离散均匀分布(Discrete Uniform Distribution)

（Ⅰ）離散均勻分配（Discrete Uniform on Distributi ）：
一、 背景：
若隨機變數有n 個不同值，具有相同機率，則我們稱之為離散型均勻分配，通常這都發生在我們不確定各種情況發生的機會，且認為每個機會都相等，例如：投擲骰子、銅幣、、、等等 二、定義：
設離散隨機變數X 之可能變量有n ,...,2,1， 若其機率函數為
n
x f 1)(= n x ,...2,1= 則此種機率分配稱為離散均勻分配 三、性質： 1.2
1
)(+=
n X E ，由於機率值相等，故平均數為中心點， 即
2
1
+n 證明：∑=⋅=n
x n
x X E 1
1)(
n n n 1
2)1(⋅+= 2
1+=
n 2. 12
1
)(2-=n X Var
證明：n
x X E n
x 1)(1
22
⋅=∑=
n
n n n 1
6)12)(1(⋅++=
6
1
322++=n n
[]22)()()(X E X E X Var -=
=
2
2)2
1(6132+-++n n n 12
1
2-=n
3.Moment Generating Function xt n
x x e n
t m ∑==11)( 證明：[]tx x e E t m =)( ∑=⋅=n
x tx x f e 1)(
xt n x e n
∑==11
)
1()1(t
t
n t e n e e --=+ 例題：一輪盤分37個面積相等扇形，每個扇形上分別標明0 到36號，轉動輪盤，指針所指之數字為X ，若指針所 指之編號服從離散均勻分配，求 X a )(之機率函數？
X b )(位在1到10號間機率為何？ )(c 奇數格內機率為何？ )(d 0號之機率為何？ 解：37
1
)()(=
x f a 36,...,2,1=x 37
10)101()(=
≤≤X P b
37
18
)()(=為基數X P c （∵0到36共有18個奇數） 37
1)0()(==X P d 四、應用：
我們可用隨機亂數表自均勻分配中抽出樣本，若自N 個物
品之母體中抽出n 個物品為一簡單隨機樣本，則有)(N
n 個
可能樣本，而這些樣本被抽出之機率均相同，則這些樣本之分配為
)
(1)(N n
x f = )(,...,2,1N
n x =
（Ⅱ）連續型均勻分配（Continuous Uniform on Distributi ）：
一、 背景：
當我們認為一變數值在某區間（α，β）內發生的機率一樣時，我們稱之為連續型均勻分配 二、定義：
設X 為一隨機變數，若其機率密度函數為
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧<<-=其他,0,1
)(β
ααβx x f 則稱X 為在區間（α，β）上均勻分布的隨機變數，以
),(~βαU X 表示，其中α、β為均勻分布的兩個參數
X
的分布函數為
⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨
⎧≥<<--≤=ββααβα
αx x x x x F ,1,,0)( )(x f 及)(x F 以圖形表示如下：
三、性質：
1.2
)(β
α+=
X E
證明：⎰=β
αdx x xf X E )()( dx x ⎰-⋅
=β
αα
β1
βα
αβ2
12
x -=
)(x f
α
β-1
α β x )(x F
1
x α β
2
12
2αβαβ--=
2
β
α+=
2.12
)()(2
αβ-=X Var
證明：dx x f x X E )()(22⎰=β
α dx x α
ββ
α-⋅
=⎰1
2 βα
αβ3
13
x -=
3
13
3αβαβ--=
3
2
2βαβα++=
22)]([)()(X E X E X Var -=
22
2)2
(3
β
αβαβα+-++=
4
23
2
22
2βαβαβαβα++-
++=
12
)(2
αβ-=
3.Moment Generating Function )
()(αβα
β--=t e e t M t t X
證明：][)(tX X e E t M = dx x f e tx )(⎰=β
α dx e tx α
ββ
α-⋅
=⎰1
β
α
αβtx e t 11⋅-=
)
(αβα
β--=t e e t t
4.任一隨機變數與（0，1）間之均勻隨機變數有函數關 係，以下是此特性之定理：
定理：
令)1,0(~U Y ，)(1Y F X -=
)(x F 為連續型分配函數且1)(,0)(==b F a F 在b x a <<時，)(x F 嚴格遞增（b a ,可能分別為
∞∞-,），則隨機變數)(1Y F X -=的分配函數為)(x F
證明：])([)(1x Y F P x X P ≤=≤-
)(x F 為嚴格遞增，)()(1x F Y x Y F ≤⇒≤- )]([)(x F Y P x X P ≤=≤∴
)1,0(~U Y
10,)(<<=≤⇒y y y Y P
1)(0),()]([)(<<=≤=≤∴x F x F x F Y P x X P X ∴的分配函數為)(x F 逆定理：
令X 具有連續型且嚴格遞增的分配函數)(x F ，則隨
機變數Y 定義為)(X F Y =具有)1,0(U 的分配
證明：10],)([)(<<≤=≤y y X F P y Y P
)()(1y F X y X F -≤⇒≤ )]([)(1y F X P y Y P -≤=≤∴ )()(x F x X P =≤
y y F F y F X P y Y P ==≤=≤⇒--)]([)]([)(11 10<<y )1,0(~)(U X F Y =∴
例題：設從7點開始每隔15分鐘有一班車到站，若一乘客到 站的時間是均勻分布在7點和7點半之間。

試求：
(1) 該乘客5分鐘內等到車子的機率為多少？ (2)
該乘客超過10分鐘等到車子的機率為多少？
解：(1)令X 表示該乘客過7點以後到站的”分”數 則)30,0(~U X
)3025()1510(<<+<<X P X P dx dx ⎰⎰+=302515
10
30
1301
3
1=
(2))2015()50(<<+<<X P X P dx dx ⎰⎰+=20155
30130
1
3
1=
四、應用：
在測度理論中，)10)5.0(,0(k U -經常被用來描述在小數點後第(k+1)位四捨五入後誤差的分布。

也就是說，若觀測值Y 在小數點後第k+1位四捨五入所得的值為k Y （即表示到小
數點後第k 位），則假設)10)5.0(,0(~k k U Y Y -⨯-。

此外，
)1,0(U 分布在蒙地卡羅法（Monte Carlo Methods ）中也廣泛地被
使用；
※故可利用電腦成式先產生具有)1,0(U 分布的一組隨機數（random numbers ），再將其轉換成具有任何分布之隨機亂數
※ 由性質4的定理知，均勻隨機變數經任一分布函數倒
函數之轉換，可產生具有該分布的隨機變數
感想：
在所有的隨機變數中，均勻分布不外乎是較為簡單的，但其重要性卻是不可忽視的，因為在一般的日常生活中有許多的情況皆可以均勻分布來解釋，例如擲骰子、錢幣、等候公車、、、等，當然，其最重要的就是可以此分布來模擬其他離散或連續型隨機變數的觀察值，也就可得到所謂的亂數表。