全国高中数学联赛试题分类汇编-数论(1981年-2019年)

（1981年~2019年）2019A 5、在1,2,3,,10中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10----中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为 ．答案：37100解析：首先数组(),a b 有1010100⨯=种等概率的选法． 考虑其中使2a b +被3整除的选法数N ．①若a 被 3 整除，则b 也被 3 整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(),a b 有339⨯=组．若a 不被 3 整除，则()21mod3a ≡，从而()1mod3b ≡-．此时a 有7 种选法，b 有4种选法，这样的(),a b 有7428⨯=组． 因此92837N =+=．于是所求概率为37100。

2019A 三、（本题满分 50 分）设m 为整数，2m ≥．整数数列12,,a a 满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n ，均有21n n n a a ma ++=-．证明：若存在整数,r s , (2r s >≥ )使得1r s a a a ==，则r s m -≥．解析：证明：不妨设12,a a 互素（否则，若()12,1a a d =>，则12,1a a d d ⎛⎫=⎪⎝⎭互素，并且用12,,a a d d代替12,,a a ，条件与结论均不改变）．由数列递推关系知()234mod a a a m ≡≡≡． ①以下证明：对任意整数3n ≥，有()()2123mod n a a a n a m m ≡-+-⎡⎤⎣⎦． ② ………10 分事实上，当3n =时②显然成立．假设n k =时②成立（其中k 为某个大于2的整数），注意到①，有()212mod k ma ma m -≡，结合归纳假设知()()()21122221232mod k k k a a ma a k a m ma a a k a m +-≡-≡+--=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即1n k =+时②也成立．因此②对任意整数3n ≥均成立． ………………20 分注意，当12a a =时，②对2n =也成立． 设整数,r s , (2r s >≥ )，满足1r s a a a ==． 若12a a =，由②对2n ≥均成立，可知()()()221221233mod r s a a r a m a a a a s a m m -+-≡≡≡-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即()()()121233mod a r a a s a m +-≡+-，即 ()()20mod r s a m -≡． ③ 若12a a ≠，则12r s a a a a ==≠故3r s >≥．此时由于②对3n ≥均成立， 故类似可知③仍成立． ………………30 分 我们证明2,a m 互素．事实上，假如2a 与m 存在一个公共素因子p ，则由①得p 为23,,a a 的公因子，而12,a a 互素，故/|p 1a ，这与1r s a a a ==矛盾．因此，由③得()0mod r s m -≡．又r s >，所以r s m -≥． ………………50分2018A 四、（本题满分50分）数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 与∑=ni ia1互素，且不等于n a a a ,.,,21 的最小正整数，证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现。

证明：显然11=a 或者12=a .下面考虑整数1>m ，设m 有k 个不同的素因子，我们对k 归纳证明m 在{}n a 中出现.记n n a a a S +++= 21，1≥n .1=k 时，m 是素数方幂，记αp m =，其中0>α，p 是素数.假设m 不在{}n a 中出现.由于{}n a 各项互不相同，因此存在正整数N ，当N n ≥时，都有αp a n >.若对某个N n ≥，n S p |/，那么αp 与n S 互素，又n a a a ,.,,21 中无一项是αp ，故有数列定义知αp a n ≤+1，但是αp a n >+1，矛盾！因此对每个N n ≥，都有n S p |.又1|+n S p ，可得1|+n a p ，从而1+n a 与n S 不互素，这与1+n a 的定义矛盾！假设2≥k ，且结论对1-k 成立.设m 的标准分解为k k p p p m ααα2121=.假设m 不在{}n a 中出现，于是存在正整数/N ，当/N n ≥时，都有m a n >.取充分大的正整数121,,-k βββ ，使得n N n k a p p p M k /1211121max ≤≤->=-βββ .我们证明，对/N n ≥，有M a n ≠+1.对于任意/N n ≥，若n S 与k p p p 21互素，则m 与n S 互素，又m 在n a a a ,.,,21 中均未出现，而m a n >+1，这与数列的定义矛盾，因此我们得到：对于任意/N n ≥，n S 与k p p p 21不互素*，⑴若存在i （11-≤≤k i ），使得n i S p |，则()1,1=+n n S a ，故1|+/n i a p ，从而M a n ≠+1（因为M p i |）。

⑵若对每个i （11-≤≤k i ），均有n i S p |/，则由*知，必有n k S p |.于是1|+/n k a p ，进而1|++/n n k a S p ，即1|+/n k S p .故由*知：存在0i （110-≤≤k i ），使得1|0+n i S p ，再由n n n a S S +=+1及前面的假设n i S p |/，可知1|0+/n i a p ，故M a n ≠+1。

因此，对1/+≥N n ，均有M a n ≠，而n N n k a p p p M k /1211121max ≤≤->=-βββ ，故M 不在{}n a 中出现，这与假设矛盾！因此，若m 有k 个不同的素因子，则m 一定在数列{}n a 中出现.由数学归纳法知，所以正整数均在数列{}n a 中出现。

2018B 四、（本题满分50分）给定整数2≥a 。

证明：对任意正整数n ，存在正整数k ，使得连续n 个数1+k a ，,,2 +ka n a k+均是合数。

证明:设r i i i <<< 21是n ,,2,1 中与a 互素的全体整数，则n i ≤≤1，{}r i i i i ,,,21 ∉，无论正整数k 如何取值，i a k +均与a 不互素且大于a ，故i a k+为合数。

对任意r j ,,2,1 =，因1>+j i a ，故j i a +有素因子j p .我们有()1,=a p j （否则，因j p 是素数，故j p a |，但j p j i a +|，从而j p |j i ，即a 与j i 不互素，与j i 的取法矛盾）.因此，由费马小定理知，()i p p amod 11≡-现取()()()111121+---=r p p p k ，对任意r j ,,2,1 =，注意到()1mod 1-≡j p k ，故有()j j j k p i a i a mod 0≡+=+.又j j j k p i a i a ≥+>+，故j k i a +为合数。

综上所述，当()()()111121+---=r p p p k 时，1+k a ，,,2 +ka n a k+均是合数。

2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数是 答案： 75解析：考虑平稳数abc 。

①若0=b ，则1=a ，{}1,0∈c ，有2个平稳数；②若1=b ，则{}2,1∈a ，{}2,1,0∈c ，有632=⨯个平稳数； ③若[]8,2∈b ，则a ，{}1,,1+-∈b b b c ，有63337=⨯⨯个平稳数； ④若9=b ，则{}9,8,∈c a ，有422=⨯个平稳数；综上可知，平稳数的个数为7546362=+++。

2017B 8、若正整数c b a ,,满足c b a 1000100102017≥≥≥，则数组),,(c b a 的个数为 答案：574解析：由条件知2017[]21000c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为2010(1022)11(20210)5722b b =+⨯-==∑， 当2c =时，由201720[]100b ≤≤，知，20b =，进而2017200[]20110a ≤≤=， 故200,201a =，此时共有2组(,,)abc .综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574+=.2016A 8、设4321,,,a a a a 是100,,3,2,1 中的4个互不相同的数，满足()()2433221242322232221)(a a a a a a a a a a a a++=++++，则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为 答案：40解析：由柯西不等式知，2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++，等号成立的充分必要条件是433221a a a a a a ==，即4321,,,a a a a 成等比数列．于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321⊆a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数．设等比数列的公比1≠q ，且q 为有理数．记mnq =，其中n m ,为互素的正整数，且n m ≠．先考虑m n >的情况．此时331314)(m n a m n a a ==，注意到33,n m 互素，故31ma l =为正整数． 相应地，4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,,,，它们均为正整数．这表明，对任意给定的1>=mn q ，满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数，即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数，即]100[3n．由于10053>，故仅需考虑34,4,23,3,2=q 这些情况，相应的等比数列的个数为20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++． 当m n <时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a ．综上可知，共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a ．2016A 四、（本题满分50分）设p 与2+p 均是素数，3>p ，数列{}n a 定义为21=a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--n pa a a n n n 11， ,3,2=n ，这里[]x 表示不小于实数x 的最小整数。