最新五年广东高考数学试题分析
广东省高考数学试卷评析
广东省高考数学试卷评析本年的广东省高考试卷在重点知识的考察顺序上做了一些调解，如文科卷的选择题中剖析几多的位置连续后移，理科卷的选择题中立体几多与概率统计也产生了后移现象。
说明本年的命题者以为立体几多与概率统计的内容敷衍学生来说是有一定难度的。
命题者依据考试大纲和说明设计试题，试卷最大的特点是：布局合理、考察全面、表现双基、增强思维。
下面我将从以下几个方面来举行评析：一、试题布局填空题方面，原先14、15两题一直都是几多证明放在火线，本年却将坐标系与参数方程放在了火线，虽然是选做题，却也隐性的加大了试卷的难度，可以猜测相敷衍全卷，这里的得分率相敷衍往年会有所降低。
考察的内容主要为以下三类：代数：1.函数与导数（文12.文19.）2.三角函数与解三角形（理16 文16）3.数列与不等式（理11 文11 文20）几多:1.立体几多（理18 文18）2.剖析几多（理21）3.坐标法与向量（理5）统计概率:1.统计图表与数字特性（文17）2. 概率与数理推理（理17）二、能力考察根据高考考纲和实际考察环境，本次高考试题将考生的能力全面的考量了一番：如空间想象能力(文9，理7)、推理论证能力(文理18)、运算求解能力(文理19)、数据处理能力(文17，理13)、应用意识和创新意识(文10、理8)等。
三、应用标题在应用标题上分值有所变化：文科从08年到10年依次占30%，27%，23%，逐年降低，理科从08年到10年依次占18%，21%，23%，逐年升高，2019年应用标题分别为12%分，15%分，一方面可见四年来应用标题在理科考卷中占的比分是比文科卷要多的;比如说：统计与概率思想保持将统计中用抽样样本预计总体的思想与概率的数理剖析有机地连合举行考察.更为重视数据处理能力在标题办理中的反应，夸大与统计案例相连合考察（文）17.（本小题满分13分）在某次考试中，有6位同砚的均匀成绩为75分。
用xn表示编号为n(n=1,2,,6)的同砚所得成绩，且前5位同砚的成绩如下：(1)求第6位同砚的成绩x6，及这6位同砚成绩的标准差s; （2）从前5位同砚中，随机地选2位同学，求恰有1位同砚成绩在区间（68，75）中的概率。
2023年广东高考数学选择题讲解
2023年广东高考数学选择题讲解一、第一大题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 某小组有16名成员，其中男生与女生人数之比为3:2。
若增加男生人数使男生和女生人数之比变为2:1，那么增加的男生人数是多少？解析：设男生人数为3x，女生人数为2x，增加的男生人数为y。
根据题意，有(3x+y) / (2x) = 2/1，化简得3x + y = 4x。
整理得y = x。
由题可得x为16，所以增加的男生人数为16人。
2. 在平面直角坐标系中，点A(5,2)和点B(1,6)。
若点P(x,y)满足AP=BP，那么点P的坐标是多少？解析：根据题意，点P到点A和点B的距离相等。
可以利用距离公式进行计算。
设点P的坐标为(x,y)，则根据勾股定理：AP² = (x-5)² + (y-2)²，BP² = (x-1)² + (y-6)²。
令AP² = BP²，得到(x-5)² + (y-2)² = (x-1)² + (y-6)²。
化简得:3(x²-6x+4) + 3(y²-8y+16) = 0。
整理得:x²-6x+y²-8y = -12。
将x²-6x+y²-8y = -12展开，移项整理后，得到：(x-3)² + (y-4)² = 25。
即点P的坐标为(3,4)。
3. 函数f(x) = x³ - 2x + 1，g(x) = √(3x + 5)的图象P与xy坐标轴交于点A、B、C三点。
则三角形ABC的面积是多少？解析：解题的关键是求出三个交点的坐标，然后应用面积公式计算三角形ABC的面积。
令f(x) = 0，解得x=1的解。
令g(x) = 0，解得x=-1的解。
令x=0，解得f(x) = 1的解。
则点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(1,0)，点C的坐标为(-1,0)。
2025届广东省广东实验中学高考数学必刷试卷含解析
2025届广东省广东实验中学高考数学必刷试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ）A ．5B ．22C ．4D ．162．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．83 3．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23 B ．43 C ．83 D ．1634．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥ 5．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．6．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( ) A ．B ．2C ．3D ．67．已知平面向量,a b 满足||||a b =，且2)b b -⊥，则,a b 所夹的锐角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．08．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 9．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 10．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．[2,2)- B ．(]1,1- C ．()11-， D ．()12-， 11．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<12．已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 3，则p=（ ）．A ．1B ．32C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考数学预测卷及答案解析(广东卷)
2023年高考数学预测卷及答案解析（广东卷）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设全集U =R ，集合{}220A x x x =--≤，{}lg 0B x x =<，则()U A B ⋂=ð（）A ．(],1-∞-B ．()[),12,-∞+∞C ．(][),01,-∞+∞D ．(),1-∞-【答案】C【分析】根据题意，将集合,A B 化简，然后结合集合的运算，即可得到结果.【详解】因为{}220A x x x =--≤，则[]1,2A =-，因为{}lg 0B x x =<，则()0,1B =，所以()0,1A B = ，即()(][)U ,01,A B ⋂=-∞+∞ ð.故选:C2．已知复数z 满足2i 1iz -=-+，则z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】化简复数z ，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足2i 1iz -=-+，可得()()()()21i 1i 1i 12i i i=1+2i 1i i z -==-=----++++-+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,2)-位于第二象限.故选：B.3．已知向量a ，b满足(1,a = ，()0a a b ⋅+= ，则b 在a方向上的投影向量的模为（）A．2B．2C．D ．3【答案】D【分析】根据题意和向量数量积的运算得出9a b ⋅=-，然后代入公式即可求解.【详解】因为(1,a = ，所以3a = ，又()20a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以9a b ⋅=-，则b 在a 方向上的投影向量的模为9cos ,33a b b a b a ⋅===，故选：D ．4．二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（）A ．146B ．123C ．523D ．16【答案】C【分析】直接由组合结合古典概型求解即可.【详解】由题意知：从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为262244C 5C 23P ⨯==.故选：C.5．设随机变量()2~,X N μσ，则“1μ≥”是“1(2)2P X <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案.【详解】当1μ=时，根据正态曲线的对称性可知1(2)2P X <>，故1μ≥不是1(2)2P X <<的充分条件；反之，若1(2)2P X <<，由对称性可知1μ≥，故1μ≥是1(2)2P X <<的必要条件；故1μ≥是1(2)2P X <<的必要不充分条件，故选：B6．已知等比数列{}n a 的公比为q （0q >且1q ≠），若614388a a a a +=+，则q 的值为（）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】C【分析】根据等比数列通项的运算性质可求得公比的值.【详解】已知等比数列{}n a 的公比为q （0q >且1q ≠），若614388a a a a +=+，则643188a a a a -=-，所以()33136431318q a a a a q a a a a --===--，解得2q =.故选：C.7．已知1cos 23x =-，则22ππcos cos 66x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．916B ．56C ．1320D ．1724【答案】B【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.【详解】22ππ1cos 21cos 2ππ33cos cos 6622x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111cos 2sin 21cos 2sin 2222222x x x x ++-=+11151cos 212236x ⎛⎫=+=+⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.8．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，若三棱柱111ABC A B C -的体积为）A ．12πB ．6πC ．16πD ．8π【答案】A【分析】根据直三棱柱的体积得到24r h =，根据直三棱柱外接球半径的求法得到2222444h h R r h=+=+，然后构造函数，求导得到2R 的最小值，即可得到外接球表面积的最小值.【详解】设直三棱柱的高为h ，外接球的半径为R ，ABC 外接圆的半径为r，则2123sin 23r h π⨯=24r h =，又2222444h h R r h =+=+，令()244h f h h=+，则()3224822h h f h h h-=-='，易知()f h 的最小值为()23f =，此时23R =，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为12π.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A ．“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件B ．命题“(0,)∀∈+∞x ，11x x+>”的否定是“(0,)∀∈+∞x ，11x x+≤”C ．若22cos sin 1αβ+=，则αβ=D ．221log (4y x =-+的最大值为2-【答案】AD【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断A ；利用全称量词命题的否定判断B ；举例说明判断C ；利用对数函数单调性求出最值判断D 作答.【详解】对于A ，“若a b >，则22a b >”是假命题，因为12>-，而221(2)<-；“若22a b >，则a b >”是假命题，因为2221()->，而21-<，即a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，A 正确；对于B ，命题“(0,)∀∈+∞x ，11x x+>”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，因此它的否定是“(0,)x ∃∈+∞，11x x+≤”，B 错误；对于C ，当π2π,33αβ==时，22cos sin 1αβ+=成立，因此22cos sin 1αβ+=成立，不一定有αβ=，C 错误；对于D ，函数221log ()4y x =-+的定义域为11(,22-，211044x <-+≤，而函数2log y t =在(0,)+∞上单调递增，因此当0x =时，max 21log 24y ==-，D 正确.故选：AD 10．已知()2π4cos sin(3）f x x x =⋅+-，下列选项正确的是（）A ．()f x 的值域为(][),11,-∞-⋃+∞B ．()f x 的对称中心为()ππ,032k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C ．()f x 的单调递增区间为ππππ,12232k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和()ππ7ππ,32122k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z D ．()1cos2g x x =图像向右平移π12个单位与()f x 的图像重合【答案】ABD【分析】利用三角恒等变换化简整理得()1πsin 23f x x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合三角函数性质以及图象变换逐项分析判断.【详解】由题意可得：()2π4cos sin(3f x x x ==⋅+1πsin 23x ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，对于A ：因为[)]πsin 21,0(0,13x ⎛⎫+∈-⋃ ⎪⎝⎭，所以()][(),11,f x ∈-∞-+∞U ，故A 正确；对于B ：因为()f x 的对称中心与函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心相同，令π2π,3x k k +=∈Z ，解得ππ,32k x k =+∈Z ，故()f x 的对称中心为()ππ,032k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，故B 正确；对于C ：若()f x 单调递增，则πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，令()πππ3π2π2π2π,π2π22π2332k x k k x k k +≤+<++<+≤+∈Z ，解得()πππ7πππ,ππ123312k x k k x k k +≤<++<≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为ππππ,12232k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和()ππ7ππ,32122k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，故C 错误；对于D ：()g x 图像向右平移π12个单位，得到1111πππππcos 2cos 2sin 2cos 2126332y x x x x ===⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫--++- ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，与()f x 解析式相同，图像重合，故D 正确．故选：ABD.11．下列说法正确的是（）A ．若0a >，0b >，且4a b +=，则11a b+的最小值为1B ．若0a >，0b >，且2a b +=，则ab 的最小值为1C ．若关于x 的不等式()()10x a x +-<的解集为()1,3，则3a =-D ．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集为(),1a 【答案】AC【分析】根据基本不等式判断A ；根据()24a b ab +≤判断B ；根据一元二次不等式的解集判断C ；根据,1a 的大小关系判断D.【详解】解：对于A ，因为()1111112144b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，因为2a b +=，所以()214a b ab +≤=，当且仅当1a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为1，故B 错误；对于C ，因为()()10x a x +-<的解集为()1,3，所以3a =-，故C 正确；对于D ，因为()()()2110x a x a x a x -++=--<，所以，当1a =时，不等式的解集为∅；当1a <时，不等式的解集为(),1a ；当1a >时，不等式的解集为()1,a ，故D 错误.故选：AC12．设双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为(),0,3F M b ，若直线l 与E 的右支交于,A B 两点，且F 为MAB △的重心，则（）A ．E 的离心率的取值范围为)3∞⎛⋃+⎝B ．E 的离心率的取值范围为)∞⋃+⎝C ．直线l 斜率的取值范围为(,∞⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭D ．直线l 斜率的取值范围为(,3∞⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据重心性质得出AB 中点D 的坐标，根据直线l 与E 的右支交于,A B 两点可知点D 在右支内部，将D 的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线l 的斜率与,,a b c 之间等式关系，由,,,M F A B 不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线l 的斜率与,,a b c 之间等式关系，即可得斜率的取值范围，解出即可.【详解】解：设D 为AB 的中点，根据重心性质可得2MF FD =，因为()(),0,0,3F c M b ，则33,22c b D ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为直线l 与E 的右支交于,A B 两点，所以点D 在双曲线右支内部，故有222299441c b a b->，解得3c a >，当直线l 斜率不存在时，AB 的中点D 在x 轴上，故,,M F D 三点不共线，不符合题意舍，设直线l 斜率为AB k ，设()()1122,,,A x y B x y ，所以123x x c +=，123y y b +=-，因为,A B 在双曲线上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：2222121222x x y a b y =--即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，即有()()12122233c x x b y y a b --=-成立，即有2AB bck a =-，因为,,,M F A B 不共线，即23AB MF bc b k k a c=-≠=-，即223c a ≠，即e ≠所以E的离心率的取值范围为)3∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭，因为2ABbc k a =-===-因为)e ∈+∞⎝ ，即()213,33,9e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以()221152,66,2481e ⎛⎫⎛⎫--∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以(,9ABk ⎛⎫=-∞- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．二项式2nx ⎛ ⎝的展开式的第5项为常数项，则n =__________．【答案】6【分析】根据二项式通项公式和展开式的第5项为常数项建立方程即可得解．【详解】二项式2nx ⎛ ⎝展开式的通项公式为23321C 2n r r r n r n T x --+⋅=，由展开式中，第5项为常数项，此时4r =，则23402n -⨯=，即6n =．故答案为：6.14．已知函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且1x ≤时，()e 1xf x x =+-，则曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为___________.【答案】240x y +-=【分析】先求出当1x >时，()2e 1xf x x -=-+，利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程.【详解】设()()1122,,,M x y N x y 分别为函数()f x 的图像上关于直线1x =对称的两点，不妨设11x ≤，则21x >.所以12122x x y y +=⎧⎨=⎩，所以12122x x y y =-⎧⎨=⎩所以2222222e21e 1x x y x x --=+--=-+.所以当1x >时，()2e 1xf x x -=-+.所以()222e 210f -=-+=.而()2e1xf x -'=--，所以()222e 12f -'=--=-.所以曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为()22y x =--，即240x y +-=.故答案为：240x y +-=.15．已知椭圆C ：()2211014146x y λλλ+=<<--，F 为椭圆C 的一个焦点，P 为椭圆C 上一点，则PF 的最大值为___________.【答案】22【分析】根据椭圆方程及其离心率可求的λ值，再根据椭圆的性质可求PF 的最大值．【详解】设椭圆的半长轴为a ，半焦距为c ，因为1014λ<<，所以01446λλ<-<<-，故椭圆焦点在y 轴上，因为()()2614220c λλλ=---=-，离心率为3，所以22202633λλ⎫-==⎪⎪-⎝⎭，解得12λ=，所以a ==2c ==，由椭圆性质知，max 2PF a c =+=，故答案为：216．设定义在R 上的函数()f x 和()g x .若()()42f x g x --=，()()22g x f x =--，且()2f x +为奇函数，则()()()()1232023f f f f +++⋅⋅⋅+=______.【答案】0【分析】由()()42f x g x --=，()()22g x f x =--，可得()()2f x f x =-，再结合()2f x +为奇函数，可得()()2f x f x +=-，从而可得函数()f x 是以4为周期的一个周期函数，求出()()()()2413f f f f +++即可得解.【详解】因为()()42f x g x --=，所以()()42g x f x -=-，即()()42g x f x =--，又因()()22g x f x =--，所以()()4222f x f x --=--，即()()2f x f x =-，因为()2f x +为奇函数，所以()0f =，且()()22f x f x +=--+，所以()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的一个周期函数，由()()2f x f x +=-，得()()20f x f x ++=，则()()()()240,130f f f f +=+=，所以()()()()1232023f f f f +++⋅⋅⋅+()()()()()()()50512341230f f f f f f f =++++++=⎡⎤⎣⎦.故答案为：0.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于先根据()()42f x g x --=，()()22g x f x =--，可得()()2f x f x =-，再结合()2f x +为奇函数，可得()()2f x f x +=-，从而可得函数的周期.四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。
2023广东高考数学试题及答案 (2)
2023广东高考数学试题及答案一、选择题1. 在直角三角形ABC中，角A和角B的大小满足 sinA = cosB。
若AB = AC - 1，求角C的大小。
解：设角C的大小为x，则角A和角B的大小分别为90°-x和x。
根据三角函数的关系：sin(90°-x) = cosx 根据三角函数的定义得：sin(90°-x) = cosx = cosB = sin90°-B = sinA 所以sin(90°-x) = sinA由于sin(90°-x) = sinA，那么 90°-x = A，所以 x = 90°-A又已知AB = AC - 1，根据勾股定理得：(AC - 1)^2 = AB^2 + BC2 代入已知条件：AC2 - 2AC + 1 = AB^2 + BC2 根据三角形的性质得：AB2 = BC^2 + AC2 代入已知条件：AC2 - 2AC + 1 = 2BC^2 + AC2 整理得：BC2 = AC^2 - 2AC + 1再根据三角形的特点，BC是直角三角形ABC的斜边，所以BC > AB, 于是得到以下不等式： AC^2 - 2AC + 1 > AC^2 + 1 -2AC > 0 AC < 0由于AC是直角三角形ABC的一条边长，所以AC > 0。
综合以上信息可得：AC < 0，与实际情况矛盾。
所以没有符合条件的解，即无法求得角C的大小。
2. 设集合A = {x | 2x - 1 > 0}，集合B = {x | (3x + 1)/(x - 2) ≠ 0}，求A ∩ B的取值范围。
解：首先求解集合A： 2x - 1 > 0 2x > 1 x > 1/2 所以集合A 的取值范围为x > 1/2。
再求解集合B： (3x + 1)/(x - 2) ≠ 0 => 3x + 1 ≠ 0 所以集合B的取值范围为除了x = -1/3外的所有实数。
广东高考数学试卷分析
广东高考数学试卷分析一、考点分布(以文科为例)二、试卷表达侧重于支撑学科体系的主干内容的考查函数与二次不等式、导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计是高中数学教学的重点内容，也是每年高考所考查的重点。
核心知识命题者是可不能有意识去回避的，如圆锥曲线的定义、同角三角函数的关系、等比（等差）数列、空间中直线与平面的位置关系、几何体得有关运算、概率统计的应用等，在每年的试题中都考查到了。
这也表达了教学以必修模块为主题的思想，这是符合新课程精神的。
三、考点变化今年与以往相比有几个专门明显的变化，以往大伙儿都注重的算法没有考查，逻辑用语没有考查，这是绝大多数人想不到的。
今年还加了阅读题的考查，这是在考查学生自学能力，这与大学的学习挂钩的，因为大学的学习要紧靠自学。
总的来说广东数学卷是不落窠臼的。
四、近五年来没有考查到的知识点以下是从2021年第一年新课程考试以来还没有考查到（或考查力度不够）的知识点：必修一：幂函数、二分法、函数值域必修二：空间几何体的直观图、球的面积与体积必修三：系统抽样、几何概型、对立事件、互斥事件必修四：任意角三角函数的定义、扇形面积、正切函数图象、两角和差的正切公式必修五：解三角形的实际应用、数列的裂项求和选修1-1：全程量词与特称量词、双曲线、导法求切线法选修2-1：全程量词与特称量词、双曲线选修1-2：类比推理、共轭复数的概念选修2-2：类比推理、共轭复数、简单的复合函数求导选修2-3：条件概率、二项分布、独立性检验五、试卷大题特点文理第一个大题差不多上三角函数，这是毫无悬念的了，属于容易题，将三角函数专门角求值，诱导公式、同角三角函数之间的关系以及两角和差的正弦公式糅合在一起，侧重基础知识、差不多能力的考查。
第17题是中档题，文理考查知识点相同，差不多上统计与概率，但考查方向不同，理科侧重于灵活运用，文科侧重于概念和运算，近几年的题都如此。
第18题，文理差不多上立体几何，第一问文科表面上考查四点共面，事实上是在考查线线平行问题；第二问是证明线面垂直问题，文科立体几何尽管图象看上去专门复杂，然而考查地着落点都比较低；理科第一问是线面垂直问题，第二问仍旧是二面角的问题，二面角的题，一直是学生的老大难。
2025年广东省高中学业水平考试春季高考数学试题(含答案解析)
2025广东学业水平考试（春季高考）数学模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}012M =,,，{}1,0,1N =-，则M N ⋃=（）A.{}0,1 B.{}1,0,1,2- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-2．命题“∃x＜0，x 2+2x-m＞0”的否定是（）A．∀x＜0，x 2+2x-m＞0B．∃x≤0，x 2+2x-m＞0C．∀x＜0，x 2+2x-m≤0D．∃x＜0，x 2+2x-m≤03.已知复数11iz =+，则z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．124.已知角α的终边经过点()1,2-，则sin cos αα+=（）A ．55B ．255C ．55-D ．255-5．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m 个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m 的值为（）A．1B．3C．16D．206．已知213log =a ，b=B ，c=B ，则（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜a D．c＜b＜a7.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题为真命题的是（）A.αγ⊥，//βγαβ⊥⇒ B.m α⊥，//n m nα⊥⇒C.//m α，////n m n α⇒D.//m α，////m βαβ⇒8．设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，)(x f =log 3（1+x ），则)2(-f =（）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．39．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与至少有一个红球10．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（）A．y=B．y=C．y=l (a>0，且a≠1)D．y=l a x (a>0且a≠1)11.已知函数()lg ,02,0xx x f x x >⎧=⎨<⎩，若110a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f a 的值是（）A.2- B.1- C.110D.1212.从长度为2，4，6，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为()A ．B ．C ．D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13.函数()cos 2f x x =的最小正周期是_____．14．已知向量(,3),(1,1)am b m ==+．若a b ⊥，则m =．15．设一组样本数据x 1，x 2，...，x n 的平均数是3，则数据2x 1+1，2x 2+1，...，2x n +1的平均数为.16.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球；从中摸出1个球，若摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为．17.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝______cm 2.18.若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝1，则α＋β＝_________．三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.19.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，=2c ，30B =︒（1）求b （2）求sin A 的值20.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取9次，记录如下：甲：828179789588938485乙：929580758380908585（1）求甲成绩的0080分位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年．．的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()4011035C x x x =≤≤+，设y 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求y 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用y 达到最小，并求最小值．22.如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，D分别是AB，PB的中点．(1)求证：PA∥平面COD；(2)求三棱锥PABC的体积．一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}012M =,,，{}1,0,1N =-，则M N ⋃=（）A.{}0,1B.{}1,0,1,2-C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合M N ⋃.【详解】因为集合{}012M =,,，{}1,0,1N =-，因此，{}1,0,1,2M N ⋃=-.故选：B 2．命题“∃x＜0，x 2+2x-m ＞0”的否定是（）A．∀x＜0，x 2+2x-m＞0B．∃x≤0，x 2+2x-m＞0C．∀x＜0，x 2+2x-m≤0D．∃x＜0，x 2+2x-m≤0【答案】C【解析】解：命题“∃x＜0，x 2+2x-m＞0”是特称命题，特称命题“∃x＜0，x 2+2x-m ＞0”的否定是“∀x＜0，x 2+2x-m≤0”.故答案为：C.3.已知复数11iz =+，则z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】C【分析】先化简求出z ，即可得出答案.【详解】因为()()11i 11i 1i 1i 1i 22z -===-++-，所以z 的虚部为12-.故选：C.4.已知角α的终边经过点()1,2-，则sin cos αα+=（）A ．55B ．255C ．55-D ．255-【答案】A【分析】根据终边上的点的坐标，用正弦、余弦的定义求解.【详解】点()1,2-到原点的距离为22(1)25-+=，所以225sin 55α==，15cos 55α-==-，5sin cos 5αα+=,故选：A.5．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m 个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m 的值为（）A．1B．3C．16D．20【答案】D【解析】由题意可得110=160+30+10，所以m=20，选D。
近几年广东高考数学试卷
近几年广东高考数学试卷全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：近年来广东省的高考数学试卷一直备受关注，因为数学是高考中的一门重要科目，对考生的综合能力和思维能力有着很大的要求。
广东省高考数学试卷一直以充实、全面、灵活和严谨著称，让考生既感受到了挑战，又能够展现自己的水平。
本文将就近几年广东高考数学试卷的特点和一些题型进行分析，希望能够对广大考生有所帮助。
近几年来，广东省高考数学试卷一直注重贴近生活、注重应用，尤其是注重培养学生的创新意识和实际解决问题的能力。
试卷中涉及了很多实际问题，让学生能够通过数学解题，感受到数学在现实生活中的实用性。
这也符合高考数学的命题理念，希望通过考核学生解决实际问题的能力，而不仅仅是机械的记忆和计算。
广东高考数学试卷还注重引导学生发散思维和创新思维，在解题过程中要求学生能够进行逻辑推理、归纳总结，培养学生的综合分析和综合运用知识的能力。
在试卷题型方面，广东省的高考数学试卷也呈现出一定的特点。
除了传统的选择题和填空题外，还增加了应用题的比例。
应用题要求学生能够将数学知识灵活运用到实际问题中，考查学生解决实际问题的能力。
广东高考数学试卷中还设置了一些拓展性较强的题型，如证明题、综合题等，这些题目要求学生具有深入理解数学知识的能力，能够运用数学知识进行综合性的分析和解决问题。
这些题型的设置旨在考查学生对数学知识的掌握程度和深度，让考生在解决问题的过程中感受到数学的美妙和魅力。
近几年广东高考数学试卷的难度适中，注重贯穿基础知识、拓展能力和应用能力，并且有针对性地培养学生的创新精神和解决问题的能力。
对于广大考生来说，复习数学不仅要熟悉基础知识，还要注重拓展知识面，多做应用题和拓展性强的题目，培养解决问题的能力。
希望广东高考数学试卷继续保持这种特点，让更多学生通过数学这门学科，感受到知识的魅力和解决问题的乐趣。
【结束】第二篇示例：近年来，广东高考数学试卷的难度逐渐增加，考查的内容也更加贴近生活和实际应用。
2023广东高考卷(理科数学)试题及详解
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合M={x|x²3x+2=0}，则集合M的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知函数f(x)=2x3，则f(f(1))的值为（）A. 5B. 3C. 1D. 33. 若向量a=(2,3)，b=(1,2)，则2a3b的模长为（）A. 5B. 10C. 15D. 204. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 直线y=x上D. 直线y=x上二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。
（）2. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)≥0。
（）3. 两个平行线的斜率相等。
（）4. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。
（）5. 两个复数相等的充分必要条件是它们的实部和虚部分别相等。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(1)=______。
2. 若向量a=(3,4)，则3a的坐标为______。
3. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，则a5=______。
4. 若复数z=3+4i，则|z|=______。
5. 二项式展开式(2x3y)⁴的项数为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x)=x²2x+1在x=2处的导数。
2. 已知等差数列{an}的通项公式为an=3n2，求前5项的和。
3. 求复数z=1+i的共轭复数。
4. 求解不等式2x3>0。
5. 简述平面直角坐标系中，两点间距离的公式。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x²4x+3，求函数的最小值及对应的x值。
2. 已知向量a=(2,3)，b=(1,2)，求向量a和向量b的夹角。
2024年广东高考数学真题(含答案)
2024年广东高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i-- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 24. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m -B. 3m -C.3m D. 3m5.（ ）A.B.C.D. 6. 已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（ ）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D.[0,)+∞7. 当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点个数为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 88. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >> B. (2)0.5P X ><的的C. (2)0.5P Y >> D. (2)0.8P Y ><10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数的字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；为（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.的一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i -- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3. 已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m - B. 3m -C.3m D. 3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5. （ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6. 已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()221e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.7. 当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >>D. (2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4a =，4a =，解得2a =-，故A 正确.对于B24=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．【答案】（1）π3B = （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，的的从而sin C===又因为sin C B=，即1cos2B=，注意到()0,πB∈，所以π3B=.小问2详解】由（1）可得π3B=，cos C=，()0,πC∈，从而π4C=，ππ5ππ3412A=--=，而5πππ1sin sin sin12462A⎛⎫⎛⎫==+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==，从而,a b====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为211sin22ABCS ab C===，由已知ABC面积为323=+，所以c=16. 已知(0,3)A和33,2P⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>上两点.（1）求C的离心率;（2）若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程．【答案】（1）12（2）直线l的方程为3260x y--=或20x y-=.【的【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ===.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则d ==则将直线AP沿着与AP 单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =设()00,B x y22001129x y ⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443kx k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PABd = ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k xk k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而 //AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin DFE ∠=tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =，故tan DFE∠==x =AD =．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析 （3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>==++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。
近五年广东高考试题分类解析—立体几何
立体几何一、试题回顾与分析考试大纲中立体几何部分没有变化，但要区分好掌握、理解、了解的不同层次。
解读考纲考题知识分布，明确重点，关注弱点，做到心中有数。
主要研究近五年的广东高考试题知识点分布，如下表：（相关试题见后面附录）立几特点：坚持立体几何内容的考查重在空间想象能力，理科试题兼顾几何和向量方法。
文理科中都有一证一算，常考有三视图．．．、线面关系、体积计算、理数加空间角。
立几在高考试卷的位置和所占比例基本不变；重点知识重点考查，绝不回避。
近四年中尚未考查的知识点有：立几在必修2的球的表面积和体积、空间直角坐标系，空间几何体的直观图。
对尚未考查的知识点要给予关注，要了解考纲中对这些考点的层次要求，更好的把握复习训练的难度，近来的各地市一模试卷也有所体现。
二、命题趋势与预测从全国新课标四年的立体几何命题实践来看，不再似大纲版教材命题时那般注重利用向量工具进行探究，为了向量工具的考查而考查，更多地是注重几何图形构图的想象与辨识，强调空间想象能力在问题处理中的作用.更加注重垂直关系的考查以及体面积运算中的探究。
选修中有出现“三垂线定理”，但体现的是向量的作用，不用渲染它的作用。
当然立几也有创新题型，更强调创新图形，如柱、锥的卧放或动点。
三、复习思考与建议2012年，广东高考第三年采用“3 + 文科/理科综合”的形式，今年是新增英语听说测试走上正轨的第二年，新形势对数学科的冲击是较大的。
因为考生的时间和精力是有限的，投入其他科目的时间多了，投入到数学这里的就会少了；但是数学试题的区分度明显，能拉开差距。
怎样更好地让学生加强数学复习，提高数学成绩，对教师的复习思路和做法提出更高的要求。
我们在各个教学环节要精益求精，学生的学习、测试要落到实处。
立体几何学科的特点决定了立体几何综合题的基本模式是论证推理与计算相结合。
解决这种类型的题目对各种能力具有较高要求：①解题原则是一作、二证、三求解。
②学会识图、理解图、应用图.通过对复杂空间图形直观图的观察和分解，发现其中的平面图形或典型的空间图形（如正方体、正四面体、等边圆锥等），以便联想有关的平面几何或立体几何知识.需要作图添加辅助线、面时，力求用定理、公理作为作图的依据，以便在作图时得到所添线、面的特征。
(广东卷)高考数学试题详细解答及考点解读
普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学本试卷共21小题，满分150分，考试用时120分钟．试卷类型: Ｂ参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知全集U =R ，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）.Ａ．３个 Ｂ．２个Ｃ．１个 Ｄ．无穷个２．设z 是复数，()z α表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，(i)α=（ ）.Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２３．若函数()y f x =是函数(0,x y a a =>且1)a ≠的反函数，其图象经过点)a ，则()f x =（ ）.Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12x Ｄ．2x ４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）.Ａ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n -5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）.Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②和④6． 一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成60°角，且12,F F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为（ ）.Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）.Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ）.A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～12题）9．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a ，则图3所示的程序框图输出s ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）10．若平面向量,a b 满足||1,+=+a b a b 平行于x 轴，(2,1)=-b ，则=a ．11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为2，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为_________________．12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．14．（不等式选讲选做题）不等式112x x +≥+的实数解为 ．15．(几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且4,45︒=∠=AB ACB ，则圆O 的面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本小题满分12分）已知向量(sin ,2)θ=-a 与(1,cos )θ=b 互相垂直，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求sin cos θθ和的值；（2）若sin()102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值． 17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5．（1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知1282,78125577==,9125123912581825318257365218253=++++, 573365⨯= ）18．（本小题满分14分）如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E是正方形11BCC B 的中心，点F ,G 分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点,E G 在平面11DCC D 内的正投影．（1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线11FG FEE ⊥平面；（3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.19．（本小题满分14分）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值． 20．（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图象与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q，求m 的值；（2）()k k ∈R 如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．21．（本小题满分14分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（2）证明：13521n n nx x x x x y -⋅⋅⋅⋅<．普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学试题答案及解读一、选择题1. B. 【解读与点评】本小题是人教A版必修1习题1.1A组第6题、北师大版必修1复习题一A 组第6题的综合变式题, 主要考查集合语言及数形结合的思想方法．考生的主要失误在于不会将符号语言与图形语言进行合理转换．本题作为起始题，把表示集合的符号语言和图形语言揉合在一起，考生只有准确识别出图1的阴影部分所示的集合的含义（即N M ），才能正确地作出解答，既考查了基本知识，也考查了考生的识图能力．主要解法如下：因为}31|{≤≤-=x x M ，},5,3,1{ =N ，所以 }3,1{=N M ，故选B.2．Ｃ．【解读与点评】本小题是人教A 版选修2-2复习参考题B 组第2题的变式题，主要考查虚数单位i 的周期性及阅读理解能力和创新意识．主要解法如下：因12-=i ，i i -=3，14=i ，所以满足1=ni 的最小正整数n 的值是4．故选C ． 考生的主要失误在于不理解()i α含义.3. Ｂ．【解读与点评】本小题是人教A 版(必修1)2.1.2例6、北师大版(必修1)5.2例3的变式题，主要考查指数函数与对数函数的关系(互为反函数)，及指数与对数运算．主要解法有：解法一：由函数()y f x ＝是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，可知x x f a log )(=，又其图象经过点)a ，即a a a =log ，所以12a =, x x f 21log )(=，故选B ．解法二: 依题意函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象经过点(a ,aa =, 所以12a =, x x f 21log )(=，故选B ． 考生的主要失误在于不理解反函数概念, 指数与对数运算欠熟练．4. Ｃ．【解读与点评】本小题是人教A 版必修5复习参考题B 组第1(1)题,北师大版必修5复习题一A 组第6(2)题的综合变式题, 主要考查等差数列与等比数列的基本运算.主要解法有：解法一：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由25252(3)n n a a n -⋅=≥，得()2426121112n n n a q a q a q --==，则n n a 2=，12122--=n n a ，12log 122-=-n a n ， 所以2123221log log log n a a a -+++=2(121)13(21)2n n n n +-+++-==， 故选C.解法二：因为25252(3)n n a a n -⋅=≥，所以25225log log 2n a a n -+=，又{}2l o g n a 是等差数列，所以22123221252252(log log log )2(log log )2n n a a a n a a n --+++=+=， 所以2123221log log log n a a a -+++=2n ，故选C.考生的主要失误是运算差错.5. D. 【解读与点评】本小题是课本相关定理的变式题，主要考查线线、线面平行和垂直的判定和性质．主要解法如下：显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C, 故选D.考生的主要失误是立体几何定理掌握不牢，平几定理在空间类比产生了负迁移．6. D ．【解读与点评】本小题是人教A 版必修4习题A 组第4题的变式题，主要考查平面向量的数量积及向量在物理学中的应用．主要解法如下： 依题意，可知321=++F F F ，所以)(213F F F +-=，o F F 60)(221++=+=+= =214224222⨯⨯⨯++=28.所以，力3F 7228==，故选D ．考生的主要失误是物理背景欠熟悉，不会将实际问题转化为向量运算问题．此题不仅要求考生要掌握力学中的有关原理，更要求考生要善于把物理问题转化为数学问题，利用平行四边形（或三角形）法则，把力的合成转化为平面向量的加法运算，画出图形后再进行求解，很好区分了考生将文字语言和符号语言转化为图形语言水平的高低．7．A ．【解读与点评】本小题以2010年广州亚运会为背景，是人教A 版选修2-3习题1.2A组第15(3)题的变式题，主要考查两个计数原理、排列组合知识及数学应用意识．主要解法如下：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有2223A A 12⋅=种，若小张和小赵两人只有一人被选中，则不同的选派方案有113223C C A 24⋅=种，故不同的选派方案共有12+24=36种。
顺德高考数学试卷分析报告
摘要：本报告旨在分析2023年顺德高考数学试卷的整体情况，包括试卷结构、难度分布、题型特点以及学生答题情况，以期为今后的教学提供参考和改进方向。
一、试卷结构分析本次高考数学试卷共分为两卷，第一卷为选择题，共12题，满分60分；第二卷为解答题，共6题，满分90分。
试卷整体结构合理，既考查了基础知识，又注重了能力培养。
二、难度分布分析根据统计数据，本次试卷难度为0.407，略低于预期。
其中，一卷平均分为33.82分，二卷平均分为27.25分。
具体分析如下：1. 选择题难度分析选择题难度适中，涵盖了数学的基础知识、基本技能和基本思想方法。
第2题、第4题、第5题、第6题、第7题、第9题等难度较高，需要学生在理解题意的基础上，运用所学知识进行推理和计算。
2. 解答题难度分析解答题难度较大，要求学生具备较强的逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力。
第10题、第11题、第12题等题目综合性较强，需要学生综合运用所学知识解决问题。
三、题型特点分析本次试卷题型丰富，包括选择题、填空题、解答题等。
具体特点如下：1. 选择题注重基础知识的考查，旨在培养学生对数学知识的掌握程度。
2. 填空题考查学生的计算能力和对知识的灵活运用能力。
3. 解答题注重培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力，要求学生在理解题意的基础上，运用所学知识解决问题。
四、学生答题情况分析根据本次考试数据，部分学生存在以下问题：1. 答题时间分配不合理，导致部分题目未能在规定时间内完成。
2. 对基础知识的掌握不够扎实，导致选择题和填空题失分较多。
3. 解答题中，部分学生逻辑思维能力不足，导致解题过程混乱，无法得出正确答案。
五、改进建议1. 加强基础知识的复习，提高学生对数学知识的掌握程度。
2. 培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力，提高解题水平。
3. 注重答题时间的分配，提高学生的应试能力。
4. 加强对学生解题过程的指导，帮助学生养成良好的解题习惯。
广东本科数学试题分析及答案
广东本科数学试题分析及答案一、选择题分析及答案1. 题目：函数f(x)=2x^2 - 3x + 5在区间[1,2]上的最大值是：A. 7B. 6C. 5D. 4分析：首先对函数f(x)求导得到f'(x)=4x-3，令f'(x)=0，解得x=3/4，但3/4不在区间[1,2]内。
由于f(x)是一个二次函数，且二次项系数为正，因此函数在区间[1,2]的端点取得最大值或最小值。
计算f(1)=4，f(2)=5，所以最大值为f(1)=4。
答案：D2. 题目：下列哪个数是无理数？A. 根号2B. 1/3C. πD. 22/7分析：无理数是不能表示为两个整数的比的实数。
根号2是一个著名的无理数，而1/3、22/7都是有理数，因为它们可以表示为整数的比。
π也是一个无理数，但它在这个选项中没有被列为答案。
答案：A（继续列出其他选择题及其分析和答案）二、填空题分析及答案1. 题目：已知数列1, 3, 5, 7, ... 的第n项为a_n，则a_n =______。
分析：这是一个等差数列，首项a_1=1，公差d=2。
等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d。
答案：2n-12. 题目：如果一个正方形的面积为64cm²，那么它的周长是 ______ cm。
分析：正方形的面积A=s²，其中s是边长。
已知A=64cm²，所以s=√64=8cm。
正方形的周长P=4s。
答案：32（继续列出其他填空题及其分析和答案）三、解答题分析及答案1. 题目：解方程组：\begin{cases}x + y = 9 \\2x - y = 1\end{cases}分析：这是一个二元一次方程组，可以使用加减消元法求解。
将两个方程相加得到3x=10，解得x=10/3。
将x的值代入第一个方程得到y=17/3。
答案：解得x=10/3，y=17/3。
2. 题目：已知函数f(x)=x³-6x²+9x-4，求证f(x)在区间(3, +∞)上单调递增。
广东高考数学题
广东高考数学题深度解析一、概述广东省的高考数学题历来以考察面广、难度适中而著称。
在2023年的广东高考数学题中，我们可以看到许多与往年不同的新变化，这些变化反映了命题者对于数学教育的深入思考和对考生综合素质的更高要求。
本文将对2023年广东高考数学题进行深度解析，探讨其考察重点、题型特点以及解题思路。
二、考察重点基础知识：2023年的广东高考数学题依然注重对基础知识的考察，包括代数、几何、概率统计等方面。
考生需要熟练掌握这些基础知识，才能在解题时游刃有余。
思维能力：题目中出现了不少对思维能力有较高要求的题目，如推理、归纳、演绎等。
这些题目要求考生具备严密的逻辑思维能力，能够根据题意进行合理的推理分析。
应用能力：应用题的比重在2023年的高考数学题中有所增加，这些题目要求考生能够将数学知识与实际问题相结合，通过建模和分析解决实际问题。
创新能力：部分题目设计新颖，需要考生打破常规，灵活运用所学知识进行解答。
这些题目旨在考察考生的创新能力，鼓励考生在解题过程中发挥主观能动性。
三、题型特点选择题：选择题的难度适中，主要考察考生的基础知识和思维能力。
部分选择题要求考生通过推理分析得出结论，或者在多个选项中进行合理的筛选和判断。
填空题：填空题的难度略高于选择题，主要考察考生的计算能力和对基础知识的掌握程度。
部分填空题要求考生在计算过程中保持细心，避免因计算错误而失分。
解答题：解答题的难度较大，主要考察考生对数学知识的综合运用能力和解题技巧。
解答题通常包含多个小问，逐步增加难度，要求考生逐步推导和解答。
部分解答题还要求考生具备一定的文字表达能力，能够将解题过程和思路清晰地呈现出来。
四、解题思路仔细审题：审题是解题的第一步，考生需要仔细阅读题目，了解题意，明确考察知识点。
对于较长的题目，考生应耐心阅读，提取关键信息，避免遗漏或误解。
制定计划：在审题的基础上，考生应根据题目要求制定合理的解题计划。
对于选择题和填空题，应先进行初步的分析和筛选；对于解答题，应先梳理相关知识点，确定解题步骤和方法。
2023年广东卷高考数学计算题真题解析
2023年广东卷高考数学计算题真题解析2023年广东卷高考数学卷中的计算题相较于往年有着一定的难度，但是只要我们掌握了一些解题方法和技巧，就能够成功解答这些问题。
本文将针对数学卷中的计算题进行详细解析和讲解，希望能够对同学们在备考和应试中有所帮助。
1. 第一题题目描述：求解方程组x + y = 5，2x - 3y = 4。
解析：这是一个二元一次方程组，我们可以采用消元法求解。
首先，通过第一个方程可以得到x = 5 - y，然后将x的解代入到第二个方程中得到：2(5 - y) - 3y = 4，化简得到：10 - 2y - 3y = 4，继续化简得到：-5y = -6，最终解得y = 6/5。
将y的解代入到第一个方程中可以得到x =5 - 6/5 = 19/5。
所以，方程组的解为x = 19/5，y = 6/5。
2. 第二题题目描述：已知函数f(x) = (2x - 1)/(x + 2)，求f(x)的反函数。
解析：要求函数f(x)的反函数，我们需要将f(x)表示成y，然后通过交换x和y的位置并解出y来。
所以，首先将函数f(x)表示成y，得到y = (2x - 1)/(x + 2)。
然后，交换x和y的位置得到x = (2y - 1)/(y + 2)。
接下来，解出y。
将x代入到方程中得到x(y + 2) = 2y - 1，化简得到xy + 2x = 2y - 1。
继续化简得到xy - 2y = -2x - 1，再继续化简得到y(x - 2)= -2x - 1，最终解得y = (-2x - 1)/(x - 2)。
所以，f(x)的反函数为y = (-2x - 1)/(x - 2)。
3. 第三题题目描述：已知等差数列的前五项之和为60，公差为3，求这个等差数列的第一项。
解析：设等差数列的第一项为a，公差为d。
根据等差数列的性质，可知前五项之和为60，根据等差数列的求和公式可得：(5/2)*(2a + 4d)= 60，化简得到a + 2d = 12。
【广东高职高考数学】五年真题解答题及解题技巧
第21~23题考法一：几何中的函数关系题1题2题3题4题5这类题，往往以平面几何问题中的某条边(线段)的长度为自变量x ，随着这条边一同变化的某块图形的面积为因变量y （或者A, S 等，反正不管哪个字母，一般都代表一块面积）.第1小问：可能是让求面积y 和边的长度x 之间的函数关系式；注意，最好说明x 的取值范围（比如题5中，线段PC 的长度为x ，而P 只能在线段BC 上，BC 长度为6，所以PC 的长度也只能是0到6之间，0≤x ≤6(或写成x ∈[0, 6])）；也可能是像题2和题3这种，第一问是纯几何问题，只让求一个坐标，第二问才涉及到函数（比如题3，涉及到关于OP 长度x 的两个函数表达式(一个三角形面积和一个四边形面积)，问当x 等于多少时，两个函数值才相等）.第2，3小问(大概率也就两个小问，很少有第三小问)：一般在第1问求出的函数的基础上，让求函数的最大值或最小值(对应某块面积的最大值或最小值，更多是让求最大值)，以及当x 等于多少时函数的值(面积)为最大或最小；还有就是，求当某块面积等于另外某块面积的时候，自变量x(某条指定的线段的长度)的值；又或者有其他什么题目条件和要求，但核心都在于“最值(某个面积最大之类的)”或者”等量关系(某个面积等于某个面积之类的)”，像题1这种，设了第三问，还涉及到了不等关系(两块面积哪个更大)，这种稍微特殊一点的考法，也就具体问题具体分析了.考法二：纯几何题题6平面直角坐标系上的几何题，可能需要用平面向量来解；这种题目前考得最少，但最简单，直接按照题目条件把图画出来(画得越规整越好，这样才能越容易看着图就想到解题思路)，然后按着自己画的图来解几何问题就可以了，不外乎就是让求点的坐标，求长度，或者求面积.几个关键的坐标运算公式：①中点坐标公式：A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，线段AB 的中点坐标为(x 1+x 22, y 1+y 22)②向量坐标公式：A(x1, y1)，B(x2, y2)，向量AB的坐标表示为(x2-x1, y2-y1)③数量积公式：向量α=(x1, y1)，β=(x2, y2)，两向量的数量积α·β=x1x2+y1y2考法三：纯三角函数题题7题8题干会给出一个含有三角函数的式子；然后需要做的就是：第1小问，考法一般是固定的；运用公式把式子化简，化简到Asin(ωx+φ)+k或Acos(ωx+φ)+k的形式（比如像2sin(2x+π3)+1或-cos(3x-π4)+5这种样子的式子），然后根据化简结果求最小正周期.用下面这些三角函数公式干掉第1小问（关于sin和cos的公式比关于tan的公式重要得多）：①化简同角三角函数公式：sin2x + cos2x = 1（这个用得最多）tanx = sinxcosx（tan相关公式一般用得少些，如果函数式不含tan，那几乎用不到）二倍角相关公式：正用（更多在选择题和填空题里用）：sin2x = 2sinxcosxcos2x = cos2x–sin2x = 1–2sin2x = 2cos2x-1tan2x =2tanx 1―tan2x逆用（大题中逆用公式更重要）：乘积合并：sinxcosx = 12sin2x降幂公式：cos2x = 1+cos2x2sin2x = 1―cos2x2②求最小正周期TT=2πω（ω是化简结果之中x前面的系数）比如，题6的化简为：f(x) = (sinx + cosx)2 - 1= (sin2x + cos2x + 2sinxcosx) – 1（完全平方公式展开）= (1 + sin2x) – 1= sin2x最小正周期T = 2πω= 2π2= π.第2小问，考法比第1小问稍微灵活点；一般用到以下6个公式（重点记前4个）：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβcos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβsin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβsin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβtan(α+β) = tanα+tanβ1―tanαtanβtan(α-β) = tanα―tanβ1+tanαtanβ然后根据所给角的范围(象限)，判断sin或cos值的正负（这张表重点记sin和cos）.sinx cosx tanx第一象限(0, π2)+++第二象限(π2, π)+--第三象限(π, 3π2)--+第四象限(3π2, 2π)-+-口诀：一全正，二正弦，三切正，四余弦一般第2小问让求某个角的大小，或者某个角的sin，cos值，或者根据题目给的函数条件，把自变量(角度x)的值代入函数，以此得到可以求解的等式（比如题8第2小问）.考法四：在三角形中考三角函数题9题10题11题12注意角A, B, C 和边a, b, c 的对应关系：这类考三角形的题目主要用下面这些公式求解：①正弦定理asinA = bsinB = csinC三个比值都是一个常数，我们就设这个常数是k(不用管这个k 等于多少)，那就有：a=ksinA b=ksinB c=ksinC这三个式子还是很有用的。
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最新五年广东高考数学试题分析一、在模块的交汇处设计试题早在1993年，原国家教委考试中心首次提出：“在知识点的交汇处设计试题”，基本确定了高考数学试题命制的理论。
这一提法得到了命题专家的认同，更得到了广大中学数学教师的赞许。
在这一理论框架指导下，以后的数学试题避免了在难度上大起大落的现象发生，保持了一定的稳定性。
纵观广东省近五年的高考数学试卷，在这方面的特点尤其显著：例1：04年17题已知角,,αβγ成公比为2的等比数列（[0,2]απ∈），s i n ,s i n ,s i n αβγ也成等比数列，求,,αβγ的值。
简解：由题意，可以设2,4βαγα==，那么2sin 2sin 4cos 2cos 1sin sin 2αααααα=⇒=-，则有cos 1α=或1cos 2α=- 当cos 1α=时，sin 0α=与等比数列概念矛盾， 当1cos 2α=-时，[0,2]απ∈，所以23πα=或43πα= 则248,,333πππαβγ===或4816,,333πππαβγ=== 试题特点：这是04年解答题的第一题，属于容易题。
试题将三角函数变换与等比数列的有关概念糅合在一起，侧重于基础知识、基本能力的考查。
例2：05年18题箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为:s t 现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数 （Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望.简解： （Ⅰ）()(0,1,2,,)()kkst P k k n s t ξ===⋅⋅⋅+ （Ⅱ）ξ的数学希望为n nn n t s t n t s st n t s st t s st t s s E )()()1(...)(2)(1011322+⨯++⨯-+++⨯++⨯++⨯=--ξ (1)图1 111113322)()()1()()2(...)(2)(++---+++-++-+++++=+n n n n n n t s nt t s st n t s st n t s st t s st E t s t ξ…(2) (1) －(2)得nnn n n n t s nt t s t n t s s t s t E )()()1()(11+++--+-=--ξ 试题特点：这是解答题的第四题，属于中档题目。
试题的切入点在概率的分布列与等比数列中的“错位相减”交汇之处，设计新颖，令人叫绝。
类似还有06年18题、07年文科19题等。
在刚刚结束的2008年高考中，依然延续了这种命题风格。
例3：08年理科18题设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图1所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．简解：（1）由28()x y b =-得218y x b =+，G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x =，4'|1x y ==， 那么过点G 的切线方程为2y x b =+-，令0y =得2x b =-，∴1F (2,0)b -，那么2b b -=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-； （2）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个。
若以APB ∠为直角，设P 点坐标为21(,1)8x x+，A 、B两点的坐标分别为(和，222421152(1)108644PA PB x x x x =-++=+-=。
关于2x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ∆有两个， 因此抛物线上存在四个点使得ABP ∆为直角三角形。
试题特点：从07年开始，广东省的高考试题是按新课程标准命制的。
新的课程标准打破了原来教材的编排顺序，采取不同的模块制。
各个模块之间即相对独立又同属于一个完整的知识体系，模块之间相互交叉渗透。
相对于原来版本的教材，在这种模块式的划分下，知识的体系显得松散了一些，这是新课程标准实施过程中广大一线教师颇感困惑之处，也是导致新课程标准屡屡遭受“炮轰”的原因之一。
怎样才能继续保持“在知识网络交汇处”命制试题的原则又能体现新课程标准的精神？广东的数学试题提供了一种可操作的模式：注意模块之间的交叉。
此题目涉及的知识点有必修1中函数的零点（方程的根）、选修2-1中的椭圆标准方程及其几何性质以及导数、选修2-2中的推理与证明等。
题目不难，典型的“多想少算”，跨越的模块多，考生感到不适应，得分率偏低。
再如08年高考文科18题、理科20题，涉及到必修2中的立体几何初步以及必修5中的解三角形，考生与教师均感到“出呼意料之外”。
备考建议：“三轮”的复习方案具有一定的科学性，鉴于新课程标准的特点，第一轮复习应该适当降低难度，首先解决本模块的基础知识、基本技能，跨模块的综合问题不易过早涉及。
第二轮复习要做重大调整，要将各个模块知识重新组合成若干专题，避免“深挖洞”：控制难度，应该“广积粮”：进行模块的交叉与综合。
要注意，当前的许多参考书籍是不适合作为新课程实施地区备考复习资料的。
教师要精选素材，注重模块的综合与交叉。
从广东省近五年试题来看，在模块的交汇处命制的题目不一定是难题，甚至是命题专家眼中的“容易题”，如果我们不进行针对性训练，那么这种“容易题”就成了考生升学道路上的“拦路虎”。
广大一线数学教师要进行教学反思，发挥群体智慧，从“模块的交汇”这一视角出发，或自行命制，或将成题巧妙组合，作到推陈出新。
这样，才是大面积提高教学质量的有效途径。
二．重点知识与数学思想方法------常考常新高考命题，不刻意追求知识点的覆盖率，不回避重点知识的考查，这是当前高考数学试题的另一个特色。
重点知识：是那些在整个高中数学知识体系中的主干；重要方法：就是在学生数学思维发展过程中起到“推波助澜”作用的思想与方法。
将这些“陈旧”的知识点与思想方法设计成新颖的数学试题，整个试卷才会显得“骨骼强大”、“肌肉丰满”。
例4：07年理科20题已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．简解：命题组与评卷组提供的解法有七八种之多，大多数都比较繁杂。
这里提供一种简洁的方法。
将函数解析式变形为 2(21)23a x x y -+-=，令2210x -=则23y x =- ，即曲线2()223f x ax x a =+-- 不论a 取任何实数均经过定点(3)2M 、(3)2N - ， 那么当0a =时，显然不符合要求； 当0a >时，曲线恒有两个零点，由于此时对称轴102x a =-< ，所以要使得在区间[]11-， 有零点，当且仅当(1)0f ≥，即；1a ≥当0a <时，首先应有0≥，解之有a ≤0a ≤< ，如果a ≤，那么有102a <-≤< ，所以在区间[]11-，上有两个不同的零点；0a ≤<，由于此时(1)10f a =-< ，所以在区间[]11-，上无零点。
综上，实数的取值范围为1a ≥或32a ≤。
试题特点：一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式（俗称：二次情结）是每年的重点考查内容，集重点、难点与一身。
涉及到的数学思想方法有：分类讨论、数形结合等。
备考建议：重要的知识点与数学思想方法的重复考查，早已引起广大一线教师的重视。
在这方面，我们只须完善传统做法，与时俱进，注入新课程标准的理念。
注意通性通法，适度淡化证明，演绎推理与归纳推理并重。
在历年的高考试题或者模拟试题中，不乏这方面的精品，可以推陈出新，精讲多练，就能够取得事半功倍的效果。
三．注重对学生阅读能力的考查数学是文化，学会用数学的视角来分析周围的事物，是数学教育的目的之一。
数学解题的本质其实就是三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）的转换过程，也就是需要考生具备一定的数学阅读能力。
高考侧重于能力的考查，而阅读能力又是数学能力的基础。
例5：07年理科7题图2是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A B C D ，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之图2间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）Ａ．15Ｂ．16Ｃ．17Ｄ．18简解：B试题特点：此题目的背景为日常社会生活中的物流调配问题，文科作为第10小题（选择题最后一题）考查。
数据分析显示，对于理科考生，属于难题，相对于文科考生来说，已经是“高”难题了。
本题需要考生将文字语言、图形语言翻译成符号语言，然后运用数学知识解决问题。
类似的考题还有04年12题、05年7题、06年7题等。
备考建议：新的课程标准明确提出在教学过程中要培养学生数学阅读暨三种语言的转换能力。
在第一轮复习时要注意渗透，在第二轮复习过程中应该搞一个专题。
函数记号、图象、立体几何中点线面之间的位置关系、三视图、应用问题、新定义问题等都是训练学生阅读能力的好素材。
四．承上启下的明显特点：新课程标准有两个含义：其一，继义务教育之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；其二，为学生进一步学习提供必要的数学准备。
2008年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）指出：数学科考试，要发挥数学作为基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，…，要考查考生进入高等学校继续学习的潜能。
所以高中数学学习既是初中的延续也是大学学习的起点，那么高考数学试题也应具有这些特点。
1．初、高中知识与方法的衔接当前，初高中数学学习衔接矛盾日益突出。
如何搞好衔接是一个非常值得研究的课题。
作为高中数学教师一定要了解初中教材的变化情况以及教学目标甚至教学方法，将衔接落实到课堂上，有实际行动，这样才能使得学生较快适应高中数学学习。
事实上，初中数学教材远比高中“灵活”、“多动”，平面图形的变换、镶嵌等动态问题是初中数学教材的亮点。