04-1zf_两自由度系统的振动
二自由度系统的振动
二自由度系统的振动1.概述在实际工程中，真正的单自由度振动是很少的，而是根据需要将被研究对象简化成单自由度系统来研究。
但是许多问题不能简化为单自由度系统，为满足工程精度上的需要，必须按多自由度系统来研究。
一般讲，三自由度以上的系统要得到闭合解是相当困难的。
在这种情况下，可以用坐标变换的方法，将描述实际问题的广义坐标用一组新的坐标来代替。
新坐标所描述的系统运动方程与实际系统是相同的，但用新坐标描述的系统微分方程之间已不存在耦合，称为各自独立的微分方程，就可以按单自由度系统的微分方程那样一一单独求解。
这种新坐标主坐标或模态坐标。
二自由度系统是最简单的多自由度振动系统，许多多自由度喜用的物理概念及解题思路可以从二自由度系统的分析中得到启迪，也是分析多自由度系统的基础。
二自由度振动系统的结构具有两个固有频率。
当系统按其中某一固有频率作自由振动时，称之为主振动。
主振动是简谐振动。
当发生主振动时，描述振动的两个独立变量与振幅之间有确定的比例关系，即两个振幅比决定了整个系统的振动形态，称之为主振型。
任意初始条件下的自由振动一般是这两个不同频率的主振动的叠加，其叠加后的振动不一定是简谐振动。
当外界激扰为简谐激扰时，系统对其响应是与激扰频率相同的简谐振动。
当激扰频率接近系统的任意一固有频率时，就会发生共振。
共振时的振型就是与固有频率相对应的主振型。
此时，喜用的两个振动的振幅都趋于最大值。
2.二自由度系统的运动方程图1所示为具有粘性阻尼的二自由度系统。
图1.二自由度系统模型对质量m1、m2绘分离体图，如图2所示。
图2.二自由度系统分析图用牛顿第二定律分别列分离体在水平方向方程得：整理得：由两个联立二阶常微分方程所描述的系统统称为二自由度系统。
上述方程可以方便的表示成矩阵形式。
常数矩阵[m]、[c]和[k]分别为质量、阻尼、刚度矩阵。
{x(t)}和{F(t)}分别称为二维位移向量和力向量。
可以将上述方程写成矩阵形式：对于同一系统当采用不同的独立坐标系来描述时，其[m]、[c]、[k]矩阵中的元素是不同的，但不影响系统的固有特性，系统的固有频率与坐标的选取无关，一定的系统固有频率是一定的。
两自由度系统的振动
第四章 两自由度系统的振动前两章介绍了单自由度系统的振动，它是振动理论的基础，并有重要的应用价值。
但工程中许多实际问题是不能简化为单自由度系统的振动问题，它们往往需要简化成为多自由度系统。
两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等等。
两自由度系统和多自由度系统没有本质上的差别，而主要是量上的差别，因此研究两自由度系统是分析多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
4-1 无阻尼自由振动1.系统的振动微分方程作为两自由度振系的第一个例子，现在来分析图4-1（a ）所示的双弹簧系统，设弹簧的刚度分别为k 1、、 k 2，质量为m 1、m 2。
质量的位移分别用x 1、x 2表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正。
现建立系统在静平衡位置的力学条件及振动过程中的运动微分方程。
在静平衡位置，设两弹簧的伸长分别为δ1、、δ2，则由系统的受力图 4-1（b ），得系统的静平衡条件为⎭⎬⎫=-=-+0022211221δδδk g m k k g m （a ）在振动过程中，设任一瞬时t ，m 1和m 2 的位置分别为x 1和x 2，此时质量上的受力图如图4-1（c ）所示。
应用牛顿运动定律，得)()(11112222111x k x x k k g m x m +--++=δδ )(12222222x x k k g m xm ---=δ 整理后得222122222112212212111)(δδδk g m x k x k x m k k g m x k x k k xm -=-+-+=-++ } （b ）将方程（b ）的右端和方程(a)比较，就可以消去平衡项，于是得00)(1222222212111=-+=-++x k x k xm x k x k k xm } (4-1)令 ,/,/,/)(2222121m k c m k b m k k a ==+=则（4-1）式可改写成00122211=-+=-+cx cx xbx ax x } (4-2)这是联立的二阶常系数线性微分方程组。
两自由度系统的振动
x1 (t ) = x1(1) + x1( 2) = A1(1) sin(ω1t + α1 ) + A1( 2) sin(ω2t + α 2 ) (1) ( 2) (1) ( 2) x2 (t ) = x2 + x2 = A2 sin(ω1t + α1 ) + A2 sin(ω2t + α 2 )
m1 &&1 + 2kx1 − kx 2 = 0 x 2m&&2 − kx1 + 2kx 2 = 0 x
Theory of Vibration with Applications
k3 x2
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两自由度系统的振动
例题
x m 0 &&1 பைடு நூலகம் 2k 0 2m && + − k x2
&& m1 x 1 + ( k 1 + k 2 )x 1 − k 2 x 2 = 0 && m2 x 2 − k 2 x 1 + k 2 x 2 = 0
m1 &&1 = − k 1 x 1 + k 2 ( x 2 − x 1 ) x m2 &&2 = − k 2 ( x 2 − x 1 ) x
m 0 质量矩阵 M = 0 2m
− k x1 0 x = 0 2k 2
2k K = − k − k 2k
刚度矩阵
（2）解频率方程，求ωi 将M和K代入频率方程，得
第四章两自由度系统的振动介绍
第四章两自由度系统的振动介绍第四章是关于两自由度系统的振动的介绍。
在这一章中，我们将探讨两自由度系统的振动模型、动力学方程，并讨论其解析解和数值解。
此外，我们还将介绍两自由度系统的模态分析、共振现象以及一些相关的应用。
两自由度系统是一种具有两个自由度的振动系统，它由两个具有质量和弹性的物体通过柔性连接件或刚性连接件相互连接而成。
这些物体可以是质点、弹性体或刚体等，而连接件可以是弹性杆、弹簧、细梁等。
在两自由度系统中，每个物体都可以做平动或转动运动，因此系统具有两个自由度。
例如，双摆锤、双弹簧振子等都属于两自由度系统。
两自由度系统的动力学方程可以由拉格朗日方程或牛顿第二定律得到。
得到动力学方程后，我们可以通过解方程得到系统的解析解，以获得系统的振动特性。
在分析解时，通常要求系统的运动是简谐振动或近似简谐振动。
另一种求解两自由度系统的方法是数值解法。
数值解法可以通过数值积分来近似求解动力学方程，这种方法常用于求解复杂的系统，或者对系统参数进行优化等情况。
分析解和数值解法可以用来研究两自由度系统的固有振动频率、振型和动态响应等。
通过模态分析，我们可以得到系统的固有频率，并确定每个模态的振型。
对于实际工程问题，模态分析可以帮助我们了解系统的共振情况，并设计出合适的控制策略，以求减小共振现象的发生。
共振是两自由度系统中一个重要而常见的振动现象。
当外力的频率与系统的固有频率接近时，系统会发生共振现象。
共振的发生会导致系统振幅的急剧增加，并且可能对系统的稳定性产生不利影响。
因此，在设计过程中，需要避免共振现象的发生，并采取合适的措施来控制共振。
此外，两自由度系统的振动也有许多实际应用。
例如，双摆锤可以用来研究天体运动和天文学现象；双弹簧振子可以用来研究建筑物或桥梁的振动特性；双振子可以用来研究分子振动和分子动力学等。
总而言之，两自由度系统的振动是一种普遍且重要的物理现象。
通过对两自由度系统进行建模和分析，我们可以深入了解系统的振动特性，并在实际应用中进行优化和改进。
第二部分两自由度 系统的振动
k 0
(e)
k 3k 2 2m
得特征方程
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动
( 2 ) 2m2 4 7mk 2 5k 2 0
(f )
固有频率为
1
k, m
2 1.5811
k m
(g)
将
代入式2(d) 1
，有
2k 12m X
0 0
(a)
设
x1(t) X1 sin(t )
(b)
x2 (t) X 2 sin(t )
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动
代入振动微分方程组，得
(k1 k2 X1
k2) 2
（k2
m1 k3 )
X1
2
k2 X 2 m2 X
sin t
第二部分 两自由度系统的振动
2 两自由度简谐激励系统强迫振动
如下图所示，梁上有一固定转速的马达，运转时由于偏心而产生受迫振动，激振力
。马达的质量为m1、梁
的质量忽略不计，梁的刚度为k1。通过附加弹簧质量（m2,k2)系统可进行动力消振，试推导消振系统应满足的条件。
Q1 sin t
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动 ●在一般情况下，两自由度系统的自由振动是两种不同频率的固有振动的叠加，其结果通常不再是简谐振动。
●在特殊的情况下，系统的自由振动会按某一个固有频率作固有振动，其结果是简谐振动。
初始条件的响应，由
x1 x2
C1 sin(1t C1r1 sin(1t
(4.1-11)
展开得
( 2 ) m1m2 4 (m1k22 m2k11) 2 k11k22 k122 0
04-1 两自由度系统的振动
2 n1, n 2
ad ad 7 3 K bc 2 2 4 4 m
2
则：
K , m
2 n1
K n1 m
5K n 2 2m
5K , 2m
2 n2
3、主振型向量与振型图
振幅比：
2 a n 1 1 b
Yanshan University
主振动：系统按某一阶固有频率和相应主振型所作的振动。
第一阶主振动：
x1(1) A1(1) sin( n1t 1 )
(1) x2
(1) (1) A2 sin( n1t 1 ) 1 A1 sin( n1t 1 )
燕山大学
Yanshan University
(a ) b 0 2 c (d )
2
将上式展开得：
ω4- (a+d)ω2+(ad-bc)=0 特征根：
称为频率方程或特 征方程
2 1, 2
ad ad (ad bc) 2 2 ad ad bc 2 2
4.1.2 固有频率与主振型
设两质量块按同频率和同相位作简谐振动，即设：
燕山大学
Yanshan University
x1 A1 sin(t ) x2 A2 sin(t )
则：
1 A1 cos( t ) x 2 A2 cos( t ) x
2 K 5K m 2m 0.5 K m
燕山大学
Yanshan University
第二阶主振型 第一阶主振型
4.1.3 无阻尼自由振动的通解 由上述分析可见：
振动理论及工程应用3 第三章 两自由度系统的振动
例3-1 试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主
振型。已知m1= m2=m , k1= k3=k, k2= 4k，再求该系统对以下 两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm， x20＝0,
x&10 x&20 0（2） t＝0，x10＝1cm， x20＝-1cm, x10 x20 0
表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式 中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。
当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为 在坐标之间有动力耦联或质量耦联.
静力与动力耦联
m ml1
ml1 J1
x1
k1 k
k2l
2
k2l k2l 2
(4)将初始条件（1）代入式，解得
x10 A1(1) sin 1 A1(2) sin 2 1 x20 1 A1(1) sin 1 2 A1(2) sin 2 0 x10 A1(1) p1 cos1 A1(2) p2 cos 2 0 x20 A1(1)1 p1 cos1 A1(2) 2 p2 cos 2 0
设
a k11 , m11
特征方程可写为
b k12 , m11
c k 21 , m22
d k 22 m22
p 4 (a d ) p 2 ad bc 0
特征方程的两组特征根
p12,2
a
d 2
a
2
d
2
(ad
bc)
a
d 2
a d 2 bc 2
系统的稳态响应。设特解为
两自由度系统的振动
2 2） ad bc ， 12 和 2 都是正数，两个正实根。 3）方程仅有两个正实根的事实说明，系统可能有的同步 运动不仅是简谐的，且只能以两种频率作简谐运动。
4）ω1和ω2由由系统参数确定，称为系统的自然频率。两
2 (t ) c3 x 2 (t ) c2 [ x 2 (t ) x 1 (t )] k3 x2 (t ) k 2 [ x2 (t ) x1 (t )] F2 (t ) m2 x
整理得到
1 (t ) c1 c2 x 1 (t ) c2 x 2 (t ) k1 k 2 x1 (t ) k 2 x2 (t ) F1 (t ) m1 x m2 x2 (t ) (c2 c3 ) x2 (t ) c2 x1 (t ) (k 2 k 3 ) x2 (t ) k 2 x1 (t ) F2 (t )
由两自由度系统到更多自由度系统，则主要是量的扩充，
在问题的表述、求解方法及最主要的振动特性上没有本质 的区别。
1
2
1
2
1 1 2
2 3
6.2 两自由度系统的自由振动
一、两自由度振动系统的运动微分方程
1( 1 1
)
1(
)
2 2
2(
)
2
( )
3 3
1
2
(a)
1 1 1( 1 1(
( )
1
( )
2[ 2 (
2
1
上式表明：系统按其任一自然频率作简谐同步运动时，m1 和m2运动的振幅之比由系统本身的物理性质决定，对于特 定系统，是一个确定的量。 由于m1和m2作同步运动，任意时刻的位移之比等于振幅比
两自由系统的振动
a K1 K2 b K2 c K2 d K1 K2
m1
m1
m2
m2
x1 x2
ax1 cx1
bx2 dx2
0 0
这是二阶常系数性齐次联立微分方程组。第一个方程中包
含-bx2项，第二个方程中包含-cx1项，称为耦合项。 如果耦合项均为零时，方程组便成为两个独立的单自由
度系统自由振动的微分方程
k1 k2
k2
k2 k2 k3
xx12
0 0
M
m1
0
0
m2
质量矩阵
K
k1 k2
k2
k2
k2
k3
刚度矩阵
双盘转子的扭振
动力学方程
J1
0
0 J2
12
kkt1t1
k
t1
k t1 k
t
2
1 2
0 0
汽车车体的振动
系统简化成二自由度系统，即一根刚 性杆（车体的简化模型）支承在两个 弹簧（悬挂弹簧和轮胎的模型）上， 刚性杆作跟随其质心的上下垂直振动 和绕刚性杆ma
K
k1l12 k2l2
k2l22 k1l1
k2l2 k1
k1l1 k2
q
x
座标之间的耦合称为静 力耦合或弹性耦合
两自由度系统的振动
➢固有频率
m1 x1 m2 x2
(K1 K2 x1
K2 )x1 (K2
K2 x2 K3 ) x2
0 0
为了书写简便，引入符号：
e
1
x
k
k1 2l4
k2 k1
l
3
k2l4
k
2
l
2 4
k1l3
第三章 两自由度系统的振动
设两质量块振动时按同频率和同相位作简谐振动，即：令
一组解x1 A1 sin( t )、x2 A2 sin( t )，代入方程后得： [(a 2 ) A1 bA2 ]sin( t ) 0 [cA1 (d 2 )A2 ]sin( t ) 0
(a 2 ) A1 bA2 0
cA1
(d
一阶主振型。
例
练习1 如图，推导系统的频率方程并 求主振型。设滑轮为均质圆盘， 其质量为m2，质量块质量为m1， 弹簧刚度分别为K1和K2，并假定 滑轮与绳索间无相对滑动。
解：选取广义坐标为（ ），
取静x,平 衡位置作为坐标原点，
进行受力分析，建立系统的运 动微分方程：
m1x K1(x r) I0 K1(x r)r K2r 2
1) 当作用于系统的主动力都是有势力时（系统没有能
量损失时），则系统具有势能U（q1,q2,···,qn)，广义力
为
Qj
U q j
( j 1, 2, , n)
代入方程得： d ( T ) T U 0 dt qj q j q j
( j 1, 2, , n)
或
d ( L ) L 0 ( j 1, 2, , n)
m1l 21 (m1gl Ka2 )1 Ka22 0 m2l 22 Ka21 (m2gl Ka2 )2 0
1 2
K2 (u2 u1)2
u1
u2
代入拉氏方程，得系统的微分方程
(m1
m2 2
)u1
m2 2
u2
(K1
K2 )u1
K2u2
0
m2 2
u1
3u2 2
u2
K 2u1
K2u2
0
m1
两自由度系统的振动
激振力矢量
例3：转动运动 两圆盘 外力矩 M1(t), M 2 (t) 转动惯量 J1, J2 轴的三个段的扭转刚度 k1, k 2 , k 3
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
M 2 (t)
J1
J2
试建立系统的运动微分方程
11
解：
1、建立坐标：设某一瞬时： 角位移 1, 2
1665年2月的一天，因为身体不适，他躺在家 里休养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意 外地在他自己发明的摆钟上，发现了一个有趣的 现象。
有趣的现象：
墙壁上并排悬挂着的两只钟，这两只钟的钟摆 竟然在按照相同的位移（拍子）摆动！经过连续 几个小时的观察之后，结果还是一样。而且就算 强行将其中一只钟的钟摆拨成相反位移的运动， 不到30分钟，也还是恢复成相同的位移。只有将 一只钟挂到另一面墙上后，两只钟的位移才开始 渐渐分出不同，到最后甚至连一天的周期也产生 了5秒左右的差别。后来，他又通过实验推断， 这两只钟的同步运动可能是由两只钟之间的空气 振动或者是墙壁的轻微振动导致的。
k2
k2 k2 k3
x1 x2
FF12
t t
M
m1
0
0
m2
质量矩阵
K
k1 k2
k2
k2
k2
k3
刚度矩阵
X
t
x1 x2
位移矢量
F
t
F1 F2
两自由度系统振动规律
两自由度系统振动规律《探索两自由度系统振动规律：一场奇妙的科学之旅》嗨，大家好！今天我想跟你们讲讲特别有趣的两自由度系统振动规律。
你们有没有想过，这个世界上有好多东西都会振动呢？就像我们学校的秋千，荡来荡去的，那就是一种振动。
不过呀，两自由度系统的振动可比秋千复杂多啦。
我先给你们讲个故事吧。
我们班上有个小发明家，叫小明。
有一天，他带来了一个他自己做的小玩意儿，是用两根弹簧和两个小木块组成的。
他说这就是一个简单的两自由度系统模型。
当时我们都围了过去，好奇得不得了。
我就问小明：“这东西咋就能体现两自由度系统振动规律呢？看着就像两个小木块被弹簧连着，好像没什么特别的呀。
”小明笑着说：“你们可别小看它。
这两个小木块，每个都能在自己的方向上运动，这就是两个自由度啦。
”然后呢，小明就开始摆弄这个小模型。
他轻轻地拉了一下其中一个小木块，哇，这时候可有趣了。
那个被拉的小木块就开始动起来了，而且还不是简单地动，另一个小木块也跟着动了起来。
就好像它们两个是好朋友，一个有动作，另一个也跟着有反应。
我当时就觉得好神奇，这就像我们跳舞的时候，领舞的人做了一个动作，旁边配合的人也会跟着做出相应的动作一样。
这时候，我们班的学霸小红说话了：“你们知道吗？这其实就跟两自由度系统振动规律有关。
在这个系统里，每个小木块的振动都不是独立的，它们之间有着一种相互影响的关系。
这就好比我们生活在一个集体里，我们每个人的行为也会影响到周围的人呢。
”我就又问小红：“那这个规律到底是怎么个事儿呀？”小红想了想，说：“嗯，这个两自由度系统的振动啊，就像是一场交响乐。
每个小木块就像一个乐器，它们各自发出自己的声音，但是又要相互配合。
当我们拉动一个小木块的时候，就像是给这个乐器奏响了一个音符，然后这个音符就会通过弹簧这个‘指挥棒’传递到另一个小木块那里，让另一个小木块也开始演奏属于它的旋律。
”我听了小红的话，似懂非懂的。
这时候，小明又补充道：“对呀，而且这个振动还有频率呢。
机械振动 第4章-二自由度系统的振动
2 2 如果行列式 K 不是负的，必然 0 b 4ac b ，将 n1
2 n 2
2 2 代入(6)，不能求得振幅A比决定了振动的振型 2 k22 n A1(1) k12 1m2 r1 (1) 2 A2 k11 n k21 1m1
c1=1.171, c2=0, c3=-0.171, c4=0
例题4-2
将以上常数带入(11)
x1 r1c1 cos n1t r2c3 cos n 2t 0.724cos n1t .277 cos n 2t x2 c1 cos n1t c3 cos n 2t 1.171cos n1t 0.171cos n 2t
在此情况下，系统的响应只有余弦项，如果初始位移为零，而初始速 度为非零，则在响应中只出现正弦项，这和单自由度系统的响应是一 致的，在这里两个频率对响应都有贡献。
x 如果初始位移之比恰与第一振型之振幅比相等 ( 10 r1 ) 且 x20
x10 x 20 0
.
.
则其响应为：
x1 x10 cos n1t , x2 x20 cos n1t
[M]——系统的质量矩阵。 [C]——系统的阻尼矩阵。 [K]——系统的刚度矩阵。 {x}——系统的位移列阵。
—系统的一、二阶导数列。 x x
{F(t)} —系统的激振力列。
第5讲 两自由度系统的振动
(4)
，式中常数u1和u2起振幅的作用。 请
将方程(4)代入方程(3)，得
m1u1 f(t)+ (k11u1 + k12u2 ) f (t ) = 0 m2u2 f (t)+ (k21u1 + k22u2 ) f (t ) = 0
2015/3/24 机械系统动力学-多自由度系统的振动
现在关心的问题是，在初值条件下，如何求解 这个方程。这里，有两个问题需要确定： 1、坐标x1和x2是否有相同的随时间的变化规律 2、x1和x2是否是简谐函数
2015/3/24
机械系统动力学-多自由度系统的振动
14
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学家是
课 件荷兰的物理学家克里斯蒂安 · 惠更斯 仅 供(Christian Huygens 1629-1695)。根据 学 习伽利略(Galileo Galilei 1564-1642)发现 复 习 的钟摆的等时性原理，他于1656年把单 之 用 ，摆引入了机械钟，研制成第一个摆钟。 请
勿标，它们能够完全描述了系统在任何时刻的运动：x1和 它 用x2不仅表示出质量m1和m2的运动，而且也描述了
弹簧
。 曹k 、k 和k 的运动。因此，该系统是一个两自由度系统。 1 2 3
2015/3/24 机械系统动力学-多自由度系统的振动 8
两自由度系统的自由振动（微分方程）
f1 f2
课 件 仅 供 x1 x2 学 k2 (x2 − x1 ) 习 k1 x1 m1 m2 k3 x2 复 习 f1 f2 之 用 设运动x1和x2是微幅的，振动系统是线性的。由牛 ，顿定律建立运动微分方程 ：
引言
2015/3/24
机械系统动力学-多自由度系统的振动
两个自由度体系的自由振动
由此求得：
12
2
1 2
(2
1) n
4 n
1 n2
k2 m2
代入式（4-5a）和（4-5b），可求出主振型：
Y2 1 n 1
Y1 2
4
如当n=90时， Y11 1 , Y12 1
Y21 10 Y22
Y11
k
1
Y21 2k 0.38197k 1.618
第一主 振型
Y12
k
1
Y22 2k 2.61803k 0.618
第二主 振型
如图 10所 示-33
（2）当 m1 nm2 , k1 nk2 时， 此时式（a）变为
(n 1)k2 2nm2 (k2 2nm2 ) k22 0
从以上的讨论中，归纳：
（1）在两个（多个）自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系 的全部自振频率及其相应的主振型。
（2）两个（多个）自由度体系的自振频率不止一个，其个数与自由度 的个数相等。自振频率可由特征方程求出。
（3）每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系 能够按单自由度振动时所具有的特定形式。
式（b） 代入 式（a）,得：
mm12yy12((tt))kk1211yy11((tt))kk1222yy22(t(t))00
(b) (4-1)
m1 y1(t) k11 y1(t) k12 y2 (t) 0 m2 y2 (t) k21 y1(t) k22 y2 (t) 0
此时式（a）变为
(2k 2m)(k 2m) k 2 0
由此求得：
12
两个自由度系统的振动ppt课件
x1
x2
第5章 两个自由度系统的振动
5.2 振动方程
5
[M] 称 为 系 统 的 质 量 矩 阵 ， [K] 称 为 刚 度 矩 阵，[C]称为阻尼矩阵，{x}为系统的位移列阵， {F(t)}为外激励列阵。
对于其它形式的两自由度振动系统同样可得 到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。
由于矩阵[M]、 [K]、 [C]的非对角线元素不 为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立 方程。
第5章 两个自由度系统的振动
能量法
29
3. 阻尼矩阵的形成 线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为
1
Ed
2
k
ckj x&k x& j
j
1{x&}T [C]{x&} 2
[C]即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。
第5章 两个自由度系统的振动
能量法
30
【例5-2-3】求[M]和[K]。 解：取静平衡位置为坐 标原点和零势能位置
第5章 两个自由度系统的振动
5.2 振动方程
8
根据刚度影响系数和质量影响系 数，可以写出下列关系：
k11x1 k12 x2 m1&x&1 c1x&1 c2 (x&1 x&2 ) F1(t) k21x1 k22 x2 m2&x&2 c3x&2 c2 (x&1 x&2 ) F2 (t)
)
{x} [R]({F} [M ]{&x&} [C]{x&})
这就是以柔度矩阵表示的位移形式的振动方程。
第5章 两个自由度系统的振动
5.3 位移方程
11
因为[R]为正定矩阵，于是位移方程又可写为
04-1 两自由度系统的振动解析
运动微分方程简化为标准 形式：
1 ax1 bx2 0 x 2 cx1 dx2 0 x
方程的特点： 二阶常系数齐次线 1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。 x (1)第1个方程既含有 (2)第2个方程既含有 x2 项，也含有-cxl项。 显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。 与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动 微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
2
2
固有频率
2 1,2
燕山大学
Yanshan University
ad 2
ad ad ( ad bc ) 2 2
2
ad bc 2
2
2
2 (1)a、b、c、d是由弹簧刚度和质量所决定的正数，所以 1 与 2
均为实根。 (2)因为 ad bc ， 正实根。
燕山大学
Yanshan University
1 K 2 ( x2 x1 ) K1 x1 m1 x 2 K 2 ( x2 x1 ) K 3 x2 m2 x
1 ( K1 K 2 ) x1 K 2 x2 0 m1 x 2 K 2 x1 ( K 2 K 3 ) x2 0 m2 x
整理得：
燕山大学
Yanshan University
(a 2 ) A1 bA2 sin(t ) 0 2 cA ( d ) A2 sin(t ) 0 1 为使xl、x2是方程组的解，方程成立的条件为：
2 ( a ) A1 bA2 0 2 cA ( d ) A2 0 1
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整理得系统运动微分方程：
m1x1 (K1 K2 )x1 K2 x2 0 m2 x2 K2 x1 (K2 K3 )x2 0
引入符号：
m1x1 m2 x2
(K1 K2
x1
K2 (
安装两个齿轮的传动轴示意图
假设： (1)相对于齿轮来说，轴的质量较小 可以忽略； (2)轴的变形较大，考虑其弹性； (3)齿轮可视为集中质量元件的刚性 圆盘。
若研究系统在纸面平面内的横向振动，
在上述假设条件下，系统可简化成图两
自由度横向振动力学模型。
两自由度横向振动力学模型
若研究系统的扭振问题，两圆盘具有 转动惯量，轴具有扭转弹性，系统可 简化为两自由度扭转振动力学模型。
x20 )2
(1x10 x20 )2 2
n2
1
arctan
n1 (2 x10 2 x10
x20 x20
)
2
arctan
n
2 (1x10 1x10
x20 x20
)
例1 图示两自由度系统。已知，ml=m2=m=0.05kg， K1=K2=K3=K=20N／m。
(1)第1个方程既含有 x1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。
(2)第2个方程既含有 x2 项，也含有-cxl项。
显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。
与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动
微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
4.1.2 固有频率与主振型
n21
a
d 2
n22
ad 2
a
d
2
bc
2
a
d
2
bc
2
ωn1——第1阶固有频率，数值较小的固有频率； ωn2——第2阶固有频率，数值较大的固有频率。
主振型
将固有频率ωn1和ωn2代入代数方程：
(a 2
cA1
) A1 bA2
(d 2 ) A2
0
0
则可以得到关于A1和A2的齐次线性方程组。由于方程组具有无穷
多组解，所以不能求得A1和A2的具体值，但可以求得二者的比值，
即振幅比：
1
2
A(1) 2
A(1) 1
A(2) 2
A(2) 1
a
2 n1
c
b
d
2 n1
振幅比： 1
a
2 n1
b
2K m
K
K m
1
主振型向量：
m
2
a
4.1 两自由度系统无阻尼自由振动
4.1.1 两自由度系统振动微分方程
如图所示的弹簧质量系统。质块m1和 m2在光滑水平面上移动，m1、m2之间 及其与支撑面之间用弹簧分别联接。
显然，该系统为2自由度系统。
取质块位移xl和x2为广义坐标。
取质块m1和m2 为分离体，受力如图所示。 根据牛顿定律： m1x1 K2 (x2 x1) K1x1
(1)写出系统运动微分方程； (2)求固有频率； (3)求主振型向量，并画出振型图； (4)求以下两种不同初始条件的响应方程：
① xl0= 1cm，x20=-2cm， x10 x20 =0
② xl0= x20= lcm， x10 x20 =0
解：
1、运动微分方程
m1x1 m2 x2
1
1
A( 2 )
1 1
2
0.5
第一阶主振型
第二阶主振型
4.1.3 无阻尼自由振动的通解
由上述分析可见： (1)两自由度线性系统的自由振动，有两个固有频率，也对应两种 简谐振动。 (2)根据线性微分方程理论，两自由度线性系统的自由振动是两种 简谐振动的叠加：
两自由度扭转振动力学模型
再如：双摆振动系统
若不考虑杆的弹性变形，上述系统均为两自由度振动系统。 工程实际中有许多系统都可简化为两自由度振动系统，所以本 章研究两自由度系统的振动特性。 实际上，两自由度系统的分析方法与多自由度系统的分析方法 相同，两自由度系统是最简单的多自由度系统。 本章的重点：通过两自由度振动系统的分析，掌握多自由度系 统振动分析中的基本概念、基本方法。
a
2 n2
c
b
d
2 n2
A1(1)、A2(1) — — 按第1阶固有频率振动时，质块m1、m2的振幅；
A1(2)、A2(2) — — 按第2阶固有频率振动时，质块m1、m2的振幅。
A
(i j
)
上下标约定：下标
j
为质块序号；
上标
i
为固有频率阶数。
由于a、b、c、d和ωn1与ωn2都是由系统固有特性参数所决定的
x1(1) A1(1) sin(n1t 1 )
x2(1)
A2(1)
sin(n1t
1)
1 A1(1)
sin(n1t
1 )
第二阶主振动：
x1(2) A1(2) sin(n2t 2 )
x
(2) 2
A2( 2 )
sin(n2t
2 )
2 A1(2)
由于我们的目的是研究的系统振动规律，因此感兴趣的是A1和 A2的非零解。 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式为0，即：
(a 2 ) b
0
c (d 2 )
(a 2 ) b
0
c (d 2 )
将上式展开得： ω4- (a+d)ω2+(ad-bc)=0
第4章 两自由度系统的振动
前两章，介绍了单自由度系统的振动理论。 在工程实际当中，有许多振动问题是相当复杂的，用 单自由度的模型研究分析，往往不能得到满意的结果。 为了提高振动系统的分析精度，常将振动系统简化为 更为复杂的模型： 两自由度系统； 多自由度系统； 连续系统。
例如 图示安装两个齿轮的传动轴系统。
sin(n2t
2 )
结论：系统作主振动时，各点同时经过平衡位置、同时达到最 大极限位置，并以相同的频率和确定的振型作简谐振动。
例 图示系统中，m1=m，m2=2m， k1=k2=k，k3=2k， 试 求 系 统 的 固 有频率和固有振型。
解：振动的微分方程为
m1x1 (k1 k2 )x1 k2 x2 0 m2 x2 k2 x1 （k2 k3 )x2 0
2mmx1x2
2kx1 kx1
kx2 0 3kx2
0
x1 ax1 bx2 0
x2
cx1
dxK
m
m
c K , d 3K
2m
2m
2、固有频率
2 n1, n 2
a
d 2
则：
a
2
d
2
bc
，所以某一阶固有频率振动时的振幅比也是由系统固有特性参数
所决定的，是常数，与初始条件无关。
主振型
振幅比为常数，说明系统在振动过程中各点的相对位置是确
定的，因此振幅比所确定的振动形态是系统的固有特性。
主振型（固有振型）：当系统按某阶固有频率振动时，由振幅比
所决定的振动形态。
第一阶主振型：与ωn1所对应的主振型； 第二阶主振型：与ωn2所对应的主振型。 主振型向量或模态向量：
m2 m
m2
m
2、固有频率
2 n1,n 2
a
d 2
a
d
2
bc
[2
1]
K
2
m
则：
2 n1
K m
,
n1
K m
20 20 rad/s 0.05
2 n2
3K m
,
n2
3K m
3 20 34.64 rad/s 0.05
3、主振型向量与振型图
x1 x1(1) x1(2) A1(1) sin(n1t 1 ) A1(2) sin(n2t 2 )
x2
x2(1)
x
(2) 2
1 A1(1)
sin(n1t
1)
2 A1(2)
sin(n2t
2 )
式中：A1(1) 、A1(2) 、φ1和φ2——常数，由系统的初始条件决定。
称为频率方程或特 征方程
特征根：
2 1,2
ad 2
a d 2 (ad bc) 2
ad
a
d
2
bc
2 2
固有频率
2 1,2
a
d 2
a
d 2
2
(ad
bc)
a
d 2
a
2
d
2
bc
(1)a、b、c、d是由弹簧刚度和质量所决定的正数，所以