《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)

《误差理论与测量平差基础》期末考试试题A(参考答案)一、名词解释(每题2分,共10分)1、偶然误差——在相同得观测条件系作一系列得观测,如果误差在大小与符号上都表现出偶然性。

即从单个误差瞧,该误差得大小与符号没有规律性,但就大量误差得总体而言,具有一定得统计规律。

这种误差称为偶然误差。

2、函数模型线性化——在各种平差模型中,所列出得条件方程或观测方程,有得就是线性形式,有得就是非线性形式。

在进行平差计算时,必须首先把非线性形式得函数方程按台劳公式展开,取至一次项,转换成线性方程。

这一转换过程,称之为函数模型得线性化。

3、点位误差椭圆——以点位差得极大值方向为横轴X 轴方向,以位差得极值F E 、分别为椭圆得长、短半轴,这样形成得一条椭圆曲线,即为点位误差椭圆。

4、协方差传播律——用来阐述观测值得函数得中误差与观测值得中误差之间得运算规律得数学公式。

如0K KL Z +=,若观测向量得协方差阵为LL D ,则按协方差传播律,应有T LL ZZ K KD D =。

5、权——表示各观测值方差之间比例关系得数字特征,220ii P σσ=。

二、判断正误(只判断)(每题1分,共10分)参考答案:X √X √X X X √√X三、选择题(每题3分,共15分)参考答案:CCDCC四.填空题(每空3分,共15分)参考答案:1、 6个2、 13个3、1/n4、 0、45、 0)()()()(432200=''+∆+∆+-''+-''-W y SX X x SY Y C ACA C C ACA C ρρ,其中AB AC AC X X Y Y W αββ-++--=''4300arctan五、问答题(每题4分,共12分)1、 几何模型得必要元素与什么有关？必要元素数就就是必要观测数吗？为什么？答:⑴几何模型得必要元素与决定该模型得内在几何规律有关;(1分) ⑵必要元素数就就是必要观测数;(1分)⑶几何模型得内在规律决定了要确定该模型,所必须具备得几何要素,称为必要元素,必要元素得个数,称为必要元素数。

实际工程中为了确定该几何模型,所必须观测得要素个数,称为必要观测数,其类型就是由必要元素所决定得,其数量,必须等于必要元素得个数。

(2分)2、 简述偶然误差得特性答:⑴在一定条件下,误差绝对值有一定限值。

或者说,超出一定限值得误差,其出现概率为零;(1分) ⑵绝对值较小得误差比绝对值较大得误差出现得概率大;(1分)⑶绝对值相等得正负误差出现得概率相同;(1分)⑷偶然误差得数学期望为零,即0)(=∆E 。

(1分)3、 在平差得函数模型中,n ,t ,r ,u ,s ,c 等字母代表什么量？它们之间有什么关系？ 答:n ——总观测数;t ——必要观测数;r ——多余观测数;u ——未知参数个数; s ——未知参数中具有函数约束得条件数;c ——般约束条件个数 (答对3个1分) 函数关系: r=n-t,r+u=c+s (每个1分)六.计算题(30分)1、 解:(1)写成矩阵形式,有:[]AL L L L F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3213211(1分)由方差得传播律,有:[]3632130002000132121=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==T LL FA AD σ(2分)(2)对32123L L L F =两边求全微分,得:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+=32123213132323212311322333333dL dL dL L L L L L L L dL L LL dL L L dL L L dF (1分)由方差得传播律,有:43222123222123213132232131322293)2(3333000200013331L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=σ(2分) 2、 解:由题所给,有:(1)由间接平差法方程公式:pl B X N Tbb =,可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--2112114682210x x pl B N X T bb (2分) 因此未知数得解为:x1=-1,x2=-2(2)在间接平差数学模型中,有:)(221032][0mm t n vv t n PV V m T =-=-=-=(2分)(3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--5114192Q 511438182210Q ˆˆ20ˆˆ1ˆˆX XX X bbX X m D N (2分) []74.314143434ˆˆ2==⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=F X X F D σσ(2分)3、 解:(1)条件平差法由题所给,有:n=6;t=P-1=4-1=3,r=n-t=6-3=3,因此条件方程个数为:3 列出条件方程为:(1分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++=++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ642541321h h h h h h h h h ,由i i i v h h +=ˆ,带入观测值,得误差方程为: 1234561110009100110900101016V V V V V V ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1分)(形式不唯一,只要跟条件方程对应即可)协因数阵为Q=diag(1,1,1,1,1,1) 法方程系数阵311131113T aa N AQA ⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1分)法方程为:0699311131113321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--k k k (1分) (2)间接平差法设521ˆˆˆh h h 、、为未知数参数321ˆ,ˆ,ˆX X X ,则可列出观测方程如下: (也可假设一个高程点高程为已知,设其她3个未知点高程为未知数,列对观测方程即可)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++-==+-=+-===)ˆˆˆ(ˆˆˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆˆˆˆˆ3216353142132211X X X h X h X X h X X h X h X h (1分),对应误差方程为:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+---==---=+--==-=3ˆˆˆˆ9ˆˆ9ˆˆˆˆ3216353142132211x x x v x v x x v x x v x v x v (1分)误差方程系数矩阵B 及自由项l 分别为:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=111100101011010001B ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=309900l (1分)权阵为P=diag(1,1,1,1,1,1)由此,法方程为:ˆTT B PBx B Pl ==>06123312132224321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (1分) 4、 解:⑴S cP =,由于以2km 观测高差得权为单位权则: 221==>=c c(1分)所以每段观测得权为:5.04211===S c P625.02.3222===S c P 12233===S c P 769.06.2244===S c P 588.04.3255===S c P 往返观测高差差值为:5878854321=-==-=-=d d d d d则[]0.185)5(588.0)8(769.0)7(1)8(625.0)8(5.022222233222211=⨯+-⨯+⨯+-⨯+⨯=++=d p d p d p pdd)(3.4101852][0mm n pdd ±=±=±=σ(1分) ⑵由iip 202σσ=(1分)可得:ii p 10σσ=所以:4.5625.0/13.4122=±==p σσ(1分) ⑶各段观测高差平均值得中误差为:2iσ 因此第二段观测高差平均值得中误差为:8.324.522==σ(1分)⑷每公里观测高差中误差为S S ⋅=22,公里公里由σσσ 得:)(0.323.4220mm ±=±=±=σσ公里(1分) 全长观测高差中误差为:)(7.112.150.3S mm ±=±==全公里全σσ(1分) ⑸全长高差平均值得中误差为:)(3.827.112mm ±=±==全全长平均σσ(1分) 七.证明题(8分)1、证明:设未知量得平差值为Xˆ,由题所给,列出观测方程及误差方程分别为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===X L X L X L n ˆˆ......ˆˆˆˆ21, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=X L v X L v X L v n nˆ......ˆˆ2211, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1...11B , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n L L L l ...21(1分) 由此有法方程系数证及常数项分别为:[]∑==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==ni i n TbbP P P P PB B N 1211...11...1......11=>∑=-=ni ibb PN 111(1分)[]∑==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ni i i n n TL P L L L P P P Pl B 12121......1......11(1分) 由此,∑∑==-==ni ini ii T bbpLp Pl B N X 111)(ˆ,得证。

2 证明:设水准点P 位于距A 点距离为1S 得位置,平差后高程为X,列出观测方程如下:⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=BAH X h H X h 21ˆˆ,误差方程:⎩⎨⎧+-=-=2211l x v l x v (1分)得:[]TB 11-=,附与线路权阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=111001S S S P (1分),由此得法方程系数:[]1211111100111SS S S S S SPB B N Tbb+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--===>1211S S S N bb +-=-…(1) (1分)而1-=bb xx N Q (1分)xx xx Q 0σσ= ,所以当max σσ=xx 时,要求max Q Q xx =(1)式中对1S 求自由极值,得当21SS =时,xx Q 取得最大值,得证(1分)。