泊松过程

对 n,及t1 t2 tn,有
X (t2 ) X (t1), X (t3) X 2 (t), , X (tn ) X n1(t)是相互独立的。 3 定义中的(3)说明泊松过程是一平稳过程；即在时
间间隔s,t s 内，事件发生的总次数只与时间间隔
t 有关，而与初始时刻 s 无关。
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《应用随机过程》电子课件 张 峰
第二章 Poisson 过程
一、Poisson过程的两个等价定义
定义2.1 计数过程
(1) 随机过程 N t 称为计数过程，如果 N t 表
示到时刻 t为止，某事件A发生的总数。
(2) 性质
(a) N t 0
(b) 对于 0 t1 t2 N t1 N t2
(c) 对于
区间 t1,t2
中0， t事1 件t2,A发N 生t2 的 总N次t1数 。表示
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第二章 Poisson 过程
如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A 发生的次数是相互独立的。
证：由（1）显然可得Poisson过程是平稳过程
PN (t h)- N (t)=1 heh h hk k0 k! h 1 h oh h oh
PN (t h)- N (t) 2 eh hk oh
k 2
k!
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在实际中有很多随机现象都可以用泊松分布或者 泊松过程来描述，例如盖木多计数器上的粒子流， 呼叫中心收到的呼叫次数，交通流中的事故数， 股票市场中买进和售出的股票次数等。
两个重要特点是：1 在时间或者空间上的均匀性 （增量平稳性），2 未来的变化与过去的变化没有 关系（增量的独立性）。
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PN(t)=0PN( h)=0 P0 t 1 h oh
即:
P0
t
h
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第二章 Poisson 过程
二、Poisson过程的两个等价定义的证明
2 定义2 定义1 即:由(2),(3)(1)
证: PN h k PN(h) N(0) k,
P0 t h PN (t h) 0 PN (t) N (0)=0,N (t h) N (t )=0 PN (t) N (0)=0 PN (t h) N (t )=0
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第二章 Poisson 过程
一、Poisson过程的两个等价定义
定义2.3 Poisson过程定义2
若计数过程 N t, t 0 满足：
(1) 零初值性 N 0 0
(2) N t ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是独立平稳增量过程
(3) N t 满足下列两式：
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第二章 Poisson 过程
一、Poisson过程的两个等价定义
泊松过程是一种很重要的计数过程，它在随机 过程的理论和应用中都有着重要的应用，特别在 运筹学和排队论中有着重要的应用。
第二章 Poisson 过程
一、Poisson过程的两个等价定义
定义2.2 Poisson过程定义1
若计数过程 N t, t 0 满足：
(1) 零初值性 N 0 0
(2) N t 是独立增量过程
(3) 任一长度为 t 的区间内，事件的个数
服从均值为 t 的 poisson 分布：
PN t s N s k tk et k!
计数过程 N t 是独立增量过程
若计数过程N t 在(t, t+s]内（s>0），事件A发生的 次数N t s N t 仅与时间差s有关，而与t无关。
计数过程 N t 是平稳增量过程
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称 N t 服从参数是 t 的 poisson过程
注：1、 (a) (b)中的第1个等号是由平稳过程而来的
2、(a) (b)中合起来可知在t,t h内没有事件发生
的概率为 1 h oh
3、实际中由定义2判断随机过程更容易一些。
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第二章 Poisson 过程
Poisson过程的概念 与Poisson过程相联系的若干分布
Poisson过程的推广
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第二章 Poisson 过程
第二章
Poisson过程的概念
一、Possion过程的两个等价定义 二、泊松过程的概率分布和数字特征
三、泊松过程的叠加和分解性质
aPN t h N t 1 PN h 1 h oh
bPN t h N t 2 PN h 2 oh
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第二章 Poisson 过程
一、Poisson过程的两个等价定义
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第二章 Poisson 过程
一、Poisson过程的两个等价定义
称 N t 服从参数是 t 的 poisson过程
注：1 定义中的(1)说明事件的计数是从0时刻开始的；
2 定义中的(2)说明泊松过程是一独立增量；对于 任意的正整数及任意不同的，增量是相互独立的；
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第二章 Poisson 过程
二、Poisson过程的两个等价定义的证明
1 定义1
即：由 PN t
定义2
s N
s
k
证t
k
et
(1)
k!
aPN t h N t 1 PN h 1 h oh (2)
bPN t h N t 2 PN h 2 oh (3)