第二十九讲等比数列

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4.等比数列的判定方法 (1)定义法:
列.
等比数列.
an 1 (q是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数 q an
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an} 是等比数列.
(2)若a1>0,0<q<1或a1<0,q>1,则数列{an}是递减数列. (3)若q=1,则数列{an}是常数列. (4)若q<0,则数列{an}是摆动数列且各项的正负号间隔.
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2.等比数列的简单性质 已知等比数列{an}的前n项和为Sn.
(1)数列{c•an}(c≠0),{|an|},{an•bn}({bn}也是等比数列),{a2n},{ 1 }等也是等比数列 . an (2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,„仍是等比数列.
n 112(q 2), n 378( q 3).
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解法二:利用求和公式. 如果公比q=1,则由于a1+a2+„+an=2,可知an+1+„+a3n=4,与
已知不符,
∴q≠1.由求和公式,得
a1 (1 q n ) 2, 1 q
①
又
式②除以式①得qn(1+qn)=6, ∴q2n+qn=6.解得qn=2,或qn=-3.
第二十九讲等比数列
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1.等比数列的定义及等比中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同
一常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比
数列的公比,通常用字母q表示. (2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等比数列中
可能等于1,则需分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
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【典例4】设正项等比数列{an}的首项a1= 且210S30-(210+1)S20+S10=0.
定q≠1,否则不可断定用q≠1时的公式.
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类型四
等比数列前n项和及其性质
解题准备:1.等比数列的前n项和公式:
na1 Sn a1 (1 q n ) a1 an q 1 q 1 q
(q 1), (q 1).
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2.等比数列的前n项和公式中涉及的基本量有a1,q,an,n,Sn.使 用公式时,必须弄清公比q是可能等于1还是不等于1.如果q
解题准备:证明一个数列是等比数列的主要方法有两种:一是
利用等比数列的定义,即证明
利用等比中项法,即证明a2n+1=anan+2≠0(n∈N*).在解题中, 要注意根据欲证明的问题,对给出的条件式进行合理地变
形整理,构造出符合等比数列定义式的形式,从而证明结论.
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【典例1】数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,„),求证:
am,an,ap,aq的关系为am·an=aLeabharlann Baidu·aq,如果a、G、b成等比
数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G=± ab (ab>0).
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2.等比数列的通项公式及前n项和公式 等比数列的通项公式为an=a1·qn-1(a1≠0,q≠0);其前n项和公
式为:
na1 (q 1) S n a1 (1 q n ) a1 an q . 1 q 或 1 q (q 1)
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解析 : 设 a n 公比为q, 1 1 a 2 2, a 5 a 2 q , q . 4 2
3
1 b n a n a n 1 ,b n 是首项为8, 公比为 的等比数列. 4 1 8[1 ] 32 4 Sn 1 4 n . 1 3 1 4
a1q n (1 q 2 n ) ② 12, 1 q
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a1q 3n (1 q 3n ) 又再后3n项的和S ③式③除以式① 1 q S 得 q 3n 1 q n q 2n , 2 n 112 ( q 2), 3n S 14q n 378 ( q 3).
第二项起成等差数列. 答案:D
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2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
a2 a3 a1q a2 q 6 q 2, 又 a1 a2 a1 a2 3
C.128 D.243
解析:∵{an}是等比数列,∴ 答案:A
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Sn 1 Sn 1 4 2 由1 知 n≥2 . n 1 n 1 Sn 1 于是Sn 1 4 n 1 4a n n≥2 . n 1 又a 2 3S1 3, 故S2 a1 a 2 4. 因此对于任意正整数n 1, 都有Sn 1 4a n .
a1 a1 nn-k(k= (4)前n项和公式法:Sn= q q =kq q 1 1 数,且q≠0,q≠1)⇔{an}是等比数列.
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a1 是常 q 1
考点陪练
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1.已知数列的前n项和为Sn=an-2(a是不为0的实数),那么数列 {an}( )
A.是等比数列
an.
求解本题时,有两个易错点:一是不判断q≠1而直接利用公式
a1 (1 q n ) Sn= 1 q
;二是不借助a1>0导出q>1,进而判断数列
{an}的单调性得出最大项为an,而是想当然地认为an为最大 项.
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类型三
等比数列性质的应用
解题准备:1.等比数列的单调性
(1)若a1>0,q>1或a1<0,0<q<1,则数列{an}是递增数列.
(3)若m+n=p+q,则am•an=ap•aq, 特别地,若m+n=2p,则am•an=a2p.
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(4)a1an=a2an-1=„=aman-m+1. (5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m.„仍是等比数列(此时{an}的公比
q≠-1).
(6)当n是偶数时,S偶=S奇·q. 当n是奇数时,S奇=a1+S偶·q.
B.当a≠1时是等比数列 C.从第二项起成等比数列 D.从第二项起成等比数列或成等差数列
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解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当
a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从
(4)等比数列中连续n项之积构成的新数列仍然是等比数列.
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(5)若数列{an}与{bn}均为等比数列,则{m·an·bn}与 为等比数列,其中m是不为零的常数.
man b仍 n
(6)当q≠0,q≠1时,Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要
条件,这时
a1 k . 1 q
答案:B
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5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )
A.2
C.4
B.3
D.8
解析:依题意得 答案:A
a2010 =q3=8,q=2,选A. a2007
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类型一
等比数列的判断与证明
an 1 =q(q≠0,n∈N*),二是 an
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3.与等比数列有关的结论 (1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序
排列,构成的新数列仍然是等比数列.
(2)若{an}是等比数列,则{λan}､{|an|}皆为等比数列,公比分别 为q和|q|(λ为非零常数). (3)一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比 是原公比的k次幂.
n 3n+1+a3n+2+„+a4n),„也成等比数列,其公比为q ,于是,问题
转化为已知:
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A1=2,A1qn+A1q2n=12,要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值. 由A1=2,A1qn+A1q2n=12,
得q2n+qn-6=0,则qn=2,或qn=-3.
故A1q3n+A1q4n+A1q5n =A1q3n(1+qn+q2n)=2·q3n·7=14·q3n
∵a1+a1q=3,∴a1=1,a7=a1q6=1×26=64.
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1 3.已知a n 是等比数列, a 2 2, a 5 , 则a1a 2 a 2a 3 4 a n a n 1等于( ) A.16 1 4 n B.16 1 2 n 32 C. 1 4 n 3 32 D. 1 2 n 3
[解]设数列的公比为q,由Sn 80,S2n 6560, 得q 1, 否则S2n 2Sn . a1 (1 q n ) 80, 1 q 2n a (1 q ) 1 6560. 1 q ① 得q n 81. ②
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① ②
a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余
两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
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【典例2】设数列{an}为等比数列,且a1>0,它的前n项和为80, 且其中数值最大的项为54,前2n项的和为6560.求此数列的 通项公式.
n2 n
(1)数列{
Sn n
}是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
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n2 [证明] 1 a n 1 Sn 1 Sn , a n 1 Sn . n n 2 Sn n Sn 1 Sn .整理得nSn 1 2 n 1 Sn , 所以 S n 1 2 S n . n 1 n Sn 故 是以2为公比的等比数列. n
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[反思感悟]由已知条件,根据前n项和公式列出关于首项a1和 公比q及n的两个方程,应能解出a1和q关于n的表达式,这样
可能较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思路,问
题就会变得简单,也可采用等比数列的性质使问题简化.解 法一利用等比数列的性质;解法二利用求和公式,但需先确
答案:C
n
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4.(2010·辽宁)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a42,3S2=a3-2,则公比q=( )
A.3
C.5
B.4
D.6
3S3 a4 2① 解析 : , ① ②得 : 3a 3 a 4 a 3 , 4a 3 a 4 , 3S 2 a3 2② a4 q 4. a3
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[反思感悟](1)等比数列从第2项起,每一项(有穷等比数列的末 项除外)是它的前一项与后一项的等比中项;反之也正确.
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互
为相反数.
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类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有
将qn=81代入①得,a1=q-1.③ 又∵a1>0,∴q>1.∴数列{an}是递增数列.
从而,a1qn-1=54,
∴a1qn=54q,∴81a1=54q.④ ③④联立,解得q=3,a1=2. ∴an=a1qn-1=2×3n-1.
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[反思感悟]因为前n项和与前2n项和已知,这为建立方程提供 了条件,由此可求得首项a1与公比q之间的关系,进而确定
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【典例3】已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为12, 求再后面3n项的和.
[解]解法一:利用等比数列的性质.
由已知a1+a2+„+an=2, an+1+an+2+„+a2n+a2n+1+a2n+2+„+a3n=12. 注意到 (a1+a2+„+an),(an+1+an+2+„+a2n),(a2n+1+a2n+2+„+a3n),(a