有限元分析 第三章 空间问题的有限元方法

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有限元分析基础(推荐完整)

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图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
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第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
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第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
(1)结点: ① 铰结点;② 刚结点;③ 混合结点。 (2)支座: ① 活动铰支座;② 固定铰支座 ;
③ 固定支座 ;④ 定向支座
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第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构: 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大,具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后,结构仍然保持 几何不变性,因而仍有一定的承载能力, 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束,因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性, 在载荷作用下,内 力分布也较均匀,且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下,对称轴截面上只能产生 正对称的位移,反对称的位移为零;对称结构在反对称 载荷下,对称轴截面上只有反对称的位移,正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
(b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19

第五讲空间问题有限元分析-

第五讲空间问题有限元分析-

(20)
其中任意结点i上的结点载荷
Q ie Q i e x Q i e y Q i e zT N iq d A
(21)
式中, qqx
qy
T
qz
是作用在单元e单位面积上的表面力。
3·体积力的等效结点载荷
P e P i eT P j e T
eT
P m
eT T P n
e 6
6
v
e 6
2)坐标变换
x
8
N i r, s,t xi
y
i1 8
N i r, s,t y i
i1
z
8
N i r, s,t zi
i1
w
e 2
2
v
e 2
u
e 2
图2
w
e 5
5
v
e 5
u
e 5
w
e 7
w
e 1
7
u
e 7
1
v
e 1
u
e 1
z
xy
w
e 8
8
u
e 8
v
e 8
v
e 7
w
e 4
4
v
eT
F m
eT T F n
(18)
其中任意结点i上的结点载荷
F i eF ix e F iy e F iz eTN icG
(19)
式中,G G x Gy G z T是作用在单元e上的集中力; (Ni)c
是形函数Ni在集中力作用点处的取值。
返回
2 ·表面力的等效结点载荷
Q e Q i eT Q j e T Q m eT Q neT T
A 1drcsA 2crds

有限元法基本原理及应用第3章重庆大学龙雪峰

有限元法基本原理及应用第3章重庆大学龙雪峰

有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 3.单元分析 • 单元分析包括位移模式选择,单元力学分析两个内容。 • 位移模式也称位移函数或插值函数,在有限元位移法中是 以节点位移为基本未知量,再由这些节点位移插值得到单 元内任意一点的位移值。单元的位移模式一般采用多项式, 因为多项式计算简便,并且随着项数的增加,可以逼近任 何一段光滑的函数曲线。 • 单元力学分析 根据所选单元的节点数和单元材料性质, 应用弹性力学几何方程和物理方程得到单元刚度矩阵。由 于连续体离散化后假定力是通过节点在单元间传递的,因 此要利用插值函数把作用在单元上的体积力、面积力和集 中力按静力等效原则移到节点上。
Hale Waihona Puke 有限元原理及应用第三章 弹性力学有限元法
• 5.结果后处理和分析 • 求解线性方程组得到位移矢量后,由几何和物理关系可以 得到应变和应力。 • 由于应变(应力)来自位移的微分可能导致单元间应力不 连续,这会使应力计算误差较大,要在节点附近进行平均 化处理。 • 通过后处理还可得到位移、应变和应力的最大最小值及其 所在位臵以及主应力、主应变或其它定义的等效应力。 • 结果的输出可以应用图表、动画等各种方式。最后还要对 这些结果进行分析以指导工程设计、产品开发等等。
有限元原理及应用第三章弹性力学有限元法?如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度ww与板厚tt的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图35所示面内的两个自由度也要一并考虑所示面内的两个自由度也要一并考虑导致单元的每个节点上a四边形弯曲单元b三角形弯曲单元图34薄板弯曲单元导致单元的每个节点上就要有五个自由度此类单元一般称为薄板单元
有限元原理及应用

有限元分析方法

有限元分析方法

有限元分析方法有限元分析(Finite Element Analysis, FEA)是一种数值分析方法,用于解决物理问题的近似解。

它基于将有限元区域(即解释对象)分解成许多简单的几何形状(有限元)并对其进行数值计算的原理。

本文将深入探讨有限元分析的原理、应用和优点。

有限元分析的原理基于弹性力学理论和数值计算方法。

它通过将解释对象分解为有限个简单的几何区域(有限元)和节点,通过节点之间的连接来建立模型。

这些节点周围的解释对象区域称为“单元”,并且通过使用单元的形状函数近似解释对象的形状。

每个单元都有一个与之相连的节点,通过对每个单元的受力进行计算,可以得到整个解释对象的受力分布。

然后,利用一系列运算和迭代,可以计算出解释对象的位移、应力和变形等相关参数。

有限元分析的应用范围广泛,从结构力学、热传导、电磁场分析到流体力学等各个领域。

在结构力学中,它被用于分析各种结构的静力学、动力学和疲劳等性能。

在热传导领域,它可以用于研究物体内部的温度分布和传热性能。

在电磁场分析中,它可用于计算复杂电磁场下的电场、磁场和电磁场耦合问题。

在流体力学中,有限元方法可以解决各种流体流动、热传递和质量转移问题。

有限元分析的优点之一是可以处理各种复杂边界条件和非线性材料特性。

它可以考虑到不同材料的非线性本质,例如弹塑性和接触等问题。

另外,有限元方法还可以适应任意形状和尺寸的几何模型,因此非常适用于复杂工程问题的建模与分析。

有限元分析的使用需要一定的专业知识和经验。

首先,需要将解释对象抽象成几何模型,并进行细分和离散化。

其次,需要选择适当的几何元素和材料模型,以及合适的边界条件和加载方式。

然后,需要定义求解器和数值方法,并使用计算机程序对模型进行计算。

最后,需要对结果进行后处理和验证,以确保其准确性和可靠性。

总的来说,有限元分析是一种强大的工程分析工具,在解决各种物理问题方面有广泛的应用。

它通过将复杂的问题简化为简单的有限元模型,通过数值计算的方法获得近似解。

有限元分析经典课件

有限元分析经典课件

有限元分析经典课件1. 简介有限元分析(Finite Element Analysis, FEA)是一种以数值模拟方法为基础,通过离散化处理求解结构力学问题的工程方法。

本课件将介绍有限元分析的基本原理和常用的应用领域。

2. 有限元分析的基本原理2.1 有限元方法概述有限元方法(Finite Element Method, FEM)是有限元分析的基础理论和计算方法。

本部分将介绍有限元方法的基本概念、基本步骤、离散化处理等内容。

2.2 有限元网格划分有限元网格划分是有限元分析的关键步骤,它将结构离散化为有限个小单元。

本部分将介绍有限元网格划分的方法、常用网格类型以及网格质量评价的方法。

2.3 有限元方程与加载有限元方程是描述结构力学问题的关键方程。

本部分将介绍有限元方程的推导过程,以及加载条件的处理方法。

2.4 有限元解与后处理有限元解是通过有限元分析得到的结构响应结果。

本部分将介绍有限元解的计算方法以及后处理方法,包括位移、应力、应变等结果的计算和可视化展示。

3. 有限元分析的应用案例3.1 结构力学分析结构力学分析是有限元分析的主要应用之一。

本部分将通过实例演示有限元分析在结构力学分析中的具体应用,包括静力学分析、动力学分析等。

3.2 热力学分析热力学分析是有限元分析的另一个重要应用领域。

本部分将通过实例演示有限元分析在热力学分析中的具体应用,包括热传导、热稳定性等问题的分析。

3.3 流体力学分析流体力学分析是有限元分析的扩展应用领域之一。

本部分将通过实例演示有限元分析在流体力学分析中的具体应用,包括流体流动、压力分布等问题的分析。

4. 有限元分析软件的介绍有限元分析软件是进行有限元分析的工具,市场上有多种成熟的有限元分析软件可供选择。

本部分将介绍一些常用的有限元分析软件,包括Ansys、Abacus等。

5. 总结有限元分析作为一种重要的数值模拟方法,已广泛应用于不同领域的工程问题。

本课件从理论原理到实际应用都进行了全面的介绍,相信对有限元分析的学习和应用都有很大帮助。

有限元分析基础教程

有限元分析基础教程

有限元分析基础教程前言有限元分析已经在教学、科研以及工程应用中成为重要而又普及的数值分析方法和工具;该基础教程力求提供具备现代特色的实用教程。

在教材的内容体系上综合考虑有限元方法的力学分析原理、建模技巧、应用领域、软件平台、实例分析这几个方面,按照教科书的方式深入浅出地叙述有限元方法,并体现出有限元原理“在使用中学习,在学习中使用”的交互式特点,在介绍每一种单元的同时,提供完整的典型推导实例、MATLAB实际编程以及ANSYS应用数值算例,并且给出的各种类型的算例都具有较好的前后对应性,使学员在学习分析原理的同时,也进行实际编程和有限元分析软件的操作,经历实例建模、求解、分析和结果评判的全过程,在实践的基础上深刻理解和掌握有限元分析方法。

一本基础教材应该在培养学员掌握坚实的基础理论、系统的专业知识方面发挥作用,因此,教材不但要提供系统的、具有一定深度的基础理论,还要介绍相关的应用领域,以给学员进一步学习提供扩展空间,本教程正是按照这一思路进行设计的;全书的内容包括两个部分,共分9章;第一部分为有限元分析基本原理,包括第1章至第5章,内容有:绪论、有限元分析过程的概要、杆梁结构分析的有限元方法、连续体结构分析的有限元方法、有限元分析中的若干问题讨论;第二部分为有限元分析的典型应用领域,包括第6章至第9章,内容有:静力结构的有限元分析、结构振动的有限元分析、传热过程的有限元分析、弹塑性材料的有限元分析。

在基本原理方面,以基本变量、基本方程、求解原理、单元构建等一系列规范的方式进行介绍;在阐述有限元分析与应用方面,采用典型例题、MATLAB程序及算例、ANSYS算例的方式,以体现出分析建模的不同阶段和层次,引导学员领会有限元方法的实质,还提供有大量的练习题。

本教程的重点是强调有限元方法的实质理解和融会贯通,力求精而透,强调学员综合能力(掌握和应用有限元方法)的培养,为学员亲自参与建模、以及使用先进的有限元软件平台提供较好的素材;同时,给学员进一步学习提供新的空间。

材料力学中的有限元方法分析

材料力学中的有限元方法分析

材料力学中的有限元方法分析材料力学是研究物质初始状态至最终破坏状态之间的力学行为及其规律的科学。

有限元分析是一种数值计算方法,可以求解各种工程问题的数学模型。

有限元方法在材料力学研究中有着重要的应用,本文将从有限元方法的基本原理、材料力学中的有限元分析、有限元模拟在材料力学中的应用等方面进行分析。

一、有限元方法的基本原理有限元方法是一种通过建立复杂结构的有限元模型,将一个复杂的连续问题转化为离散问题来求解的方法。

其基本思想是将一个连续物体分割成很多小的单元,使用一些简单的解析方法求解每个小单元内的力学问题,然后将所有小单元的解组合在一起来求解整体力学问题。

有限元方法求解的过程分为以下基本步骤:1.建立有限元模型2.离散化3.施加约束4.建立刚度矩阵和荷载向量5.求解未知量二、材料力学中的有限元分析材料力学中的有限元分析是指通过有限元方法对材料力学问题进行分析、计算和评估的方法。

材料力学问题中的目标是通过施加荷载或外界力,来得到物体内部的应力和应变状态,以及其随时间和载荷变化的规律。

在建立材料力学有限元模型时,需要考虑以下因素:1.应力集中和应变集中的位置和程度2.物理边界和几何结构3.材料的力学性质和力学参数材料力学中的有限元分析包含以下几个方面:1.静态分析:研究物体在静态等效荷载下的应力状态,计算物体的静态变形。

2.动态分析:研究物体在动态载荷下的应力和应变状态,计算物体的动力响应。

3.疲劳分析:研究物体在周期性载荷下的损伤状态、损伤机理和寿命预估。

4.热力耦合分析:研究物体在温度场和应力场的共同作用下的应力和应变状态。

5.多物理场分析:研究物体在电、磁、声、液、气、红外、光、辐射等多个物理场的共同作用下的应力和应变状态。

三、有限元模拟在材料力学中的应用有限元模拟在材料力学中的应用范围非常广泛,包括了以下几个方面:1.材料的结构设计和分析2.材料的性质和参数的测试和评估3.材料的制造和加工工艺的模拟4.材料的破坏和损伤机理的研究5.材料的寿命评估和振动疲劳分析最终,有限元分析的结果可以在材料设计、材料优化和制造流程等方面提供准确的数据支持,帮助人们更好地理解材料的力学行为和性质,促进材料科学的发展。

空间问题的有限元

空间问题的有限元

THANKS
电磁学
用于分析电磁场分布、电磁波 传播等问题,如天线设计、电 磁兼容分析等。
结构力学
用于分析建筑结构、桥梁结构、 飞机结构等的静力学、动力学 问题。
热力学
用于分析热传导、热对流、热 辐射等问题,如热设计、热优 化等。
其他领域
如生物医学工程、地球科学、 环境科学等领域中也广泛应用 了有限元方法。
02
插值函数
在每个单元内构造插值函数, 用于近似表示单元内的物理量 分布。
变分原理
基于最小势能原理或虚功原理 ,建立离散系统的平衡方程。
求解方法
采用直接法、迭代法等方法求解离 散系统的平衡方程,得到节点值,
进而得到整个系统的近似解。
有限元方法的应用领域
流体力学
用于分析流体流动、传热传质 等问题,如CFD(计算流体动 力学)模拟。
边界条件的处理
在总体刚度矩阵中引入边界条件,如固定支撑、滑动支撑等。
边界条件的处理
本质边界条件
直接修改总体刚度矩阵和右端向 量,将本质边界条件(如位移、
转角等)作为已知量引入。
自然边界条件
在求解过程中自动满足,无需特别 处理。
混合边界条件
将本质边界条件和自然边界条件结 合处理,既修改总体刚度矩阵和右 端向量,又在求解过程中考虑自然 边界条件。
空间问题的数学描述
空间问题的偏微分方程
01
02
03
椭圆型偏微分方程
描述稳态空间问题,如热 传导、弹性力学等。
抛物型偏微分方程
描述瞬态空间问题,如热 传导过程中的非稳态温度 场。
双曲型偏微分方程
描述波动现象,如电磁波、 声波等的传播。
边界条件与初始条件

有限元原理与应用

有限元原理与应用

第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
三、坐标变换
第二节 平面刚架有限元法
三、坐标变换
第二节 平面刚架有限元法
三、坐标变换
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
五 约束处理
第二节 平面问题有限元法
五 约束处理
第二节 平面问题有限元法
五 约束处理
第二节 平面问题有限元法
五 约束处理
第二节 平面问题有限元法
六 求解线方程组
七 计算其它物理量
第二节 平面问题有限元法
八 计算结果处理
第二节 轴对称问题有限元法
二、单元分析
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 轴对称问题有限元法
三、单元刚度矩阵
第二节 轴对称问题有限元法
三、单元刚度矩阵
第二节 轴对称问题有限元法
三、单元刚度矩阵
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 平面问题有限元法
3 总刚矩阵的特点
第二节 平面问题有限元法
3 总刚矩阵的特点
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法

第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤

第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤

U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示;引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi


0 X
y
¼ 1-9 Í

ui* * vi wi* * * u j , v* j w*j

x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法:最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时,系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中,真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理: 中,实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态,实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然,最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时,外力在虚位移上的虚功是:
* 式中

U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T

*
F
T
同样,在虚位移发生时,在弹性体单位体积内,应力在虚应变上的虚 功是: * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法

弹性力学及有限元方法-空间问题

弹性力学及有限元方法-空间问题

4.2 应变与应力
– 将假定的位移代入式(4.12),得到单元内应
变为:
– 将应变矩阵[B]按节点分块表示为:
– 由(4.12),得到应变矩阵[B]中任一子矩阵 [Bi] 为:
• 其中bi、ci及D如前,而
• 按物理关系式,有应力 • 注意轴对称问题三角形单元的形函数虽与平面
问题三角形单元相同,但其应变、应力则不相
• 同理,用v式可求得a5到a8 ,用w求得a9到 a12 ,为:
• 用矩阵记法统一表达为:
• [N]为形状函数矩阵,可表示为:
• [I]为三阶单位矩阵,而各节点的形状函数 可按下式计算得到,即
• 如记矩阵
为四面体单元的体积,其他系 数皆可由[L]确定,如
• 为矩阵第一行各元素的代数余子式。同样 可以确定al、bl、cl、dl…an、bn、cn、dn等, 它们是矩阵[L]第二、三、四行元素的代数 余子式。
• 轴对称问题中,上述截面内任一点p,实 际上代表一个半径为r的圆周(图4-2),当 此圆周上各点都有径向位移u时,圆周被 拉伸,多出一个环向应变q。有:
• 全部应变的4项分量与两项位移分量之间 的几何关系(几何方程),以矩阵表示为:
• 轴对称问题的4项应力分量,以列阵表示为:
• 轴对称问题的应力与应变间的物理关系仍写为:
用位移法,就是只研究这个代表截面的位 移求得一个截面的位移分布,也就有了整 个三维结构内的位移分布,从而可以求得 体内任一点的应变及应力。这样,一个三 维问题,就可以转化为一个二维问题。 由于结构的变形是对称于中心轴的,因而 子午面内各点都只有沿径向r的位移u和沿 轴向z的位移w,一般应为截面坐标r,z的 函数,即
• 单元内应变为常值,按物理方程,单元内的 应力也是常值。当然,一般受力情况下,三 维体内有限大小的四面体内的应力并不是常 值,用常应力单元来代替它,只是近似的。 • 对此单元,单元间的应力是不连续的。只有 当单元划分得较小时,单元内的应力才会接 近于常值,此时计算的应力在单元间的不连 续才会比较小,因而可以作为真实应力分布 的近似。 • 一般,把这种单元应力的计算值作为单元中 心一点的应力近似值是比较适当的。

空间与轴对称问题有限元分析

空间与轴对称问题有限元分析

划分网格
将连续的求解域离散化为有限个简单 元,形成网格。
建立刚度矩阵和载荷向量
根据每个简单元的特性,建立刚度矩 阵和载荷向量,以描述简单元之间的 力和力矩关系。
求解线性方程组
通过求解线性方程组,得到每个节点 的位移和应力分布。
有限元分析的优势与局限性
优势
有限元方法具有较高的灵活性和通用性,可以处理复杂的几何形状和边界条件, 适用于各种物理问题的求解。此外,有限元方法可以通过并行计算等技术提高 计算效率。
05
空间与轴对称问题有限元分析 的未来发展
新型有限元方法的研究与应用
混合有限元方法
结合不同类型有限元的优点,以更好地适应复 杂问题的需求。
自适应有限元方法
根据问题求解的实际情况,自动调整有限元的 尺寸和形状,以提高求解精度和效率。
非标准有限元方法
针对特定问题开发非标准的有限元,以获得更好的求解效果。
复杂空间与轴对称问题的挑战与解决方案
高维空间问题
01
随着问题维度的增加,有限元的构造和求解变得更加复杂,需
要发展更高效的算法和软件。
不规则区域问题
02
有限元的构造和处理在不规则区域上更具挑战性,需要研究新
的方法和技巧。
多物理场耦合问题
03
多物理场耦合的空间与轴对称问题需要发展能够同时处理多个
物理场的有限元方法。
误差估计
对称性有助于更准确地估计误差。
空间对称性问题的有限元模型建立
01
02
03
定义对称轴
明确对称轴的位置,以便 在建立模型时考虑对称性。
选取合适的有限元
根据对称性选择合适的有 限元类型,如四边形、六 面体等。
建立对称约束

有限元法课程教学大纲

有限元法课程教学大纲

有限元分析与数值模拟教学大纲一、课程基本信息课程中文名称:有限元分析与数值模拟课程英文译名:finite element analysis and numerical simulation课程编码:课程类型:专业方向课,选修总学时:32理论学时:16 实验学时:0 上机学时:16学分数:2适用专业:机械类各专业先修课程:《理论力学》、《材料力学》、《结构力学》、《弹性力学》开课院系:机械工程学院力学教研室二、课程的性质和任务有限元分析与数值模拟是一门理论性和应用性均较强的主干学科课程。

它的主要任务是让学生在材料力学和弹性力学等课程的基础上进一步学习并基本掌握工程结构的内力分析和位移分析的有限元分析方法,培养其运用计算机软件解决工程实际问题的能力,为后继课程学习及毕业后从事有关的工程技术工作打好必要的基础。

三、课程教学基本要求学生按大纲学完有限元与程序设计后,应对课程基本内容有系统的理解,掌握其中基本概念、基本理论和基本方法。

具体达到下列要求:1.有限元法的理论基础:理解弹性力学的基本方程;理解变形体系虚位移原理与最小总势能原理。

2.有限元法的基本概念:理解有限元位移法的基本思想;理解有限元位移法的分析过程。

3.杆系结构的单元分析:掌握用最小总势能原理或虚位移原理建立单元刚度方程的一般形式;理解单元刚度矩阵和单元等效结点荷载矩阵的积分形式;掌握拉压杆单元、扭转杆单元和纯弯曲单元等简单单元的单元分析;理解平面刚架单元和空间刚架单元等复杂单元的单元分析。

4.杆系结构的整体分析:理解坐标变换的概念及其方法;掌握集成整体原始刚度方程的直接刚度法;掌握边界条件的处理方法;理解单元内力与应力的计算方法。

5.平面问题有限元分析:理解平面应力问题与平面应变问题的概念;掌握常应变三角形单元的单元分析;掌握矩形双线性单元的单元分析;掌握四结点任意四边形等参数单元的单元分析;理解八结点任意曲边四边形等参数单元的单元分析。

东南大学 有限元分析课程 第三章 轴对称问题和空间问题有限元法

东南大学 有限元分析课程 第三章 轴对称问题和空间问题有限元法

B = Bi
Bj
Bm

0 0 ( s = i , j , m) cs bs
K e = 2π rc B T DB
单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为:
K sp = 2π rc BsT DB p bs bp + f s f p + A1 (bs f p + f s bp ) + A2 cs c p = A1 (cs bp + cs f p ) + A2bs c p A1 (bs c p + f s c p ) + A2 cs bp cs c p + A2bs bp
式中: 式中:
A1 =
µ
1− µ
A2 =
1 − 2µ 2(1 − µ )
由于几何矩阵中的元素不是常量,单元刚度矩阵需要通过积分得到, 为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , z c 代替 B 矩阵中的变 量,将单元中的r和z近似地当作常量,并且分别等于 rc , z c 。
1 r ≈ rc = ( ri + rj + rm ) 3
K e = 2π ∫∫ B T DBrdrdz
单元刚度矩阵的分块矩阵为, 单元刚度矩阵的分块矩阵为,
K sp = 2π ∫∫ BsT DB p rdrdz ( s, p = i, j , m)
由于几何矩阵中的元素不是常量,单元刚度矩阵需要通过积分得到, 为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , z c 代替 B 矩阵中的变 量 r, z 。
1 rc = ( ri + r j + rm ) 3
1 z c = ( zi + z j + z m ) 3

有限元分析课件

有限元分析课件

物理模拟方法简介
(1)缝隙法 为了定性地了解接触面压力分布,可在模具的相应部分留有垂直于模
面的窄缝或小孔,根据流入窄缝或小孔的模拟材料外形或高度,定性地判定 接触面正压力分布。
物理模拟方法简介
(2)硬度法 冷变形时,变形程度越大硬化越强,硬度越高,因此可根据硬度
的分布,判别变形不均匀的程度。根据下图能判断出,圆柱体镦粗时变 形可分为三个区,中心区是大变形区,侧面鼓形是中等变形区,上下接 触面是小变形区。
物理模拟方法简介
(4)叠层法 叠层法是利用易变形材料(铅和塑性泥等)制成薄
片,然后叠成试样进行模拟实验的方法。 为了研究挤压时的变形流动情况,可以用颜色
不同的塑性泥层制成试样进行挤压,然后沿子午面切 开,由不同颜色的各层位置变化来观察变形区的情况, 此外,用铅制成薄片重叠成圆柱体进行镦粗,不仅可 观察变形流动,还可以把变形后的铅层分开,通过测 量各层不同部位的尺寸变化,计算出变形体内的应变 分布。
形状、尺寸精度和组织性能的产品的加工方法,称为金属塑性成形,也称为金 属塑性加工或金属压力加工。
如果不考虑切头、去尾、火耗等损失,那么金属材料的体积、质量在塑 性成形前后可看做没有发生变化,因此塑性成形是无屑或少屑的金属加工方法。
塑性成形方法与分类
1、根据加工时工件受力和变形方式的不同,金属塑 性成形方法可分为锻造、挤压、轧制、拉拔、冲压 等。 2、根据金属变形特征的不同,又可将金属塑性成形 分为:体积成形(或称块料成形)和板料成形(冲 压)两大类。 3、金属塑性成形按照加工时工件的温度又可分为热 塑性成形、冷塑性成形和温塑性成形。
物理模拟方法简介
(5)坐标网格法(Coordinate Grid Method) 是研究金属塑性变形分布应用最广泛的一种方法,

有限元ppt课件

有限元ppt课件
h h
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2

yi1

yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW

1 2
F xdx
将F代入:
dW

1 2

x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU

dW

1 2

x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多,逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9),可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式,简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件,有

1
I (1,2 ,3,

2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算

结构有限元分析-第3章-轴对称

结构有限元分析-第3章-轴对称

3 轴对称问题弹性力学空间问题中的轴对称问题是指,物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴,因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面,所有应力、应变和位移也对称于该轴,这类问题称为轴对称问题。

研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系(r,θ,z),以z轴为对称轴。

轴对称问题实例如图3.1所示的受均布内压作用的长圆筒,通过Z轴的一个纵截面就是对称面图3.1受均布内压作用的长圆筒3.1 三角形截面环单元三结点单元位移函数图4-2 三结点单元轴对称问题分析中所使用的三结点单元,在对称面上是三角形,在整个弹性体中是三棱圆环,各单元中圆环形铰相联接。

三角形截面环单元的结点位移在轴对称问题中,弹性体内任意一点上,不存在切向位移,只存在径向位移u 和轴向位移w ,两个位移分量表示为,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=w u f }{[][]Tmm j j i iT mT jT iew u w u w u==δδδδ}{单元结点位移轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为,⎭⎬⎫++=++=z r z r u 654321w αααααα⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m jim j i m j i u u u c c c b b b a a a 21321ααα根据结点位移,可得:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m jim j i m j i w w w c c c b b b a a a 21654ααα单元形函数jm m j i r z z r a -=mmj ji iz r z r z r 11121=∆mj i z z b -=jm i r r c -=(i ,j ,m ))(21z c r b a N i i i i ++∆=单元内任一点的位移{}[]{}em jim m j j i i m jim j iN N N w u w u w u N N N N N N w u f δ=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=00003.2 应变矩阵(几何矩阵)根据几何方程及单元内位移的表达式,可得:⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧r w z u z w ru r u zr z r γεεεθ应变矩阵)(21m m j j i i u b u b u b r u ++∆=∂∂)(21m m j j i i u f u f u f r u ++∆=rcz b r a f i i i ++=(下标轮换))(21m m j j i i w c w c w c z w ++∆=∂∂)(21m m j j i i u c u c u c z u ++∆=∂∂)(21m m j j i i w b w b w b r w ++∆=∂∂应变矩阵[]{}em ji m m mm m jj jj j ii ii i zr z r B B B b c c f b b c c f b b c c f b δγεεεθ=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧00000000021),,(00021][m j i b c c f b A B i i i iii ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3.3 应力矩阵由轴对称问题的物理方程,得到弹性矩阵,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------+-=)1(22100011101110111)21)(1()1(][μμμμμμμμμμμμμμμμμE D应力矩阵11A =-μμ2)1(221A =--μμ3)21)(1(4)1(A E=-+-μμμ令:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-=21111110010101)21)(1()1(][A A A A AA A E D μμμ则弹性矩阵为:]][[][B D S =][][m j iS S S S =),,()(2]][[][2211113m j i b A c A c f b A c A f b A c A f b A B D S i ii i i i ii i i i i i ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++∆==由弹性矩阵[D ]和几何矩阵[B ]可以得到应力矩阵[S ],由应力矩阵可知,除剪应力为常量,其它三个正应力分量都是r 、z 的函数。

4_空间问题有限元分析

4_空间问题有限元分析

σ = {σ x
σ x σ x τ xy τ yz τ zx }
T
在线弹性范围内, 在线弹性范围内,应力应变间的物理关系可用矩阵形式表 示为
σ = Dε
<<结构分析中的有限单元法>>
(4.3)
By Xiaojun Wang 4 /22
三维应力状态
对于各向同性的弹性体,在三维应力状态下, 对于各向同性的弹性体,在三维应力状态下,弹性系数矩阵 D 的 一般形式为
bi 0 1 0 Bi = 6V ci 0 di 0 ci 0 bi di 0 0 0 di 0 ci bi
(i, j , k , m)
(4.10)
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
13 /22
四面体常应变单元
等按式(4.9)决定。可见,这里 Bi 的每项元素都是由结点坐 决定。 式中的V 及 bi , ci , di 等按式 决定 可见, 标决定的常数,因而简单四面体单元内,各点的应变都是一样的,这是一种 标决定的常数,因而简单四面体单元内,各点的应变都是一样的, 常应变单元。这一点与平面问题常应变三角形单元是相似的。由于单元内位 常应变单元。这一点与平面问题常应变三角形单元是相似的。 移都假定为线性变化,因而由位移一阶导数组成的应变,自然就是常值了。 移都假定为线性变化,因而由位移一阶导数组成的应变,自然就是常值了。 单元内应变为常值,按物理方程 单元内应变为常值,按物理方程(4.3),单元内的应力也是常值。一般受 ,单元内的应力也是常值。 力情况下, 体内优先大小的四面体内的应力并不是常值, 力情况下,三维体内优先大小的四面体内的应力并不是常值,用常应力单元 来代替它,当然是近似的,单元间的应力是不连续的。 来代替它,当然是近似的,单元间的应力是不连续的。只有当单元划分得很 小时,单元内的应力才接近于常值, 小时,单元内的应力才接近于常值,用有限元法计算出的应力在单元间的不 连续才是比较小的,可以作为真实应力分布的近似。 连续才是比较小的,可以作为真实应力分布的近似。一般把这种单元应力的 计算值作为单元中心一点的应力近似值是比较适当的。 计算值作为单元中心一点的应力近似值是比较适当的。

有限元方法第三章杆系结构有限元

有限元方法第三章杆系结构有限元
稳定性以及波浪载荷的影响。
应用实例
某大型桥梁的稳定性分析
采用杆系结构有限元对某大型桥梁进行稳定性分析,评估其在不同载 荷下的变形和承载能力。
高层建筑的抗震性能研究
利用杆系结构有限元模拟高层建筑的抗震性能,分析地震作用下结构 的响应和破坏模式。
汽车悬挂系统的优化设计
通过杆系结构有限元模拟汽车悬挂系统的运动和受力情况,优化悬挂 参数以提高车辆行驶的稳定性和舒适性。
有限元方法第三章杆系结 构有限元
• 引言 • 杆系结构有限元的基本概念 • 杆系结构有限元的建模方法 • 杆系结构有限元的求解方法 • 杆系结构有限元的应用案例 • 结论与展望
01
引言
目的和背景
杆系结构是工程中常见的一种结构形式,广泛应用于桥梁、 建筑、机械等领域。由于其具有复杂的几何形状和受力特性 ,因此需要采用有限元方法进行数值分析。
THANKS
感谢观看
04
杆系结构有限元的求解方法
求解步骤
确定边界条件
根据实际情况,确定杆系结构 的边界条件,如固定、自由、 受压等。
求解线性方程组
将所有单元的平衡方程组合成 一个线性方程组,然后使用数 值方法求解该线性方程组。
建立离散模型
首先将杆系结构离散化为若干 个小的单元,每个单元具有一 定的物理属性。
应用力学平衡方程
杆系结构有限元的优缺点
优点
能够处理复杂的几何形状和边界条件, 适用于大规模问题求解,计算精度可 调,可模拟复杂的结构和场。
缺点
需要针对不同的问题建立不同的模型, 计算量大,需要较高的计算机资源, 对于非线性问题求解较为困难。
03
杆系结构有限元的建模方法
建模步骤
确定研究问题
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e
(3.21)
式中:I 为2阶单位矩阵,
Nl 1 al bl r cl z 2
l, m, n轮换
(3.22)
为三角形环状单元截面的面积,引入
1 rl 1 rm 1 rn zl zm zn
1 2
rm al rn
具有
c0
阶连续性,为协调单元。
Ⅱ、应变应力
空间中每一节点有6个应变分量:
x 0 0 y 0 z
e
0 y 0 x z 0

e
0 0 z N e 0 y x
N i 0 0 N j 0 0 N m 0 0 N l 0 0 N 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 i j m l 0 0 N i 0 0 N j 0 0 N m 0 0 N l
(3.4)
按节点分块,
N Ni I
NjI
Nm I
xj ai xm xl yj ym yl zj zm zl
1 yj zj zm zn bi 1 y m 1 yn
1 xj ci 1 x m 1 xn
a j , bj , c j , d j
zj zm zn
1 xj d i 1 xm 1 xn
yj ym yn
则为第二行各列元素对应的代数余子式,余类
r r 1 r z 0 rz z 0 0 u w z r
(3.16)
几何方程
(3.17)
物理方程
D

~ u A au
e

得到,
u v w
e
~ A
~ A
au av ~ A aw
e 求逆矩阵后,a 即可由 替换,
u e f v N w
(3.13)
讨论: • 四面体单元与前述三角形单元的推导过程完全相似,尤其 形函数的表述很相似,二者均为常应变单元;
• 在三角形单元中,可以引入面积坐标,从而建立高精度单 元;在四面体单元中,是否可引入体积坐标?建立高精度 的如线性应变的四面体单元? • 在商业软件中,由CAD、ProE等转换到有限元软件的前 处理程序中,一般只能自动生成4面体单元,包括4节点, 10节点等多种单元。
定义:几何形状对称于某一固定轴;约束条件和外载荷都对 称于这一固定轴;结构的位移、应变、应力都将对称于该 固定轴,则这类特殊的空间问题就称之为轴对称问题。 通常采用柱坐标系 r,,z 描述;对称轴为 z 轴,所 有位移、应力、应变与 方向无关,仅为 r , z 的函数; 任一点只有沿 r 方向的径向位移 ur , z 、沿Z 方向的 轴向位移 wr , z ,没有环向位移。 空间中的轴对称问题一般可归结为准二维问题。
所有 br , cr , d r 均由节点坐标构成,为一常量, B 为常量矩 阵,单元内的应变为常应变分布。
单元内的应力:
e DB e
单元内的应力亦为常应变分布。
(3.10)
Ⅲ、单元刚度矩阵 单元节点力与节点位移之关系,同样可以由虚 位移原理导出。
虚位移原理:当单元在节点力作用下处于平衡状态,给定单 元一约束条件所允许的任意小的虚位移时,节点力在 虚位移上所作之功就等于单元内应力在相应虚应变上 所作之功。
0 i 令: 0 i 0 i 8节点的长方体单元的形函数:
Ni 1 1 0 1 0 1 0 8
(3.14) (3.15)
u e f v N w
3.3 轴对称问题
空间体中,最简单的几何体应该为四面体,弹性体可 以无限制地离散为若干四面体。 四面体单元中最简单的是四节点单元,一种常应变单 元。 考虑任一四面体单元: Ⅰ、取四面体的4个角点为节点,节点编号: i, j, m, l ,右手 法则排序。 空间问题中, 每一节点有3个位移分量。
ui i v i w i
Ⅰ、位移模式
wn
T
仿照平面三角形单元,
u a1 a2 r a3 z (3.20) w a 4 a5 r a 6 z 与平面三角形单元的推导类似,我们可以建立形函数N , 得到单元内位移:
f
u N l I w
Nm I
N n I
推。
检验: 对任一节点形函数 Ni ,其它节点坐标代入均将导致 Ni 0 ,仅节点本身的坐标代入时 Ni 1;
N
1
4
i
1
收敛性:位移函数是线性的,包含有常数和线性项,即含有 刚体位移,常应变,满足完备性条件; 位移为线性函数,在单元内自然连续;在单元之间的 交界面上,位移仍线性变化,可由节点位移唯一确定,所 以位移在两单元之间的交界面连续。
可导出相应的有限元方程:
P k e
其中,
(3.11) (3.12)
k B DBd
T
由虚功原理将外载荷转换为节点处的等效节点载荷 e Q (等效节点力) , 考虑体积力 X 、面力 q、集中力 F
Qe N T X d N T qdA N T F
e
B
(3.8)
按节点分块,
B Bi
Bj
Bm
Bl

(3.9)
br 0 1 0 Br 6v c r 0 d r
0 cr 0 br dr 0
0 0 dr 0 cr br
r i, j, m, l
即,

rr
1 rl rm rn 阶单位矩阵 同样引入 矩阵:
1 xi 1 x j 1 xm 1 xl yi yj ym yl zi zj zm zl
(3.6)
四面体体积为(节点编号按右手系顺序,其体积恒为正值):
1 V 6
各节点的形函数可以表示为:
单元应力:
D DB e
同样地,单元内的应力为非常应力分布!
问题:
(3.26)
当三角形环单元一边或一节点与轴心重合时(轴对称 体为实心体时),对应的(3.25)中的 f l , 或 f m , f n 函数将 出现奇异性。
解决方案:将轴心处的单元近似处理为常应变单元。 取 f l 中的 r , z 均为单元形心的坐标,相对单元为一常数。
一般只需在平面内,对结构构造单元网络即可。但是 涉及到积分时,仍然需要对环单元体积作积分。
3.4 三节点三角形环单元
各种环单元中,截面为三角形的三节点环单元为最简 单。单元适应性好,计算也简单。
上图表示:在 单元节点位移:
rz 平面内截面为 lmn
wl um wm un
三角形的环单元。
e ul
1 i, m轮换 N i ai bi x ci y d i z 6v 1 j, l轮换 N j a j b j x c j y d j z 6v
(3.7)
ai , bi , ci , di 分别为 中第一行各列元素对应的代数余子 式,同三角形单元中描述雷同,如:
u a1 a2 x a3 y a4 z v a5 a6 x a7 y a8 z w a a x a y a z 9 10 11 12
(3.2)
矩阵形式:
u v 1 x w
y
z a
a2 a12
3.2 六面体单元
空间问题中常采用六 面体单元,如长方体(正 方体)单元。 取其8个角点为节点, 每一节点3个自由度,则 单元有24个自由度。 同样,可引入局部坐 标系 , , ,以简化运算。
关键问题在于位移模式的选取: U函数中,除了线性项 , , ,常数项 A0 外,可 3项。还需引入一项 ,这里考虑了几 , 取 , 何各项同性,取8项含8个待定系数,可由单元节点位移唯 一确定。 同理,对V、W位移函数可取相同类型。
T
(3.3)
a a1
分别将节点位移、节点坐标代入,
ui 1 xi u 1 x j j u m 1 xm u l 1 xl
yi yj ym yl
zi a1 a zj 2 z m a3 zl a 4
1 1 E 1 D 1 1 2 1 0 1
(3.18)
1 2 21

1 0
1 0
(3.19)
由于轴对称体的变形与环向无关,单元形状就可取成 圆环形,其截面可选为三角形或四边形; 取角点为节点时,环单元的节点实际上为一圆周线; 但所有节点力或节点等效外载荷均应理解为:在节点所在 的整个圆周线的总和(不一定为合力!);同样对节点的 约束也是对整个圆周线而言。
任一点有三个正应变、一个剪应变分量,及对应的应 力分量:
r
z rz

r z rz
弹性理论中的基本方程:
平衡方程
r rz r Xr 0 r z r rz z rz X 0 z z r z
单元的节点位移列阵可按节点号分块:
e i j m l T
(3.1)
单元内的位移模式,为满足完备性条件,至少应取为 坐标的线性函数; 单元共12个节点位移分量,而线性位移函数亦为12个 待定系数,刚好可由节点位移分量位移描述。 位移模式即可由单元节点位移的插值函数构成:
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