湘教版九年级数学下册2.5.3 切线长定理教案与反思

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切线长定理教案(优秀教案)-(含多款)

切线长定理教案(优秀教案)-(含多款)教案切线长定理教案一、教学目标1.让学生理解切线长定理的概念和意义，掌握切线长定理的证明和应用方法。

2.培养学生的几何思维能力，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

3.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。

二、教学内容1.切线长定理的概念和意义2.切线长定理的证明方法3.切线长定理的应用三、教学重点与难点1.教学重点：切线长定理的概念、证明和应用。

2.教学难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。

四、教学方法1.采用启发式教学方法，引导学生自主探究切线长定理的证明和应用。

2.利用多媒体教学手段，展示切线长定理的直观图形，帮助学生理解定理。

3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践操作中掌握切线长定理的应用。

五、教学过程1.导入新课通过生活中的实例，如圆规作图等，引出切线长定理的概念，激发学生的学习兴趣。

2.讲解切线长定理的概念和意义（1）切线的定义：与圆相切，且与圆的半径垂直的直线。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。

3.证明切线长定理（1）构造图形，连接圆心与切点，利用圆的半径相等，证明切线长相等。

（2）通过几何画板演示证明过程，让学生直观感受定理的正确性。

4.切线长定理的应用（1）讲解切线长定理在几何作图中的应用，如求圆的切线、等分弦等。

（2）讲解切线长定理在解决实际问题中的应用，如求圆的直径、周长等。

5.课堂练习设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固切线长定理的应用。

6.总结与拓展（1）总结切线长定理的概念、证明和应用方法。

（2）拓展切线长定理的相关知识，如圆的切线方程、切线长定理的推广等。

7.课后作业布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和讨论情况，了解学生的学习兴趣和积极性。

2.作业完成情况：检查学生的作业，了解学生对切线长定理的掌握程度。

初中切线长定理教案切线长定理教案教学反思3篇

初中切线长定理教案切线长定理教案教学反思3篇第1篇：学校切线长定理教案1、教材分析(1)学问结构(2)重点、难点分析重点：及其应用.因再次体现了圆的轴对称*，它为*线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等供应了理论依据，它属于工具学问，常常应用，因此它是本节的重点.难点：与有关的*和计算问题.如120页练习题中第3题，它不仅应用，还用到解方程组的学问，是代数与几何的综合题，同学往往不能很好的把学问连贯起来.2、教法建议本节内容需要一个课时.(1)在教学中，组织同学自主观看、猜想、*，并深刻剖析的基本图形;对重要的结论准时总结;(2)在教学中，以"观看猜想*剖析应用归纳'为主线，开展在老师组织下，以同学为主体，活动式教学.教学目标1.理解切线长的概念，把握;2.通过对例题的分析，培育同学分析总结问题的习惯，提高同学综合运用学问解题的力量，培育数形结合的思想.3.通过对定理的猜想和*，激发同学的学习爱好，调动同学的学习乐观*，树立科学的学习态度.教学重点:是教学重点教学难点:的敏捷运用是教学难点教学过程设计:(一)观看、猜想、*，形成定理1、切线长的概念.如图，p是⊙o外一点，pa，pb是⊙o的两条切线，我们把线段pa，pb叫做点p到⊙o的切线长.引导同学理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观看利用电脑变动点p的位置，观看图形的特征和各量之间的关系.3、猜想引导同学直观推断，猜想图中pa是否等于pb.pa=pb.4、*猜想，形成定理.猜想是否正确。

需要*.组织同学分析*方法.关键是作出帮助线oa，ob，要*pa=pb.想一想：依据图形，你还可以得到什么结论?opa=opb(如图)等.：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.5、归纳：把前面所学的切线的5条*质与一起归纳切线的*质6、的基本图形讨论如图，pa，pb是⊙o的两条切线，a，b为切点.直线op交⊙o于点d，e，交ap于c(1)写出图中全部的垂直关系;(2)写出图中全部的全等三角形;(3)写出图中全部的相像三角形;(4)写出图中全部的等腰三角形.说明：对基本图形的深刻讨论和熟悉是在学习几何中关键，它是敏捷应用学问的基础.(二)应用、归纳、反思例1、已知：如图，p为⊙o外一点，pa，pb为⊙o的切线，a和b是切点，bc是直径.求*：ac⊙op.分析：从条件想，由p是⊙o外一点，pa、pb为⊙o的切线，a，b是切点可得pa=pb，apo=bpo，又由条件bc是直径，可得ob=oc，由此联想到与直径有关的定理"垂径定理'和"直径所对的圆周角是直角'等.于是想到可能作帮助线ab.从结论想，要*ac⊙op，假如连结ab交op于o，转化为*caab，opab，或从od为⊙abc的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来*，可获得多种*法.*法一.如图.连结ab.pa，pb分别切⊙o于a，bpa=pbapo=bpoopab又⊙bc为⊙o直径acabac⊙op(同学板书)*法二.连结ab，交op于dpa，pb分别切⊙o于a、bpa=pbapo=bpoad=bd又⊙bo=dood是⊙abc的中位线ac⊙op*法三.连结ab，设op与ab弧交于点epa，pb分别切⊙o于a、bpa=pbopab=c=pobac⊙op反思：老师引导同学比较以上*法，激发同学的学习爱好，培育同学敏捷应用学问的力量.例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等.(分析和解题略)反思：(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要*质，请同学记住结论.(2)圆内接四边形的*质：对角互补.p120练习：练习1填空如图,已知⊙o的半径为3厘米，po=6厘米，pa，pb分别切⊙o于a，b，则pa=_______，apb=________练习2已知：在⊙abc中，bc=14厘米，ac=9厘米，ab=13厘米，它的内切圆分别和bc，ac，ab切于点d，e，f，求af，ad和ce的长.分析：设各切线长af，bd和ce分别为x厘米，y厘米，z厘米.后列出关于x,y，z的方程组，解方程组便可求出结果.(解略)反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和之外，还要用到解方程组的学问，是一道综合*较强的计算题.通过对本题的讨论培育同学的综合应用学问的力量.(三)小结1、提出问题同学归纳(1)这节课学习的详细内容;(2)学习用的数学思想方法;(3)应留意哪些概念之间的区分?2、归纳基本图形的结论3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.(四)作业教材p131习题7.4a组1.(1)，2，3，4.b组1题.探究活动图中找错你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?在图2中，p1a为⊙o1和⊙o3的切线、p1b为⊙o1和⊙o2的切线、p2c为⊙o2和⊙o3的切线.提示：在图1中，连结pc、pd，则pc、pd都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点o应在圆上.在图2中，设p1a=p1b=a，p2b=p2c=b，p3a=p3c=c，则有a=p1a=p1p3+p3a=p1p3+c①c=p3c=p2p3+p3a=p2p3+b②a=p1b=p1p2+p2b=p1p2+b③将②代人①式得a=p1p3+(p2p3+b)=p1p3+p2p3+b，a-b=p1p3+p2p3由③得a-b=p1p2得p1p2=p2p3+p1p3p1、p2、p3应重合，故图2是错误的。

湘教版9下数学教案：切线长定理

课题：切线长定理【学习目标】1．了解什么是切线长，掌握切线长定理及其运用．2．通过对圆的切线长及切线长定理的学习，培养学生分析，归纳及解决问题的能力．【学习重点】切线长定理的推导及应用．【学习难点】利用轴对称图形性质理解切线长定理．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．解题思路：从圆外一点出发作圆的两条切线，所得图形为轴对称图形，可利用轴对称图形的性质观察并寻找相等的边或角．一、情景导入生成问题旧知回顾： 1．圆的切线性质是什么？答：圆的切线垂直于经过切点的半径． 2．如何过⊙O 上一点A 作圆的切线？答：连接OA ，过点A 作OA 的垂线是⊙O 的切线，过圆上一点作⊙O 的切线有且只有一条． 3．如何过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线呢？答：连接OP ，以OP 为直径作圆交⊙O 于点A ，B 两点，连接P A, PB 即得⊙O 两条切线，过圆外一点作圆的切线有两条．二、自学互研生成能力知识模块切线长定理阅读教材P70～P71，完成下列问题：什么是切线长？切线长定理内容是什么？答：(1)经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． (2)从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角．【例1】如图，P 是⊙O 外一点，P A ，PB 分别和⊙O 相切于点A ，B ，C 是AB 上任意一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交P A ，PB 于点D ，E ，若△PDE 的周长为12，则P A 的长为__6__；若∠P ＝40°，则∠DOE ＝__70°__．【变例1】如图，P A ，PB 分别是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC ＝35°，∠P 的度数为( D ) A ．35° B ．45° C ．60° D ．70°（例1图）（变例1图）（变例2图）【变例2】如图，四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 和⊙O 相切，且AB ＝8cm ，CD ＝5cm ，则AD ＋BC ＝__13__cm.【变例3】直线P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 分别为切点，且∠APB ＝120°，⊙O 的半径为4cm 则切线长P A 为3 __cm. 【例2】已知P 为⊙O 外一点，P A ，PB 为⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠P ＝70°，C 为⊙O 上一个动点，且不与A ，B 重合，则∠BCA 的度数为( C ) A ．35°或145° B ．110°或70° C ．55°或125° D ．110° 【变例1】如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是__99°__．【变例2】如图，⊙O 与△ABC 中，AB ，AC 的延长线及BC 边与⊙O 相切，且∠ACB ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长依次为3，4，5，则⊙O 的半径是__2__．（变例1图）（变例2图）（变例3图）【变例3】如图，四边形ABCD 是正方形，以BC 边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A 作半圆O 的切线(切点为F )交CD 边于E ，则sin ∠DAE ＝__35 __．三、交流展示生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑. 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块切线长定理四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺 1．收获：_____________________________________ 2．存在困惑：____________________________________________。

湘教版九年级数学下册2.5直线与圆的位置关系2.5.3切线长定理说课稿

湘教版九年级数学下册2.5直线与圆的位置关系2.5.3切线长定理说课稿一. 教材分析湘教版九年级数学下册2.5直线与圆的位置关系是本节课的主要内容。

在这一节中，学生将学习到切线长定理，这是解决直线与圆位置关系问题的重要工具。

教材通过引入实际问题，引导学生探究直线与圆的位置关系，进而推导出切线长定理，使学生在理解的基础上掌握这一概念。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，对函数、几何等概念有一定的理解。

但是，对于直线与圆的位置关系以及切线长定理这样的抽象几何概念，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解直线与圆的位置关系，掌握切线长定理，并能够运用切线长定理解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、交流等过程，学生能够培养自己的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学在实际生活中的应用，增强对数学的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：直线与圆的位置关系，切线长定理的推导和应用。

2.教学难点：切线长定理的理解和运用。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例教学法和合作学习法等教学方法。

同时，利用多媒体教学手段，如PPT、几何画板等，直观地展示直线与圆的位置关系，帮助学生更好地理解和掌握切线长定理。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考直线与圆的位置关系，激发学生的学习兴趣。

2.探究：学生分组讨论，通过观察、思考、交流等方式，推导出切线长定理。

3.讲解：教师对切线长定理进行详细讲解，强调重点知识点，解答学生的疑问。

4.练习：学生进行课堂练习，巩固对切线长定理的理解和掌握。

5.拓展：引导学生思考直线与圆位置关系的应用，激发学生的创新意识。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出直线与圆的位置关系和切线长定理的关键信息。

切线长定理(教案、课后反思、导学案)

第3课时切线长定理【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.一、情境导入，初步认识探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题.分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.二、思考探究，获取新知1.切线长的定义及性质切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.由此我们得到切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP⊥AB，且OP平分AB.2.三角形的内切圆思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨论来解决这些问题.假设符合条件的圆已作出，那么这个圆与△ABC的三边都相切，这个圆的圆心到△ABC三边的距离都等于半径.又因为我们在角平分线这节中学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.因此，在△ABC 中，作∠B，∠C的角平分线BM和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等.∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC 三边相切.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边的距离相等.【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较.“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”.三、典例精析，掌握新知例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角.分析：连接OA，设AO=x，在Rt△AOP中利用勾股定理求出x，由切线长定理知∠APO=12∠APB.求出∠APO就可得∠APB.解：连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，△PAO为直角三角形.设OA=x，则OC=x，在Rt△PAO中，OA2+PA2=OP2，∴x2+6232，解得3.∴33AOP=60°，∠APO=30°.∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°.∴⊙O的半径OA为3PA、PB的夹角为60°.【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题.例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____.分析：∵I是内心.∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线.∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）.又∵∠BIC=100°，∴∠IBC+∠ICB=80°.∴∠ABC+∠ACB=160°.∴∠A=180°-160°=20°.【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题.四、运用新知，深化理解课本第100页练习1、2题.【教学说明】教师引导学生完成课本练习.五、师生互动，课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点.1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理一、新课导入1.导入课题：情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).2.学习目标：（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.3.学习重、难点：重点：切线长定理及其运用.难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条.②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长，如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长.③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.∴PA = PB,OP平分∠APB .2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.②差异指导：根据学情确定指导方案.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）切线长定理及它的证明.（2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O 的半径长吗？解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O 的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.解得r=3. 即⊙O的半径长为3.1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想.(4)自学参考提纲：①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点.a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I；b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心.它是三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等.③已知：如图，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.（2）生助生：生生互动，交流，研讨.4.强化：(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.(2)如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12∠ABC+12∠ACB=12×（50°+75°）＝62.5°.∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题方法？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（C）A.3cmB.4cmC.5cmD.9cm2.(10分) 如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（C）A.172°B.130°C.133°D.100°3.(10分)如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ=3cm.3.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝cm4.(20分)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.解：∵PA是⊙O的切线.∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.5.(20分)如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m, 并且x Y⊥WY,这个油桶底面半径是多少?解：设圆心为O，连接OW,O x.∵YW,Y x均是⊙O的切线，∴OW⊥WY,O x⊥x Y，又∵x Y ⊥WY ,∴∠OWY ＝∠O x Y ＝∠WY x ＝90°，∴四边形OWY x 是矩形，又∵OW=O x .∴四边形OWY x 是正方形.∴OW=WY=1.65m.即这个油桶底面半径是1.65m.二、综合应用（15分）6.(15分)△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积.（提示：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ）解：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC.则ABC AOB BOC AOC S S S S =++ ()AB r BC r AC r AB BC AC r lr =++=++=1111122222. 三、拓展延伸（15分）7.(15分)如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，且AB ∥CD ，BO ＝6cm ，CO ＝8cm ，求BC 的长.解：∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切，则OB 平分∠EBF ，DC 平分∠FCG .∵AB ∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=180°-12(∠EBF+∠GCF)=90°.∴在Rt △BOC 中，BC=OB2+OC2=62+82=10（cm ）.。

湘教版九年级数学下册2.5直线与圆的位置关系2.5.3切线长定理教学设计

湘教版九年级数学下册2.5直线与圆的位置关系2.5.3切线长定理教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学下册2.5直线与圆的位置关系2.5.3切线长定理是本节课的主要内容。

切线长定理是圆的性质之一，它揭示了圆的切线与半径之间的关系。

本节课通过引入切线长定理，让学生进一步理解直线与圆的位置关系，并为后续学习圆的方程和几何性质打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、圆的基本概念和性质，具备了一定的几何思维能力。

但是，对于切线长定理的理解和运用还需要引导。

通过分析学生的学习情况，我发现他们在解决实际问题时，往往不能很好地将理论知识与实际问题相结合，因此需要在教学过程中加强对学生应用能力的培养。

三. 教学目标1.理解切线长定理的含义，掌握切线长定理的证明过程。

2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高学生的应用能力。

3.培养学生的几何思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.切线长定理的理解和运用。

2.如何在实际问题中运用切线长定理。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线长定理。

2.通过几何画图软件展示切线长定理的证明过程，加深学生对知识的理解。

3.运用实例分析，让学生在实际问题中运用切线长定理，提高学生的应用能力。

4.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关几何画图软件，如GeoGebra等。

2.准备实例分析的相关题目。

3.准备课堂练习题和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习直线与圆的位置关系，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）利用几何画图软件展示切线长定理的证明过程，让学生直观地感受切线长定理的应用。

同时，解释切线长定理的含义，让学生理解圆的切线与半径之间的关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实例，运用切线长定理解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）呈现一组练习题，让学生独立完成。

湘教版数学九年级下册切线的判定教案与反思

2.5.2 圆的切线知己知彼，百战不殆。

《孙子兵法·谋攻》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！第1课时切线的判定【知识与技能】理解并掌握圆的切线判定定理,能初步运用它解决有关问题.【过程与方法】通过对圆的切线判定定理和判定方法的学习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力.【情感态度】通过学生自己的实践发现定理,培养学生学习的主动性和积极性.【教学重点】圆的切线的判定定理.【教学难点】圆的切线的判定定理的应用.一、情境导入，初步认识同学们,一辆汽车在一条笔直平坦的道路上行驶.如果把车轮看成圆,把路看成一条直线,这个情形相当于直线和圆相切的情况.再比如,你在下雨天转动湿的雨伞,你会发现水珠沿直线飞出,如果把雨伞看成一个圆,则水珠飞出的直线也是圆的切线,那么如何判定一条直线是圆的切线呢?二、思考探究，获取新知1.切线的判定(1)提问:如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，①随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？②当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？(2)探究：讨论直径与经过直径端点的直线所形成的∠α来得到切线的判定.可通过多媒体演示∠α的大小与圆心O到直线的距离的大小关系，让学生用自己的语言描述直线与⊙O相切的条件.(3)总结：教师强调一条直线是圆的切线必须同时满足下列两个条件：①经过半径外端，②垂直于这条半径，这两个条件缺一不可.2.切线的画法：教师引导学生一起画圆的切线，完成教材P67做一做.【教学说明】让每一位学生动手画圆的切线,感知一条直线是圆的切线须满足的两个条件,加深对切线判定的理解.例1教材P67例2【教学说明】该例展示了判定圆的切线的一种方法，即已知直线和圆有公共点时，要证明该直线是圆的切线，常用证明方法是：连接圆心和该点，证明直线垂直于所连的半径.例2如图，已知点O是∠APB平分线上一点，ON⊥AP于N，以ON为半径作⊙O.求证：BP是⊙O的切线.【分析】该例与上例不同,上例已知BC经过圆上一点D,所以思路是连接半径证垂直.该例BP与⊙O是否有公共点还不能确定,而要证BP是⊙O的切线,需用证明线的另一种方法,即“作垂直，证明圆心到直线的距离并等于证半径”.证明:作OM⊥BP于M.∵OP平分∠APB,且ON⊥AP,OM⊥BP,∴OM=ON,又ON是⊙O的半径∴OM也是⊙O的半径∴BP是⊙O的切线.【教学说明】证明直线是圆的切线常有三种方法.(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;(2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)经过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.三、运用新知，深化理解1.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形2.菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定3.如图，△ABC中，已知AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E.求证:DE是⊙O的切线.4.如图,AO⊥BC于O,⊙O与AB相切于点,交BC于E、F,且BE=CF,试说明⊙O与AC也相切.【教学说明】教师当堂引导学生完成练习,帮助学生掌握切线的定方法,特别是把握不同条件时用不同的思路证明的理解与掌握.【答案】1.B 2.B3.证明:连接OD,则OD=OB,∴∠B=∠BDO.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BDO=∠C,∴OD∥AC,∴∠ODE=∠DEC.∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,∴OE=90°,即DEOD,∴DE是⊙O的切线.4.解:过点O作OG⊥AC,垂足为G,连接OD.∵BE=CF,OE=OF,∴BO=CO.又∵OA⊥BC,∴AO平分∠BAC.∵⊙O与AB切于点D,∴OD⊥AB,∴OG=OD.∴G在⊙O上,∴⊙O与AC也相切.四、师生互动，课堂小结1.该堂课你学到了什么,还有哪些疑惑?2.学生回答的基础上教师强调:本堂课主要学习切线的判定定理及切线的画法,通过例题讲述了证明圆的切线的不同证明方法.1.教材P75第2~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课先探究了圆的切线的判定定理,接着讲述了切线的画法.通过画切线使学生进一步体会到直线是圆的切线须满足的两个条件,然后通过例题讲解了切线的证明方法,通过“理论⇒感性⇒理论”的认知，体验掌握知识的方法和乐趣.【素材积累】岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。

九年级数学下册2.5.3切线长定理学案湘教版

2。

5。

3 切线长定理理解并掌握切线长定理、能熟练运用所学定理来解答问题.自学指导阅读教材第70至71页，完成下列问题。

知识探究1。

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做切线长.2。

过圆外一点所画圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角,这就是切线长定理。

自学反馈1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E,交AB于C，图中互相垂直的直线共有3对.第1题图第2题图第3题图2。

如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P=60度。

3.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B,⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F,切点C在错误!上，若PA长为2，则△PEF的周长是4。

4.自学教材P72练习1、2活动小组讨论例如图,直角梯形ABCD中，∠A=90°,以AB为直径的半圆切另一腰CD于P，若AB=12 cm，梯形面积为120 cm2，求CD的长.解:20 cm。

这里CD＝AD+BC。

活动2 跟踪训练1.如图,AD、DC、BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC=90°。

2。

如图,AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一动点,则∠BPC=65°.活动3 课堂小结能根据切线长定理进行相关计算。

尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

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九年级数学下册2.5.3切线长定理教案(新版)湘教版

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

九年级数学下册《切线长定理》教案、教学设计

（4）利用信息技术手段，如几何画板、动画等，使抽象的几何关系形象化、直观化，降低学习难度。
2.教学过程：
（1）导入：通过一个生活实例，如圆形跑道的修建问题，引出切线长定理，激发学生兴趣。
（2）探究：引导学生观察几何图形，提出猜想，尝试证明切线长定理。
（3）讲解：对切线长定理的证明过程进行详细讲解，强调几何逻辑推理的重要性。
九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆的性质、三角形的基本概念有了一定的了解。在此基础上，学习切线长定理，他们能够更好地理解圆与三角形之间的关系，将所学知识进行拓展和深化。然而，学生对切线长定理的理解和应用可能还存在一定难度，特别是定理的证明过程和在实际问题中的应用。
考虑到学生的认知发展水平，他们对抽象几何关系的理解仍有待提高，因此，在教学过程中，应注重从直观到抽象的过渡，通过丰富的实例、生动的语言和形象的表达，帮助学生建立起切线长定理的直观形象。此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏独立思考和创新能力，需要教师在教学过程中给予适当的引导和鼓励。
5.写作任务：结合切线长定理的学习，撰写一篇数学小论文，主题为“切线长定理在实际生活中的应用”。
要求：论文内容要具有实际意义，结构清晰，论据充分。通过写作，培养学生的数学表达能力和创新意识。
6.家长参与：鼓励学生与家长一起探讨切线长定理在实际生活中的应用，共同完成一道实践题。
要求：家长参与学生的数学学习，增进家校合作，提高学生的学习兴趣和积极性。
（4）应用：设计不同难度的练习题，让学生运用切线长定理解决问题，巩固所学知识。
（5）拓展：引导学生探索切线长定理在解决实际问题中的应用，如设计最优路线等。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与度、合作交流、思考过程等，给予及时的反馈和鼓励。

湘教版数学九年级下册《2.5.3切线长定理》教学设计

湘教版数学九年级下册《2.5.3切线长定理》教学设计一. 教材分析《2.5.3切线长定理》是湘教版数学九年级下册中的一节内容。

本节课主要介绍切线长定理，并通过实例让学生了解和掌握切线长定理的应用。

教材通过引出圆的切线，让学生探究并证明切线长定理，进一步运用切线长定理解决一些与圆有关的问题。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握切线长定理，并能在实际问题中应用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、性质和圆的方程。

他们对圆有一定的认识，但切线长定理是一个新的概念，需要通过实例来引导学生理解和掌握。

学生需要通过观察、思考和操作来探究切线长定理，进一步运用定理解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解和掌握切线长定理，能够运用切线长定理解决一些与圆有关的问题。

2.过程与方法：培养学生观察、思考和操作的能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：引导学生探究并证明切线长定理，使学生能够运用切线长定理解决实际问题。

2.难点：理解并掌握切线长定理的证明过程，能够灵活运用切线长定理解决一些与圆有关的问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入切线长定理，激发学生的学习兴趣。

2.探究式教学法：引导学生观察、思考和操作，培养学生自主学习的能力。

3.小组合作学习：学生进行小组讨论和实践，培养学生的团队合作意识。

4.讲解法：教师对切线长定理的概念、证明和应用进行讲解，帮助学生理解和掌握。

六. 教学准备1.教学课件：制作切线长定理的教学课件，包括文字、图片和动画等。

2.实例材料：准备一些与圆有关的具体实例，用于引导学生探究和理解切线长定理。

3.学习工具：准备圆规、直尺等学习工具，方便学生进行观察和操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入圆的切线，引导学生关注切线与圆的关系。

通过提问，激发学生的思考，为后续学习切线长定理打下基础。

湘教版数学九年级下册《2.5.3切线长定理》说课稿

湘教版数学九年级下册《2.5.3切线长定理》说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级下册《2.5.3切线长定理》这一节，是在学生学习了圆的基本性质，圆的方程，以及圆与直线的位置关系等知识的基础上进行讲解的。

本节课的主要内容是切线长定理，即经过圆外一点有且只有一条直线与圆相切，切线长等于点到圆心的距离与半径的差。

这是解决与圆有关线段长度问题的重要定理，对于学生理解和掌握圆的性质，以及解决实际问题具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆的基本性质和方程有所了解，同时也具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但是，对于切线长定理的理解和运用，还需要通过本节课的学习来进一步深化。

另外，学生在学习过程中，可能对于一些概念的理解和证明过程的推导存在一定的困难，需要教师在教学中进行引导和启发。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决与圆有关线段长度的问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：切线长定理的理解和运用。

2.教学难点：切线长定理的证明过程，以及对于一些概念的理解。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、分析、推理等数学活动，理解和掌握切线长定理。

同时，利用多媒体教学手段，展示相关的图形和动画，帮助学生更好地理解和运用切线长定理。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出切线长定理的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：讲解切线长定理的内容，并通过例题进行解释和运用。

3.课堂讲解：讲解切线长定理的证明过程，引导学生进行思考和讨论。

4.练习与讨论：学生进行相关的练习题，小组内进行讨论和解答。

2.5.3切线长定理-湘教版九年级数学下册教案

2.5.3 切线长定理 - 湘教版九年级数学下册教案1. 教学目标通过本节课的学习，要求学生掌握以下知识和技能：1.了解圆与切线的基本概念，熟练掌握切线的求法；2.掌握切线长定理的概念和公式，并能够运用该定理计算相关问题；3.注意解题时的方法和步骤，提高数学思维能力。

2. 教学内容和方法（1）教学内容：1.圆与切线的概念；2.切线长定理的概念和公式；3.基于切线长定理求解相关问题。

（2）教学方法：1.游戏启发法引入课题，激发学生兴趣；2.直观展示圆与切线的关系，帮助学生理解圆的性质；3.示范讲解切线长定理，让学生掌握该定理的运用方法；4.结合生活实例和练习题，帮助学生提高计算能力和策略思维。

3. 教学过程（1）导入环节1. 游戏引入教师准备一个充气球，吹起来后用线绑住球并拉紧，然后在一堆杂物中找到几只球，要求学生用绳子将球拴在墙上，保持球和充气球的位置一致。

引导学生讨论哪些字符串符合题意，为什么不符合。

通过游戏引发学生对本节课题的兴趣，同时加强学生对几何图形的直观认识。

（2）讲授环节1. 圆与切线的概念引导学生回顾第2章圆的相关知识，掌握圆的定义、性质和公式。

在此基础上，讲解切线的概念，即：在圆上一点的向圆外引一条直线，这条直线与圆交点处所引的两条半径为切线。

2. 切线长定理的概念和公式先通过图示讲解切线长定理的概念，即：从圆的外点作一条切线，则切线与此点的连线所夹的角等于此切线上不相邻的两个点所对的圆心角的一半；再结合例题讲解如何运用公式求解切线长。

3. 切线长定理的应用引导学生通过实例讲解切线长定理的应用，包括求切线长、判定是否相切、探究相切点的位置等。

同时，结合生活实例，让学生感受切线长定理在日常生活中的应用。

（3）练习环节为了提高学生的计算能力和策略思维能力，设计多种不同难度的练习题，让学生自主练习和完整消化课上所讲授内容。

（4）总结环节对本节课所学的内容和方法进行总结，强调切线长定理的重要性和应用，为下一步课程的学习打下坚实基础。

湘教版九年级数学下册《切线长定理》精品教案

《切线长定理》精品教案系呢？学完本节课都能解决这些问题了，让我们一起来学习一下吧。

讲授新课一、切线长的概念【说一说】如图，将三角尺的一条直角边过⊙O外一点P及圆上的点A，另一条直角边过圆心O，然后作直线PA，则PA是⊙O的切线.用同样的方法可作出切线PB.你能说出PA和PB是⊙O的切线的理由吗？（出示课件5）解析：根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得：OA为⊙O半径，PA⊥OA于A，PA即为⊙O的切线。

OB为⊙O半径，PB⊥OA于A，PB 即为⊙O的切线。

【切线长的概念】切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。

（出示课件7）师：上图所示的哪几条线段叫做切线长呢？回答：线段PA，PB的长度是点P到⊙O的切线长。

师：切线和切线长一样吗？它们有什么联系和区别？回答：切线：PA、PB所在的直线；切线长：线段PA、PB的长度。

切线和切线长是两个不同的概念：思考并回答问题思考并回答问题通过具体的练习，让学生理解切线的判定定理通过提问，让学生知道切线和切线长的区别1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

二、切线长定理【探究】在透明纸上画出图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP 将图形对折，你发现了什么？（出示课件10）师：PA、PB有怎样的数量关系？PO与∠APB又有怎样的关系？回答：PA=PBPO平分∠APB，即∠APO=∠BPO师：该如何证明呢？（出示课件12）证明：连接OA，OB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，即△PAO和△PBO 均为直角三角形.又∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△PAO≌Rt△PBO.∴PA=PB，∠APO=∠BPO.【切线长定理】师：我们可以的得到结论，过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

湘教版数学九年级下册2 切线长定理教案与反思

2.5.3切线长定理祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。

《老子·五十八章》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【知识与技能】掌握切线长定理及其运用.【过程与方法】通过对圆的切线长及切线长定理的学习,培养学生分析,归纳及解决问题的能力.【情感态度】通过学生自己的实践发现定理,培养学生学习的积极性和主动性.【教学重点】切线长定理及运用.【教学难点】切线长定理的推导.一、情境导入，初步认识活动1:如图,过⊙O外一点P作⊙O的切线,回答问题:(1)可作几条切线?(2)作切线的依据是什么?学生回答,教师归纳展示作法:(1)①连OP.②以OP为直径作圆，交⊙O于点A、B.③作直线PA，PB.即直线PA、PB为所求作的圆的两条直线.(2)由OP为直径,可得OA⊥PA,OB⊥PB,由切线判定定理知:PA、PB为⊙O的两条切线.【教学说明】该活动中作圆的切线实际上是个难点,教师展示后应放手让学生自己再动手作一次,让学生体会运用知识的成功感.二、思考探究，获取新知1.切线长定理(1)切线长定义:从圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.(2)如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B.求证:PA=PB,∠APO=∠BPO.学生完成:由此得出切线长定理.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.2.切线长定理的运用例1如图,AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.求证:CO∥BD.【分析】连接AB,因为AD为直径,那么∠ABD=90°,即BD⊥AB.因此要证CO∥BD.只要证CO⊥AB即可.证明:连接AB.∵CA,CB是⊙O的切线,点A,B为切点,∴CA=CB,∠ACO=∠BCO,∴CO⊥AB.∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,即BD⊥AB,∴CO∥BD.例2如图,PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E,已知PA=6,求△PCD的周长.【教学说明】图中有三个分别从点P、C、D出发的切线基本图形,因此可以用切线长定理实现线段的等量转化.解:∵CA、CE与⊙O分别相切于点A、E,∴CA=CE.∵DE、DB与⊙O分别切于点E、B,∴DE=DB.∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B,∴PA=PB.∴△PCD的周长C△PCD=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=12.四、运用新知，深化理解1.如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°,则∠BAC的度数是_____.第1题图第2题图2.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，如果∠APB=60°,PA=8，那么弦AB的长是_____..如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,直线OP交⊙O于点D,E,交BC于C,图中互相垂直的直线共有____对.第3题图第4题图4.如图,AD,DC,BC都与⊙O相切,且AD∥BC,则∠DOC=______.5.如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF.(1)求证:OD∥BE;()猜想:OF与CD有何数量关系?并说明理由.【教学说明】学生自主完成,加深对切线长定理的理解.【答案】1.20 2.8 3.3 4.90°5.解：（1）证明：连接OE，∵AM，DE是⊙O的切线.OA，OE是⊙O的半径，∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°,∴∠AOD=∠EOD=12∠AOE,∵∠BE=错误!未指定书签。

2020年春湘教版九年级数学下册学案2.5.3 切线长定理

2.5.3 切线长定理学习目标：1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题.学习重点：切线长定理的理解学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：（一）探究切线长的定义：如下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线.P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.跟踪训练：判断1. 圆的切线长就圆的切线的长度.（）2. 过任意一点总可以作圆的两条切线.（）（三）探究切线长定理：如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明.切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等. 该定理用数学符号语言叙述为：∵ ∴ 跟踪训练：1. 如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切，切点为点D ，与AB 、AC 的延长线相切，切点分别为店E 、F ，则图中相等的线段有__________________________ _____________________________.2. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________.3. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=70°.则∠P=________.四、典例解析：例：如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，PA=PB=4cm ，∠P=40°，C 是劣弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 与点D 、E ，试求：（1）△PDE 的周长；（2）∠DOE 的度数.巩固训练：1.如图，PC 是⊙O 的切线，C 是切点，PO 交⊙O 于点 A ，过点A 的切线交 PC 于点D ，CD ∶DP = 1∶2，AD=2cm ，求⊙O的半径.2.如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，BC是直径. （1）求证：AC∥OP︵（2）如果∠APC=70°，求 AC的度数3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°.（1）求∠APB的度数；（2）当OA=3时，求AP的长.六、课堂小结：畅所欲言，查漏补缺。

湘教版九年级数学下册2.5.3 切线长定理教案与反思

*2.5.3 切线长定理落红不是无情物，化作春泥更护花。

出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》李坑学校李忠华1．理解和掌握切线长定理；(重点)2．初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点)一、情境导入有一天，同学们去王老师家做客，王老师正在洗锅，就问：谁能测出这个锅盖的半径，就可以得到一根雪糕，同学们都跃跃欲试，但老师家里只有一个曲尺，到底谁能得到这根雪糕呢？教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连接OB，OA，则四边形OAPB是正方形，所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA＝PB.如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA＝PB?二、合作探究探究点：切线长定理及应用【类型一】利用切线长定理求线段的长如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是( )A．10 B．12 C．5 3 D．10 3解析：∵PA 、PB 都是⊙O 的切线，∴PA ＝PB .∵∠APB ＝60°，∴△PAB 是等边三角形，∴AB ＝PA ＝10.故选A.方法总结：切线长定理是判断线段相等的主要依据，在圆中经常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB .因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长＝E ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EA )＋(BF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4.故答案为4.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝12∠APB ＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，得到PO 平分∠APB . 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型四】切线长定理的实际应用如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是________cm.析：先画图，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．连接OA、OB.∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°.∵AB和AC都与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝12∠CAB＝60°.∵AB＝3cm，∴O＝6cm，∴由勾股定理得OB＝33cm，∴光盘的直径为63cm.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计本节课切线长定理的探索以学生动手操作作图的活动为平台，结合学生的自主探索和教师的启发式提问，对所学有关切线性质的基础知识作简单的迁移，师生以一种平等民主的方式进行教与学的活动，在具体情境中发展学生的发散思维及创新能力，激发学习兴趣，使学生真正体验学习的快乐【素材积累】1、成都，是一个微笑的城市，宁静而美丽。

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