最新五年广东高考数学试题分析

最新五年广东高考数学试题分析

一、在模块的交汇处设计试题

早在1993年，原国家教委考试中心首次提出：“在知识点的交汇处设计试题”，基本确定了高考数学试题命制的理论。这一提法得到了命题专家的认同，更得到了广大中学数学教师的赞许。在这一理论框架指导下，以后的数学试题避免了在难度上大起大落的现象发生，保持了一定的稳定性。

纵观广东省近五年的高考数学试卷，在这方面的特点尤其显著：

例1：04年17题

已知角,,αβγ成公比为2的等比数列（[0,2]απ∈），s i n ,s i n ,s i n αβγ也成等比数列，求,,αβγ的值。

简解：由题意，可以设2,4βαγα==，那么

2sin 2sin 4cos 2cos 1sin sin 2αααααα=⇒=-，则有cos 1α=或1cos 2α=- 当cos 1α=时，sin 0α=与等比数列概念矛盾， 当1cos 2α=-时，[0,2]απ∈，所以23πα=或43

πα= 则248,,333πππαβγ===或4816,,333

πππαβγ=== 试题特点：

这是04年解答题的第一题，属于容易题。试题将三角函数变换与等比数列的有关概念糅合在一起，侧重于基础知识、基本能力的考查。

例2：05年18题

箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为:s t 现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数 （Ⅰ）求ξ的分布列；

（Ⅱ）求ξ的数学期望.

简解： （Ⅰ）()(0,1,2,,)()k

k

st P k k n s t ξ===⋅⋅⋅+ （Ⅱ）ξ的数学希望为

n n

n n t s t n t s st n t s st t s st t s s E )

()()1(...)(2)(1011322+⨯++⨯-+++⨯++⨯++⨯=--ξ (1)

图1 11

1113322)

()()1()()2(...)(2)(++---+++-++-+++++=+n n n n n n t s nt t s st n t s st n t s st t s st E t s t ξ…(2) (1) －(2)得

n

n

n n n n t s nt t s t n t s s t s t E )()()1()(11+++--+-=--ξ 试题特点：

这是解答题的第四题，属于中档题目。试题的切入点在概率的分布列与等比数列中的“错位相减”交汇之处，设计新颖，令人叫绝。

类似还有06年18题、07年文科19题等。在刚刚结束的2008年高考中，依然延续了这种命题风格。

例3：08年理科18题

设0b >，椭圆方程为22

2212x y b b

+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图1所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点

为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存

在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？

并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

简解：

（1）由28()x y b =-得218y x b =+，G 点的坐标为(4,2)b +，1'4

y x =，4'|1x y ==， 那么过点G 的切线方程为2y x b =+-，令0y =得2x b =-，∴1F (2,0)b -，

那么2b b -=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2

212

x y +=和28(1)x y =-； （2）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，

同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个。

若以APB ∠为直角，设P 点坐标为2

1

(,1)8x x

+，A 、B

两点的坐标分别为(和，

222421152(1)108644

PA PB x x x x =-++=+-=。 关于2x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ∆有两个， 因此抛物线上存在四个点使得ABP ∆为直角三角形。

试题特点：从07年开始，广东省的高考试题是按新课程标准命制的。新的课程标准打破

了原来教材的编排顺序，采取不同的模块制。各个模块之间即相对独立又同属于一个完整的知识体系，模块之间相互交叉渗透。相对于原来版本的教材，在这种模块式的划分下，知识的体系显得松散了一些，这是新课程标准实施过程中广大一线教师颇感困惑之处，也是导致新课程标准屡屡遭受“炮轰”的原因之一。怎样才能继续保持“在知识网络交汇处”命制试题的原则又能体现新课程标准的精神？广东的数学试题提供了一种可操作的模式：注意模块之间的交叉。此题目涉及的知识点有必修1中函数的零点（方程的根）、选修2-1中的椭圆标准方程及其几何性质以及导数、选修2-2中的推理与证明等。题目不难，典型的“多想少算”，跨越的模块多，考生感到不适应，得分率偏低。再如08年高考文科18题、理科20题，涉及到必修2中的立体几何初步以及必修5中的解三角形，考生与教师均感到“出呼意料之外”。 备考建议：

“三轮”的复习方案具有一定的科学性，鉴于新课程标准的特点，第一轮复习应该适当降低难度，首先解决本模块的基础知识、基本技能，跨模块的综合问题不易过早涉及。第二轮复习要做重大调整，要将各个模块知识重新组合成若干专题，避免“深挖洞”：控制难度，应该“广积粮”：进行模块的交叉与综合。要注意，当前的许多参考书籍是不适合作为新课程实施地区备考复习资料的。教师要精选素材，注重模块的综合与交叉。从广东省近五年试题来看，在模块的交汇处命制的题目不一定是难题，甚至是命题专家眼中的“容易题”，如果我们不进行针对性训练，那么这种“容易题”就成了考生升学道路上的“拦路虎”。广大一线数学教师要进行教学反思，发挥群体智慧，从“模块的交汇”这一视角出发，或自行命制，或将成题巧妙组合，作到推陈出新。这样，才是大面积提高教学质量的有效途径。

二．重点知识与数学思想方法------常考常新

高考命题，不刻意追求知识点的覆盖率，不回避重点知识的考查，这是当前高考数学试题的另一个特色。重点知识：是那些在整个高中数学知识体系中的主干；重要方法：就是在学生数学思维发展过程中起到“推波助澜”作用的思想与方法。将这些“陈旧”的知识点与思想方法设计成新颖的数学试题，整个试卷才会显得“骨骼强大”、“肌肉丰满”。

例4：07年理科20题

已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．

简解：命题组与评卷组提供的解法有七八种之多，大多数都比较繁杂。这里提供一种简洁的方法。

将函数解析式变形为 2

(21)23a x x y -+-=

，令2210x -=则23y x =- ，即曲线2()223f x ax x a =+-- 不论a 取任何实数均经过定