种生产方式 第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()(a b)(c d)(a c)(b d)n ad bc K -=++++,2()P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.82819.(12分)-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析)数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.20.(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ,B 两点,线段AB 的中点为(1,)()M m m ＞0.(1)证明：12k ＜-；(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=.证明：FA ,FP ,FB成等差数列,并求该数列的公差. 21.(12分)已知函数22()()ln(1)2f x a x x x x +=-++.(1)若0a =,证明：当10x -＜＜时,()0f x ＜；当0x ＞时,()0f x ＞； (2)若=0x 是()f x 的极大值点,求a .(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)在平面直角坐标系xOy 中,O 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),过点(0,2)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.23.［选修4—5：不等式选讲］(10分) 设函数()211f x x x =++-. (1)画出() y f x =的图象；(2)当[ 0),x ∈+∞,()b x f ax +≤,求a b +的最小值.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】∵={1}A x x ｜≥,{0,1,2}B =,∴={1,2}A B ,故选C .2.【答案】D【解析】21i 2i)(2i 2i i 3i )(+-=-+-=+,故选D . 3.【答案】A【解析】两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A .故选A . 4.【答案】B 【解析】由1sin 3α=,得22127cos212sin 12()=1=399αα=-=-⨯-.故选B .5.【答案】C【解析】252()x x+的展开式的通项251103155()(2)2r r r r r r r T C x x C x ---+==,令1034r -=,得2r =,所以4x 的系数为225240C ⨯=.故选C . 6.【答案】A【解析】由圆22(2)=2x y -+可得圆心坐标(2,0),半径r =ABP △的面积记为S ,点P 到直线AB 的距离记为d ,则有12S AB d =.易知AB =maxd ==min d =所以26S ≤≤,故选A .7.【答案】D【解析】∵42()2f x x x =-++,∴3()42f x x x '=-+,令()0f x '＞,解得x ＜或x 0＜此时,()f x 递增；令()0f x '＜,解得x ＜0或x ,此时,()f x 递减.由此可得()f x 的大致图象.故选D . 8.【答案】B【解析】由题知~1()0,X B p ,则(101 2.4)DX p p =⨯⨯-=,解得0.4p =或0.6.又∵()6(4)P X P X ==＜,即446664221010(1)(1)(1)0.5C P p C P p p p p --⇒-⇒＜＜＞,∴0.6p =,故选B .9.【答案】C【解析】根据余弦定理得2222cos a b c ab C +-=,因为2224ABCa Sbc +-=△,所以c 42os ABC ab C S =△,又1sin 2ABC S ab C =△,所以tan 1C =,因为π()0,C ∈，所以4C π=.故选C .10.【答案】B【解析】设ABC △的边长为a ,则1sin60=932ABC S a a =△,解得6a =(负值舍去).ABC △的外接圆半径r 满足62sin60r=,得r =球心到平面ABC 的距离为2=.所以点D 到平面ABC 的最大距离为246+=,所以三棱锥DABC -体积的最大值为163⨯=故选B .11.【答案】C【解析】点2(,0)F c 到渐近线b y x a =的距离2(0)PF b b ==＞,而2OF c =,所以在2Rt OPF △中,由勾股定理可得OP a ,所以1PF ==.在2Rt OPF △中,222cos PF b PF O OF c∠==,在12F F P△中,2222222121221246cos 22PF F F PF b c a PF O PF F F b c+-+-∠==⋅⋅2,所以222222463464b b c a b c a c bc +-=⇒=-,则有22223()46c a c a -=-值舍去),即e =.故选C .2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析)数学试卷 第9页（共20页） 数学试卷 第10页（共20页）12.【答案】B【解析】解法一：∵0.20.2log 0.3log 1=0a =＞,22log 0.3log 1=0b =＜,∴0ab ＜,排除C . ∵0.20.20log 0.3log 0.2=1＜＜,22log 0.3log 0.5=1-＜,即01a ＜＜,1b ＜-,∴0a b +＜,排除D .∵220.2log 0.3lg0.2log 0.2log 0.3lg 2b a ===,∴2223log 0.3log 0.2log 12b b a -=-=＜,∴1bb ab a b a+⇒+＜＜,排除A .故选B . 解法二：易知01a ＜＜,1b -＜,∴0ab ＜,0a b +＜, ∵0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b +=+=＜, 即1a bab+＜,∴a b ab +＞, ∴0ab a b +＜＜.故选B .第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】12【解析】由已知得2(4,2)+=a b .又,()1c λ=,2()+∥c a b ,所以42=0λ-,解得12λ=. 14.【答案】3-【解析】设(e ))1(x f x ax =+,则()()1e x f x ax a '=++,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率(0)12k f a '==+=-,解得3a =-. 15.【答案】3【解析】令()0f x =,得πcos(3)6x +,解得ππ+()39k x k =∈Z .当0k =时,π9x =；当1k =时,4π9x =；当2k =时,7π9x =,又[ 0,π]x ∈,所以满足要求的零点有3个.16.【答案】2【解析】解法一：由题意可知C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k 的直线方程为1y x k =+,设111,y A y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,221,y B y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,将直线方程与抛物线方程联立得21,4,y x k y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩整理得2440y y k --=,从而得124y y k +=,124y y =-.∵1()1,M -,90AMB ∠=,∴0MA MB =,即1212(2)(2)(1)(1)0y yy y k k+++--=,即2440k k -+=,解得2k =.解法二：设11A(,)x y ，22(),B x y ,则2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩①②②-①得2221214()y y x x -=-,从而2121124y y x x k y y --+==.设AB 的中点为M '，连接MM '.∵直线AB 过抛物线24y x =的焦点，∴以线段AB 为直径的M '⊙与准线:1l x =-相切.∵1()1,M -,90AMB ∠=,∴点M 在准线:1l x =-上,同时在M '⊙上,∴准线l 是M '⊙的切线,切点M ,且MM l '⊥,即MM '与x 轴平行,∴点M '的纵坐标为1,即1212221y y y y =⇒++=,故124422y y k =+==. 故答案为：2. 三、解答题17.【答案】(1)解：设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =,解得0q =(舍去)或2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=. (2)若1(2)n n a -=-,则1(2)3nn S --=.数学试卷 第11页（共20页） 数学试卷 第12页（共20页）由63m S =得(2)188m -=-.此方程没有正整数解.若12n n a -=,则21n n S =-.由63m S =得264m =,解得6m =. 综上,6m =.【解析】(1)解：设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q-=.由已知得424q q =,解得0q =(舍去)或2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=.(2)若1(2)n n a -=-,则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m -=-。
河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试数学(文)试卷(解析版)
洛阳市2017--2018 学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：首先应用复数的运算法则，将复数化为最简形式，根据复数在复平面内对应的点的坐标，确定其所在的象限即可求得结果.详解：，在复平面内对应的点为，所以在第四象限，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及复数在复平面内对应的点的坐标，从而确定出其所在的象限.2. 已知集合，.若，则实数的值是（）A. 0B. 2C. 0或2D. 0或1或2【答案】C【解析】分析：解题时利用子集的概念即可得结果.详解：当时，，满足；当时，，满足；所以或，所以实数的值是0或2，故选C.点睛：该题考查了子集的概念，属于基础题.3. 下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合函数奇偶性的定义，由条件判断各个选项中函数的奇偶性，从而得出结论.详解：由于A中的函数为非奇非偶函数，故排除A；由于B、D中的函数的定义域为R，且满足，故它们都是偶函数，故排除B、D；对于C中的函数，的定义域为，且满足，所以它是奇函数，故选C.点睛：该题考查的是函数奇偶性的判定，解题的关键是根据与的关系判断函数的奇偶性，在解题的过程中，首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称，之后再根据奇函数的定义判断，得出结果.4. 已知平面向量，，，若，，则实数的值为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】分析：首先应用向量的数乘及坐标加法运算求得的坐标，然后直接利用向量共线时坐标所满足的条件，列出等量关系式，求解k的值.详解：因为，所以，又，由得，解得，故选B.点睛：该题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量平行时坐标所满足的条件，正确地把握向量的坐标运算是解题的关键，在解题时，一定要熟记向量共线时坐标的关系，从而正确得到等量关系式求解即可.5. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A. B. 3 C. 5 D.【答案】A【解析】分析：首先求出抛物线的焦点坐标，之后利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，，先求出，再求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，之后应用点到直线的距离公式求得结果.详解：因为抛物线的焦点坐标为，依题意，，所以，所以双曲线的方程为，所以其渐近线方程为，所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为，故选A.点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点坐标，以及双曲线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式，在求解的过程中，首先需要求出抛物线的坐标，之后借助于双曲线中之间的关系，求出，之后求得渐近线方程，接着应用点到直线的距离公式求得结果.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 8【答案】A【解析】分析：首先利用题中所给的三视图将几何体还原，因为正视图、侧视图和俯视图外轮廓都是正方形，所以就得到该几何体是由正方体切割而成的，从而得到其为正方体切去一个三棱锥，之后应用减法运算求得该几何体的体积. 详解：根据题中所给的几何体的三视图，可以得到该几何体是由正方体切割而成的，记正方体为，取中点为，取中点为N，该几何体就是正方体切去一个三棱锥之后剩余部分，故其体积为，故选A.点睛：该题考查的是有关根据三视图还原几何体，求其体积的问题，解题的关键是将几何体还原，在分析的过程中，能够得出该几何体与正方体有关，从而需要先画出一个正方体，结合三视图中对应的有关线段，从而得到对应几何体的相应的顶点在什么位置，从而得到最后的结果，之后应用减法运算求得体积.7. 已知满足约束条件，则的最小值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】D详解：根据约束条件画出可行域，如图所示，由得，画出直线，之后向上移动，可以发现当其过点时，截距最小，即z取得最小值，由可得，此时，故答案是7.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，关键一步就是正确画出约束条件对应的可行域，之后化目标函数为直线方程的斜截式，结合z的几何意义，数形结合得到最优解，联立方程组，求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案.8. 定义表示不超过的最大整数，例如，，.下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图.则输出（）A. 9B. 16C. 23D. 30【答案】C【解析】分析：首先模拟运行该程序框图，依据程序逐级运算，并通过判断条件调整运算的方向，是继续还是结束，即可计算得出结果.详解：一步步运行程序框图，可得，，，所以输出，故选C.点睛：该题考查的是有关程序框图运行后输出结果运算的问题，在解题的过程中，首先需要明确的意义，通过题中的举例，清楚其意义，之后在程序框图运行的过程中，明确什么时候该往哪走，从而最后求得结果.9. 下列叙述中正确的个数是（）①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；②命题，，命题，，则为真命题；③“”是“的必要而不充分条件；④将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：①利用一组数据的方程的定义和公式可以判断得出结果；②结合函数的性质以及复合命题的真值表可知结果；③利用余弦函数的性质，结合条件的充分性和必要性得到结论；④利用图像的平移变换规律以及诱导公式得到结果.详解：对于①，因为有结论将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，所以①正确；对于②，结合指数函数的性质，可知p是真命题，根据二次函数的性质，可知很成立，所以q是假命题，所以是假命题，所以②错误；对于③，因为当时，一定有，但是当，时，有，所以不一定成立，所以应该是充分不必要条件，所以③错误；对于④，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为，故④正确，所以正确命题的个数为2，故选B.点睛：该题考查的是有关真命题的个数问题，在解题的过程中，需要对命题逐一分析，得到结果，在判断的过程中，用到方差的性质、复合命题真值表、余弦函数的性质、图像的平移变换以及诱导公式，需要认真审题.10. 函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先利用差角公式将解析式化简，应用复合函数单调性法则，结合对数式的底数是，从而得到应该求的增区间，并且首先满足真数大于零的条件，从而得到，化简，最后求得其结果为，从而确定选项.详解：根据题意有，所以要求，结合复合函数单调性法则，实则求的增区间，所以有，解得，所以函数的单调减区间是，故选B.点睛：该题考查的是有关复合函数的单调区间的问题，在解题的过程中，需要首先化简函数解析式，之后根据复合函数单调性法则同增异减的原则，得到其结果，在解题的过程中，需要时刻注意定义域优先原则，得保证函数有意义，之后列出相应的式子，求得结果.11. 已知函数满足条件：对于，且，存在唯一的且，使得.当成立时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意，得到函数在和上单调，并且是连续的函数，从而得到以及的符号，代入相应的式子，得到其所满足的等量关系式，从而求得，得到结果.详解：若对于，存在唯一的，使得，所以在和上单调，则，且，由得，即，即，则，故选D.点睛：该题考查的是有关分段函数的性质问题，在求解的过程中，需要把握住条件对于，存在唯一的，使得，得到函数的单调性，从而得到系数所满足的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.12. 已知椭圆的左、右焦点分別为，过的直线与椭圆交于两点，若是以为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则__________．【答案】10【解析】分析：首先利用三角函数的定义式，结合题中所给的角的终边所过的点的坐标求得，之后借助于同角三角函数关系式，将关于正余弦分式形式的式子上下同除，得到关于切的式子，代入求值即可得结果.详解：根据角的终边过，利用三角函数的定义式，可以求得，所以有，故答案是10.点睛：该题考查的是有关利用角的正切值来求关于正余弦的分式形式的式子的值的问题，在解题的过程中，需要注意利用角的终边所过的点，结合三角函数的定义式求得正切值，之后对分式的分子分母上下同除，将其化为切的式子求解即可.14. 关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：首先将方程转化，分离参数，化为，将问题转化为函数图像与直线的交点个数来解决，之后构造函数，求导，利用导数研究函数单调性，从而得到函数图像的大致走向以及相应的最值，最后求得结果.详解：关于的方程，即：，令函数，若方程在区间上有两个不等实根，即函数与在区间上有两个不同的交点，，令可得，当时，，函数是减函数，当时，，函数是增函数，所以函数的最小值为，，所以函数的最大值为，所以关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是.点睛：该题考查的是有关方程的解的个数对应的参数的范围问题，该题转化为函数与在区间上有两个不同的交点，结合函数图像的走向以及最值求得结果，还可以将方程转化为，即曲线和直线在相应区间上有两个交点，也可以求得结果.15. 在正三棱锥中，，是的中点，，则正三棱锥外接球的表面积为__________．【答案】【解析】分析：利用正三棱锥和是的中点，，找到正三棱锥的三条侧棱之间的关系，从而得到该三棱锥的特殊的特征，从而利用补体的方式，将其转化Wie求正方体的外接球的有关量的计算，从而求得结果.详解：取的中点，连接，因为，所以，又因为是正三角形，所以，故平面，，又因为，，所以平面，且，故得到是三条两两垂直的，可以看做是正方体切下来的一个正三棱锥，故外接球的直径，因为，所以，从而得到，所以其外接球的表面积为.点睛：该题考查的是有关空间几何体的外接球的问题，在解题的过程中，首先应该寻找该三棱锥的有关特征，利用有关相等和垂直关系，得到该三棱锥的三条侧棱是两两垂直的，从而利用特殊几何体的外接球球心所在位置的规律，得到对应的结果.16. 在中，是的中点，与互为余角，，，则的值为__________．【答案】或【解析】设,则由+可知,为的中点，,即,由正弦定理得或,当A=B时,AC=BC, ,当时, ,在△ACD中, ,综上可得,的值为或.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设正项数列的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求的取值范围.【答案】(1);(2).详解：（1）①时，由，得，②时，由已知，得，∴，两式作差，得，又因为是正项数列，所以.∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列.∴.（2）∵，∴.又因为数列是递增数列，当时最小，，∴.点睛：该题考查的是有关数列的通项公式的求解以及裂项相消法求和，在解题的过程中，需要对题中所给的式子，类比着往前写或者往后写一个，两式相减，结合题中的条件，得到相邻两项的差为同一个常数，从而得到该数列是等差数列，之后借助于等差数列的通项公式求得结果，对于第二问应用裂项相消法求和之后，结合式子的特征以及n的范围，求得其值域.18. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时，从洛阳的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题.洛阳高中生答题情况是：选择家的占、选择朋友聚集的地方的占、选择个人空间的占.上海高中生答题情况是：选择朋友聚集的地方的占、选择家的占、选择个人空间的占.（1）请根据以上调查结果将下面列联表补充完整，并判断能否有的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关：（2）从被调查的不“恋家”的上海学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，从被选出的4 人中随机抽取2人到洛阳交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.附：，其中 d.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：第一问就需要根据题意，将对应的数据填入表中的相应位置，之后应用公式求得观测值，与表中所给的临界值比较，得出结果；第二问将所有的基本事件和满足条件的基本事件都写出来，之后借助于古典概型概率公式求得结果.详解：（1）由已知得，∴，∴有的把握认为“恋家”与城市有关.（2）用分层抽样的方法抽出4 人.其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为；∵，∴，设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件，，∴，则所求的概率为.点睛：该题考查的是有关独立性检验的问题，以及古典概型的概率求解公式的应用，在解题的过程中，需要利用公式将的值算出，之后与表中的临界值比较得出结果；之后是古典概型的解题方案，就是将对应的所有的基本事件和满足条件的基本事件都写出来，之后借助于公式完成任务.19. 如图，三棱柱中，平面，，是的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）由平面得,由得，由线面垂直的判定定理得平面，故平面平面；（2）很容易得的值，由可得到平面的距离。
2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试数学试题(文)有答案AlHPKw
洛阳市2017--2018 学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，则复数21i+在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2.已知集合{0,1,2}A=，{1,}B m=.若B A⊆，则实数m的值是（）A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或23.下列函数为奇函数的是（）A．323y x x=+ B．2x xe ey-+= C．23log3xyx-=+D．siny x x=4.已知平面向量(2,1)a=-r，(1,1)b=r，(5,1)c=-r，若()//a kb c+rr r，，则实数k的值为（）A．114-B．12C. 2 D．1145.已知双曲线2221(0)4x ybb-=>的右焦点与抛物线212y x=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A．5B．3 C.5 D．426.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．233B．152C.476D．87.已知,x y满足约束条件5040250yx yx y-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则2z x y=+的最小值为（）A.1B.3 C，5 D.78.定义[]x表示不超过x的最大整数，例如[0.6]0=，[2]2=，[3.6]3=.下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图.则输出a=（）A.9B.16C.23D.309.下列叙述中正确的个数是（ ）①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；②命题:[0,1]p x ∀∈，1x e ≥，命题0:q x R ∃∈，20010x x ++<，则p q ∧为真命题；③“cos 0α≠”是“2()2k k Z παπ≠+∈的必要而不充分条件；④将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度得到函数sin(2)6y x π=-的图象. A.1B ，2C.3D ，410.函数12log (sin 2coscos 2sin )44y x x ππ=-的单调递减区间是（ ）A ．5(,),88k k k Z ππππ++∈ B ．3(,],88k k k Z ππππ++∈ C. 3[,),88k k k Z ππππ-+∈ D ．35[,),88k k k Z ππππ++∈ 11.已知函数3,0(),0x x f x ax b x ≥=+<⎪⎩满足条件：对于1x R ∀∈，且10x ≠，存在唯一的2x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =.当(2)(3)f a f b =成立时，a b +=（ ） A ．632-+ B ．62- C.632+ D ．6212.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB V 是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 2B ．2352 D 63第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点(3,4)P ，则sin 2cos sin cos αααα+=-．14.关于x 的方程ln 10x x kx -+=在区间1[,]e e上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是． 15.在正三棱锥S ABC -中，2AB =，M 是SC 的中点，AM SB ⊥，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为．16.在ABC V 中，D 是AB 的中点，ACD ∠与CBD ∠互为余角，2AD =，3AC =，则sin A 的值为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.18. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时，从洛阳的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题.洛阳高中生答题情况是：选择家的占25、选择朋友聚集的地方的占310、选择个人空间的占310.上海高中生答题情况是：选择朋友聚集的地方的占35、选择家的占15、选择个人空间的占15. （1）请根据以上调查结果将下面22⨯列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关：在家里最幸福 在其它场所最幸福 合计 洛阳高中生 上海高中生 合计中随机抽取2人到洛阳交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c =+++d.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，90ACB ︒∠=，M 是AB 的中点，12AC CB OC ===.（1）求证：平面1A CM ⊥平面1l ABB A ； （2）求点M 到平面11A CB 的距离.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF V 为正三角形.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线12//l l ，且1l 和抛物线C 有且只有一个公共点E ，试问直线AE 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 21.已知函数2()(1)2x t f x x e x =--，其中t R ∈. （1）函数()f x 的图象能否与x 轴相切?若能，求出实数t ，若不能，请说明理由； （2）讨论函数()f x 的单调性.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的极坐标方程为sin()224πρθ+=，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数）.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为(2,2)，求||||AP BP +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3|||31|f x x a x =-++，g()|41||2|x x x =--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在1x ，2x R ∈，使得1()f x 和2()g x 互为相反数，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5： DCCBA 6-10：ADCBB 11、12：AD 二、填空题13. 10 14.1(1,1]e + 15. 3π16.3或4三、解答题17.解：（1）①1n =时，由11a =+，得11a =，②2n ≥时，由已知，得24(1)n n S a =+，∴2114(1)n n S a --=+，两式作差，得11()(2)0n n n n a a a a --+--=， 又因为{}n a 是正项数列，所以12n n a a --=. ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列. ∴21n a n =-. （2）∵111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，∴12n n T b b b =+++L11111111(1)()()2323522121n n =-+-++--+L 111(1)2212n =-<+. 又因为数列{}n T 是递增数列，当1n =时n T 最小，113T =， ∴11[,)32n T ∈. 18.解：（1）由已知得，∴2100(2236933)1001134.628 3.841316955453123K ⨯⨯-⨯⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为“恋家”与城市有关.（2）用分层抽样的方法抽出4 人.其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为123,,,a a a b ；∵Ω121312323{(,),(,),(,),(,),(,)(,)}a a a a a b a a a b a b =， ∴6n =，设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件A ，123{(,),(,),(,)}A a b a b a b =，∴3m =，则所求的概率为31()62m P A n ===. 19.（1）由1A A ⊥面ABC ，CM ⊂平面ABC ，则1A A CM ⊥. ∵AC CB =，M 是AB 的中点，∴AB CM ⊥. 又1A A AB A ⋂=，∴CM ⊥平面11ABB A又CM ⊂平面1ACM ，∴平面1A CM ⊥平面11ABB A . （2）设点M 到平面11A CB 的距离为h ，由题意可知11112AC CB A B MC ====1124A CB S ==V 11A MB S =V 1211ABB A S四边形122=⋅⋅=由（1）可知CM ⊥平面11ABB A ， 得111111111133C A MB A MB M A CB A CB V MC S V h S --=⋅==⋅V V ， ∴点M 到平面11A CB 的距离1111A MB A CB MC S h S ⋅=VV =20.解：（1）由题意知(,0)2pF ， 设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4p t+， 因为||||FA FD =，由抛物线的定义知：3||22p p t +=-， 解得3t p =+或3t =-（舍去）， 由234p t+=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）由（1）知(1,0)F ，设000(,)(0)A x y x >，(,0)(0)D D D x x >， 因为||||FA FD =，则0|1|1D x x -=+， 由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +， 故直线AB 的斜率为02AB y k =-， 因为直线1l 和直线AB 平行， 故可设直线1l 的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880b y y y y +-=， 由题意知20064320b y y ∆=+=，得02b y =-. 设(,)E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =， 当204y ≠时，0020044E AE E y y yk x x y -==--，可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y -=--，由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =--， 所以直线AE 恒过点(1,0)F ，当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 恒过定点(1,0)F .21.解：（1）由于()()xxf x xe tx x e t '=-=-. 假设函数()f x 的图象与x 轴相切于点0(,0)x ，则有0()0()0f x f x '=⎧⎨=⎩，即0020000(1)020x x t x e x x e tx ⎧--=⎪⎨⎪-=⎩. 显然00x ≠，将00x t e =>代入方程0200(1)02xt x e x --=中， 得200220x x -+=.显然此方程无解.故无论t 取何值，函数()f x 的图象都不能与x 轴相切. （2）由于()()x xf x xe tx x e t '=-=-，当0t ≤时，0xe t ->，当0x >时，()0f x '>，()f x 递增，当0x <时，()0f x '<，()f x 递减； 当0t >时，由()0f x '=得0x =或ln x t =， ①当01t <<时，ln 0t <，当0x >时，()0f x '>，()f x 递增， 当ln 0t x <<时，()0f x '<，()f x 递减， 当ln x t <，()0f x '>，()f x 递增； ②当1t =时，()0f x '>，()f x 递增； ③当1t >时，ln 0t >，当ln x t >时，()0f x '>，()f x 递增， 当0ln x t <<时，()0f x '<，()f x 递减， 当0x <时，()0f x '>，()f x 递增.综上，当0t ≤时，()f x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数； 当01t <<时，()f x 在(,ln ),(0,)t -∞+∞上是增函数，在(ln ,0)t 上是减函数； 当1t =时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；当1t >时，()f x 在(,0),(ln ,)t -∞+∞上是增函数，在(0,ln )t 上是减函数. 22.解：（1）∵sin()4πρθ+=sin cos ρθθ=， 即cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=；∵12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩，∴曲线1C 的普通方程为22(1)(2)4x y +++=. （2）∵点P 在直线4x y +=上，根据对称性，||AP 的最小值与||BP 的最小值相等. 曲线1C 是以(1,2)--为圆心，半径2r =的圆.∴min 1||||AP PC r =-23==.所以||||AP BP +的最小值为236⨯=.23.解：（1）∵()g x =33,2151,24133,4x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<解得1x >-，此时无解. 当124x -<≤时，516x --<，解得75x >-，即7154x -<≤. 当14x <时，336x -<，解得3x <，即134x <<，综上，()6g x <的解集为7{|3}5x x -<<.（2）因为存在1x ，2x R ∈，使得12()()f x g x =-成立.所以{|(),}y y f x x R =∈{|(),}y y g x x R =-∈≠∅I .又()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+， 由（1）可知9()[,)4g x ∈-+∞，则9()(,]4g x -∈-∞. 所以9|31|4a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135[,]1212-.。
河南省洛阳市2022届高三第三次统一考试数学(理科)试题
一、单选题二、多选题1. 已知复数z 满足z i=2+i ，i 是虚数单位，则|z |=( )A．B．C ．2D．2. 已知命题，命题，则是成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（）A．B．C．D．4. 已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，点在上，且，则直线的斜率为A．B．C．D．5.如果是实数，那么“”是“”的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知为正实数，则的最大值为A．B．C．D．7. 17世纪中叶，人们认为同时掷两枚骰子时，若不给两枚骰子标记号，两枚骰子的点数和为6或7的可能结果数相同，则出现的概率就应该相同．然而有人发现，多次的试验结果和人们的预想不一致，这个问题最终被伽利略解决．则（ ）A ．当不给两枚骰子标记号时，出现点数和为6的结果有5种B ．当给两枚骰子标记号时，出现点数和为7的结果有3种C ．出现点数和为7的概率为D ．出现点数和为6的概率比出现点数和为7的概率更大8. 已知全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．9. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）A．B．C．D．10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．在上单调递增B．在上的值域为C．将函数的图像向右平移个单位长度后，再将横坐标拉伸为原来的2倍，得到函数的图像，则河南省洛阳市2022届高三第三次统一考试数学（理科）试题河南省洛阳市2022届高三第三次统一考试数学（理科）试题三、填空题四、解答题D ．函数在处取得最大值11. 已知棱长为的正方体中，是的中点，点在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论中正确的是（ ）A ．点的轨迹中包含的中点B．点的轨迹与侧面的交线长为C．的最大值为D ．直线与直线所成角的余弦值的最大值为12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为c ．在椭圆上存在点P 使得，O 为原点，则椭圆离心率的可能取值是（ ）A．B．C．D．13. 如图是由两个有一条公共边的边长为2的正六边形构成的平面图形.设，则___________；是线段上的动点，则的最小值是___________.14.在中，、、分别为角的对边，且满足，则角A 的大小是______.15. 已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则________．16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，点E 在线段上，，平面平面．(1)求；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17. 为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：奖项组别个人赛团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；18. 甲､乙两选手进行象棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.(1)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，求的取值范围；(2)若，已知甲乙进行了局比赛且甲胜了13局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）.19.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________．(1)求A；(2)若，为AB的中点，求CD的取值范围．20. 已知数列的首项，前n项和为，且（Ⅰ）求证数列为等比数列；（Ⅱ）设数列{ }的前n项和为，求证：．（Ⅲ）设函数，令，求数列的通项公式，并判断其单调性．21. 设函数，().（1）若在处的切线平行于直线，求实数的值；（2）设函数，判断的零点的个数；（3）设是的极值点，是的一个零点，且，求证：.。
(完整版)2018年高考全国1卷理科数学试题及答案详细解析(word版_精校版)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12 C ．1 D ．22．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =R ðA ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C {|1}{|2}x x x x <->UD ．{|1}{|2}x x x x -U ≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uu rA ．3144AB AC -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uuu r uuu rC ．3144AB AC +uu u r uuu rD ．1344AB AC +uuu r uuu r7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN?uuu r uuu r A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y ：-=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．33B ．23C ．32D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届河南省洛阳市高三第三次统一练习(三模)理科数学试题及答案
河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的共轭复数为（）A．﹣3﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．﹣2+2i2．要得到函数y=2sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3．（已知集合A={x||x+1|＜1}，B{x|y=}，则A∩B=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，0）D．[﹣1，0）4．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A． 60种B．63种C．65种D．66种5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2πD．6．若函数f（x）=x3﹣x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为α，则的值是（）A．B．C．﹣D．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为（）A． 2 B．C． 4 D．8．已知函数f（x）=e x+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A． c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c9．已知实数x，y满足约束条件，若y≥kx﹣3恒成立，则实数k的数值范围是（）A． [﹣，0] B．[0，]C．（﹣∞，0]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）10．（若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A． 64πB．16πC．12πD．4π11．如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为（）A．B．9 C．D．﹣9 12．执行如图所示的一个程序框图，若f（x）在[﹣1，a]上的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1] B．[1，] C．[1，2] D．[，2]二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2018•洛阳三模）ss“∃x＞0，x2+x﹣2≥0”的否定是_________ ．14．（5分）（2018•洛阳三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，C=45°，1+=，则边c的值为_________ ．15．（5分）（2018•洛阳三模）已知P是抛物线y2=4x上的动点，过P作抛物线准线的垂线，垂足为M、N是圆（x﹣2）2+（y﹣5）2=1上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是_________ ．16．（5分）（2018•洛阳三模）已知x∈R，y∈[0，5]，我们把满足方程x2+8xsin（x+y）π+16=0的解（x，y）组成的集合记为M，则集合M中的元素个数是_________ ．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2018•洛阳三模）已知{a n}的各项均为正数的数列，其前n 项和为S n，若2S n=a n2+a n（n≥1），且a1、a3、a7成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=2，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n+4=2b．18．（12分）（2018•洛阳三模）现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点P 处有A、B、C三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在B线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至P处，期间所花费的时间记为X．（1）求X≤30分钟的概率；（2）求X的分布列及EX的值．19．（12分）（2018•洛阳三模）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=．（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．20．（12分）（2018•洛阳三模）如图，A，B是双曲线﹣y2=1的左右顶点，C，D是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AC与BD的交点为E．（1）求点E的轨迹W的方程；（2）若W与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为M，N，直线y=kx （k＞0）与W的两个交点分别是P，Q（其中P是第一象限），求四边形MPNQ 面积的最大值．21．（12分）（2018•洛阳三模）已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x﹣4y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设g（x）=2ln（x+1）﹣mf（x），若当x∈[0，+∞）时，恒有g（x）≤0，求m的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】22．（10分）（2018•洛阳三模）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，AM⊥CP，垂足为M，CD⊥AB，垂足为D．（1）求证：AD=AM；（2）若⊙O的直径为2，∠PCB=30°，求PC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2018•洛阳三模）已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆C上的点到直线l距离的取值范围．【选修4-5：不等式选项】24．（2018•洛阳三模）已知函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|（1）求不等式f（x）≥5的解集；（2）当x∈[﹣2，2]时，关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，求实数t的取值范围．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17、解：（Ⅰ）∵2S n=a n2+a n（n≥1），∴n≥2时，2S n﹣1=a n﹣12+a n﹣1，两式相减，得2a n=﹣+a n﹣a n﹣1，整理，得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n+a n﹣1≠0，∴）a n﹣a n﹣1=1，又4s 1=+a1，即﹣a 1=0，解得：a1=1，∴{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．又a1、a3、a7成等比数列．∴=a 1a7，即=a1（a1+6），解得a1=2，∴a n=2+（n﹣1）•1=n+1．（2）证明：由（1）得b n==2n+1，∴T n=22+23+…+2n+1==2n+2﹣4，∴T n+4=2n+2=2b n．18．解：（1）X≤30分钟的概率：P（X≤30）=P（B）+P（AB）==．（2）由题意知X的所有可能取值为20，30，50，60，P（X=20）=P（B）=，P（X=30）=P（AB）==，P（X=50）=P（CB）==，P（X=60）=P（ABC）+P（CAB）=，∴X的分布列为：X 20 30 50 60P∴EX=20×+30×+50×+60×=40（分）．19．（1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD 为等边三角形，∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=，∵AC=，∴AE2+CE2=AC2，∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，又∵AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z 轴的空间直角坐标系E﹣xyz，则D（0，1，0），C（，0，0），F（0，，）G（﹣，1，），平面CDG的一个法向量=（0，0，1），设平面FDG的法向量=（x，y，z），=（0，﹣，），=（﹣，1，）∴，即，令z=1，得x=3，y=，故平面FDG的一个法向量=（3，，1），∴cos==，∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣．20．解：（1）由已知A（﹣2，0），B（2，0），设C（x0，y0），D（x0，﹣y0），则，①由两点式分别得直线AC，BD的方程为：直线AC：，直线BD：，两式相乘，得，②由①，得﹣=，代入②，得：，整理，得﹣4y2=x2﹣4，∴点E的轨迹W的方程．（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），联立，得（4k2+1）x2=4，∴P（），Q（﹣），四边形MPNQ的面积S=S△QOM+S△DMP+S△NOP+S△NOQ=2（S△QMP+S△QNP），∴S==2y P+x P==2=2==2，∵k＞0，∴4k+≥4，故当且仅当，即k=时，四边形MPNQ的面积取最大值为2．21．解：（Ⅰ）求导函数，可得．∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x﹣4y+1=0．∴，∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）令h（x）=﹣mx2+（2﹣2m）x+2﹣2m，当m=0时，h（x）=2x+2，在x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设．当m＜0时，∵且h（0）=2﹣2m＞0∴x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当0＜m＜1时，则△=（2﹣2m）2+4m（2=2m）=4（1﹣m2）＞0，由h（x）=0得；则x∈[0，x2）时，h（x）＞0，g′（x）＞0即g（x）在[0，x2）上是增函数，则g（x2）≥g（0）=0，不满足题设．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当m≥1时，△=（2﹣2m）2+4m（2=2m）=4（1﹣m2）≤0，h（x）≤0，g′（x）≤0，即g（x）在[0，+∞）上是减函数，则g（x）≤g（0）=0，满足题设．综上所述，m∈[1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∵以C为切点的切线交AB的延长线于点P，∴∠MCA=∠ABC=∠ACD，∵∠AMC=∠ADC=90°，AC=AC，∴△AMC≌△ADC，∴AD=AM；（2）解：∵∠PCB=30°，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，∴∠PAC=∠PCB=30°，在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，∴BC=1，∠ABC=60°，∴∠BPC=30°，∴∠BPC=∠BCP，BC=BP=1，由切割线定理得PC2=PB•PA=PB（PB+BA）=3，∴PC=．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．解：（1）由（t为参数）得直线l的普通方程为又∵，∴，∴，即；（2）由得圆心C（1，），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d=．直线l与圆C相离．∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是．【选修4-5：不等式选项】24、解：（1）f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|=，由式f（x）≥5，可得①，或②，或．解①求得x≥3，解②求得 2≤x＜3，解③求得 x≤﹣10．故不等式的解集为[2，+∞）∪（﹣∞，﹣10]．（2）当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣4，5]，∵关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，∴5﹣|2t﹣3|≥0，即﹣5≤2t﹣3≤5，求得﹣1≤t≤4，故t的范围为[﹣1，4]．。
2018年全国高中数学联赛河南省预赛高三数学试题(解析版)
2018年全国高中数学联赛河南省预赛高三数学试题一、填空题1．已知函数，若的定义域为，值域为，则的值为______．【答案】0【解析】【详解】因为，所以有，得，故在上是增函数，进而．解得（舍）或．故填0．2．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为______．【答案】2【解析】【详解】因为小正四面体可以在纸盒内任意转动，所以小正四面体的棱长最大时，为大正四面体内切球的内接正四面体．记大正四面体的外接球半径为，小正四面体的外接球（大正四面体的内切球）半径为，易知，故小正四面体棱长的最大值为．3．已知为虚数单位，则在的展开式中，所有奇数项的和是______．【答案】512【解析】【详解】易知的展开式中，所有奇数项的和是复数的实部．又．故填512．4．已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______．【答案】【解析】【详解】因为，所以，所以．5．已知、、均为正数，则的最大值为______．【答案】【解析】【详解】记，那么，，，于是，得．①又．②由①②可得，所以，即，当且仅当时取得．6．若，则被3除的余数是______．【答案】1【解析】【详解】令，得．分别令和，将得到的两式相加，得．所以．7．设经过定点的直线与抛物线相交于、两点，若为常数，则的值为______．【答案】2【解析】【详解】设直线的参数方程为（是参数，是倾斜角且，代入抛物线方程得．设该方程的两根为、，则，，则为常数，所以．8．将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的阶色序．若某圆的任意两个“3阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可有______个．【答案】8【解析】【详解】“3阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有种．一方面，个点可以构成个“3阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于8个．另一方面，若，则必须包含全部8个“3阶色序”，如按逆时针方向确定8个的颜色为“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件．故该圆中等分点的个数最多可有8个．二、解答题9．已知，试求的最大值．【答案】【解析】【详解】由题意得，则．记点，直线，则点的轨迹方程为单位圆：，且．从而圆心到直线的距离．整理得．解得，故的最大值为．10．已知方程在平面上表示一椭圆．试求它的对称中心及对称轴．【答案】对称中心为，对称轴为【解析】【详解】易知点，均在曲线上．设椭圆的对称中心为，则点，均在曲线上．故有，①．②化简得．代入①并化简得．解得．从而，．故对称中心为．又对称轴经过对称中心，故可设对称轴方程为．设点关于直线的对称点为，则有③又在曲线上，则有．将③代入上式并化简得．不合题意，故．因此，对称轴方程为．11．在数列中，、是给定的非零整数，．（1）若，，求；（2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数项．【答案】（1）1（2）见解析【解析】【详解】（1）因，，，，，，，，，，…．所以自第20项起，每三个相邻的项周期的取值为1，1，0．又，故．（2）首先证明：数列必在有限项后出现“0”项．假设中没有“0”项，由于，所以当时，都有．若，则．若，则．即要么比至少小1，要么比至少小1，令，，2，3，…，则．由于是确定的正整数，这样下去，必然存在某项，这与矛盾，故中必有“0”项．若第一次出现的“0”项为，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期的取值0、、，即，，，，1，2，…所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列．12．已知的三边长分别为．、、，且满足，是否存在边长均为整数的？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由．【答案】存在边长均为整数的满足条件的，其三边长分别为3、7、8或4、5、6 【解析】【详解】不妨设，显然．若，此时有，由可得，矛盾．故只能取2、3、4．①若，则，得，又，故无解．②若，则，即，又因为，从而或或．解得或或．其中能够构成三角形的只有，，．③若，则，即，又因为，从而或．解得或．其中能够构成三角形的只有，，．综上，存在边长均为整数的满足条件的，其三边长分别为3、7、8或4、5、6．。
河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试数学(理)试卷(含答案)
洛阳市2018 届高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|||2}A x Z x =∈≤，2{|1}B y y x ==-，则A B I 的子集个数为（ ） A ．4 B ． 8 C ． 16 D ．32 2.已知复数534iz i=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 3.“lg lg m n >”是“11()()22m n <”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.设随机变量(1,1)X N :，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）注：若2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.A ．6038B ．6587 C.7028 D ．75395.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ）A ．133升B ．176升 C.199 升 D ．2512升 6.将函数()cos(2)4f x x π=-的图像向平移8π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．的是（ ）A ．1()62g π=B ．()g x 在区间57(,)88ππ上是增函数 C.2x π=是()g x 图像的一条对称轴 D ．(,0)8π-是()g x 图像的一个对称中心7.设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为3π的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于点A 、B ，若11()2OA OB OF =+u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 2+ D 8.在ABC △中，点P 满足2BP PC =u u u r u u u r，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =u u u u r u u u r ，(0,0)AN nAC m n =>>u u u r u u u r，则2m n +的最小值为（ ）A ．3B ．4 C.83 D ．1039.若2017(12018)x -=220170122017a a x a x a x +++L ()x R ∈，则2017122017201820182018a a a+++L 的值为（ ）A ．20172018B ．1 C. 0 D ．1-10.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．45πB ．57π C. 63π D ．84π11.记数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，1()2()n n n n S S a n N *+-=∈，则2018S =（ ）A ．10093(21)- B ．10093(21)2- C.20183(21)- D ．20183(21)2-12.已知函数2()22ln x f x x e x=-与()2ln g x e x mx =+的图像有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(4,0)-B ．1(,2)2 C. 1(0,)2D ．(0,2)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出i的值为 ．14.设x，y 满足约束条件1020330x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则||3y z x =+的最大值为 ．15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16.已知椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，其中423cos c xdx π=⎰，直线l 与椭圆相切于第一象限的点P ，且与x ，y 轴分别交于点A ，B ，设O 为坐标原点，当AOB △的面积最小时，1260F PF ∠=︒，则此椭圆的方程为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin ()sin sin b B c b C a A +-=. （1）求角A 的大小； （2）若3sin sin 8B C =，且ABC △的面积为23，求a . 18. 如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 内的摄影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；（2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值. 19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和X 的期望. 20. 已知抛物线2:C y x =-，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为12-，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间（不包括点A ，点B ），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . （1）求直线AP 斜率k 的取值范围； （2）求|||PA PQ ⋅的最大值. 21. 已知函数2()(1)2x t f x x e x =--，其中t R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当3t =时，证明：不等式1122()()2t f x x f x x x +-->-恒成立（其中1x R ∈，10x >）.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数）.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为(2,2)，求||||AP BP +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3|||31|f x x a x =-++，g()|41||2|x x x =--+.（1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在1x ，2x R ∈，使得1()f x 和2()g x 互为相反数，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CACBB 6-10: DCADB 11、12：AC二、填空题13. 4 14. 1 15. 1123π+ 16.221159x y += 三、解答题17.（1）由sin ()sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得22()b c b c a +-=，即222b c bc a +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，∴3A π=. （2）由正弦定理simA sin sin a b c B C ==，可得sin sin a B b A =，sin sin a Cc A=，所以1sin 2ABCS bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a CA A A=⋅⋅2sin sin 2sin a B C A ==.又3sin sin 8B C =，sin 2A =，∴28a =4a =. 18.（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，∴DE BC ⊥. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB BC ⊥，∴BC ⊥平面ABD ，∴BC AD ⊥.又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD .（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD a =，则2AB a =，∴(0,2,0)A a ，(,0,0)C a . 由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD=，∴30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒，∴cos AE AD DAB =⋅∠12a =，32BE AB AE a =-=，3sin DE AD DAB a =⋅∠=， ∴33(0,,)22D a a ，∴13(0,,)22AD a a =-u u u r ，(,2,0)AC a a =-u u u r . 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即130220ay az ax ay ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩， 不妨取1z =，则3y =，23x =，∴(23,3,1)m =u r. 而平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =r，∴cos ,m n u r r ||||m nm n ⋅=u r ru r r 222(23)(3)1=++14=.故二面角D AC B --的余弦值为14.19.（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率12224233621()()33C C P C C =⋅2112423361()3C C C C +⋅30343362131()()33135C C C +⋅=. （2）m 的所有取值有1，2，3.1242361(1)5C C P m C ===，2142363(2)5C C P m C ===，34361(3)5C P m C ===，故131()1232555E m =⨯+⨯+⨯=.由题意可知2(3,)3n B :，故2()323E n =⨯=.而1510X m n =+，所以()15()10()50E X E m E n =+=.20.（1）由题可知11(,)24A --，39(,)24B -，设2(,)p p P x x -，1322p x -<<，所以 21412p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-，故直线AP 斜率k 的取值范围是(1,1)-. （2）直线11:24AP y kx k =+-，直线93:042BQ x ky k ++-=，联立直线AP ，BQ 方程可知点Q的横坐标为223422Q k k x k --=+，||PQ =()Q p x x -22341()222k k k k --=+-+2=1||)2p PA x =+)k -，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+，令3()(1)(1)f x x x =-+，11x -<<，则2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+，当112x -<<-时'()0f x >，当112x -<<时'()0f x <，故()f x 在1(1,)2--上单调递增，在1(,1)2-上单调递减. 故max 127()()216f x f =-=，即||||PA PQ ⋅的最大值为2716. 21.（1）由于'()()xxf x xe tx x e t =-=-.1）当0t ≤时，0x e t ->，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增， 当0x <时，'()0f x <，()f x 递减；2）当0t >时，由'()0f x =得0x =或ln x t =.① 当01t <<时，ln 0t <，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增，当ln 0t x <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当ln x t <时，'()0f x >，()f x 递增； ② 当1t =时，'()0f x >，()f x 递增； ③当1t >时，ln 0t >.当ln x t >时，'()0f x >，()f x 递增， 当0ln x t <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当0x <时，'()0f x >，()f x 递增.综上，当0t ≤时，()f x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数； 当01t <<时，()f x 在(,ln )t -∞，(0,)+∞上是增函数，在(ln ,0)t 上是减函数； 当1t =时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；当1t >时，()f x 在(,0)-∞，(ln ,)t +∞上是增函数，在(0,ln )t 上是减函数. （2）依题意1212()()f x x f x x +--1212()()x x x x >--+，1212()()f x x x x ⇔+++1212()()f x x x x >-+-恒成立.设()()g x f x x =+，则上式等价于1212()()g x x g x x +>-， 要证明1212()()g x x g x x +>-对任意1x R ∈，2(0,)x ∈+∞恒成立， 即证明23()(1)2x g x x e x x =--+在R 上单调递增，又'()31x g x xe x =-+， 只需证明310x xe x -+≥即可.令()1xh x e x =--，则'()1xh x e =-， 当0x <时，'()0h x <，当0x >时，'()0h x >，∴min ()(0)0h x h ==，即x R ∀∈，1x e x ≥+，那么，当0x ≥时，2x xe x x ≥+，所以31x xe x -+≥2221(1)0x x x -+=-≥；当0x <时，1x e <，31x xe x x -+=1(3)0x e x-+>，∴310xxe x -+≥恒成立.从而原不等式成立.22.解：（1）∵sin()4πρθ+=，∴sin cos 22ρθρθ+=， 即cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=；∵12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩，∴曲线1C 的普通方程为22(1)(2)4x y +++=.（2）∵点P 在直线4x y +=上，根据对称性，||AP 的最小值与||BP 的最小值相等. 曲线1C 是以(1,2)--为圆心，半径2r =的圆.∴min 1||||AP PC r =-23==.所以||||AP BP +的最小值为236⨯=.23.解：（1）∵()g x =33,2151,24133,4x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<解得1x >-，此时无解.当124x -<≤时，516x --<，解得75x >-，即7154x -<≤. 当14x <时，336x -<，解得3x <，即134x <<，综上，()6g x <的解集为7{|3}5x x -<<. （2）因为存在1x ，2x R ∈，使得12()()f x g x =-成立.所以{|(),}y y f x x R =∈{|(),}y y g x x R =-∈≠∅I .又()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+，由（1）可知9()[,)4g x ∈-+∞，则9()(,]4g x -∈-∞. 所以9|31|4a +≤，解得1351212a -≤≤.故a 的取值范围为135[,]1212-.。
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(1、2、3卷)参考答案
2502018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CBABD ABDCA BA第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分）13．6 14．63- 15．16 16．2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分） 解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，∴sin =5ADB ∠.由题设知，90ADB ∠<︒，∴cos ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC=+-⋅∠25825255=+-⨯⨯=.∴5BC =.18．（本小题满分12分） 解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，∴BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ， ∴平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，∴PE.又PF =1，EF =2，∴PE ⊥PF .可得3,22PH EH ==，且3(0,0,0),(0,0,1,,0)22H P D -，3(1,22DP =．3(0,0,)2HP =为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则3sin 4HP DP HP DPθ⋅==⋅. ∴DP 与平面ABFD所成角的正弦值为4． 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1. 由已知可得，点A的坐标为(1,)2或(1,2-． ∴AM 的方程为20x -=或20x --=．（2）当l 与x 轴重合时， 0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴OMA OMB ∠=∠．251当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x MA ，MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--． 由1122,y kx k y kx k =-=-得 []()()12121223()422MA MB k x x x x k k x x -+++=--．将(1)(0)y k x k =-≠代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=． ∴22121222422=,2121k k x x x x k k -+=++，∴[]121223()4k x x x x -++3332441284021k k k k k k --++==+． 从而0MA MB k k +=，∴MA ，MB 的倾斜角互补， ∴OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠． 20．（本小题满分12分） 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()(1)f p C p p =-，且 21821720()[2(1)18(1)]f p C p p p p '=---217202(110)(1)C p p p =--．令()0f p '=，得0.1p =． 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>； 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． ∴()f p 的最大值点为0.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ，202254025X Y Y =⨯+=+．∴(4025)4025490EX E Y EY =+=+=．（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于400EX >，∴应该对余下的产品作检验． 21．（本小题满分12分）解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，且22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-．（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2,1a x ==时，()0f x '=， ∴()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x∈⎝⎭时，()0f x '>. ∴()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点时，当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足21=0x a x -+，∴121x x =，不妨设12x x <，则21x >． 1212()()f x f x x x --121212ln ln 11x x a x x x x -=--+-1212ln ln 2x x a x x -=-+-2522222ln 21x ax x -=-+-，∴1212()()2f x f x a x x -<--等价于 22212ln 0x x x -+<． 设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)=0g ，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <． ∴22212ln 0x x x -+<，即 1212()()2f x f x a x x -<--．（二）选考题：22. （本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]解:（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，2=，解得43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为423y x =-+．23．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即2(1),()2(11),2(1).x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩∴不等式()1f x >的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）当(0,1)x ∈时11x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时1ax -<1成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时1ax -≥1； 若a >0，1ax -<1的解集为20x a<<，∴21a≥，∴02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．2532018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 DABBA ABCCA CD第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．2y x = 14．9 15．12-16．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．∴{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．∴当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18．（本小题满分12分）解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为为(1)(0)y k x k =-≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2(1),4y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ∴ 216160k ∆=+>，212224=k x x k++． ∴AB AF BF =+212244(1)(+1)=k x x k +=++．由题设知2244=8k k+，解得k =–1（舍去），k =1．∴l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），∴AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005,(1)(1)16,2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩∴所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）∵4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =254连结OB .因为2AB BC AC ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=知OP OB ⊥． 由OP OB ⊥，OP AC ⊥知 OP ⊥平面ABC ．（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)O B A -，(0,2,0)C，(0,0,P ，(0,2,AP =．取平面P AC 的法向量(2,0,0)OB =． 设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面P AM 的法向量为(,,)x y z m =．由0,0,AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得,).y a x z a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取),,)a a -m =．所以cos OB <>=m,由已知得cos 2OB <>=m,．=． 解得4a =或4a=-（舍去）.∴4(,)333-m =．又∵(0,2,PC =-，∴3cos PC <>=m, ∴PC 与平面P AM 所成角的正弦值为4． 21．（本小题满分12分）解：（1）当a =1时，()1f x ≥等价于2(1)10x x e -+-≤．设函数2()(1)1xg x x e-=+-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--． 当1x ≠时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，∴当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当a >0时，()(2)x h x ax x e -'=-．当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>．∴()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．∴2(2)14h ae -=-是()h x 在[0,)+∞的最小值．①若(2)0h >，即214a e <，()h x 在255(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即214a e =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即214a e >，由于(0)1h =，∴()h x 在(0,2)内有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2x e x >，∴334221616(4)11()a a a a h a e e =-=-34161110(2)a a a>-=->．∴()h x 在(2,4)a 内有一个零点， ∴()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，214a e =．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为 (tan )2tan y x αα=+-． 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为x =1． （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos t αα+++ sin )80t α-=．①∵曲线C 截直线所得线段的中点(1,2)在C 内，∴方程①有两个解12,t t ，且1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+． 由参数t 的几何意义得120t t +=．∴2cos sin 0αα+=，于是直线的斜率tan 2k α==-． 22．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当a =1时，24(1),()2(12),26(2).x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩当1x ≤-时，由()240f x x =+≥得2x ≥-，即21x -≤≤-；当12x -<≤时，()20f x =>； 当2x >时，由()260f x x =-+≥得 3x ≤，即23x <≤． 综上可得()0f x ≥的解集为[]2,3-． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥． 而22x a x a ++-≥+，且当x=2时等号成立．∴()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥． ∴a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞．2562018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CDABC ADBCB CB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．1214．3- 15．3 16．2 （一）必考题：共60分. 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．C解：∵{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}012B =，，， ∴ {}1,2AB =，∴选C ．2．D解：∵()()212223i i i i i i +-=-+-=+， ∴选D ． 3．A解：选A ． 4．B解：由已知条件，得2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴选B ．5．C解：由已知条件，得 251031552()2rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1034r -=，解得2r =， x 4的系数为22552240rr C C ==， ∴选C ．6．A解：由已知条件，得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB == 圆22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++=的距离为= ∴点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤+d ≤≤，∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.∴选A ． 7．D解：令0x =，得2y =，∴A,B 不能选. 令321424()02y x x x x '=-+=-->，得2x <-或02x <<，即函数在0⎛ ⎝⎭内单调递增， ∴选D ． 8．B解：由已知条件知，X ～B (10,p )，且 10p (1－p )=2.4，解得p =0.6或p =0.4． 又由P （X=4）< P （X=6）得，即4466641010(1)(1)C p p C p p -<-，0.5p >，∴p =0.6． ∴选B ． 9．C解：由已知条件，得2222cos 44ABC a b c ab CS ∆+-==cos 1sin 22ab C ab C ==，即tan 1C =，∴4C π=．∴选C ． 10．B解：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为,,,A B C D 外接球的球心，E 为ABC ∆的重心，点F 为边BC 的中点.当点D 在EO 的延长上，即DE ⊥面ABC 时，三棱锥D ABC -体积取得最大值．V =，5分，．1=2，x，且196π．257258当366x πππ≤+≤时有1个零点，3,629x x πππ+==；当326x πππ<+≤时有1个零点，343,629x x πππ+==； 当192366x πππ<+≤时有1个零点，573=,629x x πππ+=． ∴零点个数为3，∴填3． 16．2解：由已知条件知，抛物线C 的焦点为(1,0)F ． 设22121212(,),(,)()44y yA yB y y y ≠，则由A ,F ,B 三点共线，得221221(1)(1)44y y y y -=-，∴12=4y y -． ∵∠AMB =90º，∴221212(1,1)(1,1)44y y MA MB y y ⋅=+-⋅+-，221212(1)(1)(1)(1)44y y y y =+++-⋅-2121(2)04y y =+-=， ∴12=2y y +．∴212221124244y y k y y y y -===+-，∴填2． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分） 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则由534a a =，得2534a q a ==，解得2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.（2）由（1）知，122112nn n S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+，∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍）， ∴6m =.18．（本小题满分12分） 解：（1）第一种生产方式的平均数为184X =，第二种生产方式平均数为274.7X =，∴12X X >，∴第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，即第二种生产方式的效率更高. （2）由茎叶图数据得到中位数80m =，∴列联表为（3）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()24015155510 6.63520202020⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知条件知，在正方形ABCD 中，AD CD ⊥.∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，平面ABCD 半圆面CMD CD =， ∴AD ⊥半圆面CMD .∵CM 在平面CMD 内，∴AD CM ⊥，即CM AD ⊥.259OM (0,0,1)(0,-1,0)0)又∵M 是CD 上异于C ，D 的点， ∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =， ∴CM ⊥平面AMD ， ∵CM 在平面BMC 内，∴平面AMD ⊥平面（2）由条件知，2ABC S ∆=是常数， ∴当点M 到平面ABCD 的距离.最大，即点M 为弧CD 的中点时，三棱锥M – ABC 体积最大.如图，以CD 中点O 为原点，过点O 且平行于AD 的直线为x 轴，OC ，OM 所在直线为y ,Z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,则由已知条件知，相关点的坐标为 A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1) ，且(0,2,0)AB =，(2,1,1)MA =--.由（1）知，平面MCD 的法向量为(1,0,0)=m .令平面MXB 的法向量为(,,)x y z =n ，则(,,)(0,2,0)=20,(,,)(2,1,1)20AB x y z y MA x y z x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅--=--=⎪⎩，n n 即0,2y z x ==， ∴取(1,0,2)=n.∴cos ,⋅<>==⋅m nm n m n ，∴sin ,5<>=m n ，即面MAB 与MCD 所成二面角的正弦值.为5.20．（本小题满分12分）解：（1）设直线l 的方程为y kx t =+，则由22,143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(43)84120k x ktx t +++-=，①由22226416(43)(3)0k t k t ∆=-+->，得2243t k <+．②设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是方程①的两个根，且122843ktx x k -+=+，121226()243ty y k x x t k +=++=+． ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴1228243ktx x k -+==+，121226()2243ty y k x x t m k +=++==+． ∵0m >，∴0t >，0k <，且2434k t k+=-.③由②③得22243434k k k ⎛⎫+-<+ ⎪⎝⎭，解得12k >或12k <-.∵0k <，∴12k <-.（2）∵点()()10M m m >，是线段AB 的中点，且FP FA FB ++=0，∴2FP FM +=0，即2FP FM =-.④ 由已知条件知，()()10M m m >，，()10F ，.令(,)P x y ，则由④得：(1,)2(0,)x y m -=-，即1,2x y m ==-， ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得26034m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -.又222211221,14343x y x y +=+=， ∴两式相减，得2112211234y y x xx x y y -+=--+. 又12123=2,22x x y y m ++==，∴21122112314y y x xk x x y y -+==-=--+， 243744k t k +=-=，∴直线l 的方程为74y x =-+. 将71,4k t =-=代入方程①，得 2285610x x -+=，解得121,11414x x =-=+，1233414414y y =+=-.∴3(2FA x ==+， 32FP =,3(2FB x == ∴=2FA FB FP +，即,,FA FP FB 成等差数列，且该数列的公差28d =±． 另解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=， 两式相减，得2112211234y y x xk x x y y -+==--+. ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴122x x +=，122y y m +=，34k m=-． 由点()()10M m m >，在椭圆内得21143m +<，即302m <<． ∴12k <-.（2）由题设知(1,0)F .令(,)P x y ，则由FP FA FB ++=0得1122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=，∴1212=3(),()x x x y y y -+=-+. 由得=1,2x y m =-<0. ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得34m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -，且32FP =. (FA x =122x=-，同理222xFB =-.∴12=2222x xFA FB +-+-124322x xFP +=-==，即,,FA FP FB 成等差数列．把34m =代入34k m =-得1k =-，且3(1,)4M∴直线l 的方程为74y x =-+. 把直线方程与椭圆方程联立，消去y 得：2285610x x -+=，于是有121212,28x x x x +==．设成等差数列的公差为d ，则26121122d FB FA x x =-=-==， d =±21．（本小题满分12分）解：由条件知，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞．（1）若0a =，则函数()(2)ln(1)2f x x x x =++-，且1()ln(1)11f x x x'=++-+， 2211()1(1)(1)xf x x x x ''=-=+++． ∴(0)0f =，(0)0f '=，(0)0f ''=． ∴当10x -<<时，()0f x ''<，∴当10x -<<时，()f x '单调递减． ∴()(0)0f x f ''>=，∴当10x -<<时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f <=，即()0f x <． 当x > 0时，()0f x ''>，∴当x > 0时， ()f x '单调递增．∴()(0)0f x f ''>=，∴当x > 0时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f >=，即()0f x >． 综上可得，当10x -<<时，()f x <0； 当x > 0时，()0f x >． （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当x >0时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与x=0是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数2()()2f x g x x ax =++22ln(1)2xx x ax =+-++． 由于当min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，220x ax ++>， ∴()g x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0g f ==，∴0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()g x 的极大值点．22212(2)2(12)()12x ax x ax g x x x ax ++-+'=-+++（） 22222(461)(1)(2)x a x ax a x x ax +++=+++． 如果610a +>，则当6104a x a+<<-，且m i n 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '>，∴0x =不是()g x 的极大值点．如果610a +<，则22461=0a x ax a +++存在根10x <．∴当1(,0)x x ∈，且m in 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '<，∴0x =不是()g x 的极大值点． 如果61=0a +，则322(24)()(1)(612)x x g x x x x -'=+--．当(1,0)x ∈-时，()0g x '>； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<. ∴0x =是()g x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点．综上，16a =-．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。
2018年高考全国1卷理科数学试题及答案详细解析(word版_精校版)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =RA ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C {|1}{|2}x x x x <->D ．{|1}{|2}x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a ，则5aA ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x ：的焦点为F ，过点(2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．334B ．233C ．324D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
洛阳市 2017-2018 学年高中三年级第三次统一考试 数学试卷（理） 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.设集合 A {x Z || x | 2} ， B { y | y 1 x2} ，则 A A．4 B． 8 C． 16 D．32B 的子集个数为（ ）2.已知复数 z A．第四象限5i （ i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数 z 对应的点在（ ） 3 4iB．第三象限 C．第二象限 D．第一象限m n 3.“ lg m lg n ”是“ ( ) ( ) ”的（ ）1 21 2A．充要条件 C．充分不必要条件 4.设随机变量 XB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件N (1,1) ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） 注：若 XN ( , 2 ) ，则 P( X ) 0.6826 ， P( 2 X 2 ) 0.9544 .A． 6038B． 6587C. 7028D． 75395.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的 容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，现自上而下取第 1,3,9 节，则这 3 节的容积之和为（ ）19 25 升 D． 升 9 12 6.将函数 f ( x) cos(2 x ) 的图像向平移 个单位，得到函数 g ( x) 的图像，则下列说法不正确 的是（ ） ．．． 4 8A． B． C. A． g ( ) C. x 13 升 317 升 661 2B． g ( x) 在区间 ( D． ( 2是 g ( x) 图像的一条对称轴85 7 , ) 上是增函数 8 8, 0) 是 g ( x) 图像的一个对称中心7.设双曲线x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F1 作倾斜角为 的直线与 y 轴和双曲 2 3 a b1 (OB OF1 ) ，则该双曲线的离心率为（ ） 2D． 3线的右支分别交于点 A 、 B ，若 OA A．2 B． 5C. 2 38.在 △ABC 中，点 P 满足 BP 2 PC ，过点 P 的直线与 AB ， AC 所在直线分别交于点 M ， N ，若AM mAB ， AN nAC(m 0, n 0) ，则 m 2n 的最小值为（ ）A．3 B．4 C.8 3D．10 3 a1 a 2 2018 2018 a2017 的值为（ ） 201820179.若 (1 2018x)2017 a0 a1 x a2 x2 A． 20182017 B．1 C. 0a2017 x2017 ( x R) ，则D． 110.在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， BAC 点，且直线 PQ 与平面 ABC 所成角的最大值为 A． 45 B． 57 C. 63 ，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为（ ） 3D． 842 ， AP 3 ， AB 2 3 ， Q 是边 BC 上的一动 311.记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 1 ， (Sn1 Sn )an 2n (n N ) ，则 S2018 （ ） A． 3(21009 1) 12.已知函数 f ( x) （ ） B． ( , 2) B．3 1009 (2 1) 2C. 3(22018 1)D．3 2018 (2 1) 2x2 与 g ( x) 2e ln x mx 的图像有 4 个不同的交点，则实数 m 的取值范围是 2 x 2e ln xA． (4, 0)1 2C. (0, )1 2D． (0, 2)第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出 i 的值为 ．x y 1 0 y | 的最大值为 14.设 x ， y 满足约束条件 x 2 y 0 ，则 z | x3 x 3y 3 0 15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．．4 16.已知椭圆的焦点为 F1 (c,0) ， F2 (c,0) ，其中 c 2 3 0 cos xdx ，直线 l 与椭圆相切于第一象限的点 P ，且与 x ， y 轴分别交于点 A ， B ，设 O 为坐标原点，当 △AOB 的面积最小时， F 1 PF2 60 ，则此椭圆的 方程为 ．三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 且 b sin B (c b)sin C a sin A . （1）求角 A 的大小； （2）若 sin B sin C 3 ，且 △ABC 的面积为 2 3 ，求 a . 818. 如图，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC 将 △ACD 折起，使得点 D 在平面 ABC 内的摄影恰好落在 边 AB 上.（1）求证：平面 ACD 平面 BCD ； （2）当AB 2 时，求二面角 D AC B 的余弦值. AD19. 某次数学知识比赛中共有 6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取 3 个题目进行作答，已知这 6 个题目 中，甲只能正确作答其中的 4 个，而乙正确作答每个题目的概率均为 答都是相互独立、互不影响的. （1）求甲、乙两位同学总共正确作答 3 个题目的概率； （2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是 m ， n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得 15 分，乙答对一题得 10 分，求甲乙两人得分之和 X 的期望. 20. 已知抛物线 C : y x2 ，点 A ， B 在抛物线上，且横坐标分别为 之间（不包括点 A ，点 B ） ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q . （1）求直线 AP 斜率 k 的取值范围； （2）求 | PA | PQ | 的最大值.x 21. 已知函数 f ( x) ( x 1)e 2 ，且甲、乙两位同学对每个题目的作 31 3 ， ，抛物线 C 上的点 P 在 A ， B 2 2t 2 x ，其中 t R . 2（1）讨论函数 f ( x ) 的单调性； （2）当 t 3 时，证明：不等式 f ( x1 xt ) f ( x1 x2 ) 2x2 恒成立（其中 x1 R ， x1 0 ）. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程为 sin( 坐标系，曲线 C1 的参数方程为 4) 2 2 ，现以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角 x 1 2cos （ 为参数）. y 2 2sin （1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C1 的普通方程； （2）若曲线 C2 为曲线 C1 关于直线 l 的对称曲线，点 A ， B 分别为曲线 C1 、曲线 C2 上的动点，点 P 坐标为(2, 2) ，求 | AP | | BP | 的最小值.23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f ( x) 3| x a | | 3x 1| ， g( x) | 4 x 1| | x 2 | . （1）求不等式 g ( x) 6 的解集； （2）若存在 x1 ， x2 R ，使得 f ( x1 ) 和 g ( x2 ) 互为相反数，求 a 的取值范围.试卷答案 一、选择题 1-5:CACBB 二、填空题 13. 4 14. 1 6-10: DCADB 11、12：AC1 15. 12 3x2 y 2 1 16. 15 9三、解答题 17.（1）由 b sin B (c b)sin C a sin A ，由正弦定理得 b2 (c b)c a2 ，即 b2 c 2 bc a 2 ，所以b2 c2 a2 1 cos A ，∴ A . 3 2bc 2（2）由正弦定理a b c a sin B a sin C ，可得 b ，c ， simA sin B sin C sin A sin A所以 S△ABC a 2 sin B sin C 1 1 a sin B a sin C bc sin A sin A 2 3. 2 2 sin A sin A 2sin A3 3 3 2 ， sin A ，∴ a 2 3 ，解得 a 4 . 8 2 8又 sin B sin C 18.（1）设点 D 在平面 ABC 上的射影为点 E ，连接 DE ，则 DE 平面 ABC ，∴ DE BC . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB BC ，∴ BC 平面 ABD ，∴ BC AD .又 AD CD ，所以 AD 平 面 BCD ，而 AD 平面 ACD ，∴平面 ACD 平面 BCD . （2）以点 B 为原点，线段 BC 所在的直线为 x 轴，线段 AB 所在的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图 所示.设 AD a ，则 AB 2a ，∴ A(0, 2a, 0) ， C (a,0,0) . 由（1）知 AD BD ，又AB 2 ，∴ DBA 30 ， DAB 60 ， AD 1 3 3 a ， BE AB AE a ， DE AD sin DAB a， 2 2 2∴ AE AD cos DAB ∴ D(0,3 3 1 3 a, a) ，∴ AD (0, a, a) ， AC (a, 2a,0) . 2 2 2 2设平面 ACD 的一个法向量为 m ( x, y, z) ， 1 3 m AD 0 az 0 ay 则 ，即 2 ， 2 m AC 0 ax 2ay 0 不妨取 z 1 ，则 y 3 ， x 2 3 ，∴ m (2 3, 3,1) . 而平面 ABC 的一个法向量为 n (0,0,1) ， ∴ cos m, n 1 1 1 m n .故二面角 D AC B 的余弦值为 . 4 | m || n | (2 3)2 ( 3) 2 12 419.（1）由题意可知共答对 3 题可以分为 3 种情况：甲答对 1 题乙答对 2 题；甲答对 2 题乙答对 1 题；甲答 对 3 题乙答对 0 题.故所求的概率1 2 2 1 3 C4 C2 2 2 2 1 C4 C2 1 1 2 2 C4 31 0 1 3 . P 3 C3 ( ) ( ) 3 C3 ( ) ( ) 3 C3 ( ) C6 3 3 C6 3 3 C6 3 135（2） m 的所有取值有 1，2，3.P(m 1) 1 2 2 1 3 1 3 1 C4 C2 1 C4 C2 3 C4 1 ， ， P ( m 2) P ( m 3) ，故 E (m) 1 2 3 2 . 3 3 3 5 5 5 C6 5 C6 5 C6 52 2 B(3, ) ，故 E (n) 3 2 .而 X 15m 10n ，所以 E ( X ) 15E(m) 10 E( n) 50 . 3 3 1 1 3 9 1 3 2 20.（1）由题可知 A( , ) ， B ( , ) ，设 P( x p , x p ) ， x p ，所以 2 4 2 4 2 2 1 xp2 4 x 1 (1,1) ，故直线 AP 斜率 k 的取值范围是 (1,1) . k p 1 2 xp 2 1 1 9 3 （2）直线 AP : y kx k ，直线 BQ : x ky k 0 ，联立直线 AP ， BQ 方程可知点 Q 的横坐 2 4 4 2由题意可知 n 标为 xQ 2 3 4k k 2 1 (k 1)2 (1 k ) 2 3 4k k 2 1 k ( k ) ， ( x x ) | PQ | 1 k Q p 2k 2 2 2k 2 2 2 1 k 21 | PA | 1 k 2 ( x p ) 1 k 2 (1 k ) ，所以 | PA | | PQ | (1 k )3 (1 k ) ，令 f ( x) (1 x)3 (1 x) ， 2 1 1 1 x 1 ，则 f '( x) (1 x)2 (2 4 x) 2(1 x)2 (2 x 1) ，当 1 x 时 f '( x) 0 ，当 x 1 2 2 1 1 时 f '( x) 0 ，故 f ( x ) 在 ( 1, ) 上单调递增，在 ( ,1) 上单调递减. 2 2 1 27 27 故 f ( x) max f ( ) ，即 | PA | | PQ | 的最大值为 . 2 16 1621.（1）由于 f '( x) xe tx x(e t ) .x xx 1）当 t 0 时， e t 0 ，当 x 0 时， f '( x) 0 ， f ( x ) 递增，当 x 0 时， f '( x) 0 ， f ( x ) 递减； 2）当 t 0 时，由 f '( x) 0 得 x 0 或 x ln t .① 当 0 t 1 时， ln t 0 ，当 x 0 时， f '( x) 0 ， f ( x ) 递增， 当 ln t x 0 时， f '( x) 0 ， f ( x ) 递减， 当 x ln t 时， f '( x) 0 ， f ( x ) 递增； ② 当 t 1 时， f '( x) 0 ， f ( x ) 递增； ③当 t 1 时， ln t 0 . 当 x ln t 时， f '( x) 0 ， f ( x ) 递增， 当 0 x ln t 时， f '( x) 0 ， f ( x ) 递减， 当 x 0 时， f '( x) 0 ， f ( x ) 递增. 综上，当 t 0 时， f ( x ) 在 ( , 0) 上是减函数，在 (0, ) 上是增函数； 当 0 t 1 时， f ( x ) 在 (, ln t ) ， (0, ) 上是增函数，在 (ln t , 0) 上是减函数； 当 t 1 时， f ( x ) 在 (, ) 上是增函数； 当 t 1 时， f ( x ) 在 ( , 0) ， (ln t , ) 上是增函数，在 (0, ln t ) 上是减函数. （2） 依题意 f ( x1 x2 ) f ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) ， f ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) f ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 恒成立. 设 g ( x) f ( x) x ，则上式等价于 g ( x1 x2 ) g ( x1 x2 ) ， 要证明 g ( x1 x2 ) g ( x1 x2 ) 对任意 x1 R ， x2 (0, ) 恒成立，x 即证明 g ( x) ( x 1)e 3 2 x x 在 R 上单调递增，又 g '( x) xe x 3x 1 ， 2x 只需证明 xe 3x 1 0 即可.令 h( x) e x x 1 ，则 h '( x) ex 1 ，当 x 0 时， h '( x) 0 ，当 x 0 时， h '( x) 0 ，x x 2 ∴ h( x)min h(0) 0 ，即 x R ， e x 1 ，那么，当 x 0 时， xe x x ，所以1 xe x 3x 1 x2 2x 1 ( x 1)2 0 ；当 x 0 时， e x 1 ， xe x 3x 1 x (e x 3 ) 0 ， xx ∴ xe 3x 1 0 恒成立.从而原不等式成立.22.解： （1）∵ sin( 4) 2 2 ，∴2 2 sin cos 2 2 ， 2 2即 cos sin 4 ，∴直线 l 的直角坐标方程为 x y 4 0 ； ∵ x 1 2cos ，∴曲线 C1 的普通方程为 ( x 1)2 ( y 2)2 4 . y 2 2sin （2）∵点 P 在直线 x y 4 上，根据对称性， | AP | 的最小值与 | BP | 的最小值相等. 曲线 C1 是以 (1, 2) 为圆心，半径 r 2 的圆. ∴ | AP |min | PC1 | r (2 1) 2 (2 2) 2 2 3 .所以 | AP | | BP | 的最小值为 2 3 6 . 3x 3, x 2 1 23.解： （1）∵ g ( x) 5 x 1, 2 x ， 4 1 3x 3, x 4当 x 2 时， 3x 3 6 解得 x 1 ，此时无解.1 7 7 1 时， 5 x 1 6 ，解得 x ，即 x . 4 5 5 4 1 1 7 当 x 时， 3x 3 6 ，解得 x 3 ，即 x 3 ，综上， g ( x) 6 的解集为 {x | x 3} . 4 4 5当 2 x （2）因为存在 x1 ， x2 R ，使得 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立.所以{ y | y f ( x), x R} { y | y g ( x), x R} .又 f ( x) 3| x a | | 3x 1| | (3x 3a) (3x 1) || 3a 1| ， 由（1）可知 g ( x) [ , ) ，则 g ( x ) ( , ] .9 49 49 13 5 a . ，解得 4 12 12 13 5 故 a 的取值范围为 [ , ] . 12 12所以 | 3a 1|。