第二十九讲等比数列
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等比数列概念PPT课件
(2)1, 2, 4, 8, 12,16,20, … ×
(3)数列｛an｝的通项公式为
an=3n/2, (n∈N*) √
q=3
(4)1，1，1，… ，1
√ q=1
(5)a，a，a，…，a
不一定，当a≠0时是等比数列,当a=0时非等比数列。
8
自主学习（5分钟左右）
时间：5分钟 要求：1、保持安静，独立思考
8组B
1组B PK 书面
3组B
黑板 黑板
要求： （1）一分钟准备，展示同
学迅速展示工整简练。（可 两人合作） （2）其他同学：在A层同学 带领下，继续站立讨论剩余 题目。完成的小组迅速坐下 记忆公式。 （3）分层目标：Ａ层把握 做题思想，总结做题方法； Ｂ层熟记公式与运算。
精彩点评
内容 展示 方式 点评
方法1：利用通项公式
设等比数列第1项为a1，公比为q，则
a q 18
a
1 1
q
3
18
q2
18 8
9 4
, q
3 2
（1）若q 3，则a a q 8 3 12
2
3
2
2
（2）若q 3，则a a q 8（ 3） 12
2
Байду номын сангаас
3
2
2
22
方法2：利用定义
设等比数列为an ，
由定义 a3 a4 , a2 a3
请拿出你的课本、导学案、双色笔和练 习本，还有你的激情！
全力投入会使你与众不同 你是最优秀的，你一定能做的更好！
学习目标
1、理解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公 式；会解决知道公式中的任意三个，求另一个的 问题。
高中数学人教A版(2019)选择性必修24.《等比数列的概念上课课件》课件(32页)
不变
从图像上看，
表示等比数列{an}中的各项的点
是指数型函数 f (x) a1 qx (x R) 图象上一群孤立的点 q
20
新知生成
4、公比q>0的等比数列 {an}的单调性.
0<q<1 q>1 q=1
单调递增 单调递减 单调递减 单调递增
不变
典例解析
{an }
{an }
即时练习
【即时练习1】
3、等比数列的通项公式：
an a1qn1
小试牛刀2
2.已知等比数列前 3 项为1，－1， 1，则其通项公式 2 48
是________．
思考1：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
1、由an
a1q n1
a1 q
qn可知，当 q
0且q
1时，等比数列 an第n项an是指数型函数
f
(x)
a1 q
由此归纳等差数列
an a1qn1(n 2)
的通项公式可得：
又因为 a1也符合上式，
ana1(n1 )d 由此归纳等比数列的通项公式可得：
an a1qn1
探究三 等比数列的通项公式
法二：累加法
a2 q a1
等 a2 a1 d
差 数
a3 a2 d
类比
等 比 数
a3 q a2
a4 q
累乘法
a4 a3 d
…… +）an an1 d
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
探究三 、等比数列的通项公式
法一：归纳猜想法
等 a2 a1d
等
差 数
a3a12d 类比
比 数
列 a4a13d
等比数列的概念PPT课件
③
243，81，27，9，3，1， …；
1 q= 3
④ 1，－1，1，－1，1，－1，1， …．q = -1
请探究归纳等比数列的通项公式 a2＝a1·q， a3＝ a2 q＝（a1 ·q）q＝a1 q2 ， a4＝ a3 q＝（a1 ·q2）q＝a1 q3 ， …… an＝a1 qn-1 ．
等比数列的通项公式 首项是 a1 ，公比是 q 的等比数列 {an} 的通项公式 可以表示为：
√ ③ 243，81，27，9，3，1， …；
④
√⑤
16，8，4，2，0，－2， …； 任一项不能为 0 1，－1，1，－1，1，－1，1， …；
⑥ 1，10，－100，－1 000， …．
说出下列等比数列的公比
① 8，16，32，64，128，256， …； q = 2
② 1，1，1，1，1，1，1， …； q = 1 常数列
的层数： 2，4，8，16，32 ．
等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项 的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列．
这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母 q 表示）．
抢答：下列数列是否为等比数列？
√① √②
8，16，32，64，128，256，…； 1，1，1，1，1，1，1， …；
【教学难点】
灵活应用等比数列概念及通项公式解决相 关问题．
1． 等差数列的定义 从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数． 2． 等差数列的通项公式
an = a1 +（n－1） d． 3．计算公差d的方法 从第2项起，任一项减去它的前一项．
4．等差中项公式 A= a+b 2
动手试一试 请你做游戏 ： 把一张纸连续对折 5 次，试列出每次对折后纸
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
等比数列课件
等比数列课件一、等比数列定义等比数列是一种特殊的数列，它的每一项（从第二项开始）都是前一项乘以一个常数。
这个常数被称为公比。
定义一个等比数列需要给出它的首项和公比，通常用符号表示为{an}，其中a1是首项，q是公比。
二、等比数列通项公式等比数列的通项公式是：an = a1 * q^(n-1)，其中n是项数，a1是首项，q是公比。
这个公式表明，等比数列的任意一项都是首项乘以公比的n-1次方。
三、等比数列的性质1. 等比数列的任意两项之积等于这两项之和，即a(n+2)/a(n+1) = a(n+1)/a(n)。
2. 等比数列的各项之和等于首项乘以公比减去1，即Σan = a1 * q - 1。
3. 等比数列的各项之积等于首项乘以公比的n次方减去1，即Πan = a1 * q^n - 1。
四、等比数列的图像表示等比数列的图像是一条递减或递增的曲线，它的图像可以用来直观地了解等比数列的性质和特点。
在图像中，公比q的大小决定了曲线的陡峭程度，而首项a1的大小决定了曲线在y轴上的位置。
五、等比数列的应用等比数列在实际生活中有着广泛的应用，例如在金融、经济、工程等领域都可以找到它的踪迹。
例如，在银行利率计算中，等比数列可以用来计算复利；在股票价格计算中，等比数列可以用来计算股息等等。
六、等比数列的例题讲解例题1：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项之和。
解：根据等比数列的性质，该数列的前5项之和为Σan = a1 * q - 1 = 2 * 3^5 - 1 = 242。
例题2：一个等比数列的各项之和为10，前三项之积为91，求该数列的公比。
解：根据等比数列的性质，该数列的公比q满足方程：Σan = a1 * q - 1 = 10 和Πan = a1 * q^3 - 1 = 91。
解得q = 3或-3/2。
七、课后练习与答案1. 计算下列等比数列的前5项之和：a) 首项为4，公比为2；b) 首项为-3，公比为-4。
《等比数列》 讲义
《等比数列》讲义一、什么是等比数列在数学的奇妙世界里，等比数列是一个非常重要的概念。
那到底什么是等比数列呢？想象一下，有一组数，从第二项开始，每一项与它前一项的比值都相等，这个固定的比值被称为公比，用字母 q 表示。
这样的一组数，就被称为等比数列。
例如，数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，因为每一项与前一项的比值都是 2，这里的公比 q 就是 2。
再比如，数列 10，5，25，125，0625……也是等比数列，公比 q 为05。
等比数列的通项公式是：＼（a_n ＝ a_1 ＼times q^｛n-1}＼），其中\（a_n\）表示第 n 项的值，＼（a_1\）表示首项。
这个通项公式非常重要，它就像是一把钥匙，能让我们轻松找到等比数列中任意一项的值。
二、等比数列的性质等比数列有很多有趣的性质，掌握了这些性质，能让我们更深入地理解和解决与等比数列相关的问题。
性质 1：如果\（m\），＼（n\），＼（p\），＼（q\）是正整数，且\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），那么在等比数列中，＼（a_m ＼times a_n ＝a_p ＼times a_q\）。
比如说，在等比数列 2，4，8，16，32……中，如果\（m ＝ 2\），＼（n ＝ 4\），＼（p ＝ 1\），＼（q ＝ 5\），因为\（m ＋ n ＝ 2 ＋ 4 ＝ 6\），＼（p ＋ q ＝ 1 ＋ 5 ＝ 6\），所以\（a_2 ＼times a_4 ＝ 4 ＼times 16 ＝ 64\），＼（a_1 ＼times a_5 ＝ 2 ＼times 32 ＝ 64\），两者相等。
性质 2：在等比数列中，连续若干项的和构成的新数列也是等比数列。
例如，对于等比数列 1，2，4，8，16…… ，前两项的和是 3，前三项的和是 7，前四项的和是 15，它们构成的新数列 3，7，15……也是等比数列。
性质 3：若等比数列的公比\（q ＞ 1\），则数列单调递增；若\（0＜q ＜1\），则数列单调递减；若\（q ＜0\），则数列的项正负交替。
等比数列的概念和通项公式 课件
所以a2－b2 a1＝－22＝－1.
[答案] －1
[误区] 忽视等比数列中 b2 与－4 同号而出现 b2＝2 或 b2＝±2 的错误． [防范措施] 1．注意等比数列中三种常见隐含条件的挖掘 (1)定义中隐含等比数列中每一项和公比都不为 0. (2)若两个数有等比中项，则这两个数同号． (3)若公比为正数，则每一项同号，若公比为负数，则所有奇数项的 符号相同，所有偶数项的符号相同．如本例中，无论公比是正数还是 负数，b2 与－4 一定同号．
等比数列的概念和通项公式
1．等比数列
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 文字 前一项的 比 等于同一个常数，那么这个数列就叫 语言 作等比数列，这个常数叫作等比数列的 公比 ，公
比通常用字母 q 表示(q≠0)．
数学 符号
在数列{an}中，如果aan－n 1＝q(n≥2， n∈N*)或aan＋n 1＝qn∈N*(q≠0)成立，则称数列{an}为
等比数列，常数 q 称为等比数列的公比．
递推 an＝an－1·q(q≠0，n∈N*，n≥2)或 an＋1＝an·q(n∈N*，
关系 q≠0)
2.通项公式 等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则通项公式为 an＝ a1qn－1 (a1≠0， q≠0)． 3．等比中项 如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫作 a 与 b 的等比中项．
与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基 本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公 式，an＝a1·qn－1(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求 得另一个量．求解时，要注意应用 q≠0 验证求得的结果．
1．在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
等比数列的性质 课件
典例导悟
类型一 等比数列的性质及应用 [例 1] 在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝－12，求数列 的通项 an.
[分析] 思路 1：设首项为 a1，公比为 q，由题目中两 等式列方程组，解出 a1，q，进一步可求出 an.
思路 2：利用 am＝anqm－n，可求 q，再进一步求 an.
[解] 方法 1：设首项为 a1，公比为 q，则 a2＝a1q＝4， a5＝a1q4＝－12，
等比数列的性质
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
两项关系
多项关系
项的运算性质：若 m＋n＝
通项公式的推广：an＝ p＋q(m，n，p，q∈N*)，则
am·qn－m(m，n∈N*)
am·an＝ ap·aq
.
2.等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等 于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an
＝a2· an－1 ＝ak·an＋1－k (＝ ，n 为正奇数)．
3．等比数列的运算性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 ①{c·an}(c 是非零常数)是公比为 q 的等比数列； ②{|an|}是公比为 |q| 的等比数列； (2)若{an}，{bn}分别是公比为 q1，q2 的等比数列，则数 列{an·bn}是公比为 q1·q2 的等比数列．
[解析] (1)∵{an}成等比数列， ∴a2，a6，a10 仍成等比数列． ∴a26＝a2a10，∴a10＝aa262＝1262＝128. (2)(a1a2a3)×(a7a8a9)＝a65＝50，a4a5a6＝a35＝5 2.
[答案] (1)128 (2)A
类型二 等比中项的设项方法 [例 3] 有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积 是－8，后三个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四的关系，即找到由周长所 构成的数列的通项公式．
等比数列的概念及基本运算ppt课件
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
点评：(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项 a1 和 公比 q，求解时，要注意方程思想的运用．
(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时，直接利用前 n 项和的意义展开，不仅可避 开公比 q 的讨论，还可使求解过程简捷．
q3＝－2， 所以a1＝1，
或q3＝－12， a1＝－8.
所以 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
a111－－qq10＝10， (2)(方法一)设公比为 q，则a111－－qq20＝30， 得 1＋q10＝3，所以 q10＝2. 所以 S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10(1＋2＋22)＝70. (方法二)因为 S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 所以 S30－30＝30－10102＝40，所以 S30＝70. 答案：(1)D (2)70
A．8
B．9
C．10
D．11
解：因为 a5a7＝a62，a7a9＝a82， 所以 a5a7＋2a6a8＋a7a9＝a62＋2a6a8＋a28＝(a6＋a8)2＝100.又 an＞ 0，所以 a6＋a8＝10.
答案：C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3
等比数列 课件
1．等比数列的通项公式：an＝ a1qn－1 ，推广形式：an＝am·qn－m (n，m∈N*)．
2．如果一个数列{an}的通项公式为 an＝aqn，其中 a，q 都是不 为 0 的常数，那么这个数列一定是等比数列，首项为 aq ，公 比为 q .
3．一般地，如果 m，n，k，l 为正整数·_a_l ，特别地，当 m＋n＝2k 时，am·an＝ a2k .
＝q(q≠0)是判定一个数列是等
比数列的基本方法．要判断一个数列不是等比数列，举一组反
例即可，例如a22≠a1a3.
例3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的 产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开 始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079) 解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，…. 则依题意可得a1＝5，aan－n 1＝1.2(n≥2且n∈N*)， 从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30， 故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝lglg16.2＝00..707789≈9.85.
探究 2 在等比数列{an}中，若 m＋n＝2k，证明 am·an＝ak2(m，n， k∈N*)． 证明 ∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1， ∴am·an＝a21qm＋n－2， ∵ak＝a1qk－1，∴a2k＝a21·q2k－2.
∵m＋n＝2k，∴am·an＝a2k.
问题 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝2，且a1＋1＝2. ∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知{an＋1}是等比数列．
2．如果一个数列{an}的通项公式为 an＝aqn，其中 a，q 都是不 为 0 的常数，那么这个数列一定是等比数列，首项为 aq ，公 比为 q .
3．一般地，如果 m，n，k，l 为正整数·_a_l ，特别地，当 m＋n＝2k 时，am·an＝ a2k .
＝q(q≠0)是判定一个数列是等
比数列的基本方法．要判断一个数列不是等比数列，举一组反
例即可，例如a22≠a1a3.
例3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的 产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开 始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079) 解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，…. 则依题意可得a1＝5，aan－n 1＝1.2(n≥2且n∈N*)， 从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30， 故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝lglg16.2＝00..707789≈9.85.
探究 2 在等比数列{an}中，若 m＋n＝2k，证明 am·an＝ak2(m，n， k∈N*)． 证明 ∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1， ∴am·an＝a21qm＋n－2， ∵ak＝a1qk－1，∴a2k＝a21·q2k－2.
∵m＋n＝2k，∴am·an＝a2k.
问题 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝2，且a1＋1＝2. ∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知{an＋1}是等比数列．
等比数列 课件
问题 下列所给数列中，等比数列的序号是_①__③_____．
①1,1,1,1,1，…. ②0,1,2,4,8，…. ③2－ 3，－1,2＋ 3，…. ④12，2,4,8,16，….
探究点二 等比中项 问题 请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念．
答案 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项．
小结 等比数列的通项公式an＝a1qn－1中有四个量a1，q，n， an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．
例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3 个数． 解 设插入的三个数为a2，a3，a4，由题意得243，a2，a3，a4,3 成等比数列． 设公比为q，则3＝243·q5－1，解得q＝±13. 当q＝13时，a2＝81，a3＝27，a4＝9； 当q＝－13时，a2＝－81，a3＝27，a4＝－9.
，a，
aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.
小结 利用等比数列的通项公式求各项时，要注意选取的首项 a1与项数n的对应关系，计算各项时注意防止序号出错．
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数 列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数 的和是12，求这四个数． 解 方法一 设四个数依次为a－d，a，a＋d，a＋ad2， 由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12.
探究点一 等比数列的概念
观察下面几个数列：
①1,2,4,8,16，… ②1，12，14，18，116，… ③1，－1,1，－1,1，… ④12，－1,2，－4,8，…
上面这几组数列的共同点是： 从第2项起,每一项与前一项的比 都___等__于__同__一__个___非__零__的__常__数__．像这样的数列，就叫做等比数 列．这个非零常数叫做等比数列的 公比 ．
《等比数列》 讲义
《等比数列》讲义一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如，数列2，4，8，16，32，就是一个等比数列，其公比q ＝2。
等比数列的通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，n 为项数。
二、等比数列的性质1、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
根据等比数列的定义，有 G²＝ ab ，所以 G＝±√（ab) 。
2、通项公式的推广an ＝ am×q^（n m) （m，n 为正整数）3、若 m ＋ n ＝ p ＋ q （m，n，p，q 为正整数），则 am×an ＝ap×aq 。
例如，在等比数列中，若 a3×a7 ＝ 16 ，a4 ＋ a6 ＝ 10 ，因为 3 ＋7 ＝ 4 ＋ 6 ，所以 a3×a7 ＝ a4×a6 ＝ 16 ，联立 a4 ＋ a6 ＝ 10 ，可解出a4 ＝ 2 ，a6 ＝ 8 或 a4 ＝ 8 ，a6 ＝ 2 ，从而求出公比 q 。
4、等比数列的前 n 项和公式当 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 ；当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。
三、等比数列的判定方法1、定义法若 an ／ an 1 ＝ q （n ≥ 2，q 为常数且q ≠ 0），则数列{an}为等比数列。
2、等比中项法若 an²＝ an 1 × an ＋ 1 （n ≥ 2，an 1 ，an ，an ＋1 ≠ 0），则数列{an}为等比数列。
3、通项公式法若 an ＝ c×q^n （c，q 为非零常数），则数列{an}为等比数列。
四、等比数列的应用1、经济领域在金融领域，等比数列常用于计算复利。
等比数列的定义及通项公式 课件
又∵a7 是 a5 和 a9 的等比中项， ∴a27＝a5a9＝1，即 a7＝±1. 又由方程，可得 a5＞0.∴a7＝a5q2＞0.∴a7＝1.
[方法·规律·小结] 1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得出的一些 等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性质更重要． 2．适当记忆一些性质，利用性质提高解题速度与解题的正 确率．如用等比数列的性质：若 k＋l＝m＋n，则 ak·al＝am·an 可 以解决很多相关的问题． 3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇到，要 准确判断用好定义与通项公式．
③若{an}为等比数列，公比为 q，则{a2n}也是等比数列，公 比为____q_2___；
④若{an}，{bn}是等比数列，则__{_a_nb__n}__和____ab_nn___也是等
比数列．
题型 1 等比数列性质 【例 1】 在等比数列{an}中，若 a2＝2，a6＝162，求 a10. 思维突破：可利用通项公式或等比数列的性质来求．
等比数列的性质
等比数列的性质 (1) 若 三 个 数 成 等 比 数 列，一 般 设 这 三 个 数 分 别 为 ___aq_，__a_，__a_q__；
(2)①若{an} 为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*) 则_a_k·_a_l＝__a_m_·_a_n；
②若{an} 是等比数列，且 m ＋n ＝2k(k ，m ，n ∈N*) ，则 ___a_m_·a_n_＝__a_2k__；
题型 3 等差、等比数列性质的综合应用 【例 3】 已知：数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和， 且 a2＝3,4S2＝S4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{2an }是等比数列； (3)求使得 Sn＋2>2Sn 成立的 n 的集合．
[方法·规律·小结] 1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得出的一些 等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性质更重要． 2．适当记忆一些性质，利用性质提高解题速度与解题的正 确率．如用等比数列的性质：若 k＋l＝m＋n，则 ak·al＝am·an 可 以解决很多相关的问题． 3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇到，要 准确判断用好定义与通项公式．
③若{an}为等比数列，公比为 q，则{a2n}也是等比数列，公 比为____q_2___；
④若{an}，{bn}是等比数列，则__{_a_nb__n}__和____ab_nn___也是等
比数列．
题型 1 等比数列性质 【例 1】 在等比数列{an}中，若 a2＝2，a6＝162，求 a10. 思维突破：可利用通项公式或等比数列的性质来求．
等比数列的性质
等比数列的性质 (1) 若 三 个 数 成 等 比 数 列，一 般 设 这 三 个 数 分 别 为 ___aq_，__a_，__a_q__；
(2)①若{an} 为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*) 则_a_k·_a_l＝__a_m_·_a_n；
②若{an} 是等比数列，且 m ＋n ＝2k(k ，m ，n ∈N*) ，则 ___a_m_·a_n_＝__a_2k__；
题型 3 等差、等比数列性质的综合应用 【例 3】 已知：数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和， 且 a2＝3,4S2＝S4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{2an }是等比数列； (3)求使得 Sn＋2>2Sn 成立的 n 的集合．
等比数列的概念与求和公式
等比数列的概念与求和公式等比数列，又称为几何数列，是数学中一种特殊的数列。
在等比数列中，每个数都是前一个数与一个常数的乘积得到的。
等比数列的概念及其求和公式是数学中基础且重要的内容。
本文将着重介绍等比数列的概念以及如何求解等比数列的和。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项成等比关系。
假设等比数列的首项为a₁，公比为r，那么数列中的任意一项可以表示为：a₂ = a₁ × ra₃ = a₂ × r = a₁ × r²a₄ = a₃ × r = a₁ × r³......aₙ = a₁ × r^(n-1)其中，a₂表示等比数列的第二项，a₃表示等比数列的第三项，依此类推，aₙ表示等比数列的第n项。
二、等比数列的求和公式对于一个有限的等比数列，我们希望求得所有项的和，即等比数列的部分和。
为了方便计算，我们用Sₙ来表示等比数列的前n项和。
那么，对于等比数列的求和，存在以下公式：Sₙ = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)其中，Sₙ表示等比数列的前n项和，a₁表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。
三、求解等比数列的实例为了更好地理解等比数列及其求和公式的应用，让我们通过一个具体的例子进行演示。
例：求解等比数列1, 3, 9, 27, 81的前5项和。
解：根据等比数列的求和公式，我们可以将问题转化为代入公式计算，即：S₅ = a₁(1 - r⁵) / (1 - r)其中，a₁ = 1（首项），r = 3（公比），n = 5（项数）。
将这些值代入公式，我们可以得到：S₅ = 1(1 - 3⁵) / (1 - 3)= 1(1 - 243) / (-2)= 1(-242) / (-2)= 121因此，等比数列1, 3, 9, 27, 81的前5项和为121。
结语等比数列是数学中重要的概念之一，它在现实生活中的应用广泛，比如金融领域的利率计算、自然科学中的指数增长模型等。
等比数列 课件
2
类型一 等比数列通项公式的应用
【典例】1.在等比数列{an}中，
a1= ，a3+a5=4，an=3，则n=( )
A.5
B.6
C.4
D.3
1
3
2.已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4-a3=2. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7.问：b6与数列{an} 的第几项相等？
(2)定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求 的含义也有两个：其一是作商的顺序，即后面的项比 前面的项；其二强调这两项必须相邻. (3)注意定义中要求“同一常数”，否则这个数列不是 等比数列.
2.等比数列定义的符号表示
在数列{an}中，若 an1 =q(n∈N*)，q为不为0的常数， 则数列{an}是等比数a列n .
【解析】1.选A.设等比数列{an}的公比为q， 因为a1=1 ，a3+a5=4， 所以 q23+ q4=4，即q4+q2-12=0，
11 解得q32=3或3 q2=-4(舍)，
所以|q|>1，所以等比数列{an}各项的绝对值是逐项递 增的.又因为a5=a1q4= ×32=3，所以n=5.
1 3
2.(1)设等差数列{an}的公差为d， 则d=a4-a3=2，a1+a2=2a1+2=10， 所以a1=4.因此，an=4+(n-1)×2=2(n+1).
(2)设等比数列{bn}的公比为q，则b2=8，b3=16， 所以q=b3 =2，b1=4，bn=2n+1， b6=26+1b=2 128.由2(n+1)=128得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
类型一 等比数列通项公式的应用
【典例】1.在等比数列{an}中，
a1= ，a3+a5=4，an=3，则n=( )
A.5
B.6
C.4
D.3
1
3
2.已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4-a3=2. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7.问：b6与数列{an} 的第几项相等？
(2)定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求 的含义也有两个：其一是作商的顺序，即后面的项比 前面的项；其二强调这两项必须相邻. (3)注意定义中要求“同一常数”，否则这个数列不是 等比数列.
2.等比数列定义的符号表示
在数列{an}中，若 an1 =q(n∈N*)，q为不为0的常数， 则数列{an}是等比数a列n .
【解析】1.选A.设等比数列{an}的公比为q， 因为a1=1 ，a3+a5=4， 所以 q23+ q4=4，即q4+q2-12=0，
11 解得q32=3或3 q2=-4(舍)，
所以|q|>1，所以等比数列{an}各项的绝对值是逐项递 增的.又因为a5=a1q4= ×32=3，所以n=5.
1 3
2.(1)设等差数列{an}的公差为d， 则d=a4-a3=2，a1+a2=2a1+2=10， 所以a1=4.因此，an=4+(n-1)×2=2(n+1).
(2)设等比数列{bn}的公比为q，则b2=8，b3=16， 所以q=b3 =2，b1=4，bn=2n+1， b6=26+1b=2 128.由2(n+1)=128得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
2013届高考数学考点回归总复习《第二十九讲等比数列》课件
余两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后 利用方程组的思想求解.
【典例2】设数列{an}为等比数列,且a1>0,它的前n项和 为80,且其中数值最大的项为54,前2n项的和为6560.求 此数列的通项公式.
[解]设数列的公比为q,由Sn 80,S2n 6560, 得q 1, 否则S2n 2Sn . a1 (1 q n ) 80, 1 q a1 (1 q 2 n ) 6560. 1 q ① 得q n 81. ② ① ②
(1)数列{
Sn n
}是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
n2 [证明] 1 a n 1 Sn 1 Sn , a n 1 Sn . n n 2 Sn n Sn 1 Sn .整理得nSn 1 2 n 1 Sn , 所以 S n 1 2 S n . n 1 n Sn 故 是以2为公比的等比数列. n
a1 q 1
=kqn-k(k=
是常数,且q≠0,q≠1)⇔{an}是等比数列.
考点陪练
1.已知数列的前n项和为Sn=an-2(a是不为0的实数),那么 数列{an}( )
A.是等比数列
B.当a≠1时是等比数列 C.从第二项起成等比数列 D.从第二项起成等比数列或成等差数列
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当 n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公
解析 : 设 a n 公比为q, 1 1 a 2 2, a 5 a 2 q , q . 4 2
3
1 b n a n a n 1 ,b n 是首项为8, 公比为 的等比数列. 4 1 8[1 ] 4 32 1 4 n . Sn 1 3 1 4
【典例2】设数列{an}为等比数列,且a1>0,它的前n项和 为80,且其中数值最大的项为54,前2n项的和为6560.求 此数列的通项公式.
[解]设数列的公比为q,由Sn 80,S2n 6560, 得q 1, 否则S2n 2Sn . a1 (1 q n ) 80, 1 q a1 (1 q 2 n ) 6560. 1 q ① 得q n 81. ② ① ②
(1)数列{
Sn n
}是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
n2 [证明] 1 a n 1 Sn 1 Sn , a n 1 Sn . n n 2 Sn n Sn 1 Sn .整理得nSn 1 2 n 1 Sn , 所以 S n 1 2 S n . n 1 n Sn 故 是以2为公比的等比数列. n
a1 q 1
=kqn-k(k=
是常数,且q≠0,q≠1)⇔{an}是等比数列.
考点陪练
1.已知数列的前n项和为Sn=an-2(a是不为0的实数),那么 数列{an}( )
A.是等比数列
B.当a≠1时是等比数列 C.从第二项起成等比数列 D.从第二项起成等比数列或成等差数列
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当 n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公
解析 : 设 a n 公比为q, 1 1 a 2 2, a 5 a 2 q , q . 4 2
3
1 b n a n a n 1 ,b n 是首项为8, 公比为 的等比数列. 4 1 8[1 ] 4 32 1 4 n . Sn 1 3 1 4
等比数列的概念及通项公式 课件
等比数列的通项公式
[典例]
(1)在等比数列{an}中，a1＝
1 2
，q＝
1 2
，an＝
1 32
，则
项数n为
()
A．3
B．4
C．5
D．6
(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a
2 5
＝a10,2(an＋an＋2)＝
5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
[解析]
(1)因为an＝a1qn－1，所以
式为an＝2n.
[答案] (1)C (2)2n
等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后 再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最 后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
等比中项
[典例]
(1)在等比数列{an}中，a1＝
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 等比数列 ，那
么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝± ab. [点睛] (1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符
号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝± ab，即等比中项有两个，且互为相反数． (2)当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝ 5×0，但0,0,5不是等比数列． 3．等比数列的通项公式 等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式 为：an＝ a1qn－1.
[典例] 在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证 明：数列{an＋3}是等比数列．
证明：[法一 定义法] ∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3， ∴aan＋n＋1＋33＝2ana＋n＋3＋ 3 3＝2aann＋＋33＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．
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第19页 共 50 页
[反思感悟](1)等比数列从第2项起,每一项(有穷等比数列的末 项除外)是它的前一项与后一项的等比中项;反之也正确.
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互
为相反数.
第20页 共 50 页
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有
解题准备:证明一个数列是等比数列的主要方法有两种:一是
利用等比数列的定义,即证明
利用等比中项法,即证明a2n+1=anan+2≠0(n∈N*).在解题中, 要注意根据欲证明的问题,对给出的条件式进行合理地变
形整理,构造出符合等比数列定义式的形式,从而证明结论.
第16页 共 50 页
【典例1】数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,„),求证:
a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余
两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
第21页 共 50 页
【典例2】设数列{an}为等比数列,且a1>0,它的前n项和为80, 且其中数值最大的项为54,前2n项的和为6560.求此数列的 通项公式.
第二项起成等差数列. 答案:D
第10页 共 50 页
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
a2 a3 a1q a2 q 6 q 2, 又 a1 a2 a1 a2 3
C.128 D.243
解析:∵{an}是等比数列,∴ 答案:A
(2)若a1>0,0<q<1或a1<0,q>1,则数列{an}是递减数列. (3)若q=1,则数列{an}是常数列. (4)若q<0,则数列{an}是摆动数列且各项的正负号间隔.
第25页 共 50 页
2.等比数列的简单性质 已知等比数列{an}的前n项和为Sn.
(1)数列{c•an}(c≠0),{|an|},{an•bn}({bn}也是等比数列),{a2n},{ 1 }等也是等比数列 . an (2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,„仍是等比数列.
可能等于1,则需分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
第34页 共 50 页
【典例4】设正项等比数列{an}的首项a1= 且210S30-(210+1)S20+S10=0.
an.
求解本题时,有两个易错点:一是不判断q≠1而直接利用公式
a1 (1 q n ) Sn= 1 q
;二是不借助a1>0导出q>1,进而判断数列
{an}的单调性得出最大项为an,而是想当然地认为an为最大 项.
第24页 共 50 页
类型三
等比数列性质的应用
解题准备:1.等比数列的单调性
(1)若a1>0,q>1或a1<0,0<q<1,则数列{an}是递增数列.
n2 n
(1)数列{
Sn n
}是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
第17页 共 50 页
n2 [证明] 1 a n 1 Sn 1 Sn , a n 1 Sn . n n 2 Sn n Sn 1 Sn .整理得nSn 1 2 n 1 Sn , 所以 S n 1 2 S n . n 1 n Sn 故 是以2为公比的等比数列. n
n 3n+1+a3n+2+„+a4n),„也成等比数列,其公比为q ,于是,问题
转化为已知:
第28页 共 50 页
A1=2,A1qn+A1q2n=12,要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值. 由A1=2,A1qn+A1q2n=12,
得q2n+qn-6=0,则qn=2,或qn=-3.
故A1q3n+A1q4n+A1q5n =A1q3n(1+qn+q2n)=2·q3n·7=14·q3n
答案:C
n
第13页 共 50 页
4.(2010·辽宁)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a42,3S2=a3-2,则公比q=( )
A.3
C.5
B.4
D.6
3S3 a4 2① 解析 : , ① ②得 : 3a 3 a 4 a 3 , 4a 3 a 4 , 3S 2 a3 2② a4 q 4. a3
a1q n (1 q 2 n ) ② 12, 1 q
第30页 共 50 页
a1q 3n (1 q 3n ) 又再后3n项的和S ③式③除以式① 1 q S 得 q 3n 1 q n q 2n , 2 n 112 ( q 2), 3n S 14q n 378 ( q 3).
第31页 共 50 页
[反思感悟]由已知条件,根据前n项和公式列出关于首项a1和 公比q及n的两个方程,应能解出a1和q关于n的表达式,这样
可能较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思路,问
题就会变得简单,也可采用等比数列的性质使问题简化.解 法一利用等比数列的性质;解法二利用求和公式,但需先确
第18页 共 50 页
Sn 1 Sn 1 4 2 由1 知 n≥2 . n 1 n 1 Sn 1 于是Sn 1 4 n 1 4a n n≥2 . n 1 又a 2 3S1 3, 故S2 a1 a 2 4. 因此对于任意正整数n 1, 都有Sn 1 4a n .
(4)等比数列中连续n项之积构成的新数列仍然是等比数列.
第5页 共 50 页
(5)若数列{an}与{bn}均为等比数列,则{m·an·bn}与 为等比数列,其中m是不为零的常数.
man b仍 n
(6)当q≠0,q≠1时,Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要
条件,这时
a1 k . 1 q
a1 a1 nn-k(k= (4)前n项和公式法:Sn= q q =kq q 1 1 数,且q≠0,q≠1)⇔{an}是等比数列.
第7页 共 50 页
a1 是常 q 1
考点陪练
第8页 共 50 页
1.已知数列的前n项和为Sn=an-2(a是不为0的实数),那么数列 {an}( )
A.是等比数列
第12页 共 50 页
解析 : 设 a n 公比为q, 1 1 a 2 2, a 5 a 2 q , q . 4 2
3
1 b n a n a n 1 ,b n 是首项为8, 公比为 的等比数列. 4 1 8[1 ] 32 4 Sn 1 4 n . 1 3 1 4
am,an,ap,aq的关系为am·an=ap·aq,如果a、G、b成等比
数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G=± ab (ab>0).
第3页 共 50 页
2.等比数列的通项公式及前n项和公式 等比数列的通项公式为an=a1·qn-1(a1≠0,q≠0);其前n项和公
式为:
na1 (q 1) S n a1 (1 q n ) a1 an q . 1 q 或 1 q (q 1)
第4页 共 50 页
3.与等比数列有关的结论 (1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序
排列,构成的新数列仍然是等比数列.
(2)若{an}是等比数列,则{λan}､{|an|}皆为等比数列,公比分别 为q和|q|(λ为非零常数). (3)一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比 是原公比的k次幂.
第6页 共 50 页
4.等比数列的判定方法 (1)定义法:
列.
等比数列.
an 1 (q是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数 q an
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是
(3)中项公式法:aFra bibliotekn+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an} 是等比数列.
∵a1+a1q=3,∴a1=1,a7=a1q6=1×26=64.
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1 3.已知a n 是等比数列, a 2 2, a 5 , 则a1a 2 a 2a 3 4 a n a n 1等于( ) A.16 1 4 n B.16 1 2 n 32 C. 1 4 n 3 32 D. 1 2 n 3
将qn=81代入①得,a1=q-1.③ 又∵a1>0,∴q>1.∴数列{an}是递增数列.
从而,a1qn-1=54,
∴a1qn=54q,∴81a1=54q.④ ③④联立,解得q=3,a1=2. ∴an=a1qn-1=2×3n-1.
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[反思感悟]因为前n项和与前2n项和已知,这为建立方程提供 了条件,由此可求得首项a1与公比q之间的关系,进而确定
(3)若m+n=p+q,则am•an=ap•aq, 特别地,若m+n=2p,则am•an=a2p.
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(4)a1an=a2an-1=„=aman-m+1. (5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m.„仍是等比数列(此时{an}的公比
q≠-1).
(6)当n是偶数时,S偶=S奇·q. 当n是奇数时,S奇=a1+S偶·q.
定q≠1,否则不可断定用q≠1时的公式.
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类型四
等比数列前n项和及其性质
解题准备:1.等比数列的前n项和公式: