2021年中考数学复习第6讲 一元二次方程及其应用(精讲练习)
中考数学复习 第二单元 方程(组)与不等式(组)第06课时 一元二次方程及其应用课件
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
(续表)
应用类型
等量关系
面积问题
AB+BC+CD=a
S阴影=⑨ (a-2x)(b-2x)
S阴影=⑩(a-x)(b-x)
第八页，共三十四页。
S阴影= ⑪
-
·x
基
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对点演练
题组一 必会题
1.若关于x的方程(fāngchéng)(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是 (
耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为 3 m2
(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为 x m,下列方程符合题意的
A.16(1+2x)=25
B.25(1-2x)=16
)
[答案] D
[解析]一种药品原价每盒25元,两次降价的百分
率都为x,所以第一次降价后的价格用代数式表
示为25(1-x),第二次降价后的价格用代数
式表示为25(1-x)·(1-x)=25(1-x)2,根据题意可
列方程为25(1-x)2=16,故选D.
C.16(1+x)2=25
D.25(1-x)2=16
第二十六页，共三十四页。
基
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知
识
巩
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考
向
探
究
角度( jiǎodù)2 图形面积问题
例4 [2018·安徽名校模拟] 如图6-2,某街道办事处把一块矩形空地进行绿化.已知该矩形空地
2024年全国各省市数学中考真题汇编 专题6一元二次方程及其应用(11题)含详解
专题06一元二次方程及其应用（11题）一、单选题1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x 的一元二次方程220x kx +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．（2024·山东泰安·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．98k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-3．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．14．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13二、填空题5．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程220x x k -+=的一个根为2-，则方程的另一个根为．7．（2024·甘肃临夏州·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为．三、解答题8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x 2﹣5x +6＝09．（2024·安徽·中考真题）解方程：223x x -=10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．11．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y （件）与每件售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价x /元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y /件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．专题06一元二次方程及其应用（11题）一、单选题1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x 的一元二次方程220x kx +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，当0∆>时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．【详解】解： △()2241280k k =-⨯⨯-=+>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．2．（2024·山东泰安·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．9k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-【答案】B【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．根据一元二次方程有实数根的条件是0∆≥，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，∴()2Δ3420k =--⨯≥，解得98k ≤．故选B ．3．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．1【答案】D【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k 的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=-，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当方程有两个相等的实数根时，Δ0=；当方程没有实数根时，Δ0<．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，∴()2Δ64936360c c =--⨯⨯=-=，解得：1c =，故选：D ．4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得13x =，27x =，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3，腰长为7，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：由方程210210x x -+=得，13x =，27x =，∵337+<，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为37717++=，故选：C ．二、填空题5．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．【答案】1【分析】由220x x c ++=有两个相等的实数根，可得240b ac ∆=-=进而可解答．【详解】解：∵220x x c ++=有两个相等的实数根，∴24440b ac c ∆=-=-=，∴1c =．故答案为：1．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程220x x k -+=的一个根为2-，则方程的另一个根为．7．（2024·甘肃临夏州·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为．【答案】-1【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m 的取值即可．【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．故答案为-1.【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．三、解答题8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x 2﹣5x +6＝0【答案】x 1＝2，x 2＝3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【详解】利用因式分解法求解可得．解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.9．（2024·安徽·中考真题）解方程：223x x -=【答案】13x =，21x =-【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：∵223x x -=，∴223=0x x --，∴(3)(1)0x x -+=，∴13x =，21x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．11．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价x /元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y /件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．【答案】(1)100=-+y x ；(2)该商品日销售额不能达到2600元，理由见解析。
中考数学基础复习第6课一元二次方程及其应用课件
【解析】(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26件; (2)设此商品每件应降价x元时,该商店每天销售利润为1 200元.根据题意,得 (40-x)(20+2x)=1 200,整理,得x2-30x+200=0,解得:x1=10,x2=20.∵要求 每件盈利不少于25元,∴x2=20应舍去,解得:x=10. 答:此商品每件降价10元时,该商店每天销售利润为1 200元. 反思:重点是寻找关键词,利用等量关系列出方程.
方程根的情况.
考点3一元二次方程的实际应用 例3.(202X·山西)如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全 等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的 有盖的长方体铁盒.求剪去的正方形的边长.
【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
【考点剖析】
考点1一元二次方程及其解法
例1.(202X·无锡)解方程:x2+x-1=0.
【解析】∵a=1,b=1,c=-1,
∴Δ=12-4×1×(-1)=5,
x= 1 5 ，
21
∴x1= 1 ,5x2=
2
1 5 . 2
变式1.(202X·齐齐哈尔)解方程:x2-5x+6=0. 【解析】∵x2-5x+6=0, ∴(x-2)(x-3)=0, 则x-2=0或x-3=0, 解得x1=2,x2=3.
【学后检测】 1.用配方法解方程x2-6x-8=0时,配方结果正确的是
(A)
A.(x-3)2=17
B.(x-3)2=14
C.(x-6)2=44
D.(x-3)2=1
2.(202X·怀化)已知一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根,则k的值为
2021年九年级数学中考复习——方程专题：一元二次方程实际应用(二)
2021年九年级数学中考复习——方程专题：一元二次方程实际应用（二）1．某商场销售一款消毒用湿巾，这款消毒用湿巾的成本价为每包6元，当销售单价定为10元时，每天可售出80包，根据市场行情，现决定降价销售，市场调研反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20包，为使每天这种消毒湿巾的利润达到360元，商场应把这种消毒湿巾降价多少元？12．某商场某型号的计算机2018年销售量为2880台，2020年受疫情影响，年销售量下降为2000台，求销售量的年平均下降率．若每件商品降价2元，则平均每天盈利多少元？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的盈利为320元？5．深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．（1）求平均每次降价的百分率；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？6．为满足市场需求，某工厂决定从2月份起扩大产能，其中2020年1～4月份的产量统计如图所示．求从2月份到4月份的月平均增长率．7．某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过a人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过a人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人元交入园费．下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况：旅游团队名称团队人数（人）入园费用（元）旅游团队180350旅游团队245200根据表格的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的a人是多少？8．某商家将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500件，已知这种商品每涨价0.4元，就会少销售4件．商家为了赚得8000元的利润，每件售价应定为多少？9．如图，要设计一个长为15cm，宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？10．某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低1万元时，平均每周能多售出2辆．该4S店要想平均每周的销售利润为96万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？参考答案1．解：设这种消毒湿巾降价x元，依题意得：（10﹣x﹣6）（80+×20）＝360．解得x1＝x2＝1．答：商场应把这种消毒湿巾降价1元．2．解：设销售量的年平均下降率为x，依题意可列：2880（1﹣x）2＝2000，解得：x1≈0.2＝20%．x2≈1.8（舍去）．答：销售量的年平均下降率为20%．3．解：设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20﹣x）m，依题意得：x（20﹣x）＝75，整理得：x2﹣20x+75＝0，解得：x1＝5，x2＝15，当x＝5时，20﹣x＝15；当x＝15时，20﹣x＝5．∴能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由如下：设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20﹣y）m，依题意得：y（20﹣y）＝101，整理得：y2﹣20y+101＝0，∵△＝（﹣20）2﹣4×1×101＝﹣4＜0，∴不能围成一个面积为101m2的矩形场地．4．解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量12+4＝16（件），利润为：18×16＝288．（2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为320元，由题意得：（20﹣x）（12+2x）＝320，整理得：x2﹣14x+40＝0，∴（x﹣4）（x﹣10）＝0，∴x1＝4，x2＝10，∵每件盈利不少于15元，∴x2＝10应舍去．答：每件商品降价4元时，该商品每天的销售利润为320元．5．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：100（1﹣a）2＝81，解得：a＝1.9（舍）或a＝0.1＝10%，答：每次下降的百分率为10%；（2）设每件应降价x元，根据题意，得（81﹣x）（20+2x）＝2940，解得：x1＝60，x2＝11，∵尽快减少库存，∴x＝60，答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元．6．解：设2月份到4月份的月平均增长率为x，根据题意可得方程：150（1+x）2＝384，解方程，得x1＝0.6，x2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．答：从2月份到4月份的月平均增长率为60%．7．解：由旅游团队2得：a≥45，由旅游团队1得：（80﹣a）+200＝350，解得：a1＝50，a2＝30（不合题意，舍去），答：某旅游园区对团队入园购票规定的a人是50人．8．解：设售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣40）元，能卖出500﹣×4＝（1000﹣10x）件，依题意，得：（x﹣40）（1000﹣10x）＝8000，整理得：x2﹣140x+4800＝0，解得：x1＝60，x2＝80．答：售价应定为60元/个或80元/个．9．解：设每个横彩条的宽度为5xcm，则每个竖彩条的宽度为4xcm，依题意得：（15﹣2×5x）（10﹣2×4x）＝15×10×（1﹣），整理得：8x2﹣22x+5＝0，解得：x1＝，x2＝，当x＝时，10﹣2×4x＝﹣10＜0，不合题意，舍去；当x＝时，10﹣2×4x＝8＞0，符合题意，∴5x＝，4x＝1．答：每个横彩条的宽度为cm，每个竖彩条的宽度为1cm．10．解：设每辆汽车的定价应为x元，则每辆的销售利润为（x﹣15）万元，平均每周的销售量为8+2（25﹣x）＝（58﹣2x）辆，依题意得：（x﹣15）（58﹣2x）＝96，整理得：x2﹣44x+483＝0，解得：x1＝21，x2＝23．又∵为使成本尽可能的低，∴x＝23．答：每辆汽车的定价应为23万元．。
中考数学复习考点知识专题讲义第6讲 一元二次方程及其应用
2．列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 同列一元一次方程解决实际问题的步骤一样：审、设、列、解、验、答． 关键是：审、设、列、解． 注意：检验时既要检验所求结果是否为所列方程的解，还要检验是否为原问题的解.
命题点一 一元二次方程的概念及解法(8 年 4 考)
1．(2019·山西 8 题)一元二次方程 x2－4x－1＝0 配方后可化为( D )
aa((11＋＋x)nx＝)nb＝b 或 aa((11－－x)nx＝)nb＝b
[a 为原来的量，x 为平均增长(降低)率，b 为增长(降低)后的量，n 为
增长(降低)的次数]
利率问题 销售利润问题
本息和＝本金＋利息 利息＝ 本本金×金年×利年率×利年率数×年数
利润＝售价－成本 利润
利润率＝成本×100%
2．(2019·百校联考四)一元二次方程 y2－y＝34配方后可化为( B )
B．(40－2x)(30－x)＝15×30×40 D．(40－2x)(30－x)＝45×30×40
【跟踪训练】 5．改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)10 m，宽 (AB)4 m 的矩形场地 ABCD 上修建两条同样宽的小路，其中一条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为 27 m2，则小路的宽应为多少？
2．一元二次方程根与系数的关系(选学内容)：
若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为 x1，x2，则 x1＋x2＝
－－ba
，x1·x2＝
c a
.
考点三 一元二次方程的实际应用 1．实际问题常见类型
类型
数量间的等量关系 增长数量 增长率＝基础数量×100%
2021中考数学专题06 一元二次方程在实际应用中的最值问题
专题 一元二次方程在实际应用中的最值问题【应用呈现】1、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5xm . (1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。
2、已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）A ．7B ．11C ．12D ．16 二、配方法求最值1、设a 、b 为实数，那么a ab b a b 222++--的最小值为_______。
2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为．三、“夹逼法”求最值1、不等边三角形 ABC的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
1、国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2019年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率．2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销量为件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？3、2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？4、某商场第一年销售某品牌手机5000部，如果每年的销售量比上年增长相同的百分率x，且第三年比第二年多销售了1200部，求x的值．5、某通讯公司规定：一名客户如果一个月的通话时间不超过A分钟，那么这个月这名客户只要交10元通话费；如果超过A分钟，那么这个月除了仍要交10元通话费外，超过部分还要按每分钟元交费．（Ⅰ）某名客户7月份通话90分钟，超过了规定的A分钟，则超过部分应交通话费元（用含A的代数式表示）；（Ⅱ）下表表示某名客户8月份、9月份的通话情况和交费情况：月份通话时间/分钟通话费总数/元8月份80 259月份45 10根据上表的数据，求A的值．6、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角，墙DF足够长，墙DE长为9米，现用20米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，点C在墙DF上，点A在墙DE上，（篱笆只围AB，BC两边）．（Ⅰ）根据题意填表；BC（m） 1 3 5 7 矩形ABCD面积（m2）（Ⅱ）能够围成面积为100m2的矩形花园吗？如能说明围法，如不能，说明理由．【应用呈现】1、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由． 解：（1）设每年平均增长的百分率为x ． 60002)1(x +=8640，2)1(x +=1.44，∵1+x ＞0， ∴1+x=1.2， x=20%．答：每年平均增长的百分率为20%；（2）2012年该县教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500万元． 故能实现目标．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5xm . (1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．解：(1)作BH ⊥AD 于点H ，则AH ＝3x ，由BC ＝DH ＝20－9x 得AD ＝20－6x (2)由2(20－9x )＋3x ＋9x ≤30得x ≥53，由12[(20－9x )＋(20－6x )]×4x ＝50得3x 2－8x ＋5＝0，∴x 1＝53，x 2＝1(舍去)，∴5x ＝253.答：AB 的长为253米【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。
【北师大版】2021年中考数学模拟专题《 一元一次方程、二元一次方程(组)及应用》(含解析)
专题01一元一次方程、二元一次方程（组）及应用学校：___________姓名：___________班级：___________一、选择题：（共4个小题）1．【成都四月模拟】某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（）A．1.2×0.8x＋2×0.9（60＋x）=87 B．1.2×0.8x＋2×0.9（60－x）=87 C．2×0.9x＋1.2×0.8（60＋x）=87 D．2×0.9x＋1.2×0.8（60－x）=87 【答案】B．【解析】【考点定位】一元一次方程的应用．2．【巴中】若单项式22a bx y+与413a bx y--是同类项，则a，b的值分别为（）A．a=3，b=1 B．a=﹣3，b=1 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣3，b=﹣1 【答案】A．【解析】试题分析：∵单项式22a bx y+与413a bx y--是同类项，∴24a ba b-=⎧⎨+=⎩，解得：a=3，b=1，故选A．【考点定位】1．解二元一次方程组；2．同类项．3．【绵阳】若5210a b a b+++-+=，则()2015b a-=（）A．﹣1 B．1 C．20155 D．20155-【答案】A．【解析】试题分析：∵5210a b a b+++-+=，∴⎩⎨⎧=+-=++125baba，解得：⎩⎨⎧-=-=32ba，则()20152015321b a-=-+=-（）．故选A．【考点定位】1．解二元一次方程组；2．非负数的性质．4．【乐山】电影《刘三姐》中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩．罗秀才唱到：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得均？”刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才．”若用数学方法解决罗秀才提出的问题，设“一少”的狗有x条，“三多”的狗有y 条，则解此问题所列关系式正确的是（）A．33000300x yx y+=⎧⎨<<<⎩B．33000300x yx yx y+=⎧⎪<<<⎨⎪⎩、为奇数C．330003300x yx yx y+=⎧⎪<=<⎨⎪⎩、为奇数D．3300 0300 0300 x yxyx y+=⎧⎪<<⎪⎨<<⎪⎪⎩、为奇数【答案】B．【解析】试题分析：设“一少”的狗有x条，“三多”的狗有y条，可得：33000300x yx yx y+=⎧⎪<<<⎨⎪⎩、为奇数，故选B．【考点定位】由实际问题抽象出二元一次方程．二、填空题：（共4个小题）5．【甘孜州】已知关于x的方程332xa x-=+的解为2，则代数式221a a-+的值是．【答案】1．【解析】【考点定位】一元一次方程的解．6．【南充】已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=+12,32y x k y x 的解互为相反数，则k 的值是 ． 【答案】﹣1． 【解析】试题分析：解方程组⎩⎨⎧-=+=+12,32y x k y x 得：232x k y k =+⎧⎨=--⎩，因为关于x ，y 的二元一次方程组2321x y k x y +=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，可得：2330k k +--=，解得：1k =-．故答案为：﹣1．【考点定位】二元一次方程组的解．7．【崇左】4个数a 、b 、c 、d 排列成a bc d ，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b ad bcc d=-．若3 3123 3x x x x +-=-+，则x=____．【答案】1． 【解析】试题分析：根据规定可得：223 3(3)(3)12123 3x x x x x x x +-=+--==-+，整理得：1x =，故答案为：1．【考点定位】1．解一元一次方程；2．新定义．8．【龙东】某超市“五一放价”优惠顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物合并成一次性付款可节省 元． 【答案】18或46.8． 【解析】【考点定位】1．一元一次方程的应用；2．分类讨论；3．综合题．三、解答题：（共2个小题）9．【珠海】阅读材料：善于思考的小军在解方程组2534115x yx y+=⎧⎨+=⎩①②时，采用了一种“整体代换”的解法：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为41 xy=⎧⎨=-⎩．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组325 9419x yx y-=⎧⎨-=⎩①②；（2）已知x，y满足方程组2222321247 2836x xy yx xy y⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩①②．（i）求224x y+的值；（ii）求112x y+的值．【答案】（1）32xy=⎧⎨=⎩；（2）（i）17；（ii）54±．【解析】【考点定位】1．解二元一次方程组；2．阅读型；3．整体思想；4．综合题．10．【百色】某次知识竞赛有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分．甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题．（1）甲队必答题答对答错各多少题？（2）抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队拉拉队队员小黄说：“我们甲队输了！”，小汪说：“小黄的话不一定对！”，请你举一例说明“小黄的话”有何不对．【答案】（1）甲队答对18道题，则甲队答错或不答的有2道题；（2）举例见试题解析．【解析】③若第2题甲队抢答错误：则甲得分：190-20=170分，第3题乙队抢答错误，则甲队最后得分：170分，乙队得分：185-20=165分，甲队获胜．试题解析：（1）设甲队答对x道题，则甲队答错或不答的有（20﹣x）道题，由题意，得：10x﹣5（20﹣x）=170，解得：x=18．∴甲队答错或不答的有2道题．答：甲队答对18道题，则甲队答错或不答的有2道题；（2）甲队现在得分：170+20=190分，乙队得分：19×10-5=185分，有以下三种情况，甲队可获胜：①若第2题甲队抢答正确：则甲得分：190+20=210分，第3题甲队不抢答，不管乙队抢答是否正确，则乙队最多得分：185+20=205分，甲队获胜；②若第2题甲队抢答错误：则甲得分：190-20=170分，第3题甲队抢答正确，则甲队最后得分：170+20=190分，乙队得分185，甲队获胜；③若第2题甲队抢答错误：则甲得分：190-20=170分，第3题乙队抢答错误，则甲队最后得分：170分，乙队得分：185-20=165分，甲队获胜．【考点定位】1．一元一次方程的应用；2．分类讨论；3．综合题．专题02一元二次方程及应用学校：___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题：（共4个小题）1．【达州】方程21(2)304m x mx---+=有两个实数根，则m的取值范围（）A．52m>B．52m≤且2m≠C．3m≥D．3m≤且2m≠【答案】B．【解析】试题分析：根据题意得：220301(3)4(2)04mmm m⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=----⨯≥⎩，解得52m≤且2m≠．故选B．【考点定位】1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．2．【攀枝花】关于x的一元二次方程2(2)(21)20m x m x m-+++-=有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．34m>B．34m>且2m≠C．122m-<<D．324m<<【答案】D．【解析】【考点定位】1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．3．【广安】一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A．12 B．9 C．13 D．12或9 【答案】A． 【解析】【考点定位】1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．4．【雅安中学中考模拟】关于x的方程2()0m x h k ++=（m，h，k均为常数，m≠0）的解是13x =-，22x =，则方程2(3)0m x h k +-+=，的解是 （ ） A ． 16x =-，21x =- B．10x =，25x = C ．13x =-，25x = D．16x =-，22x =【答案】B． 【解析】试题分析：解方程2()0m x h k ++=（m，h，k均为常数，m≠0）得kx h m =-±-，而关于x的方程2()0m x h k ++=（m，h，k均为常数，m≠0）的解是13x =-，22x =，所以3k h m ---=-，2k h m -+-=，方程2(3)0m x h k +-+=的解为3k x h m =-±-，所以1330x =-=，2325x =+=．故选B．【考点定位】1．解一元二次方程-直接开平方法；2．综合题． 二、填空题：（共4个小题）5．【泸州】设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为． 【答案】27． 【解析】 试题分析：∵1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，∴125x x +=，121x x =-，∴2212x x +=21212()2x x x x +-=25+2=27，故答案为：27．【考点定位】根与系数的关系．6．【达州】新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x 元，可列方程为 ． 【答案】（40﹣x）（20+2x）=1200． 【解析】【考点定位】1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．7．【广元】从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)y m x =-和关于x的一元二次方程2(1)10m x mx +++=中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是________． 【答案】2-． 【解析】试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴250m ->，∴25m <，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m=0代入2(1)10m x mx +++=中得，210x +=，△=﹣4＜0，无实数根；将1m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，10x -+=，1x =，有实数根，但不是一元二次方程；将2m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，2210x x +-=，△=4+4=8＞0，有实数根． 故m=2-．故答案为：2-．【考点定位】1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系；3．综合题．8．【凉山州】已知实数m，n满足23650m m +-=，23650n n +-=，且m n ≠，则n mm n += ．【答案】225-．【解析】试题分析：∵m n ≠时，则m，n是方程23650x x --=的两个不相等的根，∴2m n +=，53mn =-．∴原式=22m n mn +=2()2m n mn mn +-=2522()223553-⨯-=--，故答案为：225-．【考点定位】1．根与系数的关系；2．条件求值；3．压轴题． 三、解答题：（共2个小题）9．【崇左】为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？ 【答案】（1）50%；（2）18． 【解析】【考点定位】1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．10．【广元】李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铗丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于582cm，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于482cm．你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】（1）12cm和28cm；（2）正确．【解析】（2）两正方形面积之和为48时，10058482+-=xx，0416402=+-x x ，∵06441614)40(2<-=⨯⨯--， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．【考点定位】1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．。
2021年九年级数学中考复习——方程专题：一元二次方程实际应用(二)
2021年九年级数学中考复习——方程专题：一元二次方程实际应用（二）1．“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．（1）求每年绿化面积的平均增长率；（2）已知每平方米绿化面积的投资成本为60元，若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化投资成本需要多少元？2．为了创建国家级卫生城区，某社区在九月份购买了甲、乙两种绿色植物共1100盆，共花费了27000元．已知甲种绿色植物每盆20元，乙种绿色植物每盆30元．（1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物各多少盆？（2）十月份，该社区决定再次购买甲、乙两种绿色植物．已知十月份甲种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠元（a＞0），十月份乙种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠a%．因创卫需要，该社区十月份购买甲种绿色植物的数量比九月份的数量增加了a%，十月份购买乙种绿色植物的数量比九月份的数量增加a%．若该社区十月份的总花费与九月份的总花费恰好相同，求a的值．3．疫情未退，学生到校仍需随身携带口罩等个人防护用品，某商家推出了“经济型”和“豪华型”两种便携式防疫包，“经济型”的售价是“豪华型”的．（1）六月第一周该商家两种防疫包的总销售额为3600元，“豪华型”的销售额是“经济型”的2倍，销售量比“经济型”多40个，求“经济型”防疫包销售了多少个？（2）为增加销量，该商家第二周决定将“豪华型”的售价下调a%，“经济型”的售价保持不变，结果与第一周相比，“豪华型”便携式防疫包的销量增加了2a%，“经济型“的销量增加了a%，最终第二周的销售额比第一周的销售额增加了a%，求a的值．4．书籍是人类宝贵的精神财富．读书则是传承优秀文化的通道．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次．若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过450人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．5．某社区“百果园”水果店一直销售的是沙漠蜜瓜，1月份新引进一种金美人蜜瓜，其中金美人蜜瓜的销售单价是沙漠蜜瓜的倍，1月份，沙漠蜜瓜和金美人蜜瓜总计销售400kg，金美人蜜瓜的销售额为8640元，沙漠蜜瓜的销售额为4320元．（1）求金美人蜜瓜，沙漠蜜瓜的销售单价各为多少；（2）受疫情影响，水果销量急剧下降，于是百果园在4月推出“心享会员”活动，充值金额后不仅返还现金券，所有水果还可享受降价a%的折扣，非心享会员则需按原价购买，就金美人蜜瓜而言，4月销量比1月销量增加了a%，其中遇过心享会员购买的销量占4月金美人蜜瓜总销量的，不计会员充值费用以及返还的现金券，4月金美人蜜瓜的销售总额比1月金美人蜜瓜的销售总额提高了a%，求a的值．6．新冠疫情以来，口罩成为了生活和工作的必需品．某口罩生产企业主要生产过滤式和供气式两种口罩．有过滤式口罩机和供气式口罩机各10台，统计发现，去年每台过滤式口罩机的产量比每台供气式口罩机多60万个，过滤式口罩的出厂价为0.2元/个，供气式口罩的出厂价为4元/个，两种口罩全部售出，总销售额为10200万元．（1）去年每台供气式口罩机的产量为多少万个？（2）今年，为了加大口罩供应量，该企业优化了生产方法，在保持口罩机数量不变的情况下，预计每台过滤式口罩机和供气式口罩机的产量将在去年基础上分别增加2a%和a%．由于过滤式口罩更受市场欢迎，出厂价将在去年的基础上上涨a%，而供气式口罩的出厂价保持不变，两种口罩全部售出后总销售额将增加a%，求a的值．7．某水果店购进一批优质水果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该水果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系．…32.53535.538…销售量y（千克）售价x（元/…27.52524.522…千克）（1）某天这种水果售价为28元/千克，求当天该水果的销售量；（2）如果水果店该天获利400元，那么这天水果的售价为多少元？8．“新冠“疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：普通口罩N95口罩进价（元/包）820（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包（6000≤a≤7000）该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售．若这2万包口罩的利润率等于10%，则N95口罩每包售价是元．求慕美人葡萄和夏音葡萄的销售单价；（2）根据这两周的统计可以发现，该水果店的慕美人葡萄更受欢迎．为了促销，第三周该水果店决定将两种葡萄打包（慕美人葡萄和夏音葡萄各1千克）一起出售，打包价格在两种葡萄原销售单价之和的基础上打八折，如果单独购买一种，则为原价，没有折扣．在该促销活动下，第三周一共卖出了260千克慕美人葡萄，240千克夏音葡萄．第三周所获利润为6800元；第四周该水果店进一步扩大了促销力度，单独购买慕美人葡萄的在原价基础上降低2a元，结果单独购买慕美人葡萄的销售数量比上一周增加了5a%，而单独购买夏音葡萄的在原价基础上下降了2a%，结果单独购买夏音葡萄的销售数量比上一周增加了10a千克，而打包购买的折扣不变，销售数量下降了3a%．最后，第四周该水果店所获利润比第三周减少了528元，求a的值．10．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．参考答案1．解：（1）设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程：1000（1+x）2＝1210．解方程，得x1＝0.1 x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．所以每年绿化面积的平均增长率为10%．（2）1210×（1+10%）＝1331（万平方米）1331000×60＝798600000（元）答：2021年的绿化投资成本需要798600000元．2．解：（1）设该社区九月份购买甲种绿色植物x盆，购买乙种绿色植物y盆，依题意，得：，解得：．答：该社区九月份购买甲种绿色植物600盆，购买乙种绿色植物500盆．（2）依题意，得：（20﹣）×600（1+a%）+30（1﹣a%）×500（1+a%）＝27000，整理，得：1.2a2﹣30a＝0，解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为25．3．解：（1）第一周“经济型”防疫包的销售额为3600÷（1+2）＝1200（元），第一周“豪华型”防疫包的销售额为1200×2＝2400（元）．设“经济型”防疫包销售了x个，则“豪华型”防疫包销售了（x+40）个，依题意，得：＝×，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．答：“经济型”防疫包销售了80个．（2）第一周“经济型”防疫包的销售单价为1200÷80＝15（元），第一周“豪华型”防疫包的销售单价为2400×（80+40）＝20（元）．依题意，得：20（1﹣a%）×（80+40）（1+2a%）+15×80（1+a%）＝3600（1+a%），整理，得：0.24a2﹣9.6a＝0，解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为40．4．解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608．化简得：4x2+12x﹣7＝0．∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）．答：进馆人次的月平均增长率为50%．（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜450．答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．5．解：（1）设沙漠蜜瓜的销售单价为x元，则金美人蜜瓜的销售单价为x元，依题意，得：+＝400，解得：x＝27，经检验，x＝27是原方程的解，且符合题意，∴x＝36．答：金美人蜜瓜的销售单价为36元，沙漠蜜瓜的销售单价为27元．（2）1月份金美人蜜瓜的销售数量为8640÷36＝240（千克）．依题意，得：36（1﹣a%）××240（1+a%）+36×（1﹣）×240（1+a%）＝8640（1+a%），整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为20．6．解：（1）设去年每台供气式口罩机的产量为x万个，则每台过滤式口罩机的产量为（x+60）万个，依题意，得：4×10x+0.2×10（x+60）＝10200，解得：x＝240．答：去年每台供气式口罩机的产量为240万个．（2）240+60＝300（万个）．依题意，得：4×10×240（1+a%）+0.2（1+a%）×10×300（1+2a%）＝10200（1+ a%），整理，得：a2﹣50a＝0，解得：a1＝50，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为50．7．解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将（25，35），（22，38）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y＝﹣x+60（15≤x≤40）．当x＝28时，y＝﹣28+60＝32．答：当水果售价为28元/千克时，当天该水果的销售量为32千克．（2）依题意，得：（x﹣10）（﹣x+60）＝400，整理，得：x2﹣70x+1000＝0，解得：x1＝20，x2＝50（不合题意，舍去）．答：这天水果的售价为20元．8．解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，依题意，得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，整理，得：m2+2m﹣8＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴12﹣m＝10．答：此时普通口罩每包的售价为10元．（3）设N95口罩每包售价是n元，依题意，得：（20000﹣a）n﹣20×20000＝20×20000×10%，∴a＝20000﹣．∵6000≤a≤7000，∴6000≤20000﹣≤7000，∴≤n≤．又∵a和n均为正整数，∴n＝32．故答案为：32．9．解：（1）设慕美人葡萄的销售单价为x元，夏音葡萄的销售单价为y元，依题意，得：，解得：．答：慕美人葡萄的销售单价为60元，夏音葡萄的销售单价为80元．（2）设打包销售了慕美人葡萄和夏音葡萄各m千克，则单独售出慕美人葡萄（260﹣m）千克，单独售出夏音葡萄（240﹣m）千克，依题意，得：（60+80）×0.8m+60×（260﹣m）+80×（240﹣m）﹣40×260﹣50×240＝6800，解得：m＝200，∴260﹣m＝60，240﹣m＝40．又∵第四周该水果店所获利润比第三周减少了528元，∴（60﹣2a﹣40）×60（1+5a%）+[80（1﹣2a%）﹣50]×（40+10a）+[（60+80）×0.8﹣40﹣50]×200（1﹣3a%）＝6800﹣528，整理，得：a2﹣2a﹣24＝0，解得：a1＝6，a2＝﹣4．答：a的值为6．10．解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：x（33﹣2x+2）＝150，解得：x1＝10，x2＝7.5，当x1＝10时，33﹣2x+2＝15＜18，当x2＝7.5时33﹣2x+2＝20＞18，（舍去），则养鸡场的宽是10m，长为15m．（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：x（33﹣2x+2）＝200，整理得：2x2﹣35x+200＝0，△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．。
2021年九年级中考数学 专题训练 一元二次方程及其应用(含答案)
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——高斯2021中考数学专题训练一元二次方程及其应用一、选择题（本大题共10道小题）1. 若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k<-1B.k>-1C.k<1D.k>12. 一元二次方程x2＋2x－3＝0的根是()A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝33. 有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患了流感，假设每轮传染中一个人传染相同数量的人，则第一轮传染后患流感的人数为()A．10 B．50 C．55 D．454. 当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0的根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定5. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是()A．300(1＋x)＝507B．300(1＋x)2＝507C．300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507D．300＋300(1＋x)＋300(1＋x)2＝5076. 随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元下降到现在的64元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是()A．年平均下降率为80%，符合题意B．年平均下降率为18%，符合题意C ．年平均下降率为1.8%，不符合题意D ．年平均下降率为180%，不符合题意7. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k≤54 B ．k>54C ．k<54且k≠1D ．k≤54且k≠18. 一元二次方程(x ＋1)(x －3)＝2x －5的根的情况是( )A ．无实数根B ．有一个正根，一个负根C ．有两个正根，且都小于3D ．有两个正根，且有一根大于39. 若方程(x ＋3)2＝m的解是有理数，则实数m 不能．．取下列四个数中的( ) A ．1 B ．4C.14D.1210. 用换元法解方程x x －1－x －1x －2＝0时，如果设x x －1＝y ，那么将原方程变形后表示为一元二次方程的一般形式是( ) A ．y －1y －2＝0B ．y －2y －1＝0C ．y 2－2y －1＝0D ．y 2－y －2＝0二、填空题（本大题共8道小题）11. 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2－8x ＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为________．12.用公式法解方程2x 2＋43x ＝22时，其中求得的b 2－4ac 的值是________．13. 在x 2++4=0的横线上添加一个关于x 的一次项，使方程有两个相等的实数根.14. 已知方程x2－6x＋q＝0可转化为x－3＝±7，则q＝________．15. 一元二次方程4x2＝3x的解是______________．16. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡每张的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，设每张贺年卡应降低x个0.1元，则所列方程为__________________________________．17. 已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值为________．18. 2019·成都已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0的两个实数根，且x12＋x22－x1x2＝13，则k的值为________．三、解答题（本大题共6道小题）19. 已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.20. 2019·长沙近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上、线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．(1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；(2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次．21. “早黑宝”是某省农科院研制的优质新品种，在该省被广泛种植．某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到225亩．(1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率；(2)市场调查发现，当“早黑宝”售价为20元/千克时，每天能售出200千克，每千克的售价每降低1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1800元，则每千克的售价应降低多少元？22. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”题意为已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长一丈，那么门的宽和高各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)23. 2018·常州阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的解．(1)问题：方程x3＋x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝________，x3＝________；(2)拓展：用“转化”思想求方程2x＋3＝x的解；(3)应用：如图1－T－2，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8 m，宽AB＝3 m，小华把一根长为10 m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD，DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长．24. 某广告公司制作广告的收费标准是以面积为单位，在不超过规定的面积a(m2)的范围内，每张广告费1000元，如果超过a(m2)，那么除了要交1000元的广告费以外，超过的部分还要按每平方米50a元交费．下表是该公司对两家用户广告的收费面积和广告费情况的记录．广告的收费单位广告费(元)面积(m2)烟草公司61400食品公司31000红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形，如果它的四周是空白，并且四周各空0.5 m，空白部分不收广告费，中间的矩形部分才是广告的收费面积．这张广告的长、宽之比为3∶2，并且红星公司为此支出110400元的广告费．(1)求a的值；(2)红星公司要制作的这张广告的长和宽各是多少米？解题突破(7题)利用烟草公司及食品公司的广告费建立方程求a的值，利用红星公司支出的广告费和收费标准求其广告的收费面积，利用收费面积和已知条件求这张广告的长与宽．2021中考数学专题训练一元二次方程及其应用-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B[解析]∵关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，∴Δ=22-4×1·(-k)=4+4k>0，∴k>-1.2. 【答案】A3. 【答案】 C4. 【答案】A[解析]因为b+c=5，所以c=5-b.因为Δ=b2-4×3·(-c)=b2+4×3·(5-b)=(b-6)2+24>0，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根.5. 【答案】B6. 【答案】D[解析] 设年平均下降率为x，则可得100(1－x)2＝64，解之得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8＝180%.由于0＜x＜1，因此年平均下降率为180%不符合题意．7. 【答案】D[解析] ∵关于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋1＝0有两个实数根，∴Δ≥0，即12－4×(k－1)×1≥0，解得k≤5 4.又∵k－1≠0，∴k≠1，∴k 的取值范围为k≤54且k≠1. 故选D.8. 【答案】D[解析] 将一元二次方程(x ＋1)(x －3)＝2x －5化简为x 2－4x ＋2＝0.其判别式Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×2＝8＞0，∴方程的两根为x ＝－（－4）±82，即x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.∵2＋2＞3，2－2＞0，∴该方程有两个正根，且有一根大于3.故选D.9. 【答案】D10. 【答案】C[解析] 已知x x －1＝y ，那么原方程可化为y －1y －2＝0，去分母，得y 2－1－2y ＝0. 整理，得y 2－2y －1＝0.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】19或21或23 【解析】解方程x 2－8x ＋15＝0，得x 1＝3或x 2＝5，等腰三角形的一边为9，则有这样几种情况：3、9、9；5、9、9；5、5、9，周长分别为21或23或19. 12. 【答案】64 [解析] 要求b 2－4ac 的值，需先将原方程转化为ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的形式．原方程可化为2x 2＋4 3x －2 2＝0，b 2－4ac ＝(4 3)2－4× 2×(－2 2)＝64.故填64.13. 【答案】4x (或-4x ，只写一个即可)[解析]一元二次方程有两个相等的实根，则b 2-4ac=b 2-16=0，解得b=±4，所以一次项为4x 或-4x.14. 【答案】215. 【答案】x 1＝0，x 2＝34[解析] 4x 2＝3x ， 4x 2－3x ＝0， x(4x －3)＝0， x ＝0或4x －3＝0，所以x 1＝0，x 2＝34.16. 【答案】(0.3－0.1x )(500＋100x )＝12017. 【答案】0[解析] 由题意得Δ＝b 2－4ac ＝4－4(k －1)>0，∴k<2.又∵k －1≠0，即k≠1，∴k<2且k≠1，∴k 的最大整数值为0.18. 【答案】－2[解析] 根据题意，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k －1，∴x 12＋x 22－x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝4－3(k －1)＝13， 解得k ＝－2. 故答案为：－2.三、解答题（本大题共6道小题）19. 【答案】解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(2m ＋1)2－4×1×(m 2－1)＝4m ＋5＞0，解得m ＞－54.(2)答案不唯一，如取m ＝1，此时原方程为x 2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3.20. 【答案】解：(1)设这个增长率为x ， 根据题意，得2(1＋x )2＝2.42， 解得x 1＝－2.1(舍去)，x 2＝0.1＝10%. 答：这个增长率为10%.(2)2.42×(1＋0.1)＝2.662(万人次)．答：预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．21. 【答案】解：(1)设该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率为x ， 根据题意，得100(1＋x )2＝225，解得x 1＝0.5＝50%，x 2＝－2.5(不合题意，舍去)．答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率为50%.(2)设每千克的售价降低y元，则每天可售出(200＋50y)千克，根据题意，得(20－12－y)(200＋50y)＝1800，整理，得y2－4y＋4＝0，解得y1＝y2＝2.答：每千克的售价应降低2元．22. 【答案】解：设门的宽为x尺，则高为(x＋6.8)尺．根据题意，得x2＋(x＋6.8)2＝102，整理，得2x2＋13.6x－53.76＝0，解得x1＝2.8，x2＝－9.6(舍去)，所以x＋6.8＝9.6.所以门的宽为2尺8寸，高为9尺6寸．23. 【答案】解：(1)x3＋x2－2x＝0，x(x2＋x－2)＝0，x(x＋2)(x－1)＝0，∴x＝0或x＋2＝0或x－1＝0，∴x1＝0，x2＝－2，x3＝1.故答案为：－2，1.(2)2x＋3＝x，方程两边平方，得2x＋3＝x2，即x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1.当x＝－1时，2x＋3＝1＝1≠－1，∴－1不是原方程的解．∴方程2x＋3＝x的解是x＝3.(3)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3 m.设AP＝x m，则PD＝(8－x)m.∵BP＋CP＝10 m，BP＝AB2＋AP2，CP＝PD2＋CD2，∴9＋x2＋（8－x）2＋9＝10，∴（8－x）2＋9＝10－9＋x2，两边平方，得(8－x)2＋9＝100－20 9＋x2＋9＋x2，整理，得5 9＋x2＝4x＋9，两边平方并整理，得x2－8x＋16＝0，即(x－4)2＝0，解得x1＝x2＝4.经检验，x＝4是方程的解．答：AP的长为4 m.24. 【答案】解：(1)由题中表格可知3≤a＜6.根据题意，得1000＋50a(6－a)＝1400，解得a1＝4，a2＝2(舍去)，则a＝4.(2)设这张广告的收费面积为S m2，根据题意，得1000＋50×4(S－4)＝110400，解得S＝551.设这张广告的长、宽分别为3x m，2x m.根据题意，得(3x－1)(2x－1)＝551，整理，得6x2－5x－550＝0，解得x1＝10，x2＝－556(舍去)，则3x＝30，2x＝20.答：红星公司要制作的这张广告的长和宽分别是30 m和20 m.。
2021年九年级中考数学复习专题汇编：一元二次方程及其应用
2021中考数学专题汇编：一元二次方程及其应用一、选择题(本大题共10道小题)1.有X支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,那么以下方程中符合题意的是()A. 1)=45B. %(x+1)=45C. x(x—1)=45D.x(x+1)=452.用配方法解方程/一6工一8=0时,配方结果正确的选项是()A. (X-3)2=17B. (A—3)2=14C. (X-6)2=44D. (A—3)2=13.绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,可列方程为()A. x(x-10)=900B. A(x+10) = 900C. 10(x+10) = 900D. 2[x+(x+10)] = 9004.用因式分解法解一元二次方程x(x-l) — 2(1 — x)=0,变形后正确的选项是()A. (x+l)(x+2)=0B. (X+1)(A-2)=0C. (x-l)(x-2) = 0D. (A—l)(x+2)=05.某企业2021年初获利润300万元,到2021年初方案利润到达507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是()A.300(1+%) = 507B.300(1+x)2=507C.300( 1 +x)+300( 1 +x)2=507D.300+300( 1+x)+300( 1+4=5076.假设关于x的一元二次方程M+2x—k=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是()A. k<~\B. k>~\C. k<\D. k>\7.假设xi,不是一元二次方程x2—4x—5 =.的两根,那么的值为〔〕A. -5B. 5C. -4D. 48.关于X的一元二次方程『十履一2=0〔女为实数〕根的情况是〔〕A.有两个不相等的实数根C.没有实数根B.有两个相等的实数根D.不能确定9.如图,在△A8C 中,ZABC=90°, 98=8 cm, BC=6 cm.动点、P,.分别从点A, B同时开始移动,点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为2 cm/s,点Q移动到点C后停止运动,点P也随之停止运动.运动以下时间后,能使△PB.的面积为15 cm2的是〔〕A. 2 sB. 3 sC. 4 sD. 5 s10.某专卖店销售一种机床,三月份每台售价为2万元,共销售60台.根据市场调查知：这种机床每台售价每增加.1万元,每个月就会少售出1台.四月份该专卖店想将销售额提升25%,那么这种机床每台的售价应定为〔〕A. 3万元B. 5万元C. 8万元D. 3万元或5万元二、填空题〔本大题共8道小题〕11.设XI, X2是方程f-3x+2=0的两个根,那么X\+X2-Xi-X2=.12.中国“一带一路〞给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2021年人均年收入为20000元,到2021年人均年收入到达39200元,那么该地区居民人均年收入平均增长率为.〔用百分数表示〕13.如图,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路〔两条道路分别与矩形的一条边平行〕,剩余局部栽种花草,且栽种花草的面积为77 m2,设道路的宽为xm,那么根据题意,可列方程为.14 . 一个三角形其中两边的长分别为3和6,第三边的长是方程X 2-6X + 8=0的 一个根,那么此三角形的周长是 __________ .15 .你知道吗,对于一元二次方程,我国古代数学家还研究过其几何解法呢!以方 程炉+5*14=0,即x 〔x+5〕=14为例加以说明.数学家赵爽〔公元3~4世纪〕在其所著 的?勾股圆方图注?中记载的方法是:构造图〔如图1〕中大正方形的面积是 〔x+x+5〕2,它乂等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即4x14+52,据 此易得后2.那么在图2所示三个构图〔矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网 格格点上〕中,能够说明方程f>41-12=0的正确构图是.〔只填序号〕16 .方程『一6x+q =.可转化为x —3 = dr\「,那么q=.17 .关于工的一元二次方程./+ 2、+2 —.=0有两个相等的实数根,那么:+c 的值为. 18 .在^ ABC 中,BC = 2, AB = 2 小,AC = b,且关于 x 的方程 x 2~4x+b=0 有两个相等的实数根,那么AC 边上的中线长为.三、解做题(本大题共4道小题)19 .我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法.请选择适当的方法解以下方程： (11-3工+1=0； (2)(工一 1> = 3；9 , 2 1 1 9(3)JT +§X +§=0; (4)『- 2x=4. 20 .某学校机房有100台学生用电脑和1台教师用电脑,现在教师用电脑被某种 电脑病毒感染,且该电脑病毒传播得非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感 染后就会有16台电脑被感染.⑴每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？⑵假设病毒得不到有效限制,多少轮感染后机房内所有电脑都将被感染？ 21 .X 2—3X +1=0,求以下各式的值:(1>2 + ^2； (2)(X-；)2. A A22 .阅读理解.：先阅读下面的内容,再解决问题.例题：假设 nF+2mn + 2n 2—6n+9 = 0,求 m 和 n 的值.解：由于 nv +2mn + 2n 2—6n+9 = 0,所以 nf+Zmn + r + n2—6n+9 = 0,所以(m+n)2+(n —3>=0,所以 m + n = 0, n —3 = 0,所以 m=—3, n = 3.问题：(1)假设 x2+2y2—2xy+4y+4=0,求 x)'的值；(2)a, b, c 是^ ABC 的三边长,且a, b 满足a 2+b 2= 12a+8b-52,求c 的取值范围.2021中考数学专题汇编：一元二次方程及其应用■答案一、选择题(本大题共10道小题)1.【答案】A【解析】根据题意：每两队之间都比赛一场,每队参加X—1场比赛,共比赛;X(X—1)场比赛,根据题意列出一元二次方程gx(x-1)=45.应选A.2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】B ［解析］.••关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,/.A=22—4x1x( —k)=4+4k>0,Ak>-1.7.【答案】A8.【答案】A ［解析］：a=l, b=k, c=-2, /.A=b2-4ac=k2-4xlx(-2)=k2 + 8>0,・♦•方程有两个不相等的实数根.应选A.9.【答案】B ［解析］设运动时间为ts,那么BP=(8—t)cm, BQ = 2t cm,由三角形的面积公式列方程,得;・(8 - t>2t= 15, 解得ti = 3, t2=5(当t = 5时,BQ=10cm,不合题意,舍去).,动点P, Q运动3 s后,能使△ PBQ的面积为15 cm2.10.【答案】D ［解析］设这种机床每台的售价定为x万元,那么.v| 60-^j=2x60x(l +25%),解得xi =3, X2=5.二、填空题(本大题共8道小题)11.【答案】112.【答案】40% ［解析］设该地区居民人均年收入平均增长率为x,那么20000( 1+X)2=39200,解得即=0.4, &=-2.4(舍去),・••该地区居民人均年收入平均增长率为40%.故答案为:40%.13.【答案】(12-x)(8-x)=7714.【答案】13 ［解析］解方程X2-6X+8=0,得XI=2, X2=4.・・・2, 3, 6不能构成三角形,,舍去x=2.当x=4H寸,三角形的周长= 3+4+6=13.15.【答案】② ［解析］・・・/-4_¥-12=0,即x(x-4)=12,・•・构造如题图②中大正方形的面积是(x+六4)2,它乂等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即4x12+42,据此易得工=6.故填②.16.【答案】217.【答案】2 ［解析］根据题意,得△=4—4a(2—c)=0, 整理,得4ac —8a=-4,即4a(c—2)=—4.・・•方程ax2+2x+2—c=0是一元二次方程, a#0.等式两边同时除以4a,得C —2=-L a那么;+c=2. cl故答案为2.18.【答案】2 ［解析］由于关于x的方程x2—4x+b=0有两个相等的实数根,所以△=(—4)2—4b=16—4b=0,得AC = b=4.由于BC = 2, AB=2 点,所以BC2 + AB2 = AC2,所以△ ABC为直角三角形,AC为斜边,那么AC边上的中线长为斜边的一半,为2.三、解做题(本大题共4道小题)19.【答案】解：(1)Va= 1 , b=—3, c = 1 , /.b2— 4ac = ( — 3)2— 4x 1 x 1 = 5>0, ,x =一(一3) ±\ft2x1 '. 3+乖3—小• • xi = 2 ,X2= 2 •(2)X—1=±V5,/.XI = 1 + yfi, X2— 1—yf3.(3)(X+1)2=0,；・X1=X2=；.(4)x2-2x+1=4+1,即(x-1)2 = 5,/. x—1 =±\［5f xi — 1 + 小,X2— 1—A/5.20.【答案】解：(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.根据题意,得1 +x+x( 1 +x) = 16,解得xi =3,脱=—5(舍去).答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑.(2)三轮感染后,被感染的电脑台数为16+16x3 = 64, 四轮感染后,被感染的电脑台数为64+64x3=256〉101.答：假设病毒得不到有效限制,四轮感染后机房内所有电脑都将被感染.21.【答案】解.：(1)方程x2—3x+l=0的两边同除以x并移项,得x+：=3, A/. X2+^2=(X+-)2—2X ^=9-2=7.19 t 1 9 1(2)(x--)- = (x+-)--4x--=9-4=5.22.【答案】解：(1)由于x2+2y2-2xy+4y+4=0,所以X2—2xy+y2+y2+4y+4=0,所以(x — y)2 + (y+2)2 = 0,那么x —y=0, y+2=0,解得x=—2, y=-2,所以必=(_2)-2=；.(2)由于a2+b2=12a+8b-52,所以a2 - 12a+36+b2—8b+ 16 = 0,即(a-6)2+(b-4)2=0,那么a—6=0, b—4=0,解得a=6, b=4,所以2VcV10.。
2021年九年级中考数学 分类训练：一元二次方程及其应用
2021中考数学分类训练：一元二次方程及其应用一、选择题1. 若一元二次方程x2-2kx+k2=0的一根为x=-1，则k的值为()A.-1B.0C.1或-1D.2或02. 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为() A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝9003. 用因式分解法解一元二次方程x(x－1)－2(1－x)＝0，变形后正确的是() A．(x＋1)(x＋2)＝0 B．(x＋1)(x－2)＝0C．(x－1)(x－2)＝0 D．(x－1)(x＋2)＝04. 有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患了流感，假设每轮传染中一个人传染相同数量的人，则第一轮传染后患流感的人数为()A．10 B．50 C．55 D．455. 一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根6. 若方程(x＋3)2＝m的解是有理数，则实数m不能．．取下列四个数中的()A．1 B．4 C.14 D.127. 下列关于多项式－2x2＋8x＋5的说法正确的是() A．有最大值13 B．有最小值－3 C．有最大值37 D．有最小值18. 如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程中正确的是()A．(32－2x)(20－x)＝570B．32x＋2×20x＝32×20－570C．(32－x)(20－x)＝32×20－570D．32x＋2×20x－2x2＝570二、填空题9. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是.10. 方程(3x－4)2－(3x－4)＝0的根是____________．11. 如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为.12. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少个小分支．如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可列方程为__________________．13. 对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝________．14. 一元二次方程4x2＝3x的解是______________．15. 已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则1a＋c的值为________．16. 2019·成都已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0的两个实数根，且x12＋x22－x1x2＝13，则k的值为________．三、解答题17. 如图，有一矩形的硬纸板，长为30 cm，宽为20 cm，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为200 cm2?18. 【阅读材料】解方程：x4－3x2＋2＝0.解：设x2＝m，则原方程可变形为m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1；当m＝2时，x2＝2，解得x＝±2.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－ 2.【问题解决】利用上述方法解方程：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.19. 已知x＋y＝3，xy＝－7，求下列各式的值：(1)x2＋y2；(2)x2－xy＋y2；(3)(x－y)2.20. 已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．(1)求证：不论p为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)当p为何值时，方程有整数解？(直接写出三个，不需要说明理由)21. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”题意为已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长一丈，那么门的宽和高各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)22. 等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值．23. 某商店准备进一批季节性小家电，单价为每个40元，经市场预测，售价为每个52元时，可售出180个，每个小家电的售价每增加1元，销售量净减少10个；每个小家电的售价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若准备获利2000元．(1)该商店应考虑涨价还是降价？请说明理由；(2)应进货多少个？售价为每个多少元？2021中考数学分类训练：一元二次方程及其应用-答案一、选择题1. 【答案】A[解析]把x=-1代入方程得1+2k+k2=0，解得k1=k2=-1，故选A.2. 【答案】B3. 【答案】D4. 【答案】C5. 【答案】A [解析] 整理，得x 2－2x －4＝0，Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2＋16＝20>0.故选A.6. 【答案】D7. 【答案】A8. 【答案】A二、填空题9. 【答案】k<- [解析]∵关于x 的一元二次方程x 2-(2k -1)x +k 2+3=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(2k -1)2-4(k 2+3)>0，解得k<-.10. 【答案】x 1＝43，x 2＝53[解析] 原方程左边分解因式得(3x －4)[(3x －4)－1]＝0，即(3x －4)(3x －5)＝0.于是3x －4＝0或3x －5＝0.所以x 1＝43，x 2＝53.11. 【答案】(12-x )(8-x )=7712. 【答案】x 2＋x ＋1＝73[解析] 设每个支干又长出x 个小分支， 根据题意，得x 2＋x ＋1＝73.13. 【答案】－3或4 [解析] 根据题意，得[(m ＋2)＋(m －3)]2－[(m ＋2)－(m －3)]2＝24.整理，得(2m －1)2＝49，即2m －1＝±7，所以m 1＝－3，m 2＝4.14. 【答案】x 1＝0，x 2＝34[解析] 4x 2＝3x ， 4x 2－3x ＝0，x(4x －3)＝0，x ＝0或4x －3＝0，所以x 1＝0，x 2＝34.15. 【答案】2 [解析] 根据题意，得Δ＝4－4a(2－c)＝0，整理，得4ac －8a ＝－4，即4a(c －2)＝－4.∵方程ax 2＋2x ＋2－c ＝0是一元二次方程，∴a≠0.等式两边同时除以4a ，得c －2＝－1a ，则1a ＋c ＝2.故答案为2.16. 【答案】－2 [解析] 根据题意，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k －1，∴x 12＋x 22－x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝4－3(k －1)＝13，解得k ＝－2.故答案为：－2.三、解答题17. 【答案】解:设剪去的小正方形的边长为x cm ，根据题意有:(30-2x )(20-2x )=200，解得x 1=5，x 2=20，当x=20时，30-2x<0，20-2x<0，所以x=5.答:当剪去的小正方形的边长为5 cm 时，长方体盒子的底面积为200 cm 2.18. 【答案】解：(x 2－2x)2－5x 2＋10x ＋6＝0.(x 2－2x)2－5(x 2－2x)＋6＝0.设x 2－2x ＝m ，则原方程可变形为m 2－5m ＋6＝0，解得m 1＝3，m 2＝2.当m ＝3时，x 2－2x ＝3，解得x ＝3或x ＝－1.当m ＝2时，x 2－2x ＝2，解得x ＝1±3.所以原方程的解为x 1＝3，x 2＝－1，x 3＝1＋3，x 4＝1－ 3.19. 【答案】解：(1)x 2＋y 2＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy ＝(x ＋y)2－2xy ＝32－2×(－7)＝23.(2)x 2－xy ＋y 2＝x 2＋2xy ＋y 2－3xy ＝(x ＋y)2－3xy ＝32－3×(－7)＝30.(3)(x －y)2＝x 2－2xy ＋y 2＝x 2＋2xy ＋y 2－4xy ＝(x ＋y)2－4xy ＝32－4×(－7)＝37.20. 【答案】解：(1)证明：原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝(－5)2－4(4－p 2)＝4p 2＋9＞0，∴不论p 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.由求根公式得方程的根为x ＝5±4p 2＋92. ∵方程有整数解，∴找到p 的值，使5±4p 2＋92为整数即可， ∴p 可取0，2，－2，10，－10等，此时方程有整数解(答案不唯一，写出三个即可)．21. 【答案】解：设门的宽为x 尺，则高为(x ＋6.8)尺．根据题意，得x 2＋(x ＋6.8)2＝102，整理，得2x 2＋13.6x －53.76＝0，解得x 1＝2.8，x 2＝－9.6(舍去)，所以x ＋6.8＝9.6.所以门的宽为2尺8寸，高为9尺6寸．22. 【答案】解：∵三角形是等腰三角形，∴此题分以下两种情况：①a＝2或b＝2；②a＝b.①当a＝2或b＝2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，∴2是方程x2－6x＋n－1＝0的一个根．把x＝2代入x2－6x＋n－1＝0，得22－6×2＋n－1＝0，解得n＝9.当n＝9时，方程的两根为x1＝2，x2＝4，而2，4，2不能组成三角形，故n＝9不合题意，舍去．②当a＝b时，方程x2－6x＋n－1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4(n－1)＝0，解得n＝10.当n＝10时，方程的两根为x1＝x2＝3，2，3，3能组成三角形，故n＝10符合题意．综上所述，n的值是10.23. 【答案】解：(1)该商店应考虑涨价．理由：售价为每个52元时，可售出180个，因为单价为每个40元，所以获利(52－40)×180＝2160(元)．若准备获利2000元，降价时每个的利润减少，销售量增加，又受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，所以该商店应考虑涨价．(2)由(1)知该商店应考虑涨价，设售价为每个x元，则x>52.根据题意，得(x－40)[180－10(x－52)]＝2000，整理，得x2－110x＋3000＝0，解得x1＝50(不合题意，舍去)，x2＝60.当x＝60时，180－10(x－52)＝180－10×(60－52)＝100.答：应进货100个，售价为每个60元．。
备战中考数学分点透练真题一元二次方程及其应用(解析版)
第六讲一元二次方程及其应用命题点1 一元二次方程及其解法类型一解一元二次方程1．（2021•赤峰）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（）A．（x﹣4）2＝18B．（x﹣4）2＝14C．（x﹣8）2＝64D．（x﹣4）2＝1【答案】A【解答】解：∵x2﹣8xA﹣2＝0，∴x2﹣8x＝2，则x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，故选：A．2．（2021•西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（）A．6B．10C．12D．24【答案】C【解答】解：法1：方程x2﹣10x+24＝0，分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，解得：x＝4或x＝6，∴菱形两对角线长为4和6，则这个菱形的面积为×4×6＝12；法2：设a，b是方程x2﹣10x+24＝0的两根，∴ab＝24，则这个菱形的面积为ab＝12．故选：C．3．（2021•新疆）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝3C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3【答案】B【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，则x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝3，故选：B4.（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是．【答案】x1＝2，x2＝﹣4【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．5.（2012•永州）解方程：（x﹣3）2﹣9＝0．【答案】x1＝6，x2＝0．【解答】解：移项得：（x﹣3）2＝9，开平方得：x﹣3＝±3，则x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，解得：x1＝6，x2＝0．6．（2021•兰州）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．【答案】x1＝3+，x2＝3﹣．【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，移项得：x2﹣6x＝1，配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，开方得：x﹣3＝±，则x1＝3+，x2＝3﹣．7．（2018•兰州）解方程：3x2﹣2x﹣2＝0．【答案】【解答】解：a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，则△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，则＝即，∴原方程的解为，8．（2021•齐齐哈尔）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．【答案】x1＝7，x2＝﹣8．【解答】解：x（x﹣7）＝8（7﹣x），x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，（x﹣7）（x+8）＝0，x1＝7，x2＝﹣8．9．（2021•嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】X x1＝3，x2＝6．【解答】解：小敏：×；小霞：×．正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x1＝3，x2＝6．类型二一元二次方程解的应用10．（2021•聊城）关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（）A．2或4B．0或4C．﹣2或0D．﹣2或2【答案】B【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4﹣8k+2k2＝4，整理得k2﹣4k＝0，解得k1＝0，k2＝4，即k的值为0或4．故选：B．命题点2 一元二次方程根的判别式类型三已知方程判断根的情况11．（2021•河池）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定【答案】A【解答】解：∵Δ＝m2﹣4（﹣m﹣2）＝m2+4m+8＝（m+2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．12．（2020•潍坊）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】A【解答】解：Δ＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即Δ＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．13．（2021•青海）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于．【答案】6【解答】解：将x＝m代入方程x2+x﹣6＝0，得m2+m﹣6＝0，即m2+m＝6，故答案为：6类型二根据方程根的情况求字母的取值（范围）14．（2021•毕节市）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4B．a＞﹣4C．a≥﹣4且a≠0D．a＞﹣4且a≠0【答案】D【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，解得a＞﹣4且a≠0，故选：D．15．（2021•河南）若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（）A．﹣1B．0C．1D．【答案】D【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，解得：m＞1，∴m只能为，故选：D．16．（2021•郴州）关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．【答案】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4m＝0，解得：m＝．故答案为：．命题点3 一元二次方程根与系数的关系17．（2021•盐城）设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值为（）A．﹣2B．﹣3C．2D．3【答案】C【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数是a＝1，一次项系数b＝﹣2，∴由韦达定理，得x1+x2＝2．故选：C．18．（2021•济宁）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n 的值等于（）A．2019B．2020C．2021D．2022【答案】B【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根，∴m2+m﹣2021＝0，∴m2+m＝2021，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．故选：B．19．（2021•南充）已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（）A．1B．﹣1C．2021D．﹣2021【答案】B【解答】解：方法一：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2021，x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，∵x2≠0，∴x2﹣2021+＝0，∴﹣＝x2﹣2021，∴﹣，∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212＝2021（x1+x2）﹣1﹣20212＝20212﹣1﹣20212＝﹣1．方法二：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，∴x1•x2＝1，x12﹣2021x1+1＝0，∴x12﹣2021x1＝﹣1，∴x12﹣＝x12﹣＝x12﹣2021x1＝﹣1．故选：B．20．（2021•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．【答案】（1）m＞（2）1【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣2m+5）＞0，解得m＞；（2）设x1，x2是方程的两根，根据题意得x1+x2＝4＞0，x1x2＝﹣2m+5＞0，解得m＜，所以m的范围为＜m＜，因为m为整数，所以m＝1或m＝2，当m＝1时，方程两根都是整数；当m＝2时，方程两根都不是整数；所以整数m的值为1．命题点8 一元二次方程的实际应用类型一变化率问题21．（2021•内江）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A．20%B．25%C．30%D．36%【答案】A【解答】解：设每次降价的百分率为x，依题意得：25（1﹣x）2＝16，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．故选：A．22．（2021•张家界）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？【答案】（1）10% （2）13.31万人【解答】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，依题意得：10（1+x）2＝12.1，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万人）．答：预计6月份的参观人数为13.31万人类型二传播、分裂问题23．（2021•黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A．14B．11C．10D．9【答案】B【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，即（1+x）2＝144，解方程得x1＝11，x2＝﹣13（舍去），故选：B．24．（2019•黑龙江）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：设这种植物每个枝干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．故选：C．类型三图形面积问题25．（2020•济南）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为米．【答案】1【解答】解：设道路的宽为x m，根据题意得：（10﹣x）（15﹣x）＝126，解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），则道路的宽应为1米；故答案为：1．26．（2020•西藏）列方程（组）解应用题某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．【答案】长和宽分别为30m、20m．【解答】解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．类型四每每问题27.（2021•菏泽）列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？【答案】29元/千克【解答】解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，整理得x2﹣12x+27＝0，∴x＝3或x＝9．∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x＝9，∴售价为38﹣9＝29元/千克．答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．28．（2021•烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【答案】（1）50元（2）8【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．答：售价应定为50元；（2）该商品需要打a折销售，由题意，得，62.5×≤50，解得：a≤8，答：该商品至少需打8折销售．类型五其他类型29．（2021•山西）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】5【解答】解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），依题意得：x（x+8）＝65，整理得：x2+8x﹣65＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：这个最小数为5．30．（2021•重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．（2）20 【解答】解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，依题意得：x+100+x＝500，解得：x＝200，∴x+100＝300．答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，依题意得：300（1+a%）t+200（1+3a%）（1﹣a%）t＝500t（1+a%），设a%＝m，则原方程可化简为5m2﹣m＝0，解得：m1＝，m2＝0（不合题意，舍去），∴a＝20．答：a的值为20．。
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第6讲一元二次方程及其应用
一、选择题
1．(2020·临沂)一元二次方程x2－4x－8＝0的解是(B)
A．x1＝－2＋2 3 ，x2＝－2－2 3
B．x1＝2＋2 3 ，x2＝2－2 3
C．x1＝2＋2 2 ，x2＝2－2 2
D．x1＝2 3 ，x2＝－2 3
2．(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是(A)
A．－4，21 B．－4，11
C．4，21 D．－8，69
3．(2020·河南)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为(A)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
4．(2020·铜仁)已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于(B)
A．7 B．7或6
C．6或－7 D．6
5．(2020·鄂州)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.92万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为(C)
A.20% B．30% C．40% D．50%
6．(2020·随州)将关于x的一元二次方程x2－px＋q＝0变形为x2＝px－q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x·x2＝x(px－q)＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2－x－1＝0，且x＞0，则x4－2x3＋3x的值为(C)
A．1－ 5 B．3－ 5
C．1＋ 5 D．3＋ 5
二、填空题
7．(2020·江西)若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为__－2__．
8．(2020·荆门)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m＞0)的一个根比另一个根大2，则m的值为__1__．
9．(2020·邵阳)中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为__x(x＋12)＝864__．
10．(2020·山西)如图是一张长12 cm ，宽10 cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm 2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为__2__ cm .
三、解答题
11．(2020·无锡)解方程：x 2＋x －1＝0.
解：x 1＝－1＋52 ，x 2＝－1－52
.
12．关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．
解：∵关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，∴b 2－4ac ＝4－4(2m －1)≥0，解得：m ≤1，∵m 为正整数，∴m ＝1，∴x 2－2x ＋1＝0，则(x －1)2＝0，解得：x 1＝x 2＝1.
13．(2020·上海)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．
解：(1)450＋450×12%＝504(万元).
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x ，依题意，得：350(1＋x)2＝504， 解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去).
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%.
14．(丽水一模)新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
(1)已知矩形ABCD 的长12、宽2，矩形EFGH 的长4、宽3，试说明矩形EFGH 是矩形ABCD 的“减半”矩形．
(2)矩形的长和宽分别为2，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由．
解：(1)矩形EFGH 的周长为14，面积为12，矩形ABCD 的周长为28，面积为24，所以矩形EFGH 是矩形ABCD 的“减半”矩形；
(2)不存在．理由如下：假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x ，y ，则
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32，xy ＝1，
可得x 2－32 x ＋1＝0，Δ＝b 2－4ac ＝94 －4＝－74 ＜0，所以不存在．
15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ；以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD.
(1)若∠A ＝28°，求∠ACD 的度数．
(2)设BC ＝a ，AC ＝b.
①线段AD 的长是方程x 2＋2ax －b 2＝0的一个根吗？说明理由．
②若AD ＝EC ，求a b
的值．
解：(1)∵∠ACB ＝90°，∠A ＝28°，∴∠B ＝62°，∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝59°，∴∠ACD ＝90°－∠BCD ＝31°；
(2)①由勾股定理得，AB ＝AC 2＋BC 2 ＝a 2＋b 2 ，∴AD ＝a 2＋b 2 －a ，解方程x 2＋2ax －b 2＝0得，x ＝－2a±4a 2＋4b 2
2
＝±a 2＋b 2 －a ，∴线段AD 的长是方程x 2＋2ax －b 2＝0的一个根；
②∵AD ＝AE ，∴AE ＝EC ＝b 2 ，由勾股定理得，a 2＋b 2＝(12 b ＋a)2，整理得，a b ＝34
.。