1集合与元素

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元素与集合之间的基本关系

第一课元素与集合之间的关系一、考点1、集合、元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合（常用大写字母表示），其中每一个对象叫做元素（常用小写字母表示）。

元素三要素：确定性、互异性、无序性。

2、集合与元素之间的关系（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记做a ∈A 。

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记做a ∉A 。

3、集合的表示法：列举法、描述法。

4、集合的分类：空集、有限集、无限集5、常用数集实数集：R有理数集：Q整数集：Z自然数集：N正整数集：*N 或+N6、集合与集合之间的关系7、集合之间的运算二、典型例题1、已知集合A={x||x|≤2，x ∈R}，B={x|x ≤4，x ∈Z}，则A B=（）A 、（0,2）B 、[0,2]C 、{0,2}D 、{0,1,2}2、设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q ＝{(a ，b)|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b}，则P*Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．203、已知集合A={（x ，y ）|x ，y 为实数，且1y x 22=+}，B={（x ，y ）|x ，y 为实数，且y=x}，则A B 的元素个数为（）A 、0B 、1C 、2D 、34、设集合{}R A ∈<=x 1a -x x ，，{}R B ∈>=x 2b -x x ，，若B A ⊆，则实数a ，b 必满足（）A 、3b a ≤+B 、3b a ≥+C 、3b -a ≤D 、3b -a ≥5、已知集合{}32x R x <+∈=A ，集合()(){}02-x m -x x <∈=R B ，且()n 1-，=B A ，则=m __________，=n __________。

6、已知集合{}2x x -3x-100A =≤，{|121}B x m x m =+-≤≤，且A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．三、课堂作业1、用列举法表示下列集合：（1）、},,20,20|),{(Z y x y x y x ∈<≤<≤（2）、_;__________},,,|{},2,1,0{=≠∈+===b a M b a b a x x P M2、已知集合A={1、2、3、4、5}，B={（x,y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为（）。

集合的概念集合与元素

动脑思考探索新知
一、集合与元素的概念
将某些确定的对象看成一个整体就构成一个集合（简称集）．
组成集合的对象叫做这个集合的元素．
观察你的文具盒，什么是集合？什么是元素？
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操作
高教社
动脑思考探索新知
二、集合的性质
确定性
互异性
无序性
一个给定的集合中的元. 素必须是确定的
一个给定的集合中的元素都是互不相同的
我们每个人手里都有一把自学成才的钥匙，这就是：理想、勤奋、毅力、虚心和科学的方法。
----------华罗庚
开始学习啦！
第一章集合与充要条件
1.1 集合的概念
1.1.1 集合与元素
高教社
张立艳
【学习目标】理解集合、元素的概念及其关系，掌握常用数集的字母表示；
• 【学习重点】
• 集合的概念
一个给定的集合中的元素排列无顺序
高教社
三、集合与元素表示方法：
一般采用大写英文字母A，B，C…表示集合，小写英文字母a，b，c… 表示集合的元素.
动脑思考探索新知
四、元素与集合的关系
元素与集合
元素a是集合A 的元素，. 记作a∈A，读作a属于A.
高教社
元素a不是集合A 的元素，
记作a A，
读作a不属于A.
例1 下列对象能否组成集合：（1）所有小于10的自然数；（2）某班个子高的同学；（3）方程x2-1=0的所有解；（4）不等式x-2˃0的所有解．（5）方程x2+1=0的解集
五、集合的分类：
1、有限集：含有有限个元素的集合 2、无限集：含有无限个元素的集合 3、空集：不含任何元素的集合，记作ɸ

高一数学知识点元素与集合

高一数学知识点元素与集合数学是一门抽象而又精确的学科，其中一个重要的概念就是元素与集合。

元素是构成集合的基本单位，而集合则是由一些具有共同特征的元素组成。

本文将从元素和集合的定义、运算和应用等方面介绍高一数学中与元素和集合相关的知识点。

一、元素的定义在数学中，元素是一个基本的概念，它指的是集合中的个体或个体的抽象。

举个例子，假设我们有一个集合A，那么集合A的元素就是指属于这个集合的个体。

例如，集合A={1, 2, 3}，其中的元素包括数字1、2和3。

二、集合的定义集合是具有某种特定性质的元素的整体。

用数学符号表示，集合通常用大写字母表示，集合中的元素用小写字母表示，并用大括号{}括起来。

例如，集合A={1, 2, 3}就表示由数字1、2和3组成的集合A。

三、集合的运算在数学中，我们可以对集合进行一些运算，常见的集合运算有并集、交集和差集。

1. 并集：并集指的是将两个或两个以上的集合中的所有元素取出，组成一个新的集合。

并集的数学符号为"∪"，例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，它们的并集可以表示为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

2. 交集：交集指的是两个集合共有的元素组成的集合。

交集的数学符号为"∩"，例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，它们的交集可以表示为A∩B={3}。

3. 差集：差集指的是从一个集合中去掉另一个集合中相同的元素后所得到的集合。

差集的数学符号为"-"，例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，它们的差集可以表示为A-B={1, 2}。

四、集合的应用集合的概念在数学中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。

1. 概率论：概率论中的事件可以用集合来表示，样本空间就是一个集合，事件就是这个集合的子集。

2. 线性代数：线性代数中的向量空间可以看作是一个集合，向量就是这个集合中的元素。

一、集合的概念

（1）大于-4且小于12的所有偶数组成的集合 {-2，0，2，4，6，8，10} （2）方程x2-5x-6=o的解集 {-1，6}
z
【问题】怎样表示小于5的所有实数组成的集合？
【新知识】描述法表示集合
步骤：1.分析集合的元素的特征；2.利用元素的特
征表示这个集合
方法：在花括号中画一条竖线；竖线的左侧写集合
季学期的课程集合的元素
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【新知识】列举法表示集合

将集合的元素一一列出，用逗号分隔，再用花括号“{ }”括为一个整体。元素很多时，可在花括号内只写几个元素，其他元素用省略号表示。列举法表示集合时，不考虑元素的排列顺序（无序性），集合中元素不重复（互异性）。

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【知识巩固】例2 用列举法表示下列集合
的代表元素x，并标出元素x属于哪种数集；竖线的右侧写出元素x其他所有的特征性质。
集合的元素为实数R，可以不标出
z【知识巩固】例3源自（1）小于5的所有整数组成的集合（2）不等式2x+1≤0的解集（3）所有奇数组成的集合（4）直角坐标系中，由x轴上所有的点组成的集合

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【新知识】

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方程x2+1=0的解集
方程x+2=2的解集
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1.1.2 集合的表示法
列举法
描述法
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【实例】请同学们告诉我，你们这个学期课表上的课程有哪些？
这些课程构成了1个集合——17级医学检验专
业17年秋季学期的课程集合。
所列出的这些课程是17级医学检验专业17年秋
数
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学
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第一章

知识点1 元素与集合

知识点1 元素与集合1 一般地,我们把研究对象统称为元素,元素通常用小写字母a,b,c...表示。

2 我们通常把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写字母A,B,C...表示。

3 元素与集合之间有属于（∈）和不属于（∉）两种关系，如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A, 集合是数学中最原始的不定义概念，只能给出描述性的说明。

构成集合的对象必须是“确定的”且是“不同的”。

其中“确定”是构成集合的对象有非常明显的特征，这个特征不是模棱两可的；“不同”是构成集合的各个对象互不相同。

如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a∉A.（1）集合是指某些对象的整体而不是指其中的个别对象。

（2）集合是由属于它的元素所完全确定的，一个对象要么是集合的元素，要么不是集合的元素，二者必居其一。

（1）确定元素是否在集合中，要根据元素是否满足集合中的代表元素所适合的条件来确定。

知识点2 集合中元素的特征（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一。

（2）互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的，若A是一个集合，a,b是集合A的任意两个元素，则一定有a≠b.(3) 无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意挑换集合内的元素位置，集合不变。

（1）给定一个集合，其元素应同时具备以上三个特征。

（2）若两个集合中的元素是完全相同的，则称它们是相等的集合。

求得参数的值后，要将参数值代回检验，判断其是否满足集合中元素的互异性。

知识点3常用数集及其记法（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+（3）全体整数组成的集合称为整数集，记为Z（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作RN，Z，Q，R等本身就表示集合，使用时不必再加花括号“{ }”.知识点4集合的表示方法集合的表示方法常见的有自然语言法，列举法和描述法。

护理高职数学(第一册)第一章集合知识梳理

高职护理1708数学（第一册）概念知识梳理（1）第1章集合§1.1集合与元素1.一般的，有某些确定的对象所组成的整体叫做集合.集合通常用大写英文字母A 、B 、C ，…表示.2.集合中的每个确定的对象叫做这个集合的元素.集合的元素通常用小写英文字母a 、b 、c ，…表示.3.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉ A.4.一般的，含有有限个元素的集合，叫做有限集；含有无限个元素的集合，叫做无限集。

5.我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Ø.如方程032=+χ的实数解组成的集合就是空集.6.如果集合中的元素是数，那么这样的集合叫做数集.常用数集及其符号如下表.数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N +Z Q R7.(补充)素（质）数、合数概念：“1”既不是素数也不是合数.8.奇（单）数、偶（双）数：偶数+偶数=偶数；奇数+奇数=偶数偶数+奇数=奇数.§1.2集合的表示方法1.一般的，把集合中的元素一一例举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，用列举法表示集合，元素之间要用逗号隔开.2.元素的特性：①确定性；②无序性；③互异性.3.一般的，用集合中元素的共同特征来表示集合的方法叫做描述法.描述法的一般形式为：｛x |x 具有的共同特征｝.4.不等式的解组成的集合称为不等式的解集。

§1.3集合之间的关系1.我们常用封闭曲线的内部表示集合，这种表示集合的图形叫做维恩（Venn ）图.2.没有公共元素有部分公共元素集合A 都是集合B 的元素3.一般的，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若x ∈A ，则x ∈B ），那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B 或B ⊇A ，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”.4.根据子集定义，我们可以得出：A ⊆A ，即任何一个集合是它自身的子集.5.对于空集，我们规定：Ø⊆A ，即空集是任何集合的子集.6.N 、Z 、Q 、R 关系维恩图.(R Q Z N ⊆⊆⊆)7.一般的，对于两个集合A 与B ，如果集合A 是集合B 的子集，并且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ⫋B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.8.空集是任何非空集合的真子集.9.一般的，如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等.集合A 与集合B 相等记作A=B.10.子集个数计算公式：子集个数=2n （n 是子集的个数）.§1.4集合的运算1.一般的，给定两个集合A 、B ，由既属于集合A 又属于B 的元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”，（如下图）即A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B}.2.对于任意集合A,B,C,有（1）交换律A ∩B=B ∩A ；（2）结合律（A ∩B ）∩C=A ∩（B ∩C ）.3.一般的，给定两个集合A ，B ，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”.由并集的定义可知，A ∪B 中的元素属于A 或属于B ，即：A ∪B={x |x ∈A 或x ∈B}.4.对于任意集合A,B,C,有（1）交换律A ∪B=B ∪A ；（2）结合律（A ∪B ）∪C=A ∪（B ∪C ）.5.一般的，如果我们所研究的集合涉及的全部元素都属于集合U ，那么这个集合U 我们叫做全集.如果A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合叫做集合A 在全集U 中的补集，记作C U A ，读作“A 在U 中的补集”，即C U A={x |x ∈U 且x ∉A}.A A AB B BAB6.对于全集U 和他的一个子集A ，有（1）A ∩（C U A ）=U（2）A ∪（C U A ）=Ø（3）C U （C U A ）=A.§1.5充要条件1.一般地，若命题“如果p ，那么q ”是正确的，即p ⇒q ，那么我们就说p 是q 的充分条件，或q 是p 的必要条件.2.一般地，若p 是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们就说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，也称p 与q 是等价的，或称p 等价于q ，记作p ⇔q.3.归纳逻辑思维关系.件，既不充分也不必要条④充要条件③必要而不充分条件②充分而不必要条件①q p q p q p q p ⇔⇔⇐⇒,,,第一章集合（补充知识）1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。

数学人教版高中一年级必修1 元素与集合、集合与集合的关系

第一周元素与集合、集合与集合的关系重点知识梳理1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性． ①确定性：集合中的元素必须是明确的，不能含糊不清；②互异性：一个集合中的元素是唯一的，不能有相同元素，相同元素只能出现一次； ③无序性：即一个集合中的元素出现没有顺序，只要两个集合的元素完全相同，这两个集合就是相同的．2．元素与集合的关系：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，元素与集合是从属关系，如a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ，a 不属于集合A ，记作a ∉A . 3．集合间的基本关系(1)子集：如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B . (2)真子集：如果A ⊆B 且A ≠B ，那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B .(3)相等：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，即A ＝B . (4)常用结论①任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A ；②空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集； ③如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C ； ④如果A ⊆B ，同时B ⊆A ，那么A ＝B .典型例题剖析例1 已知集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0，x ∈R }，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．【方法指导】集合A 中至多有一元素，即为对应方程至多只有一根，这样通过讨论方程根的情况来求a 的取值范围即可．【解析】(1)当a ＝0时，方程只有一个根－12，则a ＝0符合题意；(2)当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－2x －1＝0是一元二次方程，则该方程有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－1}．【提示】以下解法是错误的：由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．错误原因方程ax 2－2x －1＝0不一定是一元二次方程，若方程不是一元二次方程，则不能利用判别式Δ判断其实根的个数．淘出优秀的你2【小结】本题体现了转会与化归的思想，解答时将问题转化为关于x 的方程ax 2－2x －1＝0的实数根的个数问题，这样就容易解决了．同时，要注意若方程的二次项系数含有字母，则需对其是否为零进行讨论．变式训练已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 是单元素集(只含有一个元素的集合)，求a 的值及集合A ； (2)求集合P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}．【解析】(1)当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98，此时A ＝{43}．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)知，当a ＝0时，A ＝{23}含有一个元素，符合题意．由a ≠0时，要使方程有实根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上所述，P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}＝{a |a ≤98}．例2 已知－3∈A ，A 中含有的元素有a －3,2a －1，a 2＋1，求a 的值．【解析】由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或a ＝－1.变式训练已知互异的两数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b }＝{a 2，b 2}，则a ＋b 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 【答案】D【解析】由{a ，b }＝{a 2，b 2}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a 2b ＝b 2① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝a 2，② 由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝1b ＝0或b ＝1，∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，即a ＝1，b ＝1，此时集合{1,1}不满足条件．由②两式相减得a 2－b 2＝b －a ，∵两数a ，b 互异，∴b －a ≠0，即a ＋b ＝－1，故选D.例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．【解析】A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A .①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2，此时有B ⊆A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2，由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5，解得2≤m ≤3. 由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．【小结】对于这类含有字母参数的集合的包含关系，应注意空集是任何集合的子集，如本题中，应讨论集合B 为空集的情形．变式训练已知集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，集合Q ＝{x |ax ＋1＝0}，且Q ⊆P ，求实数a 的取值构成的集合A .【解析】∵x 2＋x －6＝0， ∴(x ＋3)(x －2)＝0，即x ＝－3或x ＝2. ∴P ＝{－3,2}．又∵Q ＝{x |ax ＋1＝0}，当a ＝0时，Q ＝∅，满足Q ⊆P ；当a ≠0时，有－1a ＝－3或－1a ＝2，∴a ＝13或a ＝－12，故a ＝0或a ＝13或a ＝－12.∴A ＝{－12，0，13}．跟踪训练1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}其中只有一个元素，则a 等于( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或42．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x ∈Z 中含有的元素个数为( )淘出优秀的你4A ．4B ．6C ．8D ．123．若集合A ＝{x |ax 2＋(a －6)x ＋2＝0}是单元素集合，则实数a 等于( ) A ．2或18 B ．0或2 C ．0或18D ．0或2或184．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．05．集合A 满足关系式(a ，b )⊆A ⊆{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若非空数集A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( ) A ．{a |1≤a ≤9} B ．{a |6≤a ≤9} C ．{a |a ≤9}D ．∅7．若集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x |ax －2＝0，a ∈Z }，且B ⊆A ，则实数a ＝________.8．若集合M ＝{}1，m 2，集合N ＝{2,4}，M ∪N ＝{1,2,4}，则实数m 的值的个数是________．9．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________________． 10．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，则有序实数对(a ，b )的值为________． 11．设集合A ＝{3,3m 2}，B ＝{3m,3}，且A ＝B ，则实数m 的值是________．12．已知集合A ＝{x |2a －2<x ≤a ＋2}，B ＝{x |－2≤x <3}且A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 13．已知由实数构成的集合A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a1－a∈A (a ≠0且a ≠±1)，则集合A 中至少有几个元素？证明你的结论．参考答案1．A 当a ＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件；当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. 故选A.2．B 由题意，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x ∈Z 中的元素满足x 是正整数，且12x 是整数，由此列出下表根据表格，可得符合条件的x 共有6个，即集合⎩⎨⎭⎬x ∈N *|12x ∈Z 中有6个元素，故选B.3．D a ＝0时，－6x ＋2＝0，x ＝13，只有一个解，集合A ＝{13}，满足题意．a ≠0时，方程ax 2＋(a －6)x ＋2＝0有两个相等实根．判别式Δ＝0， Δ＝(a －6)2－8a ＝0， a 2－20a ＋36＝0，解得a ＝2或a ＝18， ∴实数a 为0或2或18. 故选D.4．B 集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ， a ＝2∈A,6－a ＝4∈A ，∴a ＝2，或者a ＝4∈A,6－a ＝2∈A ，∴a ＝4，综上所述，a ＝2,4. 故选B.5．D 由题意知集合A 中的元素a ，b 必取，另外可从c ，d ，e 中取，满足题意的集合A 的个数等于集合{c ，d ，e }的子集个数，因为{c ，d ，e }的子集个数为23＝8，则集合A 的个数是8. 故选D. 6．B 7．0或1 8．49．x ≠0,1,2，1±52解析由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.淘出优秀的你610．(0,1)或(14，12)解析 ∵M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12，当a ＝0，b ＝0时，集合M ＝{2,0,0}不成立， ∴有序实数对(a ，b )的值为(0,1)或(14，12)故答案为(0,1)或(14，12)．11．0解析依题意，3m ＝3m 2，所以m ＝0或m ＝1.当m ＝1时，违反元素互异性(舍去)． 12．解析由已知A ⊆B 可得， (1)当A ＝∅时，有2a －2≥a ＋2⇒a ≥4. (2)当A ≠∅时，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ＋2，2a －2≥－2，a ＋2<3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <4，a ≥0，⇒0≤a <1a <1. 综合(1)(2)，实数a 的取值范围是{a |a ≥4或0≤a <1}． 13．解析 ∵a ∈A ，则1＋a1－a ∈A ，∴1＋1＋a 1－a 1－1＋a1－a ＝－1a ∈A ，进而有1＋⎝⎛⎭⎫－1a 1－⎝⎛⎭⎫－1a ＝a －1a ＋1∈A ，∴又有1＋a －1a ＋11－a －1a ＋1＝a ∈A .∵a ∈R ，∴a ≠－1a.假设a ＝1＋a1－a ，则a 2＝－1，矛盾，∴a ≠1＋a 1－a.类似方法可得a 、1＋a 1－a 、－1a 和a －1a ＋1四个数互不相等，故集合A 中至少有四个元素．。

集合知识点汇总与练习

1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。

2.集合中元素的属性（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。

（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。

（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。

3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”。

4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。

二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。

如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。

（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。

注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。

（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。

1.集合与元素

3.补集的运算的性质设S为全集, AS, 则: Cs(CsA)=A, Cs=S, CsS= A∩(CsA)=, A∪(CsA)=S, Cs (A∩B)=(CsA)∪(CsB), Cs(A∪B)=(CsA)∩(CsB).
四、有限集合的子集个数公式
1.设有限集合 A 中有 n 个元素, 则 A 的子集有: Cn0+C1n+Cn2+…+Cnn＝2n 个.
对应的图形是解答本题的关键.
-4
(2)讨论两曲线的位置关系, 最常见的解法还有讨论其所对应
的方程组的解的情况解起来较繁.
4.已知 f(x)=x2+px+q, 且集合 A={x | f(x)=x}, B={x | f [ f(x)]=x}. (1)求证: AB; (2)如果 A={-1, 3}, 求 B. {- 3 , -1, 3 , 3}
药, 80 人带有胃药, 那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值
和最小值分别为多少?
解: 设既带感冒药又带胃药的人数为 x, 既不带感冒药又不带
胃药的人数为 a.
记这100名出国旅游者组成全集 I , 其中带感冒药的人组成集
合 A, 带胃药的人组成集合 B. 则 x=card(A∩B) 且 card(A)=75,
②并集: 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做集合 A 与 B 的并集, 记作A∪B, 即
A∪B={x | x∈A, 或 x∈B}.
③补集: 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即AS), 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集), 记作 CsA, 即
2.已知集合A={x | x2-x-6<0}, B={x | 0<x-m<9}. (1)若A∪B=B, 求实数 m 的取值范围; [-6, -2] (2)若A∩B, 求实数 m 的取值范围. (-11, 3)

1.1.1集合与元素,集合的表示法

3.空集：一个元素也没有的集合，用来表示。
思考：
1. 0 ∉ （填∊ 或∉ ）
集合的表示法（一）
如何表示下列两个集合呢? （1）小于5的所有自然数组成的集合（2）我国古代的四大发明组成的集合
思考1：这两个集合的元素有哪些？（1）0，1，2，3，4 （2）活字印刷术，造纸术，指南针，火药
×
（4）A={1，4，8}， B={8，4，1}， A和B表示为同
一集合。
√
集合的3个特性
1.确定性：集合中的每一个元素都必须是确定。 2.互异性：集合中的任意两个元素互不相同。
3.无序性：集合中的元素排列是无先后顺序的。
常用的数集表示
集合记号 N*或N+ N Z Q R
集合意义正整数集
非负整数集(自然数集) 整数集有理数集实数集
课堂小结
1．集合的有关概念（集合、元素、属于、不属于)
2．集合的三个特性（确定性，互异性，无序性）
3．常用数集的定义及记法.
4、集合的分类
（有限集、无限集、空集）
5、集合的表示法（列举法、描述法、文氏图法）
作业布置
超星作业 1.1.1集合与元素集合的表示法
描述法：利用元素的特征性质来表示集合的方法。
具体方法是：在花括号中画一条竖线，竖线的左侧写上集合的代表元素,并标出元素的取值范围，竖线的右侧写出元素所具有的特征性质。例如：小于5的所有实数组成的集合可表示为：
{x∈R|x<5} 或{x|x<5}
思考2：大于7小于18的有理数组成的集合如何表示？
{ x∈Q 7< x＜18 }
代表元素
所有元素所共有的“特征性质”
两种描述法：（1）符号描述法——用数学符号把元素所具有的属性描述出来，如 {x∈R|x<5}

第一讲元素与集合

第一讲元素与集合一．集合的概念集合是一个原始的概念，是数学中一个不定义的概念．尽管如此，对一个具体的集合而言，很多情况下我们还是可以采用列举法或描述法给出它的一个准确而清晰的表示．用描述法表示一个集合基于下面的概括原则：概括原则对任给的一个性质P ，存在一个集合S ，它的元素恰好是具有性质P 的所有对象，即 S ＝｛)(x P x ｝，其中)(x P 表示“x 具有性质P ”．由此，我们知道集合的元素是完全确定的，同时它的元素之间具有互异性和无序性．集合的元素个数为有限数的集合称为有限集，元素个数为无限数的集合称为无限集．如果有限集A 的元素个数为n ，则称A 为n 元集，记作n A =．空集不含任何元素．例1 设集合M ＝｛052<--ax ax x ｝（1）当4=a 时，化简集合M ；（2）若M ∈3，且M ∉5，求实数a 的取值范围．例2 设A 是两个整数平方差的集合，即{}Z n m n m x x A ∈-==,,22．证明：（1）若A t s ∈,，则A st ∈．（2）若A t s ∈,，0≠t ，则22q p ts -=，其中q p ,是有理数．二、集合与集合的关系在两个集合的关系中，子集是一个重要的概念，它的两个特例是真子集和集合相等．从下面“充分必要条件”的角度来理解子集、真子集和集合相等的概念无疑是十分有益的：子集：B A ⊆⇔对任意A x ∈，恒有B x ∈；真子集：A B ⇔⎩⎨⎧∉∈⊆Bx B x B A ''，但且存在；集合相等：A ＝B ⇔B A ⊆，且A B ⊆．容易证明两个集合关系的如下性质：1．∅⊆A ，∅A （A ≠∅）；2．A ⊆B ，B ⊆C ⇔A ⊆C ；3．“元集A 总共有n 2个不同的子集，有12-n 个不同的真子集．例1 设集合{}01<<-=m m P ，{}恒成立对任意实数x mx mx R m Q 0442<-+∈=，则下列关系中成立的是（）（A ）P Q （B ）Q P （C ）P ＝Q （D ）P ⋃Q ＝∅ 解题切入：正确理解集合Q ，并解出Q ．导析：对于Q ，可设44)(2-+=mx mx x f ，由442-+mx mx <0恒成立，知函数)(x f 图象全位于x 轴下方，①当0=m 时，4)(-=x f 显然成立；②当0≠m 时，有0100<<-⇒⎩⎨⎧<∆<m m ．由①、②知{}01≤<-=m m Q ，故PQ ．即A 正确．评注：利用函数思想解决方程与不等式等问题是最常用的数学思想之一，在平常的学习中要有意识强化这种重要数学思想的应用．本题易错点：容易忽略m ＝0的情况，习惯地将)(x f相关链接：（1）设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A 不包含于B ⇔ 对任意A x ∈有B x ∉；②A 不包含于B ⇔ A ∩B ＝∅；③A 不包含于B ⇔ A 不包含B ；④A 不包含于B ⇔ 存在A x ∈且B x ∉其中正确命题的序号是．导析：（举特例）取A ＝｛1，2｝，B ＝｛1，3｝，排除①②；取A ＝｛1｝，B ＝∅，排除③评注：本题综合考查集合的包含关系．例2 设集合{}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1),(22，{}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0),(2，则集合M ∩N 中元素的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解题切入：关键是分清数集与点集．（数形结合）：M 是由单位圆122=+y x 上的点组成，而N 是由抛物线2x y =上的点组成．画图可知M ∩N 中的公共元素（即交点）有两个，故选B ．评注：利用数形结合思想，可避开复杂的运算过程，从而提高同学们的解题速度与准确性．相关链接：设A ，B ，I 为3个非空集合，且满足I B A ⊆⊆，则以下各式中错误的是（）（A ）（I A ）∪B ＝I （B ）（I A ）∪（I B ）＝I（C ）（I B ）∩A ＝∅ （D ）（I A ）∩（I B ）＝I B导析：由B A ⊆知（I A ）⊇I B ， ∴（I A ）∪（I B ）＝I A∵A ≠∅，例3 设函数b ax x x f ++=2)(（R b a ∈,），集合A ＝｛R x x f x x ∈=),(｝， B ＝｛()R x x f f x x ∈=,)(｝．（1）证明：B A ⊆；（2）当A ＝｛－l ，3｝时，求集合B ．分析欲证B A ⊆，只需证明方程)(x f x =的根必是方程())(x f f x =的根．例 4 设关于x 的不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 和0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 、B ，求使B A ⊆的实数a 的取值范围．分析要由B A ⊆求出a 的范围，必须先求出A 和B ．习题1．已知三元实数集A ＝{}y x xy x +,,，B ＝{}y xy ,,0，且A ＝B ，则20052005y x +等于（）．（A ）0 （B ）2 （C ）1 （D ）－l2．集合{}Z l n m l n m u u M ∈++==,,,4812与{}Z r q p r q p u u N ∈++==,,,121620的关系为（）．（A ）M ＝N （B ）M ⊄N ，N ⊄M （C ）M N （D ）N M3．设(){}20,20,≤≤≤≤=y x y x A ，(){}4,2,10,-≤≥≤=x y y x y x B 是直角坐标平面xOy 上的点集．则⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++=B y x A y x y y x x C ),(,),(2,222112121所成图形的面积是（）．（A ）6 （B ）6.5 （C ）2π （D ）74．已知非空数集M ⊆｛1，2，3，4，5｝，则满足条件“若M x ∈，则M x ∈-6”的集合M 的个数是（）．（A ）3个（B ）7个（C ）15个（D ）31个5．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈>-<≤-N x x x x 且1,2110log 11的真子集的个数是． 6．已知{}R x x x x A ∈<+-=,0342，{}R x x a x a x B x ∈≤++-≤+=-,05)7(2,0221．若B A ⊆，则实数a 的取值范围是．7．已知{}+∈+==Na a x x M ,12，{}+∈+-==N b b b x x N ,542，则M 与N 的关系是．8．非空集合S 满足：（1）S ⊆｛1，2，…，2n ＋1｝，+∈N n ；（2）若S a ∈，则有S a n ∈-+22．那么，同时满足（1）、（2）的非空集合S 的个数是．9．集合{}54321,,,,x x x x x A =，计算A 中的二元子集两元素之和组成集合B ＝｛3，4，5，6，7，8，9，10，11，13｝．则A ＝．10．设集合M ＝｛1，2，3，…，1000｝，现对M 的任一非空子集X ，令X a 表示X 中最大数与最小数之和．求所有这样的X a 的算术平均值．11．用)(x σ表示非空的整数集合S 的所有元素的和．设A ＝｛1121,,,a a a ｝是正整数的集合，且1121a a a <<< ；又设对每个正整数n ≤1500，都存在A 的子集S ，使得)(x σ＝n ．求10a 的最小可能值．分析要求10a 的最小值，显然应使)(x σ＝1500．又由题设，应使11a 尽可能大，且前10个数之和不小于750，故取11a ＝750．考虑整数的二进制表示，由1＋2＋…＋27＝255知，前8个数应依次为1，2，4，8，16，32，64，128．这时109a a +＝495，从而有10a ＝248．1．设E ＝{1，2，3，…，200}，G ＝{10021,,,a a a }⊆E ，且G 具有下列两条性质：（1）对任何1≤i<j ≤100，恒有201≠+j i a a ；（2）100801001=∑=i i a．试证明：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数字的平方和为一个定数．跟着的是死算, 我xa1^2+a2^2+……+a100^2+(201-a1)^2+(201-a2)^2+……+(201-a100)^2=200x(200+1)x(2x200+1)/6=2686700平方和公式------↑2(a1^2+a2^2+……+a100^2)-402(a1+a2+……+a100) + 100x(201^2) = 2686700 ==> a1^2+a2^2+……+a100^2=1349380因为奇数的平方除以4余1 , 偶数的平方被4整除, 而1349380除以4余0,也就是说1349380被4整除那么G 中奇数必定是4的倍数,才满足平方和被4整除构造函数F(x)=(x-1/2)*(x-1/3)*...*(x-1/100),由定义可知X,X^3,X^5...X^97的系数和即为数集M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和；设F(X)=a0+a1*x+a2*x^2+....a98*x^98+x^99;则F(1)=a0+a1+....+a98+1=1/2*2/3*...*99/100=1/100;F(-1)=a0-a1+.....+a98-1=-3/2*4/3*...100/99*101/100=-101/2;所以a1+a3+...+a97=[F(1)-F(-1)-2]/2=4851/200选A 。

1.1.1集合与元素

（2）A={所有素质好的人}，能否表示为集合？
（3）A={2，2，4}，表示是否准确？
（4）A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}，是否表示为同一集合？
生：在师指导下一一回答上述问题.
师：由以上四个问题可知，
集合元素具有三个特征：
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性.
5、集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列出来，写在大括号内的表示集合的方法。例：用列举法表示下列集合：①方程x2=x的所有实数根组成的集合。②由1-20以内的所有质数组成的集合。
集合的含义与表示教案
课题
1.1集合的含义与表示
使用教具
课件
教学目标
1、理解集合、元素的概念；
2、掌握集合和元素的符号表示；
3、能正确表示出元素与相关集合的关系；
4、集合中元素的特征；
5、记住数集的概念和常见数集的字母符号；
6、理解集合的几种表示方法。
教学重点
教学难点
重点：集合的基本概念与表示方法；
难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。
各组成员分工明确，记录员，发言人，板书人等做好准备工作。
汇总归纳
全班展示
1、答案略
2、(1) 由于小于10的自然数包括0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数，它们是确定的对象，所以它们可以组成集合．
（2）由于个子高没有具体的标准，对象是不确定的，因此不能组成集合．
（3）方程的解是−1和1，它们是确定的对象，所以可以组成集合．
各组展示讲解过程中，其他所有成员认真倾听，有更好的方法和建议或不同见解，做好补充。
反馈检测
总结拓展
1.元素、集合的定义

1.1.1集合与元素

” 练习3：用符号“∈”或“
填空： ∈ (1) 3.14_______Q (2) π_______Q ∈ (3) 0_______N (4) 0_______N+ ∈ (5) (-0.5)0_______Z ∈ (6) 2_______R (7)2 3 Q 练习：课本P3 1.
5.有限集、无限集和空集

一般地，含有有限个元素的集合，叫做有限集；含有无限个元素的集合，叫做无限集。我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Ø 。如果集合中的元素是数，那么这样的集合叫做数集。
三、问题解决
某校举行一年一度的校运动会，比赛项目有 100米、200米、实心球、铁饼、800米、 1500米、3000米、4 100 、三级跳远、立定跳远、跳高，共11项。（1）田赛、径赛项目分别有哪些？它们能否组成集合？如果能组成集合，集合的元素分别是哪些？（2）个人项目、团体项目分别有哪些？它们能否组成集合？如果能组成集合，集合的元素分别是哪些？

1. 定义
一般地, 指定的某些对象的
全体称为集合. 集合中每个对象叫做这个
集合的元素.
元素:研究的对象集合:元素组成的总体
集合：
一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的确定全体构成一个集合。每
个
元素
集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
例题与练习（一）

：人们通常把以远度和高度计量成绩的跳投掷项目叫“田赛” ：人们通常把以时间计算成绩的竞走和跑的项目叫“径赛”

四、知5.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人。生于俄国圣彼得堡。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。

1.1.1集合与元素的概念

亚洲、欧洲、北美洲、南美洲、南极洲、非洲、大洋洲
一般地，我们把研究对象统称为元素，如(1)中的几个偶数2，4等；
把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)，如上面左侧的4个集合。
2
2
集合中的元素有什么性质
确定性
对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。
也就是说，对于一个已知的集合来说，某个元素在不在这个集合里
，是确定的，要么在，要么不在，不能含糊其辞。
比如“较小的数”就不能构成集合
2
集合中的元素有什么性质
例1
考察下列每组对象，能构成集合的是（ D )
A.2 021年全国高考数学试卷中的所有难题
B.中国各地美丽的乡村
C. 3的近似数
D.不小于3的自然数
2
集合中的元素有什么性质
互异性
一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复
3－x
解析
由题意可得，3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为
2,1,0，因此A中元素有2,1,0.
5
随堂练习
2.给出下列说法：
①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则 Nhomakorabeaa∉Z；
③若a∈Q，b∈N＋，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为
A.0
解析
B.1
√
C.2
D.3
实数集中没有最小的元素，故①不正确；
当m＝3时，此时集合A中含有3个元素0,2,3，故选B.
5
随堂练习
5.现有下列各组对象：
①著名的数学家；②某校今年在校的所有高个子同学；③不超过30的
所有非负整数；④方程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标
系中第一象限内的点.其中能构成集合的是

第1讲集合的基本概念

第1讲集合的概念【知识点梳理】一、元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．（确定性、无序性、互异性）二、元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于集合A a ∈A“a 属于A ”不属于如果a不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合Aa ∉A“a 不属于A ”三、常用数集及表示符号【典型例题】题型一：集合中元素的确定性如果元素的界限不明确，即不能构成集合，其中包括：著名的科学家；比较高的人；成绩比较好的学生，跑得比较快的同学，接近于1的数等【例1】下列各组对象中不能形成集合的是（）A ．高一数学课本中较难的题B ．高二（2）班全体学生家长C ．高三年级开设的所有课程D ．高一（12）班个子高于1.7m 的学生【例2】下列选项能组成集合的是（）A ．著名的运动健儿B ．英文26个字母C ．非常接近0的数D ．勇敢的人1.下列各对象可以组成集合的是（）A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数2．下列所给的对象能组成集合的是（）A ．“金砖国家”成员国B ．接近1的数C ．著名的科学家D ．漂亮的鲜花3．下列各对象可以组成集合的是（）A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师4．下面各组对象中不能形成集合的是（）A ．所有的直角三角形B ．一次函数1y x =+C ．高一年级中家离学校很远的学生D ．大于2的所有实数5.下列各组对象：①接近于0②比较小的正整数全体；③平面上到点O 的距离等于1的的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（）A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组题型二：集合中元素互异性集合中的元素互相不相同【例1】下列判断正确的个数为（）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A ．1B ．2C ．3D ．4【例2】已知集合A 中的元素为22,2,a a a --，若2A ∈，则a =__________.1.已知集合A 是由21,1,3a a a +--三个元素组成，若1A ∈，则实数a 的值为__________.2.已知集合A 中的元素为21,1,3k k k +--，若1A ∈，则实数k 的值为_____________.3.已知集合A 中的元素为22,2a a ++，若3A ∈，则实数a 的值为（）A ．1或1-B ．1C ．1-D ．1-或0题型三：元素与集合的关系元素与集合之间只能用属于（∈）和不属于（∉）.【例1】下列关系中，正确的个数为（）R ；②13Q ∈；③0=∅；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈.A ．6B ．5C ．4D ．3【例2】集合A 中的元素x 满足6,3x x∈∈-N N ，则集合A 中的元素为______________．【例3】已知x ，y ，z 为非零实数，代数式||||||||x y z xyz x y z xyz +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（）A ．4M ÎB ．2M∈C ．0M ∉D ．4M-∉【题型专练】1.下列元素与集合的关系表示正确的是（）①0N *∈；Z ；③32Q ∈；④Q π∈．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④2.下列关系中，正确的个数为（）①0N ∈；②Q π∈Q ；④1Z -∈R Ï.A ．1B ．2C ．3D ．43.若集合A 中的元素满足1x -<x ∈R ，则下列各式正确的是（）A ．3A ∈，且3A-∉B ．3A ∈，且3A-∈C ．3A ∉且3A -∉D ．3A ∉，且3A-∈4.给出下列关系：①12∈R ；②2∈Q ；③|3|-∈N ；④|3|-∈Z ；⑤0∉N ，其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45.下列关系中正确的个数是（）①13Z ∈R ，③*0N ∈，④Qπ∉A ．1B ．2C ．3D ．4考点三：集合中元素的个数【例1】已知A 是由0，m ，m 2﹣3m +2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为（）A ．2B ．3C ．0或3D ．0，2，3均可【例2】设集合A 中的元素均为实数，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1，且a ≠0)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．【题型专练】1.非空集合A 具有下列性质：①若、y A Î，则x A y∈；②若、y A Î，则x y A +∈，下列判断一定成立的是（）（1）1A -∉；（2）20202021A ∈；（3）若、y A Î，则xy A ∈；（4）若、y A Î，则x y A -∉.A ．（1）（3）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4）2、设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-．（1）若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？（2）集合A 是否为双元素集合？请说明理由．（3）若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A 中的元素．。

1集合与元素范文

1集合与元素范文集合与元素是数学中的基本概念，是我们研究和描述数学对象的起点。

本文将介绍集合与元素的定义、性质以及它们在数学中的应用。

1.集合的定义集合是由一些确定的元素所组成的整体。

集合中的元素可以是任意的对象，可以是数字、字母、词语、几何图形等等。

例如，整数集合可以表示为{…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}，字母集合可以表示为{a,b,c,…,z}。

2.集合的表示方式集合可以使用两种常见的表示方式：枚举法和描述法。

枚举法是列举集合中的所有元素，使用花括号{}将元素括起来。

例如，集合{1,2,3,4,5}表示包含了整数1到5的集合。

描述法是用一种特定的特征或条件来描述集合中的元素。

例如，集合{x，x是自然数且x小于10}表示小于10的自然数集合。

3.集合的性质与运算集合有以下几个基本性质：互异性、无序性和确定性。

-互异性：集合中的元素是不同的，没有重复的元素。

例如，集合{1,2,3,3,4}和{4,3,2,1}是相同的集合，因为重复的元素只计算一次。

-无序性：集合中的元素没有顺序之分。

例如，集合{1,2,3}和{3,2,1}是相同的集合，因为元素的顺序不影响集合的定义。

-确定性：一个元素要么属于集合，要么不属于集合。

例如，整数1要么属于集合{1,2,3}，要么不属于集合。

集合的运算有三种常见的方式：并集、交集和补集。

-并集：给定两个集合A和B，它们的并集A∪B包含了A和B中的所有元素。

例如，集合{1,2}和{2,3}的并集为{1,2,3}。

-交集：给定两个集合A和B，它们的交集A∩B是同时属于A和B的元素组成的集合。

例如，集合{1,2}和{2,3}的交集为{2}。

-补集：给定全集U和集合A，A的补集A'是不属于A但属于U的元素组成的集合。

例如，全集U为{1,2,3,4,5}，集合A为{1,2}，则A的补集A'为{3,4,5}。

4.元素元素是构成集合的基本单位，集合中的元素可以是任何对象。

1集合与元素

元素与集合之间的基本关系

集合的概念集合与元素

高一数学知识点元素与集合

一、集合的概念

知识点1 元素与集合

护理高职数学(第一册)第一章集合知识梳理

数学人教版高中一年级必修1 元素与集合、集合与集合的关系

集合知识点汇总与练习

1.集合与元素

1.1.1集合与元素,集合的表示法

第一讲 元素与集合

1.1.1集合与 元素

1.1.1集合与元素

1.1.1集合与元素的概念

第1讲 集合的基本概念

1集合与元素范文

第一讲元素与集合

1.1.1集合与元素

第1讲集合的基本概念