幂函数知识点总结及练习题
幂函数 知识点总结及典例
幂 函 数一、知识清单1．幂函数的概念：形如y x α=注意：幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 （1,1） ； 任何幂函数都不过 四 象限；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 递增 ； 当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 递减 ；（3）画出α=1,2,3,-1,1/2时，幂函数的图像 二、典例回顾例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x 是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；【变式训练】．幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 值．例2．下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ） Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -=例3、（1）当01x <<时，()()()1222,,f x x g x x h x x -===的大小关系是（ ）A. ()()()h x g x f x <<B. ()()()h x f x g x <<C. ()()()g x h x f x <<D. ()()()f x g x h x << （2）当32x x >成立时,x 的取值范围是 ( )A x<1且x ≠0B 0<x<1C x>1D x<1 例4、当()+∞∈,1x 时，下列函数恒在x y =下方的偶函数是（ ） A. 21x y = B. 2-=x y C. 2x y = D.1-=xy三、练习 A 组1、下列命题①幂函数的图象都经过点()()0,01,1和 ②幂函数的图象不可能在第四象限；③当0=n 时n x y =的图象是一条直线 ④幂函数n x y =，当0>n 时，是增函数；⑤幂函数n x y =当0<n 时在第一象限内函数值随x 的增大而减小。
幂函数及其性质知识点总结经典讲义及配套练习
幂函数及其性质相关知识点：1.幂函数的定义一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2.幂函数的性质(1). 恒过点(1，1)，且不过第四象限．(2). 当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上都是减函数．( 3). 在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小． (4).当α为偶数，y ＝x α是偶函数；当α为奇数，y ＝x α是奇函数。
基础训练：1. 下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)32.已知函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋2＋2n －3是幂函数，则m=________，n=_________. 3.已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9，3)，则f (100)＝________． 4. 下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x 125. 下列函数中，定义域为R 的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1 6. 函数y ＝x 53的图象大致是( )7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 138. 函数y ＝x －2在区间[12，2]上的值域为________．9. 设α∈{－1，1，12，3}，则使y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值组成的集合为________．例题精析：例1.如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为______________变式训练：幂函数y ＝x－1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是___________.例2．比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52； (2)－8－78和－(19)78；(3)(－23)－23和(－π6)－23； (4)4.125，3.8－23和(－1.9)－35.变式训练：用“>”或“<”填空：(1)(23)12________(34)12；(2)(－23)－1________(－35)－1；(3)(－2.1)37________(－2.2)－37.例3已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 12(1－4t －t 2)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，求函数解析式．变式训练：若函数f (x )＝(m 2－m －1)x －m ＋1是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围.课后作业：1. 若幂函数f (x )的图象经过点(2，14)，则f (12)＝________．2.设α∈{－1，1，12，3}，则使幂函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为_________.3. 幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，18)，则满足f (x )＝－27的x 值等于________．4. 函数y ＝a x －2(a ＞0且a ≠1，－1≤x ≤1)的值域是[－53，1]，则实数a ＝__________5. 比较下列各组中两个值的大小：(1)1.535与1.635； (2)0.61.3与0.71.3； (3)3.5－23与5.3－23； (4)0.18－0.3与0.15－0.3.6. 设a ＝(25)35，b ＝(25)25，c ＝(35)25，则a ，b ，c 的大小关系是_______________7. 已知函数y ＝x 23. (1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由 图象确定单调区间．8.已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．9. 点(2，2)与点(－2，－12)分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )?。
高中数学-必修一4.1幂函数-知识点
高中数学-必修一4.1幂函数-知识点1、幂函数：y=x a（a是定值）.特征：①系数为1 ，且
只有1 项，②指数为常数，底数为自变量。
2、幂函数的图像，掌握两步法作图。
第一步：画出幂函数在第一象限的图像,如右图所示；
第二步：根据函数的奇偶性来确定剩余部分图像，需分类讨论：（1）当a是整数时
①若a是奇数②若a是偶数
y是奇函数，图像关于原点对称，另一半在第三象限。
y是偶函数，图像关于y轴对称，另一半在第二象限。
（2）当a是分数时，假定a=n/m（n/m是最简分数）
①n和m都是奇数②n是偶数，m是奇数③n是奇数，m是偶数
y是奇函数,图像关于原点对称,另一半在第三象限. y是偶函数,图像关于y轴
对称,另一半在第二象限.
x＜0时函数无意义,y是非奇
非偶函数,y轴左侧无图像.
3、幂函数的性质
（1）必过点必过点（1,1）；若a＞0，还必过（0,0）。
（2）单调性
①a＞0时，在第一象限严格增。
②a＜0时，在第一象限严格减。
（3）平移的规律左加右减，上加下减。
（4）定义域a＜0时,x不能取0，a为分数且分母是偶数时,x不能取负。
（5）值域(0，+∞)必取，0和(-∞，0)是否能取可结合图像来判断。
4、不同幂函数的指数大小的判断：在（0,1）上，指大图低（指数越大，图像越靠近x轴）；在（1，+∞）时，指大图高（指数越大，图像越远离x轴）。
5、比较幂函数值大小的方法：指数相同，底数不同，根据增减性去比较。
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根据幂函数的增减性知识点及题型归纳总结
根据幂函数的增减性知识点及题型归纳总结一、增减性的概念幂函数是指形如 y = ax^n （其中a ≠ 0 且 n 是整数）的函数。
增减性是指函数图像在定义域内的上升和下降趋势。
二、幂函数的增减性质1. 当 a > 0 时，a) 若 n > 0，函数是递增的。
b) 若 n = 0，函数是常数函数。
c) 若 n < 0，函数是递减的。
2. 当 a < 0 时，a) 若 n > 0 且 n 为奇数，函数是递增的。
b) 若 n > 0 且 n 为偶数，函数在 x > 0 时递减，在 x < 0 时递增。
c) 若 n < 0，函数是递减的。
三、常见题型归纳1. 判断题型：给定一个幂函数的函数式，判断它的增减性质。
示例：对于函数 y = 2x^3，其中 a = 2，n = 3，由于 a > 0 且 n > 0，所以函数是递增的。
2. 求解题型：根据幂函数的增减性，求解满足一定条件的未知数。
示例：求解不等式 5x^2 - 3x ≥ 0 的解集。
首先判断函数 y =5x^2 - 3x 的增减性，由于 a = 5，n = 2，a > 0 且 n > 0，所以函数是递增的。
然后求解方程 y = 5x^2 - 3x = 0 的解集，得到 x = 0 和 x =3/5。
根据函数的增减性，不等式的解集为x ≤ 0 或x ≥ 3/5。
3. 应用题型：应用幂函数的增减性解决实际问题，如最值问题、图像分析等。
示例：某电商平台上一种商品的售价为 p 元，每天的销量为 q 件，销售总额 E(p) = pq。
已知单位售价 p 提高 10%，销量 q 降低 5% 后，求销售总额的变化情况。
根据幂函数的增减性质，当 p 上升 10% 时，E(p) 的变化趋势与 p 的变化趋势相同；当 q 降低 5% 时，E(p) 的变化趋势与 q 的变化趋势相反。
因此，销售总额的变化情况为：增加 10% ×减少 5%= 增加 5%。
根据幂指函数知识点及题型归纳总结
根据幂指函数知识点及题型归纳总结
一、幂函数的性质：
1. 幂函数的定义：幂函数是指以变量 x 为底数，以常数 a 为指
数的函数，一般形式为 f(x) = a^x。
2. 幂函数的图像：幂函数的图像随着底数 a 的取值不同而有所
变化，底数 a 大于 1 时，函数图像上升趋势较为陡峭；底数 a 在 0
和 1 之间，函数图像下降趋势较为陡峭。
3. 幂函数的性质：幂函数具有对称性，即 f(x) = f(-x)；a^x 的
值随 x 的变化而变化，当 x 增大时，a^x 增大，当 x 减小时，a^x
减小。
二、指数函数的性质：
1. 指数函数的定义：指数函数是指以变量 x 为指数的函数，一
般形式为 f(x) = a^x（a > 0，且a ≠ 1）。
2. 指数函数的图像：指数函数的图像具有与幂函数相反的特点，当底数 a 大于 1 时，函数图像上升趋势较为平缓；底数 a 在 0 和 1
之间，函数图像下降趋势较为平缓。
3. 指数函数的性质：指数函数的图像经过点 (0, 1)；指数函数
具有增长态势，即随着 x 的增大，函数值也增大。
三、幂指函数的题型：
1. 计算幂指函数的值：根据给定的幂指函数和 x 的值，求出函数的值。
2. 求幂指函数的定义域：根据幂指函数的特点，确定该函数的定义域范围。
3. 求幂指函数的变化趋势：根据底数的取值范围和指数的正负性，确定函数的增减性和图像的走势。
4. 解幂指函数的方程：根据幂指函数的性质和方程的条件，求出满足方程的变量值。
以上是根据幂指函数的知识点及题型进行的归纳总结，希望能对您的学习和应试有所帮助。
幂函数知识归纳及习题(含答案)
自主梳理1．幂函数的概念形如________的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数． 2．幂函数的性质(1)五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点y ＝x R R 奇 Z (1,1)y ＝x 2 R [0，＋∞)偶 [0，＋∞)Z (－∞，0][y ＝x 3R R 奇 ZY ＝x 12[0，＋∞) [0，＋∞) 非奇 非偶 [0，＋∞)Z Y ＝x －1(－∞，0) ∪(0，＋∞)(－∞，0) ∪(0，＋∞)奇(－∞，0)[(0，＋∞)[(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象． (3)α>0时，幂函数的图象通过点____________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象______原点．1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4C.22D. 2 2．下列函数中，其定义域与值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 13D ．y ＝x 23．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)5．(2013·蚌埠二中调研)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，如果f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．－b2aB ．－baC ．c D.4ac －b 24a6．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数D ．与m 有关 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图像关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图像都是抛物线型． 其中正确的有________．8．(2012·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．9．(2012·无锡联考)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．10．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．11．已知二次函数f(x)的图像过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；(3)求不等式f(x)≥0的解集．12．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图像是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f (x )的值域．1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12 C.34D ．12．(2013·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．3．(2012·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．答 案 课时跟踪检测(九)A 级1．选C 设f (x )＝x α，因为图像过点⎝⎛⎭⎫4，12，代入解析式得：α＝－12， ∴f (2)＝2－12＝22.2．选D 对A ，定义域、值域均为[0，＋∞)；对B ，定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；对C ，定义域值域均为R ；对D ，定义域为R ，值域为[0，＋∞)．3．选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a . 4．选D 由已知可得二次函数图像关于直线x ＝1对称，又f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．选C 由题意得：a ≠0，x 1＋x 22＝－b 2a ，x 1＋x 2＝－b a .得f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b 2a ＋c ＝c .6．选B 法一：∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，而－m ，m ＋1关于12对称，∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0.法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0，∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0. 7．①②⑤⑥8．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．解析：若m ＝0，显然－1<0恒成立， 若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ<0.∴－4<m <0.故所求范围为：－4<m≤0.答案：(－4,0]10．解：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴－12＋p＋32>0，2p即p2－2p－3<0.∴－1<p<3.又∵f(x)是偶函数且p∈Z，∴p＝1，故f(x)＝x2.11．解：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，得a＝2.即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.(2)f(x)＝2(x－1)2－8，当x∈[0,3]时，由二次函数图像知，f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥3}．12．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图像如图，(3)由图像可知，函数f (x )的值域为(－∞，4]．B 级1．选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.。
幂函数题型归纳
幂函数知识点归纳及题型总结1、幂函数定义：对于形如：，其中为常数.叫做幂函数定义说明：1、定义具有严格性，系数必须是1，底数必须是2、取值是R .3、《考试标准》要求掌握α=1、2、3、½、-1五种情况2、幂函数的图像幂函数的图像是由决定的，可分为五类：1）时图像是竖立的抛物线.例如：2）时图像是一条直线.即3）时图像是横卧的抛物线.例如4）时图像是除去（0,1）的一条直线.即（）5）时图像是双曲线（可能一支）.例如具备规律:①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高）②幂指数互为倒数时，图像关于y=x对称③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像三、幂函数的性质幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。
1、定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解2、奇偶性要结合定义域来讨论3、单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减4、过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1）5、由可知，图像不过第四象限1、幂函数解析式的求法1. 利用定义（1）下列函数是幂函数的是 ______① ② ③ ④ ⑤（2）若幂函数的图像过点，则函数的解析式为______.（3）已知函数是幂函数，求此函数的解析式。
2．利用图象若函数是幂函数，且图像不经过原点，求此函数的解析式。
3．利用性质已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，求此函数的解析式。
2、幂函数的图像及应用1．分布规律幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四必无”来说明（1）、函数的图像是（）（2）右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是（）xOy2．比较大小（1）单调性比较比较与的大小比较与的大小把()－，()，()，()0按从小到大的顺序排列____________________．（2）利用图象比较大小当时，的大小关系是（）A． B．.C． D．3．幂函数的单调性与奇偶性函数在上是（）A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数.C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数4．求参数的取值范围(1)．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x m2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数； (2)反比例函数；(3)二次函数； (4)幂函数？(2)已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围。
幂函数练习题
幂函数练习题幂函数是数学中的一种基本函数形式，它具有形如f(x) = ax^n的特点，其中a和n为常数，且n为整数。
在本文中，我们将通过一系列练习题来加深我们对幂函数的理解和运用。
练习题一：已知幂函数f(x) = 2x^3，求解以下问题：1. 当x取值为2时，求f(x)的值。
2. 求f(x)的定义域和值域。
3. 求f(x)的图像关于y轴的对称中心。
解答：1. 当x取值为2时，代入幂函数的表达式可得：f(2) = 2 * 2^3 = 2 * 8 = 16。
2. 幂函数的定义域为所有实数，因为x可以取任意实数值。
而幂函数的值域为所有非负实数，因为x的幂次可以是负数或零，当x为非负实数时，f(x)也同样为非负实数。
3. 幂函数的图像关于y轴的对称中心为原点(0, 0)，因为当x取相反数时，f(x)取相反数，即f(-x) = -f(x)。
练习题二：已知幂函数f(x) = 4x^(-2)，求解以下问题：1. 当x取值为3时，求f(x)的值。
2. 求f(x)的定义域和值域。
3. 求f(x)的图像关于x轴的对称中心。
解答：1. 当x取值为3时，代入幂函数的表达式可得：f(3) = 4 * 3^(-2) = 4 * (1/9) = 4/9。
2. 幂函数的定义域为所有除零以外的实数，因为在幂函数中，x不能为零。
而幂函数的值域为所有正实数，因为x的幂次为负数，当x 为正数时，f(x)为正实数。
3. 幂函数的图像关于x轴的对称中心不存在，因为幂函数的图像在x轴上不会有对称性。
通过以上练习题，我们对幂函数的性质有了更深入的理解。
幂函数在数学中有广泛的应用，例如在物理学中描述运动的速度、加速度，以及经济学中的成本、利润等。
对幂函数的熟悉和掌握将有助于我们更好地理解和解决实际问题。
幂函数 知识点总结
幂函数知识点总结一、幂函数的基本概念1.1 定义幂函数是指以自变量 x 为底数的常数次幂，形式为 y = ax^n，其中 a 为非零实数，n 为实数。
其中，底数 a 称为幂函数的底数，指数 n 称为幂函数的指数。
1.2 定义域和值域幂函数的定义域为全体实数集 R，即 x 可以取任意实数值；而值域则受底数 a 和指数 n 的影响而不同。
当 n 为正数时，值域为全体正实数集 R^+；当 n 为负数时，值域为正实数集R^+，并且x ≠ 0；当 n 为零时，值域为全体实数集 R。
1.3 奇偶性当指数 n 为偶数时，幂函数关于 y 轴对称；当指数 n 为奇数时，幂函数关于原点对称。
1.4 增减性当指数 n 大于 1 时，幂函数在定义域上是增函数；当指数 n 大于 0 且小于 1 时，幂函数在定义域上是减函数。
二、幂函数图像的特点2.1 当底数 a 大于 1 时当底数 a 大于 1 时，幂函数的值域为正实数集 R^+。
图像呈现出从左下方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐上升并趋近于正无穷的趋势。
2.2 当底数 0 < a < 1 时当底数 0 < a < 1 时，幂函数的值域同样为正实数集 R^+。
图像呈现出从左下方无穷趋近于x 轴，经过原点后逐渐下降并趋近于 0 的趋势。
2.3 当底数 a 小于 0 时当底数 a 小于 0 时，则根据指数 n 的奇偶性和正负性来确定图像的性质。
当指数 n 为正偶数时，图像同样呈现出从左下方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐上升并趋近于正无穷的趋势；当指数 n 为正奇数时，图像同样呈现从左上方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐下降并趋近于负无穷的趋势。
2.4 特殊情况当底数 a 等于 1 时，幂函数的图像表现为一条平行于 x 轴的直线 y = 1；当底数 a 等于 -1 时，根据指数 n 的奇偶性不同，图像分别为一条平行于 x 轴的直线 y = -1 和关于 y 轴对称的抛物线。
高中数学,幂函数知识点及题型
第七节幂函数❖基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1) ❖常用结论对于形如f(x)＝x nm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．考点一幂函数的图象与性质[典例](1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，33)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x23－n n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2[解析](1)设f (x )＝x α，将点(3，33)代入f (x )＝x α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C. (2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x23－n n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.[答案] (1)C (2)B[解题技法] 幂函数y ＝x α的主要性质及解题策略(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．[题组训练]1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( )A ．y ＝x －4 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 函数y ＝x －4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x －1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x 2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y ＝x 13为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．2.[口诀第2、3、4句]已知当x ∈(0,1)时，函数y ＝x p 的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．解析：当p >0时，根据题意知p <1，所以0<p <1；当p ＝0时，函数为y ＝1(x ≠0)，符合题意；当p <0时，函数y ＝x p 的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，p 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)考点二 比较幂值大小[典例] 若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c[解析] 因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . [答案] D[题组训练]1．若a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选B 因为y ＝x 25在第一象限内为增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫3525>c ＝⎝⎛⎭⎫2525，因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x 是减函数，所以c ＝⎝⎛⎭⎫2525>b ＝⎝⎛⎭⎫2535，所以a >c >b . 2．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [课时跟踪检测]1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( )A ．4 B. 2 C ．2 2D ．1解析：选C 设f (x )＝x n ，由条件知f (4)＝2，所以2＝4n ，n ＝12，所以f (x )＝x 12，f (8)＝812＝2 2.2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( )A ．1B ．2 C.12D ．－1解析：选D 由幂函数的性质得k <0，故选D. 3．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．3解析：选A ∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.4．(2018·邢台期末)已知幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x24的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：选A 设幂函数f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴2α＝14，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0. ∴函数g (x )＝f (x )＋x 24＝x －2＋x 24＝1x 2＋x 24≥21x 2·x 24＝1， 当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1. 5．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x 23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3解析：选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|m －1|>0，3m －m 2>0，m ∈Z ，解得m ＝2.6．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：选C 因为a ＝8115，b ＝1615，c ＝1215，由幂函数y ＝x 15在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x <z <yB ．y <x <zC ．y <z <xD ．z <y <x解析：选A 由函数y ＝0.3x 在R 上单调递减，可得y >z .由函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x <z .所以x <z <y .8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选D ∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若m ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，即f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)；当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴2－k ≥1且4－k ≤4，解得0≤k ≤1.9．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则f ⎝⎛⎭⎫19＝________. 解析：设f (x )＝x α，∵f (9)f (3)＝9α3α＝3α＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝⎝⎛⎭⎫19α＝⎝⎛⎭⎫132α＝132α＝122＝14. 答案：1410．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________． 解析：由f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3. 答案：311．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________． 解析：分别作出y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象如图所示，可知h (x )＞g (x )＞f (x )．答案：h (x )＞g (x )＞f (x )12．(2019·银川模拟)已知幂函数f (x )＝x12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，幂函数f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，由f (a＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>10－2a ，a ＋1>0，10－2a >0，解得3<a <5.答案：(3,5)13．已知幂函数f (x )＝x()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解：(1)∵幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，∴2＝2()21－＋m m ，即212＝2()21－＋m m .∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1. (2)由(1)知f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32.。
幂函数练习题及答案
幂函数练习题及答案幂函数是数学中常见的一类函数，其形式为 f(x) = a^x，其中 a 为常数且a ≠ 0。
幂函数在数学中有广泛的应用，涉及到各个领域的问题。
本文将通过一些幂函数的练习题及其答案，来帮助读者更好地理解和掌握幂函数的性质和运算。
1. 练习题一：简单的幂函数求值计算以下幂函数在给定点上的函数值：(a) f(x) = 2^x，当 x = 3；(b) g(x) = (-3)^x，当 x = -2；(c) h(x) = 0.5^x，当 x = 4。
答案：(a) f(3) = 2^3 = 8；(b) g(-2) = (-3)^(-2) = 1/((-3)^2) = 1/9；(c) h(4) = 0.5^4 = 1/2^4 = 1/16。
这些计算可以通过将给定的 x 值代入幂函数的定义中进行求解。
注意负指数的处理方式。
2. 练习题二：幂函数的图像与性质研究以下幂函数的图像，并回答相应问题：(a) f(x) = 2^x；(b) g(x) = (-2)^x；(c) h(x) = 3^x。
答案：(a) f(x) = 2^x 的图像是一条递增曲线，穿过点 (0, 1)。
当 x 取负值时，函数值逐渐趋近于 0，当 x 取正值时，函数值逐渐增大。
(b) g(x) = (-2)^x 的图像是一条交替变化的曲线。
当 x 为偶数时，函数值为正，当 x 为奇数时，函数值为负。
(c) h(x) = 3^x 的图像是一条递增曲线，穿过点 (0, 1)。
函数值随 x 的增大而迅速增大。
通过观察这些幂函数的图像，我们可以发现幂函数的一些共同性质，如递增或递减性、穿过点 (0, 1)、趋近于 0 等。
3. 练习题三：幂函数的运算计算以下幂函数的运算结果：(a) f(x) = 2^x * 2^3；(b) g(x) = (2^x)^3；(c) h(x) = 2^(x+3)。
答案：(a) f(x) = 2^x * 2^3 = 2^(x+3)；(b) g(x) = (2^x)^3 = 2^(3x)；(c) h(x) = 2^(x+3) = 2^x * 2^3。
高考数学复习知识点讲解与练习9 幂函数
高考数学复习知识点讲解与练习专题9 幂函数[基础强化]一、选择题1．下列函数既是偶函数又是幂函数的是() A ．y ＝x B ．y ＝x 23 C ．y ＝x 12 D ．y ＝|x | 【解析】B2．若f (x )是幂函数，且满足f （4）f （2）＝4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于()A ．4B ．－4C ．14D ．－14 【解析】C设f(x)＝x α，则f （4）f （2）＝4α2α ＝4，∴2α＝4，∴α＝2，∴f(x)＝x 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2＝14 .3．已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f (33)，b ＝f (π)，c ＝f (22)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．b <a <c 【解析】A由题意知，点(m ，8)在幂函数f(x)＝(m －1)x n 的图象上，所以m －1＝1， 8＝(m －1)·m n ，则m ＝2，n ＝3.即f(x)＝x 3，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又33 <22 <1<π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33 <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 <f(π)，即a<c<b.4．若幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15，则f (21－log 23)为() A ．13 B ．12 C ．32 D ．－1 【解析】C∵幂函数y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15 ，∴可设f(x)＝x α， ∴5α＝15 ，解得α＝－1， ∴f(x)＝x －1. ∴f(21－log 23)＝f(2log 223)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 －1＝32 ，故选C .5．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是() A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【解析】D设幂函数的解析式为f(x)＝x α，将(3， 3 )代入解析式得3α＝ 3 ，解得α＝12 ，∴f(x)＝x 12.∴f(x)为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选D .6．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为()A ．m ＝2B ．m ＝－1C ．m ＝－1或m ＝2D ．m ≠1±52 【解析】A因为函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎨⎧m 2－m －1＝1，－5m －3<0， 解得m ＝2.7．设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )() A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 【解析】A∵f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f(－x)＝－x(e －x ＋e x )＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又当x>0时，f′(x)＝e x ＋e －x ＋(e x －e －x )x>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故选A .8．(多选)已知实数a ，b 满足a 12＝b 13，则下列关系式中可能成立的是() A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<a <b D ．1<b <a 【解析】AC .AC由题可知a，b∈[0，＋∞)，设a 12 ＝b13 ＝m，则m≥0，画出y＝x12 与y＝x 13 在[0，＋∞)上的图象如图．由图可知，当m＝0或m＝1时，a＝b；当0<m<1时，0<b<a<1；当m>1时，1<a<b.故选AC.9．(多选)已知函数f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足f（x1）－f（x2）x1－x2>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有()A.a＋b>0，ab<0 B．a＋b<0，ab>0C．a＋b<0，ab<0 D．以上都可能【解析】BC由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝1x3；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x).结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab<0(0<b<－a)，故BC都有可能成立．二、填空题10．已知a∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则a＝________.【解析】－111．已知幂函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈N *)满足f (2)<f (3)，则f (x )的解析式为________．【解析】f (x )＝x 2幂函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈N *)满足f (2)<f (3)，故－k 2＋k ＋2>0，∴－1<k <2，又k ∈N *，∴k ＝1，f (x )＝x 2.12．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为________．【解析】1解析：由已知得m 2－4m ＋4＝1， 即m 2－4m ＋3＝0， 解得m ＝1或3.当m ＝1时，f (x )＝x 3，符合题意； 当m ＝3时，f (x )＝x －1，不符合题意．故m ＝1.[能力提升]13．幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，则a －1b ＝()A ．0B ．1C ．12D ．2 【解析】A因为BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M (13，23)，N (23，13)，分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0.14．(多选)[2023·重庆开州区质量检测]已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的有()A ．函数f (x )为增函数B ．函数f (x )为偶函数C ．若x ＞1，则f (x )＞1D ．若0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 【解析】ACD将点(4，2)的坐标代入函数f (x )＝x α中得2＝4α，则α＝12，所以f (x )＝x 12. 显然f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A 正确．f (x )的定义域为[0，＋∞)，所以f (x )不具有奇偶性，所以B 不正确． 当x ＞1时，x ＞1，即f (x )＞1，所以C 正确． f (x )＝x 12≥0，若0＜x 1＜x 2， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x 1）＋f （x 2）22－⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝⎛⎭⎪⎫ x 1＋x 222＝x 1＋x 2＋2x 1x 24－x 1＋x 22＝2x 1x 2－x 1－x 24＝－（x 1－x 2）24＜0，即f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立，所以D 正确．故选ACD.15．右图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为()A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2，2，12 D ．2，12，－2，－12 【解析】B当x ＝2，n 取2，－2，12，－12四个值时，依次对应的函数值为4，14，2，22，因此有C 1，C 2，C 3，C 4对应的n 值分别为2，12，－12，－2.16．若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，则实数a 的取值范围是________ 【解析】(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32解析：不等式(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a 解得：23<a <32或a <－1.。
高中 幂函数与二次函数知识点+例题+练习 含答案
教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞最值当x＝－b2a时，y有最小值y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y有最大值y max＝4ac－b24a辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )2．对二次函数的理解(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )(5)(教材习题改编)函数f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则log4f(2)的值为________．(2)函数y＝13x的图象是________．规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．教学效果分析教学过程1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论答题模板第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．教学效果分析。
(完整版)高一数学幂函数题型复习总结,推荐文档
知识点一、幂的运算法则
初中知识点：（1） am an
（2） am n
指数幂与根式的互化： n am
1
练习： x3
例：计算
5 x2
am an
am bm
1 n am
x
2 3
an
1 4 x3
练习：
1
知识点二、幂函数图象
画图注意事项 1 定义域：偶次方根被开方数 0 ，奇次方根被开方数 R ，分母 0 . 2 奇偶性：判断 f (x) 与 f (x) 相等？相反数？ 3 闲着描描点！极限情况靠想象！快快慢慢！增增减减！秒悟！ 1、初级练场：常见幂函数图象：
1
（8） y x 4
3
（9） y x 2
总结：横看成岭侧成峰！
3
（1） （2）
4
5
3
3
2
练习：画函数图象 y x 3 ， y x 2 ， y x 5 ， y x 4 ， y x 5
知识点三、幂函数图象性质的应用
1、幂函数的定义
4
2、幂函数的图像
3、幂函数比较大小
1
1
例 1、（1）1.52
3、 4、比较大小 5、
7
“
”
“
”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
幂函数知识点及题型归纳总结
幂函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、幂函数的定义一般地，函数()y x R αα=∈叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量x .二、幂函数的图像幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点. 当11,2,3,,12α=-时，在同一坐标系内的函数图像如图2-18所示.三、幂函数的性质当0α>时，幂函数y x α=在(0,)+∞上是增函数，当1α>时，函数图像是向下凸的；当01α<<时，图像是向上凸的，恒过点(0,0)(1,1)和；当0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上是减函数.幂函数y x α=的图像恒过点(1,1).题型归纳及思路提示题型1 幂函数的定义及其图像思路提示确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.例2.68函数2223()(1)a a f x a a x --=--为幂函数（a 为常数），且在(0,)+∞上是减函数，则a =______. 分析根据幂函数的定义及单调性求解a .解析依题意，得2211230a a a a ⎧--=⎪⎨--<⎪⎩，解得2a =. 变式1 函数32204(42)(1)y mx x m x mx -=++++-+的定义域为R ，求实数m 的取值范围.变式2 幂函数()y f x =的图像经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是______.. 变式3 设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=为奇函数且定义域为R 的所有α的值为（ ） .1,3A .1,1B - .1,3C - .1,1,3D -题型2 幂函数性质的综合应用思路提示紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.例2.69已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上是减函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求满足33(1)(32)mma a --+<-的a 的取值范围.分析利用函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数且为偶函数求m ，从而得到()f x 的解析式.解析（1）因为幂函数在区间(0,)+∞上是减函数，所以2230m m --<得 13,m m Z -<<∈又，当0m =时，2233m m --=-；当1m =时，2234m m --=-；当2m =时，2233m m --=-.又因为()f x 为偶函数，所以4()f x x -=.（2）由1m =得1133(1)(32)a a --+<-. 即113311132a a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭又13y x =在R 上单调递增，故11132a a <+-，整理得 (1)(32)(23)0a a a +--<，解得23132a a <-<<或，如图所示.故a 的取值范围为23(,1)(,)32-∞-. 评注突破点为由单调性得m 的取值范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化.分类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏.变式1 已知函数2()f x x =，设函数[]()()(21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使()g x 在区间(],4-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由.最有效训练题1.下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是增函数的是（ ）43.A y x =32.B y x = 2.C y x -= 14.D y x = 2.幂函数2232()m m y x m Z --=∈的图像如图2-20所示，则m 的值为（ ）.1A .2B .3C.4D3.幂函数()f x 的图像经过点11(,)42A ，则它在点A 处的切线方程为（ ） .4410A x y ++= .4410B x y -+= .20C x y -=.20D x y += 4.若幂函数()f x 的图像经过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭则其定义域为（ ）{}.,0A x x R x ∈> {}.,0B x x R x ∈< {}.,0C x x R x ∈≠ .D R 5.设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） .Aa c b >>.B a b c >> .C c a b >> .Db c a >> 6.设1112,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，则使y x α=为奇函数且在(0,)+∞上单调递减的α值的个数为（ ） .1A .2B .3C .4D7.已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2)，则(8)f 的值为_______.8.已知幂函数265()()m m f x x m Z -+=∈为奇函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，则()f x 的解析式为32 231- 图 2-19_______.9.已知函数12()f x x =，且(21)(3)f x f x -<，则x 的取值范围是_______.10.设函数()1()f x x Q αα=+∈的定义域为[][],,b a a b --，其中0a b <<，若函数()f x 在区间[],a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在[],b a --上的最大值与最小值的和为_______.11.已知函数12()f x x =，给出下列命题：①若1()1x f x >>则；②若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-；③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；④若120x x <<，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭. 其中，所有正确命题的序号是_______.12.点在幂函数()f x 的图像上，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图像上，问当x 为何值时有： (1)()()(2)()()(3)()()f xg x f x g x f x g x >=<。
幂函数知识点总结及练习题
幂函数（1）幂函数的定义： 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qpy x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．幂函数练习题一、选择题：1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ）A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x =-142．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41B ．1-C ．4D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=xy C ．32x y = D ．13-=x y 4．函数34x y =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．下列命题中准确的是 （ ） A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数8．如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<1α3α4α2α二、填空题：. 1．函数y x =-32的定义域是 .2．1()()f x f x -幂函数的图象过点（，则的解析式是.3．942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .4．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是 .三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 1．比较下列各组中两个值大小 （1）060720880896116115353..(.)(.).与；（）与--2．求证：幂函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数.3．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）巩固训练 一、选择题1．已知集合{}{}2,2,1==N M ，则N M 等于（ ） A ．{}2,1 B ．{}1 C ．{}2 D ．22．下列函数中，值域是()+∞,0的函数是（ ） A ．3x y = B ．4x y = C ．2-=x y D ．31-=xy3．函数11-=x y 的定义域是（ ） A ．()+∞,1 B ．[)+∞,1 C ．()1,∞- D ． ()()+∞∞-,11, 4．二次函数12+-=x y 的单调递减区间是（ ）A ．(]0,∞-B ．[)+∞,1C ．(]1,-∞-D ．[)+∞,0 5．函数3)(x x f -=的图象（ ）A ．关于直线x y =对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y 轴对称 6．幂函数)(Q n x y n∈=的图象一定经过点（ ）A ．()0,0B ．()1,1C ．()1,1--D ．()1,0 7．已知{}512,>-==x x A R I ，则A =（ ）A ．{}3≤x xB ．{}2-≥x xC ．{}32≤≤-xD ．{}32≤≤-x x 8．若一元二次不等式0122<--px x 的解集是{}q x x <<-2，则p 的值是（ ） A ．不能确定 B ．4 C ．－4 D ．８ 10．函数)1(1≥--=x x y 的反函数是（ ） A ．)(12R x x y ∈+= B ．)0(12>+=x x y C ．)0(12≤+=x x y D ．)0(12≤+-=x x y11．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在[)+∞,0上单调递减，则（ ） A ．)10()()3(f f f <-<-π B ．)3()()10(-<-<f f f π C ．)10()3()(f f f <-<-π D ．)()3()10(π-<-<f f f 12．已知点()1,2+-b b a 与()b a 2,2+-关于直线x y =对称，则这两点之间的距离是（ ）A ．不能确定B ．314C ．213D ．21713．若不等式012<--kx kx 的解集是R ，则k 的取值范围是（ ） A ．04<<-k B ．04≤<-k C ．4-<k 或0>k D ．4-<k 或0≥k 14．已知)(x f 是奇函数，当0>x 时，其解析式1)(3++=x x x f ，则当0<x 时，)(x f 的解析式是（ ）A ．13-+x x B ．13---x x C ．13+-x x D ．13+--x x 二、填空题15．设函数)(x f 的定义域是{}10≤≤x x ，则)12(-x f 的定义域是___________ 18．已知幂函数)(x f 的图象经过()2,2 ，则)9(f =___________19．已知函数m x x f a+=)(的图象经过点()3,1 ，又其反函数图象经过点()2,10，则)(x f 的解析式为___________20．已知奇函数)(x f 在区间[]5,2上是减函数，且最小值为5-，则)(x f 在区间[]2,5--上的最大值是___________ 21．满足条件{}{}3,2,12,1⊆⊆M 的集合M的个数是___________个.22．函数x y --=11的反函数的值域是___________ 三、解答题23．已知{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=≤--=2,0822m m x x B x x x A ，若φ=B A ，求m 的取值范围。
幂函数考点和题型归纳
幂函数考点和题型归纳一、基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、常用结论对于形如f(x)＝x nm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．考点一 幂函数的图象与性质[典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23－n n(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2[解析] (1)设f (x )＝x α，将点(3，33)代入f (x )＝x α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x23－n n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1，又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1. [答案] (1)C (2)B[解题技法] 幂函数y ＝x α的主要性质及解题策略(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．[题组训练]1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( ) A ．y ＝x －4 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 函数y ＝x －4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x －1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x 2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y ＝x 13为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．2.[口诀第2、3、4句]已知当x ∈(0,1)时，函数y ＝x p 的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．解析：当p >0时，根据题意知p <1，所以0<p <1；当p ＝0时，函数为y ＝1(x ≠0)，符合题意；当p <0时，函数y ＝x p 的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，p 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)考点二 比较幂值大小[典例] 若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c[解析] 因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . [答案] D[题组训练]1．若a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选B 因为y ＝x 25在第一象限内为增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫3525>c ＝⎝⎛⎭⎫2525，因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x是减函数，所以c ＝⎝⎛⎭⎫2525>b ＝⎝⎛⎭⎫2535，所以a >c >b .2．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [课时跟踪检测]1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( ) A ．4 B.2 C ．22D ．1解析：选C 设f (x )＝x n ，由条件知f (4)＝2，所以2＝4n ，n ＝12，所以f (x )＝x 12，f (8)＝812＝2 2.2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( ) A ．1 B ．2 C.12D ．－1解析：选D 由幂函数的性质得k <0，故选D. 3．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3解析：选A ∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.4．(2018·邢台期末)已知幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选A 设幂函数f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴2α＝14，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0. ∴函数g (x )＝f (x )＋x 24＝x －2＋x 24＝1x 2＋x 24≥21x 2·x 24＝1， 当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1. 5．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x 23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3解析：选C由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|m －1|>0，3m －m 2>0，m ∈Z ，解得m ＝2.6．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <aD ．c <a <b解析：选C 因为a ＝8115，b ＝1615，c ＝1215，由幂函数y ＝x 15在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．x <z <y B ．y <x <z C ．y <z <xD ．z <y <x解析：选A 由函数y ＝0.3x 在R 上单调递减，可得y >z .由函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x <z .所以x <z <y .8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选D ∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若m ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，即f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)；当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴2－k ≥1且4－k ≤4，解得0≤k ≤1.9．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则f ⎝⎛⎭⎫19＝________. 解析：设f (x )＝x α，∵f (9)f (3)＝9α3α＝3α＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝⎝⎛⎭⎫19α＝⎝⎛⎭⎫132α＝132α＝122＝14. 答案：1410．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________．解析：由f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.答案：311．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．解析：分别作出y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象如图所示，可知h (x )＞g (x )＞f (x )．答案：h (x )＞g (x )＞f (x )12．(2019·银川模拟)已知幂函数f (x )＝x 12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，幂函数f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>10－2a ，a ＋1>0，10－2a >0，解得3<a <5.答案：(3,5)13．已知幂函数f (x )＝x ()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解：(1)∵幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2()21－＋m m ，即212＝2()21－＋m m .∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1. (2)由(1)知f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32.。
高一数学知识点幂函数知识点总结
高一数学知识点幂函数知识点总结幂函数是数学中的一种基本函数形式，它的形式为f(x) = x^a，其中a为常数。
在高一数学中，学习幂函数是非常重要的一部分，本文将对高一数学知识点中的幂函数进行总结和归纳。
一、幂函数的定义和性质幂函数可用 y = x^a 表示，其中a为常数。
以下是幂函数的一些基本性质：1. 自变量的取值范围：幂函数的自变量x可以是任意实数。
当a为正偶数时，幂函数定义域为正实数集；当a为负偶数时，幂函数定义域为负实数集；当a为奇数时，幂函数的定义域为全体实数集。
2. 定义域和值域：因为幂函数的定义域为全体实数集，所以其值域也是全体实数集。
3. 奇偶性：当a为正偶数时，幂函数是偶函数；当a为负偶数时，幂函数是奇函数；当a为奇数时，幂函数既不是偶函数也不是奇函数。
4. 单调性：若a>0，则幂函数在定义域上是递增函数；若a<0，则幂函数在定义域上是递减函数。
5. 图像特点：幂函数的图像一般存在一个不可见的特殊点(0,0)，当a>0时，图像在第一象限中单调递增，通过点(1,1)；当a<0时，图像在第四象限中单调递增，通过点(1,1)；当a为负偶数时，图像经过点(-1,1)。
二、幂函数的图像与变换1. 幂函数的基本图像：以y = x^2为例，当x取非负实数时，幂函数是递增曲线，在定义域上图像呈现开口向上的抛物线；当x取负实数时，幂函数的图像和x轴关于y轴对称。
2. 幂函数的图像平移：对于幂函数y = x^a，其中a为常数，在x轴向右平移c个单位长度的函数为y = (x-c)^a，表示为：f(x) --> f(x+c)。
3. 幂函数的图像伸缩：对于幂函数y = x^a，其中a为正常数，可以进行垂直方向的伸缩，即在y轴方向上缩放一定倍数。
若倍数k > 1，函数为y = kx^a；若0 < k < 1，函数为y = kx^a。
三、幂函数与指数函数的关系指数函数与幂函数是密切相关的，两者具有相似的性质。
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幕函数①图象分布：幕函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象•幕函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限②过定点：所有的幕函数在（0,）都有定义，并且图象都通过点（1,1）•③单调性：如果0，则幕函数的图象过原点，并且在[0,）上为增函数•如果0, 则幕函数的图象在（0,）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴.④奇偶性：当为奇数时，幕函数为奇函数，当为偶数时，幕函数为偶函数.当q（其Pq中p, q互质，p和q Z ），若p为奇数q为奇数时，则y x p是奇函数，若p为奇数q为q q偶数时，则y x p是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y x p是非奇非偶函数.⑤图象特征：幕函数y x ,x （0,），当1时，若0x1,其图象在直线y x下方，若x 1，其图象在直线y x上方，当1时，若0x1,其图象在直线y x上方，若x 1，其图象在直线y x下方.、选择题:幕函数练习题F列函数中既是偶函数又是,0)上是增函数的是A.4 3x3B . y x2 C. y x 2 D. y2. 函数y x 2在区间【1,2］上的最大值是A. B . 1 C . 4 D3.4F列所给出的函数中，是幕函数的是A.4. 函数( )( )x3 15. F列命题中正确的是A. 0时函数y x 的图象是一条直线B.幕函数的图象都经过( 0, 0)和(1 , 占八、、C. 若幕函数y x是奇函数，则y xD.6.A.幕函数的图象不可能出现在第四象限1x3图象满足.关于x轴对称函数y x3和y关于原点对称 B函数y x | x |,x R，满足A.C.是奇函数又是减函数是奇函数又是增函数是定义域上的增函数( ).关于y轴对称.是偶函数又是增函数D.是偶函数又是减函数.关于直线y x对称A . 13 04 2B. 0 1 2 3 4C 2 4 0 3 1D 3 2 0 4 1&如图1 —9所示，幕函数y11112.求证：幕函数y3x在R上为奇函数且为增函数(1) y3x2; (2) y1x3；二、填空题：•31函数y x 2的定义域是_______________ •2. _____________________________________________________________ 幕函数f(x)的图象过点(3,4 27)，则f 1(x)的解析式是 ____________________ •3. y x‘4a 9是偶函数，且在(0,)是减函数，则整数a的值是4. 函数y ____________________________ .x22x 24的单调递减区间是•三、解答题：解答应写出文字说明•证明过程或演算步骤1 •比较下列各组中两个值大小6 6 5 5(1) 0.617与0.711；( 2) ( 0.88户与(0.89)\3. 下面六个幕函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系巩固训练一、选择题1.已知集合1,2 ,N 2，则M N等于(A. 1,22•下列函数中，值域是0, 的函数是( A. y3•函数1的定义域是x 1A. 1, • 1, ,1,1 1, 4 •二次函数1的单调递减区间是(A . ,• 1, 0, 35 •函数f(x) x的图象(A.关于直线y x对称B •关于x轴对称C 关于原点对称 D •关于y轴对称A. 0,0 B • 1,1 C 1, 1 D7 . 已知R, A x2x 1 5，则A=( )A. x x 3 B xx 2 C . 2x3 6•幕函数y x n(n Q)的图象一定经过点( ) &若一兀二次不等式x20, 1A.不能确定px 12 0的解集是x 2 xB . 4C . —410 .函数y x 1(x 1)的反函数是(q，则p的值是(2A. y x 1( x R) 2B . y x 1( x 0)c. y x21(x 0) 2D . y x 1(x 0),上单调递减，则(A. f( 3) f() f(.10) BC. f() f( 3) f(.10) D11 .已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在12 .已知点fc 10) f( ) f( 3) fC 10) f( 3) f ()2a b,b 1 与2, a 2b关于直线y x对称，则这两点之间的距离是( )A.不能确定 B ,314 C 13、2 17 .213.若不等式kx 2kx 1 15•设函数f (X )的定义域是 x0 1 ,则f(2x 1)的定义域是 ___________________18•已知幕函数 f(x)的图象经过 2,，贝H f (9)= _________a19.已知函数f(x) x m 的图象经过点1,3 ，又其反函数图象经过点10,2，则f (x)的解析式为 ______________20•已知奇函数f(x)在区间2,5上是减函数，且最小值为5，则f (x)在区间 5, 2上的最大值是 ______________21 . 满 足 个•条件 1,2M 1,2,3的集合M 的个数22.函数y1 4 1 x 的反函数的值域是三、 解答题23. 已知Axx 22x 8 0,B xx mm—，若AB，求m 的取值范围。
121 "_24.已知函数f(X )— x 。
⑴求函数f (x)的定义域;x⑵利用定义证明函数 f (x)在定义域上是减函数。
A .4 k 0 B .4 k 0 C .k 4 或 k 0 D . k4或k 0 14.已知f (x)是奇函数， 当x0 时，其解析式 f(x) 3x x 1，则当x0 时，f (x)的解析式是()A. x 3x 1 B .3x x1C .3x x 1D .x 3x 1的解集是R ，则k 的取值范围是()、填空题26.已知偶函数f(x)在0,上是增函数，求不等式 f (2x 5) f (x22)的解集。
幕函数练习题一、选择题1 •下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()1 1 5 2A. y x3B. y x2C . y x3D. y x32•以下关于函数y x a当a= 0时的图象的说法正确的是()A. —条直线B .一条射线 C .除点(0,1)以外的一条直线 D .以上皆错3. 已知幕函数f (x)的图象经过点(2 , #)，则f(4)的值为()1 1A. 16B. 16C. 2 D . 24. 下列结论中，正确的是()①幕函数的图象不可能在第四象限②a= 0时，幕函数y = x a的图象过点(1,1)和(0,0)③幕函数y = x a，当a>0时是增函数④幕函数y =, x a当a<0时，在第一象限内，随x的增大而减小A.①② B .③④ C .②③ D .①④5. 在函数y = 2x3, y = x2, y = x2+ x, y= x0中，幕函数有()A. 1个 B . 2个C . 3个 D. 4个6. 幕函数f (x) = x a满足X>1时f(x) >1 ,则a满足条件()A. a>1 B . 0 V a V 1 C . a >0 D . a >0 且a M 12 3 17. 幕函数y = (m i + m- 5)x"广;的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为()A. 2 或一3 B . 2 C . —3 D. 0n取土2,±2四个值，则相应于c.2,2 , 21 1B 2，2,—2,—21 1D.2, 2,—2,- 2&函数y= x n在第一象限内的图象如下图所示，已知:9. 若a<0,则0.5 a、5a、5—a的大小关系是()1 1A.-2,—，2，2—aa.a _ a.a — a _ - a —a a _ a — a -A. 5 <5 <0.5B. 5 <0.5 <5C. 0.5 <5 <5D. 5 <5 <0.5一 a 110. 在同一坐标系内，函数y= x ( a* 0)和y = ax—一的图象可能是()a•填空题11•函数f(x) = (1 —X)0+ (1 x)2的定义域为_____________ .2•已知幕函数y =f(x)的图象经过点(2 , 72)，那么这个幕函数的解析式为_____________________1 13.若(a 1)3(2 a 2)3，则实数a的取值范围是_____________________ .三、解答题21.已知函数f(x) = (m i+ 2m) • x m m 1, m为何值时，f (x)是(1) 正比例函数；(2) 反比例函数；⑶二次函数；⑷幕函数.2.函数f (x) = (m i —m- 5) x m 1是幕函数，且当x€ (0 ,+^ )时，f(x)是增函数，试确定m的值.幕函数练习题答案m= 1.m= 3. 选择题 DCCDB ABBBC1.填空题 1. ( —g,1) 2. y 3. (3 ,+s ) .解答题1.［解析］(1)若f (X )为正比例函数，则 2 丄 丄m + n — 1 = 1,2 m + 2m 25 0(2)若f (x )为反比例函数，贝U2 ▲厶m + n — 1 = — 1,2 ? m=— 1.m + 2m^ 0(3) 若f (x )为二次函数，则m + m- 1= 2, — 1 +J732 c c ? m= y —m + 2m 5 0 2⑷若 f (x )为幕函数，则 m + 2m= 1,「. m=— 1 ±^2. 2.解：根据幕函数的定义得： m — m- 5 = 1, ' 解得m= 3或m=— 2,当m= 3时，f (x ) = x 2在(0，+g )上是增函数； 当m= — 2时，f (x ) = x —3在(0，+g )上是减函数，不符合要求.故。